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  • 一维投影几何,无穷线仿射定理,恢复仿射属性,利用长度比例求灭点

    1. 一维投影几何


    在一维空间P1中,直线上的点x的齐次坐标为x = (x1x2)T,当 x= 0 时为理想点。在这条直线上的点的投影变换为

    x' =H2×2x

    其中投影矩阵H2×2有3个自由度,可由3个匹配点对确定。1维投影具有对互比例(cross ratio)的不变性。定义4个点xi的互比例为:

          ,其中      

    关于互比例,有如下结论:

    (1) 互比例不依赖于点 x的任何一种齐次表示。

    (2) 对于有限点 x,若它的齐次表示中 x= 1,则 |xixj| 代表两点之间的有符号距离。

    (3) 如果一点 x是理想点,则互比例的定义依然有效。

    (4) 互比例对投影变换具有不变性,即,如果x' = H2×2x,则Cross(x1'x2'x3', x4'= Cross(x1x2 ,x3x4)。


    并发线(Concurrent lines)相交于一点的多条直线,是共线点的对偶。4条并发线 l与直线 相交于4个点 x,这4条并发线的互比例就是4个点 x的互比例Cross(x1x2 , x3x4),它不变于直线 l 的位置。从投影的观点来看,这4个交点相当于4个共面点 x1x2x3x在直线 l 上的中心投影,这个投影将空间P2上的点投影到空间P1。这4个投影点的互比例,也就是4条并发线的互比例,与直线 l 的位置无关,或者说不变于投影变换。

    如果将上图中的投影中心c 看做摄像机中心,则直线相当于成像直线(类似于成像平面),四个像点的互比例代表成像配置。成像直线的位置与4个像点的成像配置是无关的,对于任何成像直线,得到的都是相同的成像配置(互比例)

    学习并发线的投影几何,对于理解极线的投影几何非常重要。

    2. 无穷线在仿射变换中的性质

    定理(无穷线仿射定理):无穷线 l的投影变换 H 还是它本身,当且仅当 H 是仿射变换。

    证明:

    反之,设一个无穷点(x1,x2, 0)T,经过变换后仍被映射成为一个无穷点,则必有h31 =h32 = 0,这一定是仿射变换。

    证毕。

    无穷线 l∞ 上的一个点经仿射后一定仍然落在 l∞ 上,但却并不一定是该点本身,除非 A(x1x2)T = k(x1x2)T 。

    3. 恢复仿射属性

    如果要消除一幅透视图像中的投影畸变,需要指定平面中4个参考点的位置,以求得投影变换矩阵 H (8 dof)。然而,考虑到投影变换可分解为相似性变换HS (4 dof)、仿射变换H(2 dof)和投影变换HP (2 dof)的级联,即H = HSHAHP,因此实际上不需要求得完整的投影变换矩阵 H,而只需计 HA  HP 就足够恢复对象的形状了。

    如果不需要消除所有的投影畸变,而只要求进行仿射属性(平行,面积比例)的测量,则只需计算 HP 就够了,这就是仿射校正。如下图,进行仿射校正之后的图像保持了对象的仿射属性。




    从无穷线仿射定理可知,恢复 l∞ 就可以恢复仿射属性。一种简单的方法是:

      (1) 先在投影图像中寻找一条无穷线的投影 (l1l2l3)T ,即灭线;

      (2) 求出能将其变换到归一化无穷线 l= (0, 0, 1)T的投影矩阵H,即 l∞ H-T 

      (3) 然后用 H 对投影图像进行点变换;

      (4) 在得到的校正图像上可以直接进行仿射属性的测量。

    其中要求的投影矩阵 H 具有如下形式:


    其中寻找灭线的方法是在投影图像中先求出灭点,然后两个灭点连成一条灭线。

    求灭点的方法一:在投影图像中求两条平行线的投影直线的交点。

    求灭线的方法二:在投影图像中利用三个共线点之间的长度比例求灭点。

    4. 利用长度比例求灭点

    设在世界坐标上有三个共线点x, y, z, 已知它们之间的长度比例为d(x,y):d(y,z) =a:b,则:

      (1) 它们在投影图像中仍是三个共线点x', y', z',其长度比例为d(x',y'):d(y',z') =a':b'。

      (2) 将点x, y, z表示为 1 维坐标的齐次形式,分别为(0, 1)T, (a, 1)T,(a+b, 1)T

      (3)将点x', y', z'表示为 1 维坐标的齐次形式,分别为(0, 1)T, (a', 1)T(a'+b', 1)T

      (4) 求 1 维投影变换H2×2,使得

     [(0, 1)T, (a', 1)T(a'+b', 1)T] = H2×2 [(0, 1)T, (a, 1)T(a+b, 1)T]

           求解上式,首先将其改写为非齐次方程,然后可分别求得H2×2各项。

      (5) 对理想点(1, 0)T进行 1 维投影变换得到 1 维坐标系下的灭点,等于H2×2(1, 0)T



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  • 上次在关于双曲线的文章中粗粗提到了仿射变换,接下来在本文中,我会着重介绍关于仿射变换适用的各类题型,并给予个人的见解。(接下来这段文字摘自上文)通俗地说,在平面坐标系内,仿射变换就是对一堆向量进行旋转...

    依旧的祖传开头:事先说明:笔者初三,如在叙述中有不严谨的地方,还请诸位指出,自当感激不尽。

    上次在关于双曲线的文章中粗粗提到了仿射变换,接下来在本文中,我会着重介绍关于仿射变换适用的各类题型,并给予个人的见解。(接下来这段文字摘自上文)

    通俗地说,在平面坐标系内,仿射变换就是对一堆向量进行旋转和放大缩小的变换。

    例如:一个单位圆x²+y²=1,如果将这个圆在水平方向上拉伸两倍,使得新的{x’=2x,y’=y},那么明显这个图形就变成了x’²/4+y’²=1,也就是椭圆。在几何直观上,也同样非常好理解。

    在仿射变换中,由于改变的只是向量的方向、长度,而且是所有的向量同时发生变换,可以得到以下结论:

    1.定比分点仍然成立。2.直线的平行关系仍然成立。3.直线与曲线之间的相切、相交、相离等关系仍然成立。4.由于旋转不影响图形面积,则若变换中{x’=λx,y’=μy},则有S’=λμS

    5.k’=μ/λk

    值得注意的是:角度的变换在仿射变换中相对复杂,所以一般不会关于角的关系使用仿射变换求解。

    对于椭圆,仿射变换的意义,在于可以利用圆的性质来探究椭圆的性质了


    1.蝴蝶定理

    关于蝴蝶定理,请各位读者优先阅读锐腾君的一篇文章~(个人认为他写的很好了,个人既然无法给出更加好的介绍,本着便利读者的心态,选择推荐)

    王锐腾-return:【圆锥曲线】蝴蝶定理及以其为构型的题目选讲zhuanlan.zhihu.com
    4ec4216eb40939b0320e062c1c710c8e.png

    由他的文章,我们可以得知:1.蝴蝶定理对于任意二次曲线适用。

    2.蝴蝶定理适合解决关于比例、k值之比的问题。


    例题如下:

    α.斜率乘积问题

    已知椭圆C:x²/16+y²/12=1,其左顶点为A,右顶点为B,过右焦点F的直线l与椭圆交于C、D,(kl≠0),记kAC=k1,kBD=k2,问是否存在常数λ,使得l转动过程中,有k1=λk2恒成立?

