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  • 8.1 预备知识 8.2 层次分析法建模的基本步骤 8.3 层次分析法建模的应用实例
  • 层次分析法应用案例

    2013-08-23 15:40:00
    层次分析法应用案例是关于层次分析的案例,有很多,很有用,下载看看吧
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  • 层次分析法(AHP)详细步骤

    万次阅读 多人点赞 2019-01-07 13:01:10
    1. 算法简介 层次分析法(AHP)是美国运筹学家萨蒂于上世纪70年代初,为美国国防部研究“根据各个工业部门对国家福利的贡献大小而进行电力分配”课题时,应用网络系统理论和多目标综合评价方法,提出的一种层次权重...

    1. 算法简介

    层次分析法(AHP)是美国运筹学家萨蒂于上世纪70年代初,为美国国防部研究“根据各个工业部门对国家福利的贡献大小而进行电力分配”课题时,应用网络系统理论和多目标综合评价方法,提出的一种层次权重决策分析方法。
    层次分析法是一种解决多目标的复杂问题的定性与定量相结合的决策分析方法。该方法将定量分析与定性分析结合起来,用决策者的经验判断各衡量目标之间能否实现的标准之间的相对重要程度,并合理地给出每个决策方案的每个标准的权数,利用权数求出各方案的优劣次序,比较有效地应用于那些难以用定量方法解决的课题。

    2. 算法基本原理

    例子:
    在这里插入图片描述

    2.1. 解决问题的思路

    层次分析法的基本思路是将所要分析的问题层次化;根据问题的性质和所要达成的总目标,将问题分解为不同的组成因素,并按照这些因素的关联影响及其隶属关系,将因素按不同层次凝聚组合,形成一个多层次分析结构模型;最后,对问题进行优劣比较并排列。

    2.2. 层次分析法的步骤

    1.建立层次结构模型

    • 将决策的目标、考虑的因素(决策准则)和决策对象按照他们之间的相互关系分为最高层、中间层和最低层,绘出层次结构图。
    • 最高层: 决策的目的、要解决的问题。
      最低层: 决策时的备选方案。
      中间层: 考虑的因素、决策的准则。
    • 对相邻的两层,称高层为目标层,低层为因素层

    层次分析法所要解决的问题是关于最低层对最高层的相对权重的问题,按此相对权重可以对最低层中的各种方案、措施进行排序,从而在不同的方案中做出选择或形成选择方案的原则。

    2.构造判断矩阵
    层次分析法中构造判断矩阵的方法是一致矩阵法,即:不把所有因素放在一起比较,而是两两相互比较;对此时采用相对尺度,以尽可能减少性质不同因素相互比较的困难,以提高准确度。

    判断矩阵aija_{ij}的标度方法

    标度 含义
    1 表示两个因素相比,具有同样重要性
    3 表示两个因素相比,一个因素比另一个因素稍微重要
    5 表示两个因素相比,一个因素比另一个因素明显重要
    7 表示两个因素相比,一个因素比另一个因素强烈重要
    9 表示两个因素相比,一个因素比另一个因素极端重要
    2,4,6,8 上述两相邻判断的中值
    倒数 因素iijj比较的判断aija_{ij},则因素jjii比较的判断aji=1/aija_{ji}=1/a_{ij}

    3.层次单排序及其一致性检验
    对应于判断矩阵最大特征根λmax\lambda max的特征向量,经归一化(使向量中各元素之和为1)后记为WWWW的元素为同一层次元素对于上一层因素某因素相对重要性的排序权值,这一过程称为层次单排序

    定义一致性指标CI=λnn1CI=\frac {\lambda-n}{n-1}
    CI=0CI=0,有完全的一致性;
    CICI接近于0,有满意的一致性;
    CICI越大,不一致越严重。

    为了衡量CICI的大小,引入随机一致性指标RIRI

    随机一致性指标RI
    n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
    RI 0 0 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.49 1.51

    定义一致性比率:CR=CIRICR=\frac{CI}{RI},一般认为一致性比率CR<0.1CR<0.1时,认为A的不一致程度在容许范围之内,有满意的一致性,通过一致性检验。可用其归一化特征向量作为权向量,否则要重新构造成对比较矩阵A,对aija_{ij}加以调整。

    示例:
    在这里插入图片描述在这里插入图片描述

    4.层次总排序及其一致性检验

    • 计算某一层次所有因素对于最高层(总目标)相对重要性的权值,称为层次总排序。
    • 这一过程是从最高层次到最低层次依次进行的。
      在这里插入图片描述
      A层mm个因素A1,A2,,Am,A_{1},A_{2},···,A_{m},对总目标Z的排序为a1,a2,,ama_{1},a_{2},···,a_{m}
      B层nn个因素对上层A中因素为AjA_{j}的层次单排序为b1j,b2j,,bnj(j=1,2,3,,m)b_{1j},b_{2j},···,b_{nj}(j=1,2,3,···,m)

    B层的层次总排序(即B层第ii个因素对总目标的权值为:j=1majbij\sum_{j=1}^{m}a_{j}b_{ij})为:
    B1:a1b11+a2b12++amb1m,B_{1}:a_{1}b_{11}+a_{2}b_{12}+···+a_{m}b_{1m},
    B2:a1b21+a2b22++amb2m,B_{2}:a_{1}b_{21}+a_{2}b_{22}+···+a_{m}b_{2m},
    ···
    Bn:a1bn1+a2bn2++ambnm,B_{n}:a_{1}b_{n1}+a_{2}b_{n2}+···+a_{m}b_{nm},

    层次总排序的一致性比率为:CR=a1CI1+a2CI2++amCIma1RI1+a2RI2++amRImCR=\frac{a_{1}CI_{1}+a_{2}CI_{2}+···+a_{m}CI_{m}}{a_{1}RI_{1}+a_{2}RI_{2}+···+a_{m}RI_{m}},当CR<0.1CR<0.1时,认为层次总排序通过一致性检验。
    例子:
    在这里插入图片描述在这里插入图片描述

    3.算法总结

    • 应用领域:经济计划个管理,能源政策和分配,人才选拔和评价,生产决策,交通运输,科研选题,产业结构,教育,医疗,环境,军事等。
    • 处理问题类型:决策、评价、分析、预测等。
    • 建立层次分析结构模型是关键一步,要有主要决策层参与。
    • 构造成对比较矩阵是数量依据,应由经验丰富、判断力强的专家给出。

    4.参考

    1. 层次分析法建模——《百度文库》
    展开全文
  • 摘要AHP (Analytic Hierarchy ...本文主要回顾与分析层次分析法在历史街区相关理论研究和实践进展中的应用,从历史街区评价模型的研究与实践和层次分析法在历史街区评价模型中的应用现状展开探讨与总结。关键词:...

    摘要

    52f363c7857a5f1b546cbcb441dca41e.png

    AHP (Analytic Hierarchy Process)层次分析法通常被运用于解决多目标、多标准、多要素、多层次的非结构化的复杂决策性问题,特别是战略决策性问题,在建筑、规划、风景园林等相关领域中的运用十分广泛。本文主要回顾与分析层次分析法在历史街区相关理论研究和实践进展中的应用,从历史街区评价模型的研究与实践和层次分析法在历史街区评价模型中的应用现状展开探讨与总结。

    关键词:AHP法;层次分析法;历史街区;量化权重分析

    图片来源:网络

    引 言

    历史街区作为一种动态型的城市遗产,它既是城市文脉与记忆的传承,又和当下人们生活紧密相关,是关乎城市空间结构与文化传承,实现城市可持续发展的重要组成部分。随着我国历史街区保护更新进入新的发展时期,历史街区在理论概念上更加清晰,整治手段上更具有针对性,研究内容上更具多样性,分析方法上也更加注重定性与定量相结合。

    AHP (Analytic Hierarchy Process)层次分析法是美国运筹学家T. L. Saaty教授于20世纪70年代提出的一种定性与定量相结合的决策分析方法[1],现已成为历史街区保护与更新研究中广泛运用的科学调查分析方法。虽然发展至今只有50年的应用历程,但是因其具有高效、实用的特点而被广泛运用于建筑科学与工程科学中,并逐渐发展应用于风景园林、地产开发、节能等多种建筑学科衍生行业中。

    基于此,本文选取层次分析法这一常运用于历史文化街区中的量化调查分析方法进行分析,为历史街区的量化研究提供参考。

    1 国内历史街区评价模型的研究与实践

    20世纪末期,我国历史街区保护更新与规划的研究课题主要以理论基础构建与风貌整治为研究方向,以定性研究为主要研究手段。进入21世纪,历史街区研究的核心问题发生转变,从基础理论与历史风貌逐步转向历史街区地段与城市整体复兴及公众参与,与之相对应的研究内容与研究方向上更加多元化[2]。同时研究方法也不断创新,其重要突破主要表现在多样化的理论模型构建,发展至今历史街区相关研究的评价模型越发成熟,模型构建的方法也更加综合。

    为了更全面地梳理层次分析法在历史街区评价模型的具体研究与实践,本文对目前已有的评价模型进行归纳与分类,纵观目前国内现有对于历史街区评价模型的研究可以发现归纳为三大类[3],第一类为基于专家学者及相关研究工作者对于历史街区的客观理论判断评价,第二类为从历史街区主观使用者角度出发对建筑、景观、环境等空间特征展开评价,第三类为将以上两大类综合使用(图1)。

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    图1:历史街区评价角度模型分类

    (作者自绘)

    1.1 客体理论评价

    客体理论评价的方法按评价理论构建方式不同主要分为两类,一类是直接通过数理计算等方式进行评价,另一类是根据专家等经验判断选取理论判断标准,并通过定性定量权重赋值评判作为评判标准进行评价。客体理论评价中,数据获取方式主要来源于数理分析公式与软件与专家经验的理论判断,数据分析与评价方法以定量分析方法为主,包括层次分析法、专家咨询法等。

    在历史街区基础性评价研究中,评价模型常应用于历史街区空间可达性、可见性研究,在近几年较为普遍应用于历史街区实践项目中的分析方法有空间句法和GIS。其中空间句法的相关理论提出较早,如今已具有完整的理论体系与成熟的方法论及空间分析软件技术。空间句法不仅关注局部的空间可达性,而且强调历史街区整体的空间通达性和关联性。通过 GIS 对空间可达性进行评价,可以综合考虑人口分布、交通成本等因素获得研究空间的可达性的分布特点。在历史街区特征评价方面,客体理论评价主要关注于历史街区空间构成的历史表征。

    总体来说客体理论评价的目的在于客观地对物质空间进行评价,进一步对历史街区的更新设计提供依据。

    1.2 主体使用评价

    主体使用评价模型中评价标准的获取根据使用者调研结果获取相关定性评价信息,对评价标准进行赋值,对数据进行定量的分析,最终以数理的形式体现出多方面比较结果。主体使用评价的数据获取主要通过现场调研、问卷调研与访谈的形式获取使用者的反馈信息结合数据分析获得评价模型,常用数据分析方法为层次分析法、模糊评价法、专家咨询法等。

    主体使用评价中从主体使用角度出发的历史街区基础评价,关注点集中在历史街区的物质要素,以空间舒适性为代表,评价内容上大致围绕历史街区的尺度、界面、功能、环境、设施等五方面,依据五方面内容设定评价标准构建评价模型。在属性特征评价中研究内容不仅仅局限于历史街区空间内部的舒适及使用程度,往往从人类学与社会学基础上展开分析使用者社会结构与城市空间结构之间的关系评价。

    主体使用角度下的评价目的在于通过使用者角度构建评价模型,一方面可以直观地获取使用人群的反馈为历史街区空间优化设计提供依据,另一方面通过数据可以发现导致不同评价结果的具体原因,从而进行理论总结。

    1.3 综合客体理论与主体使用评价

    综合客体理论与主体使用的方法依据评价目的不同分为两种类型,包括综合定性评价以及综合定量评价。综合客体与主体的评价模型构建中,数据获取方式与分析方法为以上两种研究方法的综合。将数据结果与评价结果进行综合分析,使得分析结果更加可视化与科学化。

    由上述分析总结,虽然历史街区相关评价角度与研究方向多变,但评价方法与模型构建步骤上则较为相似,这也使得层次分析法作为数据分析与评价方法在历史街区评价模型构建中具有普遍适用性。

    2 层次分析法在历史街区

    评价模型中的应用

    2.1 层次分析法应用概述

    根据上文对于历史街区不同评价角度的分类,不难发现不论在客体理论评价、主体使用评价或者综合二者的评价角度下,层次分析法均可以应用于量化评价标准分析与评价模型构建中。其具体作用主要表现在,评价模型搭建过程中用于计算各因素间的相对重要程度及量化表现它们之间的影响与协同作用。

    层次分析法可以确保历史街区评价模型的可信度,减少主观判断对因素确定的影响,通过层次结构模型的建立、评价指标权重计算、综合评价得分计算与依赖性检验四部分分析过程,层次分析法可以将复杂的因素划分成组,根据评价因素间的支配关系搭建有序的阶层次结构,比较各因素在层次中的相对重要性,建立各层次的评判矩阵,通过计算得各评价因素的权重值,较合理地进行定性问题定量化处理。

    层次分析在理论模型构建中也可以与其他问卷权重分析方法综合使用,根据问卷权重分析方法的原始数据来源不同可以将其划分为三类:主观赋值法、客观赋值法与综合赋值法(图2)。在实际应用中,尤其是在综合客观理论评价与主观使用评价下,较常见将主观赋值法与客观赋值法综合使用提高权重的准确度。

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    图2:问卷权重分析方法分类

    (作者自绘)

    2.2 层次分析法在历史街区中的应用现状

    层次分析法在历史街区评价模型构建中常应用于分析历史街区的景观特征、空间活力、环境质量及保护现状等。基于前文在不同评价角度下对历史街区评价模型的分类对层次分析法在历史街区评价模型的应用现状展开分析与探讨(表1)。

    f65c42b582ff7140d6be5c742ec1efbc.png

    表1:应用模式参考

    (信息来源:由作者总结相关文献信息)

    2.2.1 客体理论评价角度下层次分析法的应用

    (1)层次分析法应用于历史街区公共安全评估

    历史街区公共安全评估中,以五大道历史文化街区公共安全现状综合评价模型为例(图3),通过“质—量相结合”的途径,利用层次分析法构建评价模型,其中评价要素包括物质空间的安全性、自然环境的特征、人群的行为活动、安全设施的合理性及街区的管理能力五个方面并依据准则层设定具体指标并结合专家咨询与实地调研对五大道内地块进行综合安全评判。研究目的主要在于探索适合历史文化街区公共安全的评价理论和方法。通过建立了历史文化街区公共安全评价模型.对影响历史文化街区公共安全的各类致灾因素作用机制分析并利用评价模型对具体实例进行了分析和验证[4]。76a803dd714dcd7a524a840158b8dfd7.png图3:五大道公共安全现状综合评价体系(作者依据资料改绘)

    (2)层次分析法应用于历史街区保护研究

    在历史街区保护研究中,主要运用层次分析法构建历史街区保护影响体系,利用模糊评价确定因素评语集与权重,从而构建定性、定量及定位相结合的保护评价模型[5]。其优势主要表现在,利用层次分析法所构建的评价指标体系适用于对历史街区现状的总体评估,真实地反映历史街区的保护状况并且可以突出单个因素的影响结果,同时,利用GIS的空间数据处理、管理、查询和分析功能,将原来的基于数据的理解转化为基于评价模型的理解便于交互式对比与分析。

    2.2.2 主体使用角度下层次分析法的应用

    (1)层次分析法应用于历史街区活力度评价

    根据作者总结的相关文献,关于历史街区活力度评价中主要包括历史街区活力综合评价与公共空间活力评价。依据评价对象与主题的差异,评价模型构建与标准的选取也存在差异:历史街区活力综合评价中关于评价因子的确定主要是从“物质需求、社会需求、规划建设需求、发展需求”四方面来综合考量,其中“社会需求”影响下的社会活力为历史街区活力判断标准[6];历史街区公共空间活力评价体系的构建基于使用者群体对街区公共空间不同活力影响因子的关注度与满意度的基础上遴选评价因子[7]。

    51b780a973a8a6d7b16e2115f5286984.png

    图4:五大道历史街区景观的物质要素

    (图片来源于网络)

    0d854a1f3f531ac606cb66b487c0d0f7.png图5:骑楼历史街区景观的物质要素(图片来源于网络)

    (2)层次分析法应用于历史街区景观评价

    层次分析法应用于历史街区景观评价可以划分为三类:综合景观评价、景观满意度评价与景观构成要素中某一要素评价。评价模型构建与评价标准的选择都主要围绕历史街区景观的物质要素与文化要素及其他组成部分。

    物质要素主要围绕历史街区范围内的植物、建筑、小品、服务设施、铺装纹样等。以主体使用的角度展开评价的模型中更应关注使用人群的活动与反馈,因此历史街区的文化要素不仅仅只包含景观设计中的文化要素与历史风貌现状,还应包括非物质的文化元素如民间习俗,特定风俗活动等等。其他方面还有历史街区的旅游功能评价、活动空间价值评价等,具体评价标准及评价因子的选取还需根据研究对象进行调整。

    e8c01a65f20fa3fb1b20442e591f5578.png6a602f696945ed088edaaea389316acb.png图6:文化要素与人群活动(图片来源于网络)

    以五里街骑楼历史街区景观满意度评价为例,首先进行实地调研和收集民众调查问卷,其次依据层次分析法和专家咨询法研究骑楼历史街区的景观并建立其满意度评价体系(图4),评价标准层包括基本环境、植物景观、服务设施及小品、建筑景观和旅游功能五项因素,最后应用满意度评价模型及调研问卷所获数据对骑楼历史街区各要素展开评价。依据结果对比发现,使用人群对建筑景观表现出“较为满意”而其他因素均为“基本满意”。同时依据层次分析法还可以获得每一因素的下层指标层分值从而对每部分内容进行更为深入地分析[8]。

    cb674207873740f4ea18768eadf2bb3c.png图7:五里街骑楼历史街区景观满意度评价体系(作者改绘)

    2.2.3 综合角度下层次分析法的应用

    利用层次分析法构建历史街区综合评价模型中,评价标准的选择与评价因子的确定更具有综合性,不仅需要考虑历史街区内部的基本要素,还需要考虑历史街区的长期运营与规划,主要包括历史街区的空间环境要素、经济发展要素、社会文化要素及历史街区的运营管理等方面[9]~[10]

    以哈尔滨花园街历史文化街区综合评价为例(图5),评价模型的构建综合考虑了历史街区的特色价值、保护开发与现状保存三方面因素,因素评价层中对于因素的选取综合了客体理论评价与主体使用评价。研究方法上,首先利用定性分析总结花园街区现状特征,定量研究上应用专家咨询法与层次分析法构建评价模型确定因素权重并应用评价模型对花园街历史街区进行综合评价,获得各项指标评分并对各项因素展开针对性分析与讨论,为历史街区保护规划与发展提供依据。

    ffaf47e75a5884bb5eb14ebdf6d9d076.png图8:哈尔滨花园街历史文化街区综合评价体系(作者改绘)

    综上总结,层次分析法作为定性与定量相结合的调查分析方法,其应用于历史街区相关研究课题中的特点主要表现在:

    第一,方法具有普适性,层次分析法普遍适用于历史街区的景观评价、综合评价、安全评价等多角度多方面的定性与定量相结合的相关研究中;

    第二,内容具有针对性,层次分析法在使用中所具有的针对性主要表现在评价体系搭建过程中对于评价标准层的确定,评价标准与评价因子的确定应根据研究对象与主题而进行反复筛选;

    第三,运用具有综合性,层次分析法在历史街区相关课题研究中常与其他研究方法综合运用以提高评价模型的科学性与实践性,在评价模型构建中与专家咨询法、模糊评价法综合使用确定各评价因素权重。在模型构建完成后,结合GIS等研究方法对具体研究对象展开验证,可以提高模型的准确性与实用性。

    3 总结与思考

    从历史街区本身的空间特征分析,历史街区具有很强的综合性、复杂性及地域性,决定了历史街区更新保护与规划的相关研究受到多方因素的影响,传统的定性研究很难精确表示某一具体的影响因素及其影响程度,所以在定性研究的基础上需要结合定量的多层次、多因子的综合评价展开分析。

    不论是在客体理论评价、主体使用评价或综合评价的角度下,层次分析法都可以有效确定评价因素与其权重,但不同评价角度下所构建的评价模型各有所长。客体理论评价因其数据及标准的确定多半来自相关领域专家而更具科学性,但其容易忽视对象的特点,普适性的理论不一定适用于对象的全部特征。主体使用评价作为自下而上的评价模式更加切合使用者的实际情况但容易受到主观因素的影响且工作量较大,效率较低。综合理论判断与主体使用的角度下,对于部分已经形成理论共识的评价因子,可以利用理论判断,减少主体使用评价带来的工作量,同时又保留了评价角度的针对性,但评价标准的科学性需要反复与验证才可以形成理论共识。

    总体来说,层次分析法作为问卷权重分析方法中一种代表分析方法具有很强的实践性,但是在使用过程中也存在一定的不足,如利用层次分析法构建评价体系时,评价标准的选取容易受到主观因素影响,评价标准的筛选过程也较为繁琐等。因此,为了减少上述缺陷所带来的影响,在历史街区相关研究中可以考虑将层次分析法与其他研究方法组合使用,从客体理论与主体研究两方面展开综合评价与验证才能更加确保研究内容的科学性,更能切实解决历史街区保护、更新与规划过程中的实际问题。

    参考文献:

    [1]章俊华.规划设计学中的调查分析法(12)——AHP法[J].中国园林,2003(05):38-41.

    [2]黄勇,石亚灵.国内外历史街区保护更新规划与实践评述及启示[J].规划师,2015,31(04):98-104.

    [3]何善思. 历史街区公共交往空间综合评价体系研究[D].华南理工大学,2015.

    [4]王冠坤.AHP-模糊综合评价法在历史文化街区公共安全风险评估中的应用——以天津五大道为例[J].天津城市建设学院学报,2012,18(04):236-241.

    [5]石若明,刘明增.应用模糊综合评判模型评价历史街区保护的研究[J].规划师,2008(05):72-75.

    [6]严钧,黄咏馨,邹芳,罗启文.基于AHP技术的长沙文庙坪历史街区活力评价研究[J].高等建筑育,2019,28(03):25-31.

    [7]雷诚,谢佳琪.居住型历史街区公共空间活力评价体系建构及应用——以苏州大儒巷历史街区为例[J].中国名城,2018(06):77-84.

    [8]艾嘉蓓,裴浩成,黄望庭,黄启堂.基于AHP法的骑楼历史街区景观满意度评价[J].小城镇建设,2019,37(06):108-114.

    [9]陶琳. 哈尔滨花园街历史文化街区综合评价与保护更新策略研究[D].哈尔滨工业大学,2010.

    [10]赵炜瑾. 历史街区文化生态健康度评价研究[D].天津大学,2018.

    心心编:王洪成

    执行主编:李佳滢

    心心稿:金雅文

    心心辑:金雅文

    心心核:周子茹

    596941bac1e955e54e3b21e9043f758d.png7b5cd8183289b00bb38e5d42130a7d56.png
    展开全文
  • 数学建模:层次分析法实例以及代码

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    目录层次分析法的思想层次分析法步骤具体案例(市政工程项目建设决策)1.问题提出2.建立递阶层次结构3.构造判断矩阵(成对比较阵)并赋值4.层次单排序(计算权向量)与检验(一致性检验)计算权向量一致性检验5.层次总...

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    层次分析法的思想

    层次分析法的思想:将所有要分析的问题层次化
    根据问题的性质和所要到达的总目标,将问题分为不同的组成因素,并按照这些因素间的关联影响即其隶属关系,将因素按不同层次聚集组合,形成一个多层次分析结构模型
    最后,对问题进行优劣比较排序.

    层次分析法步骤

    1、找准各因素之间的隶属度关系,建立递阶层次结构
    2、构造判断矩阵,并赋值
    3、层次单排序(计算权向量)与检验(一致性检验)
    4、层次总排序(组合权向量)与检验(一致性检验)
    5、结果分析

    具体案例(市政工程项目建设决策)

    1.问题提出

    市政部门管理人员需要对修建一项市政工程项目进行决策,可选择的方案是修建通往旅游区的高速路(简称建高速路)或修建城区地铁(简称建地铁)。除了考虑经济效益外,还要考虑社会效益环境效益等因素,即是多准则决策问题,考虑运用层次分析法解决。

    2.建立递阶层次结构

    1、明确决策目标:“合理建设市政工程,使综合效益最高”。

    2、为了实现这一目标,需要考虑的主要准则有三个,即经济效益社会效益环境效益
    还必须考虑直接经济效益间接经济效益方便日常出行方便假日出行减少环境污染改善城市面貌等因素(准则),从相互关系上分析,这些因素隶属于主要准则,因此放在下一层次考虑,并且分属于不同准则。

    3、解决方案,即建高速路或建地铁,这两个因素作为措施层元素放在递阶层次结构的最下层。

    这样递阶层次就形成了:
    在这里插入图片描述

    3.构造判断矩阵(成对比较阵)并赋值

    1、构造判断矩阵的方法:
    每一个具有向下隶属关系的元素(被称作准则)作为判断矩阵的第一个元素(位于左上角),隶属于它的各个元素依次排列在其后的第一行第一列
    如下图所示:
    在这里插入图片描述
    2、如何对判断矩阵进行赋值:
    向填写人(专家)反复询问:针对判断矩阵的准则,其中两个元素两两比较哪个重要,重要多少,对重要性程度按1-9赋值。
    (可以类比模糊PID中的隶属程度,都是人为设定的,也是被人诟病的一个地方)
    在这里插入图片描述
    设填写后的判断矩阵为A=(aij)n×n,判断矩阵具有如下性质:

    (1) aij>0
    (2) aji=1/ aji
    (3) aii=1

    判断矩阵具有对称性,因此在填写时,通常先填写aii=1部分,然后再仅需判断及填写上三角形或下三角形的n(n-1)/2个元素就可以了。
    在特殊情况下,判断矩阵可以具有传递性,即满足等式:aij*ajk=aik .
    当上式对判断矩阵所有元素都成立时,则称该判断矩阵为一致性矩阵。
    对于上述的例子,可以构造出下面的判断矩阵:
    在这里插入图片描述

    4.层次单排序(计算权向量)与检验(一致性检验)

    计算权向量

    对于专家填写后的判断矩阵,利用一定数学方法进行层次排序。
    层次单排序是指每一个判断矩阵各因素针对其准则的相对权重,所以本质上是计算权向量。
    这里简要介绍和法:
    对于一致性判断矩阵,每一列归一化后就是相应的权重。
    对于非一致性判断矩阵,每一列归一化后近似其相应的权重,在对这n个列向量求取算术平均值作为最后的权重。

    公式: 在这里插入图片描述
    在层层排序中,要对判断矩阵进行一致性检验。判断矩阵可以具有传递性和一致性。一般情况下,并不要求判断矩阵严格满足这一性质。

    但从人类认识规律看,一个正确的判断矩阵重要性排序是有一定逻辑规律的,例如若A比B重要,B又比C重要,则从逻辑上讲,A应该比C明显重要,若两两比较时出现A比C重要的结果,则该判断矩阵违反了一致性准则,在逻辑上是不合理的。

    因此在实际中要求判断矩阵满足大体上的一致性,需进行一致性检验。只有通过检验,才能说明判断矩阵在逻辑上是合理的,才能继续对结果进行分析。

    一致性检验

    第一步,计算一致性指标CI
    在这里插入图片描述
    第二步,查表确定相应的平均随机一致性指标RI
    据判断矩阵不同阶数查下表,得到平均随机一致性指标RI:
    在这里插入图片描述
    第三步,计算一致性比例CR并进行判断:
    在这里插入图片描述
    当C.R.<0.1时,认为判断矩阵的一致性是可以接受的,C.R.>0.1时,认为判断矩阵不符合一致性要求,需要对该判断矩阵进行重新修正。

    图1
    图2
    可以看出,所有单排序的C.R.<0.1,认为每个判断矩阵的一致性都是可以接受的。

    5.层次总排序(组合权向量)与检验(一致性检验)

    总排序是指每一个判断矩阵各因素针对目标层(最上层)的相对权重。这一权重的计算采用从上而下的方法,逐层合成。
    文字性描述公式如下:
    在这里插入图片描述

    计算过程如下,更好理解过程:
    P(C1/A) = P(C1/B1) * P(B1/A) = 0.5 * 0.1429 = 0.07145
    CR(C1/A) = CR(C/B) * CR(B/A) = 0 * 0 = 0
    P(D1/A) = P(D1/C1) * P(C1/B1) * P(B1/A)
    + P(D1/C2) * P(C2/B1) * P(B1/A)
    + P(D1/C3) * P(C3/B2) * P(B2/A)
    + P(D1/C4) * P(C4/B2) * P(B2/A)
    + P(D1/C5) * P(C5/B3) * P(B3/A)
    + P(D1/C6) * P(C6/B3) * P(B3/A)
    =0.8333 * 0.5 * 0.1429
    +0.75 * 0.5 * 0.1429
    +0.1667 * 0.75 * 0.4286
    +0.8750 * 0.25 * 0.4286
    +0.1667 * 0.75 * 0.4286
    +0.8333 * 0.25 * 0.4286

    在这里插入图片描述

    6.结果分析

    从方案层总排序的结果看,建地铁(D2)的权重(0.6592)远远大于建高速路(D1)的权重(0.3408),因此,最终的决策方案是建地铁。
    根据层次排序过程分析决策思路:

    1、对于准则层B的3个因子,直接经济效益(B1)的权重最低(0.1429),社会效益(B2)和环境效益(B3)的权重都比较高(皆为0.4286),说明在决策中比较看重社会效益和环境效益
    2、对于不看重的经济效益,其影响的两个因子直接经济效益(C1)、间接带动效益(C2)单排序权重都是建高速路远远大于建地铁,对于比较看重的社会效益和环境效益,其影响的四个因子中有三个因子的单排序权重都是建地铁远远大于建高速路,由此可以推出,建地铁方案由于社会效益和环境效益较为突出,权重也会相对突出
    3、从准则层C总排序结果也可以看出,方便日常出行(C3)、减少环境污染(C5)是权重值较大的,而如果单独考虑这两个因素,方案排序都是建地铁远远大于建高速路。

    由此我们可以分析出决策思路:
    即决策比较看重的是社会效益和环境效益,不太看重经济效益;(总结准则层B)
    因此对于具体因子,方便日常出行和减少环境污染成为主要考虑因素,对于这两个因素,都是建地铁方案更佳,(总结准则层C)由此,最终的方案选择建地铁也就顺理成章了。

    7.层次分析法的优缺点

    优点:
    (1)系统性:层次分析把研究对象作为一个系统,按照分解、比较判断、综合的思维方式进行决策,成为继机理分析、统计分析之后发展起来的系统分析的重要工具。
    (2)实用性:层次分析把定性和定量方法结合起来,能处理许多许多用传统的最优化技术无法着手的实际问题,应用范围很广。同时,这种方法将决策者和决策分析者相互沟通,决策者甚至可以直接应用它,这就增加了决策者的了解和掌握。
    (3)简洁性:具有中等文化程度的人即可了解层次分析的基本原理和掌握它的基本步骤,计算也非常简便,并且所得的结果简单明确,容易为决策者了解和掌握。

    缺点:囿旧:只能从原有方案中选优,不能生成新方案;粗略:它的比较、判断直到结果都是粗糙的,不适于精度要求很高的问题;主观:从建立层次结构模型到给出成对比较矩阵,人的主观因素的作用很大,这就使得决策结果可能难以为众人接受。当然,采取专家群体判断的办法是克服这个缺点的一种途径。

    层次分析法的代码实现(matlab)

    disp('请输入判断矩阵A(n阶)');
    A=input('A=');
    [n,n]=size(A);
    x=ones(n,100);
    y=ones(n,100);
    m=zeros(1,100);
    m(1)=max(x(:,1));
    y(:,1)=x(:,1);
    x(:,2)=A*y(:,1);
    m(2)=max(x(:,2));
    y(:,2)=x(:,2)/m(2);
    p=0.0001;i=2;k=abs(m(2)-m(1));
    while  k>p
      i=i+1;
      x(:,i)=A*y(:,i-1);
      m(i)=max(x(:,i));
      y(:,i)=x(:,i)/m(i);
      k=abs(m(i)-m(i-1));
    end
    a=sum(y(:,i));
    w=y(:,i)/a;
    t=m(i);
    disp(w);disp(t);
             %以下是一致性检验
    CI=(t-n)/(n-1);RI=[0 0 0.52 0.89 1.12 1.26 1.36 1.41 1.46 1.49 1.52 1.54 1.56 1.58 1.59];
    CR=CI/RI(n);
    if CR<0.10
        disp('此矩阵的一致性可以接受!');
        disp('CI=');disp(CI);
        disp('CR=');disp(CR);
    end
    

    使用示例:
    将上面代码保存名为test1,并在点运行的时候添加到路径;
    输入的A矩阵是要以向量的形式输入的;
    之后按下回车即可,可以看到和之前的第4步得到的结果是一样的。
    在这里插入图片描述
    通过不断的使用这个式子计算相应矩阵(准则层B到准则层C、准则层C到方案层D)的权向量,最后可以得到最终的结果。
    简单的修改上面的程序,传入参数为矩阵,免得每次都要打。

    function w= test1(A)
    % disp('请输入判断矩阵A(n阶)');
    % A=input('A=');
    [n,n]=size(A);
    x=ones(n,100);
    y=ones(n,100);
    m=zeros(1,100);
    m(1)=max(x(:,1));
    y(:,1)=x(:,1);
    x(:,2)=A*y(:,1);
    m(2)=max(x(:,2));
    y(:,2)=x(:,2)/m(2);
    p=0.0001;i=2;k=abs(m(2)-m(1));
    while  k>p
      i=i+1;
      x(:,i)=A*y(:,i-1);
      m(i)=max(x(:,i));
      y(:,i)=x(:,i)/m(i);
      k=abs(m(i)-m(i-1));
    end
    a=sum(y(:,i));
    w=y(:,i)/a;
    t=m(i);
    disp(w);disp(t);
             %以下是一致性检验
    CI=(t-n)/(n-1);RI=[0 0 0.52 0.89 1.12 1.26 1.36 1.41 1.46 1.49 1.52 1.54 1.56 1.58 1.59];
    CR=CI/RI(n);
    if CR<0.10
        disp('此矩阵的一致性可以接受!');
        disp('CI=');disp(CI);
        disp('CR=');disp(CR);
    end
    

    输入:

    Array1=[1 1/3 1/3;3 1 1;3 1 1];
    Array2=[1 1;1 1];
    Array3=[1 3;1/3 1];
    Array4=[1 3;1/3 1];
    Array5=[1 5;1/5 1];
    Array6=[1 3;1/3 1];
    Array7=[1 1/5;5 1];
    Array8=[1 7;1/7 1];
    Array9=[1 1/5;5 1];
    Array10=[1 1/3;7 1];
    
    A=test1(Array1);
    B1=test1(Array2);
    B2=test1(Array3); 
    B3=test1(Array4);
    C1=test1(Array5);
    C2=test1(Array6);
    C3=test1(Array7);
    C4=test1(Array8);
    C5=test1(Array9);
    C6=test1(Array10);
    

    得到相应的矩阵:
    在这里插入图片描述

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    层次分析法是指将一个复杂的多目标决策问题作为一个系统,将目标分解为多个目标或准则,进而分解为多指标(或准则、约束)的若干层次,通过定性指标模糊量化方法算出层次单排序(权数)和总排序,以作为目标(多指标)、多方案优化决策的系统方法。

    层次分析法是将决策问题按总目标、各层子目标、评价准则直至具体的备投方案的顺序分解为不同的层次结构,然后用求解判断矩阵特征向量的办法,求得每一层次的各元素对上一层次某元素的优先权重,最后再加权和的方法递阶归并各备择方案对总目标的最终权重,此最终权重最大者即为最优方案。

    层次分析法具体步骤:

    1.建立层次结构模型

    将决策的目标、考虑的因素(决策准则)和决策对象按它们之间的相互关系分为最高层、中间层和最低层,绘出层次结构图。 最高层是指决策的目的、要解决的问题。 最低层是指决策时的备选方案。 中间层是指考虑的因素、决策的准则。对于相邻的两层,称高层为目标层,低层为因素层。

    2.构造判断(成对比较)矩阵

    在确定各层次各因素之间的权重时,如果只是定性的结果,则常常不容易被别人接受,因而Santy等人提出一致矩阵法,即不把所有因素放在一起比较,而是两两相互比较,对此时采用相对尺度,以尽可能减少性质不同的诸因素相互比较的困难,以提高准确度。

     重要性比较结果,表1列出Saaty给出的9个重要性等级及其赋值。按两两比较结果构成的矩阵称作判断矩阵。判断矩阵具有如下性质:

    Aij度量方法:

    3.层次单排序及其一致性检验

    对应于判断矩阵最大特征根λ的特征向量,经归一化(使向量中各元素之和等于1)后记为W。W的元素为同一层次因素对于上一层次因素某因素相对重要性的排序权值,这一过程称为层次单排序。能否确认层次单排序,则需要进行一致性检验,所谓一致性检验是指对A确定不一致的允许范围。其中,n阶一致阵的唯一非零特征根为n;n 阶正互反阵A的最大特征根λ≥n,当且仅当λ=n时,A为一直矩阵,由于λ的连续依赖于aij,则λ 比n 大的越多,A的不一致性越严重,一致性指标用CI计算,CI越小,说明一致性越大。用最大特征值对应的特征向量作为被比较因素对上层某因素影响程度的权向量,其不一致程度越大,引起的判断误差越大。因而可以用 λ-n 数值的大小来衡量A 的不一致程度。定义一致性指标为:

    CI=0,有完全的一致性;CI 接近于0,有满意的一致性;CI 越大,不一致越严重。

    为衡量CI 的大小,引入随机一致性指标 RI:

     

    其中,随机一致性指标RI和判断矩阵的阶数有关,一般情况下,矩阵阶数越大,则出现一致性随机偏离的可能性也越大,其对应关系如表2:

    考虑到一致性的偏离可能是由于随机原因造成的,因此在检验判断矩阵是否具有满意的一致性时,还需将CI和随机一致性指标RI进行比较,得出检验系数CR,公式如下:

    一般,如果CR<0.1 ,则认为该判断矩阵通过一致性检验,否则就不具有满意一致性。

    4.层次总排序及其一致性检验

    计算某一层次所有因素对于最高层(总目标)相对重要性的权值,称为层次总排序。这一过程是从最高层次到最低层次依次进行的。

    5 算法举例

    算法举例:(成对矩阵中的值均需要人为按经验填写。)

    第一步:建立层次结构

    从苏州、杭州桂林三个城市选择一个城市去旅游。考虑的因素为景色、费用、居住、饮食、旅游5个因素。如下图所示:

    第二步:构造成对比较矩阵

    (注:矩阵中的各个元素均需要人为按经验填写)

    第三步:层次单排序及一致性检验

    求该矩阵的最大特征值及其对应的最大特征向量

    A的最大特征值为λ=5.037,归一化后的特征向量W={0.263,0.475,0.055,0.099,0.110}

    进行一致性检验

    A通过了一次性验证,结果是可行的。

    第四步:层次总排序及一次性检验

    与此类似,求出方案层中各方案的成对比较矩阵

     

    对每个成对矩阵汇总并进行一致性检验。

    全部通过。计算每个方案对最终目标的权重:

    B3对应的值最大,所以去桂林方案最佳。 

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