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个人意见:
目前解决方案:最小二乘法使其全局方差最小。
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写在前面
原论文标题:Layered Affine Formation Control of Networked Uncertain Systems: A Fully Distributed Approach Over Directed Graphs
本文为近期阅读的论文(Dong 2020)1的笔记。该论文研究欧拉-拉格朗日系统(以下称EL系统)有向图拓扑下的分布式仿射编队控制。论文重点集中于两处:其一,有向图下的仿射可操控条件;其二,leader和follower分层控制律。
预备基础
这里默认读者都看过Lin 20162和Zhao 20183,这两篇论文是以下内容的基础,证明不再给出,请自行参阅原论文。由于不同论文所用标志符号不同,本文所用标志符号统一与前文(仿射队形控制原理与stress matrix的构建)一致。
分层拉普拉斯矩阵
定义1:nominal formation 称为仿射可操控(affine maneuverable),当且仅当对任意,可以被唯一表示,即
注意:这里的“仿射可操控”其实就是Zhao 2018的“仿射可定位”,整合了Zhao的一部分相关结论。
上面定义中用到的拉普拉斯矩阵在论文中也有重新定义,为分层拉普拉斯矩阵(Layered Laplacian matrix),即
其中表示leader之间的拓扑,,表示leader与虚拟agent的拓扑,表示follower之间的拓扑,表示leader和follower之间的拓扑。综上所述,分层拉普拉斯矩阵表示分层的拓扑结构,第一层是普通拉普拉斯矩阵
第二层是带符号拉普拉斯矩阵
整个控制过程的逻辑结构是,一个虚拟agent 0(如:人的输入)控制多个leader,再由leader控制follower。为了完成这个控制过程,需要以下假设和引理。令所有agent的label为。前个组成图。
假设4:对于第一层的个leader,图中存在一个有向生成树,其中root为agent 0。
引理1:对于第一层,如果图中存在一个有向生成树,那么下列声明成立:
- 非奇异;
- 所有的特征根有正实部;
- 的每一个元素非负,每一行和为1。
证明:前两条证明见Meng 20134的Lemma 2.1,第三条证明见Meng 20105的Lemma 4。是一个non-singular M-matrix,满足inverse-positive,即 exists and element-wisely6。而的每一个元素非正,因为agent 0只可能是leader的in-neighbor。因此的每一个元素非负。注意到。因此,,即行和为1(全1列向量)。
有向图下的仿射队形
以下定义和假设出自Zhao 2018,详见前文(仿射队形控制原理与stress matrix的构建)。
定义configuration matrix 和augmented matrix 。
假设5:nominal configuration is generic.
以下定义和引理出自Lin 2016:
若有向图中存在边,方向为,那么是的in-neighbor,是的out-neighbor。
定义2.1:对于有向图,如果去掉除节点外的任意个节点,仍然存在一条路径(path)从某一节点到节点,那么节点被称为-reachable from 非单元素(non-singleton)集合。
从上面的定义中,我们可以得知:
定义2.2:有向图是-rooted,如果存在包含个节点的子集,称为根(root)集,从根集出发所有其他节点都-reachable。
定义2.3:对于有向图,一个根集为的-生成树(spanning -tree)是一个生成子图(spanning subgraph),其满足:
- 每一个节点都没有in-neighbor;
- 每一个节点都有个in-neighbor;
- 每一个节点都-reachable from 。
从上面的定义中,我们可以得知:
引理2 (Lemma 2.1, Lin 2016):图有一个-生成树,当且仅当图是-rooted。
只需证明必要性。令根集为,并移除所有incoming edge,其他节点仍然-reachable。再移除其他节点的多余incoming edge,只留下个保证-reachable。通过上述两步得到-生成树,利用了-路径的互不相交性。
引理3 (Lemma 4.1, Lin 2016):对于有向图,如果它是-rooted,那么相关的满足:
- 去掉与根节点相关的行和列所得子矩阵的主子式(principal minor)不为0;
- 去掉与根节点相关的行和任意的列所得子矩阵是非奇异的。
回顾一下,余子式(minor)是原矩阵去掉第行和第列后的子矩阵的行列式,如果,则为主子式7。
参考Lin 2016,定义仿射队形可实现(realizable)为:当且仅当。
引理4 (Theorem 4.1, Lin 2016):假如有向图有个节点,且是generic。那么仿射队形可实现当且仅当是-rooted。
定理1:在假设5条件下,nominal formation 仿射可操控,当且仅当leader集合有至少个节点,同时集合中的每一个follower都-reachable from集合。
证明:(充分性) 满足条件的是-rooted,所以有-生成树,仿射队形可实现。再加上的非奇异性,队形可被唯一确定,即仿射可操控。(必要性) 如果仿射可操控,必然存在使得仿射队形可实现,故是-rooted满足条件。
假设6:集合中的每一个follower都-reachable from集合。
问题1:给定初始队形和nominal configuration matrix ,为每一个agent设计基于邻居相对位置和速度的控制律,使得,且误差有界,其中,为相对于nominal formation的位移。
可以看出,实现consensus,即所有leader收敛于,再加上即为相对的位移。