    2d5349a3fb5c0641b2b281cf3486070a.png

    观察题目的几何构型,我们可以发现这是一个典型的蝴蝶形,而且需要研究斜率的两条线恰好和定量线段产生关系,于是我们选择做垂线构造蝴蝶:

    解:过点F作直线PQ⊥AB,分别交AC于P,BD于Q

    所以PF=FQ=t,又由题设条件,可以得到a=4,c=2,则k1=t/(4+2)=t/6,k2=t/(4-2)=t/2,∴所求λ=⅓。

    点评:该题就是典型的以蝴蝶定理为构型的题目,只要联想到构造蝴蝶即可求解。

    β:给定定点,斜率乘积。

    设A为椭圆x²/6+y²/4=1的下顶点,斜率为k的直线过点E(0,1),且与椭圆相交于C,D两点,试探究kAC·kAD是否为定值。

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    此处我要先介绍一个结论:在一个椭圆上,若两点关于原点对称,则取另外一个异于该两点的点,并与该两点连接,形成的直线k乘积恒为-b²/a²

    证明如下:

    1.直接淦:证明:设点A(x0,y0)B(-x0,-y0)C(x1,y1)

    ∴kAC·kAB=(y0-y1)(-y0-y1)/(x0-x1)(-x0-x1)=(y0²-y1²)/(x0²-x1²)

    由椭圆方程变形可得:y²=b²/a² ·(a²-x²),代入上式有

    kAC·kAB=b²/a² ·(x1²-x0²)/(x0²-x1²)=-b²/a²

    2.利用圆的性质:利用仿射变换φ={x’=x/a,y'=y/b}得到单位圆,易知单位圆上,关于原点对称的两点必过圆心,即为直径,所以任取一点相连,都满足k’1·k’2=-1,作反变换1/φ,得k1·k2=-b²/a²

    利用这个结论和蝴蝶模型,我们可以将本题的斜率关系沟通起来:

    解:连接BC,并过点E作直线∥x轴,交BC于M,交AD于N,则ME=EN=t

    由题设条件知b=2

    于是可以得到:kBC=(2-1)/t=1/t,kAD=(2+1)/t=3/t

    ∵kBC·kAC=-b²/a²=-2/3,∴kAC=-⅔t

    ∴kAC·kAD=-2

    顺便献上标答:

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    (2007山东理21)l:y=kx+m交C:x²/4+y²/3=1于A、B(不为左右顶点),以AB为直径的圆过C的右顶点,求证:l过定点。

    1195e876e7a715bb73df6faaef5a6d06.png

    解:不妨设左顶点M,右顶点N,连接AN,BN,AM,并设AB交x轴于P,过P作直线∥y轴,交AM于E,BN于F

    则:由题设知a=2,由蝴蝶定理知EP=PF=t,∵N过以AB为直径的圆,∴kAN·BN=-1①

    设P(x0,0),于是kAM=t/(x0+2),kBN=t/(2-x0),且有kAN·kAM=-3/4②

    由①/②得:kAM/kBN=3/4=[t/(x0+2)]/[t/(2-x0)]=(2-x0)/(2+x0)

    解得x0=2/7,即P恰为定点。

    有人要问了:你个老东西怎么知道P就一定是个定点的?我只能(滑稽滑稽)什么?这不就是蝴蝶吗?当然是定点了(滑稽滑稽)

    综上三种题目,事实上,我们可以发现这是统一的一类题目:

    1.过定点2.定点引两直线,连接顶点3.斜率发生关系

    如果要探究普遍规律的话,可以参考:

    Alston:【解析几何】蝴蝶型斜率比值问题zhuanlan.zhihu.com
    96af760e19403bb76e71a4afb11439d8.png

    作者已经在里面给出了对于一般形式的探究,感兴趣的不妨利用蝴蝶定理也推导一遍~(我的第一道题就是从这篇文章摘的,若作者有意见dd,我删。话说方法不一样引道题看看应该不算抄袭吧冒汗jpg)

    然后接下来是本文讨论几何解法的一些环节了:


    上例题:

    E:x²/a²+y²/b²=1,左右顶点A,B。Q(m,n)不在E上,QA,QB分别交E于C,D,直线CD交x轴于点P,试证:向量OP·向量OQ=a²

    证明:

    b6621f7efdde5b9a64817935a5e3094d.png

    首先,利用仿射变换φ={x’=x/a,y'=y/b}得到单位圆如图。过点Q作QH⊥AB,交于H

    连接OC,CH,CP,CB,则向量OP·向量OQ=OH·OP,由仿射前后数量关系可知要证OH·OP=1

    明显可以发现要证△COH∽△POC

    ∵∠ACB==∠BCQ=∠QHB=π/2,得C,H,B,Q四点共圆

    ∴∠OCH+∠ACO=∠QBH=∠BDP+∠BPD=∠BPD+∠CAO

    ∴∠OCH=∠BPD,又∵共角COH,∴△COH∽△POC

    ∴OC²=OH·OP

    作反变换1/φ,可得向量OP·向量OQ=a²

    我们分析一下解这题的思路:1.观察所证结论,发现易于利用圆的性质研究,于是采取仿射手段。2.利用几何方法,将所证代数结论转化为几何结论。3.利用几何方法解决问题。

    接下来给出两道较为相似的例题:

    E:x²/a²+y²/b²=1,左右顶点A,B。过M(s,t)的直线l与E交于C、D两点,于x轴交于点P,直线AC与直线BD交于点Q1,直线AD与直线BC交于点Q2,试证:

    向量OP·向量OQ1=向量OP·向量OQ2=a²,且Q1Q2⊥x轴。

    解法一:利用极点极线的知识,可以发现Q1Q2即为点P的极线,易得以上条件,此处不具体说明。

    解法二:首先,利用仿射变换φ={x’=x/a,y'=y/b}得到单位圆如图。

    46e6f7941993d561ab5724bcc5de4b01.png

    于是进行几何翻译:P是圆直径AB上一点,过P作弦CD,作直线AC,AD,BC,BD相交于Q1和Q2,求证Q1Q2⊥AB,且△COP∽△MOC

    证明:∵∠ACB=∠ADB=∠Q1CB=∠Q2DB=π/2,∴C、D、Q2、Q1四点共圆

    ∴∠ACD=∠AQ2M=∠ABD,∴∠AMQ2=∠ADB=π/2

    ∴C、B、M、Q1四点共圆,设∠CQ1B=∠CMB=α,∴∠CBQ1=∠CAD=π/2-α,∴∠COD=π-2α,因为CO=OD,∴∠COD=α

    ∵共角COM,∴△COP∽△MOC,∴OP·OM=OC²=1作反变换1/φ,可得

    向量OP·向量OQ1=向量OP·向量OQ2=a²,且Q1Q2⊥x轴。

    除此之外,我们还可以得到一个意外的发现:若连接OD,DM,同样有∠CDO=∠OMD,于是就有OM平分∠CMD,由于OM落在x轴上,因此,仿射回去仍然成立,结论为取P(t,0)作弦CD,则M(a²/t,0)O平分∠CMD

    接下来的例三,我只放题和提示图片,请读者自做,当做练习。

    E:x²/a²+y²/b²=1,A,B为E上动点且AB⊥x轴,M(t,0)定,连接MA交E于N,则BN恒过定点P(a²/t,0)

    5272e442166f3ade9ce9a30213f8db0a.png

    注:此三例对于双曲线同样成立,感兴趣可以去证明。

    角平分形:

    C:x²/a²+y²/b²=1,A为C上一定点,E,F为C上动点,若kAE=-kAF,证明kEF为定值。

    证明:首先,利用仿射变换φ={x’=x/a,y'=y/b}得到单位圆如图。

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    不妨作AP⊥x轴,交圆于P,则弧MP=弧NP,连接OP,由垂径定理得OP⊥MN∵P为定点

    ∴kOP定,则kMN定。

    作反变换1/φ,可得:若A(x0,y0),有kOA·kEF=b²/a²

    事实上,题设命题的逆命题同样成立。(对于双曲线也有同样类似的结论)


    k之积为-b²/a²形

    A,B是椭圆x²/a²+y²/b²=1上两动点,M为平面上一点,且向量OM=λ向量OA+u向量OB,则当kOA·kOB=-b²/a²,有M在x²/a²+y²/b²=λ²+u²上。

