1. 一维投影几何


在一维空间P1中，直线上的点x的齐次坐标为x = (x1, x2)T，当 x2 =
 0 时为理想点。在这条直线上的点的投影变换为
x' =H2×2x
其中投影矩阵H2×2有3个自由度，可由3个匹配点对确定。1维投影具有对互比例(cross ratio)的不变性。定义4个点xi的互比例为：
      ，其中      

关于互比例，有如下结论：
(1) 互比例不依赖于点 xi 的任何一种齐次表示。
(2) 对于有限点 xi ，若它的齐次表示中 x2 =
 1，则 |xixj|
 代表两点之间的有符号距离。
(3) 如果一点 
xi 是理想点，则互比例的定义依然有效。
(4) 互比例对投影变换具有不变性，即，如果x' = H2×2x，则Cross(x1', x2', x3', x4') =
 Cross(x1, x2 ,x3, x4)。



并发线（Concurrent lines）是相交于一点的多条直线，是共线点的对偶。4条并发线 li 与直线 l 相交于4个点 xi ，这4条并发线的互比例就是4个点 xi 的互比例Cross(x1, x2 , x3, x4)，它不变于直线
 l 的位置。从投影的观点来看，这4个交点相当于4个共面点 x1, x2, x3, x4 在直线
 l 上的中心投影，这个投影将空间P2上的点投影到空间P1。这4个投影点的互比例，也就是4条并发线的互比例，与直线
 l 的位置无关，或者说不变于投影变换。
如果将上图中的投影中心c 看做摄像机中心，则直线 l 相当于成像直线（类似于成像平面），四个像点的互比例代表成像配置。成像直线的位置与4个像点的成像配置是无关的，对于任何成像直线，得到的都是相同的成像配置（互比例）。
学习并发线的投影几何，对于理解极线的投影几何非常重要。
2. 无穷线在仿射变换中的性质
定理（无穷线仿射定理）：无穷线 l∞的投影变换
 H 还是它本身，当且仅当 H 是仿射变换。
证明：

反之，设一个无穷点(x1,x2,
 0)T，经过变换后仍被映射成为一个无穷点，则必有h31 =h32 =
 0，这一定是仿射变换。
证毕。
无穷线 l∞ 上的一个点经仿射后一定仍然落在 l∞ 上，但却并不一定是该点本身，除非 A(x1, x2)T
 = k(x1, x2)T 。
3. 恢复仿射属性

如果要消除一幅透视图像中的投影畸变，需要指定平面中4个参考点的位置，以求得投影变换矩阵 H (8 dof)。然而，考虑到投影变换可分解为相似性变换HS (4 dof)、仿射变换HA (2
 dof)和投影变换HP (2 dof)的级联，即H = HSHAHP，因此实际上不需要求得完整的投影变换矩阵 H，而只需计 HA 和 HP 就足够恢复对象的形状了。

如果不需要消除所有的投影畸变，而只要求进行仿射属性（平行，面积比例）的测量，则只需计算 HP 就够了，这就是仿射校正。如下图，进行仿射校正之后的图像保持了对象的仿射属性。




从无穷线仿射定理可知，恢复 l∞ 就可以恢复仿射属性。一种简单的方法是：
  (1) 先在投影图像中寻找一条无穷线的投影 l = (l1, l2, l3)T ，即灭线；
  (2) 求出能将其变换到归一化无穷线 l∞= (0, 0, 1)T的投影矩阵H，即 l∞ = H-T l ；
  (3) 然后用 H 对投影图像进行点变换；
  (4) 在得到的校正图像上可以直接进行仿射属性的测量。
其中要求的投影矩阵 H 具有如下形式：


其中寻找灭线的方法是在投影图像中先求出灭点，然后两个灭点连成一条灭线。
求灭点的方法一：在投影图像中求两条平行线的投影直线的交点。
求灭线的方法二：在投影图像中利用三个共线点之间的长度比例求灭点。

