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  • 层次分析法(AHP)是美国运筹学家匹茨堡大学教授萨蒂(T.L.Saaty)于上世纪70年代初,为美国国防部研究“根据各个工业部门对国家福利的贡献大小而进行电力分配”课题时,应用网络系统理论和多目标综合评价方法,提出的...
  • (一)、什么是AHP层次分析法层次分析法就是一种定性与定量相结合、系统的、层次化的分析方法;这种方法的特点就是在对复杂决策问题的本质、影响因素及其内在关系等进行深入研究的基础上,利用较少的定量信息使决策...

    (一)、什么是AHP层次分析法?

    层次分析法就是一种定性与定量相结合、系统的、层次化的分析方法;
    这种方法的特点就是在对复杂决策问题的本质、影响因素及其内在关系等进行深入研究的基础上,利用较少的定量信息使决策的思维过程数学化,从而为多目标、多准则或无结构特性的复杂决策问题提供简便的决策方法。是对难以完全定量的复杂系统做出决策的模型和方法。

    (二)、为什么要用AHP层次分析法?

    我们在对复杂问题做决策分析的时候,影响决策的因素有很多种,如何去判断和衡量不同指标因素的重要性?这时候借助AHP层次分析法,能够更简洁、更系统的分析不同因素的权重,从而辅助决策;

    (三)、怎么用AHP层次分析法?

    AHP层次分析法的步骤:
    1、建立层次结构模型;
    2、构造判断(成对比较)矩阵;
    3、层次单排序及其一致性检验;
    4、层次总排序及其一致性检验;

    (四)、案例分析

    下面,我以具体的案例来演示AHP层次分析法的使用步骤:
    案例背景:
    外卖吃什么?吃哪一家?这是我们在生活中经常遇到的一个场景,
    我以AHP层次分析法来分析,我们如何选择外卖?

    目标层:选择外卖,吃什么;
    准则层:味道、包装、配送、价格;
    方案层:张三烧腊、李四煲仔饭、王五汉堡;

    1、建立层次结构模型:

    0c835622e2762bab96c5a3cd749ef974.png

    2、构造判断(成对比较)矩阵;
    当层次结构模型建立完成,决策专家根据不同因素的重要性,专业评估每一项因素的权重值;建立成对比较矩阵;评估尺度如下:

    3e6a06a18d74c488ea73c60b66813fae.png

    对准则层的因素做两两比较得出下图:

    662188f38b960cbc19f2b5af8c8e768c.png

    3、层次单排序及其一致性检验;

    准则层排序及一致性检验:

    eb0baa489b40b369783f8051b0a226d8.png

    A1A2A3A4对目标层的权重为:[0.2614、0.0877、0.1306、0.5203]

    方案层排序及一致性检验:
    分别从味道、包装、配送、价格上构造成对比较矩阵
    BA1:

    192429a2df5a1f0a9536542073468e04.png

    550efd1d61138c3f7241fe668b6493b8.png


    B1B2B3对A1的权重为:[0.5、0.25、0.25]

    BA2:

    86904556d0977ba7a9e8cbbb554c9a3b.png

    f06487c6a4014e782a051657046daf38.png


    B1B2B3对A2的权重为:[0.20、0.40、0.40]

    BA3:

    888587ab2b14066879acd4062719afe0.png

    7335c829b24df972d358b31671921b7c.png

    B1B2B3对A3的权重为:[0.4、0.2、0.4]

    BA4:

    4e8c51262e79336a2193feedadeedc46.png

    32d170a75f8a72e8ebf4ea30e2127c62.png

    B1B2B3对A4的权重为:[0.4、0.4、0.2]

    4、层次总排序及其一致性检验;


    B1对总目标的权值为:
    0.5 x 0.2614 + 0.2 x 0.0877 + 0.4 x 0.1306 + 0.4 x 0.5203 = 0.4086

    B2对总目标的权值为:
    0.25 x 0.2614 + 0.4 x 0.0877 + 0.2 x 0.1306 + 0.4 x 0.5203 = 0.33467

