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  • 1.1 效用函数 效用函数是一个经济学概念...描述人类决策行为的经济学心理学理论,大多建立在效用函数之上[9]。效用函数随个体而异,不同个体可能赋予同一事物不同的主观价值,正所谓“彼之蜜糖,吾之砒霜”。 21世...

    1.1 效用函数

    效用函数是一个经济学概念,指的是客观事物到主观价值之间的映射关系,最初由数学家Daniel Bernoulli在1738年引入,用于解释人们在风险决策中的不理性倾向[8]。描述人类决策行为的经济学和心理学理论,大多建立在效用函数之上[9]。效用函数随个体而异,不同个体可能赋予同一事物不同的主观价值,正所谓“彼之蜜糖,吾之砒霜”。

    21世纪初,研究者首先在非人灵长类动物的脑中,发现了表征主观价值的神经信号[10]。Padoa-Schioppa和Assad让干渴的猴子在味道和数量不等的两种饮品之间作出选择(例如5滴水对1滴果汁),用心理物理学方法测量出每只猴子对于不同味道饮品的效用函数(例如1滴果汁的主观价值=2.4滴水的主观价值)。他们在猴子的眶额皮层,发现了发放频率随选项的主观价值单调变化的神经元。随后,研究者在人脑中也发现了表征主观价值的神经信号,主要脑区为腹内侧前额叶皮层[11]。

    生物体能够在不同种类的奖赏之间作出权衡。人类自不必说,有人舍生取义,有人见利忘义;甚至猴子也可以为了多看一眼喜欢的图片而少喝一点果汁,或是为了得到更多的果汁去观看不喜欢的图片[12]。这可以理解为,效用函数将世间万物都映射到了同一数轴——主观价值,即不同种类的事物的主观价值是可比的。有研究表明,金钱、食物和饰品等几种不同的奖赏的主观价值都在人类的同一脑区——腹内侧前额叶皮层——得到表征[13]。

    下面将会看到,效用函数不仅适用于实体的奖赏——特定的情绪(如后悔)或社会偏好(如公平),也有相应的效用函数。

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  • 偏好程度可以用效用函数来表示,即某种属性的不同选项对顾客的 价值(效用)。不幸的是,让顾客直接精确地给出每个属性的效用函数一般是困难的, 例如对于价格,一般的顾客当然会说越便宜越好,但很难确定10万元的...

    一般来讲,每种产品(如某种品牌的小汽车)都有不同方面的属性,例如价格、安 全性、外观、保质期等。在设计和销售新产品之前,了解顾客对每种属性的各个选项的 偏好程度非常重要。偏好程度可以用效用函数来表示,即某种属性的不同选项对顾客的 价值(效用)。不幸的是,让顾客直接精确地给出每个属性的效用函数一般是困难的, 例如对于价格,一般的顾客当然会说越便宜越好,但很难确定10万元的价格和15万元 的价格的效用具体是多少。但是,对于具体的产品,产品的各个属性的具体选项配置都 已经确定下来了,所以如果我们把一些具体的产品让顾客进行评估打分,顾客通常能比 较容易地给出具体产品的效用。那么,从这些具体产品的效用信息中,我们能否反过来 估计每个属性中各个选项的效用呢?这种方法通常称为联合分析(conjoint analysis)。下面通过一个例子来说明。

    例11  对某种牌号的小汽车,假设只考虑两种属性:价格和安全气囊。价格分为 12.9万元、9.9万元、7.9万元;安全气囊的配置为两个、一个、没有。经过市场调查, 顾客对该产品的不同配置的偏好程度(效用)如表9所示(表中的值(权重)越大表示 顾客越喜欢)。那么,价格和安全气囊的效用函数如何? 

     (1)模型建立 

    记价格选项分别为H(高),M(中),L(低),对应的效用为 \small p_{j}  (  j= H,M,L);安全气囊选项分别为0,1,2,对应的效用为 \small q_{i} ( i=0,1,2)。我们的目的实际上就是要求出 \small p_{j} 和 \small q_{i} 。 假设价格和安全气囊的效用是线性可加的,即当价格选项为 j 、安全气囊选项为i时,具体产品的效用 \small c\left ( i,j \right ) 应该可以用价格的和安全气囊的效用之和来估计 
                                                \small c\left ( i,j \right ) =p_{j} +q_{i}            (1) 
                     那么,如何比较不同的估计的好坏呢?一种简单的想法是针对6个待定参数 \small p_{j} 和 \small q_{i} 。表中给出了9组数据,因此可以用小二乘法确定 \small p_{j} 和 \small q_{i} 。也就是说,此时的目标为 

