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  • 这里写目录标题一,n维向量线性相关1,简介2,公式:3,线性组合,线性表出,表出系数4,向量组之间等价5,线性相关与线性无关的判别 一,n维向量线性相关 1,简介 设P为域,n是正整数,P中n元素构成的有序组...

    一,n维向量的线性相关

    1,简介

    设P为域,n是正整数,P中n个元素构成的有序组(a1,a2,…,an)称为P上的n维向量
    n维向量可以写成行行式称为行向量
    α=(a1,a2,a3,a4…,an)

    n维向量也可以写成列行式称为列向量
    在这里插入图片描述
    P上全体n维向量构成的集合记为P^n,
    P^n中两个n维向量相等是指它们的相应分量完全相同

    • 这里α称为n维向量(简称向量)
    • 第i(i=1,2,3,4…n)个数ai称为α的第i个分量
    • n个分量都为实数的向量称为实向量
    • α为行向量则α的转置为列向量
    • 分量全为0的向量(0,0,0…0)称为零向量并记为0
    • 将若干个维数相同的向量所组成的集合称为向量组
    • 将向量组中一部分向量组成的向量组称为原向量组部分组
    • 按列分块的向量组称为列向量组
    • 按行分块的向量组称为行向量组

    2,公式:

    • 1,α+β=β+α
    • 2,(α+β)+γ=α+(β+γ)
    • 3,对于任意的 α∈P^n均有α+0=α
    • 4,对于任意的α∈P^n均存在负向量-α,使得α+()=0
    • 5,1α=α
    • 6,数乘结合律:kh(α)=k(hα)
    • 7,(k+l)α=kα+lα
    • 8,k(α+β)=kα+kβ
      其中αβγ∈P^n,k,h,l∈R

    3,线性组合,线性表出,表出系数

    β,α1,α2,α3αn∈P^n
    如果存在数k1,k2,k3…kn∈R
    使得β=k1α1+k2α2+k3α3…+knαn
    则称向量β是向量组α1,α2,α3αn线性组合,或者说向量β由向量组α1,α2,α3αn 线性表出
    而k1,k2,k3…kn则为表出系数或者组合系数

    4,向量组之间等价

    设有两个向量组
    (Ⅰ):α1α2,……,αm
    (Ⅱ):β1β2,……,βm
    如果(Ⅰ)中每个向量都可以由向量组(Ⅱ)线性表示,则称(Ⅰ)可由(Ⅱ)线性表示;如果(Ⅰ)与(Ⅱ)可以相互线性表示,则称(Ⅰ)与(Ⅱ)等价,记为(Ⅰ)≌(Ⅱ)。

    • 反身性:任何向量组Ⅰ:α1α2,……,αm均与本身等价,例(α1α2,……,αm)≌(α1α2,……,αm
    • 对称性:如果向量组Ⅰ:α1α2,……,αm与向量组Ⅱ:β1β2,……,βm等价,那么向量组Ⅱ与向量组Ⅰ也等价,例(α1α2,……,αm)≌(β1β2,……,βm),(β1β2,……,βm)≌(α1α2,……,αm
    • 传递性:例(α1α2,……,αm)≌(β1β2,……,βm),(β1β2,……,βm)≌(γmγm,…,γm),则(α1α2,……,αm)≌(γmγm,…,γm

    5,线性相关与线性无关的判别

    (1),线性相关:存在一组不全为0的数k1,k2,k3…kn使得k1α1+k2α2+k3α3…+knαn=0
    (2),线性无关:找不到一组不全为0的k1…kn值成立也就是说k1…kn必全为0

