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  • 本文介绍了仿射变换的类型及其关系以及仿射变换矩阵,基本的仿射变换包括平移、旋转、缩放和错切,镜像可以看做特殊的缩放。实际中一般图像的仿射变换就是平移、旋转、缩放和错切的叠加组合,每叠加一个处理,就进行...

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    仿射变换博文传送门(带星号的为付费专栏文章):
    1. *图像仿射变换原理1:齐次坐标来龙去脉详解
    2. *图像仿射变换原理2:矩阵变换、线性变换和图像线性变换矩阵
    3. *图像仿射变换原理3:仿射变换类型及变换矩阵详解
    4. *图像仿射变换原理4:组合变换及对应变换矩阵
    5. *图像仿射变换原理5:组合变换矩阵的OpenCV-Python实现
    6. OpenCV-Python图像处理:仿射变换详解及案例
    7. OpenCV-Python仿射变换开发中遇到的坑
    8. openCV仿射变换:getAffineTransform的案例
    9. 为什么称图像旋转、错切、缩放变换是线性变换?
    10. 图像仿射变换:绕点旋转和指定直线依赖轴shear错切变换矩阵
    11. 图像仿射变换shear怎么翻译?剪切、错切、推移哪个译词好?
    12. 仿射变换原理和其OpenCV-Python实现知识汇总
    仿射变换类型及变换矩阵详解

    一、概述

    图像几何变换又称为图像空间变换,是各种图像处理算法的基础。它是在不改变图像内容的情况下,对图像像素进行空间几何变换的处理方式。它将一幅图像中的坐标位置映射到另一幅图像中的新坐标位置,其实质是改变像素的空间位置,估算新空间位置上的像素值。

    图像的几何变换包括透视变换和仿射变换,透视变换又称为投影变换、投射变换、投影映射,透视变换是将图片投影到一个新的视平面,它是二维(x,y)到三维(X,Y,Z)、再到另一个二维(x’,y’)空间的映射。

    仿射变换又称为图像仿射映射,可以认为是透视变换的一种特殊情况,是透视变换的子集,仿射变换是从二维空间到自身的映射,是指在几何中,一个向量空间进行一次线性变换并接上一个平移,变换为另一个向量空间,也就是图像仿射变换等于图像线性变换和平移的组合。

    仿射变换包括平移(translation)、旋转(rotation)、缩放(scaling)、错切(shear )四种类型:

    1. 平移和旋转两者的组合不改变图像的大小和形状,只有图像的位置(平移变换)和朝向(旋转变换)发生改变,称之为欧式变换(Euclidean transformation)或刚体变换(rigid transformation),刚性变换是最一般的变换

    2. 缩放又分为等比例缩放(uniform scaling)和非等比例缩放(non-uniform scaling),如果缩放系数为负数,则会叠加翻转(reflection,又翻译为反射、镜像),因此翻转可以看成是特殊的缩放

    3. 欧式变换和等比例缩放保持了图像外观没有变形,因此二者的组合称为相似变换(similarity transformation)

    4. 老猿理解为类似于在图像外接平行四边形固定一边的情况下,在该固定边的对边某个角施加了一个推力,该推力的作用线与x或y轴方向平行,在该推力的作用下图像的外接平行四边形发送的形变就是错切,因此错切又被称为推移,可以想象一下,一个正方形在推移作用下变成一个平行四边形的场景,下图是正方形ABCD经过水平错切变成平行四边形A’B’CD:
      在这里插入图片描述
      α即竖直线倾斜后的倾角,称为错切角

    5. 旋转、翻转、缩放、错切的组合称为线性变换(这与后面要介绍的图像灰度线性变换是两个不同的概念),这是因为这些变换都可以表示为矩阵变换,而矩阵变换都是线性变换。相关介绍具体请参考《https://blog.csdn.net/LaoYuanPython/article/details/113804210 图像仿射变换原理2:矩阵变换、线性变换和图像线性变换矩阵》。

    仿射变换相关的变换类型及其关系可以用下图表示:

    在这里插入图片描述

    二、仿射变换矩阵

    2.1、引言

    在《https://blog.csdn.net/LaoYuanPython/article/details/113804210 图像仿射变换原理2:矩阵变换、线性变换和图像线性变换矩阵》介绍了图像线性变换及线性变换矩阵,仿射变换比线性变换多了个平移,无法使用线性变换的变换矩阵来表示仿射变换,这个时候我们就需要用到《https://blog.csdn.net/LaoYuanPython/article/details/113743213 图像仿射变换原理1:齐次坐标来龙去脉详解》介绍的齐次坐标和新的变换矩阵。