论文对两层都用了自适应NN控制律(adaptive NN-based control law),误差有限时间收敛到原点的一个邻域,即practical finite-time stability8。
注意:这里的practical是针对EL系统的模型不确定性来说的,如果模型完全确定,那么是可以有限时间收敛到原点的。
至于自适应NN控制律如何设计,我在这里挖个坑,之后的文章里结合Wang 20099讲。
Li, D., Ma, G., Xu, Y., He, W., & Ge, S. S. (2020). Layered Affine Formation Control of Networked Uncertain Systems: A Fully Distributed Approach Over Directed Graphs. IEEE Transactions on Cybernetics, 1–12. https://doi.org/10.1109/tcyb.2020.2965657 ↩︎
Lin, Z., Wang, L., Chen, Z., Fu, M., & Han, Z. (2016). Necessary and sufficient graphical conditions for affine formation control. IEEE Transactions on Automatic Control, 61(10), 2877–2891. https://doi.org/10.1109/TAC.2015.2504265 ↩︎
Zhao, S. (2018). Affine Formation Maneuver Control of Multiagent Systems. IEEE Transactions on Automatic Control, 63(12), 4140–4155. https://doi.org/10.1109/TAC.2018.2798805 ↩︎
Meng, Z., Lin, Z., & Ren, W. (2013). Robust cooperative tracking for multiple non-identical second-order nonlinear systems. In Automatica (Vol. 49, pp. 2363–2372). Elsevier Ltd. https://doi.org/10.1016/j.automatica.2013.04.040 ↩︎
Meng, Z., Ren, W., & You, Z. (2010). Distributed finite-time attitude containment control for multiple rigid bodies. Automatica, 46(12), 2092–2099. https://doi.org/10.1016/j.automatica.2010.09.005 ↩︎
Wikipedia contributors. (2020, August 29). M-matrix. In Wikipedia, The Free Encyclopedia. Retrieved 08:23, October 8, 2020, from https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=M-matrix&oldid=975609653 ↩︎
Wikipedia contributors. (2020, May 20). Minor (linear algebra). In Wikipedia, The Free Encyclopedia. Retrieved 02:22, October 8, 2020, from https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Minor_(linear_algebra)&oldid=957799839 ↩︎
Zhu, Z., Xia, Y., & Fu, M. (2011). Attitude stabilization of rigid spacecraft with finite-time convergence. International Journal of Robust and Nonlinear Control, 21(6), 686–702. https://doi.org/10.1002/rnc.1624 ↩︎
Wang, L., Chai, T., & Zhai, L. (2009). Neural-network-based terminal sliding-mode control of robotic manipulators including actuator dynamics. IEEE Transactions on Industrial Electronics, 56(9), 3296–3304. https://doi.org/10.1109/TIE.2008.2011350 ↩︎
仿射变换含义
仿射变换是指在几何中,一个向量空间(vector space)进行一次线性变换(linear transformation)并拼上一个平移(Translation )。所以,本质上仿射变换针对的是某一向量空间(当然该空间中的任一向量)。

其矩阵表达形式(matrix formal)为:

A控制旋转与缩放,b控制平移:

我们使用Python语言对之进行演示:
import numpy as np
x = np.array((1, 2, 3))
b = np.ones(2)
A = np.random.rand(2, 3)
y1 = np.dot(A, x) + b
# array([ 4.17327185, 4.0755495 ])
A_aug = np.hstack((A, b.reshape((-1, 1))))