    • 定义1:向量组中的两向量成比例(线性相关
      例:-1*(1 2)+1/2*(2 4)+0*(5 19)+0*(-1 99)=0
    • 定义2:含零向量的任意向量组必线性相关
    • 定义3:一个零向量必线性相关
      例:1*0=0
    • 定义4:一个非零向量必线性无关,α不等于0,kα=0,=>k=0
    • 定义5:一个向量线性相关的充要条件,α=0;
    • 定义6:如果向量组Ⅰ:α1,α2,α3,…αn的一部分线性相关则这个向量组Ⅰ就线性相关
    • 定义7:向量组Ⅰ:α1,α2,α3,…αn(n>=2)线性相关的充要条件是向量组Ⅰ中至少有一个向量可以由其余的向量线性表出
    • 定义8:向量组Ⅰ:α1,α2,α3,…αn的一个部分线性相关,那么这个向量组Ⅰ线性相关
    • 定义9:向量组Ⅰ:α1,α2,α3,…αn线性无关,那么这个向量组Ⅰ的任意一个部分线性无关
    • 定义10:当向量组所含向量的个数多于向量的维数时,该向量组一定线性相关;
    • 定义11:n个n维向量组成的行列式D不等于0的充分必要条件是向量组线性无关D等于0的充分必要条件为方程组线性相关
    • 定义12:等价的线性无关的向量组含向量个数相同
    • 定义13:如果向量组α1,α2,α3,…αn线性无关,而向量组α1,α2,α3…αn,β,则β可以由向量组α1,α2,α3,…αn**线性表出,并且表示法唯一
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  • 线性代数(1)--n维向量线性方程组

    千次阅读 2016-08-29 10:15:03
    第四章 n维向量线性方程组编者注:第四章为n维向量线性方程组,在线性代数整个课程学习中的地位都是至关重要的。线性代数作为工科生的一门基础学科,对于以后个人的发展都是有着极大的促进作用的。这一章小助手...

    第四章 n维向量与线性方程组

    编者注:

    第四章为n维向量与线性方程组,在线性代数整个课程学习中的地位都是至关重要的。线性代数作为工科生的一门基础学科,对于以后个人的发展都是有着极大的促进作用的。

    这一章小助手的编写安排是这样的:首先交待第四章的重难点知识,让各位小伙伴们能够对于整体知识有一个相对全面系统的把握;然后是每章的知识点总结,在此编者基本上把重难点的问题给予了证明;最后是该章的典型性习题,笔者认真复习了线性代数整本书的内容及笔记,,考试易错题以及国外的一些关于线性代数的优秀教材,希望所筛选的习题对各位有所帮助。

    考虑到当下有些学习辅导的资料质量不高,没有编者自己的思考与理解,因此该章节以相关重要知识点为核心,加入自己的理解使用Typora编写了第四章节。由于本人“比较懒”,因此在不损失逻辑严密性的情况之下喜欢使用符号语言进行表述,因此本章几乎所有题解以及证明都使用的大量的符号语言,而且力求以最为简单的方法将证明过程进行呈现,但是实际上这在一定程度上可以增加了本章的理解难度。

    希望各位小伙伴们在真正是将书本知识基本理解的基础上再加入自己的思考看这一部分,因为这不是简简单单知识点的陈列,相信思考之下这一章能够对线性代数整体的理解起到极大的促进作用。

    由于此章节完全由笔者编写修订,因此不免有值得商榷甚至错误的地方,希望小伙伴们能够融入自己的思考,如果各位小伙伴们对于学习方面有什么问题,欢迎大家随时来学辅啦~对于笔者编写的这一章如有问题,可以直接联系我:

    my email:williamyi96@gmail.com

    重点:

    • n维向量的概念及其线性运算
    • 线性方程组的向量形式
    • 向量组的线性组合及向量组间的线性表示
    • 线性相关和线性无关的概念及其判定
    • 向量组的秩和极大无关组
    • 线性方程组解的结构

    难点:

    • 概念、定义、定理、证明的符号化表述
    • 线性相关和线性无关概念的理解
    • 向量组的线性相关与线性无关的证明

    知识要点:

    一. n维向量及其线性运算

    1. n维向量及其组成

    n维向量: 由数域F中的n个数 α1,α2,...,αn 组成的有序数组 a⃗  (α1,α2,...,αn)

    分量(坐标) 行(列)向量 实(复)向量

    数域 F = { 0,1,a,b,a+b,ab,ab,a/b(b0) }

    向量组: 若干个同维数的列向量(或行向量)所组成的集合

    Fn = {数域F上n维向量的全体}, Rn= {实数域上的n维向量的全体}

    列(行)向量组: 每一列 αj=a1ja2j...amjT(j=1n) 组成的向量组 α1,...αn 称为矩阵A的列向量组;由矩阵A的每一行 βi=ai1,...,ain(i=1m) 组成的向量组 β1,..βm 称为矩阵A的行向量组。

