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  • 一道引出层次分析法例题 还记得这张权重表格吗? 直接问权重的弊端 分而治之的思想 层次分析法的思想登场 填写判断矩阵 一个可能出问题的地方 一致矩阵 一致矩阵的例子 一致性检验 ...

    第一讲:层次分析法

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    模型介绍

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    评价类问题可用打分解决

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    根据权重表格计算得分

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    一个小小的总结

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    一道引出层次分析法的例题

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    还记得这张权重表格吗?

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    直接问权重的弊端

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    分而治之的思想

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    层次分析法的思想登场

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    填写判断矩阵

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    一个可能出问题的地方

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    一致矩阵

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    一致矩阵的例子

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    一致性检验

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    一致性检验的步骤

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    两个小问题

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    一致矩阵怎么计算权重

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    判断矩阵计算权重

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    方法1:算数平均法算权重

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    方法2:几何平均法求权重

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    方法3特征值求权重

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    将计算结果填入权重表

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    代码演示

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    汇总结果到权重矩阵

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    计算个方案的得分

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    三个问题对我们的启发

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    层次分析法第一步

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    使用SmartArt生成

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    使用专业软件:亿图图示

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    层次分析法第二步

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    构造判断矩阵

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    看看优秀论文的做法吧

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    层次分析法第三步

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    一致性检验的步骤

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    CR>0.1如何修正

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    层次分析法第四步

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    层次分析法的一些局限性

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    代码详解

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    本节代码部分知识点索引

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    模型拓展

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    课后练习

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    课后训练

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    下一讲预告:TOPSIS法

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    展开全文
  • 层次分析法(AHP):在对复杂的决策问题的本质、影响因素极其内在的关系等进行深入分析的基础上,利用较少的定量信息使决策的思维过程数学化,从而为多目标、多准则或无结构特性的复杂决策问题提供简便的决策方案。...
    层次分析法(AHP):在对复杂的决策问题的本质、影响因素极其内在的关系等进行深入分析的基础上,利用较少的定量信息使决策的思维过程数学化,从而为多目标、多准则或无结构特性的复杂决策问题提供简便的决策方案。(解决决策类问题)运用层分析法时,大致分为以下四个步骤:
    1. 建立层次结构模型
    2. 构造判断(成对比较)矩阵
    3. 层次单排序极其一致性检验
    4. 层次总排序极其一致性检验
    5. 计算权重,得分
    如何构建层次结构模型(分层)最高层:决策的目的,要解决的问题中间层:考虑的阴因素,决策的准则最底层:决策时的备选方案举例:如何选择旅游地1.建立层次结构模型在网上搜索相关文献,旅游选择的因素,旅游选择指标(知网,百度文科等等)目标层:选择旅游地准则层:景色等方案层:北京等

    9f4b1a7ec2a373dc28ea49987e243673.png(橙子作图)

    权重指标北京杭州西安
    景色
    费用
    居住
    饮食
    旅途

    确定权重:成对比较矩阵:1.不把所有因素放在一起比较,而是两两相互比较2.对此时采用想对尺度,以尽可能减少性质不同的诸因素相互比较的困难,以提高准确度。在确定各影响因素权重时,两两比较。

    标度

    含义

    1

    表示两个因素相比,具有同样重要性

    3

    表示两个因素相比,一个因素比另一个因素稍微重要

    5

    ......明显重要

    7

    ......强烈重要

    9

    ......极端重要

    2,4,6,8

    上述两相邻判断的中值

    倒数

    A和B相比如果标度为3,那么B和A相比就是1/3

    据上表,如果觉得居住比费用更重要,但又不是很重要那么景色比居住可以定为2,即居住比景色就为1/2。

    景色居住费用饮食旅途
    景色12433
    居住1/21755
    费用1/41/711/21/3
    饮食1/31/5211
    旅途1/31/5311