4. 利用长度比例求灭点

设在世界坐标上有三个共线点x, y, z, 已知它们之间的长度比例为d(x,y):d(y,z) =a:b，则：
  (1) 它们在投影图像中仍是三个共线点x', y', z'，其长度比例为d(x',y'):d(y',z') =a':b'。
  (2) 将点x, y, z表示为 1 维坐标的齐次形式，分别为(0, 1)T, (a,
 1)T,(a+b, 1)T。
  (3)将点x', y', z'表示为 1
 维坐标的齐次形式，分别为(0, 1)T, (a',
 1)T, (a'+b', 1)T。
  (4) 求 1 维投影变换H2×2，使得
 [(0, 1)T, (a',
 1)T, (a'+b', 1)T]
 = H2×2 [(0, 1)T, (a,
 1)T, (a+b, 1)T]
       求解上式，首先将其改写为非齐次方程，然后可分别求得H2×2各项。
  (5) 对理想点(1, 0)T进行 1 维投影变换得到 1 维坐标系下的灭点，等于H2×2(1,
 0)T。

依旧的祖传开头：事先说明：笔者初三，如在叙述中有不严谨的地方，还请诸位指出，自当感激不尽。
上次在关于双曲线的文章中粗粗提到了仿射变换，接下来在本文中，我会着重介绍关于仿射变换适用的各类题型，并给予个人的见解。（接下来这段文字摘自上文）
通俗地说，在平面坐标系内，仿射变换就是对一堆向量进行旋转和放大缩小的变换。
例如：一个单位圆x²＋y²＝1，如果将这个圆在水平方向上拉伸两倍，使得新的{x’=2x，y’=y}，那么明显这个图形就变成了x’²/4＋y’²=1，也就是椭圆。在几何直观上，也同样非常好理解。
在仿射变换中，由于改变的只是向量的方向、长度，而且是所有的向量同时发生变换，可以得到以下结论：
1.定比分点仍然成立。2.直线的平行关系仍然成立。3.直线与曲线之间的相切、相交、相离等关系仍然成立。4.由于旋转不影响图形面积，则若变换中{x’=λx，y’=μy}，则有S’=λμS
5.k’＝μ/λk
值得注意的是：角度的变换在仿射变换中相对复杂，所以一般不会关于角的关系使用仿射变换求解。
对于椭圆，仿射变换的意义，在于可以利用圆的性质来探究椭圆的性质了
1.蝴蝶定理
关于蝴蝶定理，请各位读者优先阅读锐腾君的一篇文章~（个人认为他写的很好了，个人既然无法给出更加好的介绍，本着便利读者的心态，选择推荐）
王锐腾-return：【圆锥曲线】蝴蝶定理及以其为构型的题目选讲​zhuanlan.zhihu.com
由他的文章，我们可以得知：1.蝴蝶定理对于任意二次曲线适用。
2.蝴蝶定理适合解决关于比例、k值之比的问题。
例题如下：
α.斜率乘积问题
已知椭圆C：x²/16+y²/12=1，其左顶点为A，右顶点为B，过右焦点F的直线l与椭圆交于C、D，（kl≠0），记kAC=k1，kBD=k2，问是否存在常数λ，使得l转动过程中，有k1=λk2恒成立？
观察题目的几何构型，我们可以发现这是一个典型的蝴蝶形，而且需要研究斜率的两条线恰好和定量线段产生关系，于是我们选择做垂线构造蝴蝶：
解：过点F作直线PQ⊥AB，分别交AC于P，BD于Q
所以PF=FQ=t，又由题设条件，可以得到a=4，c=2，则k1=t/（4+2）=t/6，k2=t/（4-2）=t/2，∴所求λ=⅓。
点评：该题就是典型的以蝴蝶定理为构型的题目，只要联想到构造蝴蝶即可求解。
β：给定定点，斜率乘积。
设A为椭圆x²/6+y²/4=1的下顶点，斜率为k的直线过点E（0,1），且与椭圆相交于C，D两点，试探究kAC·kAD是否为定值。
此处我要先介绍一个结论：在一个椭圆上，若两点关于原点对称，则取另外一个异于该两点的点，并与该两点连接，形成的直线k乘积恒为-b²/a²
证明如下：
1.直接淦：证明：设点A（x0，y0）B（-x0，-y0）C（x1，y1）
