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  • 2021-12-17 22:31:57

    层次分析法(Analyt Hierarchy Process,缩写AHP)是将决策有关的元素分解成目标、准指、方案等层次,在次基础上进行定性和定量分析的决策方法。本文通过一个示例描述R的实现过程。

    概述

    层次分析法计算指标权重的基本思路是,首先建立有效的递阶指标系统,然后主管地将指标两两对比构造判定矩阵,再根据判定矩阵进行数字处理及一致性检验,就可获得各个指标的相对重要性权数。

    例子:

    在地区间宏观经济效益评价中,选取资金利税率(x1)、投资效果系数(x2)和劳动生产率(x3)三项指标。某专家认为,资金利税率比劳动生产率极端重要,比投资效果系数稍重要,而投资效果系数比劳动生产率重要。试根据这位专家的判断确定三项评价指标的权数。

    指标X1X2X3
    X1139
    X21/315
    X31/91/51

    tibble存储判定矩阵

    options(digits = 2)
    library(tidyverse)
    
    macro <- tibble(x1=c(1,1/3,1/9), x2=c(3,1,1/5), x3=c(9,5,1))
    macro
    
    # A tibble: 3 x 3
    #      x1    x2    x3
    #   <dbl> <dbl> <dbl>
    # 1 1       3       9
    # 2 0.333   1       5
    # 3 0.111   0.2     1
    
    

    计算行向几何平均

    即计算行数据成绩,然后再求行积结果的P次方根,即行向几何平均。

    # 增加w变量
    macro %>% mutate(w = '^'(x1*x2*x3, 1/3)) -> macro
    macro
    
    # A tibble: 3 x 4
    #      x1    x2    x3     w
    #   <dbl> <dbl> <dbl> <dbl>
    # 1 1       3       9 3    
    # 2 0.333   1       5 1.19 
    # 3 0.111   0.2     1 0.281
    

    对w变量归一化处理

    w变量中的值除以w列向量之和。

    # 定义归一化函数
    std <- function(x){
      x / sum(x)
    }
    
    # 通过归一化计算权重
    macro %>% mutate_at(c("w"), .funs = std) -> macro
    macro
    
    # A tibble: 3 x 4
    #      x1    x2    x3      w
    #   <dbl> <dbl> <dbl>  <dbl>
    # 1 1       3       9 0.672 
    # 2 0.333   1       5 0.265 
    # 3 0.111   0.2     1 0.0629
    

    下面要对三个变量的权重进行检验

    一致性检验

    一致性检验保证各指标的相对重要程度的判定要协调一致,不要出现相互矛盾的现象。
    判定矩阵B具有一致性的条件是矩阵B的最大特征根等于指标的个数。

    计算过程如下:
    在这里插入图片描述

    options(digits = 2)
    library(tidyverse)
    
    # 随机一致性表
    ri_table <- c(0, 0, 0.58, 0.89, 1.12, 1.26, 1.36, 1.41, 1.46, 1.49, 1.52,1.54)
    
    b <- as.matrix(macro[,-4])
    w <- as.matrix(macro[,4])
    
    ## 矩阵乘积
    bw <- b %*% w  
    ## 最大特征根
    lmda <- 1/3 * sum(bw / w)
    lmda
    
    ## 一致性指标CI
    ci <- (lmda-length(bw)) / (length(bw) -1)
    ci
    
    ## 一致性比率CR
    cr <- ci / ri_table[length(bw)]
    cr
    # [1] 0.025
    
    # cr = 0.025 < 0.10,一致性检验通过, 上述 w 的权重是合理的
    #          w
    # [1,] 0.672
    # [2,] 0.265
    # [3,] 0.063
    

    cr = 0.025 < 0.10,一致性检验通过, 因此上述 w 的权重是合理的。
    最终计算X1(67%), X2(27%), X3(6%),三个变量权重总和等于1.

