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  • 给定n,第i天会随机构造一个n维01向量,问这n天构造的n个n维01向量线性独立的概率 设f(n)为n的答案,要求输出f(1)异或f(2)…异或f(n) 答案对1e9+7取模。 数据范围:n<=2e7 解法: 线性代数tmd全忘了 知识记录: 1...

    题意:

    给定n,第i天会随机构造一个n维01向量,问这n天构造的n个n维01向量线性独立的概率
    设f(n)为n的答案,要求输出f(1)异或f(2)…异或f(n)
    答案对1e9+7取模。

    数据范围:n<=2e7

    解法:

    线性代数tmd全忘了

    知识记录:

    1.线性独立一般是指向量的线性独立,指一组向量中任意一个向量都不能由其它几个向量线性表示。
    (也叫线性无关)

    2.判断向量组线性无关:
    把向量组的各列向量拼成一个矩阵,求出矩阵的秩。
    若秩小于向量个数,则向量组线性相关;若秩等于向量个数,则向量组线性无关。

    3.向量组的秩:
    用初等行变换将矩阵化为阶梯矩阵,阶梯矩阵中非零行数就是矩阵的秩。

    -----分割线-----

    随机构造等同于每次从所有n维01向量中随机取出一个向量

    一定不能取0向量,因为0向量与其他任何向量线性相关。
    所以第一次取只有2n-1种可能,设取的这个向量为a

    第二次取的向量不能为0和a,那么只有2n-2种可能,设取的这个向量为b

    第三次取的向量不能为0、a、b、a+b,那么只有2n-4种可能

    第四次2n-8种

    第i次2n-2i-1

    -----分割线-----

    说一下2i-1是怎么来的:
    n个非向量任意组合,方案数为C(n,1)+C(n,2)…C(n,n)=2n-C(n,0)=2n-1,
    加上0向量就是2n
    所以是减去2i-1

    -----分割线-----

    那么最后总方案数就是:
    在这里插入图片描述
    转化成递推式:
    在这里插入图片描述

    发现只需要在递推的过程中维护一个2n的逆元即可

    code:

    #include<bits/stdc++.h>
    using namespace std;
    #define int long long
    const int maxm=2e7+5;
    const int mod=1e9+7;
    int ppow(int a,int b,int mod){
        int ans=1%mod;a%=mod;
        while(b){
            if(b&1)ans=ans*a%mod;
            a=a*a%mod;
            b>>=1;
        }
        return ans;
    }
    int f[maxm];
    int n;
    signed main(){
        int inv=ppow(2,mod-2,mod);
        f[1]=inv;
        int temp=inv;
        for(int i=2;i<maxm;i++){
            temp=temp*inv%mod;
            f[i]=f[i-1]*(1-temp+mod)%mod;
        }
        for(int i=2;i<maxm;i++){
            f[i]^=f[i-1];
        }
        int T;cin>>T;
        while(T--){
            cin>>n;
            cout<<f[n]<<endl;
        }
        return 0;
    }
    

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  • 设VVV是线性空间,如果VVV中有nnn个线性无关的向量,而任意n+1n+1n+1个向量线性相关,则称线性空间VVV是nnn的,记作dimV=ndimV=ndimV=n,而这nnn个线性无关的向量称为线性空间VVV的一组基. 当一个线性空间VVV中...

    5.1.4 基、维数和坐标

    定义1
    VV是线性空间,如果VV中有nn个线性无关的向量,而任意n+1n+1个向量
    都线性相关,则称线性空间VVnn的,记作dimV=ndimV=n,而这nn个线性无关的向量称为线性空间VV的一组.
    当一个线性空间VV中有无穷多个线性无关的向量时,称其为无限维线性空间.
    定义2
    VVnn维线性空间,α1,α2,,αn\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n是其一组基,对VV中任一向量β\beta,存在着唯一一组数x1,x2,,xnx_1,x_2,\cdots,x_n使得β=i=1nxiαi,\beta=\sum_{i=1}^nx_i\alpha_i,(x1,x2,,xn)T(x_1,x_2,\cdots,x_n)^Tβ\beta在基α1,α2,,αn\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n下的坐标.
    定理
    如果在线性空间VV中有nn个线性无关的向量α1,α2,,αn\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n,且VV中任何向量都可用α1,α2,,αn\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n线性表出,那么VVnn维的,而α1,α2,,αn\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n就是VV的一组基.

