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  • 效用函数3D图象.rar

    2020-06-22 19:56:23
    经济学效用函数的3D可视化图像合集,包含: U(x,y)=x+y U(x,y)=xy 以及 U(x,y)=a(x+y)-(x^2+y^2+2sxy)+m (当s=0, 0.4, 0.8, 1时) 图像使用echarts制作
  • 需求函数: CES需求函数 CES需求函数函数形式为: U(x,y)=xδδ+yδδU(x,y)=\frac{x^\delta}{\delta}+\frac{y^\delta}{\delta}U(x,y)=δxδ​+δyδ​ 构造朗格朗日表达式: f=xδδ+yδδ+λ(I−pxx−pyy)f = \...

    需求函数
    性质:关于所有价格和收入零次齐次性(所有商品价格与收入乘以t倍),最优化需求数量保持不变。

    1. CES需求函数
      CES需求函数的函数形式为:
      U ( x , y ) = x δ δ + y δ δ U(x,y)=\frac{x^\delta}{\delta}+\frac{y^\delta}{\delta} U(x,y)=δxδ+δyδ
      构造朗格朗日表达式:
      f = x δ δ + y δ δ + λ ( I − p x x − p y y ) f = \frac{x^\delta}{\delta}+\frac{y^\delta}{\delta}+\lambda(I-p_xx-p_yy) f=δxδ+δyδ+λ(Ipxxpyy)
      求偏导数得到一阶条件:
      { ∂ f ∂ x = x δ − 1 − λ p x = 0 ∂ f ∂ x = x δ − 1 − λ p x = 0 ∂ f ∂ λ = I − p x x − p y y = 0 \left\{ \begin{array}{rcl} \frac{\partial f}{\partial x} = x^{\delta-1}-\lambda p_x=0\\ \frac{\partial f}{\partial x} = x^{\delta-1}-\lambda p_x=0\\ \frac{\partial f}{\partial \lambda}=I-p_xx-p_yy=0 \end{array} \right. xf=xδ1λpx=0xf=xδ1λpx=0λf=Ipxxpyy=0
      根据上式求得需求函数:
      { x = I p x ( 1 + ( p x p y ) δ 1 − δ ) y = I p y ( 1 + ( p y p x ) δ 1 − δ ) \left\{ \begin{array}{rcl} x = \frac{I}{p_x(1+(\frac{p_x}{p_y})^{\frac{\delta}{1-\delta}})}\\ y= \frac{I}{p_y(1+(\frac{p_y}{p_x})^{\frac{\delta}{1-\delta}})} \end{array} \right. x=px(1+(pypx)1δδ)Iy=py(1+(pxpy)1δδ)I

    从上式看出我们确实可以得到一个对于任意 δ \delta δ的CES函数的需求函数。但是个人建议,由于CES函数有不同的“形式”(比如说 U = ( α 1 x 1 ρ + α 2 x 2 ρ ) 1 ρ U=(\alpha_1x_1^\rho+\alpha_2x_2^\rho)^{\frac{1}{\rho}} U=(α1x1ρ+α2x2ρ)ρ1也是一种CES函数,所以在实际做题求解CES函数的需求函数的过程中,建议重复上述证明步骤,用构造拉格朗日表达式,利用一阶条件来求解需求函数)

    δ → ∞ \delta \rightarrow ∞ δ的时候,此时为完全互补效用函数,利用消费者为了效用最大化只会选择L型无差异曲线顶点消费的特征来直接求解,就不用构造朗格朗日表达式了。

    除此之外,联系弹性和之前讲过的替代弹性(点击链接回顾)的概念,我们不难发现, δ = 0 \delta=0 δ=0,即替代弹性 σ = 1 1 − δ \sigma=\frac{1}{1-\delta} σ=1δ1等于1为分界线。举例说明:当 δ = 0.5 \delta=0.5 δ=0.5的时候 x = I p x ( 1 + ( p x p y ) ) x = \frac{I}{p_x(1+(\frac{p_x}{p_y}))} x=px(1+(pypx))I,此时商品x花费的收入份额为 p x x / I = 1 / [ 1 + ( p x / p y ) ] p_xx/I=1/[1+(p_x/p_y)] pxx/I=1/[1+(px/py)]不是常数, p x p_x px越高,x的相对价格越高,它所花费的收入份额就越小。换言之,x的需求对其价格的反应就非常敏感,价格的上升减少了x的总花费。不过收入的变化并不影响消费份额。

