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  • 仿射变换及其变换矩阵的理解

    千次阅读 2019-05-30 17:35:11
    文章目录写在前面仿射变换:平移、旋转、放缩、剪切、反射变换矩阵形式变换矩阵的理解与记忆变换矩阵的参数估计参考 写在前面 2D图像常见的坐标变换如下图所示: 这篇文章不包含透视变换(projective/perspective ...

    博客:blog.shinelee.me | 博客园 | CSDN

    写在前面

    2D图像常见的坐标变换如下图所示:
    Basic set of 2D planar transformations
    这篇文章不包含透视变换(projective/perspective transformation),而将重点放在仿射变换(affine transformation),将介绍仿射变换所包含的各种变换,以及变换矩阵该如何理解记忆。

    仿射变换:平移、旋转、放缩、剪切、反射

    仿射变换包括如下所有变换,以及这些变换任意次序次数的组合
    affine transformations

    平移(translation)和旋转(rotation)顾名思义,两者的组合称之为欧式变换(Euclidean transformation)或刚体变换(rigid transformation);

    放缩(scaling)可进一步分为uniform scalingnon-uniform scaling,前者每个坐标轴放缩系数相同(各向同性),后者不同;如果放缩系数为负,则会叠加上反射(reflection)——reflection可以看成是特殊的scaling;

    刚体变换+uniform scaling 称之为,相似变换(similarity transformation),即平移+旋转+各向同性的放缩;

    剪切变换(shear mapping)将所有点沿某一指定方向成比例地平移,语言描述不如上面图示直观。

    各种变换间的关系如下面的venn图所示:
    transformations venn diagram
    通过变换矩阵可以更清晰地看出这些变换间的关系和区别。

    变换矩阵形式

    没有平移或者平移量为0的所有仿射变换可以用如下变换矩阵描述:

    [ x ′ y ′ ] = [ a b c d ] [ x y ] \left[ \begin{array}{l}{x'} \\ {y'}\end{array}\right]=\left[ \begin{array}{ll}{a} & {b} \\ {c} & {d}\end{array}\right] \left[ \begin{array}{l}{x} \\ {y}\end{array}\right] [xy]=[acbd][xy]

    不同变换对应的 a , b , c , d a, b, c, d a,b,c,d约束不同,排除了平移变换的所有仿射变换为线性变换(linear transformation),其涵盖的变换如上面的venn图所示,其特点是原点位置不变多次线性变换的结果仍是线性变换

    为了涵盖平移,引入齐次坐标,在原有2维坐标的基础上,增广1个维度,如下所示:

    [ x ′ y ′ 1 ] = [ a b c d e f ] [ x y 1 ] \left[ \begin{array}{l}{x^{\prime}} \\ {y^{\prime}} \\ {1}\end{array}\right] =\left[ \begin{array}{lll}{a} & {b} & {c}\\ {d} & {e} & {f} \end{array}\right] \left[ \begin{array}{l}{x} \\ {y} \\ {1}\end{array}\right] xy1=[adbecf]xy1

    所以,仿射变换的变换矩阵统一用 [ a b c d e f ] \left[ \begin{array}{lll}{a} & {b} & {c}\\ {d} & {e} & {f}\end{array}\right] [adbecf]来描述,不同基础变换的 a , b , c , d , e , f a,b,c,d,e,f a,b,c,d,e,f约束不同,如下所示:

    VuEg5n.png
    此外,旋转和平移相乘得到刚体变换的变换矩阵,如下,有3个自由度( θ , t x , t y \theta, t_x, t_y θ,tx,ty),这里旋转方向为逆时针方向,因此与上图中的正负号不同,
    [ cos ⁡ ( θ ) − sin ⁡ ( θ ) t x sin ⁡ ( θ ) cos ⁡ ( θ ) t y ] [ x y 1 ] = [ x ′ y ′ 1 ] \left[ \begin{array}{ccc}{\cos (\theta)} & {-\sin (\theta)} & {t_{x}} \\ {\sin (\theta)} & {\cos (\theta)} & {t_{y}}\end{array}\right] \left[ \begin{array}{l}{x} \\ {y} \\ {1}\end{array}\right]=\left[ \begin{array}{c}{x^{\prime}} \\ {y^{\prime}} \\ {1}\end{array}\right] [cos(θ)sin(θ)sin(θ)cos(θ)txty]xy1=xy1