    2.2、图像的平移

    图像的平移就是将图像的纵横坐标进行变换,变换公式如下:
    x’ = x + m = x + 0y+m
    y’ = y + n = 0x + y +n

    其中m和n是对应横坐标和纵坐标移动的距离常数。

    我们将在《https://blog.csdn.net/LaoYuanPython/article/details/113804210 图像仿射变换原理2:矩阵变换、线性变换和图像线性变换矩阵》介绍的线性变换矩阵基础上,将二维向量表示的二维平面坐标扩展为三维向量,即在二维向量(x,y)基础上增加第三个分量1变为齐次坐标(x,y,1),变换方阵扩展为3*3,即用3维向量表示2维向量、用3维方阵来表示2维平面的仿射变换,扩展的第3列前2行为平移对应的横坐标和纵坐标移动的距离常数m、n,第3行固定为1,这就是仿射变换的变换矩阵。

    下面就是平移变换公式对应的仿射变换矩阵:
    在这里插入图片描述

    则变换代数式可以使用矩阵表示为:
    在这里插入图片描述

    2.3、仿射变换矩阵公式

    2.3.1、仿射变换通用矩阵变换表述

    类似平移变换,所有仿射变换都可以用类似如下的矩阵变换表示:
    在这里插入图片描述
    在《https://blog.csdn.net/LaoYuanPython/article/details/113804210 图像仿射变换原理2:矩阵变换、线性变换和图像线性变换矩阵》介绍的线性变换,用仿射变换的矩阵方式表述只需要将上述仿射变换矩阵的前2行2列的内容替换为对应线性变换矩阵,并将m、n置为0即可。

    2.3.2、旋转变换矩阵

    在OpenCV中顺时针旋转角度为θ,则仿射变换的旋转变换矩阵为:
    在这里插入图片描述
    对应变换的齐次坐标表示公式为:
    在这里插入图片描述
    如果是逆时针旋转θ,则变换矩阵两个sinθ的符号与上面公式的情况需要互换。

    2.3.3、错切变换矩阵

    假设α和β分布是水平错切角和垂直错切角,则仿射变换的水平错切变换矩阵为:
    在这里插入图片描述
    对应变换的齐次坐标表示公式为:
    在这里插入图片描述

    仿射变换的垂直错切变换矩阵为:
    在这里插入图片描述
    对应变换的齐次坐标表示公式为:
    在这里插入图片描述

    2.3.4、缩放变换矩阵

    假设kx和ky分布为水平缩放因子和垂直缩放因子,则仿射变换的缩放变换矩阵为:
    在这里插入图片描述
    对应变换的齐次坐标表示公式为:
    在这里插入图片描述

    三、补充说明

    本节介绍的仿射矩阵实际上是一种单应性矩阵。

    2D单应性变换定义为从一个平面到另一个平面的投影映射,坐标 (x,y) 通过单应性变换映射到 (u,v), 使用齐次坐标即为 (x,y,1), (u,v,1), 其变换公式为:
    在这里插入图片描述
    对应的3*3的矩阵称为单应性矩阵,仿射矩阵是2*3的矩阵,比单应性矩阵少一行,上面介绍的仿射矩阵实际上是单应矩阵固定最后一行为(0,0,1)的特殊单应性矩阵。

    四、小结

    本文介绍了仿射变换的类型及其关系以及仿射变换矩阵,基本的仿射变换包括平移、旋转、缩放和错切,镜像可以看做特殊的缩放。实际中一般图像的仿射变换就是平移、旋转、缩放和错切的叠加组合,每叠加一个处理,就进行一次仿射变换矩阵和齐次坐标的乘法,再进行一次处理则再乘一次对应变换的矩阵。

    参考资料

    1. 基本图像变换:线性变换,仿射变换,投影变换
    2. 仿射变换及其变换矩阵的理解

    更多图像处理的介绍请参考专栏《OpenCV-Python图形图像处理 https://blog.csdn.net/laoyuanpython/category_9979286.html》和《https://blog.csdn.net/laoyuanpython/category_10581071.html OpenCV-Python初学者疑难问题集》相关文章。