    证明:首先,利用仿射变换φ={x’=x/a,y'=y/b}得到单位圆

    则有kOA·kOB=-1,则由一线三垂直模型,不妨设A(x1,y1)B(-y1,x1)M(x0,y0)

    所以x0=λx1-uy1①y0=λy1+ux1②

    ①²+②²得:x0²+y0²=(λ²+u²)(x1²+y1²)=λ²+u²,作反变换1/φ,可得:

    M在x²/a²+y²/b²=λ²+u²上

    题中命题的逆命题依然成立。


    面积问题

    例:已知椭圆C:x²/4+y²=1,直线l过定点M(0,2),且与C交于A,B,试求S△OABmax

    解:首先,利用仿射变换φ={x’=x/2,y'=y}得到单位圆,则M’(0,2),由图像可知

    |A’B’|∈(0,2)由于在圆中,定弦对定角,且S’△OAB=sin∠’AOB/2,∴当∠’AOB=π/2时,得S’△OABmax=1/2,作反变换1/φ,可得:S△OABmax=1


    小结:仿射变换对于解椭圆的重要性,在于重新利用圆内的性质。椭圆虽然没能保留圆的几何性质,但却保存了其代数性质,因此,当看到k1·k2=-b²/a²,落在坐标轴上的角平分线以及“1”时,应当敏感地联想到利用仿射变换解题;同时,仿射变换对于解面积也能起到很大的简化作用。而关于蝴蝶定理的掌握,重要的还是学会利用其相等的线段关系,沟通k值的关系,得到结果。仿射变换不是什么时候都好用的,因此不能无脑使用,该设设,该算算才是正确的。

    文末凄惨求赞求喜欢QAQ

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  • 交错的仿射Kac模块

    2020-03-29 23:06:15
    这项工作涉及分数级仿射李代数A1... 我们还获得了Verma模块分解中出现的所有不可约A1(1)-字符的显式表达式,重新检查了Malikov-Feigin-Fuchs向量的构造,并将Fuchs-Astashkevich定理从Virasoro代数扩展到A1(1 )。
  • 文章目录仿射集合与线性子空间的关系线性子空间是必须经过原点的仿射集合不一定经过原点仿射集合减去自身的一个元素就可以变为线性子空间 ...线性子空间必须符合两个重要的定理: 如果x1,x2∈Sx_1...

    最近在学习凸优化,总结一些学到的知识。

    仿射集合与线性子空间的关系

    线性子空间是必须经过原点的

    我这里特意强调了是线性子空间,就是说子空间一定是线性的。其实在线性代数中,subspace就是指的线性子空间。
    线性子空间必须符合两个重要的定理:

    • 如果x1,x2Sx_1,x_2\in \bm{S},则有k1x1+k2x2Sk_1x_1+k_2x_2\in \bm{S};
    • 如果xSx\in \bm{S},则有kxSkx\in\bm{S}

    其中kk为常数,S\bm{S}为一个线性子空间。
    由这两条性质就可以得出:线性子空间必须经过原点。也就是说原点一定是任意线性子空间中的一个点。当然原点本身也算是一个线性子空间。

    仿射集合不一定经过原点

    集合C\bm{C}是仿射的,如果任意x1,x2Cx_1,x_2\in \bm{C},而且θx1+(1θ)x2C\theta x_1+(1-\theta)x_2\in \bm{C}
    所以仿射集合可以不经过原点。

    仿射集合减去自身的一个元素就可以变为线性子空间

    从几何角度考虑,整个集合减去一个元素,就相当于整体平移,而平移的效果就是将不过原点的集合平移到经过原点。

    定理:
    如果C\bm{C}是一个仿射集合,x0Cx_0\in\bm{C},那么
    V=Cx0={xx0xC} \bm{V}=\bm{C}-x_0= \{x-x_0|x\in\bm{C}\}
    是一个线性子空间。