    B3对总目标的权值为:
    0.25 x 0.2614 + 0.4 x 0.0877 + 0.4 x 0.1306 + 0.2 x 0.5203 = 0.25673

    方案层的权重排序为:B1(张三烧腊) >  B2(李四煲仔饭) > B3(王五汉堡)

    得出决策,点张三烧腊的外卖

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  • 我写过层次分析法的Matlab实现:张敬信:【评价算法】层次分析法​zhuanlan.zhihu.com其中的ahp函数是来自《吴鹏. Matlab高效编程技巧与应用:25个案例分析》,我只是增加或改写了注释说明。但是该函数对大家使用不...

    bd0726e864bedc6b2a9b0ad70d66a6a5.png

    我写过层次分析法的Matlab实现:

    张敬信:【评价算法】层次分析法zhuanlan.zhihu.com
    4c9428d61d8a1faaab38506f799dbf29.png

    其中的ahp函数是来自《吴鹏. Matlab高效编程技巧与应用:25个案例分析》,我只是增加或改写了注释说明。但是该函数对大家使用不太友好,非常复杂难用,倒不是函数定义的不好,只是因为它是将整个多层次的层次结构模型,一次代入该函数,一次完成全部的计算,所以就变得很复杂和难用。

    这次重写一个简单易用的,一次只解决一个层次结构的层次分析法计算,多个结构多用几次就好了。层次分析法原理见上篇文章,这里不再赘述。

    以么焕民老师在智慧树平台的数学建模课程中的,层次分析法案例为基础,来具体阐述。

    问题描述:某人要出去旅游,有 3 个备选景点,需要从景色、费用、居住条件、饮食、旅途共5 个因素来考量。

    一. 构建层次结构

    2ca8ff28331a5092f3390f1a2547e5e0.png

    二. 构造成对比较矩阵

    5个因素分别记为X1,X2,X3,X4,X5

    某人根据自己的考量,给出的成对比较矩阵:

    7e1a129354008ddc6d0b3698fc3d4cb3.png

    equation?tex=a_%7B21%7D+%3D+2 为例,表示在某人看来费用比景色的相对重要程度是
    equation?tex=2 ,即认为费用是景色的
    equation?tex=2 倍重要,其它矩阵元素的解释类似。
    A = [ 1  1/2 4  3   3;
          2   1  7  5   5;
         1/4 1/7 1 1/2 1/3;
         1/3 1/5 2  1   1;
         1/3 1/5 3  1   1];

    三. 计算权向量及一致性检验

    么老师是用方根法近似计算的,实际上完全没有必要,直接用eig()函数算精确的就行了。两种方法我都实现一下。

    1. 方根法近似计算

    d8ec828407a58266a81d6fa9d931479d.png

    c35bca02da08cc3ff39c912cf58573e3.png

    096e339495f0cba2fbae929e3cfc23f2.png

    b5c70f2131b44355b4d424619ada0972.png
    W = prod(A, 2)                % 计算每一行乘积
    n = size(A, 1);               % 矩阵行数
    W = nthroot(W, n)             % 计算n次方根
    W = W / sum(W)                % 归一化处理, 计算特征向量, 即权向量
    Lmax = mean((A * W) ./ W)     % 计算最大特征值

    a4cfc951432ea7e2782e087e309c2087.png

    2. 用eig()精确计算

    [V,D] = eig(A)
    [Lmax,ind] = max(diag(D));     % 求最大特征值及其位置
    Lmax                           % 最大特征值
    W = V(:,ind) / sum(V(:,ind))   % 最大特征值对应的特征向量做归一化, 即权向量

    512ebf63eb87f255db44f44458dbb61f.png

    3. 再计算一致性指标和一致性比率

    n = size(A, 1);  
    CI = (Lmax - n) / (n - 1)     % 计算一致性指标
    % Saaty随机一致性指标值
    RI = [0 0 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.49 1.51]; 
    CR = CI / RI(n)               % 计算一致性比率

