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  • 前面三节,我们从最简单的一元线性回归到多元线性回归,讨论了,损失函数到底由那几部分组成(这点我觉很重要,因为它不仅仅存在线性回归中还存在其他机器学习中,因此有必要搞明白他,有兴趣的请看这篇文章),后面...

    前面三节,我们从最简单的一元线性回归到多元线性回归,讨论了,损失函数到底由那几部分组成(这点我觉很重要,因为它不仅仅存在线性回归中还存在其他机器学习中,因此有必要搞明白他,有兴趣的请看这篇文章),后面详细讨论了多元线性回归,主要介绍了多元线性回归的共线性问题,为了解决共线性问题引出了岭回归,然而岭回归存在缺点,因此又引出了lasso算法,此算法是解决共线性和选择特征很有效的方法(不懂的请看这篇文章),讲解了Lasso 算法的原理,下面就详解了lasso 的计算原理,通过使用LAR算法间接解决lasso 的计算问题,他们有很高的相似性,详解了相似的原因,本人认为LAR算法值得大家好好研究体会,因为这个算法使用了很高超的技巧去求解最优问题,计算量很低而且可以推广到高维特征,有兴趣的请看这篇文章,上面就是前三节的主要内容,下面开始根据机器学习实战进行学习:

    先回顾一下简单的原理过程:

     我们知道了上面的式子就是最优估计了,使用最小二乘法就可以求解出来,但是并不是所有的都可以使用最小二乘法,前提需要保证上式可逆才能使用,

                                                                                  \dpi{120} \fn_phv \hat{w} = (x^Tx)^{-1}x^Ty

    其中\hat{w}\hat{\beta }代表的是同一个意思,好,下面我们就开始敲代码了:

     

    #!/usr/bin/env/python
    # -*- coding: utf-8 -*-
    # Author: 赵守风
    # File name: regression.py
    # Time:2018/11/1
    # Email:1583769112@qq.com
    
    import numpy as np
    
    # 读取数据
    def loaddataset(filename):
        numfeat = len(open(filename).readline().split('\t')) - 1  # 计算一个样本特征有几个
        datmat = []
        labelmat = []
        fr = open(filename)
        for line in fr.readlines():  # 读取数据,并把特征提取出来
            linearr = []
            curline = line.strip().split('\t')
            for i in range(numfeat):
                linearr.append(float(curline[i]))
    
            datmat.append(linearr)
            labelmat.append(float(curline[-1]))
        return datmat, labelmat
    
    # 求解ws
    def standregres(xarr, yarr):
        xmat = np.mat(xarr)
        ymat = np.mat(yarr)
        xTx = xmat.T * xmat
        if np.linalg.det(xTx) == 0.0: #判断矩阵的行列式是否为0,如果为0说明矩阵不可逆
            print('xTx矩阵不可逆')
            return
        ws = xTx.I * (xmat.T * ymat.T)  # 这里会报错,原因是这里ymat需要转置一下
        # ws = np.linalg.solve(xTx, xmat*ymat)
        return ws
    
    测试代码:
    #!/usr/bin/env/python
    # -*- coding: utf-8 -*-
    # Author: 赵守风
    # File name: test.py
    # Time:2018/11/1
    # Email:1583769112@qq.com
    
    import regression
    import matplotlib.pyplot as plt
    import numpy as np
    
    xarr, yarr = regression.loaddataset('ex0.txt')
    print('xarr: ', xarr)
    print('yarr: ', yarr)
    
    ws = regression.standregres(xarr, yarr)
    print('ws: ', ws)
    
    xmat = np.mat(xarr)
    ymat = np.mat(yarr)
    
    plt.scatter(xmat[:,1].flatten().A[0],ymat.T[:,0].flatten().A[0])
    plt.show()
    
    
    
    
    fig = plt.figure()
    ax = fig.add_subplot(111)
    ax.scatter(xmat[:,1].flatten().A[0],ymat.T[:,0].flatten().A[0])
    xcopy = xmat.copy()
    xcopy.sort(0)
    yhat = xcopy* ws
    ax.plot(xcopy[:,1],yhat)
    plt.show()
    
