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  • 使用层次分析法,获得数学建模国奖的优秀论文的整理合集,非常有用,可以参考。
  • 对学生建模论文的综合评价分析 摘要 本文研究的是五篇建模论文的评价和比较问题。首先,研读分析了五篇论文,...其次,进行综合量化评价,主要运用的方法是层次分析法和模糊综合评判。最后,依据所得权重大小对论文排序。
  • 数学建模层次分析法论文23篇,建模用资料,值得珍藏。
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  • 数学建模论文参考以及各类资料包括在内,值得下载的算好似值,可供大学生建模比赛予以参考
  • 数学建模层次分析法的源程序,输入成对比较矩阵可以得到相应的权重值。层次分析法数学建模的基础方法,也是比较简单易懂易于操作的。程序具有通用性。几乎只要是层次分析法,给出矩阵就可计算。
  • 数学建模层次分析法(AHP)

    万次阅读 多人点赞 2018-09-05 12:03:08
    层次分析法(Analytic Hierarchy Process) AHP是对一些较为复杂的,较为模糊的问题作出决策的简易方法,它特别适用于那些难以完全定量分析的问题。 它是美国运筹学家T.L.Saaty教授于上世纪70年代初期提出的一种...

    层次分析法(Analytic Hierarchy Process)

    AHP是对一些较为复杂的,较为模糊的问题作出决策的简易方法,它特别适用于那些难以完全定量分析的问题。由美国运筹学家T.L.Saaty教授于上世纪70年代初期提出。


    目录

    层次分析法(Analytic Hierarchy Process)

    一、建模步骤

    二、层次结构模型

    三、层次结构分析法的两个权重

    3.1 首先解决第一个问题:每个准则(因素)权重具体应该分配多少?

    3.2 接下来解决第二个问题:每一个候选方案在每一个因素下又应该获得多少权重

    总结

    具体举例与代码

    参考链接


    一、建模步骤

    运用层次分析法建模,大体上可按下面四个步骤进行: 

    • 建立递阶层次结构模型; 
    • 构造出各层次中的所有判断矩阵; 
    • 层次单排序及一致性检验; 
    • 层次总排序及一致性检验。 

    二、层次结构模型

    层次分析法是用来根据多种准则,或是说因素从候选方案中选出最优的一种数学方法

     

    问题结构如图。首先做一个归一处理,给目标层(choose a leader)分配值为1或0,然后将这一值作为权重,分配给不同因素(Age,Experience,Education,Charisma),对应因素的权重大小代表该因素在整个选择过程中的重要性程度。

    之后对于候选方案,每一个标准再将其权重值分配给所有的候选方案,每一方案获得权重值,来源于不同因素分得的权重值的和。最终获得的各个方案的的权重值的和依然为1。

      

    例如选工作时,待遇所占的比重为0.8,有工作1,2,3候选, 如果工作1的待遇最高,工作2的待遇次之,工作3最差,则可将0.8的值按0.4,0.3,0.1分给工作1,2,3。

    三、层次结构分析法的两个权重

    从上文看,这不就是一个简单的权重打分的过程吗?为什么还要层次分析呢。这里就有两个关键问题:

    • 每个准则Criterion的权重具体应该分配多少?
    • 每一个候选方案Alternative在每一个因素下又应该获得多少权重?

    这里便进入层次分析法的第二个步骤,也是层次分析法的一个精华:  构造比较矩阵(判断矩阵)Comparison Matrix

    3.1 第一个问题:每个准则(因素)权重具体应该分配多少?

    如果直接要给各个因素分配权重比较困难,但在不同因素之间两两比较其重要程度是相对容易的

    将不同因素两两作比获得的值aij 填入到矩阵的 i 行 j 列的位置,则构造了所谓的比较矩阵,显然比较矩阵对角线上都是1, 因为是自己和自己比。这个矩阵容易获得,我们如何从这一矩阵获得对应的权重分配呢

    这里需要引入概念,正互反矩阵和一致性矩阵

    正互反矩阵定义:

    我们目前构造出的矩阵很明显就是正互反矩阵。

    一致性矩阵定义:

    这里我们构造出的矩阵就不一定满足一致性,比如我们做因素1:因素2= 4:1  因素2:因素3=2:1    因素1:因素3=6:1(如果满足一致性就应该是8:1),我们就是因为难以确定各因素比例分配才做两两比较的,如果认为判断中就能保证一致性,就直接给出权重分配了。

    一致性矩阵有一个性质可以算出不同因素的比例

    重点:这里的w就是我们想要知道的权重,所以通过求比较矩阵的最大特征值所对应的特征向量,就可以获得不同因素的权重,归一化一下(每个权重除以权重和作为自己的值,最终总和为1)就更便于使用了。

    注:我们给出的比较矩阵一般是不满足一致性的,但是我们还是把它当做一致矩阵来处理,也可以获得一组权重,但是这组权重能不能被接受,需要进一步考量。(即下文的一致性检验)例如在判断因素1,2,3重要性时,可以存在一些差异,但是不能太大,1比2重要,2比3 重要,1和3比时却成了3比1重要,这显然不能被接受。

    一致性检验

    当写出来判断矩阵之后还会存在一个问题,那就是按理来说如果i对j的重要程度是a,j对k的重要程度是b,那么理所应当i对k的重要程度应该a*b,有点符合“传递性”的感觉。但事实上不是这样的。所以需要进行一致性检验,如果在一定的合理范围之内,矩阵不需要修改,如果不在,则需要修改矩阵。

     一致性的检验是通过计算一致性比例CR 来进行的

    当  CR<0.10 时,认为判断矩阵的一致性是可以接受的,否则应对判断矩阵作适当修正。 

    CI的值由判断矩阵计算获得,RI的值查表获得,具体的计算公式这里就略去,重点是理解为什么要做一致性检验。

    3.2 第二个问题:每个候选方案在每个因素下又应该获得多少权重

    这里则需要将不同候选方案,在不同因素下分别比较,具体的比较方法,还是使用比较矩阵,只不过之前准则层的比较矩阵比较的对象是因素,这里比较的是某一因素下,候选方案的优劣。

    注:n个因素则需构造出来n个比较矩阵

    例如在工作环境的因素下,工作1与工作2相比为 :4:2,工作2与工作3=2:1 ,工作1:工作3=6:1,这样构造一个矩阵,再用之前的一致性矩阵的方法就可以求出一个权重,然后相对应因素(这里是工作环境)所拥有的权值就可以按这个权重比例分配给不同候选物或人。

    至此两个问题就都得到了解决。最终将每个候选物、人从不同因素获得的权值求和,就可以得到不同候选对于目标层的权值大小,继而可以根据值的大小,来选出优劣。

    总结

    通过对层次分析法的基本了解,不难发现层次分析法对人们的思维过程进行了加工整理,提出了一套系统分析问题的方法,为科学管理和决策提供了较有说服力的依据。 

    明显的缺点是,整个分析过程似乎都是依赖于人的主观判断思维,一来不够客观,二来两两比较全部人为完成,还是非常耗费精力的,尤其是当候选方案比较多的时候。

     

    具体举例与代码

    有一个毕业生为挑选合适的工作。经双方恳谈,已有三个单位表示愿意录用某毕业生,该毕业生考虑的因素有6个,研究课题、发展前途、待遇、同事情况、地理位置和单位名气。 
    那么这六个因素就是准则层,三个单位就是方案层,最后要求的就是应该去哪个单位。 
    1)准则层判断矩阵(主观性) 

    这里写图片描述

    2)方案层判断矩阵(主观性) 
    这里写图片描述

    分别针对每一个B,判断C1、C2、C3之间的相对大小

    计算的 Matlab 程序如下: 

    clc,clear 
    fid=fopen(‘txt3.txt’,’r’); 
    n1=6;n2=3; 
    a=[]; 
    for i=1:n1 
    tmp=str2num(fgetl(fid)); 
    a=[a;tmp]; %读准则层判断矩阵 
    end 
    for i=1:n1 
    str1=char([‘b’,int2str(i),’=[];’]); 
    str2=char([‘b’,int2str(i),’=[b’,int2str(i),’;tmp];’]); 
    eval(str1); 
    for j=1:n2 
    tmp=str2num(fgetl(fid)); 
    eval(str2); %读方案层的判断矩阵 
    end 
    
    end
    ri=[0,0,0.58,0.90,1.12,1.24,1.32,1.41,1.45]; %一致性指标 
    [x,y]=eig(a); 
    lamda=max(diag(y)); 
    num=find(diag(y)==lamda); 
    w0=x(:,num)/sum(x(:,num)); 
    cr0=(lamda-n1)/(n1-1)/ri(n1) 
    for i=1:n1 
    [x,y]=eig(eval(char([‘b’,int2str(i)]))); 
    lamda=max(diag(y)); 
    num=find(diag(y)==lamda); 
    w1(:,i)=x(:,num)/sum(x(:,num)); 
    cr1(i)=(lamda-n2)/(n2-1)/ri(n2); 
    end 
    cr1, ts=w1*w0, cr=cr1*w0 


    纯文本文件txt3.txt中的数据格式如下: 
    1 1 1 4 1 1/2 
    1 1 2 4 1 1/2 
    1 1/2 1 5 3 1/2 
    1/4 1/4 1/5 1 1/3 1/3 
    1 1 1/3 3 1 1 
    2 2 2 3 3 1 
    1 1/4 1/2 
    4 1 3 
    2 1/3 1 
    1 1/4 1/5 
    4 1 1/2 
    5 2 1 
    1 3 1/3 
    1/3 1 1/7 
    3 7 1 
    1 1/3 5 
    3 1 7 
    1/5 1/7 1 
    1 1 7 
    1 1 7 
    1/7 1/7 1 
    1 7 9 
    1/7 1 1 
    1/9 1 1


    R语言中AHP的应用参考

    https://cran.r-project.org/web/packages/ahpsurvey/vignettes/my-vignette.html

     

    参考与资源

    [1]《数学建模算法与应用》

    [2] https://blog.csdn.net/lengxiao1993/article/details/19575261

    [3]https://blog.csdn.net/fz_851474/article/details/52281849

     

    展开全文
  • 运用概率统计和模糊数学的方法,将学校往年的录取分和考生的原始分转化为标准分,以排除每年考试的难易程度带来分数波动的影响。另外,运用层次分析法将各种因素纳入考虑算出权重。
  • 数学建模-层次分析法

    千次阅读 2019-05-06 10:20:25
    层次分析法原理 相对重要权值的确定 算法步骤 目标层 准则层 方案层 层次分析法解决旅游问题 B1~B5表示 5个属性对于三地的各个重要性 通过层次分析矩阵 得到 各个属性相对于目标的权重。 最终...

    决策

     

    层次分析法原理

    相对重要权值的确定

    算法步骤

    目标层

    准则层

    方案层

    层次分析法解决旅游问题

    B1~B5表示 5个属性对于三地的各个重要性

     

    通过层次分析矩阵 得到 各个属性相对于目标的权重。

    最终得到

    通过b1 A1~A5 Z 得到B1对目标重要性 同理 B2 B3对目标的重要性

    最终选择 B3作为目的地。

     

     

    展开全文
  • 数学建模》之层次分析法

    万次阅读 多人点赞 2016-08-22 23:59:05
    1.层次分析法数学建模数学建模中,通常解决的问题是:“影响某一问题的几个因素的权重大小”、“产生某一问题的主要的因素分析”、“权重的大小分析”。当然在现实生活中的应用也是十分广泛而且一样的不知...

