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  • 一维投影几何,无穷线仿射定理,恢复仿射属性,利用长度比例求灭点

    1. 一维投影几何


    在一维空间P1中,直线上的点x的齐次坐标为x = (x1x2)T,当 x= 0 时为理想点。在这条直线上的点的投影变换为

    x' =H2×2x

    其中投影矩阵H2×2有3个自由度,可由3个匹配点对确定。1维投影具有对互比例(cross ratio)的不变性。定义4个点xi的互比例为:

          ,其中      

    关于互比例,有如下结论:

    (1) 互比例不依赖于点 x的任何一种齐次表示。

    (2) 对于有限点 x,若它的齐次表示中 x= 1,则 |xixj| 代表两点之间的有符号距离。

    (3) 如果一点 x是理想点,则互比例的定义依然有效。

    (4) 互比例对投影变换具有不变性,即,如果x' = H2×2x,则Cross(x1'x2'x3', x4'= Cross(x1x2 ,x3x4)。


    并发线(Concurrent lines)相交于一点的多条直线,是共线点的对偶。4条并发线 l与直线 相交于4个点 x,这4条并发线的互比例就是4个点 x的互比例Cross(x1x2 , x3x4),它不变于直线 l 的位置。从投影的观点来看,这4个交点相当于4个共面点 x1x2x3x在直线 l 上的中心投影,这个投影将空间P2上的点投影到空间P1。这4个投影点的互比例,也就是4条并发线的互比例,与直线 l 的位置无关,或者说不变于投影变换。

    如果将上图中的投影中心c 看做摄像机中心,则直线相当于成像直线(类似于成像平面),四个像点的互比例代表成像配置。成像直线的位置与4个像点的成像配置是无关的,对于任何成像直线,得到的都是相同的成像配置(互比例)

    学习并发线的投影几何,对于理解极线的投影几何非常重要。

    2. 无穷线在仿射变换中的性质

    定理(无穷线仿射定理):无穷线 l的投影变换 H 还是它本身,当且仅当 H 是仿射变换。

    证明:

    反之,设一个无穷点(x1,x2, 0)T,经过变换后仍被映射成为一个无穷点,则必有h31 =h32 = 0,这一定是仿射变换。

    证毕。

    无穷线 l∞ 上的一个点经仿射后一定仍然落在 l∞ 上,但却并不一定是该点本身,除非 A(x1x2)T = k(x1x2)T 。

    3. 恢复仿射属性

    如果要消除一幅透视图像中的投影畸变,需要指定平面中4个参考点的位置,以求得投影变换矩阵 H (8 dof)。然而,考虑到投影变换可分解为相似性变换HS (4 dof)、仿射变换H(2 dof)和投影变换HP (2 dof)的级联,即H = HSHAHP,因此实际上不需要求得完整的投影变换矩阵 H,而只需计 HA  HP 就足够恢复对象的形状了。

    如果不需要消除所有的投影畸变,而只要求进行仿射属性 (平行,面积比例) 的测量,则只需计算  H P   就够了,这就是仿射校正。如下图,进行仿射校正之后的图像保持了对象的仿射属性。




    从无穷线仿射定理可知,恢复 l∞ 就可以恢复仿射属性。一种简单的方法是:

      (1) 先在投影图像中寻找一条无穷线的投影 (l1l2l3)T ,即灭线;

      (2) 求出能将其变换到归一化无穷线 l= (0, 0, 1)T的投影矩阵H,即 l∞ H-T 

      (3) 然后用 H 对投影图像进行点变换;

      (4) 在得到的校正图像上可以直接进行仿射属性的测量。

    其中要求的投影矩阵 H 具有如下形式:


    其中寻找灭线的方法是在投影图像中先求出灭点,然后两个灭点连成一条灭线。

    求灭点的方法一:在投影图像中求两条平行线的投影直线的交点。

    求灭线的方法二:在投影图像中利用三个共线点之间的长度比例求灭点。

    4. 利用长度比例求灭点

    设在世界坐标上有三个共线点x, y, z, 已知它们之间的长度比例为d(x,y):d(y,z) =a:b,则:

      (1) 它们在投影图像中仍是三个共线点x', y', z',其长度比例为d(x',y'):d(y',z') =a':b'。

      (2) 将点x, y, z表示为 1 维坐标的齐次形式,分别为(0, 1)T, (a, 1)T,(a+b, 1)T

      (3)将点x', y', z'表示为 1 维坐标的齐次形式,分别为(0, 1)T, (a', 1)T(a'+b', 1)T

      (4) 求 1 维投影变换H2×2,使得

     [(0, 1)T, (a', 1)T(a'+b', 1)T] = H2×2 [(0, 1)T, (a, 1)T(a+b, 1)T]