    完整代码

    options(digits = 2)
    library(tidyverse)
    
    macro <- tibble(x1=c(1,1/3,1/9), x2=c(3,1,1/5), x3=c(9,5,1))
    macro %>% mutate(w = '^'(x1*x2*x3, 1/3)) -> macro
    macro
    
    # 定义归一化函数
    unif <- function(x){
      x / sum(x)
    }
    
    # 通过归一化计算权重
    macro %>% mutate_at(c("w"), .funs = std) -> macro
    macro
    
    # 随机一致性表
    ri_table <- c(0, 0, 0.58, 0.89, 1.12, 1.26, 1.36, 1.41, 1.46, 1.49, 1.52,1.54)
    
    # 一致性检验
    b <- as.matrix(macro[,-4])
    w <- as.matrix(macro[,4])
    
    bw <- b %*% w  
    lmda <- 1/3 * sum(bw / w)
    lmda
    
    ci <- (lmda-length(bw)) / (length(bw) -1)
    ci
    
    cr <- ci / ri_table[length(bw)]
    cr
    
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    层次分析法计算步骤

    计算权重矩阵

    在这里插入图片描述

    构造新矩阵
    a i j = a i j ∑ n = 1 n a i j a_{ij}=\frac{a_{ij}}{\sum^{n}_{n=1}a_{ij}} aij=n=1naijaij
    在这里插入图片描述

    计算权重矩阵
    a i j = ∑ n = 1 n a i j ∑ n = 1 n ∑ n = 1 n a i j a_{ij}=\frac{\sum_{n=1}^{n}a_{ij}}{\sum_{n=1}^{n}\sum_{n=1}^{n}a_{ij}} aij=n=1nn=1naijn=1naij
    举例说明

    计算以下对比矩阵的权重矩阵。

    在这里插入图片描述

    黄色部分为按列求和。

    矩阵中每个数再除以此列总和,得一新矩阵。

    在这里插入图片描述

    黄色部分为按行求和。
    W = [ 1.842 1.098 0.639 0.442 ] (权重矩阵) W=\left[ \begin{matrix} 1.842 \\ 1.098 \\ 0.639 \\ 0.442 \\ \end{matrix} \right] \tag{权重矩阵} W=1.8421.0980.6390.442()
    对权重矩阵进行归一化。
    1.842 + 1.098 + 0.639 + 0.442 = 4.021 W = [ 1.842 / 4.021 1.098 / 4.021 0.639 / 4.021 0.442 / 4.021 ] = [ 0.458 0.273 0.159 0.110 ] (归一化后的权重矩阵) 1.842+1.098+0.639+0.442=4.021\\ W=\left[ \begin{matrix} 1.842/4.021 \\ 1.098/4.021 \\ 0.639/4.021 \\ 0.442/4.021 \\ \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} 0.458 \\ 0.273 \\ 0.159 \\ 0.110 \\ \end{matrix} \right] \tag{归一化后的权重矩阵} 1.842+1.098+0.639+0.442=4.021W=1.842/4.0211.098/4.0210.639/4.0210.442/4.021=0.4580.2730.1590.110()

    参考:

    1. 层次分析法
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  • 1996 年提出的一种决策方法,该方法的提出是基于层次分析法,是一种 适应非独立递阶层次结构的方法。ANP 相对于 AHP 而言,用网络结构代替了层 次结构,同时会将要素间的相关性考虑进去,用非线性结构代替线性层次...

    一、层次分析法

    层次分析法AHP,就是将指标分层次,根据问题的性质和要达到的总目标,把复杂问题分解成一系列的指标,并按照逻辑关系分为不同的层级,从而形成递阶层次结构。
    然后通过两两比较的方式(判断矩阵),确定每一层指标对于上一层指标的影响力大小,线性加权求得评价总目标值。

    方案
    1. 决策层级
    2. 根据判断矩阵,求取相对权重
    3. 一致性检验
    4. 合格即可

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    ps:
    判断矩阵
    在这里插入图片描述
    AHP存在的问题
    在这里插入图片描述

    二、网络层次分析法

    网络分析法的英文术语为 Analytic Network Process,简称 ANP,是美国 Saaty 教授在 1996 年提出的一种决策方法,该方法的提出是基于层次分析法,是一种 适应非独立递阶层次结构的方法。ANP 相对于 AHP 而言,用网络结构代替了层 次结构,同时会将要素间的相关性考虑进去,用非线性结构代替线性层次结构, 还加入了反馈机制,并考虑到低层要素对于高层要素的支配作用。
    在这里插入图片描述

    方案:

    分析问题

    1. 分析问题
    2. 构造控制层、、网络层结构
    3. 两两比较,构建所有元素Cj的影响力判断矩阵(1 or 0),即超矩阵
    4. 两两比较,各个元素的重要性矩阵
    5. 确定超矩阵各元素组的权重
    6. 计算加权超矩阵

    两者的不同点:

    ANP考虑了各个元素组与元素之间的互相影响

    本文源自清华大学课件——层次分析法AHP和网络分析法ANP

    三、模煳层次分析法 FAHP

    重要性矩阵从1~9,变为了0.1 ~ 0.9,0.1 ~ 0.5是从极端不重要到同等重要,0.5 ~ 0.9是从同等重要到极端重要,标度的间隔差只有0.1,难以表现因素间的极端重要性。