    再乘上uniform scaling得到相似变换,有4个自由度( s , θ , t x , t y s, \theta, t_x, t_y s,θ,tx,ty),如下:

    [ s cos ⁡ ( θ ) − s sin ⁡ ( θ ) t x s sin ⁡ ( θ ) s cos ⁡ ( θ ) t y ] [ x y 1 ] = [ x ′ y ′ 1 ] \left[ \begin{array}{ccc}{s\cos (\theta)} & {-s\sin (\theta)} & {t_{x}} \\ {s\sin (\theta)} & {s\cos (\theta)} & {t_{y}}\end{array}\right] \left[ \begin{array}{l}{x} \\ {y} \\ {1}\end{array}\right]=\left[ \begin{array}{c}{x^{\prime}} \\ {y^{\prime}} \\ {1}\end{array}\right] [scos(θ)ssin(θ)ssin(θ)scos(θ)txty]xy1=xy1

    自然,仿射变换的变换矩阵有6个自由度( a , b , c , d , e , f a,b,c,d,e,f a,b,c,d,e,f)。

    变换矩阵的理解与记忆

    rotate matrix
    坐标系坐标原点基向量决定,坐标原点基向量确定了,坐标系也就确定了。

    对于坐标系中的位置 ( x , y ) (x, y) (x,y),其相对坐标原点在 [ 1 , 0 ] [1, 0] [1,0]方向上的投影为 x x x,在 [ 0 , 1 ] [0, 1] [0,1]方向上的投影为 y y y——这里投影的意思是过 ( x , y ) (x, y) (x,y)做坐标轴的平行线与坐标轴的交点到原点的距离,即 ( x , y ) (x, y) (x,y)实际为:

    [ x y ] = x [ 1 0 ] + y [ 0 1 ] = [ 1 0 0 1 ] [ x y ] \left[ \begin{array}{l}{x} \\ {y}\end{array}\right] = x\left[ \begin{array}{l}{1} \\ {0}\end{array}\right] + y\left[ \begin{array}{l}{0} \\ {1}\end{array}\right] = \left[ \begin{array}{ll}{1} & {0} \\ {0} & {1}\end{array}\right] \left[ \begin{array}{l}{x} \\ {y}\end{array}\right] [xy]=x[10]+y[01]=[1001][xy]

    当坐标系变化,坐标系中的点也跟着变化,但点相对新坐标系 x ′ − y ′ x'-y' xy坐标系)的位置不变仍为 ( x , y ) (x, y) (x,y),以旋转变换为例,新坐标轴的基向量则变为 [ cos ⁡ ( θ ) , sin ⁡ ( θ ) ] [\cos (\theta), \sin (\theta)] [cos(θ),sin(θ)] [ − sin ⁡ ( θ ) , cos ⁡ ( θ ) ] [-\sin (\theta), \cos (\theta)] [sin(θ),cos(θ)],所以点变化到新位置为:

    [ x ′ y ′ ] = x [ cos ⁡ ( θ ) sin ⁡ ( θ ) ] + y [ − sin ⁡ ( θ ) cos ⁡ ( θ ) ] = [ cos ⁡ ( θ ) − sin ⁡ ( θ ) sin ⁡ ( θ ) cos ⁡ ( θ ) ] [ x y ] \left[ \begin{array}{l}{x'} \\ {y'}\end{array}\right] = x\left[ \begin{array}{l}{\cos (\theta)} \\ { \sin (\theta)}\end{array}\right] + y\left[ \begin{array}{r}{- \sin (\theta)} \\ { \cos (\theta)}\end{array}\right] = \left[ \begin{array}{lr}{\cos (\theta)} & {-\sin (\theta)} \\ {\sin (\theta)} & {\cos (\theta)}\end{array}\right] \left[ \begin{array}{l}{x} \\ {y}\end{array}\right] [xy]=x[cos(θ)sin(θ)]+y[sin(θ)cos(θ)]=[cos(θ)sin(θ)sin(θ)cos(θ)][xy]