    47bd79eabe19287b25d9e331dd78be8e.png

    一致性比率 CR=0.0161 < 0.1 满足一致性要求,故前面的权重向量可以使用。

    关于一致性的解释

    equation?tex=x_i
    equation?tex=x_j
    equation?tex=2 倍重要,
    equation?tex=x_j
    equation?tex=x_k
    equation?tex=3 倍重要,则
    equation?tex=x_i
    equation?tex=x_k
    equation?tex=6 倍重要,所以在比较
    equation?tex=x_i 与的
    equation?tex=x_k 重要性时,不能和
    equation?tex=6 倍相差太多。

    四. 计算组合全向量及其一致性检验

    以上只是计算完了层次结构中的:准则层

    equation?tex=5
    个因素对目标层的决策权重,即一个层次结构。

    还有方案层分别对准则层的

    equation?tex=5
    个因素的层次结构需要计算。这可以理解为
    equation?tex=3 个景点分别对每个因素的贡献度(重要度)。

    5 个层次结构就是 5 个成对比较矩阵:

    10284a4aedae19a092733aeddac8c05b.png

    这就需要按上述计算 5遍。这怎么能忍,当然是自定义函数解决了。

    1. 先来谈谈我对自定义函数的一些体会

    需要重复做多次同一种计算过程(前面第三部分那一系列的计算),一个好办法是,将该计算过程写成函数,就能方便多次使用了。

    (1) 编程中的函数,是用来实现某个功能,其一般形式为:

    (返回值1..., 返回值m) = 函数名(输入1, ..., 输入n)

    你只要把输入给它,它就能在内部进行相应处理,把你想要的返回值给你。

    这些输入和返回值,在函数定义时,都要有固定的类型(模具)限制,叫做形参(形式上的参数);在函数调用时,必须给它对应类型的具体数值,才能真正的去做处理,这叫做实参(实际的参数)。

    所以,定义函数就好比创造一个模具,调用函数就好比用模具批量生成产品。

    使用函数最大的好处,就是将实现某个功能,封装成模具,从而可以反复使用。这就避免了写大量重复的代码,程序的可读性也大大加强。

    (2) 那么,怎么自定义一个函数?

    我想要自定义一个函数,能够实现“完成一个层次结构的层次分析法的计算”的功能。

    基于前面函数的理解,

    第一步,分析输入和输出,设计函数外形:

    • 输入有几个 ,分别是什么,适合用什么数据类型存放;
    • 输出有几个,分别是什么,适合用什么数据类型存放。

    本问题,

    输入有 1 个:成对比较矩阵(用矩阵存放);

    输出有4 个:权重向量(用向量存放)、最大特征值(浮点数存放)、一致性指标(浮点数存放)、一致性比率(浮点数存放)。

    然后就可以基于 Matlab 自定义函数的语法,设计自定义函数的外形:

    function [W, Lmax, CI, CR] = AHP(A)
    % 实现单层次结构的层次分析法
    % 输入: A为成对比较矩阵
    % 输出: W为权重向量, Lmax为最大特征值, CI为一致性指标, CR为一致性比率

    注:函数名和变量可以随便起名,但是建议用有含义的单词。另外,为函数增加注释是一个好习惯。这些都是为了代码的可读性。

    第二步,梳理功能的实现过程(就是前文的调试过程)

    拿一个具体的输入,比如成对比较矩阵

    equation?tex=A ,分析怎么到达想要的那
    equation?tex=4 个返回值结果的。

    复杂的功能,就需要更耐心的梳理和思考甚至借助一些算法,当然也离不开代码片段的调试。

    :把一个具体的输入,调试通过,得到正确的返回值结果,这一步骤很有必要。

    第三步,将第二步的代码封装到函数体(选精确计算的)

    function [W, Lmax, CI, CR] = AHP(A)
    % 实现单层次结构的层次分析法
    % 输入: A为成对比较矩阵
    % 输出: W为权重向量, Lmax为最大特征值, CI为一致性指标, CR为一致性比率
     