           求解上式,首先将其改写为非齐次方程,然后可分别求得H2×2各项。

      (5) 对理想点(1, 0)T进行 1 维投影变换得到 1 维坐标系下的灭点,等于H2×2(1, 0)T



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  • 研究了一类具有仿射扰动性的混合单调算子,证明了不动点的存在性和唯一性,并将其应用到非线性积分方程中.
  • 前言:摘抄自wiki的关于仿射变换的定义:仿射变换,又称仿射映射,是指在几何中,一个向量空间进行一次线性变换并接上一个平移,变换为另一个向量空间。一个对向量平移,与旋转放大缩小的仿射映射为 【1】1、移位...

    前言:

    摘抄自wiki的关于仿射变换的定义:

    仿射变换,又称仿射映射,是指在几何中,一个向量空间进行一次线性变换并接上一个平移,变换为另一个向量空间。

    一个对向量

    5477045e11b8e82fa297bdeb80a2dc03.png 平移

    3db47830111c224c9a7ee7a59a92529e.png,与旋转放大缩小

    7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png 的仿射映射为

    d62f058e830c31d7875bc3e56f28e0d4.png 

    【1】

    1、移位加密:

    比方说:把字母表全部向右循环移1位,也就是A变成B,B变成C,... ,

    Z变成A。

    用数学一点的术语我觉得所谓“移位”就是映射吧。

    那么我们可以写出通解公式,——现在是已知明文和加密步骤,进行加密,也就是求密文。

    New = (Old + k) (mod table)

    【2】

    注释:

    New:要求的密文

    Old  :明文

    k :移位的位数

    table:这张表有多大,比方说字母表就是26个字母,table就是26.

    2、仿射变换:

    移位加密和仿射变换有啥关系呢?

    额 ,因为移位加密就是一种放射变换。。。

    首先我们在1里面的变量命名现在改一下,以便更好地认识,变成:

    y

    = (x + b)(mod m) 【3】

    是不是和【1】很像啦,可惜我们的x没有系数。。

    但是没关系,我们完全可以自己加上一个系数,把【3】变成:

    y

    = (ax + b)(mod m)   a,b为整数; 【4】

    这样已经很像了,只不过【1】里面的自变量是向量。

    但是,我们这里讨论的是一维的变换,所以不用用到2维及其以上的向量。(一维数字标记的向量就是普通的数嘛……)

    3、知道了1、2这些,我们现在的目标就是——

    "当知道一个一维的仿射变换的加密,

    a. 怎么把明文加密

    b.

    怎么把密文解密 "

    对于"a.

    怎么把明文加密",我们已经解决了,就是【4】那个公式。

    对于"b.

    怎么把密文解密"嘛,其实也不复杂。待我不快不慢地说来。

    首先由【4】我们可以得到什么?

    没错!就是 y

    ≡ (ax + b)(mod m) —— 这是明显的事实不用证明了。

    然后正视一下题目是什么:我们现在已知a,b,y,m,要求x。

    1). 左右移位一下 ,变为y-b

    ≡ (ax)(mod m) 【5】

    {为啥【5】是对的?

    首先同余式可以相加,

    即 若 a ≡ b (mod m),c ≡ d (mod m), 【*】

    那么(a +

    c) ≡ (b + d)(mod m) .

    ——同余式可以相加的证明用同余的定义就好……

    然后  y ≡ (ax +

    b)(mod m)

    -b ≡ -b (mod

    m)

    所以……

    }

    2). 已知y-b

    ≡ (ax)(mod m),x未知,求x.

    现在已知ax ≡(y-b) (mod

    m);

    {首先我们要知道 同余式可以相乘,若【*】,则 ac

    ≡ bd (mod m) .证明同样可以基于同余定义。}

    这时候我们就脑补了,如果有一个c能使得

    cax ≡ x ≡ c(y-b) (mod m)就好了!

    也就是说这个c如果能使得ca = 1或者 更宽一点的:ca ≡ 1(mod

    m).那么就解决了!

    3). 于是问题变成了:找一个c使得,ca ≡ 1(mod

    m)

    于是很容易联系到费马小定理、欧拉定理一类的。

    但是费马小定理要求m一定要是素数,这样和我们题目不符。

    所以看看欧拉定理,对 gcd(a,m) =

    1(m>1),有aΦ(m)≡ 1 (mod m)

    {Φ(m) 为欧拉函数,就是小于等于m的与m互素的正整数个数。如Φ(2) = 1

    ,Φ(6) = 2——6与{1,5}互素。}

    所以如果ca

    = aΦ(m),那么就有ca ≡ 1(mod m)。

    于是c

    = aΦ(m)-1. 但是gcd(a,m) = 1,这一点不能漏。

    4、综上,我们发现了,当c

    = aΦ(m)-1时 ;

    cax ≡c(y-b) (mod m)

    化为 x ≡c(y-b) (mod m) {现在要附加gcd(a,m)=1这个条件了!}

    5、那么对于仿射变换,

    我们知道变化规则[即位移b]后,如何把密文[y]翻译成明文[x]呢?

    结论是:

    step

    1.  求 c

    = aΦ(m)-1

    step 2.  x ≡c(y-b) (mod m)

    番外小剧场:

    窝:你在2里面为啥要改名字?该问题纯属好奇!

    big窝:此中原因有2——

    1. 如文中所说,为了更直观地比较。

    2.

    也是最根本的原因——变量命名如此之平凡,根本不是我的feel!OK?

    窝:......

    窝:第二个问题——你怎么知道同余式符合相加相乘原理?你怎么想到的?

    big窝:

    首先"同余式符合相加相乘原理"这个结论在数论里就像是实数有相加相乘的运算一样自然,如果想不到那么你需要找一本数论的书看看,不需要看完这就足以变成你的常识。至于怎么想到的,如果给你一堆数,你能想到的最基本的运算就是做加减乘除了吧?

    窝:恩……好像是的……

    big窝:那不就得了,说了同余式符合相加相乘原理是同余式的基本运算。

    窝:……哦……

    原文:http://www.cnblogs.com/PeanutPrince/p/3543723.html

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  • 仿射函数

    万次阅读 2016-12-14 21:18:11
    1.仿射函数和线性函数的区别: 简单来说仿射变换就是线性变化加上一个平移。知乎上看到的一个很好的解释:搬--- 作者:Cascade 链接:https://www.zhihu.com/question/20666664/answer/15790507 来源:知乎 ...

    知识点补漏:

    1.仿射函数和线性函数的区别:

    简单来说仿射变换就是线性变化加上一个平移。知乎上看到的一个很好的解释:搬---

    作者:Cascade
    链接:https://www.zhihu.com/question/20666664/answer/15790507
    来源:知乎
    著作权归作者所有,转载请联系作者获得授权。

    以下内容仅涉及图形变换,未考虑更为抽象的概念。
    为了方便起见,以下叙述均采用平面直角坐标系。

    一个矢量(1,2)可以表示为从原点指向该点的箭头。

    你可以对这个矢量进行缩放,比如放大两倍就变成了(2,4)
    这个操作可以表示为2 x(1,2)。也就是说放大k倍就是k(x,y)
    上面的例子写成矩阵的话就是,这里用到了矩阵乘法。<img src="https://pic2.zhimg.com/b7962fe4cfb1a49a4fda71d2b93657e9_b.jpg" data-rawwidth="98" data-rawheight="51" class="content_image" width="98">这个很简单。你也可以把矩阵中的两个值弄成不一样的。那么如果你对一张图片操作的话,横竖两个方向上的缩放倍数不同图像就变形了。方的变成长方的。 这个很简单。你也可以把矩阵中的两个值弄成不一样的。那么如果你对一张图片操作的话,横竖两个方向上的缩放倍数不同图像就变形了。方的变成长方的。

    你也可以对矢量进行旋转。
    比如想把向量(1,0)逆时针旋转45度。旋转以后的向量和这个向量会构成一个三角形。旋转以后的是斜边,长度和原来向量长度一样。用勾股定理计算一下。三角形的顶点会变成(√2/2, √2/2)。这个看起来比较麻烦。但是如果你明白矩阵乘法是怎么算的,那很容易理解为什么一个旋转矩阵会是这样的:<img src="https://pic4.zhimg.com/9c70a69a8f0b3dcebc73b3aeccb2a677_b.jpg" data-rawwidth="159" data-rawheight="56" class="content_image" width="159">
    有些变换,比如反射。相当于你在第一种情况里面对角线上的两个值有一个是负的。那么对应的就会把这个轴翻转过去。别的都很好理解。

    这些变换被称为线性变换。它提供了把一个图像扭成任意形状的方法。

    但在二维坐标系内,用2x2的矩阵所不能表示的变换就是平移操作。你在上面所有的操作无非都是给向量的两个分量乘一个系数。没办法再加一个数。想要表达这种计算就得给你的矩阵变成这样:<img src="https://pic4.zhimg.com/6f0b8ce45cb1d2f89083f9e39d8311d7_b.jpg" data-rawwidth="95" data-rawheight="64" class="content_image" width="95">
    这样的话你的(x,y)向量就没法乘进去了。你可以在后面添个1,编程(x,y,1)这样的。那么变换以后的结果就是
    (xa1+yb1+c1,xa2+yb2+c2,1),去掉最后面的1,前面的就是线性变换加上一个平移变换的结果。