    更多图像处理的数学基础知识请参考专栏《人工智能数学基础 https://blog.csdn.net/laoyuanpython/category_10382948.html

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    2. 付费专栏《https://blog.csdn.net/laoyuanpython/category_10232926.html moviepy音视频开发专栏 )详细介绍moviepy音视频剪辑合成处理的类相关方法及使用相关方法进行相关剪辑合成场景的处理,对应文章目录为《https://blog.csdn.net/LaoYuanPython/article/details/107574583 moviepy音视频开发专栏文章目录》;
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  • 仿射变换

    2020-07-20 12:58:07
    dst:仿射后的输出图像,类型与原始图像相同。 src:原始图像。 M:变换矩阵。 dsize:输出图像的尺寸大小。 flags:插值方法。(可选) borderMode:边类型。(可选) borderValue:边界值。(可选) 平移 import ...

    仿射变换函数

    dst=cv2.warpAffine(src,M,dsize,flags,borderMode,borderValue)

    dst:仿射后的输出图像,类型与原始图像相同。
    src:原始图像。
    M:变换矩阵。
    dsize:输出图像的尺寸大小。
    flags:插值方法。(可选)
    borderMode:边类型。(可选)
    borderValue:边界值。(可选)

    平移

    import cv2 as cv
    import numpy as np
    
    # 让图片向右上平移120像素
    image1 = cv.imread("D:/exercise/lusi.jpg")  # 读入图像
    h, w = image1.shape[:2]  # 元组切片,读出原图像的行数和列数
    M = np.float32([[1, 0, 120], [0, 1, -120]])  # 构建转换矩阵M
    imageMove = cv.warpAffine(image1, M, (w, h))  # 平移仿射变换
    cv.imshow('image1', image1)
    cv.imshow('imageMove', imageMove)
    cv.waitKey()
    cv.destroyAllWindows()
    
    

    运行结果:

    缩放

    import cv2 as cv
    import numpy as np
    
    # 让图片缩放二分之一
    image1 = cv.imread("D:/exercise/lusi.jpg")  # 读入图像
    h, w = image1.shape[:2]  # 元组切片,读出原图像的行数和列数
    M = np.float32([[0.5, 0, 0], [0, 0.5, 0]])  # 构建转换矩阵M
    imageMove = cv.warpAffine(image1, M, (w, h))  # 缩放仿射变换
    cv.imshow('image1', image1)
    cv.imshow('imageMove', imageMove)
    cv.waitKey()
    cv.destroyAllWindows()
    
    

    旋转

    旋转的转换矩阵声明:
    ret = cv2.getRotationMatrix2D(center,angle,scale)

    center:旋转中心点。
    angle:旋转角度,正数为逆时针,负数为顺时针。
    acale:变换尺度。

    import cv2 as cv
    
    # 让图片以宽高的1/2为旋转中心,逆时针旋转30度,并缩小为原来的0.4倍
    image1 = cv.imread("D:/exercise/lusi.jpg")  # 读入图像
    h, w = image1.shape[:2]  # 元组切片,读出原图像的行数和列数
    M = cv.getRotationMatrix2D((w / 2, h / 2), 30, 0.4)  # 构建转换矩阵M
    imageMove = cv.warpAffine(image1, M, (w, h))  # 旋转仿射变换
    cv.imshow('image1', image1)
    cv.imshow('imageMove', imageMove)
    cv.waitKey()
    cv.destroyAllWindows()
    
    

    运行结果:

    展开全文
  • Halcon 仿射变换

    2021-04-07 19:19:16
    仿射变换类型2. 仿射变换相关函数2.1 求仿射变换矩阵的函数:2.2 仿射变换函数3. 插值算法类型4. 平移旋转缩放实例5. 车牌仿射变换实例 1. 仿射变换类型 平移 旋转 缩放 镜像 错切 前三种比较常见,后面两种不常用...

