数学建模01-层次分析法
一.层次分析法
•日常工作、生活中的决策问题

•涉及经济、社会等方面的因素

•作比较判断时人的主观选择起相当大的作用，各因素的重要性难以量化（用于难以完全定量的复杂事情）
1.基本步骤
层次分析法的运用主要分为以下几个步骤：

将问题条理化，层次化，构造出一个有层次的结构模型。层次分为三层：目标层，准则层和方案层。
比较同一层次元素对上一层次同一目标的影响，从而确定它们在目标中所占的比重。写出成对比较矩阵。
对所写矩阵进行一致性检验。

2.成对比较矩阵




标度
重要程度




1
两个元素同等重要


3
前者稍重要


5
前者明显重要


7
前者强烈重要


9
前者极端重要


2，4，6，8为上诉判断中间值。
设要比较的n个元素y={y1,……,yn}对目标Z的影响，确定它们在Z中的比重。每次取其中两个元素yi和yj，用aij表示yi与yj对Z的影响之比：
aij>0 , aji=1/aij    (i,j=1,2,……,n)
A=(aij)称为成对比较矩阵或判断矩阵。满足上式的矩阵称为正互反阵。
3.例题1（实践以上步骤）
旅游问题：设置有三个地点供小张选择，长白山1，拉萨2，杭州3，他考虑的因素有费用

y1，景色y2，居住y3，饮食y4，交通y5。


对以上问题进行分析和建模：


确定对目标的重要程度，写出成对比较矩阵。

A =

[1, 1/2, 4, 3, 3;

2, 1,   7, 5, 5;

1/4, 1/7, 1, 1/2, 1/3;

1/3, 1/5, 2, 1, 1;

1/3, 1/5, 3, 1, 1;]

B1 =

[1,2,5;

1/2,1,2;

1/5,1/2,1;]

B2 =

[1,1/3,1/8;

3,1,1/3;

8,3,1;]

B3 =

[1,1,3;

1,1,3;

1/3,1/3,1;]

B4 =

[1,3,4;

1/3,1,1;

1/4,1,1;]

B5 =

[1,1,1/4;

1,1,1/4;

4,4,1;]


检验上成对比较矩阵的一致性并求出权重计算出结果。


4.代码片段
disp('请输入判断矩阵A(n阶)');
A=input('A=');
[n,n]=size(A);
x=ones(n,100);
y=ones(n,100);
m=zeros(1,100);
m(1)=max(x(:,1));
y(:,1)=x(:,1);
x(:,2)=A*y(:,1);
m(2)=max(x(:,2));
y(:,2)=x(:,2)/m(2);
p=0.0001;i=2;k=abs(m(2)-m(1));
while  k>p
  i=i+1;
  x(:,i)=A*y(:,i-1);
  m(i)=max(x(:,i));
  y(:,i)=x(:,i)/m(i);
  k=abs(m(i)-m(i-1));
end
a=sum(y(:,i));
w=y(:,i)/a;
t=m(i);
disp('特征值法求权重：');
disp(w);

%算数平均法求权重
sum_a = sum(A);
[n,n] = size(A);
sum_a = repmat(sum_a,n,1);
stand_a = A./sum_a;
x = sum(stand_a,2)/n;
disp('算数平均法求权重：');
disp(x);

%几何平均法求权重
prduct_a = prod(A,2);
prduct_n_a = prduct_a.^(1/n);
z = prduct_n_a./sum(prduct_n_a);
disp('几何平均法求权重:');
disp(z);

%以下是一致性检验
CI=(t-n)/(n-1);
RI=[0 0 0.52 0.89 1.12 1.26 1.36 1.41 1.46 1.49 1.52 1.54 1.56 1.58 1.59];
CR=CI/RI(n);
if CR<0.10
    disp('此矩阵的一致性可以接受!');
    disp('CI=');disp(CI);
    disp('CR=');disp(CR);
end