    新位置和新基向量是相对绝对坐标系( x − y x-y xy坐标系)而言的。其他变换矩阵同理。

    总结一下:

    • 所有变换矩阵只需关注一点:坐标系的变化,即基向量和原点的变化
    • 坐标系变化到哪里,坐标系中的所有点也跟着做同样的变化
    • 坐标系的变换分为 基向量的变化 以及 坐标原点的变化,在仿射变换矩阵 [ a b c d e f 0 0 1 ] \left[ \begin{array}{lll}{a} & {b} & {c}\\ {d} & {e} & {f} \\ 0 & {0} & {1}\end{array}\right] ad0be0cf1中, [ a d ] \left[ \begin{array}{l}{a} \\ {d}\end{array}\right] [ad] [ b e ] \left[ \begin{array}{l}{b} \\ {e}\end{array}\right] [be]为新的基向量, [ c f ] \left[ \begin{array}{l}{c} \\ {f}\end{array}\right] [cf]为新的坐标原点,先变化基向量,再变化坐标原点;

    这时再对照上面的各种变换矩阵,就很好理解了。

    Hierarchy of 2D coordinate transformations

    变换矩阵的参数估计

    如果给定两个对应点集,如何估计指定变换矩阵的参数?

    一对对应点可以列两个线性方程,多个对应点可以列出线性方程组,为了求解参数,需要的对应点数至少为自由度的一半,多个点时构成超定方程组,可以基于最小二乘或者SVD分解等方法进行求解,这里不再展开。

    参考

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  • 此函数通过仿射变换矩阵 'M' 变换体积 'old_im'。 输出音量可以被子采样和过采样。 该函数使用 interp3,因此可以进行“最近”、“线性”、“样条”、“三”和快速 ( * ) 插值。 % 用法示例——简单翻译加载MRI....
  • 仿射变换齐次坐标

    千次阅读 2018-06-08 21:51:31
    仿射变换齐次坐标October 12, 2011gcchengLeave a commentGo to comments仿射变换(Affine Transformation)和齐次坐标系(Homogeneous Coordinate)是计算机图形学中经常碰到的基本概念。这篇文章主要讲述什么是...

    仿射变换与齐次坐标

    Affine Transformation仿射变换(Affine Transformation)和齐次坐标系(Homogeneous Coordinate)是计算机图形学中经常碰到的基本概念。这篇文章主要讲述什么是仿射变换和齐次坐标系,以及在图形系统中为什么要是用它们。不求全面,只为自己学习理解。

    仿射变换其实是另外两种简单变换的叠加:一个是线性变换,一个是平移变换。统一平移变换和线性变换的一种变换我们起了个名字叫“仿射变换”。这个新的变换就不再单纯的是两个线性空间的映射了,而是变成了两个仿射空间的映射关系。为了更好地理解仿射变换,首先就要知道线性变换以及它的不足。在未说明的情况下,下面使用的是卡迪尔坐标系。

    所谓线性变换是指两个线性空间的映射,一个变换\mathcal{L}:\mathcal{A}\to\mathcal{B}是线性变换,必须满足两个条件,也就是我们经常说的线性条件:

    L(u+v)=L(u)+L(v)      additivity

    L({\alpha}u)={alpha}L(u)      homogeneity

    举个例子说明一下。建设L是一个二维绕原点旋转变换,uv是旋转角度。我们知道“一次性旋转u+v度”和“先旋转u度再旋转v读”达到的效果是一样的;同样地,“一次性旋转{\alpha}u度”和“旋转{\alpha}次u度”也是一张的。