    1. 仿射变换类型

    1. 平移
    2. 旋转
    3. 缩放
    4. 镜像
    5. 错切
      前三种比较常见,后面两种不常用。

    2. 仿射变换相关函数

    2.1 求仿射变换矩阵的函数:

    • Vetcor_angle_to_rigid //刚体
    • hom_mat2d_translate//平移
    • hom_mat2d_rotate//旋转
    • hom_mat2d_scale//缩放

    2.2 仿射变换函数

    • affine_trans_region//区域仿射变换
    • affine_trans_image//图像仿射变换

    3. 插值算法类型

    • 近邻插值:效果比较差。
    • 线性插值:应用比较广泛。
      • Bilinear 双线性插值
      • Constant 双线性插值,加入中值滤波,消除摩尔条纹。
      • Weighted 双线性插值,加入高斯滤波,消除摩尔条纹。
    • 三次插值:效果最好,耗时最长。

    4. 平移旋转缩放实例

    • 例子主要时为了练习平移,旋转,缩放等函数。
      链接:https://pan.baidu.com/s/1AYRDloqydipo80MkCuErww
      提取码:so2p 在这里插入图片描述

    5. 车牌仿射变换实例

    • 例子主要时为了练习仿射变换:
      链接:https://pan.baidu.com/s/12p5yfUG5ctZjYm2S6LHLfQ
      提取码:l2s6
      在这里插入图片描述

    在这里插入图片描述

    展开全文
  • 仿射密码

    2021-04-21 22:43:39
    语言:python3 实验目的: 通过编程实现代换密码算法——仿射密码和简单置换密码算法,加深对古典密码体制的了解,为深入学习密码学奠定基础。 实验内容: ... 仿射密码加密解密模块 @author WQ @.

    仿射密码定义原理:
      仿射密码为单表加密的一种,字母系统中所有字母都借一简单数学方程加密,对应至数值,或转回字母。 其仍有所有替代密码之弱处。所有字母皆借由方程加密,b为移动大小。
      在仿射加密中,大小为m之字母系统首先对应至0…m-1范围内之数值, 接着使用模数算数来将原文件中之字母转换为对应加密文件中的数字。 单一字母的加密函数为:
      在这里插入图片描述
    取余m为字母系统大小且a和b为密码关键值。a之值必须使得a与m互质。
    解密方程为
      在这里插入图片描述
    举例说明:

    代换密码算法的原理是使用替代法进行加密,就是将明文中的字符用其它字符替代后形成密文。例如,明文字母a、b、c、d,用D、E、F、G做对应替换后形成密文。
    代换密码包括多种类型,如单表代换密码、多表代换密码等。下面介绍一种典型的单表代换密码——仿射密码。它的加密、解密过程可以表示为下面的函数:
    在这里插入图片描述
    仿射加密要求gcd(k1,26)=0,否则就褪化为 y=f(k)=k2(mod 26)。
    故密钥空间大小为: (k1,k2)=12x26=312
    例如:密钥k=(7,3),7-1(mod 26)=15
    加密函数: y=f(x)=7x+3(mod 26)
    解密函数: x=f^(-1)(y)=15(y-3)(mod 26)=15y-9(mod 26)
    设明文:China,首先转换为数字:2,7,8,13,0 在这里插入图片描述
    原始消息“China”得到恢复

    1、实验目的:
      通过编程实现代换密码算法——仿射密码和简单置换密码算法,加深对古典密码体制的了解,为深入学习密码学奠定基础。
    2、实验内容:
      根据仿射密码的实现原理,实现利用仿射密码进行加密和解密的程序。
      (1)设计加密程序:能够根据用户输入明文的内容产生加密的密文并输出。
      (2)设计解密程序:能够对输入的密文内容破解并输出得到其对应的明文。

    # -*- coding: UTF-8 -*-
    import math
    """
        仿射密码加密解密模块
        @author WQ
        @time 2020/11/18
    """
    class Affine():
        """
            仿射密码
            Encrypt:加密方法
    		Decrypt:解密方法
    		letters:字母数字对应字典
        """
        def __init__(self):
            self.ciphertext=''  #加密后的密文
            self.plaintext=''   #解密后的明文
            self.reverse=0 #秘钥a的逆元
            self.list_keya=[3,5,7,9,11,15,17,19,21,23,25] #秘钥a可能取值
            self.letters = {
                    'a': 0, 'b': 1, 'c': 2, 'd': 3, 'e': 4, 'f': 5, 'g':6, 'h': 7,
                    'i': 8, 'j': 9, 'k': 10, 'l': 11, 'm': 12, 'n': 13, 'o': 14,
                    'p': 15, 'q': 16, 'r': 17, 's': 18, 't': 19, 'u': 20,
                    'v': 21, 'w': 22, 'x': 23, 'y': 24, 'z': 25}
    
