1 数学建模的任务分配

（1）数学建模三大块：建模+编程+写作
（2）模型讲解
• 简单例子
• 写作训练

2 简介

层次分析法（The analytic hierarchy process 简称AHP）建模比赛中最基础的模型之一，其主要用于解决评价类问题（例如：选择哪种方案最好、哪位运动员或者员工表现得更优秀）
AHP的主要特点是通过建立递阶层次结构，把人类的判断转化为若干因素两两之间重要度的比较上，从而把难于量化的定性判断转化为可操作的重要度的比较上面。在许多情况下，决策者可以直接使用AHP进行决策，极大的提高了决策的有效性、可靠性和可行性，但其本质是一种思维方式，它把复杂问题分解成多个组成因素，又将这些因素按支配关系分别形成递阶层次结构，通过两两比较但方法确定决策方案相对重要度但总排序。整个过程体现来人类决策思维的基本特征，即分解、判断、综合，克服来其他方法回避决策者主观判断的缺点。

3 模型介绍

3.1 评价类问题

高考毕业了，小明选择去哪个学校
思考问题的思路如下：

3.2 拿到建模问题

优先在知网（万方、百度学术、谷歌学术）上搜一下相关文献
如果没有找到相关文献，则和小组成员来场头脑风暴+在平台上搜索别人或者专家的看法。

3.3 推荐搜索网站

虫部落-快搜
优先级：
• 谷歌搜索
• 微信搜索
• 知乎搜索
例如本题我们可以搜索关键字：
旅游选择因素、根据什么因素来选择旅游景点、旅游景点评价指标。

3.4 确定好指标

3.5 确定指标权重

（1）采用分而治之的思想

问题：一次性考虑五个指标之间的关系，往往考虑不周
解决方法：两两指标进行比较，最终根据两两比较的结果进行推算权重。

（2）分而治之的思想

（3）得到判断矩阵

（4）再对每个指标进行填写判断矩阵

（5）解决判断矩阵中不一致现象

• 先介绍一下什么叫一致矩阵

• 一致矩阵特点：各行和各列成倍数关系

• 一致矩阵的定义

• 一致性检验
原理：检验我们构造的矩阵和一致性矩阵是否有太大的差别

• 一致性检验的步骤

如果一致性检验大于0.1，那就需要修正矩阵。

• 两个小问题

• 计算一致矩阵的权重

（6）计算判断矩阵的权重

方法一：算术平均化求权重

• 算术平均法求权重的步骤：

• 步骤的数学表示（可放到论文中）

方法二：几何平均法

方法三：特征值法求权重

• 将计算结果填入权重表（特征值法最常用）

• 代码实现求权重矩阵

%层次分析代码
disp('请输入判断矩阵A(n阶)');
A=input('A=');
【n,n】=size(A);
x=ones(n,100);
y=ones(n,100);
m=zeros(1,100);
m(1)=max(x(:,1));
y(:,1)=x(:,1);
x(:,2)=A*y(:,1);
m(2)=max(x(:,2));
y(:,2)=x(:,2)/m(2);
p=0.0001;i=2;k=abs(m(2)-m(1));
while k>p
i=i+1;
x(:,i)=A*y(:,i-1);
m(i)=max(x(:,i));
y(:,i)=x(:,i)/m(i);
k=abs(m(i)-m(i-1));
end
a=sum(y(:,i));
w=y(:,i)/a;
t=m(i);
disp('权向量');disp(w);
disp('最大特征值');disp(t);
%以下是一致性检验
CI=(t-n)/(n-1);RI=【0 0 0.52 0.89 1.12 1.26 1.36 1.41 1.46 1.49 1.52 1.54 1.56 1.58 1.59】;
CR=CI/RI(n);
if CR<0.10
disp('此矩阵的一致性可以接受!');
disp('CI=');disp(CI);
disp('CR=');disp(CR);
else
disp('此矩阵的一致性不可以接受!');
end

（7）Excel可以方便计算矩阵权重

F4可以锁定单元格，往后拖动计算公式，那锁定的那个单元格不会变。

4 层次分析法完整建模过程

4.1 第一步-建立层次结构图

生成层次结构图方法
方法一：PPT的SmartArt来生成层次结构图
方法二：专业 画图软件亿图图示(或processon)

4.2 第二步-构造判断矩阵

因为评价矩阵有主观性（能搜资料，参考专家的就参考专家的，没有也不要乱写），在论文撰写时，可以直接给出权重矩阵。例如别人的优秀论文

4.3 第三步-计算判断矩阵相对权重

4.4 第四步-计算合成权重排序

5 层次分析法的局限性

6 模型拓展

（1）层次分析法还适用于最后一层是1对2（这里的2表示大于1小于方案层所有的方案数量），但不是上面举例中1对3（3表示方案层中所有方案数量）

（2）还适用于一个准则对应自己的多个方案。

7 代码实现层次分析法

ccfx_Learn.m

%% 注意：在论文写作中，应该先对判断矩阵进行一致性检验，然后再计算权重，因为只有判断矩阵通过了一致性检验，其权重才是有意义的。
%% 在下面的代码中，我们先计算了权重，然后再进行了一致性检验，这是为了顺应计算过程，事实上在逻辑上是说不过去的。
%% 因此大家自己写论文中如果用到了层次分析法，一定要先对判断矩阵进行一致性检验。
%% 而且要说明的是，只有非一致矩阵的判断矩阵才需要进行一致性检验。
%% 如果你的判断矩阵本身就是一个一致矩阵，那么就没有必要进行一致性检验。
%% 输入判断矩阵
clear;clc
disp('请输入判断矩阵A： ')
% A = input('判断矩阵A=')
A =[1 1 4 1/3 3;
 1 1 4 1/3 3;
 1/4 1/4 1 1/3 1/2;
 3 3 3 1 3;
 1/3 1/3 2 1/3 1]
% matlab矩阵有两种写法，可以直接写到一行:
% [1 1 4 1/3 3;1 1 4 1/3 3;1/4 1/4 1 1/3 1/2;3 3 3 1 3;1/3 1/3 2 1/3 1]
% 也可以写成多行:
[1 1 4 1/3 3;
 1 1 4 1/3 3;
 1/4 1/4 1 1/3 1/2;
 3 3 3 1 3;
 1/3 1/3 2 1/3 1]
% 两行之间以分号结尾（最后一行的分号可加可不加），同行元素之间以空格（或者逗号）分开。
%% 方法1：算术平均法求权重
% 第一步：将判断矩阵按照列归一化（每一个元素除以其所在列的和）
Sum_A = sum(A)
[n,n] = size(A)  % 也可以写成n = size(A,1)
% 因为我们的判断矩阵A是一个方阵，所以这里的r和c相同，我们可以就用同一个字母n表示
SUM_A = repmat(Sum_A,n,1)   %repeat matrix的缩写
% 另外一种替代的方法如下：
    SUM_A = [];
    for i = 1:n   %循环哦，这一行后面不能加冒号（和Python不同），这里表示循环n次
        SUM_A = [SUM_A; Sum_A]
    end
clc;A
SUM_A
Stand_A = A ./ SUM_A
% 这里我们直接将两个矩阵对应的元素相除即可
% 第二步：将归一化的各列相加(按行求和)
sum(Stand_A,2)
% 第三步：将相加后得到的向量中每个元素除以n即可得到权重向量
disp('算术平均法求权重的结果为：');
disp(sum(Stand_A,2) / n)
% 首先对标准化后的矩阵按照行求和，得到一个列向量
% 然后再将这个列向量的每个元素同时除以n即可（注意这里也可以用./哦）
%% 方法2：几何平均法求权重
% 第一步：将A的元素按照行相乘得到一个新的列向量
clc;A
Prduct_A = prod(A,2)
% prod函数和sum函数类似，一个用于乘，一个用于加  dim = 2 维度是行
% 第二步：将新的向量的每个分量开n次方
Prduct_n_A = Prduct_A .^ (1/n)
% 这里对每个元素进行乘方操作，因此要加.号哦。  ^符号表示乘方哦  这里是开n次方，所以我们等价求1/n次方
% 第三步：对该列向量进行归一化即可得到权重向量
% 将这个列向量中的每一个元素除以这一个向量的和即可
disp('几何平均法求权重的结果为：');
disp(Prduct_n_A ./ sum(Prduct_n_A))
%% 方法3：特征值法求权重
% 第一步：求出矩阵A的最大特征值以及其对应的特征向量
clc
[V,D] = eig(A)    %V是特征向量, D是由特征值构成的对角矩阵（除了对角线元素外，其余位置元素全为0）
Max_eig = max(max(D)) %也可以写成max(D(:))哦~
% 那么怎么找到最大特征值所在的位置了？ 需要用到find函数，它可以用来返回向量或者矩阵中不为0的元素的位置索引。
% 那么问题来了，我们要得到最大特征值的位置，就需要将包含所有特征值的这个对角矩阵D中，不等于最大特征值的位置全变为0
% 这时候可以用到矩阵与常数的大小判断运算
D == Max_eig
[r,c] = find(D == Max_eig , 1)
% 找到D中第一个与最大特征值相等的元素的位置，记录它的行和列。
% 第二步：对求出的特征向量进行归一化即可得到我们的权重
V(:,c)
disp('特征值法求权重的结果为：');
disp( V(:,c) ./ sum(V(:,c)) )
% 我们先根据上面找到的最大特征值的列数c找到对应的特征向量，然后再进行标准化。
%% 计算一致性比例CR
clc
CI = (Max_eig - n) / (n-1);
RI=[0 0 0.52 0.89 1.12 1.26 1.36 1.41 1.46 1.49 1.52 1.54 1.56 1.58 1.59];  %注意哦，这里的RI最多支持 n = 15
CR=CI/RI(n);
disp('一致性指标CI=');disp(CI);
disp('一致性比例CR=');disp(CR);
if CR<0.10
    disp('因为CR < 0.10，所以该判断矩阵A的一致性可以接受!');
else
    disp('注意：CR >= 0.10，因此该判断矩阵A需要进行修改!');
end
% % 注意：代码文件仅供参考，一定不要直接用于自己的数模论文中
% % 国赛对于论文的查重要求非常严格，代码雷同也算作抄袭
% % 视频中提到的附件可在售后群（购买后收到的那个有道云笔记中有加入方式）的群文件中下载。包括讲义、代码、优秀的作业、我视频中推荐的资料等。
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% % 视频价格不贵，但价值很高。单人购买观看只需要58元，三人购买人均仅需46元，视频本身也是下载到本地观看的，所以请大家不要侵犯知识产权，对视频或者资料进行二次销售。
% % 如何修改代码避免查重的方法：https://www.bilibili.com/video/av59423231（必看）

