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  • 是一种实用的多准则决策方法。它把复杂的决策问题表示为一个有序的递阶层次结构,通过人们的主观判断和科学计算给出备选方案的优劣顺序。
  • AHP(层次分析法)原理及案例先结合日常生活中的例子深入浅出的讲解了AHP的原理,随后结合案例给出了层次分析法的具体操作实现过程。
  • 层次分析法原理应用案例

    万次阅读 2020-10-30 15:04:00
    层次分析法是指将一个复杂的多目标决策问题作为一个系统,将目标分解为多个目标或准则,进而分解为多指标(或准则、约束)的若干层次,通过定性指标模糊量化方法算出层次单排序(权数)和总排序,以作为目标(多指标...

    层次分析法是指将一个复杂的多目标决策问题作为一个系统,将目标分解为多个目标或准则,进而分解为多指标(或准则、约束)的若干层次,通过定性指标模糊量化方法算出层次单排序(权数)和总排序,以作为目标(多指标)、多方案优化决策的系统方法。

    层次分析法是将决策问题按总目标、各层子目标、评价准则直至具体的备投方案的顺序分解为不同的层次结构,然后用求解判断矩阵特征向量的办法,求得每一层次的各元素对上一层次某元素的优先权重,最后再加权和的方法递阶归并各备择方案对总目标的最终权重,此最终权重最大者即为最优方案。

    层次分析法具体步骤:

    1.建立层次结构模型

    将决策的目标、考虑的因素(决策准则)和决策对象按它们之间的相互关系分为最高层、中间层和最低层,绘出层次结构图。 最高层是指决策的目的、要解决的问题。 最低层是指决策时的备选方案。 中间层是指考虑的因素、决策的准则。对于相邻的两层,称高层为目标层,低层为因素层。

    2.构造判断(成对比较)矩阵

    在确定各层次各因素之间的权重时,如果只是定性的结果,则常常不容易被别人接受,因而Santy等人提出一致矩阵法,即不把所有因素放在一起比较,而是两两相互比较,对此时采用相对尺度,以尽可能减少性质不同的诸因素相互比较的困难,以提高准确度。

     重要性比较结果,表1列出Saaty给出的9个重要性等级及其赋值。按两两比较结果构成的矩阵称作判断矩阵。判断矩阵具有如下性质:

    Aij度量方法:

    3.层次单排序及其一致性检验

    对应于判断矩阵最大特征根λ的特征向量,经归一化(使向量中各元素之和等于1)后记为W。W的元素为同一层次因素对于上一层次因素某因素相对重要性的排序权值,这一过程称为层次单排序。能否确认层次单排序,则需要进行一致性检验,所谓一致性检验是指对A确定不一致的允许范围。其中,n阶一致阵的唯一非零特征根为n;n 阶正互反阵A的最大特征根λ≥n,当且仅当λ=n时,A为一直矩阵,由于λ的连续依赖于aij,则λ 比n 大的越多,A的不一致性越严重,一致性指标用CI计算,CI越小,说明一致性越大。用最大特征值对应的特征向量作为被比较因素对上层某因素影响程度的权向量,其不一致程度越大,引起的判断误差越大。因而可以用 λ-n 数值的大小来衡量A 的不一致程度。定义一致性指标为:

    CI=0,有完全的一致性;CI 接近于0,有满意的一致性;CI 越大,不一致越严重。

    为衡量CI 的大小,引入随机一致性指标 RI:

     

    其中,随机一致性指标RI和判断矩阵的阶数有关,一般情况下,矩阵阶数越大,则出现一致性随机偏离的可能性也越大,其对应关系如表2:

    考虑到一致性的偏离可能是由于随机原因造成的,因此在检验判断矩阵是否具有满意的一致性时,还需将CI和随机一致性指标RI进行比较,得出检验系数CR,公式如下:

    一般,如果CR<0.1 ,则认为该判断矩阵通过一致性检验,否则就不具有满意一致性。

    4.层次总排序及其一致性检验

    计算某一层次所有因素对于最高层(总目标)相对重要性的权值,称为层次总排序。这一过程是从最高层次到最低层次依次进行的。

    5 算法举例

    算法举例:(成对矩阵中的值均需要人为按经验填写。)

    第一步:建立层次结构

    从苏州、杭州桂林三个城市选择一个城市去旅游。考虑的因素为景色、费用、居住、饮食、旅游5个因素。如下图所示:

    第二步:构造成对比较矩阵

    (注:矩阵中的各个元素均需要人为按经验填写)

    第三步:层次单排序及一致性检验

    求该矩阵的最大特征值及其对应的最大特征向量

    A的最大特征值为λ=5.037,归一化后的特征向量W={0.263,0.475,0.055,0.099,0.110}

    进行一致性检验

    A通过了一次性验证,结果是可行的。

    第四步:层次总排序及一次性检验

    与此类似,求出方案层中各方案的成对比较矩阵

     

    对每个成对矩阵汇总并进行一致性检验。

    全部通过。计算每个方案对最终目标的权重:

    B3对应的值最大,所以去桂林方案最佳。 

    展开全文
  • 介绍了AHP的原理,以及三个难度增加的应用案例分析
  • 层次分析法(AHP)是美国运筹学家匹茨堡大学教授萨蒂(T.L.Saaty)于上世纪70年代初,为美国国防部研究“根据各个工业部门对国家福利的贡献大小而进行电力分配”课题时,应用网络系统理论和多目标综合评价方法,提出的...
  • 模糊层次分析案例

    2017-12-27 10:48:20
    层次分析法介绍,里面有详细教程和案例分析,计算过程详细
  • 层次分析法应用案例

    2013-08-23 15:40:00
    层次分析法应用案例是关于层次分析的案例,有很多,很有用,下载看看吧
  • 【AHP】层次分析法 | 过程解读 案例实践

    万次阅读 多人点赞 2020-08-20 19:56:21
    AHP 层次分析法 一. AHP 层次分析法介绍 AHP 层次分析法简介 AHP,即层次分析法(Analytic Hierarchy Process,AHP)是一种系统化的、层次化的多目标综合评价方法。在评价对象的待评价属性复杂多样,结构各异,...