以上代码执行后输入需要计算的矩阵即可。
（以上文章及代码在查看各种网课和相关资料后整理自用。）

1.层次分析法式针对多属性问题的一种解决办法。将每个属性对问题目标的影响权重都列出来，然后利用矩阵求解的方法解决问题，选出较为优秀的方案。


2.层次分析法的具体用法：
1.分层。建立问题目标，影响因素，备选方案等。以选择游玩地点为例，则问题的目标是选择游玩地点，而游玩地点由多个因素所决定，所以这些决定因素就可以被分为第二层。
举例可以列出如下几个因素：风景，交通，价格，饮食等。确定了影响因素之后，我们还要确定我们可以选择的方案，举个例子就是可以选择的游玩地点，比如桂林，湖北，大理等，这就是第三层。
2.列阵。分层之后，首先我们分析每个因素对我们的目标问题的影响，
以这个图为例，我们就将各个因素列出矩阵如图所示，我们按照查找资料或者其他方式，给出几个变量的比较，其中这些比值决定了几个变量之间的重要程度。                                                                       




       列出矩阵之后，我们可以调用matlab层次分析法脚本来反洗每个因素对目标的权重。层次分析法输出的准则特征向量就是每个因素的权重。我们首先可以将单个因素对目标的权重算出来，然后可以将每个选择对每个因素的权重计算出来，然后对于每个选择将因素的权重全都加起来做比较即可以计算出来最优方案。

数学建模学习笔记之评价问题层次分析法


我们评价的目标是什么？


我们为了达到目标有哪几种可选的方案？


评价的准则或者指标是什么？（我们根据什么来评价好坏）


层次分析法（AHP）
模型建立
层次分析法比较简单，是一个入门级的评价算法模型，模型的建立过程如下。


建立层次结构模型
层次一般分为三种：
最高层，准则层和方案层
一般而言层次结构模型用软件亿图图示画出（强烈建议使用9.0版本，因为9.2,9.4版本破解存在bug,这软件安装还用了我挺久）



构造出判断矩阵
通俗点讲，判断矩阵是在准则层之间进行两两比较建立的比较矩阵。
需要了解以下概念：
成对比较矩阵：比较n个因子对于某因素的影响，每次取两个因子进行比较，全部比较结果用矩阵表示。
标度：一般而言比较结果分为1~9个层次，也可成为标度，用来度量两个比较因子的关系。




标度
含义




1
相同重要/满意度


3
稍重要


5
明显重要


7
强烈重要


9
极端重要


2、4、6、8
上述的中间部分


其实就是一个量化过程，同理有1/2、1/3表示稍微不重要、不明显重要等。
那么比较旅游地下面五个影响因子我们可以得到成对比较矩阵（一般来说自己有根据的判断,此处只为示例）：
$\begin{array}{cc}
\begin{array}{c|cccc}
\text{选择旅游地}&景色&费用&居住&饮食&旅途\\
\hline
景色&1&3&5&4&6\\
费用&1/3&1&4&6&7\\
居住&1/5&1/4&1&1/5&3\\
饮食&1/4&1/6&5&1&7\\
旅游&1/6&1/4&1/3&1/7&1\\
 \end{array}
\end {array}$
这是不是表示了五个因子之间的重要关系？像不像权重？
那么也应该有下面的矩阵来进行往下一层的判断：
$\begin{array}{cc}
\begin{array}{c|cccc}
\text{景色}&武汉&南京&上海\\
\hline
武汉\\
南京\\
上海\\
 \end{array}
 &
 \begin{array}{c|cccc}
\text{费用}&武汉&南京&上海\\
\hline
武汉\\
南京\\
上海\\
 \end{array}
\end {array}$
现在应该大致可以判断出：构造判断矩阵本质上来讲就是在一层一层对因子进行加权的操作


对判断矩阵进行一致性检验
概念理解
正互反矩阵：我们构造的矩阵比较矩阵都是，特点是斜对称相应的值互为倒数
一致矩阵：必为正互反矩阵、任意两行成比例、秩为1、只有最大特征值等于矩阵的阶、因此只有一个相应的特征向量
定理：  n 阶正互反矩阵 A 为一致矩阵当且仅当其最大特征根λ max = n ，且当正
互反矩阵 A 非一致时，必有λ max > n
当正互反矩阵的非一致性越大时，所得到的特征向量就越不能反应真实情况，也就是可信度较低。因此我们要对于建立的比较矩阵进行一致性检验，检验步骤如下：