        def gcd(self,a,b=26):
            if(a<b):
                return self.gcd(b,a)
            while(a%b!=0):
                temp = b
                b = a%b
                a = temp
            return b 
    
        def Encrypt(self,a=0,b=0,input=""):
            """
                对输入的字符串进行加密
                加密算法:c=Ea,b(m)=am+b(mod26) m是单个明文字母
                args={
                        a,b:秘钥
                        input:用于加密的明文
                }  
            """
            if(self.gcd(a)!=1):
                print("秘钥a错误,应与26互质,请重输!")
                exit(0)
            if(b>=26):
                print("秘钥b错误[0~26],请重输!")
                exit(0)
            input=input.lower()
            digitals=[]
            #加密转化成密文对应数字
            for i in input:
                for j in self.letters:
                    if(i==j):
                        d=(a*self.letters[i]+b)%26
                        digitals.append(d)
    
            #将对应数字转化对应密文字母
            for i in digitals:
                for j in self.letters:
                    if(i==self.letters[j]):
                        self.ciphertext=self.ciphertext+j  
    
        def Decrypt(self, a, b, input=""):
            """
                对输入的字符串进行解密
                解密算法:m=Da,b(m)=a(-1)(c-b)(mod26) c是单个密文字母
                args={
                        a(-1):秘钥a的逆元
                        b:秘钥
                        input:用于解密的秘文
                }  
            """
            if(self.gcd(a)!=1):
                print("秘钥a错误,应与26互质,请重输!")
                exit(0)
            if(b>=26):
                print("秘钥b错误[0~26],请重输!")
                exit(0)
            digitals=[]
            self.reverse=self.Inverse(a) #求逆元
            for i in input:#解密 密文转化成对应数字
                for j in self.letters:
                    if(i==j):
                        digitals.append(self.letters[j])
            #解密
            for i in digitals:
                t=(self.reverse*(i-b))%26
                for j in self.letters:
                    if(t==self.letters[j]):
                        self.plaintext=self.plaintext+j
    
        def BruteForce(self, input=''):
            #暴力破解仿射密码
            digitals=[]
            plaintext=''
            for i in input: #解密 密文转化成对应数字
                for j in self.letters:
                    if(i==j):
                        digitals.append(self.letters[j])
    
            for keya in self.list_keya:
                a=self.Inverse(keya)
                for keyb in range(0,26):
                    for i in digitals:
                        t=(keya*(i-keyb))%26
                        for j in self.letters:
                            if(t==self.letters[j]):
                                plaintext=plaintext+j
                                break
                    print(plaintext)
                    plaintext=''
    
        def Inverse(self, a,mod=26):
            #求秘钥a的逆元 欧几里得算法   
            x1,x2,x3 = 1,0,mod
            y1,y2,y3 = 0,1,a
            while(1):
                if(y3==0):
                    g=x3
                    break
                if(y3==1):
                    g=y3
                    break
                q=math.floor(x3/y3)#向下取整
                t1,t2,t3=x1-q*y1,x2-q*y2,x3-q*y3
                x1,x2,x3=y1,y2,y3
                y1,y2,y3=t1,t2,t3
            return y2   #逆元求得为y2,y3为gcd(a,26),最大公因数   
    
    if __name__ == "__main__":
        test=Affine()
        #a=test.Inverse(615647919867658945209035999713482421889581801898774401730949,691310408299283134015133178155232316338199895735303344369216)
        #print(a)
        inputs=input("请输入待加密明文:")
        a=int(input("请输入秘钥[a]:"))
        b=int(input("请输入秘钥[b]:"))
        test.Encrypt(a,b,inputs)
        test.Decrypt(a,b,test.ciphertext)
        s1 = "加密为:" + test.ciphertext
        s2 ="解密为:" + test.plaintext
        s3 = str(a) + "的逆元为: " + str(test.reverse)
        print(s1)
        print(s2)
        print(s3)
        #test.BruteForce(test.ciphertext)
    

    运行结果:

    在这里插入图片描述

    小结:仿射密码是利用简单的置换原理,实现比较容易;增加了一个爆破函数,利用穷举爆破仿射密码。

    展开全文
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空空如也

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