A_aug = np.vstack((A_aug, np.hstack(np.zeros(3), 1).reshape((1, -1))))
y2 = np.dot(A_aug, np.hstack((x, 1)).reshape((-1, 1)))
# array([[ 4.17327185],
# [ 4.0755495 ],
# [ 1. ]])
# 上述构造的方式仍稍显繁琐,这里再提供一种方式
A_aug = np.zeros((A.shape[0]+1, A.shape[1]+1))
A_aug[-1, -1] = 1
A_aug[:-1, :-1] = A
A_aug[:-1, -1] = b
np.dot(A_aug, np.hstack((x, 1)).reshape((-1, 1)))
文章目录
写在前面
原论文标题:Affine Formation Maneuver Control of Multiagent Systems.
本文为近期阅读的论文(Zhao 2018)1的笔记。该论文研究基于仿射变换的编队控制,重点集中于如何通过控制leader实现maneuver。
预备基础
column stack(记作vec)的性质:
configuration matrix定义为:
其中的column stack叫做configuration 。结合上面两个,得到一个多智能体控制中常用的性质:
该性质在matlab编程中可以简化代码。线性相关和仿射相关
线性相关(linearly dependant)要求,而仿射相关(affinely dependant)额外要求。这个区别直接反映在configuration matrix上,故仿射相关当且仅当行线性相关,即。
仿射相关肯定线性相关,反之不一定。线性无关肯定仿射无关,反之不一定。
由于有列,所以空间最多有个点仿射无关(affinely independant)。相对应的,空间最多有个点线性无关(linearly dependant)。
当中存在个点仿射无关时,可以被仿射展开(affine span),此时行线性无关,。
引理1:仿射展开,当且仅当和。
Stress Matrix
对基于图论定义的formation,stress是每条边上的标量权重, ,其中。
equilibrium stress满足
可知,如果是equilibrium stress,则也是()。Distance Rigidity
对于一组formation,满足等价和全等的条件为:
等价(equivalent):图相同的情况下,任意一条边对应的两个节点,在不同的formation中距离相等。
全等(congruent):图相同的情况下,任意两个节点,在不同的formation中距离相等。
globally rigid:对于一个formation,等价和全等同时成立。
universally rigid:对于一个formation,在任意空间满足globally rigid,其中。
应用式(1),定义对称的equilibrium stress matrix ,我们将平衡条件式(2)重写为
由于,故2。
引理2:给定无向图和generic configuration ,formation 是universally rigid当且仅当存在半正定stress matrix 满足。
注意:线性代数里正定性的前提是实对称矩阵。
Consider all of the coordinates of as a set of numbers , and consider any non-zero polynomial equation with integer coeffcients and the numbers (the coordinates) substituted for the variables . If for every such , we say that the configuration is generic.3
论文(Zhao 2018)中对generic的定义是:the coordinates of all the nodes do not satisfy any nontrivial equations with rational coefficients. 由于有理数可以通过乘以最小公倍数得到整数,该定义与上述定义一致。
给定nominal configuration 和nominal formation ,target formation中的configuration为
即,其中为的affine image。
引理3:的维度为当且仅当仿射展开。
假设1:仿射展开。我们不讨论控制算法的设计和稳定性证明,主要研究下面几个问题。
引理4:对任意nominal configuration ,以下条件始终成立:
因为满足(2),所以满足(2),第一个条件成立。由式(3)知,第二个条件成立。
假设2:nominal formation 存在满足引理2的。
引理5:满足假设2的条件下,下列条件等价。
- 仿射展开。
- 。
- 。
在引理4的基础上,证明引理5只需要证明维度相等。由假设2和引理2,知,再由引理3,知两者维度相等。同理可证第3条。
定理1:满足假设1的条件下,nominal formation 仿射可定位(affinely localizable)当且仅当leader节点,即,仿射展开。
仿射可定位:已知,给定leader节点可以唯一确定target configuration 。也就是说,和被唯一确定。
推论1:如果仿射展开,那么对任意,相对应的和被唯一确定为
其中和。
由推论1可知,仿射展开当且仅当非奇异。
下面研究什么样的满足仿射可定位。定义。
定理2:满足假设1、2的情况下,nominal formation 仿射可定位当且仅当非奇异。此时,被唯一确定,即。
假设3:nominal formation 仿射可定位。
假设1、2保证的零空间正好是affine image。假设3保证是正定的(因为半正定,且非奇异)。
参考schur complement condition4,对于,有:
令为incidence matrix。已知formation 如何求取满足平衡条件?
