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  • MATLAB点云处理(二十):三维刚体几何变换矩阵(regid3d)与仿射几何变换矩阵(affine3d)
    千次阅读
    2021-08-03 11:49:34

    1 rigid3d 对象

    1.1 rigid3d 语法

    rigid3d对象存储有关三维刚体几何变换的信息,并启用正向和反向变换。

    刚性变换 是指在三维空间中,把一个物体做旋转、平移,是一种保持物体大小和形状不变的仿射变换,刚体变换又称为欧式变换、齐次变换。

    主要有 2 种形式

    NO.1 通过指定正向刚性变换矩阵

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    本文地址:http://blog.csdn.net/mounty_fsc/article/details/51492927

    本文简单介绍了仿射变换,主要从仿射变换的矩阵表示方面理解。

    1 仿射变换矩阵表示

    以二维坐标为例讲述仿射变换。变换前坐标为 (x,y) ,变换后坐标为 (x,y) 本文均使用齐次坐标系,齐次坐标见《射影变换》

    二维仿射变换保持了图像的“平直性”(即变换后直线还是直线)和“平行性”(平行线还是平行线)。仿射变换可以通过一系列的原子变换的复合来实现,包括:平移(Translation)、缩放(Scale)、翻转(Flip)、旋转(Rotation)和剪切(Shear)。其中平移与旋转为刚体变换,平移、旋转与缩放为相似变换

    仿射变换用等式表示如下:

    {x=ax+cy+txy=bx+dy+ty

    用矩阵表示如下:

    xy1=ad0cb0txty1xy1

    1.1 平移Translation

    (x,y) 平移后坐标为 (x+tx,y+ty) ,变换矩阵为

    100010txty1

    1.2 缩放Scale

    (x,y) 缩放后坐标为 (ax,dy) ,变换矩阵为

    sx000sy0001

    1.3 翻转Flip

    (x,y) 翻转后坐标为 (x,y) (x,y) ,变换矩阵为

    100010001100010001

    1.4 旋转Rotation

    (x,y) 旋转后坐标为 (xcosθysinθ,ycosθ+xsinθ) ,变换矩阵为

    cosθsinθ0sinθcosθ0001

    x=rcosαy=rsinαx=rcos(α+θ)=rcosαcosθrsinαsinθ=xcosθysinθy=rsin(α+θ)=rsinαcosθ+rcosαsinθ=ycosθ+xsinθ

    注,若围绕某点 (x0,y0) 旋转,则可以理解为坐标系平移 (x0,y0) 后再进行旋转,即对 (xx0,yy0) 旋转后得到 (xx0,yy0)

    1.5 剪切Shear

    (x,y) 剪切后坐标为 (x+cy,y+bx) ,变换矩阵为

    1shy0shx10001

    也相当于水平剪切和垂直剪切的符合:
    1shy0010001100shx10001

    水平、垂直剪切如下图

    1.6 刚体变换

    由上可知,刚体变换包括平移和旋转,所以变换矩阵可以表示为,其中 R 为3*3的正交旋转矩阵

    (R0Tt1)

    1.7 总结

    1. 从以上可以看出,若某物质或信息具有仿射不变性,则也具备尺度不变性(Scale invariant)

    2 仿射几何

    这部分描述的仿射几何的一些重要的数学概念。

    2.1 平行射影

    又称透视仿射,是射影几何的概念,由此可知仿射变换是射影变换的一种特例。

    平面到平面的仿射是有限回平行射影的积组成的。比如,由连续施行平面 π π1 π1 π2 π2 π3 ,再从 π3 回到 π 的共四次平行投影得到的平面 π 上点之间的对应,例如 ABC 的对应点为 A'B'C' ,这个对应就是平面π上的一个仿射变换。

    2.2 简比

    • 定义 ACBC 为三共线点 ABC 的简比
    • 简比在仿射变换下是不变的,即 ACBC=ACBC
    • 简比是仿射变换最基本的不变量

    参考资源:
    1. http://blog.csdn.net/kesalin/article/details/577973
    2. http://liuyanwei.jumppo.com/2015/11/24/iOS-affine-transfermation-animation.html?utm_source=tuicool&utm_medium=referral
    3. http://www.th7.cn/Program/Android/201501/353476.shtml
    4. http://www.360doc.com/content/14/0410/14/10724725_367760675.shtml

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    affine3d() 三维仿射几何变换 **: 一、描述 affine3d对象封装了一个三维仿射几何变换。 二、解释语法 tform = affine3d() 创建具有与标识转换对应的默认属性设置的affine3d对象。 tform = affine3d(A) 构造给定...

    **

    affine3d() 三维仿射几何变换

    **:

    • 一、描述

    affine3d对象封装了一个三维仿射几何变换。

    • 二、解释语法

    tform = affine3d() 创建具有与标识转换对应的默认属性设置的affine3d对象。

    tform = affine3d(A) 构造给定输入4×4矩阵A的affine3d对象,该矩阵指定一个有效的4×4仿射变换矩阵。

    输入参数:
    A 是一个4×4矩阵,它指定表单的有效仿射变换 :

            A = [a b c 0;
     		d e f 0;
    		g h i 0;
    	    j k l 1];
    	 
    默认值:恒等变换
    
    • 三、性能内容

    T 是一个4×4双精度浮点矩阵,定义了三维正向变换。

    矩阵T使用惯例:
    [x y z 1] = [u v w 1] * T
    式中:
    [a b c 0;
     d e f 0;
     g h i 0;
     j k l 1];
    默认值:恒等变换
    

    维度描述的是输入和输出点的几何变换的维数。

    • 四、例子

    在每个维度中定义不同的比例因子:

    创建一个affine3d对象,该对象在每个维度中定义不同的比例因子。

    Sx = 1.2;
    Sy = 1.6;
    Sz = 2.4;
    tform = affine3d([Sx 0 0 0; 0 Sy 0 0; 0 0 Sz 0; 0 0 0 1]);
    
    tform = 
    
      affine3d 属性:
                     T: [4x4 double]
        Dimensionality: 3
    

    对输入点应用正向几何变换:

    [X,Y,Z] = transformPointsForward(tform,1,1,1)
    X =
        1.2000
    Y =
        1.6000
    Z =
        2.4000
    

    对前一步的输出点进行几何逆变换,从逆变换中恢复原始点:

    [U,V,W] = transformPointsInverse(tform,X,Y,Z)
    U =
         1
    V =
         1
    W =
         1
    
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    转自:http://zh.wikipedia.org/wiki/%E4%BB%BF%E5%B0%84%E5%87%A0%E4%BD%95

    几何上,仿射几何是不涉及任何原点、长度或者角度概念的几何,但是有两点相减得到一个向量的概念。

    它位于欧氏几何射影几何之间。它是在域K上任意维仿射空间的几何。K为实数域的情况所包含的内容足够使人了解其大部分思想。

    抽象定义

    有一个更精练而且最终更为成功的定义(其代价是更为费解)。对于任意群G存在一个G的主齐次空间概念:它是一个集合S,G在其上作用,作用方式和G在自身通过乘法产生一个枚举是同构的。对于一个向量空间V的仿射空间也就是这样的一个主齐次空间;然后必须在A上恢复数乘这个操作。

     

    展开全文
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仿射几何

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