    层次分析法 | 过程解读 案例实践


    导读

    本文将带领读者了解 AHP 法,通过案例学习,学会使用 AHP 法解决实际问题。在适当的地方将深入了解,例如 AHP 法过程中出现的不一致情况,我们将详细讨论为什么会出现不一致情况,如何验证是否不一致,如何解决不一致情况。

    本文无代码实现,更注重 AHP 法过程本身的原理。



    一. AHP 层次分析法介绍

    • AHP 层次分析法简介

      AHP,即层次分析法(Analytic Hierarchy Process,AHP)是一种系统化的、层次化的多目标综合评价方法。在评价对象的待评价属性复杂多样,结构各异,难以量化的情况下AHP层次分析法也能发挥作用。

    • AHP 基本思想 [1]

      AHP 把复杂的问题分解为各个组成因素,又将这些因素按支配关系分组形成地递阶层次结构。通过两两比较的方式确定方式确定层次中诸因素的相对重要性。然后综合有人员的判断,确定备选方案相对重要性的总排序。整个过程体现了入门分解问题—判断—综合,的思想特征。

    • AHP 步骤

      1. 分析问题,明确需求,确定评价指标,并建立评价层次关系。
      2. 构造上一层每个节点与下一层的判断矩阵。
      3. 由判断矩阵得出层间的相对权重(层次单排序及一致性检验)。
      4. 计算各层对总评价目标的总权重(层次总排序),得出各备选方案的评估结果。

    注意


    下文中计算数值均四舍五入保留三位小数。一些归一化结果为了保证其结果和为1,可能存在一定的计算误差。但不影响最终结果的准确性


    二. AHP 的实际问题应用案例

    本章节我们将在选择购买空调的过程中使用 AHP 来完成决策。

    为了从三种空调,空调A、空调B、空调C,中选购最合适的空调,我们采用 AHP 法对我们的需求进行分析与评估,最终完成决策。

    1. 确定评价指标,建立层次关系

    为了选出最合适的空调,我们确定从四个指标来对空调进行评估,分别是:价格、噪声、功耗、寿命。 在 AHP 中,要构建三层层次关系:目标层、准则层、方案层。

    在这里插入图片描述

    • 目标层
      只有一个要素,是分析问题的预期结果或期望实现的最终目标,是评价的最高准则,可称为目的或目标层
    • 准则层
      准则层可以是多层构成,其包括所要考虑的准则,子准则等。
    • 方案层
      表示实现目标所提供的各种方案与措施,是最终评价对象,决策的结果将从中选出。

    2. 构造上一层每个节点与下一层的判断矩阵

    对一层的每一个节点,与其下层的所有与其有关联的节点构建判断矩阵。

    判断矩阵描述了下一层节点之间的相对重要性或优越性。为了量化节点间的优劣先后,将用到以下判断矩阵标度定义。

    标度含义
    1两个要素相比,重要性相同
    3两要素相比,前者比后者稍微重要或有优势
    5两要素相比,前者比后者比较重要或有优势
    7两要素相比,前者比后者十分重要或有优势
    9两要素相比,前者比后者绝对重要或有优势
    2,4,6,8为上述标度之间的中间值

    若要描述后者与前者比较,则用倒数为标度。例如 1/3 描述的是,后者比前者稍微重要。

    这么说还是有些抽象,我们用以上标度为规则,来构建目标层与准则层之间的判断矩阵如下。

    选购空调价格噪声功耗寿命
    价格11/31/51
    噪声3115
    功耗5115
    寿命11/51/51

    表中描述的是为了达到目标,准则层节点之间的相对重要程度,决定这些数值大小的可以是决策者的主观判断,也可以是基于调查或文献来判断,也可以是由专家讨论决定,本文中的值都由笔者主观决定。


    如,价格行,噪声列(矩阵中坐标为[1,3])值为 1/3 ,意味着相对于价格(前者)认为噪声(后者)的重要程度为 1/3。反过来,我们也可以说相对于噪声,价格的重要程度为 3。


    因此判断矩阵是斜对角线对称元素互为倒数的。 并且规定,而在斜对角线上,要素和自身比较的标度恒 1。判断矩阵是一个正互反矩阵

    同样的,需要构建准则层每一个节点到方案层所有节点的判断矩阵。

    • 三种空调对于价格的判断矩阵
    价格空调 A空调 B空调 C
    空调 A11/71/5
    空调 B712
    空调 C51/21

    图中 [2,1] 的值为 7 ,意味着空调 B 的价格优势相对于空调 A 十分有优势。 其他同理,下面多个判断矩阵也同理。

    • 三种空调对于噪声的判断矩阵
    噪声空调 A空调 B空调 C
    空调 A125
    空调 B1/214
    空调 C1/51/41
    • 三种空调对于功耗的判断矩阵
    功耗空调 A空调 B空调 C
    空调 A131/2
    空调 B1/311/5
    空调 C251
    • 三种空调对于寿命的判断矩阵
    寿命空调 A空调 B空调 C
    空调 A11/51/3
    空调 B514
    空调 C31/41

    注意


    • 判断矩阵的值显然只需要填写上半三角区或下半三角区就可以确定整个判断矩阵,请务必保持判断矩阵的 " \ " 向对角线对称的元素互为倒数。
    • 标度的定义是谁更重要或有优势,不是直接比较其量的大小。例如在三种空调对于功耗的判断矩阵中,[1,2] 的值为 3,指的不是空调 A 的功耗相对于空调 B 比较有大,这意味着空调 A 比空调 B 更耗电。标度的实际意思是空调 A 的功耗相对于空调 B 比较有优势,这意味着空调 A 比空调 B 更有优势,更省电。
    • 判断矩阵的数值不能随便乱填,还需要遵守逻辑规范。例如在三种空调对于寿命的判断矩阵中可知,空调 B 的寿命比空调 C 更有优势,而空调 C 也比 空调 A 更有优势,那么就不能说空调 A 比 空调 B 更有优势,这显然是违背逻辑的 ,为了避免这种逻辑上的差错,我们可以先填矩阵,后利用一致性检验(下文即将介绍)来判断我们的矩阵是否存在逻辑上的错误,若有我们则修改标度。