∴kAC·kAB=（y0-y1）（-y0-y1）/（x0-x1）（-x0-x1）=（y0²-y1²）/（x0²-x1²）
由椭圆方程变形可得：y²=b²/a²  ·（a²-x²），代入上式有
kAC·kAB=b²/a²  ·（x1²-x0²）/（x0²-x1²）=-b²/a²
2.利用圆的性质：利用仿射变换φ=｛x’=x/a，y'=y/b｝得到单位圆，易知单位圆上，关于原点对称的两点必过圆心，即为直径，所以任取一点相连，都满足k’1·k’2=-1，作反变换1/φ，得k1·k2=-b²/a²
利用这个结论和蝴蝶模型，我们可以将本题的斜率关系沟通起来：
解：连接BC，并过点E作直线∥x轴，交BC于M，交AD于N，则ME=EN=t
由题设条件知b=2
于是可以得到：kBC=（2-1）/t=1/t，kAD=（2+1）/t=3/t
∵kBC·kAC=-b²/a²=-2/3，∴kAC=-⅔t
∴kAC·kAD=-2
顺便献上标答：
（2007山东理21）l：y=kx+m交C：x²/4+y²/3=1于A、B（不为左右顶点），以AB为直径的圆过C的右顶点，求证：l过定点。
解：不妨设左顶点M，右顶点N，连接AN，BN，AM，并设AB交x轴于P，过P作直线∥y轴，交AM于E，BN于F
则：由题设知a=2，由蝴蝶定理知EP=PF=t，∵N过以AB为直径的圆，∴kAN·BN=-1①
设P（x0,0），于是kAM=t/（x0+2），kBN=t/（2-x0），且有kAN·kAM=-3/4②
由①/②得：kAM/kBN=3/4=[t/（x0+2）]/[t/（2-x0）]=（2-x0）/（2+x0）
解得x0=2/7，即P恰为定点。
有人要问了：你个老东西怎么知道P就一定是个定点的？我只能（滑稽滑稽）什么？这不就是蝴蝶吗？当然是定点了（滑稽滑稽）
综上三种题目，事实上，我们可以发现这是统一的一类题目：
1.过定点2.定点引两直线，连接顶点3.斜率发生关系
如果要探究普遍规律的话，可以参考：
Alston：【解析几何】蝴蝶型斜率比值问题​zhuanlan.zhihu.com
作者已经在里面给出了对于一般形式的探究，感兴趣的不妨利用蝴蝶定理也推导一遍~（我的第一道题就是从这篇文章摘的，若作者有意见dd，我删。话说方法不一样引道题看看应该不算抄袭吧冒汗jpg）
然后接下来是本文讨论几何解法的一些环节了：
上例题：
E：x²/a²＋y²/b²=1，左右顶点A，B。Q（m，n）不在E上，QA，QB分别交E于C，D，直线CD交x轴于点P，试证：向量OP·向量OQ=a²
证明：
首先，利用仿射变换φ=｛x’=x/a，y'=y/b｝得到单位圆如图。过点Q作QH⊥AB，交于H
连接OC，CH，CP，CB，则向量OP·向量OQ=OH·OP，由仿射前后数量关系可知要证OH·OP=1
明显可以发现要证△COH∽△POC
∵∠ACB==∠BCQ=∠QHB=π/2，得C，H，B，Q四点共圆
∴∠OCH+∠ACO=∠QBH=∠BDP+∠BPD=∠BPD+∠CAO
∴∠OCH=∠BPD，又∵共角COH，∴△COH∽△POC
∴OC²=OH·OP
作反变换1/φ，可得向量OP·向量OQ=a²
我们分析一下解这题的思路：1.观察所证结论，发现易于利用圆的性质研究，于是采取仿射手段。2.利用几何方法，将所证代数结论转化为几何结论。3.利用几何方法解决问题。
接下来给出两道较为相似的例题：
E：x²/a²＋y²/b²=1，左右顶点A，B。过M（s，t）的直线l与E交于C、D两点，于x轴交于点P，直线AC与直线BD交于点Q1，直线AD与直线BC交于点Q2，试证：
向量OP·向量OQ1=向量OP·向量OQ2=a²，且Q1Q2⊥x轴。
解法一：利用极点极线的知识，可以发现Q1Q2即为点P的极线，易得以上条件，此处不具体说明。
