1. 一维投影几何
 

 
 
在一维空间P1中，直线上的点x的齐次坐标为x = (x1, x2)T，当 x2 = 0 时为理想点。在这条直线上的点的投影变换为
 
x' =H2×2x
 
其中投影矩阵H2×2有3个自由度，可由3个匹配点对确定。1维投影具有对互比例(cross ratio)的不变性。定义4个点xi的互比例为：
 
      ，其中      
 
 
关于互比例，有如下结论：
 
(1) 互比例不依赖于点 xi 的任何一种齐次表示。
 
(2) 对于有限点 xi ，若它的齐次表示中 x2 = 1，则 |xixj| 代表两点之间的有符号距离。
 
(3) 如果一点  xi 是理想点，则互比例的定义依然有效。
 
(4) 互比例对投影变换具有不变性，即，如果x' = H2×2x，则Cross(x1', x2', x3', x4') = Cross(x1, x2 ,x3, x4)。
 
 

 
 
并发线（Concurrent lines）是相交于一点的多条直线，是共线点的对偶。4条并发线 li 与直线 l 相交于4个点 xi ，这4条并发线的互比例就是4个点 xi 的互比例Cross(x1, x2 , x3, x4)，它不变于直线 l 的位置。从投影的观点来看，这4个交点相当于4个共面点 x1, x2, x3, x4 在直线 l 上的中心投影，这个投影将空间P2上的点投影到空间P1。这4个投影点的互比例，也就是4条并发线的互比例，与直线 l 的位置无关，或者说不变于投影变换。
 
如果将上图中的投影中心c 看做摄像机中心，则直线 l 相当于成像直线（类似于成像平面），四个像点的互比例代表成像配置。成像直线的位置与4个像点的成像配置是无关的，对于任何成像直线，得到的都是相同的成像配置（互比例）。
 
学习并发线的投影几何，对于理解极线的投影几何非常重要。
 
2. 无穷线在仿射变换中的性质
 
定理（无穷线仿射定理）：无穷线 l∞的投影变换 H 还是它本身，当且仅当 H 是仿射变换。
 
证明：
 
 
反之，设一个无穷点(x1,x2, 0)T，经过变换后仍被映射成为一个无穷点，则必有h31 =h32 = 0，这一定是仿射变换。
 
证毕。
 
无穷线 l∞ 上的一个点经仿射后一定仍然落在 l∞ 上，但却并不一定是该点本身，除非 A(x1, x2)T = k(x1, x2)T 。
 
3. 恢复仿射属性
 
 
如果要消除一幅透视图像中的投影畸变，需要指定平面中4个参考点的位置，以求得投影变换矩阵 H (8 dof)。然而，考虑到投影变换可分解为相似性变换HS (4 dof)、仿射变换HA (2 dof)和投影变换HP (2 dof)的级联，即H = HSHAHP，因此实际上不需要求得完整的投影变换矩阵 H，而只需计 HA 和 HP 就足够恢复对象的形状了。
 
 
如果不需要消除所有的投影畸变，而只要求进行仿射属性
（平行，面积比例）
的测量，则只需计算 
H
P
 
就够了，这就是仿射校正。如下图，进行仿射校正之后的图像保持了对象的仿射属性。

 

 
 

 
 从无穷线仿射定理可知，恢复 l∞ 就可以恢复仿射属性。一种简单的方法是：
 
  (1) 先在投影图像中寻找一条无穷线的投影 l = (l1, l2, l3)T ，即灭线；
 
  (2) 求出能将其变换到归一化无穷线 l∞= (0, 0, 1)T的投影矩阵H，即 l∞ = H-T l ；
 
  (3) 然后用 H 对投影图像进行点变换；
 
  (4) 在得到的校正图像上可以直接进行仿射属性的测量。
 
其中要求的投影矩阵 H 具有如下形式：
 

 
 
其中寻找灭线的方法是在投影图像中先求出灭点，然后两个灭点连成一条灭线。
 
求灭点的方法一：在投影图像中求两条平行线的投影直线的交点。
 
求灭线的方法二：在投影图像中利用三个共线点之间的长度比例求灭点。
 
 
4. 利用长度比例求灭点
 
 
设在世界坐标上有三个共线点x, y, z, 已知它们之间的长度比例为d(x,y):d(y,z) =a:b，则：
 
  (1) 它们在投影图像中仍是三个共线点x', y', z'，其长度比例为d(x',y'):d(y',z') =a':b'。
 
  (2) 将点x, y, z表示为 1 维坐标的齐次形式，分别为(0, 1)T, (a, 1)T,(a+b, 1)T。
 
  (3)将点x', y', z'表示为 1 维坐标的齐次形式，分别为(0, 1)T, (a', 1)T, (a'+b', 1)T。
 
  (4) 求 1 维投影变换H2×2，使得
 
 [(0, 1)T, (a', 1)T, (a'+b', 1)T] = H2×2 [(0, 1)T, (a, 1)T, (a+b, 1)T]
 