    3. 层次单排序及一致性检验

    所谓层次单排序,指的是:根据判断矩阵计算对于上一层的一个节点而言本层次与之有联系的所有节点的重要性次序的权重值,从而根据权重对其进行重要性排序。

    我们以目标层与准则层开始。

    选购空调价格噪声功耗寿命 w i \mathbf{w}_i wi w i 0 \mathbf{w}_i^0 wi0 A w i 0 \mathbf{Aw}_i^0 Awi0 λ m i \mathbf{λ}_{mi} λmi
    价格11/31/510.5080.0990.4004.040
    噪声31151.9680.3811.5464.058
    功耗51152.2360.4331.7444.028
    寿命11/51/510.4470.0870.3494.011

    λ m a x = 4.033 , C . I . = 0.011 , R . I . = 0.89 , C . R . = 0.012 < 0.1 \mathbf{λ}_{max} = 4.033,C.I. = 0.011,R.I. = 0.89,C.R. = 0.012<0.1 λmax=4.033C.I.=0.011R.I.=0.89C.R.=0.012<0.1


    连续出现了一系列的新值,我们将一一介绍。


    • w i \mathbf{w}_i wi w i 0 \mathbf{w}_i^0 wi0 w i \mathbf{w}_i wi基于判断矩阵计算得出,采用方根法计算,其计算过程为

      1. 判断矩阵各行元素求几何平均数。


        w = [ 1 × 1 3 × 1 5 × 1 4 3 × 1 × 1 × 5 4 5 × 1 × 1 × 5 4 1 × 1 5 × 1 5 × 1 4 ] = [ 0.508 1.968 2.236 0.447 ] \mathbf{w}_ = \left[ \begin{matrix} \sqrt[4]{1\times\frac{1}{3}\times\frac{1}{5}\times1} \\ \sqrt[4]{3\times1\times1\times5} \\ \sqrt[4]{5\times1\times1\times5} \\ \sqrt[4]{1\times\frac{1}{5}\times\frac{1}{5}\times1} \\ \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} 0.508\\ 1.968\\ 2.236\\ 0.447 \end{matrix} \right] w=41×31×51×1 43×1×1×5 45×1×1×5 41×51×51×1 =0.5081.9682.2360.447

      2. w i \mathbf{w}_i wi 归一化得到要素相对权重 w i 0 \mathbf{w}_i^0 wi0


        w 0 = [ 0.508 0.508 + 1.968 + 2.236 + 0.447 1.968 0.508 + 1.968 + 2.236 + 0.447 2.236 0.508 + 1.968 + 2.236 + 0.447 0.447 0.508 + 1.968 + 2.236 + 0.447 ] = [ 0.099 0.381 0.433 0.087 ] \mathbf{w}^0 = \left[ \begin{matrix} \frac{0.508}{0.508+1.968+2.236+0.447}\\ \frac{1.968}{0.508+1.968+2.236+0.447}\\ \frac{2.236}{0.508+1.968+2.236+0.447}\\ \frac{0.447}{0.508+1.968+2.236+0.447} \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} 0.099 \\ 0.381 \\ 0.433 \\ 0.087 \end{matrix} \right] w0=0.508+1.968+2.236+0.4470.5080.508+1.968+2.236+0.4471.9680.508+1.968+2.236+0.4472.2360.508+1.968+2.236+0.4470.447=0.0990.3810.4330.087

      而对于采用方根法的通用公式为


      特 征 矩 阵 : A = [ a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 ⋮ ⋱ a n 1 a n n ] , w i 0 = ( ∏ j = 1 n a i j ) 1 n ∑ i = 1 n ( ∏ j = 1 n a i , j ) 1 n , n = 1 , 2 , ⋯   , n 特征矩阵:A = \left[ \begin{matrix} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}\\ \vdots&&\ddots\\ a_{n1}&&&a_{nn} \end{matrix} \right] ,\mathbf{w}_i^0 = \frac{(\prod_{j=1}^na_{ij})^{\frac{1}{n}}}{\sum_{i=1}^n (\prod_{j=1}^n a_{i,j})^{\frac{1}{n}}},n=1,2,\cdots,n A=a11a21an1a12a1nannwi0=i=1n(j=1nai,j)n1(j=1naij)n1,n=1,2,,n


      也可以使用求和法计算权重 w i 0 \mathbf{w}_i^0 wi0 ,这里只给出公式不给出本例的计算过程。求和法得到的 w i 0 \mathbf{w}_i^0 wi0 值可能与方根法求到的 w i 0 \mathbf{w}_i^0 wi0 不完全一样,这是正常的。


      w i 0 = 1 n ∑ j = 1 n a i j ∑ k = 1 n a i j , n = 1 , 2 , ⋯   , n \mathbf{w}_i^0 = \frac{1}{n}\sum_{j=1}^n\frac{a_{ij}}{\sum_{k=1}^na_{ij}},n = 1,2,\cdots,n wi0=n1j=1nk=1naijaij,n=1,2,,n

      1. 将判断矩阵的每列归一化,即 a i j ∑ k = 1 n a i j \frac{a_{ij}}{\sum_{k=1}^na_{ij}} k=1naijaij
      2. 将得到的新矩阵求各行的算数平均数得到 w i 0 \mathbf{w}_i^0 wi0
    • A w i 0 \mathbf{Aw}_i^0 Awi0 即为判断矩阵 A \mathbf{A} A 与权重 w i 0 \mathbf{w}_i^0 wi0 的矩阵点乘运算结果


      A w 0 = [ 1 1 3 1 5 1 3 1 1 5 5 1 1 5 1 1 5 1 5 1 ] ⋅ [ 0.508 1.968 2.236 0.447 ] = [ 0.4 1.546 1.744 0.349 ] \mathbf{Aw}^0 = \left[ \begin{matrix} 1 & \frac{1}{3} & \frac{1}{5} & 1 \\ 3 & 1 & 1 & 5 \\ 5 & 1 & 1 & 5 \\ 1 & \frac{1}{5} & \frac{1}{5} & 1 \end{matrix} \right]· \left[ \begin{matrix} 0.508\\ 1.968\\ 2.236\\ 0.447 \end{matrix} \right]= \left[ \begin{matrix} 0.4\\ 1.546\\ 1.744\\ 0.349 \end{matrix} \right] Aw0=135131115151115115510.5081.9682.2360.447=0.41.5461.7440.349

