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(CV,Math)仿射几何
2016-05-25 00:15:371 仿射变换矩阵表示以二维坐标为例讲述仿射变换。变换前坐标为(x,y)(x,y),变换后坐标为(x′,y′)(x',y'),本文均使用齐次坐标系,且此处不介绍其次坐标。二维仿射变换保持了图像的“平直性”(即变换后直线还是直线...本文地址:http://blog.csdn.net/mounty_fsc/article/details/51492927
本文简单介绍了仿射变换,主要从仿射变换的矩阵表示方面理解。
1 仿射变换矩阵表示
以二维坐标为例讲述仿射变换。变换前坐标为 (x,y) ,变换后坐标为 (x′,y′) ,本文均使用齐次坐标系,齐次坐标见《射影变换》。
二维仿射变换保持了图像的“平直性”(即变换后直线还是直线)和“平行性”(平行线还是平行线)。仿射变换可以通过一系列的原子变换的复合来实现,包括:平移(Translation)、缩放(Scale)、翻转(Flip)、旋转(Rotation)和剪切(Shear)。其中平移与旋转为刚体变换,平移、旋转与缩放为相似变换。
仿射变换用等式表示如下:
{x′=ax+cy+txy′=bx+dy+ty用矩阵表示如下:
⎛⎝⎜x′y′1⎞⎠⎟=⎛⎝⎜ad0cb0txty1⎞⎠⎟⎛⎝⎜xy1⎞⎠⎟1.1 平移Translation
(x,y) 平移后坐标为 (x+tx,y+ty) ,变换矩阵为
⎛⎝⎜100010txty1⎞⎠⎟1.2 缩放Scale
(x,y) 缩放后坐标为 (ax,dy) ,变换矩阵为
⎛⎝⎜sx000sy0001⎞⎠⎟1.3 翻转Flip
(x,y) 翻转后坐标为 (−x,y) 或 (x,−y) ,变换矩阵为
⎛⎝⎜−100010001⎞⎠⎟或⎛⎝⎜1000−10001⎞⎠⎟1.4 旋转Rotation
(x,y) 旋转后坐标为 (xcosθ−ysinθ,ycosθ+xsinθ) ,变换矩阵为
⎛⎝⎜cosθsinθ0−sinθcosθ0001⎞⎠⎟⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪x=rcosαy=rsinαx′=rcos(α+θ)=rcosαcosθ−rsinαsinθ=xcosθ−ysinθy′=rsin(α+θ)=rsinαcosθ+rcosαsinθ=ycosθ+xsinθ注,若围绕某点 (x0,y0) 旋转,则可以理解为坐标系平移 (x0,y0) 后再进行旋转,即对 (x−x0,y−y0) 旋转后得到 (x′−x0,y′−y0)
1.5 剪切Shear
(x,y) 剪切后坐标为 (x+cy,y+bx) ,变换矩阵为
⎛⎝⎜1shy0shx10001⎞⎠⎟
也相当于水平剪切和垂直剪切的符合:
⎛⎝⎜1shy′0010001⎞⎠⎟⎛⎝⎜100shx′10001⎞⎠⎟
水平、垂直剪切如下图1.6 刚体变换
由上可知,刚体变换包括平移和旋转,所以变换矩阵可以表示为,其中 R 为3*3的正交旋转矩阵
(R0Tt1) 1.7 总结
- 从以上可以看出,若某物质或信息具有仿射不变性,则也具备尺度不变性(Scale invariant)
2 仿射几何
这部分描述的仿射几何的一些重要的数学概念。
2.1 平行射影
又称透视仿射,是射影几何的概念,由此可知仿射变换是射影变换的一种特例。
平面到平面的仿射是有限回平行射影的积组成的。比如,由连续施行平面 π 到 π1 , π1 到 π2 , π2 到 π3 ,再从 π3 回到 π′ 的共四次平行投影得到的平面 π 上点之间的对应,例如 A,B,C 的对应点为 A',B',C' ,这个对应就是平面π上的一个仿射变换。
2.2 简比
- 定义 ACBC 为三共线点 A,B,C 的简比
- 简比在仿射变换下是不变的,即 ACBC=A′C′B′C′
- 简比是仿射变换最基本的不变量
参考资源:
1. http://blog.csdn.net/kesalin/article/details/577973
2. http://liuyanwei.jumppo.com/2015/11/24/iOS-affine-transfermation-animation.html?utm_source=tuicool&utm_medium=referral
3. http://www.th7.cn/Program/Android/201501/353476.shtml
4. http://www.360doc.com/content/14/0410/14/10724725_367760675.shtml -
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affine3d() 三维仿射几何变换
**:
- 一、描述
affine3d对象封装了一个三维仿射几何变换。
- 二、解释语法
tform = affine3d() 创建具有与标识转换对应的默认属性设置的affine3d对象。
tform = affine3d(A) 构造给定输入4×4矩阵A的affine3d对象,该矩阵指定一个有效的4×4仿射变换矩阵。
输入参数:
A 是一个4×4矩阵,它指定表单的有效仿射变换 :A = [a b c 0; d e f 0; g h i 0; j k l 1]; 默认值:恒等变换
- 三、性能内容
T 是一个4×4双精度浮点矩阵,定义了三维正向变换。
矩阵T使用惯例: [x y z 1] = [u v w 1] * T 式中: [a b c 0; d e f 0; g h i 0; j k l 1]; 默认值:恒等变换
维度描述的是输入和输出点的几何变换的维数。
- 四、例子
在每个维度中定义不同的比例因子:
创建一个affine3d对象,该对象在每个维度中定义不同的比例因子。
Sx = 1.2; Sy = 1.6; Sz = 2.4; tform = affine3d([Sx 0 0 0; 0 Sy 0 0; 0 0 Sz 0; 0 0 0 1]); tform = affine3d 属性: T: [4x4 double] Dimensionality: 3
对输入点应用正向几何变换:
[X,Y,Z] = transformPointsForward(tform,1,1,1) X = 1.2000 Y = 1.6000 Z = 2.4000
对前一步的输出点进行几何逆变换,从逆变换中恢复原始点:
[U,V,W] = transformPointsInverse(tform,X,Y,Z) U = 1 V = 1 W = 1
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在几何上,仿射几何是不涉及任何原点、长度或者角度概念的几何,但是有两点相减得到一个向量的概念。
它位于欧氏几何和射影几何之间。它是在域K上任意维仿射空间的几何。K为实数域的情况所包含的内容足够使人了解其大部分思想。
抽象定义
有一个更精练而且最终更为成功的定义(其代价是更为费解)。对于任意群G存在一个G的主齐次空间概念:它是一个集合S,G在其上作用,作用方式和G在自身通过乘法产生一个枚举是同构的。对于一个向量空间V的仿射空间也就是这样的一个主齐次空间;然后必须在A上恢复数乘这个操作。
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