       求解上式，首先将其改写为非齐次方程，然后可分别求得H2×2各项。
 
  (5) 对理想点(1, 0)T进行 1 维投影变换得到 1 维坐标系下的灭点，等于H2×2(1, 0)T。
 

 
 

 

 
前言：
 
摘抄自wiki的关于仿射变换的定义：
 
仿射变换，又称仿射映射，是指在几何中，一个向量空间进行一次线性变换并接上一个平移，变换为另一个向量空间。
 
一个对向量
 
 平移
 
，与旋转放大缩小
 
 的仿射映射为
 
  
 
【1】
 
1、移位加密：
 
比方说：把字母表全部向右循环移1位，也就是A变成B，B变成C，... ，
 
Z变成A。
 
用数学一点的术语我觉得所谓“移位”就是映射吧。
 
那么我们可以写出通解公式，——现在是已知明文和加密步骤，进行加密，也就是求密文。
 
New = (Old + k) (mod table)
 
【2】
 
注释：
 
New：要求的密文
 
Old  ：明文
 
k ：移位的位数
 
table：这张表有多大，比方说字母表就是26个字母，table就是26.
 
2、仿射变换：
 
移位加密和仿射变换有啥关系呢？
 
额 ，因为移位加密就是一种放射变换。。。
 
首先我们在1里面的变量命名现在改一下，以便更好地认识，变成：
 
y
 
= (x + b)(mod m) 【3】
 
是不是和【1】很像啦，可惜我们的x没有系数。。
 
但是没关系，我们完全可以自己加上一个系数，把【3】变成：
 
y
 
= (ax + b)(mod m)   a,b为整数； 【4】
 
这样已经很像了，只不过【1】里面的自变量是向量。
 
但是，我们这里讨论的是一维的变换，所以不用用到2维及其以上的向量。(一维数字标记的向量就是普通的数嘛……)
 
3、知道了1、2这些，我们现在的目标就是——
 
"当知道一个一维的仿射变换的加密，
 
a. 怎么把明文加密
 
b.
 
怎么把密文解密 "
 
对于"a.
 
怎么把明文加密"，我们已经解决了，就是【4】那个公式。
 
对于"b.
 
怎么把密文解密"嘛，其实也不复杂。待我不快不慢地说来。
 
首先由【4】我们可以得到什么？
 
没错！就是 y
 
≡ (ax + b)(mod m) —— 这是明显的事实不用证明了。
 
然后正视一下题目是什么：我们现在已知a,b,y,m，要求x。
 
1). 左右移位一下 ,变为y-b
 
≡ (ax)(mod m) 【5】
 
{为啥【5】是对的？
 
首先同余式可以相加，
 
即 若 a ≡ b (mod m),c ≡ d (mod m)， 【*】
 
那么(a +
 
c) ≡ (b + d)(mod m) .
 
——同余式可以相加的证明用同余的定义就好……
 
然后  y ≡ (ax +
 
b)(mod m)
 
-b ≡ -b (mod
 
m)
 
所以……
 
}
 
2). 已知y-b
 
≡ (ax)(mod m)，x未知，求x.
 
现在已知ax ≡(y-b) (mod
 
m)；
 
{首先我们要知道 同余式可以相乘，若【*】，则 ac
 
≡ bd (mod m) .证明同样可以基于同余定义。}
 
这时候我们就脑补了，如果有一个c能使得
 
cax ≡ x ≡ c(y-b) (mod m)就好了！
 
也就是说这个c如果能使得ca = 1或者 更宽一点的：ca ≡ 1(mod
 
m).那么就解决了！
 
3). 于是问题变成了：找一个c使得，ca ≡ 1(mod
 
m)
 
于是很容易联系到费马小定理、欧拉定理一类的。
 
但是费马小定理要求m一定要是素数，这样和我们题目不符。
 
所以看看欧拉定理，对 gcd(a,m) =
 
1(m>1)，有aΦ(m)≡ 1 (mod m)
 
{Φ(m) 为欧拉函数，就是小于等于m的与m互素的正整数个数。如Φ(2) = 1
 
，Φ(6) = 2——6与{1,5}互素。}
 
所以如果ca
 
= aΦ(m)，那么就有ca ≡ 1(mod m)。
 
于是c
 
= aΦ(m)-1. 但是gcd(a,m) = 1，这一点不能漏。
 
4、综上，我们发现了，当c
 
= aΦ(m)-1时 ；
 
cax ≡c(y-b) (mod m)
 
