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  • 仿射变换和透视变换和图像坐标系、相机坐标系和世界坐标系的定义开篇仿射变换透视变换图像坐标系、相机坐标系和世界坐标系三维的点投影在二维平面上坐标系和坐标变换公式合体Zhang方法 开篇 本文主要介绍计算机视觉...

    开篇

    本文主要介绍计算机视觉的位姿估计,相机标定原理,和zhang方法求解内外相机参数。

    仿射变换

    这个是一般的仿射变换的公式。

    为了能够更好的理解它,我们首先来看看下面几幅图:

    在这里插入图片描述
    上面的x和y分别代表像素的坐标,然后x0,y0代表的是平移量。然后生成了新的位置u和v。然后旋转也是一样的。首先这个旋转一定要在原点,所以一般opencv的第一步就是把这个图像的中心放到原点。最终在平移回去
    在这里插入图片描述

    上面这个是缩放的公式,都是大同小异,一样的到底。把x放大Sx倍,把y放大Sy倍。那么现在再来看看咱们上面的那仿射变换的公式。
    在这里插入图片描述
    其中A中的对角线决定 缩放,反对角线决定 旋转 或 错切。
    这就好比缩放的公式乘以了旋转的公式加上了平移的变化。
    这里有一点要注意的就是多边形的图片不能用仿射变换,因为会导致四边形的边消失,可以看看这个:https://www.zhihu.com/question/20666664/answer/15790507
    (个人认为是在Shear的过程中,多边形可能会在某个值重合成一条线,这里我也不太明白,有大牛可以告知一下)
    这里一般来说,opencv中的实现需要咱们提供至少6个点,其中三个点是输入,后三个是输出。

    透视变换

    先上一张图,其实我觉得透视变换就是仿射变换的升级版。
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    在这里插入图片描述
    透视变换就是从左图转换到了右图。相信也很容易理解。相当于换了个视角来看事物。如下图:
    在这里插入图片描述
    下面来看看公式:
    在这里插入图片描述
    opencv的实现和仿射变换差不多,不过这个是需要至少4个点集才能进行。就比如上面那个公路的图,首先自己要决定点在哪里,这个图的话肯定选择的是白线上的点,得到坐标之后,如果想变成一个类似于长方形的(就是右图)的图像的话,这里的点的坐标也是需要自己决定的,如果想要使刚刚左图中选择的点成为一些比如平行等关系,需要自己合理安排一下,然后套到公式里面进行暴力求解,求得这9个值。

    图像坐标系、相机坐标系和世界坐标系

    图像左边西和相机坐标系和时间坐标系都是可以用过线性变化来互相转化的。先看看这幅图:
    在这里插入图片描述
    图中壶的位置是图像坐标系,也可以说是物体坐标系,两个相机有两个不同的相机坐标系,然后相机和物体存在的这个房间或者什么地方可以被叫做世界坐标系。
    怎么样才能从一个坐标系变换到另外一个坐标系呢?
    首先来看看坐标系是如何旋转的。
    在这里插入图片描述
    同理,上图是绕Z轴旋转的示意图,当然也可以绕x或y轴旋转。
    在这里插入图片描述
    那么从一个坐标系可以通过各种旋转加平移变成另外一个坐标系。通过上面的等式,我们可以看到物体点P通过旋转位移便可以得到在相机坐标系的坐标

    三维的点投影在二维平面上

    这个说白了就是一个小孔成像模型,摄像机通过小孔,把成像映射在平面的点上。
    在这里插入图片描述
    对应的公式就是上面图右下角的公式,便可以得到对应的二维平面坐标

    坐标系和坐标变换

    在这里插入图片描述
    首先,图像坐标系和像素坐标系都是二维的。只不过他们的度量单位和原点不同而已。像素坐标系是以每个像素为基本单位,就好比说咱们一副3*3的图像一共有9个像素一个道理。但图像坐标系的单位是mm,dx,dy分别代表的是一个像素点的长和宽,单位是mm。

