在仿射空间中，点与点之间做差可以得到向量，点与向量做加法将得到另一个点.
设任意两个有序点P、Q对应于n维矢量空间中的一个矢量a，那么过两点的直线方程为：
（1-t)P + tQ


笛卡尔平面是一个仿射空间，那么空间两点（a,b), (c, d)之间的参数化方程为：
L = ｛((1-t)a + tc, (1-t)b + td)  | t是实数｝




设P、Q、R为A中任意三点，P、Q对应于矢量a,Q、R对应于矢量b,则P、R对应于矢量a+b.
所以三点构成的平面方程：
（1 - s)((1-t)P + tQ) + sR


1. C++标准模板库从入门到精通 
http://edu.csdn.net/course/detail/3324
2.跟老菜鸟学C++
http://edu.csdn.net/course/detail/2901
3. 跟老菜鸟学python
http://edu.csdn.net/course/detail/2592
4. 在VC2015里学会使用tinyxml库
http://edu.csdn.net/course/detail/2590
5. 在Windows下SVN的版本管理与实战 
 http://edu.csdn.net/course/detail/2579
6.Visual Studio 2015开发C++程序的基本使用 
http://edu.csdn.net/course/detail/2570
7.在VC2015里使用protobuf协议
http://edu.csdn.net/course/detail/2582
8.在VC2015里学会使用MySQL数据库
http://edu.csdn.net/course/detail/2672

简单来说，“仿射变换”就是：“线性变换”+“平移”。

1. 线性变换

线性变换有三个特点：

变换前是直线，变换后依然是直线；
	
直线比例保持不变
	
变换前是原点，变换后依然是原点
例如：旋转





例如：推移





旋转和推移叠加在一起也是线性变换：



1.1旋转是如何实现的









2. 仿射变换

仿射变换有两个特点：

变换前是直线，变换后依然是直线；
	
直线比例保持不变
少了原点保持不变这一条

例如：平移



平移不是线性变换，而是仿射变换。

2.1 代数

把平移前的中心点称为O，平移后的中心点称为b，令以O为原点的点的向量表示为 ，仿射变换之后的点的坐标为 。

首先，对O点进行线性变换，可表示为，再进行平移可得。

仿射变换可以表示为：。

2.2 通过线性变换来完成仿射变换

增加一个维度，就可以再高维度通过线性变换来完成低维度的仿射变换。



以上面的正方形为例：



意味着将该正方形平移到了z=1的位置。



令

可以看作是对z=1和z=0之间的刚体(可以想象为一个沿z轴无限延长的立方体)以[0,0,0]为原点在三维空间中进行旋转、推移等线性变换。对旋转之后的刚体在z=1面处的截面即为 。(三维互动界面可参考文末链接，其描述非常形象)

参考链接：https://www.matongxue.com/madocs/244/

凸优化（Stephen Boyd)中自学部分
凸函数定义
函数$f:\mathbf{R}^{n} \rightarrow \mathbf{R}$是凸的，如果$f$在定义域($dom$)上是凸集，且对于任意$x,y∈\mathbf{dom}f$和任意$0⩽θ⩽1$，有
$f(\theta x+(1-\theta) y) \leqslant \theta f(x)+(1-\theta) f(y)$。



凸函数示意图，图中点$(x,f(x))$到$(y,f(y))$之间的线段都在函数$f$的图像上方。函数是凸函数，当且仅当其在与其定义域相交的任何直线上都是凸的。
为了理解，补充直线和线段的知识：
直线和线段
设$x_{1} \neq x_{2}$为$R^n$空间中的两个点，则$y=\theta x_{1}+(1-\theta) x_{2}, \theta \in \mathbf{R}$组成一条穿越$x_{1}$ 和$x_{2}$的直线，参数$\theta$的值在0和1之间变动。这里的$x_{1}$ 和$x_{2}$可以类比上述提到的$(x,f(x))$和$(y,f(y))$。



个人理解：一般我们在实际应用中，用到的凸函数偏多，凹函数可以取负号变换为凸函数。
仿射集合
判断集合$C∈R^n$为仿射集合，则对于任意的$x_{1} ，x_{2}∈C$及$\theta∈R$，有$\theta x_{1}+(1-\theta) x_{2} \in C$，也就是$C$包含了$C$中任意两点的系数之和为1的线性组合。此概念拓展到多个点也适用。
例子：

线性方程组的解集$C=\{x | A x=b\}$是一个仿射集合，其中$A \in \mathbf{R}^{m \times n}$,$B \in \mathbf{R}^{m}$.
证明：可设$x_{1} ，x_{2}∈C$，有$A x_{1}=b, A x_{2}=b$，对于任意$\theta$，$A\left(\theta x_{1}+(1-\theta) x_{2}\right)=\theta A x_{1}+(1-\theta) A x_{2}=\theta b+(1-\theta) b=b$，说明任意的仿射组合$\theta x_{1}+(1-\theta) x_{2}$也在$C$中。
凸集
注意：这里的凸集和凸函数不是一个概念。

判断某个集合是否为凸集，看集合中任意两点之间的线段是否在集合中。举个例子：



上图中，（1）包含其边界的六边形是凸的。（2）肾形集合不是凸的，因为图中所示集合中两点间的线段不为集合所包含。（3）仅包含部分边界的正方形不是凸的。
仿射函数
白话理解就是仿射函数是一个线性函数和一个常数的和，也就是具有$f(x)=A x+b$的形式，其中$A \in \mathbf{R}^{m \times n}$,$B \in \mathbf{R}^{m}$。
假设$S \subseteq \mathbf{R}^{n}$是凸的（即$S$为凸集），并且$f: \mathbf{R}^{n} \rightarrow \mathbf{R}^{m}$是仿射函数，则$S$在$f$下的象$f(S)=\{f(x) | x \in S\}$是凸的。

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一、绕指定点旋转的组合变换
绕特定点p（m，n）旋转θ的组合变换公式为：


二、指定直线作为依赖轴的错切变换矩阵
以y=m（m≠0）直线进行水平错切变换处理（错切角为α）的组合变换公式为：


类似的以错切角β、x=m（m≠0）直线进行竖直错切变换处理时，对应的组合变换公式为：


三、小结
本文介绍了组合(也称复合）仿射变换的绕指定点旋转的组合变换、指定直线作为依赖轴的组合变换矩阵的构成。
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*图像仿射变换原理2：矩阵变换、线性变换和图像线性变换矩阵
*图像仿射变换原理3：仿射变换类型及变换矩阵详解
*图像仿射变换原理4：组合变换及对应变换矩阵
*图像仿射变换原理5：组合变换矩阵的OpenCV-Python实现
OpenCV-Python图像处理：仿射变换详解及案例
OpenCV-Python仿射变换开发中遇到的坑
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为什么称图像旋转、错切、缩放变换是线性变换？
图像仿射变换：绕点旋转和指定直线依赖轴shear错切变换矩阵
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