    1.层次分析法与数学建模
    在数学建模中,通常解决的问题是:“影响某一问题的几个因素的权重大小”、“产生某一问题的主要的因素分析”、“权重的大小分析”。当然在现实生活中的应用也是十分广泛而且一样的不知不觉。最简单的就是你想去几个地方旅游,但是要综合考虑时间、金钱、当地的风景、当地的旅游数是否较多等等因素。
    2.层次分析法的基本原理与步骤
    层次分析法( Analytic Hierarchy Process,简称 AHP)是对一些较为复杂、较为模糊的问题作出决策的简易方法,它特别适用于那些难于完全定量分析的问题。直白的说就是那些没有什么数据,基本就是凭空和个人的主观意识让你去选择一个最佳的目标或者判断出对于一个目标,各个因素所占的权重。这样一说,它的优点和缺点也就很明显了:优点就是简单明了,不需要太多数据的处理;缺点就是主观性太强。因此如何尽量客观的两两比较因素之间的相对重要程度就比较重要了。基本上,大家的论文上写的都是”在查阅相关资料后,得到如下判断矩阵”。运用层次分析法建模,大体上可按下面四个步骤进行:
    ( i)建立递阶层次结构模型;
    ( ii)构造出各层次中的所有判断矩阵;
    ( iii)层次单排序及一致性检验;
    ( iv)层次总排序及一致性检验。
    具体来说就是:
    ( i)最高层:这一层次中只有一个元素,一般它是分析问题的预定目标或理想结果,因此也称为目标层。
    ( ii)中间层:这一层次中包含了为实现目标所涉及的中间环节,它可以由若干
    个层次组成,包括所需考虑的准则、子准则,因此也称为准则层。
    ( iii)最底层:这一层次包括了为实现目标可供选择的各种措施、决策方案等,因此也称为措施层或方案层。

    需要注意的是:
    递阶层次结构中的层次数与问题的复杂程度及需要分析的详尽程度有关,一般地
    层次数不受限制。每一层次中各元素所支配的元素一般不要超过 9 个。这是因为支配的元素过多会给两两比较判断带来困难。把三个层次画出来会比较容易理解:

    这里写图片描述

    3.构造判断矩阵
    终于来到了正题,也是最基础和重要的一个环节。层次结构反映了因素之间的关系,但准则层中的各准则在目标衡量中所占的比重并不一定相同,在决策者的心目中,它们各占有一定的比例。所以才会觉得如何判断它们的相对大小很不容易。

    设现在要比较 n 个因子 X = {x1,L, xn} 对某因素 Z 的影响大小, 怎样比较才能提
    供可信的数据呢? Saaty 等人建议可以采取对因子进行两两比较建立成对比较矩阵的办法。即每次取两个因子xi 和 x j ,以 aij 表示 xi 和 x j 对 Z 的影响大小之比,全部比较结果用矩阵A = (aij )n×n 表示,称 A 为 Z − X 之间的成对比较判断矩阵(简称判断矩阵)。容易看出,若xi 与 x j 对 Z 的影响之比为 aij ,则 x j 与 xi 对 Z 的影响之比应为1/aij。
    关于如何确定aij 的值, Saaty 等建议引用数字 1~9 及其倒数作为标度。这里写图片描述
    至于如何分为9个标度,据说是和心理学有关系的。
    4.判断矩阵的一致性检验
    当写出来判断矩阵之后还会存在一个问题,那就是按理来说如果i对j的重要程度是a,j对k的重要程度是b,那么理所应当i对k的重要程度应该a*b,有点符合“传递性”的感觉。但事实上不是这样的。所以需要进行一致性检验,如果在一定的合理范围之内,矩阵不需要修改,如果不在,则需要修改矩阵。我们可以由λmax 是否等于 n 来检验判断矩阵 A 是否为一致矩阵。由于特征根连续地依赖于aij ,故 λmax 比 n 大得越多, A 的非一致性程度也就越严重,λmax 对应的标准化特征向量也就越不能真实地反映出 因素在对目标的影响中所占的比重。因此,对决策者提供的判断矩阵有必要作一次一致性检验,以决定是否能接受它。
    (1)计算一致性指标
    CI=(入-n)/(n-1)

    (2)查找平均随机一致性指标RI
    这里写图片描述

    (3)计算一致性比例
    CR=CI/RI
    当CR < 0.10 时,认为判断矩阵的一致性是可以接受的,否则应对判断矩阵作适当修正
    矩阵符合一致性检验后,可以进行计算了:判断矩阵 A 对应于最大特征值λmax 的特征向量W ,经归一化后即为同一层次相应因素对于上一层次某因素相对重要性的排序权值,这一过程称为层次单排序。
    5、层次总排序及一致性检验
    上面我们得到的是一组元素对其上一层中某元素的权重向量。我们最终要得到各元素,特别是最低层中各方案对于目标的排序权重,从而进行方案选择。总排序权重要自上而下地将单准则下的权重进行合成。
    这里写图片描述