    • λ m i \mathbf{λ}_{mi} λmi 是用于计算 λ m a x \mathbf{λ}_{max} λmax 的中间值,而 λ m a x \mathbf{λ}_{max} λmax 用于一致性检验。


      λ m i = A w i 0 w i 0 \mathbf{λ}_{mi} = \frac{\mathbf{Aw}_i^0}{\mathbf{w}_i^0} λmi=wi0Awi0

    • λ m a x \mathbf{λ}_{max} λmax 用于计算后续的 C . I . \mathbf{C.I.} C.I. 值,从而完成一致性检验。


      λ m a x = 1 n ∑ i = 1 n λ m i \mathbf{λ}_{max} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\mathbf{λ}_{mi} λmax=n1i=1nλmi

    • C . I . \mathbf{C.I.} C.I. R . I . \mathbf{R.I.} R.I. C . R . \mathbf{C.R.} C.R. C . I . \mathbf{C.I.} C.I. 为一致性指标, R . I . \mathbf{R.I.} R.I. 为平均随机一致性指标, C . R . \mathbf{C.R.} C.R. 为一致性指标,这些指标用于完成判断矩阵的一致性检验。


      C . I . = λ m a x − n n − 1 \mathbf{C.I.} = \frac{\mathbf{λ}_{max}-n}{n-1} C.I.=n1λmaxn


      R . I . \mathbf{R.I.} R.I. 的值要参考平均随机一致性指标表来确定,其值由 n \mathbf{n} n 即判断矩阵的阶 数,查下表得

      n \mathbf{n} n1234567891011121314
      R . I . \mathbf{R.I.} R.I.000.520.891.121.261.361.411.461.491.521.541.561.58

      本例中 n = 4 \mathbf{n}=4 n=4 R . I . = 0.89 \mathbf{R.I.} = 0.89 R.I.=0.89


      C . R . = C . I . R . I . \mathbf{C.R.}=\frac{\mathbf{C.I.}}{\mathbf{R.I.}} C.R.=R.I.C.I.


      C . R . < 0.1 \mathbf{C.R.} < 0.1 C.R.<0.1 则认为判断矩阵通过了一致性检验,若不满足条件则需要检查判断矩阵,并对其值进行调整。 本例中 C . R . = 0.012 < 0.1 \mathbf{C.R. = 0.012<0.1} C.R.=0.012<0.1,因此通过了一致性检验,可继续进行后续的步骤。

    在完成目标层与准则层的层次单排序与一致性检验之后,还需对准则层到方案层的多个判断矩阵完成该过程。这里直接给出结果。

    • 三种空调对于价格的判断矩阵的层次单排序与一致性检验

      价格空调 A空调 B空调 C w i \mathbf{w}_i wi w i 0 \mathbf{w}_i^0 wi0 A w i 0 \mathbf{Aw}_i^0 Awi0 λ m i \mathbf{λ}_{mi} λmi
      空调 A11/71/50.3060.0750.2263.016
      空调 B7122.410.5921.7833.011
      空调 C51/211.3570.3331.0043.015

      λ m a x = 3.014 , C . I . = 0.007 , R . I . = 0.52 , C . R . = 0.013 < 0.1 \mathbf{λ}_{max} = 3.014,C.I. = 0.007,R.I. = 0.52,C.R. = 0.013<0.1 λmax=3.014C.I.=0.007R.I.=0.52C.R.=0.013<0.1

    • 三种空调对于噪声的判断矩阵的层次单排序与一致性检验

      噪声空调 A空调 B空调C w i \mathbf{w}_i wi w i 0 \mathbf{w}_i^0 wi0 A w i 0 \mathbf{Aw}_i^0 Awi0 λ m i \mathbf{λ}_{mi} λmi
      空调 A1252.1540.5701.7213.019
      空调 B1/2141.260.3331.0063.021
      空调 C1/51/410.3680.0970.2943.030

      λ m a x = 3.023 , C . I . = 0.012 , R . I . = 0.52 , C . R . = 0.023 < 0.1 \mathbf{λ}_{max} = 3.023,C.I. = 0.012,R.I. = 0.52,C.R. = 0.023<0.1 λmax=3.023C.I.=0.012R.I.=0.52C.R.=0.023<0.1

      • 三种空调对于噪声的判断矩阵的层次单排序与一致性检验

      功耗空调 A空调 B空调C w i \mathbf{w}_i wi w i 0 \mathbf{w}_i^0 wi0 A w i 0 \mathbf{Aw}_i^0 Awi0 λ m i \mathbf{λ}_{mi} λmi
      空调 A131/21.1450.3090.9273.000
      空调 B1/311/50.4050.1090.3283.009
      空调 C2512.1540.5821.7453.000

      λ m a x = 3.003 , C . I . = 0.0015 , R . I . = 0.52 , C . R . = 0.003 < 0.1 \mathbf{λ}_{max} = 3.003,C.I. = 0.0015,R.I. = 0.52,C.R. = 0.003<0.1 λmax=3.003C.I.=0.0015R.I.=0.52C.R.=0.003<0.1

      • 三种空调对于噪声的判断矩阵的层次单排序与一致性检验

      寿命空调 A空调 B空调C w i \mathbf{w}_i wi w i 0 \mathbf{w}_i^0 wi0 A w i 0 \mathbf{Aw}_i^0 Awi0 λ m i \mathbf{λ}_{mi} λmi
      空调 A11/51/30.4050.10.3103.100
      空调 B5142.410.6742.0783.083
      空调 C31/410.9090.2260.6953.075

      λ m a x = 3.086 , C . I . = 0.043 , R . I . = 0.52 , C . R . = 0.083 < 0.1 \mathbf{λ}_{max} = 3.086,C.I. = 0.043,R.I. = 0.52,C.R. = 0.083<0.1 λmax=3.086C.I.=0.043R.I.=0.52C.R.=0.083<0.1