    (由此,矩阵A可以表示为A= (α1,α2,...,αn) 或者 β1,...,βnT ,这样,矩阵A就与其列向量组或者行向量组之间建立了一一对应关系。)

    2. 向量的线性运算

    α+β=(a1+b1,...,an+bn)αβ=α+(β)kα=(ka1,...,kan)

    运算规律:

    1. α+β=β+α(α+β)+γ=α+(β+γ)α+0⃗ =αα+(α)=0⃗ 1α=αk(lα)=(kl)αk(α+β)=kα+kβ(k+l)α=kα+lα

    二. n维向量空间

    数域F上n维向量的全体,连同上面定义的向量加法及数乘向量的运算 Fn

    另外: RnCn

    三. 向量组的线性组合与线性表示

    线性组合(LC): k1α1...+ksαs

    线性表示(线性表出): A,βk1,...,ksβ=k1α1...+ksαs

    注:

    (1)β LC by (A([α1,...,αs]))<=>! x⃗  :Ax⃗ =β(2)β LC by (A([α1,...,αs])) and ( x⃗  and!( x⃗ !)<=>NumOf(x⃗ )+(3)!(β LC by (A([α1,...,αs])))<=>NumOf(x⃗ )=0

    四. 向量组间(A,B…)的线性表示

    A LC by B: αiβ=k1α1+,,,+ksαs

    A<=>B: (A LC by B) && (B LC by A)

    向量组之间等价性质

    • 自反性: A LC by A
    • 对称性: A LC by B => B LC by A
    • 传递性: A LC by B, B LC by C => A LC by C

    五. 线性相关性的概念

    线性相关(Linearly Dependent): forA, ki0k1α1+...+ksαs=0

    线性无关(Linearly Independent): forA, k1α1+...+ksαs=0ki=0

    六. 线性相关性的判定

    定理6.1

    A=α1,...,αs(s>2),LD(A)<==>αiαi LC by(A/αi)LI(A)<==>!(αiαi LC by(A/αi))

    proof:
    LD(A)(ki0k1α1+...+ksαs=0)let k10α1=k2k1α2...ksk1αslet α1=l2α2+...+l2αsα1+l2α2+...+l2αs=010the proof of the second one is at the same way

    定理6.2
    LD(A(α1,...,αs))<=>x⃗ 0⃗ ,Ax⃗ =0⃗ <=>r(A)<sLI(A(α1,...,αs))<=>Ax⃗ =0⃗ x⃗ =0⃗ <=>r(A)=s

    推论:
    LD(An)<=>det(A)=0LI(An)<=>det(A)0

    线性相关六大法:

    1. 1.2.()3.a⃗ ia⃗ ,a⃗ i<==>a⃗ a⃗ i4.e⃗ ia⃗ e⃗ i5.e⃗ pa⃗ i6.

    proof:

    1,4.easy2.Hint:3.: let  ka⃗ +k1a⃗ 1+...,kia⃗ i=0if  a⃗ =0⃗ a⃗ =0⃗ =ka⃗ +k1a⃗ 1+...,kia⃗ i=0;if  a⃗ 0⃗   (1)  k=0LI(a⃗ ,a⃗ i)  impossible;  (2)  k0a⃗ =k1ka⃗ 1+...+kika⃗ ilet  a⃗ =k1a⃗ 1+...+kia⃗ i (3)and  a⃗ =l1a⃗ 1+lia⃗ i (4)(3)(4):  (k1l1)a⃗ 1+...+(kili)a⃗ i=0for LI (a⃗ i)ki=li