                                                          ( 2 )

                    其中 \small c_{0}\left ( i,j \right ) 是表中的数据(安全气囊选项为i、价格选项为 j 时具体产品的效用)。

    因为做效用分析的主要目的是将来用于把不同配置的具体产品的优劣次序排出来,所以另一种方法是希望 \small c\left ( i,j \right ) 和\small c_{0}\left ( i,j \right )保持同样的顺序:即对任意的 \small \left ( i,j \right ) 和 \small \left ( k,l \right ) ,当 \small c_{0}\left ( i,j \right )+1\leqslant c_{0}\left ( k,l \right )时,也尽量有\small c\left ( i,j \right )+1\leqslant c\left ( k,l \right ) (这里“+1”表示 \small c\left ( i,j \right )严格小于 \small c\left ( k,l \right )  ,且至少相差1)。于是,可以考虑如下目标函数  

                                          (3) 
                式中的求和只是对满足\small c_{0}\left ( i,j \right )+1\leqslant c_{0}\left ( k,l \right )  的 \small \left ( i,j \right ) 和 \small \left ( k,l \right )  求和。在LINGO中由于所
    有的变量默认的都为非负变量,程序中式(3 )可以改写为  

                  

      (2)模型求解  

    LINGO程序如下: 

    MODEL: 
    TITLE 产品属性的效用函数; 
    SETS:     
        PRICE/H,M,L/:P;   
        SAFETY/2,1,0/:Q;     
        M(safety,PRICE):CI;     
        MM(M,M)|CI(&1,&2)+1 #LE# CI(&3,&4):ERROR; 
    ENDSETS 
    DATA:    
        CI=7  8  9  3  4  6  1  2  5; 
    ENDDATA 
    @FOR(MM(i,j,k,l):ERROR(i,j,k,l)>1+P(j)+Q(i)-(P(l)+Q(k))); 
    [obj] MIN = @SUM(mm: ERROR); 
    END 

                求解这个模型,得到

                  

                  此时模型的最优值(误差和)为0,所以说明在这个效用函数下,虽然得到的产品 权重(效用)与问题中给出的数据不完全相同,但产品的相对偏好顺序是完全一致的。

     (3)模型的讨论 

    下面我们看看用小二乘法确定 \small p_{j} 和 \small q_{i} 的结果是否与此相同。此时的模型实际上就是一个简单的二次规划模型。LINGO程序为 

    MODEL: 
    TITLE 小二乘法计算产品属性的效用函数; 
    SETS:     
        PRICE/H,M,L/:P;         
        SAFETY/2,1,0/:Q;     
        M(safety,PRICE):CI,ERROR,sort; 
    ENDSETS 
    DATA:     
        CI =7  8  9  3  4  6  1  2  5; 
    ENDDATA 
    @FOR(M(i,j):sort(i,j)=p(j)+q(i);ERROR(i,j)= sort(i,j)-CI(i,j) ); 
    MIN=@SUM(M:@sqr(ERROR)); 
    @FOR(M(i,j): @FREE(ERROR) ); 
    !@FOR(price:@gin(P)); 
    !@FOR(safety:@gin(Q)); 
    END

    上面模型中的sort变量表示的就是按照这里新计算的效用函数得到的不同配置下 的产品的效用。 通过运行LINGO程序,可以看到,此时的效用函数的结果与前面得到的结果不同, 但仔细察看SORT的结果可以发现,不同配置产品之间的相对顺序仍然是保持的。 不过,小二乘法得到的产品的效用是一些带有小数的数,实际中使用不太方便。 如果希望得到整数解,只需要在模型中“END”语句前增加下面两行语句: @FOR(price:@gin(P)); @FOR(safety:@gin(Q)); 求解结果中,SORT(1,M)=SORT(0,L)=4,这两个配置没能分辨出来。

    综合这些讨论,结论还是我们在基本模型中给出的结果比较令人满意。请读者思考 一下:基本模型中并没有要求决策变量取整数,为什么正好是整数?这是偶然的,还是 必然的? 