    注意


    在层次单排序过程中的 平均随机一致性表( R . I . \mathbf{R.I.} R.I. 值表)是由蒙特卡洛算法模拟随机矩阵验证一致性是否可以接受得来的。有兴趣的读者可以查询,了解。

    总结


    完成一个判断矩阵的层次单排序与一致性检验的求值过程为,简单总结如下:

    1. 选定方法求 w i \mathbf{w_{i}} wi(尚未归一化的权重)
    2. 归一化 w i \mathbf{w_{i}} wi 得到 w i 0 \mathbf{w_{i}^0} wi0(相对重要性权重)
    3. 将判断矩阵 A 与 w i 0 \mathbf{w_{i}^0} wi0 矩阵点乘得到 A w i 0 \mathbf{Aw}_i^0 Awi0
    4. A w i 0 \mathbf{Aw}_i^0 Awi0 除以 w i 0 \mathbf{w_{i}^0} wi0 得到 λ m i \mathbf{λ}_{mi} λmi
    5. 使用 λ m i \mathbf{λ}_{mi} λmi 求得 λ m a x \mathbf{λ}_{max} λmax
    6. 利用 λ m a x \mathbf{λ}_{max} λmax C . I . \mathbf{C.I.} C.I.,查表得到 R . I . \mathbf{R.I.} R.I. 对应的值,将 C . I . \mathbf{C.I.} C.I. R . I . \mathbf{R.I.} R.I. 相除得到 C . R . \mathbf{C.R.} C.R.
    7. 比较 C . R . \mathbf{C.R.} C.R. 与 0.1 的大小,确定是否通过一致性检验,不通过则修改判断矩阵的值,直到通过一致性检验。
    8. 完成层次单排序,获得结果 w i 0 \mathbf{w_{i}^0} wi0

    4. 层次总排序

    层次总排序得出了方案层对于目标层的重要程度权重,从而我们可以选出权重最大的为决策结果

    评价标准价格噪声功耗寿命
    最终评分
    总权重(w)
    权重0.0990.3810.4330.087
    空调 A0.0750.5700.3090.1000.367
    空调 B0.5920.3330.1090.6740.291
    空调 C0.3330.0910.5820.2260.342

    以上表格关于四大评价指标对各空调的权重(第二行)来自于目标层与准则层判断矩阵的层次单排序结果权重。空调 ABC 对于四大评价指标的分别权重来自于准则层到方案层的判断矩阵层次单排序结果权重。表格中的最终得分计算方法是:用各评价指标的权重,乘上某空调各个指标对应的权重求和。以求空调 A 的最终得分为例,公式如下


    空 调 A 评 分 = 0.099 × 0.075 + 0.381 × 0.570 + 0.433 × 0.309 + 0.087 × 0.100 = 0.367 空调 A 评分 = 0.099\times0.075+0.381\times0.570+0.433\times0.309+0.087\times0.100=0.367 A=0.099×0.075+0.381×0.570+0.433×0.309+0.087×0.100=0.367


    空调 BC 的评分同理。因为 w 空 调 A > w 空 调 C > w 空 调 B \mathbf{w_{空调A}}>\mathbf{w_{空调C}}>\mathbf{w_{空调B}} wA>wC>wB,所以我们通过 AHP 法得出购买空调 A 最符合我们的需求。


    三. 不一致现象 与 一致性检验

    上文中有提到判断矩阵中会出现不一致的现象,也使用计算一致性比例的问题来判断判断矩阵是否出现不一致的现象。本章节将较为详细的分析讲解判断矩阵中出现的不一致现象,并介绍一种和求和法与方根法同样常用的求要素相对权重的方法——特征值法。

    正如上文中所提到的不一致现象,我们继续利用空调对寿命的判断矩阵来进行分析。

    寿命空调 A空调 B空调 C
    空调 A11/51/3
    空调 B514
    空调 C31/41

    该判断矩阵在上一章中已经通过一致性检验。但我们仔细分析,会发现该判断矩阵中依然存在不一致的问题。我们进行下列推断


    [ 2 , 1 ] = 5 ⇒ 空 调 B 比 空 调 A 比 较 有 优 势 [ 3 , 1 ] = 3 ⇒ 空 调 C 比 空 调 A 稍 微 有 优 势 则 , 空 调 B 比 空 调 C 应 该 稍 微 ① 有 优 势 ② [2,1] = 5 \Rightarrow 空调 B 比 空调 A 比较有优势\\ [3,1] = 3 \Rightarrow 空调 C 比 空调 A 稍微有优势\\ 则,空调 B 比 空调 C应该稍微^{①}有优势^{②} [2,1]=5BA[3,1]=3CABC


    在结论中有两小点:

    • 我们在上文中说明过,如果认为空调 C 比空调 B 更有优势则与②相反,违背了逻辑,这种不一致是不被允许的。假如我们颠倒空调 BC 的优势顺序,得到以下判断矩阵:

      寿命空调 A空调 B空调 C
      空调 A11/51/3
      空调 B511/4
      空调 C341

      λ m a x = 4.24 , C . I . = 0.62 , R . I . = 0.52 , C . R . = 1.192 > 0.1 \mathbf{λ}_{max} = 4.24,C.I. = 0.62,R.I. = 0.52,C.R. =1.192>0.1 λmax=4.24C.I.=0.62R.I.=0.52C.R.=1.192>0.1
      经过计算,发现一致性检验不通过。

      若我们将空调 BC 的优势程度写为一样有优势则得到以下判断矩阵:

      寿命空调 A空调 B空调 C
      空调 A11/51/3
      空调 B511
      空调 C311

      λ m a x = 3.866 , C . I . = 0.433 , R . I . = 0.52 , C . R . = 0.833 > 0.1 \mathbf{λ}_{max} = 3.866,C.I. = 0.433,R.I. = 0.52,C.R. =0.833>0.1 λmax=3.866C.I.=0.433R.I.=0.52C.R.=0.833>0.1
      也不通过一致性检验。因此一致性检验确实起到了避免判断矩阵中数值出现逻辑冲突的情况

