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  • 为解决仿射控制系统关于由不等式表示的区域生存解的判别问题,利用非光滑分析理论和Gordan引理,给出了仿射非线性系统中类似KKT条件生存解的判别条件。最终将此判别条件推广到一般非线性控制系统生存域的判别条件。
  • 仿射控制形式的范德波尔振荡器的ZG轨迹生成,并处理了分零零问题
  • 文章目录写在前面预备基础分层拉普拉斯矩阵有向图下的仿射队形有向图下的仿射可操控条件leader和follower分层控制律 写在前面 原论文标题:Layered Affine Formation Control of Networked Uncertain Systems: A ...

    写在前面

    原论文标题:Layered Affine Formation Control of Networked Uncertain Systems: A Fully Distributed Approach Over Directed Graphs

    本文为近期阅读的论文(Dong 2020)1的笔记。该论文研究欧拉-拉格朗日系统(以下称EL系统)有向图拓扑下的分布式仿射编队控制。论文重点集中于两处:其一,有向图下的仿射可操控条件;其二,leader和follower分层控制律。

    预备基础

    这里默认读者都看过Lin 20162和Zhao 20183,这两篇论文是以下内容的基础,证明不再给出,请自行参阅原论文。由于不同论文所用标志符号不同,本文所用标志符号统一与前文(仿射队形控制原理与stress matrix的构建)一致。

    分层拉普拉斯矩阵

    定义1:nominal formation (G,r)(\mathcal G,r)称为仿射可操控(affine maneuverable),当且仅当对任意q=[qlT,qfT]TA(r)RNdq=[q_l^T,q_f^T]^T\in\mathcal A(r)\in\mathbb R^{Nd}qfq_f可以被qlq_l唯一表示,即
    qf=((Lf1s)1Lf2sId)ql q_f=-((L_{f1}^s)^{-1}L_{f2}^s\otimes I_d)q_l。

    注意:这里的“仿射可操控”其实就是Zhao 2018的“仿射可定位”,整合了Zhao的一部分相关结论。

    上面定义中用到的拉普拉斯矩阵在论文中也有重新定义,为分层拉普拉斯矩阵(Layered Laplacian matrix),即
    L=[00NlT0NfTLl2Ll10Nl×Nf0NfLf2sLf1s] L^\dagger=\begin{bmatrix}0&0_{N_l}^T&0_{N_f}^T\\ L_{l2}&L_{l1}&0_{N_l\times N_f}\\ 0_{N_f}&L_{f2}^s&L_{f1}^s\end{bmatrix},
    其中Ll1RNl×NlL_{l1}\in\mathbb R^{N_l\times N_l}表示leader之间的拓扑,Ll2RNl×1L_{l2}\in\mathbb R^{N_l\times 1},表示leader与虚拟agent的拓扑,Lf1sRNf×NfL_{f1}^s\in\mathbb R^{N_f\times N_f}表示follower之间的拓扑,Lf2sRNf×NlL_{f2}^s\in\mathbb R^{N_f\times N_l}表示leader和follower之间的拓扑。

    综上所述,分层拉普拉斯矩阵表示分层的拓扑结构,第一层是普通拉普拉斯矩阵
    L=[00NlLl2Ll1]R(Nl+1)×(Nl+1) L=\begin{bmatrix}0&0_{N_l}\\ L_{l2}&L_{l1}\end{bmatrix}\in\mathbb R^{(N_l+1)\times (N_l+1)},
    第二层是带符号拉普拉斯矩阵
    Ls=[0Nl×Nl0Nl×NfLf2sLf1s]R(Nl+Nf)×(Nl+Nf) L^s=\begin{bmatrix}0^{N_l\times N_l}&0^{N_l\times N_f}\\ L_{f2}^s &L_{f1}^s\end{bmatrix}\in\mathbb R^{(N_l+N_f)\times(N_l+N_f)}。
    整个控制过程的逻辑结构是,一个虚拟agent 0(如:人的输入)控制多个leader,再由leader控制follower。为了完成这个控制过程,需要以下假设和引理。

    令所有agent的label为0,1,,Nl,,Nl+Nf0,1,\cdots,N_l,\cdots,N_l+N_f。前Nl+1N_l+1个组成图Gl\mathcal G_l

    假设4:对于第一层的Nl(Nld+1)N_l(N_l\geq d+1)个leader,图Gl\mathcal G_l中存在一个有向生成树,其中root为agent 0。

    引理1:对于第一层,如果图Gl\mathcal G_l中存在一个有向生成树,那么下列声明成立:

    1. Ll1L_{l1}非奇异;
    2. 所有Ll1L_{l1}的特征根有正实部;
    3. Ll11Ll2-L_{l1}^{-1}L_{l2}每一个元素非负,每一行和为1。

    证明:前两条证明见Meng 20134的Lemma 2.1,第三条证明见Meng 20105的Lemma 4。Ll1L_{l1}是一个non-singular M-matrix,满足inverse-positive,即Ll11L_{l1}^{-1} exists and Ll110L_{l1}^{-1}\geq 0 element-wisely6。而Ll2L_{l2}的每一个元素非正,因为agent 0只可能是leader的in-neighbor。因此Ll11Ll2-L_{l1}^{-1}L_{l2}的每一个元素非负。注意到[Ll2Ll1][11Nl]=0\begin{bmatrix}L_{l2} &L_{l1}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\\ 1_{N_l}\end{bmatrix}=0。因此,Ll2=Ll11NlL_{l2}=-L_{l1}1_{N_l},即Ll11Ll2=1Nl-L_{l1}^{-1}L_{l2}=1_{N_l}行和为1(全1列向量)。

    有向图下的仿射队形

    以下定义和假设出自Zhao 2018,详见前文(仿射队形控制原理与stress matrix的构建)。

    定义configuration matrix P(q)P(q)和augmented matrix Pˉ(q)\bar P(q)

    假设5:nominal configuration rr is generic.

    以下定义和引理出自Lin 2016:

    若有向图G=(V,E)\mathcal G=(\mathcal V,\mathcal E)中存在边(j,i)E(j,i)\in\mathcal E,方向为jij \to i,那么jjii的in-neighbor,iijj的out-neighbor。

    定义2.1:对于有向图G\mathcal G,如果去掉除节点vVv\in\mathcal V外的任意k1k-1个节点,仍然存在一条路径(path)从某一节点uUu\in\mathcal U到节点vv,那么节点vv被称为kk-reachable from 非单元素(non-singleton)集合U\mathcal U

    从上面的定义中,我们可以得知:

    • U\mathcal U的元素必定大于等于kk个,才能保证去掉k1k-1个节点后U\mathcal U\neq \empty
    • 从集合U\mathcal U到节点vv至少有kk互不相交(disjoint)的路径。

    定义2.2:有向图G\mathcal Gkk-rooted,如果存在包含kk个节点的子集,称为(root)集,从根集出发所有其他节点都kk-reachable。

    定义2.3:对于有向图G=(V,E)\mathcal G=(\mathcal V,\mathcal E),一个根集为R={r1,,rk}V\mathcal R=\{r_1,\cdots,r_k\}\subset \mathcal Vkk-生成树(spanning kk-tree)是一个生成子图(spanning subgraph)T=(V,Eˉ)\mathcal T=(\mathcal V,\bar {\mathcal E}),其满足:

    1. 每一个节点rRr\in\mathcal R都没有in-neighbor;
    2. 每一个节点vRv\notin\mathcal R都有kk个in-neighbor;
    3. 每一个节点vRv\notin\mathcal Rkk-reachable from R\mathcal R

    从上面的定义中,我们可以得知:

    • 有向图G\mathcal G如果有kk-生成树,那么一定kk-rooted;
    • 如果节点kk-reachable,那么必然有kk个in-neighbor。

    引理2 (Lemma 2.1, Lin 2016):图G\mathcal G有一个kk-生成树,当且仅当图G\mathcal Gkk-rooted。

    只需证明必要性。令根集为R\mathcal R,并移除所有incoming edge,其他节点仍然kk-reachable。再移除其他节点的多余incoming edge,只留下kk个保证kk-reachable。通过上述两步得到kk-生成树,利用了kk-路径的互不相交性。

    引理3 (Lemma 4.1, Lin 2016):对于有向图G\mathcal G,如果它是kk-rooted,那么相关的LsL^s满足:

    1. 去掉与根节点相关的kk行和kk列所得子矩阵的主子式(principal minor)不为0;
    2. 去掉与根节点相关的kk行和任意的kk列所得子矩阵是非奇异的。

    回顾一下,余子式(minor)[A]i,j[A]_{i,j}是原矩阵AA去掉第ii行和第jj列后的子矩阵的行列式,如果i=ji=j,则为主子式7

    参考Lin 2016,定义仿射队形可实现(realizable)为:(LsId)q=0(L^s\otimes I_d)q=0当且仅当qA(r)q\in\mathcal A(r)

    引理4 (Theorem 4.1, Lin 2016):假如有向图G\mathcal GNd+2N\geq d+2个节点,且rr是generic。那么仿射队形可实现当且仅当G\mathcal G(d+1)(d+1)-rooted。