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  • 1.4 结 论 人脑拥有统一的效用函数系统,不仅能计算实体奖赏的主观价值,也能计算不同的情绪社会偏好相对应的主观价值。这样的价值系统可能是通用人工智能未来需要实现的。 ...

    1.4 结 论

    人脑拥有统一的效用函数系统,不仅能计算实体奖赏的主观价值,也能计算不同的情绪和社会偏好相对应的主观价值。这样的价值系统可能是通用人工智能未来需要实现的。

    image

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  • 在第一个阶段中,个体凭借框架(frame )、参照点(reference point)等内容对数据进行采集处理,在第二个阶段中,依据价值函数(value function)及权重函数(weighting function)来进行决策判...

    1.前景理论
    Kahneman和Tversky提出的前景理论修正了传统决策的期望效用理论,并构建了一种新的决策框架模型。它假设险决策过程由编辑和评价两个阶段构成。在第一个阶段中,个体凭借框架(frame )、参照点(reference point)等内容对数据进行采集和处理,在第二个阶段中,依据价值函数(value function)及权重函数(weighting function)来进行决策和判断,同时分析了收益和损失两种情形下价值函数发生“S形”变化的原因。
    在前景理论中,前景价值是由价值函数和权重函数共同决定的,应首先选择好决策的参照点(下面的式子假设参照点为坐标原点),则有:
    在这里插入图片描述
    2.决策步骤
    首先获取不确定条件下的备选方案和属性等相关信息,接着对不同数据类型的属性值进行规范化处理,将其转化为若干个不同状态条件下的直觉模糊决策矩阵,利用直觉模糊得分函数对决策矩阵进行简化,然后采用灰靶决策方法确立正负靶心,结合平均期望值建立模型的三个参照点矩阵,将直觉模糊决策矩阵的信息分别依据三个参照点进行基于前景理论的信息集结,再利用加权平均算子将三个前景矩阵整合为一个不同属性条件下各备选方案的综合前景价值决策矩阵,接下来利用前景价值最大化的优化模型计算属性权重,随后采用VIKOR或TOPSIS决策方法对备选方案进行排序。
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    3.算例分析
    4个方案、5个属性指标,三种状态(三种市场形势的概率评估为0.2、0.5和0.3)
    在这里插入图片描述
    程序如下:

    clear;clc;
    %实数转化为直觉模糊数
    W1=[0.80
    0.90
    0.95
    0.85]
    W2=[0.90
    0.85
    0.70
    0.80]
    W3=[0.85
    0.90
    0.65
    0.75]
    
    a=0.7;b=0.2;e=0.7;o=0.2;
    [m,n]=size(W1)
    L=1
    %规范化矩阵X后得到R,读者还可以修改R的规范化公式获得其他形式的规范化矩阵
    RL=zeros(m,n);
    RU=zeros(m,n);
    for i=1:m
        for j=1:n
            %根据指标指示值判断是越大越优型指标还是越小越优型指标
            if L(j)==1
               %越大越优型指标的规范化
               RL(i,j)=a*W1(i,j)/max(W1(:,j)); 
               RU(i,j)=b*W1(i,j)/max(W1(:,j)); 
            elseif L(j)==0
                %越小越优型指标的规范化
                RL(i,j)=e*min(W1(:,j))/W1(i,j);   
                RU(i,j)=o*min(W1(:,j))/W1(i,j);  
            else
                RL(i,j)=e*(1-W1(i,j)/max(W1(:,j))); 
                RU(i,j)=o*(1-W1(i,j)/max(W1(:,j)));
            end
        end
    end
    R=[RL RU]
    
    %区间数转化为直觉模糊数
    X1=[0.70,0.75	0.60,0.65
    0.60,0.65	0.50,0.55
    0.80,0.90	0.45,0.50
    0.85,0.90	0.70,0.75]      
    X2=[0.60,0.65	0.50,0.55
    0.75,0.85	0.60,0.75
    0.70,0.75	0.60,0.70
    0.80,0.90	0.70,0.80]
    X3=[0.60,0.70	0.70,0.75
    0.55,0.65	0.45,0.55
    0.55,0.70	0.40,0.60
    0.75,0.85	0.60,0.65]
    X11=[X1(:,1) 1-X1(:,2) X1(:,3) 1-X1(:,4)]
    X21=[X2(:,1) 1-X2(:,2) X2(:,3) 1-X2(:,4)]
    X31=[X3(:,1) 1-X3(:,2) X3(:,3) 1-X3(:,4)]
    