    • 在结论①中,其确定了的是空调 B 比空调 C 优势的程度大小为多少。结论中我们写的是 “稍微有优势”,那么判断矩阵中对应的位置应该是 3 和 1/3,但原题目中判断矩阵对应的位置为 4 和 1/4。我们可以试着计算一下判断矩阵是否通过一致性检验:

      寿命空调 A空调 B空调 C
      空调 A11/51/3
      空调 B513
      空调 C31/31

      λ m a x = 3.029 , C . I . = 0.0145 , R . I . = 0.52 , C . R . = 0.028 < 0.1 \mathbf{λ}_{max} = 3.029,C.I. = 0.0145,R.I. = 0.52,C.R. =0.028<0.1 λmax=3.029C.I.=0.0145R.I.=0.52C.R.=0.028<0.1
      通过一致性检验。而原来的 4 与 1/4 也通过了一致性检验,因此可见在基本的谁比谁有优势确定后,其优势程度大小是有可调节的弹性的。这是因为相对重要性标度本身对于要素之间的优势程度定义是模糊的。


    四. (补充) 特征值法求相对重要性权重

    上文中有介绍两种求要素相对重要性权重的方法:方根法与求和法。本章介绍一种和这两种同样常用的方法来求权重——特征值法。

    • 特征向量与特征值[2]


      A 为 n × n 矩 阵 , x 为 非 零 向 量 , 若 存 在 数 λ 使 得 A x = λ x 有 非 平 凡 解 x , 则 称 λ 为 A 的 特 征 值 , x 称 为 对 应 与 λ 的 特 征 向 量 。 \mathbf{A} 为 \mathbf{n\times n} 矩阵,\mathbf{x} 为非零向量,\\若存在数 \mathbf{\lambda} 使得 \mathbf{Ax=\lambda x} 有非平凡解 \mathbf{x},\\则称 \mathbf{\lambda} 为 \mathbf{A} 的特征值,\mathbf{x} 称为对应与 \mathbf{\lambda} 的特征向量。 An×nxλ使Ax=λxxλAxλ


      利用特征值法求相对重要性权重,就是求判断矩阵的特征向量,并将特征向量列归一化,然后直接作为相对重要性权重向量。但这个方法对判断矩阵严格要求其为一致矩阵,而我们上例中的判断矩阵都是不完全一致的,因此不适用此方法(可重新确定判断矩阵的值使其为一致矩阵再用此方法)。

    • 一致矩阵


      若 矩 阵 A = [ a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 ⋮ ⋱ a n 1 a n n ] 满 足 :   a i j > 0 a 11 = a 22 = ⋯ = a n n = 1 [ a i 1 , a i 2 , ⋯   , a i n ] = k i [ a 11 , a 12 , ⋯   , a 1 n ] 则 称 矩 阵 A 为 一 致 矩 阵 若矩阵 A= \left[ \begin{matrix} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}\\ \vdots&&\ddots\\ a_{n1}&&&a_{nn} \end{matrix} \right]满足: \\ \space\\ a_{ij}>0\\a_{11}=a_{22}=\cdots=a_{nn}=1\\ [a_{i1},a_{i2},\cdots,a_{in}] = k_i[a_{11},a_{12},\cdots,a_{1n}] \\则称矩阵 A 为一致矩阵 A=a11a21an1a12a1nann: aij>0a11=a22==ann=1[ai1,ai2,,ain]=ki[a11,a12,,a1n]A


      由于涉及到的知识点过多,篇幅受限不做详细介绍与证明。


    参考文献

    [1] 汪应洛.系统工程[M].5版.北京:机械工业出版社,2015.12:123.

    [2] David C. Lay,Steven R. Lay,Judi J. McDonald.线性代数及其应用[M].机械工业出版社:北京,2018.6:265.


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  • 数学建模之层次分析法及其应用

    千次阅读 多人点赞 2020-07-28 23:57:16
    层次分析法在数学建模中是非常常见的,其原理、应用场景实例本文里都有。希望能对数学建模爱好者、挑战者提供一些帮助。如有不清楚或错误的地方还望指出。

    概述

    层次分析法(Analytic Hierarchy Process,简称 AHP)是对一些较为复杂、较为模
    糊的问题作出决策的简易方法,它特别适用于那些难于完全定量分析的问题。常用于相互关联、相互制约的众多因素构成的复杂而往往缺少定量数据的系统。
    运用层次分析法建模,大体上可按下面四个步骤进行:

    1. 建立递阶层次结构模型;
    2. 构造出各层次中的所有判断矩阵;
    3. 层次单排序及一致性检验;
    4. 层次总排序及一致性检验

    下面将用实例分别阐述这些步骤。

    递阶层次结构的建立与特点

    我们拿到一个问题,常将其分为若干层次结构,上一层次的元素作为准则对下一层次有关元素起支配作用。
    这些层次可以分为三类:.

    1. 最高层:这一层次中只有一个元素,一般它是分析问题的预定目标或理想结果,因此也称为目标层。
    2. 中间层:这一层次中包含了为实现目标所涉及的中间环节,它可以由若干个层次组成,包括所需考虑的准则、子准则,因此也称为准则层。
    3. 最底层:这一层次包括了为实现目标可供选择的各种措施、决策方案等,因此也称为措施层或方案层。

    如我们想去旅游,现在要选择旅游地点,就可以先这样划分一下:在这里插入图片描述

    递阶层次结构中的层次数与问题的复杂程度及需要分析的详尽程度有关,一般地层次数不受限制。每一层次中各元素所支配的元素一般不要超过 9 个。这是因为支配的元素过多会给两两比较判断带来困难。

    构造判断矩阵

    构造判断矩阵的方法是一致矩阵法,即:将上述两组权重进行综合,确定各方案对目标的权重。所有元素之间采用相对尺度两两对比,确定权重。

    标度含 义
    1表示两个因素相比,具有相同重要性
    3表示两个因素相比,前者比后者稍重要
    5表示两个因素相比,前者比后者明显重要
    7表示两个因素相比,前者比后者强烈重要
    9表示两个因素相比,前者比后者极端重要
    2,4,6,8表示上述相邻判断的中间值
    倒数若因素i 与因素 j 的重要性之比为 a i j a_{ij} aij ,那么因素 j 与因素i 重要性之比为 a i j = 1 / a i j a_{ij}= 1/a_{ij} aij=1/aij