    四、双基点法 TOPSIS

    【基本原理】通过检测评价对象与最优解、最劣解的距离来排序,若评价对象最靠近最优解,同时又远离最劣解,则为最好

    【缺点】可能某元素只是恰好跟目标曲线相似,不一定是有关联。不一定是因果关系。

    展开全文
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    ​​​​​​

    目录

    ​​​​​​一、简介及前言(层次分析法解决评价类问题)

    二、构造判断矩阵(准则层、方案层)

    三、一致性检验(CR=CI/RI)

    四、计算权重(算数平均、几何平均、特征值)

    五、计算得分(Excel)

    六、论文写作(SmartArt、画图)

    七、代码实现(MATLAB)


    一、简介及前言

    层次分析法(Analytic Hierarchy Process,简称AHP),是指将与 决策有关的元素分解成目标、准则、方案等层次,在此基础之上进行定性和定量分析的决策方法。

    层次分析法是将决策问题按总目标、各层子目标、评价准则直至具体的备投方案的顺序分解为不同的层次结构,然后用求解判断矩阵特征向量的办法,求得每一层次的各元素对上一层次某元素的优先权重,最后再加权和的方法递阶归并各备择方案对总目标的最终权重,此最终权重最大者即为最优方案。

    层次分析法比较适合于具有分层交错评价指标的目标系统,而且目标值又难于定量描述的决策问题。

    层次分析法是建模比赛中最常用的模型,主要用于解决评价类问题。评价类问题可用打分解决。

    如果直接打分问权重:

     关键在于如何确定这些权重

    二、构造判断矩阵

    ​ 

    采用指标两两比较的方法确定最终权重

    ​ 

     aij与列指标相比,行指标的重要程度(行是列的几倍)

    满足主对角线全为1,aij*aji=1,则称正互反矩阵也就是层次分析法中的判断矩阵

     

    准则层各个指标构造一次得出权重。

    方案层针对准则层每个指标构造判断矩阵得出各个权重。

    三、一致性检验

     

                         

    列与列成比例,比值为 ajk。         行与行成比例,比值为aij

     

     一致性检验:检验我们构造的判断矩阵与一致矩阵的差距大小

     

     

    四、计算权重

     五、计算得分

    六、论文写作

    七、代码实现

    clear;clc
    %第一步:输入判断矩阵
    A=input('请输入判断矩阵');
    %A = [1,2,4;
        1/2,1,2;
        1/4,1/2,1];
    
    %第二步:一致性检验(求CI、RI、CR)
    E = eig(A);%得到一个所有特征值构成的列向量
    lambda_max = max(E);%最大特征值
    n = size(A,1);%指标数即行列数
    CI = (lambda_max-n)/(n-1);
    RI = [0 0.0001 0.52 0.89 1.12 1.26 1.36 1.41 1.46 1.49 1.52 1.54 1.56 1.58 1.59];  %注意哦,这里的RI最多支持 n = 15
    CR = CI/RI(n);
    disp(['一致性比例CR为' num2str(CR)]);
    if CR<0.1
        disp('一致性检验通过。')
    else
        disp('一致性检验不通过。')
    end
    
    %第三步:判断矩阵求权重
    [n,n] = size(A);
    %--------算数平均法--------%
    sum_A = repmat(sum(A),n,1);%按列求和得到行向量,行向量向下复制成r行
    average_A = A./sum_A;%按列归一化
    average_A1 = sum(average_A,2)./n;%按行求和再除以指标数n
    disp('算数平均法得出的权重:');
    disp(average_A1);
    %--------几何平均法--------%
    product_A = prod(A,2).^(1/n);%按行求几何平均值得到列向量(和算数平均有区别!!)
    product_A1 = product_A./sum(product_A);%归一化
    disp('几何平均法得出的权重:');
    disp(product_A1);
    %--------特征值法--------%
    [V,D] = eig(A);%V:一列列特征向量构成的矩阵D:特征值对角阵
    eig_max = max(max(D));%最大特征值
    [r,c] = find(D==eig_max,1);%最大特征值所在列find(logic,1)只找第一个不为0的
    eig_vetor_max = V(:,c);%最大特征值对应的特征向量
    eig_vetor_max1 = eig_vetor_max./sum(eig_vetor_max);%归一化
    disp('特征值法得出的权重:');
    disp(eig_vetor_max1);

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加权方法中的层次分析法

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