化为 x ≡c(y-b) (mod m) {现在要附加gcd(a,m)=1这个条件了！}
 
5、那么对于仿射变换，
 
我们知道变化规则[即位移b]后，如何把密文[y]翻译成明文[x]呢？
 
结论是：
 
step
 
1.  求 c
 
= aΦ(m)-1
 
step 2.  x ≡c(y-b) (mod m)
 
番外小剧场：
 
窝：你在2里面为啥要改名字？该问题纯属好奇！
 
big窝：此中原因有2——
 
1. 如文中所说，为了更直观地比较。
 
2.
 
也是最根本的原因——变量命名如此之平凡，根本不是我的feel！OK？
 
窝：......
 
窝：第二个问题——你怎么知道同余式符合相加相乘原理？你怎么想到的？
 
big窝：
 
首先"同余式符合相加相乘原理"这个结论在数论里就像是实数有相加相乘的运算一样自然，如果想不到那么你需要找一本数论的书看看，不需要看完这就足以变成你的常识。至于怎么想到的，如果给你一堆数，你能想到的最基本的运算就是做加减乘除了吧？
 
窝：恩……好像是的……
 
big窝：那不就得了，说了同余式符合相加相乘原理是同余式的基本运算。
 
窝：……哦……
 
原文：http://www.cnblogs.com/PeanutPrince/p/3543723.html

 
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知识点补漏：
 
1.仿射函数和线性函数的区别：
 
简单来说仿射变换就是线性变化加上一个平移。知乎上看到的一个很好的解释：搬---
 
 

 作者：Cascade
 
 链接：https://www.zhihu.com/question/20666664/answer/15790507
 
 来源：知乎
 
 著作权归作者所有，转载请联系作者获得授权。
 
 
 
 
 

  以下内容仅涉及图形变换，未考虑更为抽象的概念。
  
 为了方便起见，以下叙述均采用平面直角坐标系。
  
 
  
 一个矢量（1，2）可以表示为从原点指向该点的箭头。
  
 
  
 你可以对这个矢量进行缩放，比如放大两倍就变成了（2，4）
  
 这个操作可以表示为2 x（1，2）。也就是说放大k倍就是k（x，y）
  
 上面的例子写成矩阵的话就是，这里用到了矩阵乘法。<img src="https://pic2.zhimg.com/b7962fe4cfb1a49a4fda71d2b93657e9_b.jpg" data-rawwidth="98" data-rawheight="51" class="content_image" width="98">这个很简单。你也可以把矩阵中的两个值弄成不一样的。那么如果你对一张图片操作的话，横竖两个方向上的缩放倍数不同图像就变形了。方的变成长方的。
  这个很简单。你也可以把矩阵中的两个值弄成不一样的。那么如果你对一张图片操作的话，横竖两个方向上的缩放倍数不同图像就变形了。方的变成长方的。
  
 
  
 你也可以对矢量进行旋转。
  
 比如想把向量（1，0）逆时针旋转45度。旋转以后的向量和这个向量会构成一个三角形。旋转以后的是斜边，长度和原来向量长度一样。用勾股定理计算一下。三角形的顶点会变成（√2/2, √2/2）。这个看起来比较麻烦。但是如果你明白矩阵乘法是怎么算的，那很容易理解为什么一个旋转矩阵会是这样的：<img src="https://pic4.zhimg.com/9c70a69a8f0b3dcebc73b3aeccb2a677_b.jpg" data-rawwidth="159" data-rawheight="56" class="content_image" width="159">
  
  
 有些变换，比如反射。相当于你在第一种情况里面对角线上的两个值有一个是负的。那么对应的就会把这个轴翻转过去。别的都很好理解。
  
 
  
 这些变换被称为线性变换。它提供了把一个图像扭成任意形状的方法。
  
 
  
 但在二维坐标系内，用2x2的矩阵所不能表示的变换就是平移操作。你在上面所有的操作无非都是给向量的两个分量乘一个系数。没办法再加一个数。想要表达这种计算就得给你的矩阵变成这样：<img src="https://pic4.zhimg.com/6f0b8ce45cb1d2f89083f9e39d8311d7_b.jpg" data-rawwidth="95" data-rawheight="64" class="content_image" width="95">
  
  
 这样的话你的（x，y）向量就没法乘进去了。你可以在后面添个1，编程（x，y，1）这样的。那么变换以后的结果就是
  
 （xa1+yb1+c1，xa2+yb2+c2，1），去掉最后面的1，前面的就是线性变换加上一个平移变换的结果。