    %语言值转化为直觉模糊数
    linguistic
    
    W1=[MG;VG;EG;G]
    W2=[G;G;MG;VG]
    W3=[EG;MP;G;M]
    
    %步骤2 把上面转化的直觉模糊数组成R1、R2和R3,计算得分函数
    R1=[0.674,0.084	0.400,0.500	0.700,0.250	0.600,0.350	0.650,0.250
    0.758,0.095	0.500,0.300	0.600,0.350	0.500,0.450	0.850,0.100
    0.800,0.100	0.500,0.500	0.800,0.100	0.450,0.500	0.950,0.050
    0.716,0.089	0.600,0.300	0.850,0.100	0.700,0.250	0.750,0.150]
    R2=[0.800,0.100	0.500,0.300	0.600,0.350	0.500,0.450	0.750,0.150
    0.756,0.094	0.600,0.200	0.750,0.150	0.600,0.250	0.750,0.150
    0.622,0.078	0.300,0.600	0.700,0.250	0.600,0.300	0.650,0.250
    0.711,0.089	0.700,0.200	0.800,0.100	0.700,0.200	0.850,0.100]
    R3=[0.756,0.094	0.300,0.500	0.600,0.300	0.700,0.250	0.950,0.050
    0.800,0.100	0.500,0.400	0.550,0.350	0.450,0.450 0.350,0.550
    0.578,0.072	0.400,0.200	0.550,0.300	0.400,0.400	0.750,0.150
    0.667,0.083	0.700,0.300	0.750,0.150	0.600,0.350	0.500,0.400]
    S1=[(R1(:,1)-R1(:,2)) (R1(:,3)-R1(:,4)) (R1(:,5)-R1(:,6)) (R1(:,7)-R1(:,8)) (R1(:,9)-R1(:,10))] 
    S2=[(R2(:,1)-R2(:,2)) (R2(:,3)-R2(:,4)) (R2(:,5)-R2(:,6)) (R2(:,7)-R2(:,8)) (R2(:,9)-R2(:,10))] 
    S3=[(R3(:,1)-R3(:,2)) (R3(:,3)-R3(:,4)) (R3(:,5)-R3(:,6)) (R3(:,7)-R3(:,8)) (R3(:,9)-R3(:,10))] 
    
    pi1=[(R1(:,1)+R1(:,2)) (R1(:,3)+R1(:,4)) (R1(:,5)+R1(:,6)) (R1(:,7)+R1(:,8)) (R1(:,9)+R1(:,10))] 
    pi2=[(R2(:,1)+R2(:,2)) (R2(:,3)+R2(:,4)) (R2(:,5)+R2(:,6)) (R2(:,7)+R2(:,8)) (R2(:,9)+R2(:,10))] 
    pi3=[(R3(:,1)+R3(:,2)) (R3(:,3)+R3(:,4)) (R3(:,5)+R3(:,6)) (R3(:,7)+R3(:,8)) (R3(:,9)+R3(:,10))] 
    
    SS1=S1./(2-pi1) %状态1的得分函数
    SS2=S2./(2-pi2) %状态2的得分函数
    SS3=S3./(2-pi3) %状态3的得分函数
    
    %步骤3 计算R1、R2和R3的正负靶心与期望值
    p1=max(SS1)
    p2=max(SS2)
    p3=max(SS3)
    Mplus=[p1;p2;p3] %正靶心
    
    q1=min(SS1)
    q2=min(SS2)
    q3=min(SS3)
    Minus=[q1;q2;q3]%负靶心
    
    E1=sum(SS1)/4
    E2=sum(SS2)/4
    E3=sum(SS3)/4
    E=[E1 E2 E3]   %期望值
    
    %价值函数相关参数
    alpha=0.88;beta=0.88;theta=2.25;yita=0.61;tao=0.69
    [rows,colms]=size(SS1)
    
    %正靶心的三个状态收益或损失
    V1=zeros(rows,colms);
    V2=zeros(rows,colms);
    V3=zeros(rows,colms);
    for i=1:rows
        for j=1:colms
            V1(i,j)=p1(1,j);
            V2(i,j)=p2(1,j);
            V3(i,j)=p3(1,j);
        end
    end
    V1
    V2
    V3
    VV10=SS1-V1   %状态1相对于正靶心的收益或损失
    VV20=SS2-V2   %状态2相对于正靶心的收益或损失
    VV30=SS3-V3   %状态3相对于正靶心的收益或损失
    