    1. 柯布道格拉斯需求函数
      柯布-道格拉斯效用函数的表达式为:
      U ( x , y ) = x α y β ( α + β = 1 ) U(x,y)=x^\alpha y^\beta(\alpha+\beta=1) U(x,y)=xαyβ(α+β=1)
      同样可以利用朗格朗日法来算出需求函数,由于过程重复,在此不做赘述,得到如下的结果:
      { x = α α + β ∗ I p x = α I p x y = β α + β ∗ I p y = β I p y \left\{ \begin{array}{rcl} x = \frac{\alpha}{\alpha+\beta}*\frac{I}{p_x}=\frac{\alpha I}{p_x}\\ y= \frac{\beta}{\alpha+\beta}*\frac{I}{p_y} = \frac{\beta I}{p_y} \end{array} \right. {x=α+βαpxI=pxαIy=α+ββpyI=pyβI
      由此我们得到一个重要的结论,在柯布道格拉斯效用函数情形下,消费者会花费 α / ( α + β ) \alpha/(\alpha+\beta) α/(α+β)比例的收入去购买商品x,用 β / ( α + β ) \beta/(\alpha+\beta) β/(α+β)的比例去购买y。上述的结论是需要背诵的。

    间接效用函数:
    所谓间接效用函数,指的是在预算约束条件下,消费者希望得到的最大效用将会间接地取决于购买商品的价格以及消费者的收入。

    最 大 效 用 = U [ x 1 ∗ ( p 1 , . . . , p n , I ) , x 2 ∗ ( p 1 , . . . , p n , I ) , . . . , x n ∗ ( p 1 , . . . , p n , I ) ] = V ( p 1 , p 2 , . . p n , I ) 最大效用 = U[x_1^*(p_1,...,p_n,I),x_2^*(p_1,...,p_n,I),...,x_n^*(p_1,...,p_n,I)]=V(p_1,p_2,..p_n,I) =U[x1(p1,...,pn,I),x2(p1,...,pn,I),...,xn(p1,...,pn,I)]=V(p1,p2,..pn,I)

    间接效用函数才是更加符合大家的理解的,即效用水平最终还是取决于消费者的收入和所购买的商品的价格。就像人们往往关注的是自己的钱包和物价水平,而不是我消费了多少。

    利用间接效用函数我们可以得到一个非常重要的结论:一次总付原则
    一次总付原则指的是对消费者的一般购买力征税(补贴),比对特定的物品征税(补贴)更好。

    • 从直观上理解,就是对收入税或收入补贴存在时,消费者可以自由决定如何分配他的最终收入。但是,对特定商品征税或补贴,在降低消费者购买力的同时,由于引入了人为的价格,也扭曲了人们的选择。
    • 从图形角度理解:
      在这里插入图片描述
      在这里插入图片描述

    这个图解成立的关键是,无论是对特定商品征税还是对购买力征税,预算约束线都通过了图中的 ( x 1 , y 1 ) 这 个 点 (x_1,y_1)这个点 (x1,y1)

    • 举例说明:
      在这里插入图片描述
      在这里插入图片描述

    在固定比例的情形下,由于消费者的偏好过于刚性,消费税并没有扭曲消费者的选择,所以此时对特定商品征税(补贴)与对购买力征税(补贴)效果是一样的。


    支出函数
    支出函数:消费者的支出函数表明了在一组特定的商品价格条件下,要达到某一既定的效用水平所必需的最小支出,即:
    最 小 支 出 = E ( p 1 , p 2 , . . . , p n , U ) 最小支出=E(p_1,p_2,...,p_n,U) =E(p1,p2,...,pn,U)
    支出函数和间接效用函数是互为反函数关系,都取决于市场价格,但受到的约束缺不同(一个为收入,一个为效用)。

    补偿价格:消费者如何补偿价格变化的,当商品价格变化时,一般都会改变消费者的效用。于是我们会问,消费者应当补偿多少钱才能消除这个影响。在支出函数中,我们把效用视为常数(与后面的补偿性需求曲线结合,留个坑),它为我们估算补偿金额提供了一个直接的方法。

    支出函数具有如下的性质:

    • 齐次性:支出函数是所有价格的“一次齐次函数”。
    • 支出函数关于价格单调不降。
    • 支出函数是价格的凹函数(证明见下图)。
      在这里插入图片描述
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  • 嗜中性 中智数的类和效用函数
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  • 特定偏好的效用函数——CES效用函数

    万次阅读 多人点赞 2020-07-12 23:41:17
    中文第11版教材上关于CES效用函数的形式是如下的表述: U(x,y)={xδδ+yδδ(δ≤1,δ≠0)lnx+lnyδ=0 U(x,y) = \begin{cases} \frac{x^\delta}{\delta}+\frac{y^\delta}{\delta}& (\delta ≤1,\delta≠0)\\ l.

    CES效用函数表达形式
    说明:做单调变化(monotonic transformation)是合理的,因为效用的数值大小是没有意义的,有意义的是相对排序,体现的是序数性质而不是基数性质 见p51~p52

    中文第11版教材上关于CES效用函数的形式是如下的表述:
    U ( x , y ) = { x δ δ + y δ δ ( δ ≤ 1 , δ ≠ 0 ) l n x + l n y δ = 0 U(x,y) = \begin{cases} \frac{x^\delta}{\delta}+\frac{y^\delta}{\delta}& (\delta ≤1,\delta≠0)\\ lnx+lny& \delta=0 \end{cases} U(x,y)={δxδ+δyδlnx+lny(δ1,δ=0)δ=0
    CES效用函数表达形式
    这个负号虽然使得效用变成了一个负数,但是这个式子满足了边际效用为正且递减,且效用随着x和y的增长是增长的(从- ∞ ∞ 到0)。由此看出分母中包含 δ \delta δ是必要的,因为这里控制住了前面所说的符号(即保证了这个式子满足了边际效用为正且递减,且效用随着x和y的增长是增长的(从- ∞ ∞ 到0))。

    有朋友有这样的疑惑,为什么要单独拿分母的 δ \delta δ来说事,说他到底去不去掉的问题,究其原因在于这里式子同时乘以 δ \delta δ也是没问题的,因为这是一个单调变化,保证了序数性质。

    来源:Walter Nicholson /Christopher M. Snyder 《Microeconomic Theory Basic Principles and Extensions 》(2016, Cengage Learning) - libgen.lc


    在尼克尔森的教材中并没有讲清楚为什么这个效用函数叫做不变替代弹性效用函数,我们拆开来看,首先看替代弹性表示什么:
    替代弹性

    图片来源:简书
    (侵删,谢谢)

    那有朋友要问了这里的替代弹性指的是什么?书中说 σ = 1 1 − δ \sigma=\frac{1}{1-\delta} σ=1δ1即为替代弹性。
    在这里插入图片描述
    显然书中在这里并没有讲清楚,下面我们来做如下的推导:
    替代弹性的计算如下:
    σ = d ( Y / X ) d ( M R S x y ) ∗ M R S x y Y / X \sigma = \frac{d(Y/X)}{d(MRS_{xy})}*\frac{MRS_{xy}}{Y/X} σ=d(MRSxy)d(Y/X)Y/XMRSxy
    其中:
    M R S x y = M U X M U Y = ( X Y ) δ − 1 MRS_{xy}=\frac{MU_X}{MU_Y}=(\frac{X}{Y})^{\delta-1} MRSxy=MUYMUX=(YX)δ1
    将其代入有:
    σ = d ( Y / X ) d ( X Y ) δ − 1 ∗ ( X Y ) δ − 1 Y / X = − Y X 2 d X ( δ − 1 ) X δ − 2 ( 1 Y ) δ − 1 d X ∗ ( X Y ) δ − 1 Y / X = 1 1 − δ \sigma = \frac{d(Y/X)}{d(\frac{X}{Y})^{\delta-1}}*\frac{(\frac{X}{Y})^{\delta-1}}{Y/X} = \frac{-\frac{Y}{X^2}dX}{(\delta-1)X^{\delta-2}(\frac{1}{Y})^{\delta-1}dX}*\frac{(\frac{X}{Y})^{\delta-1}}{Y/X}=\frac{1}{1-\delta} σ=d(YX)δ1d(Y/X)Y/X(YX)δ1=(δ1)Xδ2(Y1)δ1dXX2YdXY/X(YX)δ1=1δ1