    解释一下,比如A1这一列的b11……bn1,分别表示对于A1这一个目标,b11……bn1的重要程度分布。
    对层次总排序也需作一致性检验,检验仍象层次总排序那样由高层到低层逐层进行。这是因为虽然各层次均已经过层次单排序的一致性检验,各成对比较判断矩阵都已具有较为满意的一致性。但当综合考察时,各层次的非一致性仍有可能积累起来,引起最终分析结果较严重的非一致性。设 B 层中与Aj 相关的因素的成对比较判断矩阵在单排序中经一致性检验,求得单排序一致性指标为CI( j) ,(j = 1,L,m ),相应的平均随机一致性指标为 RI( j)( CI( j)、 RI( j) 已在层次单排序时求得),则 B 层总排序随机一致性比例为这里写图片描述
    6、具体举例及代码
    有一个毕业生为挑选合适的工作。经双方恳谈,已有三个单位表示愿意录用某毕业生,该毕业生考虑的因素有6个,研究课题、发展前途、待遇、同事情况、地理位置和单位名气。
    那么这六个因素就是准则层,三个单位就是方案层,最后要求的就是应该去哪个单位。
    1)准则层判断矩阵(主观性)
    这里写图片描述
    2)方案层判断矩阵(主观性)
    这里写图片描述
    (分别针对每一个B,判断C1、C2、C3之间的相对大小)

    4)计算的 Matlab 程序如下:
    clc,clear
    fid=fopen(‘txt3.txt’,’r’);
    n1=6;n2=3;
    a=[];
    for i=1:n1
    tmp=str2num(fgetl(fid));
    a=[a;tmp]; %读准则层判断矩阵
    end
    for i=1:n1
    str1=char([‘b’,int2str(i),’=[];’]);
    str2=char([‘b’,int2str(i),’=[b’,int2str(i),’;tmp];’]);
    eval(str1);
    for j=1:n2
    tmp=str2num(fgetl(fid));
    eval(str2); %读方案层的判断矩阵
    end
    -173-
    end
    ri=[0,0,0.58,0.90,1.12,1.24,1.32,1.41,1.45]; %一致性指标
    [x,y]=eig(a);
    lamda=max(diag(y));
    num=find(diag(y)==lamda);
    w0=x(:,num)/sum(x(:,num));
    cr0=(lamda-n1)/(n1-1)/ri(n1)
    for i=1:n1
    [x,y]=eig(eval(char([‘b’,int2str(i)])));
    lamda=max(diag(y));
    num=find(diag(y)==lamda);
    w1(:,i)=x(:,num)/sum(x(:,num));
    cr1(i)=(lamda-n2)/(n2-1)/ri(n2);
    end
    cr1, ts=w1*w0, cr=cr1*w0
    纯文本文件txt3.txt中的数据格式如下:
    1 1 1 4 1 1/2
    1 1 2 4 1 1/2
    1 1/2 1 5 3 1/2
    1/4 1/4 1/5 1 1/3 1/3
    1 1 1/3 3 1 1
    2 2 2 3 3 1
    1 1/4 1/2
    4 1 3
    2 1/3 1
    1 1/4 1/5
    4 1 1/2
    5 2 1
    1 3 1/3
    1/3 1 1/7
    3 7 1
    1 1/3 5
    3 1 7
    1/5 1/7 1
    1 1 7
    1 1 7
    1/7 1/7 1
    1 7 9
    1/7 1 1
    1/9 1 1

    展开全文
  • 层次分析法(Analytic Hierarchy Process,简称 AHP)是对一些较为复杂、较为模 糊的问题作出决策的简易方法,它特别适用于那些难于完全定量分析的问题。它是美国运筹学家 T. L. Saaty 教授于上世纪 70 年代初期提出...
  • 数学建模——层次分析法 数学建模:建模+编程+写作 层次分析法 应用:评价类问题 举例:哪种方案最好、谁的表现更优秀。。。 分析问题: (1)评价的目标是什么 (2)有几种方案可以达成目标(方案1、方案2、...

    数学建模——层次分析法

    数学建模:建模+编程+写作

    层次分析法

    应用:评价类问题

    举例:哪种方案最好、谁的表现更优秀。。。

    分析问题:

    (1)评价的目标是什么

    (2)有几种方案可以达成目标(方案1、方案2、方案3、、、、)

    (3)评价的准则or指标是什么

    分析系统中各因素的关系,建立系统的递接层次结构

    目标层

    准则层

    方案层

    (建模论文中要画层次结构图,可以用SmartArt生成)

    怎么查找评价准则or指标?