    5.LI(a⃗ i)a⃗ p0⃗ let  a⃗ 1=a11e⃗ 1+...+an1e⃗ nlet  a110 e⃗ 1=b1a⃗ 1+b2e⃗ 2+...+bne⃗ nlet  a⃗ 2=a12e⃗ 1+...+an2e⃗ ne⃗ 1a⃗ 2=c1a⃗ 1+c2e⃗ 2+...+cne⃗ nlet  a120 e⃗ 2=d1a⃗ 1+d2a⃗ 2+b2e⃗ 2+...+bne⃗ n...e⃗ p=k1a⃗ 1+...+kna⃗ n6.a⃗ n+1=a1,n+1e⃗ 1+...+an,n+1e⃗ n=b1a⃗ 1+...+bna⃗ nif n>m=>x⃗ 0⃗ [a⃗ 1,...,a⃗ n]x⃗ =Ax⃗ =0⃗ 

    Hint: a⃗ i, a⃗ j, a⃗ k 是指有一个向量组向量数为i, a⃗ p 指一个向量组中指定的一个任意向量(记为 a⃗ P

    七. 向量组的秩与极大无关组

    定理7.1

    A(α1,...,αs) LC byB(β1,...,βr)(1).s>rLD(A)(2).LI(A)sr

    推论7.1

    LI(As),LI(Br),A<=>Bs=r

    极大线性无关组(极大无关组)
    Un,αi(i=1s),  αj(j=1n),LI(α1,...,αs),  αj LC by[α1,...,αs](α1,...,αs)ME(U)

    注:ME(极大无关组)

    As ME(U):=A is maximal set of linearly independent elements of U

    定理7.2

    AsME(U),BrME(U)s=r

    *proof:
    let  [b⃗ 1,...,b⃗ t] ME {a⃗ i}[b⃗ 1,...,b⃗ t]=[a⃗ 1,...,a⃗ s]Csrif t>s=>x⃗ 0⃗ Csrx⃗ =0⃗ =>[b⃗ 1,...,b⃗ t]x⃗ =[a⃗ 1,...,a⃗ s]Csrx⃗ =0  impossible(LI({b⃗ i}))tsby the same way sr=>s=r

    向量组的秩
    r(U):=ME(U)(if U=0⃗ ,r(U)=0)

    *秩定理
    1.[b⃗ 1,...,b⃗ m]=[a⃗ 1,...,a⃗ n]Dr{b⃗ k}r{a⃗ i}2.r{a⃗ 1,...,a⃗ n}=[a⃗ 1,...,a⃗ n]=r(A)3.r(AB)min{r(A),r(B)}4.max{r(A),r(B}r([A|B])5.r(A+B)r[A|B]r(A)+r(B)

    *proof:

    1.[b⃗ 1,...,b⃗ m]=[b⃗ 1,...,b⃗ s]C1,   [a⃗ 1,...,a⃗ n]=[a⃗ 1,...,a⃗ t]C2 [b⃗ 1,...,b⃗ s]=[a⃗ 1,...,a⃗ t]C2.easy3.((AB=AB)(r(AB)r(A))  and  ((AB)T=BTAT)r(AB)r(A))r(AB)min{r(A),r(B)}4.((A=[A|B][E|O]T)(r(A)r([A|B])) and  (B=[A|B][O|E]T)(r(B)r([A|B]))) max{r(A),r(B)}r([A|B])5.((A+B=[A|B][E|E]T)r(A+B)r([A|B])and  ([A|B]1,2,3[a⃗ 1,...,a⃗ s,b⃗ 1,...,b⃗ t]r(A)+r(B))r(A+B)r[A|B]r(A)+r(B)Hint:([A|B]1,2,3[a⃗ 1,...,a⃗ s,b⃗ 1,...,b⃗ t]r(A)+r(B))means ([A|B]=[a⃗ 1,...,a⃗ s,b⃗ 1,...,b⃗ t] Cr(A)+r(B))

    八. 线性方程组解的结构

    齐次线性方程组

    A⃗ x⃗ =0⃗  or x1α+...+xnαn=0⃗ 

    齐次线性方程组性质

    性质8.1

    ζ1,ζ2 are solutions of A⃗ x⃗ =0⃗ ζ1+ζ2 is the solution of A⃗ x⃗ =0⃗ 

    性质8.2
    ζ is the solution of A⃗ x⃗ =0⃗ kζ is the solution of A⃗ x⃗ =0⃗ 

    基础解系(Bases)
    ζi(i=1t) are the solutions of A⃗ x⃗ =0⃗ LI(ζi(i=1t)),  x⃗ ,x⃗  LC by ζi(i=1t)ζi(i=1t) is one base of A⃗ x⃗ =0⃗ 