    上表数据区域是一个5✖5的方针,记为A,对应的元素为aij,方针有如下特点:1.aij表示与j相比,i的重要程度。2.i=j时,同等重要,这解释了主对角线元素为1。3.aij>0且aij✖aji=1时。成为正互反矩阵。(上面这个矩阵,就是层次分析法中的判断矩阵),有了判断矩阵,我们就能计算权重

    2.构造判断矩阵

    (五个因素的判断矩阵)

    景色北京杭州西安
    北京125
    杭州1/212
    西安1/51/21
    费用北京杭州西安
    北京11/31/8
    杭州311/3
    西安831
    居住北京杭州西安
    北京113
    杭州113
    西安1/31/31
    饮食北京杭州西安
    北京134
    杭州1/311
    西安1/411
    旅途北京杭州西安
    北京111/4
    杭州111/4
    西安441
    这个时候辉会出现矛盾之处(不一致现象),即假如北京=A,杭州=B,西安=C北京比杭州景色好一点A>B北京比西安景色一样好A=C杭州比西安景色好一点B>C

    3.一致性检验

    一致矩阵:各行(各列)成倍数关系,在使用判断矩阵求权重时,必须对其进行一致性检验

    e0c9407461bca21fb926c949dc643283.png

    fa7983a9765a5b0a0bf484583fb9e402.png

    一致性检验的步骤:1.计算一致性指标CI76a89ad075749a92f86831849c5d95a8.png(最大特征根)2.查找对应的平均随机一致性指标RI3.计算一致性比例CR80df7ed2d631682ad3c04dfce517ef1c.png(RI是用随机方法构造500个样本矩阵,随机地从1-9极其倒数中抽取数字构造正互反矩阵,求得最大特征根的平均值并定义)如果CR<0.1,可认为判断矩阵的一致性可以接受,否则需要修正,往一致矩阵上调整4.一致矩阵计算权重(算术平均法,几何平均法,特征值法)(三种方法的计算均用MATLAB实现)
    景色北京杭州西安
    北京124
    杭州1/212
    西安1/41/21

    用第一列来算

    北京=1/(1+1/2+1/4)

    杭州=1/2(1+1/2+1/4)

    西安=1/4(1/4+1/2+1)

    (判断矩阵计算权重与其方法一样,但是各列之间不成比例,需计算各列的权重,再算平均权重,一致矩阵只需计算一列,因为各列都一样)算术平均法求求权重步骤:1.将判断矩阵归一化处理,每一个元素除以所在列的和2.将归一化的各列相加,按行求和3.将相加后的元素除以n,得到权重

    5612ba7da3b1c0c0294041f714659424.png

    5.将计算结果填入权重表(特征值法)
    算术平均法几何平均法特征值法
    北京0.59490.59540.5954
    杭州0.27660.27640.2764
    西安0.12850.12830.1283
    算术平均法几何平均法特征值法
    景色0.26230.26360.2636
    费用0.47440.47730.4758
    居住0.05450.05310.0538
    饮食0.09850.09880.0981
    旅途0.11030.10720.1087
    权重指标北京杭州西安
    景色0.26360.59540.27640.1283
    费用0.47580.08190.23630.6817
    居住0.05380.42860.42860.1429
    饮食0.09810.63370.19190.1744
    旅途0.10870.16670.16670.6667


    6.计算目的地得分

    (使用EXCEL可快速实现)

    8d0a75a2adbfe4c68ccdb514cc1a4b33.png

    b1535dec7ad84be7ce8097b881748b34.png

    43f379f18a9308016b488ab4cd6451b4.png

    2016年国赛MATLAB创新奖B题

    e365a63cdca4a90a87f9f4d635f4720e.png

    07eaf1b6f6acbaaa7b6beddb067fac21.png

    adb62cbf4e83941b79052e645186d0b3.png

    36f6ce91e5d6cbba3badbd2b615176a9.png

    2a74363bce522bd07d997b5020d9289f.png

    e4dad5d416dab0ccd003f88fe7c4cea4.png

    d7341bbdf30a86f6abc2973f326cceec.png

    8bb14f863671fc1dee13660e6f63f5a8.png

    a234e92d9416bc5029748a97f8bc84e4.png

    f019db31716e68c0c60cd3d42c8ac77b.png

    5e259dc05958f6f0b95f7311ff0ad7b7.png

    ba4ddbf6dc11895a948afa2fd33b0814.png

    dd0c41991102c0fa0e5bc98f28a8c05a.png

    6f2fa43b518ebf8d58f8b153f5fbe282.png

    746da5929d5adad5b9b79564e4883cc6.png

    153ee4d29b424f6a7663097cea74e92e.png

    506890fc33e11f76169dce142f491b47.png

    f8d91458f81902066d6eefa131df5574.png

    2702379636fb449f2f7d538b9a2bf93f.png

    2871ab1df8719b6e73fa7b50fb543d78.png

    -END-

    少一些功利主义的追求,多一些不为什么的坚持

    QINGLANSE

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  • 1、递阶层次结构的建立 将问题所涉及的因素条理化、层次化、构造出一个有层次的结构模型,在这个模型中复杂的问题被分解成若干个元素,各层次之间都有一定的关系,上一层次的元素对下一层次的元素有支配作用出,层次...

    1、递阶层次结构的建立

    将问题所涉及的因素条理化、层次化、构造出一个有层次的结构模型,在这个模型中复杂的问题被分解成若干个元素,各层次之间都有一定的关系,上一层次的元素对下一层次的元素有支配作用出,层次可以分为以下三类:最高层、中间层、最低层。而建立的递阶层次结构具有以下特点:

    (1)整个结构中,层次数不受限制;

    (2)最高层只有一个元素,每一个元素所支配的元素一般不超过9个;

    (3)从上到下顺序的存在支配关系,并用直线段表示;

    (4)具有子层次的结构可以引入虚元素;

    2、构造两两比价判断矩阵

    我们根据具体情况,给出支配因素哪个更重要,给出判别矩阵。判别矩阵具有:

    7e26a2ebec4cc63196abfc1a119207c5.png

    具有这种性质的矩阵称为正互反矩阵,下面给出权重表:

    4acc5529c069da9f98b5759f914a5074.png

    3、单一准则下元素相对权重计算

    (1)和法

    取判断矩阵n个列向量的归一化后算数术平均值近似作为权重向量,既有:

    133a5d28d9c3b18f37a85750e116588e.png

    (2)根法

    将判别矩阵的各个向量采用几何平均后归一化,得到的列向量近似作为加权向量:

    cd0c9b90d495890b000b6ed107c0d19e.png

    (3)特征根法

    首先求出矩阵的最大特征值和右特征向量,然后将归一化后的特征向量作为排序权重向量。

    4、一致性检验

    1.计算一致性指标

    5a98ea1c677e700eaabdf4be5e1b1cf4.png

    2.查找相应的平均随机一致性指标RI

    42396bb7a19176c3f8feb5fd00cf1e63.png

    3、 计算一致性比率

    7b5ee124e9a7ff71c81260c064943d1d.png

    认为矩阵的一致性是可以接受的。


    层次分析法简单例题解析:

    1、动态社会公共卫生与环境评估模型

    由医疗卫生、健康事业、环境方面得出的综合评价指标知,在此可以再结合层次分析法确定其权重值。

    Step1:确定层次结构

    66e87b251f030b0df202c36f03e01af5.png

    Step2:构造判别矩阵

    根据对于健康事业、环境指标、医疗卫生三项指标的评判,首先健康事业最重要,其次医疗卫生、环境指标 。构建出如下的判别矩阵:

    5cc28a9bdca82cf0934c37942da034fd.png

    Step3:单一准则下元素相对权重计算一致性检验

    通过MATLAB计算得出最大特征根

    equation?tex=%5Clambda =3.0385,一致性指标
    CI=0.0193,一致性比率CR=0.037<0.1,故模型比较合理,得出特征向量W1=[0.637 0.1047 0.2583];故得出三者的权重值。
    展开全文
  • 借助这个题目,将层次分析法介绍个大家,层次分析法单独使用确实会有一点片面、单薄,结合模糊评价,构建基于层次分析法的模糊综合评价模型就是一个比较好、比较完整的评价模型了,模糊数学的概念后边再介绍,今天...

    借助这个题目,将层次分析法介绍个大家,层次分析法单独使用确实会有一点片面、单薄,结合模糊评价,构建基于层次分析法的模糊综合评价模型就是一个比较好、比较完整的评价模型了,模糊数学的概念后边再介绍,今天重点说明白层次分析法。

    层次分析法可以在判断过程中尽可能的消除主观因素(但是不可能完全消除),用客观的定量分析来做决定。上世纪 70  年代初期,美国运筹学家 T. L. Saaty 教授提出,用于解决多准则决策问题。使用层次分析的原因:对于一个题目而言,影响因素太多,要对这些因素进行一个排名,对比分析出他们之间重要性。这种重要性关系就是对人口影响到权重。通过权重可以体现出来。

    后边写的这个分析步骤非常关键,在建模论文中会占据一定的篇幅,如果你使用到层次分析法,就需要按照这个步骤构建你的模型,并完成分析计算。

    1

    层次分析法的原理和步骤

    1、构建层次结构模型

    假设题目有很多变量,变量之间应该是有一些相互关系,你所做的第一个工作就是将很多个变量进行条理化、层次化,构建出层次模型。然后这里说一下层次结构的分类,层次结构上可以分为两种,第一种图形三层结构分别是目标层、准则层、方案层,第二种图形可以分为最高层、中间层、最底层,当然第一种图形也是可以按照最高层、中间层、最底层的命名方式进行命名,但是第一种图形的结构比较特殊,所以单独给出一个名字。区别:

    a64bb3a870618f3f30b7ab907c0873a2.png

    第一种层次结构的最后一层就是具体实施的方案了,所以只需要自上而下计算权重,最后得到方案就可以了。

    2464c0ebd641e3e570b8c92f2b971feb.png

    第二种图形结构,需要两步,第一步是自上而下计算权重,第二步的自下而上计算得分,最后得到关于Z 的评价分数。这种层次分析结构本身就是一个涵盖很多变量的评价体系,对于评价类的题目,该层次结构模型是完全适合得,例如:2010 年建模国赛 B 题上海世博会影响力的定量评估、 2016 年东三省建模E题“二孩政策”的影响,这两个题目中都是对于一个事物的评价、评估,自然是需要进行定量分析, B 层就是影响的具体指标, A 层是指标分类, Z 层就是所要评估的对象。所以这个层次结构也是在数学建模比赛中常用的一种结构模型。

    我之所以要说的这么仔细,因为现在大多数教程 PPT 里的层次结构都是第一种,你学的时候可能挺明白的,但是在竞赛中很有可能不会用啊。第一种的层次结构最后一层是决策层、方案层,而在整体的建模论文中层次分析可能就是一个辅助的工具,直接给出方案是不现实的,因此大家按照第一种结构往往出现的问题就是不会套用、用的结果不理想。这也是个人的一点经验之谈。

    所以虽然需要你比赛当时构建层次结构,但是如果你平时把这个方法学明白了,比赛场上就是直接套用,建模速度也会比较快。

    2、构建判断矩阵

    层次结构反映因素之间的关系,但准则层中的各准则在目标衡量中所占的比重并不一定相同,就决策者而言,应该给出客观的权重信息。

    以给出的第二种层次的 A1 为例,评价 A1 的因素有 B1 , B2 , B3 ,在确定影响 A1 的 B1 , B2 , B3 在该所占的比重常常不易定量化。此外,当三个影响因素还是比较少的情况了,影响某因素的因子较多时,直接考虑这么多影响因子对 A1 有多大程度的影响时,常常会因考虑不周全、顾此失彼导致出现的结果不合适、不正确,甚至有可能提出一组隐含矛盾的数据。

    现在遇到的麻烦就是无法一次性的考虑多个因素,解决的方式也比较简单,就是每次只考虑两个指标,将两个指标相比较的重要性程度给出来,也就是做 n*(n-1)/2 次比较,得到判断矩阵(也叫成对比较矩阵)。

    给出矩阵的方法就是 1—9 及其倒数作为标度,含义如下:

    c0a4e88740a5fa413a453a8f28568c35.png

    给出的矩阵就是这个样子的。

    6485ab7e59a3e8105d11c2e822b97ef3.png

    aij 表示关于 A1 的影响重要性  bi 与 bj 的比值,也就是说 bi 比 bj 重要多少倍(这个倍可以是分数,大家这样记忆,会比较容易)

    将成对比较矩阵的最大特征根对应的归一化特征向量,经归一化后即为同一层次相应因素对于上一层次某因素相对重要性的排序权值作为权向量,这个大家在矩阵论或者线性代数中肯定的学过的,后边求这个特征向量的过程也是通过 MATLAB 编程实现的,这里就不给出这个特征向量的求解过程了,就是用下边这个公式求解:

    a28bb39d102ff12a507fd7c75626279d.png

    使用这种方法确定权重向量就客观多了,但是现在关于矩阵或出现一个问题,你随便给出权重信息可能会出现矛盾的,所以求解权重之前需要进行矩阵的一致性检验,也就是下一节要分享的内容。

    3、成对比较矩阵的一致性检验

    上一节说到成对比较矩阵可能会出现矛盾,这里先把是什么矛盾说清楚,我随便给出一个成对比较矩阵如下所示。这一节的知识建议大家认真看,虽然有数学公式的推导比较枯燥,但是之后给出的计算程序就是将下边的数学公式程序化,大家认真学习很有价值。

    7d328ae534b0a065a42a7b3e85066bed.png

    矛盾来自于变量指标之间的传递性。在前文中说了,成对比较矩阵来自于两两比较,以主对角线为分界线,上三角与下三角是分别对应的,因此我们只需要分析上三角就可以了。下边说的可能比较啰嗦,但是理解起来比较方便,而且加深一下大家对判断矩阵的认识,耐心看一下吧。

    第一行: B1/B1=1 ,B1 的重要程度是 B1 的一倍; B1/B2=3 , B1 的重要程度是 B2 的三倍; B1/B3=4 ,B1 的重要程度是 B3 的四倍;大家注意下,以 B1 为中间量, B2 、B3 发生关系了,是什么关系呢, (B1/B3) / ( B1/B2) = B2/B3 = 4/3,也就是说通过传递性计算得到的 B2 的重要程度是 B3 的 4/3 倍。

    现在再看第二行,B2/B3=2,也就是说成对比较矩阵打分 B2 与 B3 两者比较的时候, B2 的重要程度是 B3 的 2 倍。

    完了,这就出现差异了,也就是说矩阵不一致了。

    总结成更精炼的数学语言就是:e298d9301f27b1eef08efb13979894f7.png条件满足时,矩阵一致。

    关于一致阵,有这样一个定理:  n 阶正互反矩阵 A 为一致矩阵当且仅当其最大特征根  n = λmax  ,且当正互反矩阵  A 非一致时,必有λmax > n。

    由 λmax 是否等于 n  来检验判断矩阵  A 是否为一致矩阵。由于特征根连续地依赖于 aij ,故 λmax 比 n 大得越多,  A 的非一致性程度也就越严重, λmax 对应的标准化特征向量也就越不能真实地反映出各个元素在对上一级的影响中所占的比重,不准确。

    进行一致性检验的主要步骤如下:

    (a)计算一致性指标 CI

    831137de33ca7aeb170f3662998e9c0c.png

    (b)查找相应的平均随机一致性指标 RI ,这个指标是查表得到的。

    c5304d1f6af7cf5fc047c9b8e624cb93.png

    (c)计算一致性比例 CR

    995520a1890ac4f03ea10990202a6bfc.png

    当 CR< 0.1 时,认为判断矩阵的一致性是可以接受的,否则应对判断矩阵作适当修正。 

    2

    成对比较矩阵计算权向量的程序

    这以下是层次分析法的 MATLAB 程序,将矩阵 A  改成你所要求解向量对应的成对比较矩阵,在 MATLAB 中新建 .m 文件或者直接在命令行窗户粘贴就可以。

    A=[1,  3, 4;  1/3, 1, 2;  1/4, 1/2, 1;];%我在前文中给的例子通过一致性检验。[n,n]=size(A);x=ones(n,100);y=ones(n,100);m=zeros(1,100);m(1)=max(x(:,1));y(:,1)=x(:,1);x(:,2)=A*y(:,1);m(2)=max(x(:,2));y(:,2)=x(:,2)/m(2);p=0.0001;i=2;k=abs(m(2)-m(1));while  k>p  i=i+1;  x(:,i)=A*y(:,i-1);  m(i)=max(x(:,i));  y(:,i)=x(:,i)/m(i);  k=abs(m(i)-m(i-1));enda=sum(y(:,i));w=y(:,i)/a;t=m(i);disp(w);%一致性检验CI=(t-n)/(n-1);RI=[0 0 0.52 0.89 1.12 1.26 1.36 1.41 1.46 1.49 1.52 1.54 1.56 1.58 1.59];CR=CI/RI(n);if CR<0.10    disp('矩阵通过一致性检验');    disp('CI=');disp(CI);    disp('CR=');disp(CR);end

    得到结果为:

    2752eab5f292eef2f23d876ef188e4c6.png

    通过一致性检验,也就是 CR 小于 0.10 ,权重向量为 ( 0.6250,0.2385,0.1365 ) ,也就是对于 A1 而言, B1 最重要,占了 0.625 ,其他依次类推。

    3

    结果分析方法

    大家想一下,你得到的是什么啊?你得到了从最下层的指标逐级往上的权重,也就是说有了这些具体指标的数据,可以通过权重计算得分了,逐级往上计算直至得到Z的评价值,这个工作是很有用的,配合模糊评价会是模型更加完善。

    2464c0ebd641e3e570b8c92f2b971feb.png

    4

    资源分享

    在这次推文中,最重要的资源就是那段程序了,我也用云盘分享一下吧,每一个系列完成了,我都会把资源整理一下,大家查阅也方便,所以不用每次的文件都去保存,用到的时候现来公众号找就行,我会一直留着的。

    链接: https://pan.baidu.com/s/1ubJh8nWaFXHx-G3BK18Ucg 提取码: fqrp 复制这段内容后打开百度网盘手机App,操作更方便哦

    5

    这次呼唤了留言助理

    点击文后

    申请公众号太晚了,最直接的后果就是没有留言功能「留下嫉妒的泪水」,之前说过如果大家有需要告诉我,我下次发文章呼唤留言助理。但是怎么好久也没有人跟我说呢?是对我发的文章不感兴趣吗?后来我发现了一个逻辑错误,你们没有渠道跟我说啊,就好比我堵住你们的耳朵,然后问“我说话声音小吗?要不要我大点声?”,可是你们听不到我这个问句,大点声就无从谈起了,所以今天我主动放上了留言助手,并且专门写了这么一节,希望能带来一两个留言吧。在留言区可以跟我交流的,有什么问题或者有什么建议都可以在留言区跟我说,我都会认真看认真回复的。

    这个「留言助理」用起来还挺方便的,我研究了目前微信上的留言小程序,跳转比较慢,后来选了这个,自己测试了一下,挺流畅的。只需要获得头像、昵称、性别、地区公开信息。

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    不管怎么说,指着这个留言助手也不是长久之计,比起带留言功能的公众号多点了那不一步真的会劝退一些人,不过我在筹划个人小程序了,目前希望开发成博客或者论坛形式的,主要是便于大家交流,跟我这个作者有互动啊,我单纯的输出,也不知道该怎么调整,真的有种窒息感。

    撰文 / 科研狗Doggy

    排版 / 科研狗Doggy

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