1. 算法简介
层次分析法（AHP）是美国运筹学家萨蒂于上世纪70年代初，为美国国防部研究“根据各个工业部门对国家福利的贡献大小而进行电力分配”课题时，应用网络系统理论和多目标综合评价方法，提出的一种层次权重决策分析方法。

层次分析法是一种解决多目标的复杂问题的定性与定量相结合的决策分析方法。该方法将定量分析与定性分析结合起来，用决策者的经验判断各衡量目标之间能否实现的标准之间的相对重要程度，并合理地给出每个决策方案的每个标准的权数，利用权数求出各方案的优劣次序，比较有效地应用于那些难以用定量方法解决的课题。
2. 算法基本原理
例子：


2.1. 解决问题的思路
层次分析法的基本思路是将所要分析的问题层次化；根据问题的性质和所要达成的总目标，将问题分解为不同的组成因素，并按照这些因素的关联影响及其隶属关系，将因素按不同层次凝聚组合，形成一个多层次分析结构模型；最后，对问题进行优劣比较并排列。
2.2. 层次分析法的步骤
1.建立层次结构模型

将决策的目标、考虑的因素（决策准则）和决策对象按照他们之间的相互关系分为最高层、中间层和最低层，绘出层次结构图。
最高层： 决策的目的、要解决的问题。

最低层： 决策时的备选方案。

中间层： 考虑的因素、决策的准则。
对相邻的两层，称高层为目标层，低层为因素层。


层次分析法所要解决的问题是关于最低层对最高层的相对权重的问题，按此相对权重可以对最低层中的各种方案、措施进行排序，从而在不同的方案中做出选择或形成选择方案的原则。

2.构造判断矩阵

层次分析法中构造判断矩阵的方法是一致矩阵法，即：不把所有因素放在一起比较，而是两两相互比较；对此时采用相对尺度，以尽可能减少性质不同因素相互比较的困难，以提高准确度。

判断矩阵$a_{ij}$的标度方法




标度
含义




1
表示两个因素相比，具有同样重要性


3
表示两个因素相比，一个因素比另一个因素稍微重要


5
表示两个因素相比，一个因素比另一个因素明显重要


7
表示两个因素相比，一个因素比另一个因素强烈重要


9
表示两个因素相比，一个因素比另一个因素极端重要


2,4,6,8
上述两相邻判断的中值


倒数
因素$i$于$j$比较的判断$a_{ij}$，则因素$j$与$i$比较的判断$a_{ji}=1/a_{ij}$



3.层次单排序及其一致性检验

对应于判断矩阵最大特征根$\lambda max$的特征向量，经归一化（使向量中各元素之和为1）后记为$W$。$W$的元素为同一层次元素对于上一层因素某因素相对重要性的排序权值，这一过程称为层次单排序。

定义一致性指标$CI=\frac {\lambda-n}{n-1}$：

$CI=0$,有完全的一致性；

$CI$接近于0，有满意的一致性；

$CI$越大，不一致越严重。

为了衡量$CI$的大小，引入随机一致性指标$RI$

随机一致性指标RI




n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11




RI
0
0
0.58
0.90
1.12
1.24
1.32
1.41
1.45
1.49
1.51



定义一致性比率：$CR=\frac{CI}{RI}$，一般认为一致性比率$CR<0.1$时，认为A的不一致程度在容许范围之内，有满意的一致性，通过一致性检验。可用其归一化特征向量作为权向量，否则要重新构造成对比较矩阵A，对$a_{ij}$加以调整。
示例：


4.层次总排序及其一致性检验

计算某一层次所有因素对于最高层（总目标）相对重要性的权值，称为层次总排序。
这一过程是从最高层次到最低层次依次进行的。



A层$m$个因素$A_{1},A_{2},···,A_{m},$对总目标Z的排序为$a_{1},a_{2},···,a_{m}$。

B层$n$个因素对上层A中因素为$A_{j}$的层次单排序为$b_{1j},b_{2j},···,b_{nj}(j=1,2,3,···,m)$。


B层的层次总排序(即B层第$i$个因素对总目标的权值为：$\sum_{j=1}^{m}a_{j}b_{ij}$)为：

$B_{1}:a_{1}b_{11}+a_{2}b_{12}+···+a_{m}b_{1m},$

$B_{2}:a_{1}b_{21}+a_{2}b_{22}+···+a_{m}b_{2m},$

$···$

$B_{n}:a_{1}b_{n1}+a_{2}b_{n2}+···+a_{m}b_{nm},$

层次总排序的一致性比率为:$CR=\frac{a_{1}CI_{1}+a_{2}CI_{2}+···+a_{m}CI_{m}}{a_{1}RI_{1}+a_{2}RI_{2}+···+a_{m}RI_{m}}$,当$CR<0.1$时，认为层次总排序通过一致性检验。

例子：


3.算法总结

应用领域：经济计划个管理，能源政策和分配，人才选拔和评价，生产决策，交通运输，科研选题，产业结构，教育，医疗，环境，军事等。
处理问题类型：决策、评价、分析、预测等。
建立层次分析结构模型是关键一步，要有主要决策层参与。
构造成对比较矩阵是数量依据，应由经验丰富、判断力强的专家给出。

4.参考

层次分析法建模——《百度文库》

层次分析法
一、评价模型
1.层次分析法
1.1 步骤分析
1.2 应用难点
1.3 局限性

一、评价模型
1.层次分析法
1.1 步骤分析
step1	：确定一下三个问题

①	评价的目标？

②	为了达到该目标有哪些可选方案？

③	评价的准则或指标？
注：一般而言，①②可直接观察，填表得数据，③需要根据题目背景，常识认知进行搜集材料（知网、万方、百度学术、谷歌学术、知乎、虫部落-快搜（https://search.chongbuluo.com/）等），筛选最合适的指标。
step2	：分析系统中各因素之间的关系，建立系统的递阶层次结构模型（最高层，中间层，最底层）

注：递阶层次结构中的层次数与问题的复杂程度与详尽程度有关，一般层次数不受限制，一般不超过9个，应用AHP分析决策问题时，将问题条理化、层次化，构造出一个有层次的结构模型。上一层次元素作为准则对下一层次有关元素起支配作用。
Eg：



step3	：构造判断矩阵（同一层各元素关于上一层中某一准则的重要性进行两两比较，构造判断矩阵）




标   度
含            义




1
表示两个元素相比，具有相同重要性


3
表示两个元素相比，前者比后者稍重要


5
表示两个元素相比，前者比后者明显重要


7
表示两个元素相比，前者比后者强烈重要


9
表示两个元素相比，前者比后者极端重要


2，4，6，8
表示上述相邻判断中间值


倒数
后者与前者相比：$a_{ji}=\dfrac{1}{a_{ij}}$


Eg：




O
C1
C2
C3
C4
C5




C1
1
1/2
4
3
3


C2
2
1
7
5
5


C3
1/4
1/7
1
1/2
1/3


C4
1/3
1/5
2
1
1


C5
1/3
1/5
3
1
1


注：一般作$\frac{n*(n-1)}{2}$次两两判断是有必要的，可以提供更多信息，通过各种不同角度进行反复比较，导出一个合理的排序。
step4	：层次单排序及一致性检验（由判断矩阵计算被比较元素对于该准则的相对权重，并进行一致性检验，验证通过，权重才能用）

一致矩阵 不需要进行一致性检验，只有非一致性的判断矩阵才需进行一致性检验。

判断矩阵 A对应于最大特征值 λ_max的特征向量W，经过归一化后为同一层次相应因素对于上一层某因素相对重要性的排序权值，这一过程称为层次单排序。

·对判断矩阵一致性检验步骤：
a)	计算一致性指标CI:
$CI=\dfrac{\lambda_{max}-n}{n-1}$
b)	查找相应的平均随机一致性指标RI:




n
1
2
3
4
5
6
7
8
9




RI
0
0
0.58
0.90
1.12
1.24
1.32
1.41
1.45


注：实际运用中，n很少超过10，若指标个数大于10，可考虑建立二级指标体系，或模糊综合评价模型。
c)	计算一致性比例CR:
$CR=\dfrac{CI}{RI}$
注：若CR<0.1，则可认为判断矩阵的一致性可接受，否则需进行修正（向一致矩阵调整）。
计算权重的方法：

a)	算术平均法

b)	几何平均法

c)	特征值法

注：书写论文时，应先进行一致性检验，后再计算权重，最好使用三种方法计算，为保证结果的稳健性。
step5	：根据权重矩阵计算得分，进行排序。
1.2 应用难点
a)	如何根据实际情况抽象出较为贴切的层次结构模型。

b)	如何将某些特性的量作为较接近实际定量化处理。
1.3 局限性
a)	评价的决策层不可太多，n过大，判断矩阵和一致性矩阵差异可能会太大。

b)	主观因素影响较大，过于依赖人们的经验，最多可以排除思维过程中较为严重的非一致性，无法排除决策者个人可能存在的严重片面性

c)	误差较大，无法适用于精度要求较高的一些决策问题。

本系列参考清风老师的数学建模课程

层次分析法模型
一、模型介绍
（一）模型引入
对于方案选择类问题，评价类问题采用层次分析法（The ayalytic hierarchy process / AHP）模型进行评分，之后评分高的就是最佳方案。
（二）模型详解
（1）建立层次结构

分析系统中各因素之间的关系，建立系统的递阶层次结构。

该层次结构分为：

1.目标层（Objective）

回答问题：评价目标是什么？

2.准则层（Criterion）

回答问题：评价指标是什么？

3.方案层（Plan）

回答问题：可选方案是什么？

将其绘制成层次清晰的示意图。
（2）构造判断矩阵

针对于准则层构造一个判断矩阵。

若有n个可选方案，则可以构造n个判断矩阵。

参考填表的准则：




标度
含义




1
两个因素相比具有同等重要性


3
一个因素比另一个因素稍微重要


5
一个因素比另一个因素明显重要


7
一个因素比另一个因素强烈重要


9
一个因素比另一个因素极端重要


2、4、6、8
介于奇数之间重要性


倒数
与之对应


填写判断矩阵的数据一定要有材料支撑。
（3）一致性检验

原理：检验我们构造的判断矩阵和一致矩阵是否有太大差别（定量角度）。

若正互反矩阵中的元素有性质：$a_{ij}×a_{jk}=a_{ik}$则可以成为一致矩阵。（换句话说就是上下两行必须是成倍数的关系）

但在绝大多数情况下成为严格的一致矩阵不太可能，因此可以规定某个偏离范围，即使偏了一点也行，但不能偏太大，就有了一致性检验。（这块直接跑现成的程序出结果就行了，不介绍计算过程了）

一致性检验的通用步骤为：

1.计算一致性指标CI

$CI=\frac {\lambda_{max}-n}{n-1}$

2.查找对应的平均随机一致性指标RI

3.计算一致性比例CR

$CR=\frac {CI}{RI}$

4.判断CR是否<0.1，若是则认为一致性可以被接受，否则需要调整判断矩阵。
（4）求指标权重

求解指标权重时需要通过一致性检验，通过后就可以求出了，一共有三种求法。
1.算术平均法求权重

step1:将判断矩阵按照列归一化。

step2:将归一化的各列相加。

step3:将相加后得到的向量中每个元素除以n即可得到权重向量。
2.几何平均法求权重

step1:将判断矩阵元素按照行相乘得到一个新的列向量。

step2:将新的向量的每个分量开n次方。

step3:对该列向量进行归一化即可得到权重向量。
3.特征值法求权重

step1:求出判断矩阵的最大特征值以及其对应的特征向量。

step2:对求出的特征向量进行归一化即可得到权重。
（5）计算得分

每一个方案的任意评价指标最终得分=该评价指标在准则层的权重×方案在方案层的权重。

因此任意一个方案的最终得分=各项评价指标之和。
（三）模型举例
（1）举例

从苏杭、北戴河和桂林三个中选择一个作为旅游目的地。
（2）思路

本题属于方案选择类问题，因此使用层次分析法进行分析，考虑以下重要问题：

1.评价目标（目标层）？选择最佳旅游目的地。

2.评价指标（准则层）？（查阅资料后）景点景色、旅游花费、居住环境、饮食情况、交通便利程度。

3.可选方案（方案层）？苏杭、北戴河、桂林。

由以上思路可以得出下图：


（3）整理

设计数据表格，参考层次分析法的通用表格：





指标权重
方案1
方案2
…




指标1






指标2






指标3






…






将以上思路内容填入上述通用表格中：





指标权重
苏杭
北戴河
桂林




景色






花费






居住






饮食






交通






解释：指标权重表示各个指标在准则层所占的权重大小值，而之后则代表该指标在方案层所占的权重大小值，因此若要最终评分，一定是准则层（Criterion）中指标权重×方案层（Plan）中指标权重得到最终得分。
（4）数据

之后就可以填写这张表格了。
step1:填写准则层判断矩阵：





景色
花费
居住
饮食
交通




景色
1
$\frac 12$
4
3
3


花费
2
1
7
5
5


居住
$\frac 14$
$\frac 17$
1
$\frac 12$
$\frac 13$


饮食
$\frac 13$
$\frac 15$
2
1
1


交通
$\frac 13$
$\frac 15$
3
1
1


解释：比如对于第三行第四列的单元格数据可以解释为花费比居住强烈重要。
step2:填写五个方案层判断矩阵：




（景色）
苏杭
北戴河
桂林




苏杭
1
2
5


北戴河
$\frac 12$
1
2


桂林
$\frac 15$
$\frac 12$
1






（花费）
苏杭
北戴河
桂林




苏杭
1
$\frac 13$
$\frac 18$


北戴河
3
1
$\frac 13$


桂林
8
3
1






（居住）
苏杭
北戴河
桂林




苏杭
1
1
3


北戴河
1
1
3


桂林
$\frac 13$
$\frac 13$
1






（饮食）
苏杭
北戴河
桂林




苏杭
1
3
4


北戴河
$\frac 13$
1
1


桂林
$\frac 14$
1
1






（交通）
苏杭
北戴河
桂林




苏杭
1
1
$\frac 14$


北戴河
1
1
$\frac 14$


桂林
4
4
1


step3:填好表格后开始进行一致性检验。
1.检验准则层判断矩阵：
一致性指标CI=

0.0180

一致性比例CR=

0.0161

因为CR<0.10，所以该判断矩阵A的一致性可以接受!
2.检验方案层判断矩阵：
一致性指标CI=0.0028

一致性比例CR=0.0053

因为CR<0.10，所以该判断矩阵A的一致性可以接受!
一致性指标CI=7.7081e-04

一致性比例CR=0.0015

因为CR<0.10，所以该判断矩阵A的一致性可以接受!
一致性指标CI=-4.4409e-16

一致性比例CR=-8.5402e-16

因为CR<0.10，所以该判断矩阵A的一致性可以接受!
一致性指标CI=0.0046

一致性比例CR=0.0088

因为CR<0.10，所以该判断矩阵A的一致性可以接受!
一致性指标CI=0

一致性比例CR=0

因为CR<0.10，所以该判断矩阵A的一致性可以接受!

可以发现之前所有判断矩阵均通过了一致性检验。（若有没通过的判断矩阵需要对其中元素进行修改直到通过检验为止）
step4:计算各项指标对应的权重，有三种计算方法，最好三种方法取平均值，也可只采纳特征值法所算出的数据。（这块直接跑现成的程序出结果就行了，不介绍计算过程了）
填入数据：





指标权重
苏杭
北戴河
桂林




景色
0.2636
0.5954
0.2764
0.1283


花费
0.4758
0.0819
0.2363
0.6817


居住
0.0538
0.4286
0.4286
0.1429


饮食
0.0981
0.6337
0.1919
0.1744


交通
0.1087
0.1667
0.1667
0.6667


（5）结论

计算各个方案的最终得分。（这块Excel拉表出结果）

苏杭：0.299

北戴河：0.245

桂林：0.455
结论：桂林得分最高，因此选择去桂林。
二、模型实现
本模型采用多种软件实现。
（1）层次分析模型示意图

采用Office自带的SmartArt绘图。



（2）判断矩阵一致性检验代码
A=input('判断矩阵：')
clc;
[n,n]=size(A);
[X,Y]=eig(A);
lambda_max=max(Y(:));
CI=(lambda_max-n)/(n-1);
RI=[0 0 0.52 0.89 1.12 1.26 1.36 1.41 1.46 1.49 1.52 1.54 1.56 1.58 1.59];
CR=CI/RI(n);
disp('CI=');disp(CI);
disp('RI=');disp(CR);
if CR<0.1
    disp('可以接受！');
else
    disp('需要修改！');
end

（3）算术平均法求权重代码
A=input('判断矩阵：');
Sum=sum(A);
[n,n]=size(A);
Sum=repmat(Sum,n,1);
clc;
res=A./Sum;
disp('结果1：');
disp(sum(res,2)/n);

（4）几何平均法求权重代码
A=input('判断矩阵：');
Pro=prod(A,2);
Res=Pro.^(1/n);
disp('结果2：');
disp(Res/sum(Res));

（5）特征值法求权重代码
A=input('判断矩阵：');
[X,Y]=eig(A);
lambda_max=max(Y(:));
Y==lambda_max;
[x,y]=find(Y==lambda_max,1);
X(:,y);
disp('结果3：');
disp(X(:,y)./sum(X(:,y)));

（6）为方案评分

此处将数据导入到Excel表中，按F4锁定第一行作为乘数拉表计算。
三、模型应用
（一）题目描述
近年来，电动汽车在世界各国的生产和销售发展势头猛烈。这一方面与各国政府的大力扶持有关系，另一方面也与电动汽车本身的一些特定优势有关，比如充电而非耗油、运行耗能低等。不考虑牌照限制等问题，建立数学模型解决如下问题：

从用户的角度出发，比较电动汽车和燃油汽车的总体拥有成本。
一对年龄在 25 岁左右的年轻夫妇，参加工作不久，都在一家杭州软件公司工作，目前家庭年收入 20 万元，没有房产。考虑日常通勤、周末和假期出游等需求，他们准备

买一辆 15 万元左右的车。帮他们决定该买电动车还是燃油车。

（二）模型实战
第一问是有一个对应的总体拥有成本的公式，通过查阅各大网站或者书籍资料可得到公式中对应的参数值，从而计算出对应的总体拥有成本。（可能会用到Excel）没有模型。
第二问给了一个具体的场景，并且属于评价决策类问题，使用AHP层次分析法再合适不过了。于是按照AHP流程走。

参考一等奖论文思路

（1）建立层次结构（考虑五种准则，在这块可以变）



（2）构造判断矩阵（忽略计算与检验过程）

支撑材料1：

一对年龄在 25 岁左右的年轻夫妇，参加工作不久，都在一家杭州软件公司工作，目前家庭年收入 20 万元，没有房产。考虑日常通勤、周末和假期出游等需求，他们准备买一辆 15 万元左右的车。帮他们决定该买电动车还是燃油车。
总结信息：收入中等，工作频繁，闲暇时间不多。

1、使用成本时第一个要考虑的因素，不能负担不起。

2、通勤时使用车辆的第一理由。

3、很少有假期，因此驾车远游不重要。
目标层-准则层判断矩阵：




准则层-方案层判断矩阵：

支撑材料2：

通过查阅资料可得出年使用成本公式

$AAC=PT+CI+M+F_i+MVI+VV$

根据具体情况查阅对应指标的值可得到：



如果有一个年使用成本占总生活支出比例就更加直观了，因此也可以查阅资料求出对应比例。
总结信息：年使用成本上，与燃油车相比，电动车具有明显的令人满意程度。





支撑材料3：

通过查阅资料可以得到通勤主要成本



同时根据常识可知在路上不开车等候更费油。
总结信息：通勤上，与燃油车相比，电动车具有强烈的令人满意程度。




支撑材料4：

与通勤情况类似。满足“短距离低速”特点。





支撑材料5：

电动车长距离开车要充电，然而查阅资料（摆上地图之类的）可知充电桩都在繁华地带，造成充电不方便。
总结信息：可知在燃料费上，与燃油车相比，电动车具有强烈的令人满意程度。




支撑材料6：

通过查阅资料将两种类型的车（一定注意控制变量，比如价格不能相差太远）的性能指标罗列出来逐一对比，可以自己设定一套定量评分规则，进而最终确定性能判断矩阵。
总结信息：在车身性能上，与电动车相比，燃油车具有明显的令人满意程度。




（3）评价方案

逐一填入对应权重：



由此得出最终结论：
1、方案E1权重为0.4155

2、方案E2权重为0.5845

故购买电动车（E2）更合适。
（三）总结思考
1、分析由层次分析法得到各项评价指标权重，并从实际意义进行评价。比如说：通过层次分析法得出的权重值，XXX的权重最大，这也符合XXX的实际功能/实际意义…
2、模型评价：利用层次分析法决定XXX使得评价具有一定的客观性、准确性，避免了过于偏重某个需求而忽略其他的需求。但在给予各个准则相应的权重以及比较XXX的各个指标时不可避免地带有一定的主观性，使得评价结果的客观性及准确性降低。
3、模型贡献：通过层次分析法计算各项指标权重，总结出了XXX控制的重点因素，为XXX提供了明确的数据指导，为XXX指明了未来发展的重点方向与道路。

层次分析法
简介
适合解决的问题类型
解决问题的步骤
第一步
如何确定系统因素之间的关系？
第二步
第三步
一致性检验
如何计算权重？
第四步


该方法总结自清风老师的视频，之后做作业，有了自己的感悟，再把例子加上和本文的理论结合（给自己挖个坑）

第一次发博客，有些小激动~欢迎大家和我讨论交流！

简介
层次分析法是指将一个复杂的多目标决策问题作为一个系统，将目标分解为多个目标或准则，进而分解为多指标（或准则、约束）的若干层次，通过定性指标模糊量化方法算出层次单排序（权数）和总排序，以作为目标（多指标）、多方案优化决策的系统方法
适合解决的问题类型
适合于具有分层交错评价指标的目标系统，而且目标值又难于定量描述的决策问题
解决问题的步骤
第一步

分析系统中各因素之间的关系，建立系统的递阶层次结构.

如何确定系统因素之间的关系？

1.目标：评价类问题要达到的目的？

2.方案：达到目的可选择的方案？

3.准则：评价过程中的指标？


第二步

对于同一层次的各元素关于上一层次中某一准则的重要性进行两两比较，构造两两比较矩阵（判断矩阵）


1.计算准则间的权重

两两比较时重要程度的衡量：

构造出n*n的判断矩阵的特点：

判断矩阵要符合基本的逻辑，其矩阵应属于（或接近）一致矩阵，一致矩阵的特点：
且各行（各列）之间成倍数关系。

第三步

由判断矩阵计算被比较元素对于该准则的相对权重，并进行一致性检验（检验通过权重才能用）


在进行判断矩阵求权重前，一定要进行一致性检验！若矛盾过大，则判断矩阵会失效

一致性检验



一致性检验的步骤：


如何计算权重？





第四步

根据权重矩阵计算得分，并进行排序