    %负靶心的三个状态收益或损失
    V1=zeros(rows,colms);
    V2=zeros(rows,colms);
    V3=zeros(rows,colms);
    for i=1:rows
        for j=1:colms
            V1(i,j)=q1(1,j);
            V2(i,j)=q2(1,j);
            V3(i,j)=q3(1,j);
        end
    end
    V1
    V2
    V3
    VV10=SS1-V1   %状态1相对于负靶心的收益或损失
    VV20=SS2-V2   %状态2相对于负靶心的收益或损失
    VV30=SS3-V3   %状态3相对于负靶心的收益或损失
    
    %期望值的三个状态收益或损失
    V1=zeros(rows,colms);
    V2=zeros(rows,colms);
    V3=zeros(rows,colms);
    for i=1:rows
        for j=1:colms
            V1(i,j)=E1(1,j);
            V2(i,j)=E2(1,j);
            V3(i,j)=E3(1,j);
        end
    end
    V1
    V2
    V3
    VV10=SS1-V1   %状态1相对于期望值的收益或损失
    VV20=SS2-V2   %状态2相对于期望值的收益或损失
    VV30=SS3-V3   %状态3相对于期望值的收益或损失
    
    %三个状态的价值函数,公式(7)
    VVV10=zeros(rows,colms);
    VVV20=zeros(rows,colms);
    VVV30=zeros(rows,colms);
    for i=1:rows
        for j=1:colms
            if VV10(i,j)>=0
                VVV10(i,j)=(VV10(i,j))^alpha;
            elseif VV10(i,j)<0
                VVV10(i,j)=-theta*(-VV10(i,j))^beta;      
            end   
          end
    end
    
    for i=1:rows
        for j=1:colms
            if VV20(i,j)>=0
                VVV20(i,j)=(VV20(i,j))^alpha;
            elseif VV20(i,j)<0
                VVV20(i,j)=-theta*(-VV20(i,j))^beta;     
            end   
          end
    end
    for i=1:rows
        for j=1:colms
            if VV30(i,j)>=0
                VVV30(i,j)=(VV30(i,j))^alpha;
            elseif VV30(i,j)<0
                VVV30(i,j)=-theta*(-VV30(i,j))^beta;       
            end   
          end
    end
    VVV10
    VVV20
    VVV30
    
    %计算决策权重函数
    wz=zeros(1,3);
    wf=zeros(1,3);
    w=[0.2 0.5 0.3]
    for j=1:3
        wz(1,j)=w(1,j)^yita/(w(1,j)^yita+(1-w(1,j))^yita)^(1/yita); %面临收益时的前景权重
        wf(1,j)=w(1,j)^tao/(w(1,j)^tao+(1-w(1,j))^tao)^(1/tao); %面临损失时的前景权重
    end
    wz
    wf
    
    for i=1:rows
        for j=1:colms
            if VVV10(i,j)>=0 
               Vh1(i,j)=wz(1,1).*VVV10(i,j)
            elseif VVV10(i,j)<0 
               Vh1(i,j)=wf(1,1).*VVV10(i,j)
            end   
          end
    end
    
    for i=1:rows
        for j=1:colms
            if VVV20(i,j)>=0
               Vh2(i,j)=wz(1,2).*VVV20(i,j)
            elseif VVV20(i,j)<0
               Vh2(i,j)=wf(1,2).*VVV20(i,j)
            end   
          end
    end
    
    for i=1:rows
        for j=1:colms
            if VVV30(i,j)>=0
               Vh3(i,j)=wz(1,3).*VVV30(i,j)
            elseif VVV30(i,j)<0
               Vh3(i,j)=wf(1,3).*VVV30(i,j)
            end   
          end
    end
    
    %前景价值
    h1=Vh1+Vh2+Vh3
    
    h2=Vh1+Vh2+Vh3
    h3=Vh1+Vh2+Vh3
    
    H=0.3.*h1+0.4.*h2+0.3*h3  %三参数前景价值的加权集结
    
    f=sum(H)
    w=sum(H)./sum(sum(H))   %权重
    
    %可以根据前景综合值H和权重w,选择TOPSIS或VIKOR方法进行决策,具体决策步骤可以参考其他博文。
    

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    2010-11-24 17:27:50
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价值函数和效用函数