    5.1.5

    定理
    设线性空间VV的两组基是ϵ1,ϵ2,,ϵn\epsilon_1,\epsilon_2,\dots,\epsilon_nη1,η2,,ηn\eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_n,由ϵ1,ϵ2,,ϵn\epsilon_1,\epsilon_2,\dots,\epsilon_nη1,η2,,ηn\eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_n的过渡矩阵是C\mathbf{C},则C\mathbf{C}是可逆矩阵.如果向量α\mathbf{\alpha}在这两组基下的坐标分别是x=(x1,x2,,xn)T\mathbf{x}=(x_1,x_2,\cdots,x_n)^T
    y=(y1,y2,,yn)T\mathbf{y}=(y_1,y_2,\cdots,y_n)^T,则x=Cy\mathbf{x}=\mathbf{Cy}
    下图为三者关系(过渡矩阵,基变换,坐标变换)
    坐标变换 过渡矩阵与基变换

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  • 向量之基底

    2018-05-12 11:15:00
    在三维向量中,任意向量可以由基底(三个线性无关的向量)表示. 向量定义 定义 2.11 线性无关. 假设 $a_1e_1 + ⋯ + a_ne_n = 0 $ 只有在 $a_1 = ⋯ = a_n = 0$ 时成立,那么向量 $\{e_1, e_2, ..., e_n\}$ 是...

    原理

    在三维向量中,任意向量可以由基底(三个线性无关的向量)表示.

    向量定义

    定义 2.11 线性无关. 假设

    $a_1e_1 + ⋯ + a_ne_n = 0 $
    只有在 $a_1 = ⋯ = a_n = 0$ 时成立,那么向量 $\{e_1, e_2, ..., e_n\}$ 是线性无关的。如果任何 $a_i$ 不为零,那么这些向量是线性相关的。其中一个向量是其他向量的组合。

    Definition 2.11. A set of $n$ vectors $\{e_1, e_2, ..., e_n\}$ is linearly independent if there do not exist real numbers $\{a_1, a_2, ..., a_n\}$, where at least one of the $a_i$ is not zero, such that:

    $a_1e_1 + ⋯ + a_ne_n = 0$ (2.40)

    Otherwise, the set $\{e_1, e_2, ..., e_n\}$ is called linearly dependent.

    An n-dimensional vector space is one that can be generated by a set of $n$ linearly independent vectors. Such a generating set is called a basis, whose formal definition follows.

    Definition 2.12. A basis $B3$ for a vector space $V$ is a set of n linearly independent vectors B3 $\{e_1, e_2, ..., e_n\}$ for which, given any element $P$ in $V $, there exist real numbers $\{a_1, a_2, ..., a_n\}$ such that

    $P = a_1e_1 + ⋯ + a_ne_n​$ (2.41)

     

    转载于:https://www.cnblogs.com/yaoyu126/p/9028105.html

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  • 矩阵第一章总结笔记

    2017-01-12 18:10:15
    目标:对电科所学的《矩阵理论》进行以自己的方式进行回顾总结。...线性空间的基和数:在V中有n个线性无关向量,而V中任意n+1个线性向量线性相关,则称该n个向量是V的一组基,n是线性空间的数。 线性子空间:

    目标:对电科所学的《矩阵理论》进行以自己的方式进行回顾总结。

    第一章

    一、线性空间及分解

    线性空间:对于非空集合V,若V中的任意两个向量及数域P上常数k,满足交换律、数乘、结合律、分配律等共计8个运算条件,则称V为数域P上的线性空间。即线性空间内部的运算封闭。

    线性空间的基和维数:在V中有n个线性无关向量,而V中任意n+1个线性向量都线性相关,则称该n个向量是V的一组基,n是线性空间的维数。

    线性子空间:如果数域P上的线性空间V的一非空子集W,对于V的两种运算也构成线性空间,则称WV的线性子空间。(引入平凡子空间概念)

    线性空间普通分解:V1V2是线性空间V的线性子空间,则可普通分解(V1V2可能有交集)。此时dim(V1) + dim(V2) =dim(V1+V2)+dim(V1^V2)

    线性空间直和分解:若线性子空间V1V2中各取任意分向量a,b,那么对应的a+b向量唯一且来自线性空间V,那么称作直和分解。此时,V1+V2是直和;零向量表示法唯一,V1V2交集为0.

     

    二、特征值及特征向量

    Ax=(Lambda)x (Lambda代替罗马字母), Lambda叫做A的特征值,x叫做A的属于特征值Lambda的特征向量。

    A的所有特征值的全体,叫做A的谱。几何重数小于等于代数重数。

    矩阵A可对角化,则存在可逆矩阵P满足:P的逆*A*P=对角阵diag。表示An个线性无关向量。

    任意矩阵可由Jordan标准形表示,存在可逆矩阵P满足:P的逆*A*P=J=Jordan标准形构成的对角阵。

    线性变化与矩阵的关系,与矩阵特征值的关系。

    广义特征值问题。

     

    三、欧氏空间及矩阵变换

    欧氏空间(酉空间):正定性、齐次性、交换律、分配律。

    欧氏空间(酉空间)的度量:内积、距离。Gram矩阵的应用。

    初等矩阵:特征值、特征向量满足对于关系:n/n-1个特征值...

    初等变换矩阵,初等酉阵( Householde变换)

     

    四、Kronecker

    Kronecker积定义、性质、特征值、向量化运算符Vec(即将矩阵转化为一个列向量)、用来求解矩阵方程。

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关键字:

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