计算一致性指标CI

$CI=\frac{\lambda_{max}-n}{n-1}$


查找相应的平均随机一致性指标 RI,RI相当于官方给的标准一致性数值


计算移植性比例CR

$CR=\frac{CI}{CR}$

当CR<0.10是被认为可以接受，不然就回去修改比较矩阵吧，尽量往一致性矩阵靠拢




计算权值得出判断结果
我们已经有了判断矩阵和它的特征值，理论上来讲就可以一步步相乘来计算出最底层相对于最高层的权值了，事实上也正是如此。一般而言是建立一个层次总排序来表示比较好：

$\begin{array}{cc|ccccc|c}
\hline
\text{准则}&amp;&amp;景色&amp;费用&amp;居住&amp;饮食&amp;旅途&amp;总排序\\
\hline
准则层权值&amp;&amp;**&amp;**&amp;**&amp;**&amp;**&amp;\\
\hline
方|&amp;武汉&amp;**&amp;**&amp;**&amp;**&amp;**&amp;武汉最终权值\\
案|&amp;南京&amp;**&amp;**&amp;**&amp;**&amp;**&amp;南京最终权值\\
层|&amp;上海&amp;**&amp;**&amp;**&amp;**&amp;**&amp;上海最终权值\\
\hline
\end{array}$
通过最终权值的比较就可以得出最终评价结果。
代码实现
disp('请输入判断矩阵A')
A=input('A=');
[n,n] = size(A)
%归一化，按行相加再除阶数
Sum_A = sum(A);
SUM_A = repmat(Sum_A,n,1);
Arm_A = A ./ SUM_A;%到此按列归一化结束
disp('算术平均法求权重的结果为：');
disp(sum(Arm_A,2)./n)

%行相乘、再开方、最后归一化
Prduct_A = prod(A,2);
Prduct_n_A = Prduct_A .^ (1/n);
disp('几何平均法求权重的结果为：');
disp(Prduct_n_A ./ sum(Prduct_n_A))

%计算最大特征值对应特征向量
[V,D] = eig(A);
Max_eig = max(max(D));
[r,c]=find(D == Max_eig , 1);
disp('特征值法求权重的结果为：');
disp( V(:,c) ./ sum(V(:,c)) )

%选取特征值法来做一致性检验
CI = (Max_eig - n) / (n-1);
RI=[0 0.0001 0.52 0.89 1.12 1.26 1.36 1.41 1.46 1.49 1.52 1.54 1.56 1.58 1.59];  %注意哦，这里的RI最多支持 n = 15
% 这里n=2时，一定是一致矩阵，所以CI = 0，我们为了避免分母为0，将这里的第二个元素改为了很接近0的正数
CR=CI/RI(n);
disp('一致性指标CI=');disp(CI);
disp('一致性比例CR=');disp(CR);
if CR<0.10
    disp('因为CR<0.10，所以该判断矩阵A的一致性可以接受!');
else
    disp('注意：CR >= 0.10，因此该判断矩阵A需要进行修改!');
end



总结
层次分析法属于比较简单的评价算法，所需步骤不多，而且由于很多判断都是自己主观臆断。并不推荐在比赛中使用，最多使用该算法对建模中的一小问回答。计算时，最好把三种方法计算结果都列写出来，再加一句考虑了模型适用性等。
整理了一点资料：https://download.csdn.net/download/yuanjiteng/11516969

人类发展指数法(IFI法)是平均数方法的一种. 平均数方法是降维分析里面最基础的方法. 比如加权平均, 算术平均, 调和平均等等. 但是注意平均数方法只能把维度降到 1 维.
我只弄清楚了这个算法的流程和简单的几何意义, 深层次的为什么这么做以及适用的范围还不得而知.
本质上这是一种加权平方平均法, 将一大堆的权重值 Ai 降维成一个变量 IFI. 分为以下几部.
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