    公式合体

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    其中,在这里插入图片描述算是外参矩阵,后面的RT矩阵是内参矩阵。看下图
    在这里插入图片描述
    很明显我们最后有了12个未知数,然后每一个点可以为我们带来二个式子。
    在这里插入图片描述
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    所以现在就是解方程了,只要有6个点切非共面(如果不满足这个的话求出来的解不满足正交矩阵,咱们的R旋转矩阵一定是正交矩阵),变可以得出内参和外参。
    需要注意的是这里的求出来的解是内参加外参的一个矩阵。所以这里需要QR分解出来R。具体的求解方法可以看看opencv solvePnp函数。
    还有就是这个内参数:
    现以NiKon D700相机为例,焦距 f = 35mm 最高分辨率:4256×2832 传感器尺寸:36.0×23.9 mm
    根据以上定义可以有:
    u0= 4256/2 = 2128 v0= 2832/2 = 1416 dx = 36.0/4256 dy = 23.9/2832
    fx = f/dx = 4137.8 fy = f/dy = 4147.3
    分辨率可以从显示分辨率与图像分辨率两个方向来分类。
    [1]显示分辨率(屏幕分辨率)是屏幕图像的精密度,是指显示器所能显示的像素有多少。由于屏幕上的点、线和面都是由像素组成的,显示器可显示的像素越多,画面就越精细,同样的屏幕区域内能显示的信息也越多,所以分辨率是个非常重要的性能指标之一。可以把整个图像想象成是一个大型的棋盘,而分辨率的表示方式就是所有经线和纬线交叉点的数目。显示分辨率一定的情况下,显示屏越小图像越清晰,反之,显示屏大小固定时,显示分辨率越高图像越清晰。
    [2]图像分辨率则是单位英寸中所包含的像素点数,其定义更趋近于分辨率本身的定义。

    Zhang方法

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    需要小心的是,当我们使用真实的数据求解时,将计算得到的r向量放在一起(R=(r1,r2,r3)),我们并不能得到精确的旋转矩阵R,使得R为正交阵。

    为了解决这个问题,我们常使用强制的方法,即对R进行奇异值分解,R=UDVT,U,V为正交阵,D为对角阵,如果R是正交阵,那么奇异值分解后的对角阵D是单位阵,那么我们将单位阵I代替对角阵D,进而重构出满足正交条件的R.

    奇异值分解的含义: https://www.cnblogs.com/endlesscoding/p/10033527.html
    从上面的图片的压缩结果中可以看出来,奇异值可以被看作成一个矩阵的代表值,或者说,奇异值能够代表这个矩阵的信息。当奇异值越大时,它代表的信息越多。因此,我们取前面若干个最大的奇异值,就可以基本上还原出数据本身。
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    我对这个的理解就是咱们一般用的照相机之类的拍照都会有一定的误差,而这个误差就出现在透镜的凸凹的状况。一般我们用一个相机拍摄一个三维的东西,咱们会有物体真实的角点,和图片上的角点,然后用这些先计算一遍,不考虑畸变的外参数和内参数。然后在通过一个叫做Brown的方法来计算畸变参数。然后我们就可以用这些参数去估计坐标系旋转。

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  • 点击蓝字了解更多精彩//////////////////////不同于我们中学时代爱恨交加直角坐标系,仿射坐标系是一种更为基础、更为本质坐标系形式(我们也可以将直角坐标系看作一类特殊的仿射坐标系)。仿射坐标系不要求其坐标...

    仿射变换定义等价性的讨论

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    仿射变换的真面目,到底是什么?

    点击蓝字

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    了解更多精彩

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    不同于我们中学时代爱恨交加的直角坐标系,仿射坐标系是一种更为基础、更为本质的坐标系形式(我们也可以将直角坐标系看作一类特殊的仿射坐标系)。仿射坐标系不要求其坐标轴之间满足相互垂直的性质,只需其不共面,这也使得仿射坐标系中的向量运算较直角坐标系会稍微有亿点复杂。而仿射变换,是联结一个空间中多个仿射坐标系的重要纽带,在众多学科中有广泛应用。因此,了解仿射变换的诸多等价定义,是我们应用仿射变换理论的基础。

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    01

    仿射变换的两个等价定义

    在二维欧氏空间E^2及三维欧氏空间E^3中的仿射变换有两个常见的定义,

    定义1:

    E^3的点变换σ可逆且保持点组的共面关系不变. 

    E^2的点变换σ可逆且保持点组的共线关系不变.

    定义2:

    E^3的点变换σ为满射且把任意平面映射成平面.

    E^2的点变换σ为满射且把任意直线映射成直线. 

    怀着严(mei)(shi)(zhao)(shi)的态度,我们可以尝试验证一下这两个定义的等价性。在定义未阐明几何直观与代数原理的关联之基础下,使用代数工具来解决问题是不可行的。因此,回归几何直观本身是我们理解等价性的重要方法论。由于二维空间与三维空间的定义具有相似性质(发量不够),本次仅尝试验证二维欧氏空间中仿射变换定义的等价性。

    02

    由定义1验证定义2

    由E^2的点变换σ可逆,点变换满射的性质显然成立。因此我们只需要证明空间中任意直线经过仿射变换后映射的像为一条直线。不妨假设存在直线l使得σ(l)=P(P为E^2中一个点),对于直线l上两点A,B及直线l外一点C,易知点A,B,C不共线。由于σ(A)=σ(B)=P,则经过仿射变换的象σ(A),σ(B),σ(C)共线,这与定义一中点组的共线关系相矛盾。因此任意直线经过仿射变换映射到一条直线上。由此,我们完成了定义一到定义二的验证

    03

    由定义2验证定义1

    我们引入直线族的想法,通过反证法尝试证明。对仿射变换f有,假设在该变换下点组的共线关系不保持,即E^2中存在不共线的三点A、B、C,有f(A),f(B),f(C)共线。构造直线族l1、l2、l3,由于在仿射变换下,点与线的结合关系保持不变,因此有如下关系: 

    f(A2)∈lf(A)f(C);

    f(A1)∈lf(B)f(C);

     lf(A)f(C)⊆lf(A)f(B);

      lf(B)f(C)⊆lf(A)f(B). 