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  • 针对一类具有内部动态和外部扰动未知以及非对称...基于Lyapunov稳定性定理证明了闭环系统的所有信号有界且跟踪误差可渐近收敛到原点的任意小邻域内.仿真比较结果验证了所提出方法的有效性,体现了一定的工程应用价值.
  • 即使已知非仿射非线性系统的逆存在, 利用隐函数定理求解该显式逆仍然非常困难. 为此, 针对一类不确 定块控非仿射系统, 将动态反馈、反演、神经网络和反馈线性化技术相结合, 提出一种自适应鲁棒控制器的设计方...
  • 定理1 设W是线性空间V的非空子集,如果W关于V的加法与数乘运算自身也作成线性空间,则称W是V的线性子空间,记作W≤VW \le VW≤V. 仿射子空间可以看作是线性子空间的平移,V的一个非空子集Y称为仿射子空间...

    学习笔记,仅供参考,有错必纠

    参考文献:《关于线性子空间与仿射子空间的注记》


    线性子空间与仿射子空间


    • 定理1

    设W是线性空间V的非空子集,如果W关于V的加法与数乘运算自身也作成线性空间,则称W是V的线性子空间,记作WVW \le V.


    仿射子空间可以看作是线性子空间的平移,V的一个非空子集Y称为仿射子空间,如果存在一个线性子空间WVW \le V,和向量α0V\alpha_0 \in V,使得:
    Y=α0+W={α0+ββW}(1) Y = \alpha_0 + W = \{\alpha_0 + \beta| \beta \in W \} \tag{1}
    仿射子空间也称线性流形,许多文献已讨论了它的性质,下面的定理从线性方程组的角度刻划了线性子空间与仿射子空间.

    设W是n维线性空间FnF^n的一个非空子集,则:

    • W是V的线性子空间     \iff W是某一齐次线性方程组的解集;
    • W是V的仿射子空间    \iffW是某一非齐次线性方程组的解集。

    • 定理2

    设n维向量β1,β2,,βr\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_rrr维线性空间UU的一组基,令B=(β1,β2,,βr)B = (\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_r)n×rn \times r矩阵,EE是n阶单位矩阵,对矩阵(B,F)(B, F)施行初等行变换化为:
    (B,E)(Cr×rDOA) (B, E) \to \begin{pmatrix} C_{r \times r} & D \\ O & A \\ \end{pmatrix}
    其中rank(C)=r=rank(B)rank(C) = r = rank(B),则UU是其次线性方程组AX=0AX=0的解空间。


    • 定理3

    Y=α0+WY = \alpha_0 + W是线性空间V的仿射子空间α1,α2,,αr\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_r是线性子空间W的一组基,则:

    • β0=α0,β1=α0+α1,,βr=α0+αr\beta_0 = \alpha_0, \beta_1 = \alpha_0 + \alpha_1, \cdots, \beta_r = \alpha_0 + \alpha_r线性无关;
    •   βY\forall \; \beta \in Yβ\beta都能表示成β=i=0ttiβi\beta = \sum_{i=0}^t t_i \beta_i,其中i=0rti=1\sum_{i=0}^r t_i = 1

    这里β0,β1,,βr\beta_0, \beta_1, \cdots, \beta_r称为Y的一组仿射基


    维数公式架起了子空间和与交的维数之间的桥梁,是线性代数中的一个重要定理.

    线性代数中维数公式的证明多采用扩充基的方法,该方法简单直接,但未能真正反映子空间的和与交之间的本质联系.接下来我们通过仿射子空间引入商空间的概念,建立线性空间的同态基本定理,从同构的观点得到维数公式一个新的证明.