8 全国大学生数学建模竞赛论文模版下载

全国大学生数学建模竞赛论文模版下载

1.实现步骤

1. 根据问题中对象的关系，建立目标层、准则层、方案层

将决策的目标、考虑的因素（决策准则）和决策对象按它们之间的相互关系分为最高层、中间层和底层，绘出层次结构图。 最高层是指决策的目的、要解决的问题。 底层是指决策时的备选方案。 中间层是指考虑的因素、决策的准则。对于相邻的两层，称高层为目标层，低层为因素层。

2. 构造比较矩阵

3. 层次单排序（计算权向量）与检验（一致性检验）

对应于判断矩阵最大特征根λ的特征向量，经归一化(使向量中各元素之和等于1)后记为W。W的元素为同一层次因素对于上一层次因素某因素相对重要性的排序权值，这一过程称为层次单排序。能否确认层次单排序，则需要进行一致性检验，所谓一致性检验是指对A确定不一致的允许范围。其中，n阶一致阵的唯一非零特征根为n；n 阶正互反阵A的最大特征根λ≥n，当且仅当λ=n时，A为一直矩阵，由于λ的连续依赖于aij,则λ 比n 大的越多，A的不一致性越严重，一致性指标用CI计算，CI越小，说明一致性越大。用最大特征值对应的特征向量作为被比较因素对上层某因素影响程度的权向量，其不一致程度越大，引起的判断误差越大。因而可以用 λ-n 数值的大小来衡量A 的不一致程度。定义一致性指标为：