    确定A1-A5的权重,如A1相对A4来说,A1比A4稍微重要,所以矩阵Z(1,4)=3.其对称位置就是1/3。
    在这里插入图片描述
    注:Z是成对比较、正互反矩阵。

    层次单排序及一致性检验

    所谓层次单排序是指根据判断矩阵计算对于上一层某因素而言本层次与之有联系的因素的重要性次序的权值。它是本层次所有因素相对上一层而言的重要性进行排序的基础。
     在这里插入图片描述
    满足 a i j ∗ a j k = a i k a_{ij}*a_{jk}= a_{ik} aijajk=aik正互反矩阵称为一致矩阵
    定理 1:
    正互反矩阵 A 的最大特征根 λ m a x λ_{max} λmax必为正实数,其对应特征向量的所有分量均为正实数。 A 的其余特征值的模均严格小于 λ m a x λ_{max} λmax
    定理 2
    若 A 为一致矩阵,则

    • A 必为正互反矩阵。
    • A 的转置矩阵 A T A^T AT也是一致矩阵。
    • A 的任意两行成比例,比例因子大于零,从而 rank(A) = 1(同样, A 的任意两列也成比例)。
    • A 的最大特征值 λ m a x λ_{max} λmax = n ,其中n 为矩阵 A 的阶。A 的其余特征根均为零。
    • 若 A 的最大特征值 λ m a x λ_{max} λmax 对应的特征向量为 W = ( w 1 . . . w n ) T W={(w_1 ... w_n)}^T W=(w1...wn)T ,则 s i j = w i w j s_{ij}=\frac{w_i}{w_j} sij=wjwi
      ij ww a = , ∀i, j = 1,2,L,n ,即

    定理 3

    n 阶正互反矩阵 A 为一致矩阵当且仅当其最大特征根 λ m a x = n λ_{max} = n λmax=n ,且当正互反矩阵 A 非一致时,必有 λ m a x > n λ_{max}> n λmax>n
    根据定理 3,我们可以由 λ m a x λ_{max} λmax 是否等于n 来检验判断矩阵 A 是否为一致矩阵。

    对判断矩阵的一致性检验的步骤如下:

    1. 计算一致性指标 C I = λ m a x − n n − 1 CI=\frac{λ_{max}-n}{n-1} CI=n1λmaxn
    2. 查找相应的平均随机一致性指标 RI 。对n = 1 …9,Saaty 给出了 RI 的值,如表 2 所示。在这里插入图片描述
      计算一致性比例 C R = C I R I CR=\frac{CI}{RI} CR=RICI
      C R < 0.10 CR < 0.10 CR<0.10时,认为判断矩阵的一致性是可以接受的,否则应对判断矩阵作适当修正。

    层次总排序及一致性检验

    上面我们得到的是一组元素对其上一层中某元素的权重向量。我们最终要得到各元素,特别是最低层中各方案对于目标的排序权重,从而进行方案选择。总排序权重要自上而下地将单准则下的权重进行合成。
    在这里插入图片描述

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    对层次总排序也需作一致性检验,检验仍象层次总排序那样由高层到低层逐层进行。这是因为虽然各层次均已经过层次单排序的一致性检验,各成对比较判断矩阵都已具有较为满意的一致性。但当综合考察时,各层次的非一致性仍有可能积累起来,引起最终分析结果较严重的非一致性。
    设 B 层中与 Aj 相关的因素的成对比较判断矩阵在单排序中经一致性检验,求得单排序一致性指标为CI( j) ,( j = 1,L,m ),相应的平均随机一致性指标为 RI( j) (CI( j)、RI( j) 已在层次单排序时求得),则 B 层总排序随机一致性比例为
    在这里插入图片描述

    层次分析法的应用

    在应用层次分析法研究问题时,遇到的主要困难有两个:

    1. 如何根据实际情况抽象出较为贴切的层次结构;
    2. 如何将某些定性的量作比较接近实际定量化处理。

    层次分析法对人们的思维过程进行了加工整理,提出了一套系统分析问题的方法,为科学管理和决策提供了较有说服力的依据。但层次分析法也有其局限性,主要表现在:
    3. 它在很大程度上依赖于人们的经验,主观因素的影响很大,它至多只能排除思维过程中的严重非一致性,却无法排除决策者个人可能存在的严重片面性。
    4. 比较、判断过程较为粗糙,不能用于精度要求较高的决策问题。AHP 至多只能算是一种半定量(或定性与定量结合)的方法。
    在这里插入图片描述

    回顾总结

    在这里插入图片描述

    例题

    挑选合适的工作。经双方恳谈,已有三个单位表示愿意录用某毕业生。该生根据已有信息建立了一个层次结构模型,如图所示
    在这里插入图片描述
    标准层的判断矩阵也已给出
    在这里插入图片描述
    方案层的判断矩阵给出
    在这里插入图片描述
    函数文件:

    function [CR,quan]=AHPfun(A)
    n=size(A,1);
    [V,D] = eig(A); %V 是特征向量,D是由特征值构成的对角矩阵(除了对角线元素外,其余位置元素全为0)
    Max_eig = max(D(:)); %那么怎么找到最大特征值所在的位置了?需要用到find函数,它可以用来返回向址或者矩阵中不为0的元素的位置索引。
    %那么问题来了,我们要得到最大特征值的位置,就需婴将包含所有特征值的这个对角矩阵D中,不等于最大特征值的位置全变为
    %这时候可以用到矩阵与常数的大小判断运算
    D = Max_eig;
    [r,c]=find(D == Max_eig,1);
    %找到D中第“个与最大特征值相等的元素的位置,记录它的行和列。
    %第二步:对求出的特征向量进行归-“化即可得到我们的权重
    quan=V(:,c)./sum(V(:,c));
    %我们先根据上面找到的最大特征值的列数c找到对应的特征向量,然后再进行标准化。
    % 计算一致性比例CR
    CI = (Max_eig - n)/(n-1);
    RI=[0 0 0.52 0.89 1.12 1.26 1.36 1.41 1.46 1.49 1.52 1.54 1.56 1.58 1.59]; %注意哦,这里的RI最多支持n = 15
    CR=CI/RI(n);
    end
    