    这是教辅上给的一个证明过程,不过个人认为这个证明过程中把Y看成常数不尽合理,应该X和Y都看成变量去做,最后的结果是一样的(可能是碰巧一样) d ( Y X ) d(\frac{Y}{X}) d(XY) − Y X 2 d X \frac{-Y}{X^2}dX X2YdX X d Y − Y d X X 2 \frac{XdY-YdX}{X^2} X2XdYYdX还是不一样的

    上述证明我们看出来 σ = 1 1 − δ \sigma = \frac{1}{1-\delta} σ=1δ1,接着谈谈为什么叫不变,很显然,只要 δ \delta δ定了, σ \sigma σ就定了,就不变了。那么为什么引入替代弹性的概念呢?
    因为替代弹性的大小可以判断两种商品之间的替代性,从而可以根据替代弹性的大小数值来判断该函数是属于哪一种,这样就更理解不变替代弹性效用函数和特殊的效用函数之间的相互关系。

    δ \delta δ σ \sigma σ效用函数
    1 ∞ ∞ 完全替代效用函数
    01柯布道格拉斯函数
    ∞ ∞ 0完全互补效用函数

    eg.常替代效用函数 u ( x 1 , x 2 ) = ( α 1 x 1 ρ + α 2 x 2 ρ ) 1 ρ u(x_1,x_2)=(\alpha_1x_1^\rho+\alpha_2x_2^\rho)^{\frac{1}{\rho}} u(x1,x2)=(α1x1ρ+α2x2ρ)ρ1,请证明:
    (1)当 ρ = 1 \rho=1 ρ=1,该效用函数为线性;
    (2)当 ρ → 0 \rho\rightarrow 0 ρ0时,该效用函数趋近于 u ( x ) = x 1 α 1 x 2 α 2 ( α 1 + α 2 ) = 1 u(x)=x_1^{\alpha_1}x_2^{\alpha_2}(\alpha_1+\alpha_2)=1 u(x)=x1α1x2α2(α1+α2)=1;
    (3)当 ρ → − ∞ \rho\rightarrow -∞ ρ时,该效用函数趋近于 u ( x ) = m i n ( x 1 , x 2 ) u(x)=min(x_1,x_2) u(x)=min(x1,x2)
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  • 决策理论与方法——效用函数

    千次阅读 2020-12-09 14:51:20
    效用函数的定义? 效用理论在消费者行为学,管理学,领导学等领域都是核心概念之一。首先说,效用是个主观概念,人是理性与非理性的混合体,所以人在做选择决策的时候,理性与非理性混杂,人很多时候对效用大小的...

    什么是效用?效用函数的定义?

    效用理论在消费者行为学,管理学,领导学等领域都是核心概念之一。首先说,效用是个主观概念,人是理性与非理性的混合体,所以人在做选择决策的时候,理性与非理性混杂,人很多时候对效用大小的感觉是变动的。在公司行为的时候,经过专业人士的计算,效用大小的计算还是比较可靠的;在个人行为决策的时候,人往往不是那么理性计算的很清楚,可靠性就不如公司行为可靠。

    什么是效用

    首先,什么是效用?效用是指一个人能从消费某种商品或者享受某种服务或闲暇等使自己的需求、欲望等得到满足的一个度量。它是主观的。

    效用函数的定义

    效用函数表示消费者在消费中所获得的效用与所消费的商品组合之间数量关系的函数。
    最常用的函数,比如最常见的一个效用函数: u(x)=x,该效用函数意味着某物品的数量 x越多,个体的效用就越高。
    效用函数是从被选集X到实数集R的一个映射:f:X-R,效用背后反映的是偏好。

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  • 拉格朗日函数为 L = ∫ t = 0 ∞ e − ρ t l n C ( t ) L ( t ) H d t + λ ( W − ∫ t = 0 ∞ e − R ( t ) C ( t ) L ( t ) H d t ) \mathcal{L}=\int _{t=0}^{\infty} e^{-\rho t} ln C(t)\frac{L(t)}{H}dt+\...