    线性变换可以用矩阵来表示。假设p=(x,y)^{T}是二维空间中的点,T是一线性变换,那么存在一个矩阵A,使得p'=(x',y')^{T}=T(p)=Ap。上面的旋转变换R,以及缩放S变换都有相应的变换矩阵

    \left[ {\begin{array}{c} x'\\y'\\ \end{array}} \right]=R(p)= \left[ {\begin{array}{cc} cos(\theta) & -sin(\theta) \\ sin(\theta) & cos(\theta) \\ \end{array} } \right] \left[ {\begin{array}{cc} x \\ y \\ \end{array} } \right]

    \left[ {\begin{array}{c} x'\\y'\\ \end{array}} \right]=S(p)= \left[ {\begin{array}{cc} S_x & 0 \\ 0 & S_y \\ \end{array} } \right] \left[ {\begin{array}{c} x \\ y \\ \end{array} } \right]

    但是在卡迪尔坐标系中,平移变换却不能用矩阵来表示。一个平移变换T具有如下的形式

    \left[ {\begin{array}{c} x'\\y'\\ \end{array}} \right]=T(p)= I \left[ {\begin{array}{cc} x \\ y \\ \end{array} } \right]+\left[ {\begin{array}{c} t_x \\ t_y \\ \end{array} } \right]

    我们可以很容易地验证,平移变换T是不能写成两个矩阵乘积形式的。使用齐次坐标系很好的解决了这个问题(可能还有其它的原因)。齐次坐标系统其实是用高维坐标来表示一个低维的点,就好比我们用(x,1)来表示一个长度值一样,其实用一个x就可以了,但是用高一维的表示,在有的时候会带来便利。一个N维的卡迪尔坐标系中的一个点p=(x_1,x_2,...,x_N),在齐次坐标系中有无数的N+1维点与之对应,这些点可以描述为p_H=(\omega x_1,\omega x_2,...,\omega x_N,\omega)\omega取不同的值,我们变得到齐次坐标系中不同的点。当把这些点映射到\omega=1平面(不改变x_i之间比例),我们又降维得到对应的卡迪尔坐标系中的点。在OpenGL中我们是用(x,y,z,1)(\omega=1)来表示一点三维的点,显然这个点与卡迪尔坐标系中的点(x,y,z)是一一对应的。在计算的过程中,会出现第四个分量不为\omega \neq 1的情况,这时我们也总是同除以\omega使齐次坐标正规化。现在回来让我们看看使用齐次坐标时,对应的线性变换是什么形式。假设p=(x,y,1)^{T}是二维点对应的齐次坐标,与上面使用卡迪尔坐标系类似,我们可以得到相应的线性变换如旋转变换R和缩放变换S的矩阵表示:

    \left[ {\begin{array}{c} x'\\y'\\1\\ \end{array}} \right]=R(p)= \left[ {\begin{array}{ccc} cos(\theta) & -sin(\theta) & 0 \\ sin(\theta) & cos(\theta) & 0 \\ 0 & 0 & 1\\\end{array} } \right] \left[ {\begin{array}{c} x \\ y \\ 1 \\ \end{array} } \right]

    \left[ {\begin{array}{c} x'\\y'\\1\\ \end{array}} \right]=S(p)= \left[ {\begin{array}{ccc} S_x & 0 & 0 \\ 0 & S_y & 0 \\ 0 & 0 & 1\\ \end{array} } \right] \left[ {\begin{array}{c} x \\ y \\ 1 \\ \end{array} } \right]

    容易验证, (x', y')的值并没有变化。但是使用齐次坐标后,平移操作便也可以使用矩阵来表示了(如下),平移量出现在变换矩阵的最右侧。

    \left[ {\begin{array}{c} x'\\y'\\1\\ \end{array}} \right]=T(p)= \left[ {\begin{array}{ccc} 1 & 0 & t_x \\ 0 & 1 & t_y \\ 0 & 0 & 1\\ \end{array} } \right] \left[ {\begin{array}{c} x \\ y \\ 1 \\ \end{array} } \right]