    [V,D] = eig(A);
    [Lmax,ind] = max(diag(D));       % 求最大特征值及其位置
    W = V(:,ind) / sum(V(:,ind));    % 最大特征值对应的特征向量做标准化
    Lmax = mean((A * W) ./ W);       % 计算最大特征值
    n = size(A, 1);                  % 矩阵行数
    CI = (Lmax - n) / (n - 1);       % 计算一致性指标
    % Saaty随机一致性指标值
    RI = [0 0 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.49 1.51]; 
    CR = CI / RI(n);                 % 计算一致性比率

    发现没有?就是前面梳理过程的代码原样复制过来的!原来的变量赋值语句不需要了,只需要形参。另外,为行尾没有分号的行添加了分号,函数不需要输出中间结果。

    3. 调用自定义函数

    Matlab自定义函数保存为与函数名同名的.m文件,这里是 AHP.m

    确保该 AHP.m 文件在当前路径下,即确保该文件在Matlab界面左侧的“当前文件夹”窗口能看到它。那么就可以使用该函数。

    658a6935381cf6c7781bc9960d1978dc.png

    以前文的矩阵

    equation?tex=A 为例,测试该自定义的 AHP 函数:
    A = [ 1 1/2 4 3 3;
     2 1 7 5 5;
     1/4 1/7 1 1/2 1/3;
     1/3 1/5 2 1 1;
     1/3 1/5 3 1 1]; 
    [W, Lmax, CI, CR] = AHP(A)

    运行结果:

    069e6c1330d248382d961036fdfbd5e9.png

    有了该函数,就是有了可以实现层次分析法的“模具”,该“模具”只要提供成对比较矩阵给它,它就能给你返回:权重向量、最大特征值、一致性指标、一致性比率。

    2. 回到问题,那5个层次结构的计算就简单了:

    B1 = [ 1  2   5;
          1/2 1   2;
          1/5 1/2 1];
    B2 = [1 1/3 1/8;
          3  1  1/3;
          8  3   1];
    B3 = [ 1   1  3;
           1   1  3;
          1/3 1/3 1]; 
    B4 = [ 1  3 4;
          1/3 1 1;
          1/4 1 1];
    B5 = [1 1 1/4;
          1 1 1/4;
          4 4  1 ];
    [W1, Lmax1, CI1, CR1] = AHP(B1);
    [W2, Lmax2, CI2, CR2] = AHP(B2);
    [W3, Lmax3, CI3, CR3] = AHP(B3);
    [W4, Lmax4, CI4, CR4] = AHP(B4);
    [W5, Lmax5, CI5, CR5] = AHP(B5);

    返回结果太长了,加分号不让它直接输出,而是整理到一起再输出:

    % 合并结果 
    rlts3 =[W1 W2 W3 W4 W5; Lmax1 Lmax2 Lmax3 Lmax4 Lmax5;           
            CI1 CI2 CI3 CI4 CI5; CR1 CR2 CR3 CR4 CR5]

    68626ab7e2eeaa6f1e3e0d75b9a4e26a.png

    这与么老师的课程里的结果是一致的(我这个更精确哦):

    f32dd6e90e8a1e0efd1200ac403aeb1a.png

    再来计算组合权向量:

    d6afe8a873736a5e952a7932fb48e748.png
    a3 = rlts3(1:3,:)  *  W

    cc7ed6bb0cd940339ddc16e39087e7bb.png

    这说明 3 个景点的权重分别是:0.2993,0.2453,0.4554

    所以,这个某人应该选择的是去第3个景点去旅游。

    最后注:这篇文章足够简单了吧,看完再不会用就该从自己身上找原因了。

    主要参考文献:

    么焕民,数学建模(层次分析法),智慧树平台在线课程。

    ——————————————

    原创作品,转载请注明,禁止用于出版。

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  • 本周我主要学习了层次分析法(AHP)的基本原理及其在企业资金分配方案、太阳镜产品质量评价等案例中的应用,并学习使用visio绘制所需图形以及了解maltab基础语法知识,并编程实现了一些功能。 01层次分析法概述 层次...
    数学建模 层次分析法
    时间 2020年4月15日

    本周我主要学习了层次分析法(AHP)的基本原理及其在企业资金分配方案、太阳镜产品质量评价等案例中的应用,并学习使用visio绘制所需图形以及了解maltab基础语法知识,并编程实现了一些功能。