    
    
    

     我们发现拟合效果还行,只是没有把细节的变化表现出来即数据是锯齿状上升的,如何把细节表现出来呢?下面使用局部拟合就可以解决问题。

    局部拟合:

    所谓局部拟合,简单的来说就是在拟合时,引入权值,是拟合点的相邻的数据的权值增加,远离的数据的权值减小或者消除(容易过拟合),其实这个和通信里的滤波器差不多,滤波器的目的就是只让频带内的数据通过,其他的不通过,因此想达到这样的效果就需要引入权值函数,这个函数和很当前的数据相关,和邻边很近的数据也相关,即需要呈现‘带通’特性,此时最容易想到的就是核函数的高斯核函数或者径向基核函数具有这样的特性,如下:

    我们的优化函数为:

    QQæªå¾20160813065442

    使用这个函数的效果就是我们上面的图的效果,只是测试细节的变化趋势忽略了,因此引入局部拟合即加入权值:

    QQæªå¾20160813065643

    为权值,从上面我们可以看出,如果很大,我们将很难去使得小,所以如果很小,则它所产生的影响也就很小。 

     我们w的权值通过高斯核引入,如下:

    QQæªå¾20160813070325

    图形为:

    image

     

    通过这里我们可以看到,每预测一个待预测样本数据时 ,靠近x的样本的数据的权值接近1,而远离x的权值趋向于0,这就是局部的意思,就是每加入一个数据,都会以局数据为准进行拟合,这样就可以把细节也突出了,我们看看,高斯核函数的的特性:

    其中k就是上式的\tau,调节 \tau我们发现其选择临近数据的多少即权值为多少,可以很清楚的看到,权值可以决定哪些数据参与局部拟合,因此可以把数据的潜在规律也挖掘出来,但是局部拟合的缺点是增加了计算量,因为它每预测一个数据时,都会调用整个样本的数据,这和KNN工作机制差不多。好,下面我们看看代码实现和效果:

    #  局部线性回归
    def lwlr(testPoint, xArr, yArr, k=1.0):
        xMat = np.mat(xArr)
        yMat = np.mat(yArr).T
        m = np.shape(xMat)[0] # 取矩阵的行数
        weights = np.mat(np.eye((m))) # 创建一个对角矩阵,对角线为1,其他为0
        for j in range(m):             #next 2 lines create weights matrix
            diffMat = testPoint - xMat[j,:]     # 开始计算权值了
            weights[j,j] = np.exp(diffMat*diffMat.T/(-2.0*k**2))
        xTx = xMat.T * (weights * xMat)
        if np.linalg.det(xTx) == 0.0:
            print("矩阵不可逆")
            return
        ws = xTx.I * (xMat.T * (weights * yMat))
        return testPoint * ws
    
    def lwlrTest(testArr,xArr,yArr,k=1.0):  #loops over all the data points and applies lwlr to each one
        m = np.shape(testArr)[0]
        yHat = np.zeros(m)
        for i in range(m):
            yHat[i] = lwlr(testArr[i],xArr,yArr,k)
        return yHat
    

    测试代码:

    #!/usr/bin/env/python
    # -*- coding: utf-8 -*-
    # Author: 赵守风
    # File name: test.py
    # Time:2018/11/1
    # Email:1583769112@qq.com
    
    import regression
    import matplotlib.pyplot as plt
    import numpy as np
    
    xarr, yarr = regression.loaddataset('ex0.txt')
    print('xarr: ', xarr)
    print('yarr: ', yarr)
    
    
    fig = plt.figure()
    ax = fig.add_subplot(1,1,1)
    ax.scatter(xmat[:,1].flatten().A[0],ymat.T[:,0].flatten().A[0])
    xcopy = xmat.copy()
    xcopy.sort(0)
    yhat = xcopy* ws
    ax.plot(xcopy[:,1],yhat)
    plt.show()
    
    yhat1 = regression.lwlrTest(xarr,xarr, yarr, 0.03)
    srtind = xmat[:,1].argsort(0)
    xsort = xmat[srtind][:, 0, :]
    fig = plt.figure()
    ax = fig.add_subplot(1,1,1)
    ax.plot(xsort[:,1], yhat1[srtind])
    ax.scatter(xmat[:,1].flatten().A[0],ymat.T[:,0].flatten().A[0],s=2,c='red')
    plt.show()
    
    yhat1 = regression.lwlrTest(xarr,xarr, yarr, 0.01)
    srtind = xmat[:,1].argsort(0)
    xsort = xmat[srtind][:, 0, :]
    fig = plt.figure()
    ax = fig.add_subplot(1,1,1)
    ax.plot(xsort[:,1], yhat1[srtind])
    ax.scatter(xmat[:,1].flatten().A[0],ymat.T[:,0].flatten().A[0],s=2,c='blue')
    
    plt.show()
    
    yhat1 = regression.lwlrTest(xarr,xarr, yarr, 0.005)
    srtind = xmat[:,1].argsort(0)
    xsort = xmat[srtind][:, 0, :]
    fig = plt.figure()
    ax = fig.add_subplot(1,1,1)
    ax.plot(xsort[:,1], yhat1[srtind])
    ax.scatter(xmat[:,1].flatten().A[0],ymat.T[:,0].flatten().A[0],s=2,c='blue')
    
    plt.show()

    结果:

    我们发现随着k值的减小,数据的细节特性也表现出来了,尤其在k=0.03时达到最好,而在小以后就出现过拟合了,机器学习实战好像讲反了,实际测试是这样的,从原理也能解释,就是说当k越小时,器参与的数据越少,因此更容易过拟合的,好,本节到这里,下一节继续讨论岭回归和lasso已经LAR算法的实现。 

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  • MATLAB局部加权线性拟合

    千次阅读 2019-11-10 13:20:21
    局部加权线性拟合相对于多项式拟合,计算线性模型时引入了一个加权函数: 来给当前预测数据分配权重。给距离近的点更高的权重,给距离远的点更低的权重,往往能具有更高的精确性。 x=(1:0.1:10)'; y=x.^2+3.*x+...

    局部加权线性拟合相对于多项式拟合,计算线性模型时引入了一个加权函数:

    来给当前预测数据分配权重。给距离近的点更高的权重,给距离远的点更低的权重,往往能具有更高的精确性。

    x=(1:0.1:10)';
    y=x.^2+3.*x+2 +rand(length(x),1)*8;
    sigma=0.1;              %设置局部窗口,越大越使用全局数据,越小越使用局部数据
    W=zeros(length(x));
    C=[];
    for i=1:length(x)    
        for j=1:length(x) 
            W(j,j)=exp(-((x(i)-x(j))^2)/(2*sigma^2));   %权重矩阵
        end
        XX=[x ones(length(x),1)];
        YY=y;
        C=[C inv(XX'*W*XX)*XX'*W*YY];   %加权最小二乘,计算求得局部线性函数的系数    
    end
    subplot(1,2,1);
    plot(x,y,'.');
    re=diag(XX*C);
    hold on;
    plot(x,re);
    title('局部加权线形拟合');
    subplot(1,2,2);
    plot(x,y,'.');
    hold on
    p=polyfit(x,y,3);
    yi=polyval(p,x);
    plot(x,yi);
    title('最小二乘多项式拟合');
    

    作者:QinL 

    展开全文
  • 传统的BP神经网络分类和拟合精度不高,很...本程序运用遗传算法初始化BP神经网络的参数,使网络的非线性拟合和分类精度更高。对于想要进行非线性拟合和分类却无法建立数学模型的小伙伴,通过该方法也是一个较好的办法。
  • 本期视频时长约106分钟,通过两个具体的应用案例,深入地解读了MATLAB非线性拟合函数lsqcurvefit的具体用法;生动地讲解了局部最优解的基本概念;对拟合效果的数学评价进行了MATLAB代码实现;视频的最后,还对拟合...
  • 最近由于项目要求,要对前期采集的数据进行处理,并观测其曲线变化和利用曲线求实际工程当中的一些问题,需要对局部的曲线进行变化趋势具体化再现,某两段曲线的交点等问题,应用了最小二乘法线性拟合和2次曲线拟合...

    最近由于项目要求,要对前期采集的数据进行处理,并观测其曲线变化和利用曲线求实际工程当中的一些问题,需要对局部的曲线进行变化趋势具体化再现,某两段曲线的交点等问题,应用了最小二乘法线性拟合和2次曲线拟合算法,现总结如下:

    最小二乘法线性拟合应用已有的采样时间点,再现这些点所描述的线性变化,即求出一个线性方程y=ax+b(这个算法的主要问题也就是如何用给定的数据求线性方程系数a和b)

    //最小二乘法线性拟合,线性方程求系数,Xval时间数据,Yval每个时间点上的值数据,n数据的个数,Aval线性方程系数a,Bval线性方程系数b
    BOOL DlgDataAnalyse::TwoCurveCompose(double *Xval,double *Yval,long n,double *Aval,double *Bval)
    {
     double mX,mY,mXX,mXY;
     mX=mY=mXX=mXY=0;
     for (int i=0;i<n;i++)
     {
      mX+=Xval[i];
      mY+=Yval[i];
      mXX+=Xval[i]*Xval[i];
      mXY+=Xval[i]*Yval[i];
     }
     if(mX*mX-mXX*n==0)return FALSE;
     *Aval=(mY*mX-mXY*n)/(mX*mX-mXX*n);
     *Bval=(mY-mX*(*Aval))/n;
     return TRUE;
    }
    最小二乘法2次曲线拟合应用已有的采样时间点,再现这些点所描述的2次曲线的变化,即求出一个二次曲线方程y=ax2+bx+c (这个算法的主要问题也就是如何用给定的数据求方程系数abc)

    //最小二乘法二次曲线拟合算法,Xval时间数据,Yval每个时间点上的值数据,M代表几次曲线(如:2次的话就是3),N数据的个数,A二次曲线方程的系数(A[2]代表a,A[1]代表b,A[0]代表c)
    BOOL DlgDataAnalyse::CalculateCurveParameter(double *Xval,double *Yval,long M,long N,double *A)
    {
     //X,Y --  X,Y两轴的坐标
     //M   --  次数,表示几次曲线
     //N   --  采样数目
     //A   --  结果参数
     
     register long i,j,k;
     double Z,D1,D2,C,P,G,Q;
     CDoubleArray B,T,S;
     B.SetSize(N);
     T.SetSize(N);
     S.SetSize(N);
     if(M>N)M=N;
     for(i=0;i<M;i++)
      A[i]=0;
     Z=0;
     B[0]=1;
     D1=N;
     P=0;
     C=0;
     for(i=0;i<N;i++)
     {
      P=P+Xval[i]-Z;
      C=C+Yval[i];
     }
     C=C/D1;
     P=P/D1;
     A[0]=C*B[0];
     if(M>1)
     {
      T[1]=1;
      T[0]=-P;
      D2=0;
      C=0;
      G=0;
      for(i=0;i<N;i++)
      {
       Q=Xval[i]-Z-P;
       D2=D2+Q*Q;
       C=Yval[i]*Q+C;
       G=(Xval[i]-Z)*Q*Q+G;
      }
      C=C/D2;
      P=G/D2;
      Q=D2/D1;
      D1=D2;
      A[1]=C*T[1];
      A[0]=C*T[0]+A[0];
     }
     for(j=2;j<M;j++)
     {
      S[j]=T[j-1];
      S[j-1]=-P*T[j-1]+T[j-2];
      if(j>=3)
      {
       for(k=j-2;k>=1;k--)
        S[k]=-P*T[k]+T[k-1]-Q*B[k];
      }
      S[0]=-P*T[0]-Q*B[0];
      D2=0;
      C=0;
      G=0;
      for(i=0;i<N;i++)
      {
       Q=S[j];
       for(k=j-1;k>=0;k--)
        Q=Q*(Xval[i]-Z)+S[k];
       D2=D2+Q*Q;
       C=Yval[i]*Q+C;
       G=(Xval[i]-Z)*Q*Q+G;
      }
      C=C/D2;
      P=G/D2;
      Q=D2/D1;
      D1=D2;
      A[j]=C*S[j];
      T[j]=S[j];
      for(k=j-1;k>=0;k--)
      {
       A[k]=C*S[k]+A[k];
       B[k]=T[k];
       T[k]=S[k];
      }
     }
     return TRUE;
    }

     

    本文来自CSDN博客,转载请标明出处:http://blog.csdn.net/lixiaohuprogram/archive/2009/07/06/4325677.aspx

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  • 文章描述了局部加权线性回归基本原理(英文),并且用MATLAB上实现了对一个机器人不规则路径的非线性拟合拟合。文档末尾附有代码。
  •  回归有线性回归和非线性回归,本篇文章主要讨论线性回归。回归的目的是预测数值型的目标值。最直接的办法是依据输入写出一个目标值的计算公式,即所谓的回归方程,可表示为: 具体的做法是用回归...

    • 回归是用来做什么的?

           回归可以做任何事,例如销售量预测或者制造缺陷预测。

    • 什么是回归?

           回归有线性回归和非线性回归,本篇文章主要讨论线性回归。回归的目的是预测数值型的目标值。最直接的办法是依据输入写出一个目标值的计算公式,即所谓的回归方程,可表示为:

                                                           

    具体的做法是用回归系数乘以输入值,再将结果全部加在一起,就得到了预测值。其中,求回归系数的过程就是回归,一旦有了回归系数,再给定输入,做预测就很容易了。

    • 回归的一般方法:

           1. 收集数据

           2. 准备数据

           3. 分析数据

           4. 训练算法:找到回归系数

           5. 测试算法:可使用预测值和数据的拟合度,来分析模型的效果

           6. 使用算法:使用回归,可在给定输入的时候预测出一个数值

    一、用线性回归找到最佳拟合直线

          怎样求出回归方程?假设手里有一些X和对应的Y,怎样才能找到回归系数w呢?一个常用的方法就是找出使预测值和实际值误差最小的w。这里的误差即预测y值和实际y值之间的差值,即 y-wx ,但若使用该误差的简单累加将使得正差值和负差值相互抵消,所以在此我们采用平方误差,计算所有点的平方误差之和,即:

                                                           

    用矩阵表示还可以写做:          

    如果对w求导,便可得到:              ,

    令其等于0,解出w如下:

                                     

    (上述过程可由最小二乘法解出)

    从现有数据上估计出的w可能并不是数据中的真是w值,w上方的小标记表示它仅是w的一个最佳估计。

            上述公式中包含求逆矩阵,因此此方程仅在逆矩阵存在时使用。逆矩阵可能并不存在,因此需要在代码中做出判断。

    具体运行代码如下:

    1.导入需要使用的库:
    from numpy import *
    import numpy as np

    2.读取数据:

    def loadDataSet(fileName):
        numFeat = len(open(fileName).readline().split('\t')) - 1
        print(numFeat)
        dataMat = []; labelMat = []
        fr = open(fileName)
        for line in fr.readlines():
            lineArr = []
            curLine = line.strip().split('\t')
            for i in range(numFeat):
                lineArr.append(float(curLine[i]))
            dataMat.append(lineArr)
            labelMat.append(float(curLine[-1]))
        return dataMat,labelMat
    3.计算回归系数:
    def standRegres(xArr, yArr):
        xMat = mat(xArr); yMat = mat(yArr).T
        xTx = xMat.T*xMat
        if linalg.det(xTx) == 0.0:
            print("This matrix is singular,cannot do inverse")
            return
        ws = xTx.I*(xMat.T*yMat)
        return ws
    4.依据回归方程预测数据值:
    xMat = mat(xArr)
    yMat = mat(yArr)
    yHat = xMat * ws

    5.计算相关系数,测试算法:

    yHat = xMat * ws
    corrcoef(yHat.T,yMat)

    6.用matplotlib绘出图表:

    import matplotlib.pyplot as plt
    fig = plt.figure()
    ax = fig.add_subplot(111)
    ax.scatter(xMat[:,1].flatten().A[0],yMat.T[:,0].flatten().A[0])
    xCopy = xMat.copy()
    xCopy.sort(0)
    yHat = xCopy * ws
    ax.plot(xCopy[:,1],yHat)
    plt.show()

    7.最终输出图表:

    至此,完整的最佳拟合直线线性回归结束。

    1. 优点:计算简单,结果易于理解
    2. 缺点:对非线性的数据拟合不好
    3. 适用数据类型:数值型和标称型数据

    二、局部加权线性回归

           因为线性回归最佳拟合直线的方法求的是具有最小均方误差的无偏估计,对于非线性数据,有可能出现欠拟合的现象,无法取得最好的预测效果,因此,允许在估计中引入一些偏差,从而降低预测的均方误差。

           其中一个方法是局部加权线性回归,在该算法中,我们给待预测点附近的每个点赋予一定的权重,然后与最佳拟合直线回归类似,在这个子集上基于最小均方差来进行普通的回归。该算法对应的回归系数w的形式如下:

                                               

    在此,我们使用核来对附近的点赋予更高的权重。核的类型可自由选择,最常用的是高斯核,高斯核对应的权重如下:

                                       

    这样就构建了一个权重矩阵W,并且点 x 与 x(i) 越近,W(i,i) 越大。上述公式包含了一个需用户指定的参数k,它决定了对附近 的点赋予多大的权重。若选取k值过大,则会导致欠拟合,k值过小则考虑了太多的噪声,进而导致过拟合现象,在此案例中,我们选择k=0.003。

    具体的运行代码只需在最佳拟合直线的基础上改用新的方法去求回归系数w,并且最终预测数据值:

    1.定义一个函数,可求出回归系数与输入数据的积:

    def lwlr(testPoint , xArr , yArr ,k = 1.0):
        xMat = np.mat(xArr); yMat = np.mat(yArr).T
        m = np.shape(xMat)[0]
        weights = np.mat(eye((m)))
        for j in range(m):
            diffMat = testPoint - xMat[j,:]
            weights[j,j] = exp(diffMat * diffMat.T / (-2.0 * k ** 2))
        xTx = xMat.T * (weights * xMat)
        if linalg.det(xTx) == 0.0:
            print('This matrix is singular , cannot do inverse')
            return
        ws = xTx.I * (xMat.T * (weights * yMat))
        return testPoint * ws

    2.调用函数,预测数据值:

    def lwlrTest(testArr,xArr,yArr,k = 1.0):
        m = np.shape(testArr)[0]
        yHat = np.zeros(m)
        for i in range(m):
            yHat[i] = lwlr(testArr[i],xArr,yArr,k)
        return yHat

    3.调用函数,用matplotlib画出图表:

    yHat = lwlrTest(xArr,xArr,yArr,0.003)
    srtInd = xMat[:,1].argsort(0)
    xSort = xMat[srtInd][:,0,:]
    fig = plt.figure()
    ax = fig.add_subplot(111)
    ax.plot(xSort[:,1],yHat[srtInd])
    ax.scatter (xMat[:,1].flatten().A[0],np.mat(yArr).T.flatten().A[0],s=2,c='red')
    plt.show()

    4.最终输出局部加权回归函数图:



            局部加权线性回归也存在一个问题,即增加了计算量,因为它对每个点做预测时都必须使用整个数据集。我们选取k=0.01可以得到很好的估计,但同时可以发现大多数数据点的权重都接近零。如果避免这些计算将可以减少程序运行时间,从而缓解因计算量增加带来的问题。




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