    设W是n维线性空间VVrr维子空间.  α,βV\forall \; \alpha, \beta \in V定义VV上的一个二元关系:
    ab    αβW a \sim b \iff \alpha - \beta \in W
    容易验证\sim是V上的一个等价关系,记α\alpha所在的等价类[α]={βVβα}[\alpha] = \{ \beta \in V | \beta \sim \alpha \}.


    下面的定理表明每个等价类都是VV的一个仿射子空间,而且,VV是这些仿射子空间的不交并.

    • 定理4

    [α]=α+W[\alpha] = \alpha + W,且V=αV[α]V = \bigcup_{\alpha \in V}[\alpha]


    • 定理5

    UU是线性子空间WWVV中的补子空间,则V/WUV/W \cong U,且:
    dimV/W=dimU=dimVdimW dim V/W = dim U = dimV - dimW


    • 定理6

    σ:VU\sigma : V \to U是从线性空间VV到线性空间UU的线性满射, 则:
    V/Ker  σU V/Ker \; \sigma \cong U

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  • 在学习仿射密码之前我们首先需要了解几个定理 定理 同余方程唯一解定理 设a ∈ Zm,对任意的b∈Zm,同余方程ax ≡ b (mod m)有唯一解x∈Zm的充分必要条件是gcd(a, m) = 1*.* 证明:假设gcd(a,m)=d>1,则同余方程...
  • 最近做Nvidia AI city challenge track1遇到了一个calibration问题,感觉跟仿射映射有点关系,但是感觉线代基本都不...首先列几个定义与定理,从而使我后文叙述方便: -----------------------------------------...
  • 仿射变换:一次线性变换复合一个平移,相当于平行投影。单比: 交比: 对偶元素:在平面几何内点与直线互为对偶元素。对偶命题:把命题中所有点按一定方式替换为直线,所有直线按一定方式替换为点,并把“过一点作一...
  • 一次同余方程唯一解定理 首先介绍几个概念: 1.模同余 模同余:给定一个正整数m,如果两个整数a和b满足a-b能够被m整除,即(a-b)/m得到一个整数,那么就称整数a与b模m同余,记作a≡b(mod m)。对模m同余是整数的一个...
  • 作者: 谢彦麟 出版社: 哈尔滨工业大学出版社 ... 数学中的小问题大定理(第6辑) (共8册), 这套丛书还有 《我们周围的概率》,《无穷小量的求和》,《数论三角形》,《易学与数学奥林匹克》,《数学归纳法》 等。
  • ≡表示该符号两边无论在自变量取何值时,等式两边恒等.这种题目可以用自变量系数相等,列出若干等式,解方程组,得式中的参变量,...仿射变换密码c=(ap+b)mod26,a为什么与26互素 如果a=3 c就有可能=0得不到值,无法解密 ...
  • 1.3. 香农三大定理 2 2. 古典密码 2 2.1. 古典密码学可以分为代替密码(也叫做移位密码)和置换密码(也叫做换位密码)两种,其中代替密码典型的有Caesar密码,仿射变换等,置换密码有单表置换和多表置换等 2 2.2...
  • 仿射集(affine sets)

    2016-11-25 17:21:44
    该文档介绍了凸分析中与仿射集相关的基础概念及一些定理,像仿射组合,仿射无关,仿射变换,还有超平面的概念。
  • 全书共分五章:前四章是根据克莱因的变换群观点,以射影变换为基本线索,介绍一维和二维射影几何的基本内容和射影观点下的仿射几何与欧氏几何理论,其中重点讨论二次曲线的射影、仿射和度量理论,以明确各几何学的...
  • 简单RSA公钥系统