    01层次分析法概述

    层次分析法是对定性问题进行定量分析的一种简便灵活而又实用的多准则决策方法。层次分析法是建模比赛中最基础的模型之一,其主要用于解决评价类问题。

    02二层次分析法的特点

    AHP的主要特点是通过建立递阶层次结构,把人类的判断转化到若干因素两两之间重要度的比较上,从而把难于量化的定性判断转化为可操作的重要度的比较上面。在许多情况下,决策者可以直接使用AHP进行决策,极大地提高了决策的有效性、可靠性和可行性。

    03层次分析法的步骤和方法

    在这里插入图片描述

    04结合企业应用案例,深入学习层次分析法

    某企业年末又留成,希望将这笔资金用于以下几个领域:发奖金、福利事业和引进设备,但是再利用企业留成是需考虑以下及各方面:调动员工积极性、提高企业技术水平和改善职工生活条件。

    1.分析系统中各因素之间的关系,建立系统的递阶层次结构**

    使用Visio生成,导出为PDF格式。

    在这里插入图片描述

    2.构造各层次中所有判断矩阵

    用成对比较法和1~9尺度,构造各层对上一层每一因素的成对比较矩阵。

    • 成对比较法:即两两比较法,两个两个指标进行比较。
    • 1~9尺度
      在这里插入图片描述
      在这里插入图片描述
      在这里插入图片描述
    3.由判断矩阵计算被比较元素对于该准则的相对权重并进行一致性检验
    • 对矩阵进行一致性检验的必要性
      在这里插入图片描述
      我们构造的判断矩阵都是正互反矩阵,若正互反矩阵满足为一致矩阵。
      在这里插入图片描述
    • 一致性检验原理:检验我们构造的判断矩阵与一致性矩阵有无太大差别。(线性代数知识)
      在这里插入图片描述在这里插入图片描述在这里插入图片描述
      一致性检验的步骤
      第一步 计算一致性指标
      在这里插入图片描述第二步 计算随机一致性指标RI(查表或使用MATLAB计算

      在这里插入图片描述
      第三步 计算一致性比例CR
      在这里插入图片描述
      如果CR<0.1,则可以认为判断矩阵的一致性是可以接受的:否则需要对判断矩阵进行修正。修正的话,就是往一直矩阵上调整即调整判断矩阵各行成倍数关系。
    4.MATLAB一致性检验代码及结果

    在这里插入图片描述在这里插入图片描述

    5.计算被比较元素对于准则层的相对权重

    方法一:算术平均法
    第一步:将判断矩阵按照列归一化(每一个元素除以其所在列的和)
    第二步:将归一化的各列相加(按行求和)
    第三步:将相加后的得到的向量中每一个元素除以n即可得到权重向量
    MATLAB代码及运行结果:
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    方法二 几何平均法求权重

    第一步:将判断矩阵按照行相乘得到一个新的列向量

    第二步:将新的向量的每一个向量开n次方

    第三步:对该向量进行归一化即可得到权重向量。

    MATLAB代码及运行结果:在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    方法三:特征值法

    假如我们的判断矩阵的一致性可以接受,那么我们可以仿照求一致矩阵权重的求法。

    第一步:求出矩阵A的最大特征值以及它对应的特征向量。

    第二步:对求出的特征向量进行归一化即可得到我们的权重。

    MATLAB代码及运行结果:在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述在这里插入图片描述

    6.计算各层元素对系统目标的合成权重,并进行排序。

    最终的权重为准则层对目标层的权重向量与方案层对准则层的权重向量的乘积。在这里插入图片描述

    05 总结

    • 当对代码中出现的函数不解时,打开帮助查看函数的详细讲解及示例
    • 加强对一致性检验中涉及线性代数的特征向量知识的理解
    • 层次分析模型图用专业绘图软件visio画
    • 通过网络学习别人的代码,将代码跑起来并理解各部分的语义及其所实现功能。
    • 在理解的基础上把别人的代码做进一步修改,加入自己的理解,变成自己的知识。
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层次分析法及其案例分析