    最后,我们给出仿射变换稍微正式点的定义。一个仿射变换T,可以表示成一个线性变换A后平移tT(p)=Ap+t,其中p是待变换的点齐次坐标表示。T可以表示成如下的形式:

    \bf{T}=\left[ {\begin{array}{cccc} a_11&a_12&a_13&t_1\\ a_21&a_22&a_23&t_2\\ a_31&a32&a33&t_3\\ 0&0&0&1\\ \end{array}} \right]

    其中,\bf{A}=\left[ {\begin{array}{ccc} a_11&a_12&a_13\\ a_21&a_22&a_23\\ a_31&a32&a33\\ \end{array}} \right]表示线性变换;\bf{t}=\left[ {\begin{array}{c} t_1\\ t_2\\ t_3\\ \end{array}} \right]表示平移变换;右下角的数字可以进行整体缩放,当为1时,表示不进行整体缩放。

    仿射变换之所以重要,另一个重要的原因是仿射变换后不改变点的共线/共面性,而且还保持比例,这对图形系统尤其重要。例如,根据这个性质,如果我们要变换一个三角形,只需要对三个定点v1,v2,v3进行变换T就可以了,对于原先边v1v2上的点,变换后一定还在边后T(v1)T(v2)上。

    总结一下,仿射变换是线性变换后进行平移变换(其实也是齐次空间的线性变换),使用齐次坐标使得仿射变换可以以统一的矩阵形式进行表示。

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  • 本文介绍了仿射变换的类型及其关系以及仿射...实际中一般图像的仿射变换就是平移、旋转、缩放和错切的叠加组合,每叠加一个处理,就进行一次仿射变换矩阵齐次坐标的乘法,再进行一处理则再乘一对应变换的矩阵。
    展开全文
  • 仿射变换矩阵

    万次阅读 2018-07-04 20:51:33
    仿射变换(Affine Transformation)和齐次坐标系(Homogeneous Coordinate)是计算机图形学中经常碰到的基本概念。这篇文章主要讲述什么是仿射变换齐次坐标系,以及在图形系统中为什么要是用它们。不求全面,只为...

    GeometryTransformation 几何变换

    对图像的几何变换本质上是一种线性变换,其数学本质为 
    Inew=TIold

    即通过变换矩阵 T 将原图上的点的位置 Iold 变换到新的位置,从而得到新的图像 Inew

    2D平面变换示意图(”Computer Vision: Algorithms and Applications”, RichardSzeliski) 
    - Translation
    平移 
    - Euclidean(rigid, rotation)
    旋转 
    - Scale
    缩放;图中没有画出 
    - Similarity
    相似变换;结合旋转,平移和缩放 
    - Affine
    仿射变换;想象在similarity的基础上用两只手对图像进行按压拉伸 
    - Projective
    投影变换;想象投影仪做的事情,将一个面投影到另外一个面的情况


    仿射变换(Affine Transformation)和齐次坐标系(Homogeneous Coordinate)是计算机图形学中经常碰到的基本概念。这篇文章主要讲述什么是仿射变换和齐次坐标系,以及在图形系统中为什么要是用它们。不求全面,只为自己学习理解。

    仿射变换其实是另外两种简单变换的叠加:一个是线性变换,一个是平移变换。统一平移变换和线性变换的一种变换我们起了个名字叫“仿射变换”。这个新的变换就不再单纯的是两个线性空间的映射了,而是变成了两个仿射空间的映射关系。为了更好地理解仿射变换,首先就要知道线性变换以及它的不足。在未说明的情况下,下面使用的是卡迪尔坐标系。

    所谓线性变换是指两个线性空间的映射,一个变换\mathcal{L}:\mathcal{A}\to\mathcal{B}是线性变换,必须满足两个条件,也就是我们经常说的线性条件:

    L(u+v)=L(u)+L(v)      additivity

    L({\alpha}u)={alpha}L(u)      homogeneity

    举个例子说明一下。建设L是一个二维绕原点旋转变换,uv是旋转角度。我们知道“一次性旋转u+v度”和“先旋转u度再旋转v读”达到的效果是一样的;同样地,“一次性旋转{\alpha}u度”和“旋转{\alpha}次u度”也是一张的。

    线性变换可以用矩阵来表示。假设p=(x,y)^{T}是二维空间中的点,T是一线性变换,那么存在一个矩阵A,使得p'=(x',y')^{T}=T(p)=Ap。上面的旋转变换R,以及缩放S变换都有相应的变换矩阵

    \left[ {\begin{array}{c} x'\\y'\\ \end{array}} \right]=R(p)= \left[ {\begin{array}{cc} cos(\theta) & -sin(\theta) \\ sin(\theta) & cos(\theta) \\ \end{array} } \right] \left[ {\begin{array}{cc} x \\ y \\ \end{array} } \right]

    \left[ {\begin{array}{c} x'\\y'\\ \end{array}} \right]=S(p)= \left[ {\begin{array}{cc} S_x & 0 \\ 0 & S_y \\ \end{array} } \right] \left[ {\begin{array}{c} x \\ y \\ \end{array} } \right]

    但是在卡迪尔坐标系中,平移变换却不能用矩阵来表示。一个平移变换T具有如下的形式

    \left[ {\begin{array}{c} x'\\y'\\ \end{array}} \right]=T(p)= I \left[ {\begin{array}{cc} x \\ y \\ \end{array} } \right]+\left[ {\begin{array}{c} t_x \\ t_y \\ \end{array} } \right]

    我们可以很容易地验证,平移变换T是不能写成两个矩阵乘积形式的。使用齐次坐标系很好的解决了这个问题(可能还有其它的原因)。齐次坐标系统其实是用高维坐标来表示一个低维的点,就好比我们用(x,1)来表示一个长度值一样,其实用一个x就可以了,但是用高一维的表示,在有的时候会带来便利。一个N维的卡迪尔坐标系中的一个点p=(x_1,x_2,...,x_N),在齐次坐标系中有无数的N+1维点与之对应,这些点可以描述为p_H=(\omega x_1,\omega x_2,...,\omega x_N,\omega)\omega取不同的值,我们变得到齐次坐标系中不同的点。当把这些点映射到\omega=1平面(不改变x_i之间比例),我们又降维得到对应的卡迪尔坐标系中的点。在OpenGL中我们是用(x,y,z,1)(\omega=1)来表示一点三维的点,显然这个点与卡迪尔坐标系中的点(x,y,z)是一一对应的。在计算的过程中,会出现第四个分量不为\omega \neq 1的情况,这时我们也总是同除以\omega使齐次坐标正规化。现在回来让我们看看使用齐次坐标时,对应的线性变换是什么形式。假设p=(x,y,1)^{T}是二维点对应的齐次坐标,与上面使用卡迪尔坐标系类似,我们可以得到相应的线性变换如旋转变换R和缩放变换S的矩阵表示:

    \left[ {\begin{array}{c} x'\\y'\\1\\ \end{array}} \right]=R(p)= \left[ {\begin{array}{ccc} cos(\theta) & -sin(\theta) & 0 \\ sin(\theta) & cos(\theta) & 0 \\ 0 & 0 & 1\\\end{array} } \right] \left[ {\begin{array}{c} x \\ y \\ 1 \\ \end{array} } \right]

    \left[ {\begin{array}{c} x'\\y'\\1\\ \end{array}} \right]=S(p)= \left[ {\begin{array}{ccc} S_x & 0 & 0 \\ 0 & S_y & 0 \\ 0 & 0 & 1\\ \end{array} } \right] \left[ {\begin{array}{c} x \\ y \\ 1 \\ \end{array} } \right]