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    由此,f(A2),f(A1)∈lf(A)f(B)。结合此前点组共线关系保持的性质,l2上任意一点经仿射变换后得到的象都在lf(A)f(B) 上。由于直线族上的直线l1,l2,l3仅存在相互平行的关系,l2及其上面的点的具体位置没有确切要求,这表明直线族中任意直线(即与l1,l3平行的直线及其上面的点)皆满足这一性质,即f(l)⊆lf(A)f(B) (l∥l1)。

    因此,我们进一步得到了等价结论:f(E^2)⊆lf(A)f(B),即空间中任一点经过仿射变换后都映射到直线lf(A)f(B) 上。

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    故此,对仿射变换f:E^2→E^2有,对通过映射得到的空间而言,存在着点P∈E^2⋀P∉lf(A)f(B),使得该点在原二维欧氏空间中找不到原象,这与仿射变换f满射的性质相矛盾。因此,我们证明了二维欧氏空间E^2在仿射变换下,点组的共线关系是能够保持的。最后,我们利用反证法简单证明仿射变换可逆的性质。

    由于映射可逆⟺映射是双射⟺映射既是单射又是满射,我们只需在已知仿射变换为满射的基础上证明仿射变换是单射即刻完成其可逆的证明。不妨假设在E^2中存在两个不同的点A、B,满足f(A)=f(B)。我们取另一点C,从而构造一组相交直线lAC与lBC。我们能够看出f(A),f(B),f(C)三点共线,这与我们此前证得的保持点组共线关系相矛盾。因此,假设错误,仿射变换f必然为可逆映射。这样,我们完成了对仿射变换的两个定义的等价性的初步证明。

    此处等价性的证明,除了使用映射,线性变换性质以及基本的几何原理外,也引用了梅向明教授所著的高等几何中论述的仿射几何公理体系,这是一切证明的出发点。因此,该证明是否为一种合理的验证方式依然有待进一步检验,这需要我们在后续讨论中继续献祭我们的发际线。

    向理论开拓者致敬!

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  • 齐次坐标系(Homogeneous Coordinate) 定义: 所谓线性变换是指两个线性空间映射,一个变换是线性变换,必须满足两个条件,也就是我们经常说线性条件: additivity homogeneity 理解: 在《3D数学基础:...

    仿射变换(Affine Transformation)

    齐次坐标系(Homogeneous Coordinate)

    定义:

    所谓线性变换是指两个线性空间的映射,一个变换\mathcal{L}:\mathcal{A}\to\mathcal{B}是线性变换,必须满足两个条件,也就是我们经常说的线性条件:

    L(u+v)=L(u)+L(v)      additivity

    L({\alpha}u)={alpha}L(u)      homogeneity

    理解:

    在《3D数学基础:图形与游戏开发》》9.4.2中说到4x4平移矩阵,因为3x3矩阵平移并不能用

    乘法表示,也就是说,我们矢量来表示空间中一个点:

    r = {rx,ry,rz}

    而平移的矢量为

    t = {tx,ty,tz}

    那么一般化做法是:

    r + t = {rx+tx, ry+ty, rz+tz}

    所谓不能用乘法表示就是:

    r + t = r · x(x 表示未知)

    就是x是无解的

    所以表示的是线性变换,不包含平移

    那么这样就需要增加一个维度,就是4维度的

    也就是说在4D空间中,乘法仍然不能表示4D的平移,4D零向量总是变化成零向量,我们增加一个维度后,就是切变4D空间,3D空间平面不经过4D原点,就可以使用

    4D切变表示3D平移

    4x4的意义:

    在计算机图形学中,坐标转换通常不是单一的,一个几何体在每一帧可能都设计了多个平移,旋转,缩放等变化,

    这些变化我们通常使用串接各个子变化矩阵的方式得到一个最终变化矩阵,从而减少计算量

    仿射变换后不改变点的共线/共面性,而且还保持比例

    如果我们要变换一个三角形,只需要对三个定点v1,v2,v3进行变换T就可以了,对于原先边v1v2上的点,变换后一定还在边后T(v1)T(v2)上。

    转载于:https://www.cnblogs.com/W-Heisenberg/p/4634661.html

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  • 仿射变换

    2019-11-14 00:30:47
    仿射变换矩阵表示坐标系变换 什么是仿射变换? 仿射变换定义为一个线性变换加上平移变换。即: g(v⃗)=f(v⃗)+b⃗ g(\vec v) = f(\vec v) + \vec b g(v)=f(v)+b 仿射变换矩阵表示 g(v⃗)=[x,y,z]⋅[f(i⃗)f(j⃗)...