    有向图下的仿射可操控条件

    定理1:在假设5条件下,nominal formation (G,r)(\mathcal G,r)仿射可操控,当且仅当leader集合Vl\mathcal V_l有至少d+1d+1个节点,同时集合VfV_f中的每一个follower都(d+1)(d+1)-reachable from集合VlV_l

    证明:(充分性) 满足条件的G\mathcal G(d+1)(d+1)-rooted,所以有kk-生成树,仿射队形可实现。再加上Lf1sL_{f1}^s的非奇异性,队形可被唯一确定,即仿射可操控。(必要性) 如果仿射可操控,必然存在LsL^s使得仿射队形可实现,故G\mathcal G(d+1)(d+1)-rooted满足条件。

    假设6:集合VfV_f中的每一个follower都(d+1)(d+1)-reachable from集合VlV_l

    leader和follower分层控制律

    问题1:给定初始队形G(q(0))\mathcal G(q(0))和nominal configuration matrix P(r)P(r),为每一个agent设计基于邻居相对位置和速度的控制律τi(t)\tau_i(t),使得ql(Ll11Ll2Id)q0+pq_l\to -(L_{l1}^{-1}L_{l2}\otimes I_d)q_0+p,且qf((Lf1s)1Lf2sId)qlq_f\to-((L_{f1}^s)^{-1}L_{f2}^s\otimes I_d)q_l误差有界,其中p=[p1T,,pNlT]Tp=[p_1^T,\cdots,p_{N_l}^T]^Tpip_i为相对于nominal formation的位移。

    可以看出,(Ll11Ll2Id)q0-(L_{l1}^{-1}L_{l2}\otimes I_d)q_0实现consensus,即所有leader收敛于q0q_0,再加上pp即为相对q0q_0的位移。

    论文对两层都用了自适应NN控制律(adaptive NN-based control law),误差有限时间收敛到原点的一个邻域,即practical finite-time stability8

    注意:这里的practical是针对EL系统的模型不确定性来说的,如果模型完全确定,那么是可以有限时间收敛到原点的。

    至于自适应NN控制律如何设计,我在这里挖个坑,之后的文章里结合Wang 20099讲。


    1. Li, D., Ma, G., Xu, Y., He, W., & Ge, S. S. (2020). Layered Affine Formation Control of Networked Uncertain Systems: A Fully Distributed Approach Over Directed Graphs. IEEE Transactions on Cybernetics, 1–12. https://doi.org/10.1109/tcyb.2020.2965657 ↩︎

    2. Lin, Z., Wang, L., Chen, Z., Fu, M., & Han, Z. (2016). Necessary and sufficient graphical conditions for affine formation control. IEEE Transactions on Automatic Control, 61(10), 2877–2891. https://doi.org/10.1109/TAC.2015.2504265 ↩︎

    3. Zhao, S. (2018). Affine Formation Maneuver Control of Multiagent Systems. IEEE Transactions on Automatic Control, 63(12), 4140–4155. https://doi.org/10.1109/TAC.2018.2798805 ↩︎

    4. Meng, Z., Lin, Z., & Ren, W. (2013). Robust cooperative tracking for multiple non-identical second-order nonlinear systems. In Automatica (Vol. 49, pp. 2363–2372). Elsevier Ltd. https://doi.org/10.1016/j.automatica.2013.04.040 ↩︎

    5. Meng, Z., Ren, W., & You, Z. (2010). Distributed finite-time attitude containment control for multiple rigid bodies. Automatica, 46(12), 2092–2099. https://doi.org/10.1016/j.automatica.2010.09.005 ↩︎

    6. Wikipedia contributors. (2020, August 29). M-matrix. In Wikipedia, The Free Encyclopedia. Retrieved 08:23, October 8, 2020, from https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=M-matrix&oldid=975609653 ↩︎

    7. Wikipedia contributors. (2020, May 20). Minor (linear algebra). In Wikipedia, The Free Encyclopedia. Retrieved 02:22, October 8, 2020, from https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Minor_(linear_algebra)&oldid=957799839 ↩︎

    8. Zhu, Z., Xia, Y., & Fu, M. (2011). Attitude stabilization of rigid spacecraft with finite-time convergence. International Journal of Robust and Nonlinear Control, 21(6), 686–702. https://doi.org/10.1002/rnc.1624 ↩︎

    9. Wang, L., Chai, T., & Zhai, L. (2009). Neural-network-based terminal sliding-mode control of robotic manipulators including actuator dynamics. IEEE Transactions on Industrial Electronics, 56(9), 3296–3304. https://doi.org/10.1109/TIE.2008.2011350 ↩︎

    展开全文
  • 利用采样数字控制系统的方法分析了一类混杂动态系统模型描述的仿射非线性网络控制系统的稳定性问题.针对一类仿射非线性对象和线性数字控制器组成的网络控制系统,虑了网络诱导延时对系统稳定性的影响,得到了仿射非...
  • 针对一类不确定非仿射非线性系统的跟踪控制问题, 提出一种鲁棒Backstepping 控制策略. 首先, 为利用仿 射非线性方法设计控制器, 给出一种适用于全局的非仿射非线性近似方法; 然后, 设计快速收敛非线性微分器以估计...
  • 提出一种基于控制点一致性约束的稳健仿射迭代最近点算法,该方法通过建立控制点约束下的目标函数,引导数据点集仿射配准到目标点集,建立数据点集和目标点集的最近点对应关系,采用随机抽样一致性方法筛选高精度形状...
  • 仿射变换

    2017-04-13 16:20:41
    仿射变换含义 仿射变换是指在几何中,一个向量空间(vector space)进行一次线性变换(linear ...其矩阵表达形式(matrix formal)为: A控制旋转与缩放,b控制平移: 我们使用Python语言对之进行演示:import num

    仿射变换含义

    仿射变换是指在几何中,一个向量空间(vector space)进行一次线性变换(linear transformation)并拼上一个平移(Translation )。所以,本质上仿射变换针对的是某一向量空间(当然该空间中的任一向量)。

    这里写图片描述
    其矩阵表达形式(matrix formal)为:

    ss

    A控制旋转与缩放,b控制平移:

    这里写图片描述
    我们使用Python语言对之进行演示:

    import numpy as np
    x = np.array((1, 2, 3))
    b = np.ones(2)
    A = np.random.rand(2, 3)
    y1 = np.dot(A, x) + b
                    #  array([ 4.17327185,  4.0755495 ])
    
    A_aug = np.hstack((A, b.reshape((-1, 1))))
    A_aug = np.vstack((A_aug, np.hstack(np.zeros(3), 1).reshape((1, -1))))
    y2 = np.dot(A_aug, np.hstack((x, 1)).reshape((-1, 1)))
                        # array([[ 4.17327185],
                        # [ 4.0755495 ],
                        # [ 1.        ]])
    
    
    # 上述构造的方式仍稍显繁琐,这里再提供一种方式
    A_aug = np.zeros((A.shape[0]+1, A.shape[1]+1))
    A_aug[-1, -1] = 1
    A_aug[:-1, :-1] = A
    A_aug[:-1, -1] = b
    np.dot(A_aug, np.hstack((x, 1)).reshape((-1, 1)))
    展开全文
  • 研究非线性奇异系统的反馈稳定化问题. 首先给出仿射非线性奇异系统反馈稳定化的概念;... 最后证明了对于正则仿射非线性奇异系统, 当其零动态渐近稳定时, 该系统可通过反馈控制实 现系统的稳定化.</p>
  • 不确定仿射非线性系统的全局鲁棒最优滑模控制
  • 文章目录写在前面预备基础线性相关和仿射相关Stress MatrixDistance RigidityAffine Formation Control的实现Affine Image和Stress Matrix的关系什么条件下Stress Matrix可行如何构建Stress Matrix奇异值分解的原理...

    写在前面

    原论文标题:Affine Formation Maneuver Control of Multiagent Systems.

    本文为近期阅读的论文(Zhao 2018)1的笔记。该论文研究基于仿射变换的编队控制,重点集中于如何通过控制leader实现maneuver。

    预备基础

    column stack(记作vec)的性质:
    vec(ABC)=(CTA)vec(B)xy=vec(yxT) \begin{aligned} \operatorname{vec}(ABC)&=(C^T\otimes A)\operatorname{vec}(B)\\ x\otimes y&=\operatorname{vec}(yx^T) \end{aligned}
    configuration matrix定义为:
    P(p)=[p1TpnT]Pˉ(p)=[P(p)1n] P(p)=\begin{bmatrix} p_1^T\\ \vdots\\ p_n^T \end{bmatrix},\,\bar P(p)=\begin{bmatrix}P(p)&1_n\end{bmatrix},
    其中piRdp_i\in\mathbb R^d的column stack叫做configuration p=[p1T,,pnT]Tp=[p_1^T,\cdots,p_n^T]^T

    结合上面两个,得到一个多智能体控制中常用的性质:
    vec((LP(p))T)=(LId)vec(PT(p))(1) \operatorname{vec}((LP(p))^T) = (L\otimes I_d)\operatorname{vec}(P^T(p))。\qquad (1)
    该性质在matlab编程中可以简化代码。

    线性相关和仿射相关

    线性相关(linearly dependant)要求i=1naipi=0\sum_{i=1}^na_ip_i=0,而仿射相关(affinely dependant)额外要求i=1nai=0\sum_{i=1}^n a_i=0。这个区别直接反映在configuration matrix上,故{pi}i=1n\{p_i\}_{i=1}^n仿射相关当且仅当Pˉ(p)\bar P(p)行线性相关,即PˉT(p)a=0\bar P^T(p)a=0

    仿射相关肯定线性相关,反之不一定。线性无关肯定仿射无关,反之不一定。

    由于Pˉ(p)\bar P(p)d+1d+1列,所以Rd\mathbb R^d空间最多有d+1d+1个点仿射无关(affinely independant)。相对应的,Rd\mathbb R^d空间最多有dd个点线性无关(linearly dependant)。

    {pi}i=1n\{p_i\}_{i=1}^n中存在d+1d+1个点仿射无关时,Rd\mathbb R^d可以被{pi}i=1n\{p_i\}_{i=1}^n仿射展开(affine span),此时Pˉ(p)\bar P(p)行线性无关,rank(Pˉ(p))=d+1\operatorname{rank}(\bar P(p))=d+1

    引理1:{pi}i=1n\{p_i\}_{i=1}^n仿射展开Rd\mathbb R^d,当且仅当nd+1n\geq d+1rank(Pˉ(p))=d+1\operatorname{rank}(\bar P(p))=d+1

    Stress Matrix

    对基于图论定义的formation(G,p)(\mathcal G,p)stress是每条边上的标量权重,{ωij}(i,j)E\{\omega_{ij}\}_{(i,j)\in\mathcal E} ,其中ωij=ωjiR\omega_{ij}=\omega_{ji}\in\mathbb R

    equilibrium stress满足
    jNiωij(pipj)=0iV(2) \sum_{j\in\mathcal N_i}\omega_{ij}(p_i-p_j)=0,\,i\in\mathcal V。 \qquad (2)
    可知,如果ω\omega是equilibrium stress,则kωk\omega也是(k0k\neq 0)。

    Distance Rigidity

    对于一组formation,满足等价和全等的条件为:

    • 等价(equivalent):图相同的情况下,任意一条边对应的两个节点,在不同的formation中距离相等。

    • 全等(congruent):图相同的情况下,任意两个节点,在不同的formation中距离相等。

    globally rigid:对于一个formation,等价和全等同时成立。

    universally rigid:对于一个formation,在任意Rd1\mathbb R^{d_1}空间满足globally rigid,其中d1dd_1\geq d

    应用式(1),定义对称的equilibrium stress matrix Ω\Omega,我们将平衡条件式(2)重写为
    (ΩId)p=vec((ΩP(p))T)=0(3) (\Omega\otimes I_d)p=\operatorname{vec}((\Omega P(p))^T)=0。\qquad (3)
    由于rank(P(p))=d+1\operatorname{rank}(P(p))=d+1,故rank(Ω)=nd1\operatorname{rank}(\Omega)=n-d-12

    引理2:给定无向图G\mathcal Ggeneric configuration pp,formation (G,p)(\mathcal G,p)是universally rigid当且仅当存在半正定stress matrix Ω\Omega满足rank(Ω)=nd1\operatorname{rank}(\Omega)=n-d-1

    注意:线性代数里正定性的前提是实对称矩阵。

    Consider all of the coordinates of p=[p1T,,pnT]Tp=[p_1^T,\cdots,p_n^T]^T as a set of numbers x1,x2,,xdnx_1, x_2,\cdots,x_{dn}, and consider any non-zero polynomial equation f(x1,x2,,xdn)f(x_1, x_2,\cdots,x_{dn}) with integer coeffcients and the numbers (the coordinates) substituted for the variables x1,x2,,xdnx_1, x_2,\cdots,x_{dn}. If f(p)0f(p) \neq 0 for every such ff, we say that the configuration is generic.3

    论文(Zhao 2018)中对generic的定义是:the coordinates of all the nodes do not satisfy any nontrivial equations with rational coefficients. 由于有理数可以通过乘以最小公倍数得到整数,该定义与上述定义一致。

    Affine Formation Control的实现

    给定nominal configuration r=[r1T,,rnT]Tr=[r_1^T,\cdots,r_n^T]^T和nominal formation (G,r)(\mathcal G,r),target formation中的configuration为
    p(t)=[InA(t)]r+1nb(t)A(t)Rd×db(t)Rd p^*(t)=[I_n\otimes A(t)]r+1_n\otimes b(t),A(t)\in\mathbb R^{d\times d},b(t)\in\mathbb R^d,
    p(t)A(r)p^*(t)\in\mathcal A(r),其中A(r)\mathcal A(r)rr的affine image。

    引理3:A(r)\mathcal A(r)的维度为d2+dd^2+d当且仅当{ri}i=1n\{r_i\}_{i=1}^n仿射展开Rd\mathbb R^d

    假设1:{ri}i=1n\{r_i\}_{i=1}^n仿射展开Rd\mathbb R^d。我们不讨论控制算法的设计和稳定性证明,主要研究下面几个问题。

    Affine Image和Stress Matrix的关系

    引理4:对任意nominal configuration rr,以下条件始终成立:
    A(r)Null(ΩId)Col(Pˉ(r))Null(Ω) \begin{aligned} \mathcal A(r)&\subseteq \operatorname{Null}(\Omega\otimes I_d),\\ \operatorname{Col}(\bar P(r))&\subseteq\operatorname{Null}(\Omega)。 \end{aligned}

    因为{ri}i=1n\{r_i\}_{i=1}^n满足(2),所以{Ari+b}i=1n\{Ar_i+b\}_{i=1}^n满足(2),第一个条件成立。由式(3)知,第二个条件成立。

    假设2:nominal formation (G,r)(\mathcal G,r)存在满足引理2的Ω\Omega

    引理5:满足假设2的条件下,下列条件等价。

    1. {ri}i=1n\{r_i\}_{i=1}^n仿射展开Rd\mathbb R^d
    2. Null(ΩId)=A(r)\operatorname{Null}(\Omega\otimes I_d)=\mathcal A(r)
    3. Null(Ω)=Col(Pˉ(r))\operatorname{Null}(\Omega)=\operatorname{Col}(\bar P(r))

    在引理4的基础上,证明引理5只需要证明维度相等。由假设2和引理2,知dim(Null(Ω×Id))=d(d+1)\operatorname{dim}(\operatorname{Null}(\Omega\times I_d))=d(d+1),再由引理3,知两者维度相等。同理可证第3条。

    什么条件下Stress Matrix可行

    定理1:满足假设1的条件下,nominal formation (G,r)(\mathcal G,r)仿射可定位(affinely localizable)当且仅当leader节点,即{ri}iVl\{r_i\}_{i\in\mathcal V_l},仿射展开Rd\mathbb R^d

    仿射可定位:已知(G,r)(\mathcal G,r),给定leader节点plp_l可以唯一确定target configuration p=[plT,pfT]Tp=[p_l^T,p_f^T]^T。也就是说,AAbb被唯一确定。

    推论1:如果{ri}iVl\{r_i\}_{i\in\mathcal V_l}仿射展开Rd\mathbb R^d,那么对任意pA(r)p\in\mathcal A(r),相对应的AAbb被唯一确定为
    A=(iVlpir~iT)(iVlr~ir~iT)1b=1nliVlpiArˉ \begin{aligned} A&=\left(\sum_{i\in\mathcal V_l}p_i\tilde r_i^T\right)\left(\sum_{i\in\mathcal V_l}\tilde r_i\tilde r_i^T\right)^{-1},\\ b&=\frac{1}{n_l}\sum_{i\in\mathcal V_l}p_i-A\bar r, \end{aligned}
    其中rˉ=iVlri/nl\bar r=\sum_{i\in\mathcal V_l}r_i/n_lr~i=rirˉ\tilde r_i=r_i-\bar r

    由推论1可知,{ri}iVl\{r_i\}_{i\in\mathcal V_l}仿射展开Rd\mathbb R^d当且仅当iVlr~ir~iT\sum_{i\in\mathcal V_l}\tilde r_i\tilde r_i^T非奇异。

    下面研究什么样的Ω\Omega满足仿射可定位。定义Ωˉ=ΩId=[ΩˉllΩˉlfΩˉflΩˉff]\bar \Omega=\Omega\otimes I_d=\begin{bmatrix}\bar \Omega_{ll}&\bar \Omega_{lf}\\\bar \Omega_{fl}&\bar \Omega_{ff}\end{bmatrix}

    定理2:满足假设1、2的情况下,nominal formation (G,r)(\mathcal G,r)仿射可定位当且仅当Ωˉff\bar \Omega_{ff}非奇异。此时,pfp_f被唯一确定,即pf=Ωˉff1Ωˉflplp_f=-\bar \Omega_{ff}^{-1}\bar \Omega_{fl}p_l

    假设3:nominal formation (G,r)(\mathcal G,r)仿射可定位。

    假设1、2保证Ω\Omega的零空间正好是affine image。假设3保证Ωˉff\bar \Omega_{ff}是正定的(因为Ωˉ\bar \Omega半正定,且Ωˉff\bar \Omega_{ff}非奇异)。

    参考schur complement condition4,对于X=[A,B;BT,C]X=[A,B;B^T,C],有:

    1. X>0X>0 A>0,CBTA1B>0\Leftrightarrow A>0, C-B^T A^{-1}B>0
    2. X>0X>0 C>0,ABC1BT>0\Leftrightarrow C>0, A-B C^{-1} B^T>0
    3. 如果A>0A>0,那么 X0X\geq 0 \Leftrightarrow CBTA1B0C-B^TA^{-1}B\geq 0
    4. 如果C>0C>0,那么 X0X\geq 0 \Leftrightarrow ABC1BT0A-BC^{-1}B^T\geq 0

    如何构建Stress Matrix

    HRE×nH\in\mathbb R^{|\mathcal E|\times n}为incidence matrix。已知formation (G,r)(\mathcal G,r)如何求取Ω\Omega满足平衡条件?

    首先,由Ω=HTdiag(ω)H\Omega=H^T\operatorname{diag}(\omega)HΩPˉ(r)=0\Omega\bar P(r)=0,知PˉT(r)HTdiag(ω)H=PˉT(r)HTdiag(ω)[h1,,hn]=0\bar P^T(r)H^T\operatorname{diag}(\omega)H=\bar P^T(r)H^T\operatorname{diag}(\omega)[h_1,\cdots,h_n]=0

    diag(ω)hi=diag(hi)ω\operatorname{diag}(\omega)h_i=\operatorname{diag}(h_i)\omega,两者位置互换,得到PˉT(r)HTdiag(hi)w=0\bar P^T(r)H^T\operatorname{diag}(h_i)w=0

    定义E=[PˉT(r)HTdiag(h1)PˉT(r)HTdiag(hn)]E=\begin{bmatrix}\bar P^T(r)H^T\operatorname{diag}(h_1)\\ \vdots\\\bar P^T(r)H^T\operatorname{diag}(h_n)\end{bmatrix}。则Eω=0E\omega=0,因此ω\omegaEE的零空间里。

    定义z1,,zqREz_1,\cdots,z_q\in\mathbb R^{|\mathcal E|}EE的零空间上的一组基。则ω=i=1qcizi\omega=\sum_{i=1}^qc_iz_i,其中c1,,cnRc_1,\cdots,c_n\in\mathbb R是一组待定系数。

    对于宽(fat)矩阵ARm×nA\in\mathbb R^{m\times n},其零空间可以写为InAAI_n-A^\dagger A,然而ERn(d+1)×EE\in\mathbb R^{n(d+1)\times |\mathcal E|}也可能是长(slim)矩阵。

    对于长矩阵ARm×nA\in\mathbb R^{m\times n},可以通过奇异值分解求AA的零空间。

    然后,我们继续确定系数c1,,cnRc_1,\cdots,c_n\in\mathbb R。令Pˉ(r)=UΣVT\bar P(r)=U\Sigma V^T。令U=[U1,U2]U=[U_1,U_2],其中U1U_1包含UU的前d+1d+1列。因为Pˉ(r)\bar P(r)的秩为d+1d+1,所以U1U_1是非零奇异值对应的左奇异向量,即Pˉ(r)\bar P(r)的列空间。同理U2U_2PˉT(r)\bar P^T(r)的零空间。

    根据假设2和引理2,我们要求Ω\Omega是半正定,且秩为nd1n-d-1

    因为ΩPˉ(r)=0\Omega \bar P(r)=0,故ΩU1=0\Omega U_1=0,所以Ω\Omega在前d+1d+1维秩为0,于是剩下的nd1n-d-1维需要满秩,即Ω\OmegaPˉT(r)\bar P^T(r)的零空间上正定,对任意xNull(PˉT(r))x\in\operatorname{Null}(\bar P^T(r)),有xTΩx>0x^T\Omega x>0。换句话说,对任意yRny\in\mathbb R^nyT(U2TΩU2)y>0y^T(U_2^T\Omega U_2)y>0

    命题:rank(Ω)=nd1\operatorname{rank}(\Omega)=n-d-1当且仅当U2TΩU2=U2THTdiag(ω)HU2>0U_2^T\Omega U_2=U_2^TH^T\operatorname{diag}(\omega)H U_2>0

    ω=i=1qcizi\omega=\sum_{i=1}^qc_iz_i代入U2THTdiag(ω)HU2U_2^TH^T\operatorname{diag}(\omega)H U_2,得到i=1nciU2THTdiag(zi)HU2>0\sum_{i=1}^nc_iU_2^TH^T\operatorname{diag}(z_i)H U_2>0

    定义Mi=U2THTdiag(zi)HU2M_i=U_2^TH^T\operatorname{diag}(z_i)HU_2。可知系数c1,,cnRc_1,\cdots,c_n\in\mathbb R需要满足条件i=1nciMi>0\sum_{i=1}^nc_iM_i>0

    奇异值分解的原理和应用

    我们回顾一下奇异值分解(singular value decomposition)。

    特征值和特征向量

    如果ARn×nA\in \mathbb R^{n\times n}是实矩阵,其特征值和特征向量定义为Aq=λqAq=\lambda q,那么A=QDQTA=QD Q^T是它的特征分解(谱分解),其中Q=[q1,,qn]Q=[q_1,\cdots,q_n]是它的特征向量,D=diag{λi}i=1nD=\operatorname{diag}\{\lambda_i\}_{i=1}^n是它的特征根。

    一般我们会将特征向量转化为标准正交基,使得QQ是标准正交矩阵。

    # Eigenvalues and eigenvectors in MATLAB
    # such that e are eigenvalues and D = diag(e)
    e = eig(A)
    # such that A*V=V*D (right) and W'*A=D*W' (left)
    [V,D,W] = eig(A)
    

    奇异值分解

    如果ARm×nA\in\mathbb R^{m\times n}不是方阵,可以进行奇异值分解,即A=UΣVTA=U\Sigma V^T,其中URm×mU\in\mathbb R^{m\times m}VRn×nV\in \mathbb R^{n\times n}是正交矩阵,ΣRm×n\Sigma\in\mathbb R^{m\times n}是(矩形)对角阵。

    UUVV分别是对AA正交输出和输入的基向量,也是AATAA^TATAA^TA的特征向量,即
    (AAT)U=UDu(ATA)V=VDv (AA^T)U=UD_u,\\ (A^TA)V=VD_v。
    证明:A=UΣVTAT=VΣTUTATA=VΣTUTUΣVT=V(ΣTΣ)VTA=U\Sigma V^T\Rightarrow A^T=V\Sigma^T U^T\Rightarrow A^TA=V\Sigma^TU^TU\Sigma V^T=V(\Sigma^T\Sigma) V^T

    # Singular value decomposition
    # such that s are non-zero sigular values
    s = svd(A)
    # such that A = U*S*V'
    [U,S,V] = svd(A)
    

    常见应用

    • 求伪逆

    如果A=UΣVTA=U\Sigma V^T,那么A=VΣUTA^\dagger=V\Sigma^\dagger U^T,其中Σ\Sigma^\dagger是将Σ\Sigma非零主对角元求倒数,再转置得到。

    • 列空间、零空间和秩

    对角矩阵Σ\Sigma的非零对角元素的个数对应于矩阵AA的秩。

    与零奇异值对应的右奇异向量生成矩阵AA的零空间,与非零奇异值对应的左奇异向量则生成矩阵AA的列空间。


    1. Zhao, S. (2018). Affine Formation Maneuver Control of Multiagent Systems. IEEE Transactions on Automatic Control, 63(12), 4140–4155. https://doi.org/10.1109/TAC.2018.2798805 ↩︎

    2. Wikipedia contributors. (2020, September 5). Rank–nullity theorem. In Wikipedia, The Free Encyclopedia. Retrieved 13:55, September 24, 2020, from https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Rank%E2%80%93nullity_theorem&oldid=976828687 ↩︎

    3. Connelly, R., & Guest, S. D. (2015). Frameworks, Tensegrities and Symmetry: Understanding Stable Structures. Section 7.2. ↩︎

    4. Wikipedia contributors. (2020, August 12). Schur complement. In Wikipedia, The Free Encyclopedia. Retrieved 13:06, September 25, 2020, from https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Schur_complement&oldid=972571695 ↩︎

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    http://www.docin.com/p-1727554551.html

     

    个人意见:

            目前解决方案:最小二乘法使其全局方差最小。

            最小二乘法解决方案介绍:https://www.cnblogs.com/bingdaocaihong/p/7003581.html

    转载于:https://www.cnblogs.com/AlvinLau/p/8793299.html

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