    主文件:

    clc;clear
    a0=[1 1 1 4 1 1/2
        1 1 2 4 1 1/2
        1 1/2 1 5 3 1/2
        1/4 1/4 1/5 1 1/3 1/3
        1 1 1/3 3 1 1
        2 2 2 3 3 1 ];
    a1=[1 1/4 1/2;
        4 1 3;
        2 1/3 1 ];
    a2=[1 1/4 1/5;
        4 1 1/2;
        5 2 1 ];
    a3=[1 3 1/3;
        1/3 1 1/7;
        3 7 1 ];
    a4=[1 1/3 5;
        3 1 7;
        1/5 1/7 1];
    a5=[1 1 7;
        1 1 7;
        1/7 1/7 1 ];
    a6=[1 7 9;
        1/7 1 1;
        1/9 1 1];
    F=cat(3,a1,a2,a3,a4,a5,a6);
    [a,b,c]=size(F);
    all=ones(3,c);
    cr=[];
    [CR,quan]=AHPfun(a0);
    cr0=CR;
    quan0=quan;
    disp('准则层权值为:');disp(quan0');
    disp('准则层一致性比例为:');disp(cr0);
    for i =1:c
        A=F(:,:,i);
        [CR,quan]=AHPfun(A);
        cr=[cr,CR];
        all(:,i)=quan;  
        
    end
    allquan=ones(3,1);
    for j=1:3
        allquan(j,1)=sum(all(j,:).*quan0');
    end
    disp('方案层单排序权值:');disp(all);
    disp('方案层一致性比例为:');disp(cr);
    disp('总排序权值:');disp(allquan);
    
    

    输出:

    准则层权值为:
        0.1507    0.1792    0.1886    0.0472    0.1464    0.2879
    
    准则层一致性比例为:
        0.0981
    
    方案层单排序权值:
        0.1365    0.0974    0.2426    0.2790    0.4667    0.7986
        0.6250    0.3331    0.0879    0.6491    0.4667    0.1049
        0.2385    0.5695    0.6694    0.0719    0.0667    0.0965
    
    方案层一致性比例为:
        0.0176    0.0236    0.0068    0.0624   -0.0000    0.0068
    
    总排序权值:
        0.3952
        0.2996
        0.3052
    
    

    答案
    在这里插入图片描述

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  • 层次分析法经典案例

    千次阅读 2020-12-22 14:18:35
    案例分析】市政工程项目建设决策:层次分析法问题提出市政部门管理人员需要对修建一项市政工程项目进行决策,可选择的方案是修建通往旅游区的高速路(简称建高速路)或修建城区地铁(简称建地铁)。除了考虑经济效益外...

    层次分析法经典案例

    篇一:层次分析法步骤

    层次分析法实例与步骤

    结合一个具体例子,说明层次分析法的基本步骤和要点。

    【案例分析】

    市政工程项目建设决策:

    层次分析法问题提出

    市政部门管理人员需要对

    修建一项市政工程项目进行决策,

    可选择的方案是修建通往旅游区的高速路

    (简称建高速路)

    或修建城区地铁(简称建地铁)

    。除了考虑经济效益外,还要考虑社会效益、环境效益等因

    素,即是多准则决策问题,考虑运用层次分析法解决。

    1.

    建立递阶层次结构

    应用

    AHP

    解决实际问题,首先明确要分析决策的问题,并把它条理化、层次化,理出

    递阶层次结构。

    AHP

    要求的递阶层次结构一般由以下三个层次组成:

    ?

    目标层(最高层)

    :指问题的预定目标;

    ?

    准则层(中间层)

    :指影响目标实现的准则;

    ?

    措施层(最低层)

    :指促使目标实现的措施;

    通过对复杂问题的分析,首先明确决策的目标,将该目标作为目标层(最高层)的元

    素,这个目标要求是唯一的,即目标层只有一个元素。

    然后找出影响目标实现的准则,作为目标层下的准则层因素,在复杂问题中,影响目

    标实现的准则可能有很多,

    这时要详细分析各准则因素间的相互关系,

    即有些是主要的准则,

    有些是隶属于主要准则的次准则,

    然后根据这些关系将准则元素分成不同的层次和组,

    不同

    层次元素间一般存在隶属关系,

    即上一层元素由下一层元素构成并对下一层元素起支配作用,

    同一层元素形成若干组,

    同组元素性质相近,

    一般隶属于同一个上一层元素

    (受上一层元素

    支配)

    ,不同组元素性质不同,一般隶属于不同的上一层元素。

    在关系复杂的递阶层次结构中,有时组的关系不明显,即上一层的若干元素同时对下

    一层的若干元素起支配作用,

    形成相互交叉的层次关系,

    但无论怎样,

    上下层的隶属关系应

    该是明显的。

    最后分析为了解决决策问题

    (实现决策目标)

    在上述准则下,

    有哪些最终解决方案

    (措

    施)

    ,并将它们作为措施层因素,放在递

    page1

    阶层次结构的最下面(最低层)

    明确各个层次的因素及其位置,并将它们之间的关系用连线连接起来,就构成了递阶

    层次结构。

    【案例分析】

    市政工程项目进行决策:

    建立递阶层次结构

    在市政工程项目决策问题中,

    市政管理人员希望通过选择不同的市政工程项目,使综合效益最高,即决策目标是

    合理建

    设市政工程,使综合效益最高

    为了实现这一目标,

    需要考虑的主要准则有三个,

    即经济效益、

    社会效益和环境效益。

    但问题绝不这么简单。

    通过深入思考,

    决策人员认为还必须考虑直接经济效益、

    间接经济效

    益、方便日常出行、方便假日出行、减少环境污染、改善城市面貌等因素(准则)

    ,从相互

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层次分析法及其案例分析

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