    什么是仿射变换?

    仿射变换定义为一个线性变换加上平移变换。即:
    g(v)=f(v)+b g(\vec v) = f(\vec v) + \vec b

    仿射变换的矩阵表示

    g(v)=[x,y,z][f(i)f(j)f(k)]+b g(\vec v) = [x, y, z] \cdot \begin{bmatrix} f(\vec i) \\ f(\vec j) \\ f(\vec k) \end{bmatrix} + \vec b

    这里,我们要对向量v=(x,y,z)\vec v = (x, y, z)转换为齐次坐标(x,y,z,w)(x,y,z,w),同样变换后的g(v)=(x,y,z,w)g(\vec v) = (x', y', z', w)也是齐次坐标。从而有:
    g(v)=[x,y,z,w][f(i)0f(j)0f(k)000]+[x,y,z,w][000000b1]=[x,y,z,w][f(i)0f(j)0f(k)0b1] \begin{aligned} g(\vec v) &= [x, y, z, w] \cdot \begin{bmatrix} f(\vec i) & 0 \\ f(\vec j) & 0 \\ f(\vec k) & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} + [x, y, z, w] \cdot \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ \vec b & 1 \end{bmatrix} \\ &= [x, y, z, w] \cdot \begin{bmatrix} f(\vec i) & 0 \\ f(\vec j) & 0 \\ f(\vec k) & 0 \\ \vec b & 1 \end{bmatrix} \end{aligned}
    对于向量而言,ww分量为0,因为平移对向量不起作用,对于点而言,ww分量为1。

    坐标系变换

    在实际运用中经常遇到一个向量或者一个点在不同坐标系下的坐标表示。先来看看向量的情形:

    对于向量v\vec v,它在坐标系AA下的坐标为(x,y,z)(x, y, z),求在坐标系BB下的坐标(x,y,z)(x', y', z')

    实际上,无论坐标系如何变化,向量自身是不变的,那么我们有:
    v=xiB+yjB+zkB=xiA+yjA+zkA \vec v = x'\vec i_B + y'\vec j_B + z'\vec k_B = x\vec i_A + y\vec j_A + z\vec k_A
    写成矩阵形式:
    [x,y,z]=[x,y,z][iAjAkA] [x',y',z'] = [x,y,z] \cdot \begin{bmatrix} \vec i_A \\ \vec j_A \\ \vec k_A \end{bmatrix}
    其中,iAjAkA\vec i_A,\vec j_A,\vec k_A是坐标系AA的基向量在坐标系BB的表示。类似地,反过来也可以得到:
    [x,y,z]=[x,y,z][iBjBkB] [x,y,z] = [x',y',z'] \cdot \begin{bmatrix} \vec i_B \\ \vec j_B \\ \vec k_B \end{bmatrix}
    其中,iBjBkB\vec i_B,\vec j_B,\vec k_B是坐标系BB的基向量在坐标系AA的表示。这里,可以发现一个有趣的现象:坐标系AA的基向量在坐标系BB的矩阵表示乘以坐标系BB的基向量在坐标系AA的矩阵表示得到的是单位矩阵。即:
    [iAjAkA][iBjBkB]=I \begin{bmatrix} \vec i_A \\ \vec j_A \\ \vec k_A \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} \vec i_B \\ \vec j_B \\ \vec k_B \end{bmatrix} = I
    我们可以用三角函数的方法去证明它。

    然后我们来看看点的情形。对于点p\vec p,它在坐标系AA下的坐标为(x,y,z)(x, y, z),求在坐标系BB下的坐标(x,y,z)(x', y', z')。容易知道结果是类似的:
    p=xiB+yjB+zkB+oB=xiA+yjA+zkA+oA \vec p = x'\vec i_B + y'\vec j_B + z'\vec k_B + \vec o_B = x\vec i_A + y\vec j_A + z\vec k_A + \vec o_A
    其中oo为坐标系的原点坐标。写成矩阵形式:
    [x,y,z,1]=[x,y,z,1][iA0jA0kA0oA1] [x',y',z', 1] = [x,y,z, 1] \cdot \begin{bmatrix} \vec i_A & 0 \\ \vec j_A & 0 \\ \vec k_A & 0 \\ \vec o_A & 1 \end{bmatrix}
    其中,iAjAkA,oA\vec i_A,\vec j_A,\vec k_A, \vec o_A是坐标系AA的基向量和原点在坐标系BB的表示。

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空空如也

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仿射坐标系的定义