    最大化问题为
    U = ∫ t = 0 ∞ e − ρ t l n C ( t ) L ( t ) H d t s . t . ∫ t = 0 ∞ e − R ( t ) C ( t ) L ( t ) H d t = W U=\int _{t=0}^{\infty} e^{-\rho t} ln C(t)\frac{L(t)}{H}dt \\\quad\\ s.t. \quad \int_{t=0}^\infty e^{-R(t)}C(t)\frac{L(t)}{H}dt=W U=t=0eρtlnC(t)HL(t)dts.t.t=0eR(t)C(t)HL(t)dt=W
    其中 W = K ( 0 ) H + ∫ t = 0 ∞ A ( t ) w ( t ) L ( t ) H d t W=\frac{K(0)}{H}+\int _{t=0}^\infty A(t)w(t)\frac{L(t)}{H}dt W=HK(0)+t=0A(t)w(t)HL(t)dt
    拉格朗日函数为
    L = ∫ t = 0 ∞ e − ρ t l n C ( t ) L ( t ) H d t + λ ( W − ∫ t = 0 ∞ e − R ( t ) C ( t ) L ( t ) H d t ) \mathcal{L}=\int _{t=0}^{\infty} e^{-\rho t} ln C(t)\frac{L(t)}{H}dt+\lambda(W- \int_{t=0}^\infty e^{-R(t)}C(t)\frac{L(t)}{H}dt) L=t=0eρtlnC(t)HL(t)dt+λ(Wt=0eR(t)C(t)HL(t)dt)
    一阶条件
    ∂ L ∂ C ( t ) = e − ρ t C ( t ) − 1 L ( t ) H − λ e − R ( t ) L ( t ) H = 0 \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial C(t)}=e^{-\rho t} C(t)^{-1}\frac{L(t)}{H}-\lambda e^{-R(t)}\frac{L(t)}{H}=0 C(t)L=eρtC(t)1HL(t)λeR(t)HL(t)=0
    上式可得
    C ( t ) = e R ( t ) − ρ t λ − 1 C(t)=e^{R(t)-\rho t}\lambda^{-1} C(t)=eR(t)ρtλ1
    代入约束式得
    ∫ t = 0 ∞ e − R ( t ) e R ( t ) − ρ t λ − 1 L ( t ) H d t = W \int _{t=0}^\infty e^{-R(t)}e^{R(t)-\rho t}\lambda^{-1}\frac{L(t)}{H}dt=W t=0eR(t)eR(t)ρtλ1HL(t)dt=W
    其中 L ( t ) = e n t L ( 0 ) L(t)=e^{nt}L(0) L(t)=entL(0),则上式为
    λ − 1 L ( 0 ) H ∫ t = 0 ∞ e − ( ρ − n ) t d t = W \lambda^{-1}\frac{L(0)}{H}\int _{t=0}^{\infty}e^{-(\rho -n) t}dt =W λ1HL(0)t=0e(ρn)tdt=W
    只要 ρ − n > 0 \rho -n>0 ρn>0,则积分项收敛为 1 / ( ρ − n ) 1/(\rho -n) 1/(ρn)

    λ − 1 = W L ( 0 ) / H ( ρ − n ) \lambda ^{-1}=\frac{W}{L(0)/H}(\rho -n) λ1=L(0)/HW(ρn)
    那么 C ( t ) = e R ( t ) − ρ t W L ( 0 ) / H ( ρ − n ) C(t)=e^{R(t)-\rho t}\frac{W}{L(0)/H}(\rho -n) C(t)=eR(t)ρtL(0)/HW(ρn)

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  • 祁晓东_有效效用函数和判据.doc
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