CI=0，有完全的一致性；CI 接近于0，有满意的一致性；CI 越大，不一致越严重。

为衡量CI 的大小，引入随机一致性指标 RI：

其中，随机一致性指标RI和判断矩阵的阶数有关，一般情况下，矩阵阶数越大，则出现一致性随机偏离的可能性也越大，其对应关系如表2：

考虑到一致性的偏离可能是由于随机原因造成的，因此在检验判断矩阵是否具有满意的一致性时，还需将CI和随机一致性指标RI进行比较，得出检验系数CR，公式如下：

一般的，如果CR<0.1 ，则认为该判断矩阵通过一致性检验，否则就不具有满意一致性。

4. 层次总排序（组合权向量）与检验（一致性检验）

计算某一层次所有因素对于最高层(总目标)相对重要性的权值，称为层次总排序。这一过程是从最高层次到最低层次依次进行的。

5. 结果分析

2.matlab的代码实现

根据比较矩阵，得到权值向量

function w=AHPfindweight(A)
[~,n]=size(A);%求阶数
%% 求解最大特征值与特征向量
[V,D]=eig(A);%V是特征向量矩阵，D是特征值的对角矩阵
rvs=max(D);%特征值向量
r=max(rvs);%最大特征值
cl=find(D==r);%最大特征值所在列
rv=V(:,cl);%特征向量
%% 致性检验
CI=(r-n)/(n-1);
RI=[0 0 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.49 1.52 1.54 1.56 1.58 1.59];
CR=CI/RI(n);
if CR<0.10
    CR_Result='通过';
else
    CR_Result='不通过';
end
%% 权值向量
w=V(:,cl)/sum(V(:,cl));
%% 结果输出
disp('判断矩阵A的权向量计算报告：');
disp(['一致性指标CI:' num2str(CI)]);
disp(['一致性比例CR:' num2str(CR)]);
disp(['一致性检验结果:' CR_Result]);
disp(['特征值r:' num2str(r)]);
disp(['权向量w:' num2str(w')]);

3.实例：职员晋升

4.总结

优点：

它完全依靠主观评价做出方案的优劣排序，所需数据量少，决策花费的时间很短。从整体上看，AHP在复杂决策过程中引入定量分析，并充分利用决策者在两两比较中给出的偏好信息进行分析与决策支持，既有效地吸收了定性分析的结果，又发挥了定量分析的优势，从而使决策过程具有很强的条理性和科学性，特别适合在社会经济系统的决策分析中使用。

缺点：

用AHP进行决策主观成分很大。当决策者的判断过多地受其主观偏好影响，而产生某种对客观规律的歪曲时，AHP的结果显然就靠不住了。

适用范围：

尤其适合于人的定性判断起重要作用的、对决策结果难于直接准确计量的场合。要使AHP的决策结论尽可能符合客观规律，决策者必须对所面临的问题有比较深入和全面的认识。另外，当遇到因素众多，规模较大的评价问题时，该模型容易出现问题，它要求评价者对问题的本质、包含的要素及其相互之间的逻辑关系能掌握得十分透彻，否则评价结果就不可靠和准确。

对一些定性因素的评价有较好的效果；但如果某一层的因素超过9个，将会给计算过程带来较大负担，不宜使用本方法，而且比较矩阵的确定过于强调主观性，在实际问题中，应优先使用客观的方法。

改进

(1) 成对比较矩阵可以采用德尔菲法获得。
(2) 如果评价指标个数过多（一般超过9个），利用层次分析法所得到的权重就有一定的偏差，继而组合评价模型的结果就不再可靠。可以根据评价对象的实际情况和特点，利用一定的方法，将各原始指标分层和归类，使得每层各类中的指标数少于9个。

评价类问题

1. 目标
2. 为了达到这个目标的方案
3. 评价方案的准则

该问题思路

选出相关指标，求各个指标之间的权重 和 对某个指标而言各个选择权重(分而治之思想)

将所选择的指标两两比较，根据比较结果求权重

1. 两两比较指标的重要程度(注意比较时不要发生逻辑不一致)：
   
2. 得到判断矩阵(正互反矩阵)：
   
   例如：
   问题：从苏杭，北戴河，桂林选择一个地方旅行
   评判指标： 景色 花费 居住 饮食 交通
   
3. 一致矩阵
   各行(各列)成 倍数关系 且 为判断阵
   

• 注意在使用判断矩阵求权重前，一定要进行一致性检验。

4. 进行一致性检验：.
   步骤：
   
   当$CR>=0.1$按照每行(列)比例进行调整（一致矩阵每行(列)比例相同）
5. 求各个指标的权重
   法一：
   算术平均法求权重
   
   对于一致性矩阵，可以忽略第三步
   法二：
   几何平均法
   
   法三：
   特征值法求权重 （使用最多）
   

计算每个方案的得分

例如：

层次分析法

层次分析法第一步 — 层次结构图

层次分析法第二步 — 构造判断矩阵

层次分析法第三步 — 一致性检验

由判断矩阵计算相对权重，并进行一致性检验

层次分析法局限性

当决策层指标数据已知时而不是通过主观给出时，需要使用： 优劣解距离法(Topsis模型)

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参考资料：数学建模清风视频