    容易验证, (x', y')的值并没有变化。但是使用齐次坐标后,平移操作便也可以使用矩阵来表示了(如下),平移量出现在变换矩阵的最右侧。

    \left[ {\begin{array}{c} x'\\y'\\1\\ \end{array}} \right]=T(p)= \left[ {\begin{array}{ccc} 1 & 0 & t_x \\ 0 & 1 & t_y \\ 0 & 0 & 1\\ \end{array} } \right] \left[ {\begin{array}{c} x \\ y \\ 1 \\ \end{array} } \right]

    最后,我们给出仿射变换稍微正式点的定义。一个仿射变换T,可以表示成一个线性变换A后平移t:T(p)=Ap+t,其中p是待变换的点齐次坐标表示。T可以表示成如下的形式:

    \bf{T}=\left[ {\begin{array}{cccc} a_11&a_12&a_13&t_1\\ a_21&a_22&a_23&t_2\\ a_31&a32&a33&t_3\\ 0&0&0&1\\ \end{array}} \right]

    其中,\bf{A}=\left[ {\begin{array}{ccc} a_11&a_12&a_13\\ a_21&a_22&a_23\\ a_31&a32&a33\\ \end{array}} \right]表示线性变换;\bf{t}=\left[ {\begin{array}{c} t_1\\ t_2\\ t_3\\ \end{array}} \right]表示平移变换;右下角的数字可以进行整体缩放,当为1时,表示不进行整体缩放。

    仿射变换之所以重要,另一个重要的原因是仿射变换后不改变点的共线/共面性,而且还保持比例,这对图形系统尤其重要。例如,根据这个性质,如果我们要变换一个三角形,只需要对三个定点v1,v2,v3进行变换T就可以了,对于原先边v1v2上的点,变换后一定还在边后T(v1)T(v2)上。

    总结一下,仿射变换是线性变换后进行平移变换(其实也是齐次空间的线性变换),使用齐次坐标使得仿射变换可以以统一的矩阵形式进行表示。

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  • 仿射变换、仿射矩阵

    2019-08-19 19:39:23
    如何通俗地讲解「仿射变换」这个概念? - 马同学的回答 - 知乎 https://www.zhihu.com/question/20666664/answer/157400568 https://www.wikiwand.com/zh/%E4%BB%BF%E5%B0%84%E5%8F%98%E6%8D%A2 ...
  • 本文介绍了组合(也称复合)仿射变换的概念、变换过程以及变换矩阵,并以绕指定点旋转的组合变换、指定直线作为依赖轴的组合变换详细介绍了变换过程和变换矩阵的构成,有助于深入理解仿射变换的概念和处理过程。
  • 仿射变换过程,(x,y)表示原图像中的坐标,(x’,y’)表示目标图像的坐标 ↑ 三. 仿射变换——图像平移 算法: 仿射变换—图像平移算法,其中tx为在横轴上移动的距离,ty为在纵轴上移动的距离 ↑ 四. python实现...
  • 特别目前在手机里拍照时,由于位置传感器的失灵,也许是软件的BUG,有一我就遇到苹果手机不管怎么样竖放,或横放,它拍摄的照片就竖不起来,后来只有关机重启才解决。这样拍摄出来的照片,如果要改变方向,只能...
  • 这样的需求,就需要使用仿射变换的缩放功能,而实现这个功能的方法,就是采用齐次坐标的变换功式: 可看到最后一条公式,就是缩放公式,要实现二维图像的缩放,需要构造前面那个缩放矩阵,因此在OpenCV也是构造一个...
  • 这篇文章不包含透视变换(projective/perspective transformation),而将重点放在仿射变换(affine transformation),将介绍仿射变换所包含的各种变换,以及变换矩阵该如何理解记忆。 仿射变换:平移、旋转、放缩...
  • 仿射变换(Affine transformation),又称仿射映射,是指在几何中,对一个向量空间进行一线性变换并接上一个平移,变换为另一个向量空间。 它是一种二维坐标到二维坐标间的线性变换,保持了二维图形的“平直性”...
  • 描述平面的仿射变换矩阵。 Affine程序包源自Casey Duncan的Planar程序包。 请参阅的版权声明。 用法 下面说明了用于二维转换的3x3增强仿射转换矩阵。 | x' | | a b c | | x | | y' | = | d e f | | y | | 1 | | 0...
  • 本节从基础的欧式空间、投影空间、笛卡尔坐标、向量、矩阵、线性空间着手介绍,从向量空间的点和向量的表示法着手说明齐次坐标概念引入的过程,并介绍了齐次坐标的作用。
  • 一图详解仿射变换的旋转矩阵推导