解法二：首先，利用仿射变换φ=｛x’=x/a，y'=y/b｝得到单位圆如图。
于是进行几何翻译：P是圆直径AB上一点，过P作弦CD，作直线AC，AD，BC，BD相交于Q1和Q2，求证Q1Q2⊥AB，且△COP∽△MOC
证明：∵∠ACB=∠ADB=∠Q1CB=∠Q2DB=π/2，∴C、D、Q2、Q1四点共圆
∴∠ACD=∠AQ2M=∠ABD，∴∠AMQ2=∠ADB=π/2
∴C、B、M、Q1四点共圆，设∠CQ1B=∠CMB=α，∴∠CBQ1=∠CAD=π/2-α，∴∠COD=π-2α，因为CO=OD，∴∠COD=α
∵共角COM，∴△COP∽△MOC，∴OP·OM=OC²=1作反变换1/φ，可得
向量OP·向量OQ1=向量OP·向量OQ2=a²，且Q1Q2⊥x轴。
除此之外，我们还可以得到一个意外的发现：若连接OD，DM，同样有∠CDO=∠OMD，于是就有OM平分∠CMD，由于OM落在x轴上，因此，仿射回去仍然成立，结论为取P（t，0）作弦CD，则M（a²/t，0）O平分∠CMD
接下来的例三，我只放题和提示图片，请读者自做，当做练习。
E：x²/a²+y²/b²=1，A，B为E上动点且AB⊥x轴，M（t，0）定，连接MA交E于N，则BN恒过定点P（a²/t，0）
注：此三例对于双曲线同样成立，感兴趣可以去证明。
角平分形：
C：x²/a²+y²/b²=1，A为C上一定点，E，F为C上动点，若kAE=-kAF，证明kEF为定值。
证明：首先，利用仿射变换φ=｛x’=x/a，y'=y/b｝得到单位圆如图。
不妨作AP⊥x轴，交圆于P，则弧MP=弧NP，连接OP，由垂径定理得OP⊥MN∵P为定点
∴kOP定，则kMN定。
作反变换1/φ，可得：若A（x0，y0），有kOA·kEF=b²/a²
事实上，题设命题的逆命题同样成立。（对于双曲线也有同样类似的结论）
k之积为-b²/a²形
A，B是椭圆x²/a²+y²/b²=1上两动点，M为平面上一点，且向量OM=λ向量OA+u向量OB，则当kOA·kOB=-b²/a²，有M在x²/a²+y²/b²=λ²＋u²上。
证明：首先，利用仿射变换φ=｛x’=x/a，y'=y/b｝得到单位圆
则有kOA·kOB=-1，则由一线三垂直模型，不妨设A（x1，y1）B（-y1，x1）M（x0，y0）
所以x0=λx1-uy1①y0=λy1+ux1②
①²+②²得：x0²＋y0²=（λ²＋u²）（x1²＋y1²）=λ²＋u²，作反变换1/φ，可得：
M在x²/a²+y²/b²=λ²＋u²上
题中命题的逆命题依然成立。
面积问题
例：已知椭圆C：x²/4+y²=1，直线l过定点M（0,2），且与C交于A，B，试求S△OABmax
解：首先，利用仿射变换φ=｛x’=x/2，y'=y｝得到单位圆，则M’（0,2），由图像可知
|A’B’|∈（0，2）由于在圆中，定弦对定角，且S’△OAB=sin∠’AOB/2，∴当∠’AOB=π/2时，得S’△OABmax=1/2，作反变换1/φ，可得：S△OABmax=1
小结：仿射变换对于解椭圆的重要性，在于重新利用圆内的性质。椭圆虽然没能保留圆的几何性质，但却保存了其代数性质，因此，当看到k1·k2=-b²/a²，落在坐标轴上的角平分线以及“1”时，应当敏感地联想到利用仿射变换解题；同时，仿射变换对于解面积也能起到很大的简化作用。而关于蝴蝶定理的掌握，重要的还是学会利用其相等的线段关系，沟通k值的关系，得到结果。仿射变换不是什么时候都好用的，因此不能无脑使用，该设设，该算算才是正确的。
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仿射集合与线性子空间的关系
线性子空间是必须经过原点的
仿射集合不一定经过原点
仿射集合减去自身的一个元素就可以变为线性子空间

最近在学习凸优化，总结一些学到的知识。
仿射集合与线性子空间的关系
线性子空间是必须经过原点的
我这里特意强调了是线性子空间，就是说子空间一定是线性的。其实在线性代数中，subspace就是指的线性子空间。

线性子空间必须符合两个重要的定理：

如果$x_1,x_2\in \bm{S}$，则有$k_1x_1+k_2x_2\in \bm{S}$;
如果$x\in \bm{S}$，则有$kx\in\bm{S}$

其中$k$为常数，$\bm{S}$为一个线性子空间。

由这两条性质就可以得出：线性子空间必须经过原点。也就是说原点一定是任意线性子空间中的一个点。当然原点本身也算是一个线性子空间。
仿射集合不一定经过原点
集合$\bm{C}$是仿射的，如果任意$x_1,x_2\in \bm{C}$，而且$\theta x_1+(1-\theta)x_2\in \bm{C}$。

所以仿射集合可以不经过原点。
仿射集合减去自身的一个元素就可以变为线性子空间
从几何角度考虑，整个集合减去一个元素，就相当于整体平移，而平移的效果就是将不过原点的集合平移到经过原点。
定理：

如果$\bm{C}$是一个仿射集合，$x_0\in\bm{C}$，那么

$\bm{V}=\bm{C}-x_0= \{x-x_0|x\in\bm{C}\}$

是一个线性子空间。

学习笔记，仅供参考，有错必纠
参考文献：《关于线性子空间与仿射子空间的注记》

线性子空间与仿射子空间



定理1

设Ｗ是线性空间Ｖ的非空子集，如果Ｗ关于Ｖ的加法与数乘运算自身也作成线性空间，则称Ｗ是Ｖ的线性子空间，记作$W \le V$.


仿射子空间可以看作是线性子空间的平移，Ｖ的一个非空子集Ｙ称为仿射子空间，如果存在一个线性子空间$W \le V$，和向量$\alpha_0 \in V$，使得：

$Y = \alpha_0 + W = \{\alpha_0 + \beta| \beta \in W \} \tag{1}$

仿射子空间也称线性流形，许多文献已讨论了它的性质，下面的定理从线性方程组的角度刻划了线性子空间与仿射子空间．
设Ｗ是ｎ维线性空间$F^n$的一个非空子集，则：

Ｗ是Ｖ的线性子空间 $\iff$ Ｗ是某一齐次线性方程组的解集；
Ｗ是Ｖ的仿射子空间$\iff$Ｗ是某一非齐次线性方程组的解集。




定理2

设ｎ维向量$\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_r$是$r$维线性空间$U$的一组基，令$B = (\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_r)$是$n \times r$矩阵，$E$是ｎ阶单位矩阵，对矩阵$(B, F)$施行初等行变换化为：

$(B, E) \to \begin{pmatrix} C_{r \times r} & D \\ O & A \\ \end{pmatrix}$

其中$rank(C) = r = rank(B)$，则$U$是其次线性方程组$AX=0$的解空间。



定理3

设$Y = \alpha_0 + W$是线性空间Ｖ的仿射子空间，$\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_r$是线性子空间Ｗ的一组基，则：

$\beta_0 = \alpha_0, \beta_1 = \alpha_0 + \alpha_1, \cdots, \beta_r = \alpha_0 + \alpha_r$线性无关；
$\forall \; \beta \in Y$，$\beta$都能表示成$\beta = \sum_{i=0}^t t_i \beta_i$，其中$\sum_{i=0}^r t_i = 1$

这里$\beta_0, \beta_1,  \cdots, \beta_r$称为Ｙ的一组仿射基。


维数公式架起了子空间的和与交的维数之间的桥梁，是线性代数中的一个重要定理.
线性代数中维数公式的证明多采用扩充基的方法，该方法简单直接，但未能真正反映子空间的和与交之间的本质联系．接下来我们通过仿射子空间引入商空间的概念，建立线性空间的同态基本定理，从同构的观点得到维数公式一个新的证明．
设Ｗ是ｎ维线性空间$V$的$r$维子空间．$\forall \; \alpha, \beta \in V$定义$V$上的一个二元关系：

$a \sim b \iff \alpha - \beta \in W$

容易验证$\sim$是Ｖ上的一个等价关系，记$\alpha$所在的等价类$[\alpha] = \{ \beta \in V | \beta \sim \alpha \}$.


下面的定理表明每个等价类都是$V$的一个仿射子空间，而且，$V$是这些仿射子空间的不交并.

定理4

$[\alpha] = \alpha + W$，且$V = \bigcup_{\alpha \in V}[\alpha]$



定理5

设$U$是线性子空间$W$在$V$中的补子空间，则$V/W \cong U$，且：

$dim V/W = dim U = dimV - dimW$



定理6

设$\sigma : V \to U$是从线性空间$V$到线性空间$U$的线性满射， 则：

$V/Ker \; \sigma \cong U$