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  • 仿射变换

    万次阅读 2012-10-24 15:04:25
    保距变换和仿射变换    §1 平面的仿射变换与保距变换 1.1 ――对应与可逆变换 集合X到集合Y的一个映射f:X→Y是把X中的点对应到Y中的点的一个法则,即x∈X,都决定Y中的一个元素f(x),称为点x在f下的像。对X...
  • 交错的仿射Kac模块

    2020-03-29 23:06:15
    这项工作涉及分数级仿射李代数A1... 我们还获得了Verma模块分解中出现的所有不可约A1(1)-字符的显式表达式,重新检查了Malikov-Feigin-Fuchs向量的构造,并将Fuchs-Astashkevich定理从Virasoro代数扩展到A1(1 )。
  • 仿射变换与加密

    2019-10-04 02:49:51
    仿射变换与加密 前言: 摘抄自wiki的关于仿射变换的定义: http://zh.wikipedia.org/wiki/%E4%BB%BF%E5%B0%84%E5%8F%98%E6%8D%A2  仿射变换,又称仿射映射,是指在几何中,一个向量空间进行一次线性....
  • 仿射集合与线性子空间的关系

    千次阅读 2019-05-27 18:08:46
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  • 仿射变换详解 warpAffine

    万次阅读 热门讨论 2016-11-25 14:09:28
    今天遇到一个问题是关于仿射变换的,但是由于没有将仿射变换的具体原理型明白,看别人的代码看的很费解,最后终于在师兄的帮助下将原理弄明白了,我觉得最重要的是理解仿射变换可以看成是几种简单变换的复合实现, ...
  • 仿射变换公式推导

    千次阅读 2015-09-15 20:40:16
    1.有图可得旋转可由公式 x1=x2cosa-y2sina; y1=x2sina+y2cosa;2.对于平移 ...综合以上三种变换,可得仿射变换为x1=t1*x2*cosa+t2*y2*sina+k1; y1=t2*x2*sina+t2*y2*cosa+k2; 化简后:x1=x2*a+y2*b+k1;
  • 仿射密码及c++实现

    2021-09-12 09:30:59
    仿射函数(affine) 所谓仿射函数,是指满足如下条件的函数
  • 浅谈仿射密码

    2019-06-23 00:28:28
    今天我跟大家聊一聊我对仿射密码的理解。 仿射密码是加法移位密码和乘法移位密码的结合,其加密算法和解密算法是: E(x)=ax+b(mod m); D(x)=a-1(x-b) mod m. 其中a,m互质,即gcd(a,m)=1,a,b为仿射密码的...
  • 密码学基础--仿射密码

    千次阅读 2019-10-06 17:33:51
    仿射密码中,加密函数定义为...为了能对密文进行解密,必须保证所选用的仿射函数是一个单射函数。换句话说,对任意的Y∈Z,如下同余方程: ax+b≡y(mod26) 有唯一解。上述同余方程等价于 ax≡y-b(mod26) 当y遍历Z~...
  • 空间仿射坐标系的平行投影问题在计算机图形识别、跟踪目标及三维实体重建中具有重要意义。通过分析广义投影公式指出了各种投影之间的内在联系,并由广义投影...应用上述充要条件可以导出其它公式及定理,如高斯定理等。
  • 5.仿射加密

    2020-06-26 23:10:32
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    2020-09-06 12:42:55
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  • 仿射变换的通俗解释

    万次阅读 2017-03-16 16:43:06
    最近看的论文里很多都用到了仿射变换,记得本科时,图形学老师曾经讲过这部分的重要性,无奈当时看到一大堆数学公式头晕脑胀,并没有真正领会仿射变换的真谛。最近看论文的过程中,愈发觉得仿射变换不管是在利用特征...
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  • 保距变换和仿射变换

    千次阅读 2012-12-17 20:43:22
    保距变换和仿射变换 §1 平面的仿射变换与保距变换 1.1 ――对应与可逆变换  集合X到集合Y的一个映射f:X→Y是把X中的点对应到Y中的点的一个法则,即x∈X,都决定Y中的一个元素f(x),称为点x在f下的像。对X的一...
  • 如何理解仿射变换

    2021-03-03 10:22:35
    https://www.zhihu.com/question/20666664
  • cv-仿射变换

    2019-11-28 14:46:21
    import cv2 import numpy as np import PIL def get_3rd_point(a, b): direct = a - b return b + np.array([-direct[1], direct[0]], dtype=np.float32) src=np.array([[7,5],[7,2],[4,2]])#width*heig...
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空空如也

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仿射定理