    千次阅读 2017-10-13 13:42:29
    由1得: j/b=cos(α) k/b=sin(α) 由2得: m/b=cos(α+β)=(cosαcosβ-sinαsinβ) n/b=sin(α+β)=(sinαcosβ+sinβcosα) 将j/b、k/b带入2中,可解得: m=j*cosβ-k*sinβ n=j*sinβ+k*cosβ 转化成矩阵形式...
  • 通过一个以上的控制点,计算四参数转换参数,并利用转换参数将其他测量点转换成不同的坐标系下的坐标! 通过一个以上的控制点,计算四参数转换参数,并利用转换参数将其他测量点转换成不同的坐标系下的坐标!
  • 仿射变换和变化矩阵

    2020-12-21 16:09:04
    仿射变换(Affine Transformation)是一种二维坐标到二维坐标之间的线性变换,它保持了二维图形的“平直性”和“平行性”。
  • 变换模型是指根据待匹配图像与背景图像之间几何畸变的情况,所选择的能最佳拟合两幅图像之间变化的几何变换模型。可采用的变换模型有如下几种:刚性变换、... 其中第三个的仿射变换就是我们这节要讨论的。 仿射变换...
  • 所以在这个操作过程里,就要多个矩阵进行操作了,先要进行平移矩阵相乘,再与旋转矩阵相乘,最后与反向平移矩阵相乘。旋转的操作都是使用角度方式来计算,因此要使用中学的知识—三角函数sin和cos等,如果对这些知识...
  • 仿射变换和透视变换矩阵的参数含义与区别

    千次阅读 多人点赞 2020-11-16 16:22:30
    从直观的角度看,仿射变换和透视变换的最大区别是:一个平行四边形,经过仿射变换后... 所以,仿射= 旋转 + 平移 仿射变换矩阵为: 其中,(x,y)是原图坐标,(x’,y’)是变换后的坐标;m11,m12,m21,m22为旋转量,m13,
  • 仿射变换以及仿射变换矩阵

    千次阅读 2017-05-03 17:01:52
    仿射变换以及仿射变换矩阵   仿射变换可以理解为 ・对坐标进行放缩,旋转,平移后取得新坐标的值。 ・经过对坐标轴的放缩,旋转,平移后原坐标在在新坐标领域中的值。   如上图所示,XY坐标系...
  • 2D图像变换包括:(可用变换矩阵来表示) 平移变换(Translation) 刚体变换(Rigid) 相似变换(Similarity) 仿射变换(Affine) 投影变换(Projective) 各种2D变换的矩阵形式和自由度: 各种2D变换的包含关系: ...
  • 目录写在前面仿射变换:平移、旋转、放缩、剪切、反射变换矩阵形式变换矩阵的理解与记忆变换矩阵的参数估计参考写在前面2D图像常见的坐标变换如下图所示:这篇文章不包含透视变换(projective/perspective ...
  • 3D仿射变换矩阵推导

    千次阅读 2018-05-04 19:43:11
    仿射变换包括线性变换和平移变换,先来说线性变换中的旋转变换,这个稍微要复杂一点.讲这个之前,我假设你已经对线性代数有一定的了解,比如三角函数,向量,以及矩阵的相关知识(以及他们所代表的几何意义),如果以上知识不...
  • 主题:仿射变换,正交矩阵,求逆,矩阵乘法引言好久没有写博客了,这段时间一直忙着,今天抽空写下实习的时候遇到的问题,同时继续更新自己的博客。 今天想要说的是自己一直以来对3D变换的一些疑惑之处。主要体现在...

空空如也

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仿射变换齐次矩阵