首先,由和,知。
由,两者位置互换,得到。
定义。则,因此在的零空间里。
定义为的零空间上的一组基。则,其中是一组待定系数。
对于宽(fat)矩阵,其零空间可以写为,然而也可能是长(slim)矩阵。
对于长矩阵,可以通过奇异值分解求的零空间。
然后,我们继续确定系数。令。令,其中包含的前列。因为的秩为,所以是非零奇异值对应的左奇异向量,即的列空间。同理是的零空间。
根据假设2和引理2,我们要求是半正定,且秩为。
因为,故,所以在前维秩为0,于是剩下的维需要满秩,即在的零空间上正定,对任意,有。换句话说,对任意,。
命题:当且仅当。
将代入,得到。
定义。可知系数需要满足条件。
我们回顾一下奇异值分解(singular value decomposition)。
如果是实矩阵,其特征值和特征向量定义为,那么是它的特征分解(谱分解),其中是它的特征向量,是它的特征根。
一般我们会将特征向量转化为标准正交基,使得是标准正交矩阵。
# Eigenvalues and eigenvectors in MATLAB
# such that e are eigenvalues and D = diag(e)
e = eig(A)
# such that A*V=V*D (right) and W'*A=D*W' (left)
[V,D,W] = eig(A)
如果不是方阵,可以进行奇异值分解,即,其中和是正交矩阵,是(矩形)对角阵。
和分别是对正交输出和输入的基向量,也是和的特征向量,即
证明:。
# Singular value decomposition
# such that s are non-zero sigular values
s = svd(A)
# such that A = U*S*V'
[U,S,V] = svd(A)
如果,那么,其中是将非零主对角元求倒数,再转置得到。
对角矩阵的非零对角元素的个数对应于矩阵的秩。
与零奇异值对应的右奇异向量生成矩阵的零空间,与非零奇异值对应的左奇异向量则生成矩阵的列空间。
Zhao, S. (2018). Affine Formation Maneuver Control of Multiagent Systems. IEEE Transactions on Automatic Control, 63(12), 4140–4155. https://doi.org/10.1109/TAC.2018.2798805 ↩︎
Wikipedia contributors. (2020, September 5). Rank–nullity theorem. In Wikipedia, The Free Encyclopedia. Retrieved 13:55, September 24, 2020, from https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Rank%E2%80%93nullity_theorem&oldid=976828687 ↩︎
Connelly, R., & Guest, S. D. (2015). Frameworks, Tensegrities and Symmetry: Understanding Stable Structures. Section 7.2. ↩︎
Wikipedia contributors. (2020, August 12). Schur complement. In Wikipedia, The Free Encyclopedia. Retrieved 13:06, September 25, 2020, from https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Schur_complement&oldid=972571695 ↩︎
http://www.docin.com/p-1727554551.html
个人意见:
目前解决方案:最小二乘法使其全局方差最小。
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