    解的结构

    定理8.1(基础解系的向量数)

    Amn,r(A)=r<nthere must exists one or more bases and NumOf(vectors)=nr

    定理8.2(基础解系的向量数)
    LI(a⃗ 1,...,a⃗ nr) and they are the solutions of Ax⃗ =0⃗ they are one base

    非齐次线性方程组

    性质8.3

    ζ1,ζ2are solutions of Ax⃗ =b⃗ (ζ1ζ2)is the solutions ofAx⃗ =0⃗ 

    性质8.4

    ζ is the sol of Ax⃗ =b⃗  and η is the sol of Ax⃗ =0⃗ (η+ζ) is the sol Ax⃗ =b⃗ 

    定理8.3(非齐次线性方程组解的结构定理)

    • x⃗ =ζ+η

    注: ζ Ax⃗ =0⃗  特解 {η1,...,ηnr} Ax⃗ =0⃗  的基础解系,也称为结构式通解(结构解

    性质8.5

    ATAx⃗ =ATb⃗ (A)

    引理1:
    (Ax⃗ =0⃗ Bx⃗ =0⃗ )r(B)r(A)proof:(ME)A=(ME)BCnr(A)nr(B)

    引理2:
    r(A)r(AT)proof:ATAx⃗ =0⃗ x⃗ TATAx⃗ =0⃗ <=>Ax⃗ =0⃗ 

    proof:8.5
    r(ATA)r(ATA|ATb⃗ )=r(AT[A|b⃗ ])r(AT)r(ATA)=r(AT)r(ATA)=r(ATA)

    典型例题:

    注:

    1.以下所有解题方法均选取目前笔者理解的最简方法,由于笔者能力有限,若有更简解法欢迎联系我。

    2.以下所有例题不按照上述概念的先后知识点顺序考察;

    3.实际上下述例题基本涵盖了线性代数第四章的重要知识点,希望小伙伴能够认真消化,不要刷题,结合书本,把这些题目弄懂问题不会很大。

    以下是典型例题:

    1.已知平面上3条不同直线的方程分别为(其中a,b,c为常数):

    ax+2by+3c=0;bx+2cy+3a=0;cx+2ay+3b=0;

    证明这三条直线交于一点的充要条件为a+b+c = 0.

    考查点: 方程组的解与直线交点的联系

    思路: 三条直线交于一点的解释为方程组有唯一解

    solution:

    必要性:交于一点则r(A) = r( A ) = 2, 则有 det(A)=0 ,解得a+b+c = 0;

    充分性:将a+b+c =0 带入第一个原方程组化简得r(A) = 2

    2.向量组 α1=(2,3,1)T,α2=(2,t,1)T,α3=(0,0,1)T 线性相关,则常数t的值为多少?

    考查点: 线性相关以及线性无关的判定方法

    思路: 线性相关 |α1,α2,α3|=0

    solution: t = -3

    3.设四阶可逆方阵A按列分块为 A=[α1,α2,α3,α4] ,方阵 B=[α4,α1,α3,α2] . 已知线性方程组 Bx⃗ =b⃗  的解唯一为 x⃗ =(1,3,5,7)T ,则方程组 Ax⃗ =b⃗  的解 x⃗  为多少?

    考查点: 线性方程组概念的理解

    思路: 进行方程组的线性重排

    solution:

    Bx⃗ =b⃗ x4α4+x1α1+x3α3+x2α2=b⃗ 1α4+3α1+5α3+7α2=b⃗ 3α1+7α2+5α3+1α4=Ax⃗ =b⃗ sol:(3,7,5,1)T

    4.设有一组向量:

    α1=(1,4,0,2)T,α2=(2,7,1,3)T,α3=(0,1,1,a)T,β=(3,10,b,4)T

    问a, b 取何值时, β 可以由向量组 α1,α2,α3 线性表示?并且在可以线性表示时,求出此表达式。

    考查点: 线性表示的判定以及矩阵行阶梯化

    思路: 先将矩阵类行阶梯化,分析变量的可能性情况,进行分析

    solution: