层次分析法计算步骤

计算权重矩阵

构造新矩阵
$$a_{ij}=\frac{a_{ij}}{{\sum }_{n=1}^n{a}_{ij}}$$

计算权重矩阵
$$a_{ij}=\frac{{\sum }_{n=1}^n{a}_{ij}}{{\sum }_{n=1}^n{\sum }_{n=1}^n{a}_{ij}}$$
举例说明

计算以下对比矩阵的权重矩阵。

黄色部分为按列求和。

矩阵中每个数再除以此列总和，得一新矩阵。

黄色部分为按行求和。
$$W=\left[\begin{array}{c}1.842\\ 1.098\\ 0.639\\ 0.442\end{array}\right]\text{\hspace{1em}(权重矩阵)}$$
对权重矩阵进行归一化。
$$\begin{gathered} 1.842+1.098+0.639+0.442=4.021 \\ W=\left[\begin{array}{c}1.842/4.021\\ 1.098/4.021\\ 0.639/4.021\\ 0.442/4.021\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0.458\\ 0.273\\ 0.159\\ 0.110\end{array}\right]\text{\hspace{1em}(归一化后的权重矩阵)} \end{gathered}$$

参考：

1. 层次分析法

一、层次分析法

层次分析法AHP，就是将指标分层次，根据问题的性质和要达到的总目标，把复杂问题分解成一系列的指标，并按照逻辑关系分为不同的层级，从而形成递阶层次结构。
然后通过两两比较的方式（判断矩阵），确定每一层指标对于上一层指标的影响力大小，线性加权求得评价总目标值。

方案

1. 决策层级
2. 根据判断矩阵，求取相对权重
3. 一致性检验
4. 合格即可

在这里插入图片描述

ps：
判断矩阵

AHP存在的问题

二、网络层次分析法

网络分析法的英文术语为 Analytic Network Process，简称 ANP，是美国 Saaty 教授在 1996 年提出的一种决策方法，该方法的提出是基于层次分析法，是一种 适应非独立递阶层次结构的方法。ANP 相对于 AHP 而言，用网络结构代替了层 次结构，同时会将要素间的相关性考虑进去，用非线性结构代替线性层次结构， 还加入了反馈机制，并考虑到低层要素对于高层要素的支配作用。

方案：

分析问题

1. 分析问题
2. 构造控制层、、网络层结构
3. 两两比较，构建所有元素Cj的影响力判断矩阵（1 or 0），即超矩阵
4. 两两比较，各个元素的重要性矩阵
5. 确定超矩阵各元素组的权重
6. 计算加权超矩阵

两者的不同点：

ANP考虑了各个元素组与元素之间的互相影响

本文源自清华大学课件——层次分析法AHP和网络分析法ANP

三、模煳层次分析法 FAHP

重要性矩阵从1~9，变为了0.1 ~ 0.9，0.1 ~ 0.5是从极端不重要到同等重要，0.5 ~ 0.9是从同等重要到极端重要，标度的间隔差只有0.1，难以表现因素间的极端重要性。

四、双基点法 TOPSIS

【基本原理】通过检测评价对象与最优解、最劣解的距离来排序，若评价对象最靠近最优解，同时又远离最劣解，则为最好

【缺点】可能某元素只是恰好跟目标曲线相似，不一定是有关联。不一定是因果关系。

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目录

​​​​​​一、简介及前言（层次分析法解决评价类问题）

二、构造判断矩阵（准则层、方案层）

三、一致性检验（CR=CI/RI）

四、计算权重（算数平均、几何平均、特征值）

五、计算得分（Excel）

六、论文写作（SmartArt、画图）

七、代码实现（MATLAB）

一、简介及前言

层次分析法（Analytic Hierarchy Process，简称AHP），是指将与 决策有关的元素分解成目标、准则、方案等层次，在此基础之上进行定性和定量分析的决策方法。

层次分析法是将决策问题按总目标、各层子目标、评价准则直至具体的备投方案的顺序分解为不同的层次结构，然后用求解判断矩阵特征向量的办法，求得每一层次的各元素对上一层次某元素的优先权重，最后再加权和的方法递阶归并各备择方案对总目标的最终权重，此最终权重最大者即为最优方案。

层次分析法比较适合于具有分层交错评价指标的目标系统，而且目标值又难于定量描述的决策问题。

层次分析法是建模比赛中最常用的模型，主要用于解决评价类问题。评价类问题可用打分解决。

如果直接打分问权重：

​

​

 关键在于如何确定这些权重

​

二、构造判断矩阵

​ 

采用指标两两比较的方法确定最终权重

​ 

 aij与列指标相比，行指标的重要程度（行是列的几倍）

满足主对角线全为1，aij*aji=1，则称正互反矩阵，也就是层次分析法中的判断矩阵。

 ​

准则层各个指标构造一次得出权重。

方案层针对准则层每个指标构造判断矩阵得出各个权重。

三、一致性检验

 ​

列与列成比例，比值为 ajk。         行与行成比例，比值为aij

 一致性检验：检验我们构造的判断矩阵与一致矩阵的差距大小

四、计算权重

 五、计算得分

六、论文写作

七、代码实现

clear;clc
%第一步：输入判断矩阵
A=input('请输入判断矩阵');
%A = [1,2,4;
    1/2,1,2;
    1/4,1/2,1];

%第二步：一致性检验(求CI、RI、CR)
E = eig(A);%得到一个所有特征值构成的列向量
lambda_max = max(E);%最大特征值
n = size(A,1);%指标数即行列数
CI = (lambda_max-n)/(n-1);
RI = [0 0.0001 0.52 0.89 1.12 1.26 1.36 1.41 1.46 1.49 1.52 1.54 1.56 1.58 1.59];  %注意哦，这里的RI最多支持 n = 15
CR = CI/RI(n);
disp(['一致性比例CR为' num2str(CR)]);
if CR<0.1
    disp('一致性检验通过。')
else
    disp('一致性检验不通过。')
end

%第三步：判断矩阵求权重
[n,n] = size(A);
%--------算数平均法--------%
sum_A = repmat(sum(A),n,1);%按列求和得到行向量，行向量向下复制成r行
average_A = A./sum_A;%按列归一化
average_A1 = sum(average_A,2)./n;%按行求和再除以指标数n
disp('算数平均法得出的权重:');
disp(average_A1);
%--------几何平均法--------%
product_A = prod(A,2).^(1/n);%按行求几何平均值得到列向量（和算数平均有区别！！）
product_A1 = product_A./sum(product_A);%归一化
disp('几何平均法得出的权重:');
disp(product_A1);
%--------特征值法--------%
[V,D] = eig(A);%V:一列列特征向量构成的矩阵D:特征值对角阵
eig_max = max(max(D));%最大特征值
[r,c] = find(D==eig_max,1);%最大特征值所在列find(logic,1)只找第一个不为0的
eig_vetor_max = V(:,c);%最大特征值对应的特征向量
eig_vetor_max1 = eig_vetor_max./sum(eig_vetor_max);%归一化
disp('特征值法得出的权重:');
disp(eig_vetor_max1);