    2020-12-10 22:44:44
    文章目录信息安全的需求密码系统几个概念私钥系统移位密码仿射密码换位密码公钥系统数论群公理整除和模运算整除基本运算性质模运算的一些基本性质同余的一些基本性质模运算的一些应用指数模运算素数算数基本定理推论...
  • 仿射Kahler-Ricci 平坦图上的一个刚性定理,李安民,许瑞伟,著名的Pogorelov定理说:定义在整个空间上的可微凸函数,若它的二阶偏导数构成的行列式为常数,则它必须是一个二次多项式。本文证明
  • 理和中值定理将未知非仿射输入函数进行分解, 使其含有显式的控制输入; 利用简化的神经网络逼近未知非线性函 数, 对于?? 阶SISO 纯反馈系统, 仅一个参数需要更新; 动态面控制可消除反推设计中由于对虚拟控制反复...
  • 陆地自主车控制系统体现为一类具有范数有界形式参数不确定性的连续广义分段仿射系统,通过采用广义分段仿射Lyapunov函数、投影定理以及几个基本引理,使得由所设计弹性控制器构成的反馈系统既满足鲁棒H-infinite性能...
  • 矩阵的极分解证明

    千次阅读 2018-04-09 00:39:00
    仿射变换一文中使用过该定理,证明于此。 转载于:https://www.cnblogs.com/zhixingr/p/8750104.html
  • 基于差分进化-牛顿拉夫逊算法三相潮流计算研究,罗艳红,于博,本文主要考虑解决潮流计算初值选取问题的牛顿类潮流计算问题。提出基于仿射不变量的牛顿法潮流计算收敛性定理,并给出了严谨的证
  • 03 凸函数

    2020-01-29 22:51:28
    03 凸函数 目录 3.1 凸函数的定义、性质(凸函数的判定)、示例 3.2 保凸运算 3.4 拟凸函数 3.5 对数凸函数 ...定理1:仿射函数等价于既凸又凹函数。 定理2*:凸函数的充要条件是与其定义域相交的任何直线上...
  • <br>目录 第一部分 基础知识和基本定理 第一章 Riemann流形 §1.1 流形、切空间和切丛 §1.2 Riemann联络和仿射联络 §1.3 向量场的平行移动和测地线 §1.4 第一变分公式 §1.5 指数映照, ...
  • 2.2仿射空间中的代数集 2.3射影空间中的代数集 2.4准代数簇 2.5准代数簇的局部环和函数域 2.6代数簇的积 2.7准代数簇的维数理论 2.8射影簇的Hilbert多项式 2.9有理映射 2.10代数簇的光滑性 第3章 一维代数函数域 ...
  • §1.2 仿射坐标变换 §1.3 超平面 §1.4 二次超曲面 §1.5 仿射变换群 §1.6 仿射几何学大意 §1.7 等距变换群 §1.8 体积问题 §1.9 射影平面 §1.10 射影变换 §1.11 群在集合上的作用 第2章 微分流形 §2.1 引言 ...
  • 数学基础—ML

    2017-10-01 23:40:04
    定理1 向量范数和矩阵范数 常见的向量范数 矩阵范数 常见的矩阵范数 常见的算子范数 凸优化 凸集 凸函数 凸优化问题 仿射函数 拉格朗日对偶性 原始问题 对偶问题 开篇机器学习里面有着众多的数学理论...
  • 通过Atiyah [1]的一个定理,这些扇区可以由CP1上的超对称非线性sigma模型捕获,目标空间基于SU(k)的环组。 由L2-谐函数类描述的基态在仿射李代数上形成模块,而由手性微分算子描述的左激态在环形李代数上形成模块...
  • 3.1仿射加密 3.2矩阵加密 第4章剩余系 4.1完全剩余系 4.2简化剩余系 4.3Euler定理,Fermat定理 4.4数论函数 第5章不定方程 5.1一次不定方程 5.2方程x2+y2=x2 第6章同余方程 6.1同余方程的基本概念 6.2...
  • 3.1仿射加密 3.2矩阵加密 第4章剩余系 4.1完全剩余系 4.2简化剩余系 4.3Euler定理,Fermat定理 4.4数论函数 第5章不定方程 5.1一次不定方程 5.2方程x2+y2=x2 第6章同余方程 6.1同余方程的基本概念 6.2...

空空如也

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仿射定理