    (1)从知网等数据库搜索相关文献,借鉴别人的研究方法

    (2)没有文献,小组成员头脑风暴

    (3)互联网搜索别人或者专家的看法

    得到指标1、指标2、指标3、指标4、指标5、、、(不能太多,会影响判断矩阵的一致性)

    确定好指标后,要分析权重

    两个两个指标相互比较,最终根据两两比较的结果来推算权重

    (一次性考虑很多个指标,会考虑不周)

    构造判断矩阵

      指标1 指标2 指标3 指标4 指标5
    指标1          
    指标2          
    指标3          
    指标4          
    指标5          

     

    下面是指标之间比较的量化值(重要值或者满意度)

    因素i比因素j

    量化值

    同等重要

    1

    稍微重要

    3

    较强重要

    5

    强烈重要

    7

    极端重要

    9

    两相邻判断的中间值

    2,4,6,8

    表1

     

    根据表1,得到判断矩阵,记为A,对应元素aij(除了对角元素,其他乱填的,数据要根据查到的资料,事实进行填写)

      指标1 指标2 指标3 指标4 指标5
    指标1  1  1/2  4  3
    指标2  2  1  7
    指标3  1/4  1/7  1  1/2 1/3 
    指标4  1/3 1/5   2  1  1
    指标5  1/3  1/5  3  1  1

    矩阵A特点:

    (1)a_{ij}的含义:与指标 j 相比,指标 i 的重要程度

    (2)i =j,指标相同(对角线元素),同等重要,记为1

    (3)正互反矩阵:a_{ij} >0,且a_{ij} x a_{ji} =1

            一致性矩阵:正互反矩阵满足a_{ij} x a_{jk}  =aik  a_{ik}   (各行(各列)成倍数关系)

           矩阵A为一致矩阵的充要条件:(A为n阶方阵)

        (i)a_{ij} >0

          (ii)a11=a22 =........=ann

          (iii)[ai1,ai2,ai3,.......ain] = ki [a11,a12,a13,.......a1n]

              可知r(A)=1, A的特征值为 tr(A),0,0,0...........0           (n-1个0)

            特征值为  n,0,0,0.....0

        特征值=n,对应特征向量为  k [1/a11,1/a12,.......,1/a1n]T

    n阶正互反矩阵,一致时特征值max = n

            不一致,特征值max > n

    判断矩阵越不一致,最大特征值与n差别越大

    得到判断矩阵后,分析权重:

    判断矩阵必须先进行一致性检验:(不一致现象:出现矛盾之处。例如,方案1中,指标1比2重要,指标1和3一样重要,但是指标2比3重要)

    检验通过,权重才能用

    检验步骤:

    (1)计算一致性指标CI

     

    (2)查找平均随机一致性指标RI

    矩阵阶数

    1

    2

    3

    4

    5

    6

    7

    8

    9

    10

    RI

    0

    0

    0.58

    0.90

    1.12

    1.24

    1.32

    1.41

    1.45

    1.49

     

    (3)计算一致性比例CR

    如果CR<0.1 ,则认为该判断矩阵通过一致性检验,可以接受,否则就要对判断矩阵进行修正。

    往一致矩阵上调整,一致矩阵各行成倍数关系

    一致矩阵计算权重

    方法1:算数平均法求权重

    (1)将判断矩阵按照列归一化(每一个元素除以其所在列的和)

    (2)将归一化的各列相加(按行求和)

    (3)将相加后得到的向量中每个元素除以n

    方法2:几何平均法求权重

    (1)将A的元素按照行相乘,得到一个列向量

    (2)将新的向量的每个分量开n次方

    (3)对该向量进行归一化

    方法3:特征值法求权重

    (1)求出矩阵A的最大特征值以及对应的特征向量

    (2)对求出的特征向量进行归一化

    最后,将三种方法的权重值取平均值(用excel处理更方便)

     

    计算各层元素对系统目标的权重,进行排序

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空空如也

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