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  • 层次分析法模型建立的基本步骤,层次分析法在各个领域的广泛应用 层次分析法的若干问题 ppt 层次分析法
  • 在分析信用评级模型的基础上,充分考虑层次分析法建立信用评级模型中的优势,进而运用系统工程的思想方法——层次分析法搭建模型。本文的主要工作为:(1)对商业银行信用评级指标体系进行分析,并在我国原有影响较大的...
  • 层次分析法模型(数学建模学习)

    千次阅读 2020-07-24 17:32:00
    层次分析法模型 一、层次分析法应用场景 层次分析法(The Analytic hierarchy process/AHP)是比赛中最基础最常用的模型,应用场景在于解决评价类问题。比如哪个人最优秀,哪种方案最好之类。

    本系列参考清风老师的数学建模课程

    层次分析法模型

    一、模型介绍

    (一)模型引入

    对于方案选择类问题,评价类问题采用层次分析法(The ayalytic hierarchy process / AHP)模型进行评分,之后评分高的就是最佳方案。

    (二)模型详解

    (1)建立层次结构
    分析系统中各因素之间的关系,建立系统的递阶层次结构。
    该层次结构分为:
    1.目标层(Objective)
    回答问题:评价目标是什么?
    2.准则层(Criterion)
    回答问题:评价指标是什么?
    3.方案层(Plan)
    回答问题:可选方案是什么?
    将其绘制成层次清晰的示意图。

    (2)构造判断矩阵
    针对于准则层构造一个判断矩阵。
    若有n个可选方案,则可以构造n个判断矩阵。
    参考填表的准则:

    标度含义
    1两个因素相比具有同等重要性
    3一个因素比另一个因素稍微重要
    5一个因素比另一个因素明显重要
    7一个因素比另一个因素强烈重要
    9一个因素比另一个因素极端重要
    2、4、6、8介于奇数之间重要性
    倒数与之对应

    填写判断矩阵的数据一定要有材料支撑

    (3)一致性检验
    原理:检验我们构造的判断矩阵和一致矩阵是否有太大差别(定量角度)。
    若正互反矩阵中的元素有性质: a i j × a j k = a i k a_{ij}×a_{jk}=a_{ik} aij×ajk=aik则可以成为一致矩阵。(换句话说就是上下两行必须是成倍数的关系)
    但在绝大多数情况下成为严格的一致矩阵不太可能,因此可以规定某个偏离范围,即使偏了一点也行,但不能偏太大,就有了一致性检验。(这块直接跑现成的程序出结果就行了,不介绍计算过程了)
    一致性检验的通用步骤为:
    1.计算一致性指标CI
    C I = λ m a x − n n − 1 CI=\frac {\lambda_{max}-n}{n-1} CI=n1λmaxn
    2.查找对应的平均随机一致性指标RI
    3.计算一致性比例CR
    C R = C I R I CR=\frac {CI}{RI} CR=RICI
    4.判断CR是否<0.1,若是则认为一致性可以被接受,否则需要调整判断矩阵。

    (4)求指标权重
    求解指标权重时需要通过一致性检验,通过后就可以求出了,一共有三种求法。

    1.算术平均法求权重
    step1:将判断矩阵按照列归一化。
    step2:将归一化的各列相加。
    step3:将相加后得到的向量中每个元素除以n即可得到权重向量。

    2.几何平均法求权重
    step1:将判断矩阵元素按照行相乘得到一个新的列向量。
    step2:将新的向量的每个分量开n次方。
    step3:对该列向量进行归一化即可得到权重向量。

    3.特征值法求权重
    step1:求出判断矩阵的最大特征值以及其对应的特征向量。
    step2:对求出的特征向量进行归一化即可得到权重。

    (5)计算得分
    每一个方案的任意评价指标最终得分=该评价指标在准则层的权重×方案在方案层的权重。
    因此任意一个方案的最终得分=各项评价指标之和。

    (三)模型举例

    (1)举例
    从苏杭、北戴河和桂林三个中选择一个作为旅游目的地。

    (2)思路
    本题属于方案选择类问题,因此使用层次分析法进行分析,考虑以下重要问题:
    1.评价目标(目标层)?选择最佳旅游目的地。
    2.评价指标(准则层)?(查阅资料后)景点景色、旅游花费、居住环境、饮食情况、交通便利程度。
    3.可选方案(方案层)?苏杭、北戴河、桂林。
    由以上思路可以得出下图:

    (3)整理
    设计数据表格,参考层次分析法的通用表格:

    指标权重方案1方案2
    指标1
    指标2
    指标3

    将以上思路内容填入上述通用表格中:

    指标权重苏杭北戴河桂林
    景色
    花费
    居住
    饮食
    交通

    解释:指标权重表示各个指标在准则层所占的权重大小值,而之后则代表该指标在方案层所占的权重大小值,因此若要最终评分,一定是准则层(Criterion)中指标权重×方案层(Plan)中指标权重得到最终得分。

    (4)数据
    之后就可以填写这张表格了。

    step1:填写准则层判断矩阵:

    景色花费居住饮食交通
    景色1 1 2 \frac 12 21433
    花费21755
    居住 1 4 \frac 14 41 1 7 \frac 17 711 1 2 \frac 12 21 1 3 \frac 13 31
    饮食 1 3 \frac 13 31 1 5 \frac 15 51211
    交通 1 3 \frac 13 31 1 5 \frac 15 51311

    解释:比如对于第三行第四列的单元格数据可以解释为花费比居住强烈重要。

    step2:填写五个方案层判断矩阵:

    (景色)苏杭北戴河桂林
    苏杭125
    北戴河 1 2 \frac 12 2112
    桂林 1 5 \frac 15 51 1 2 \frac 12 211
    (花费)苏杭北戴河桂林
    苏杭1 1 3 \frac 13 31 1 8 \frac 18 81
    北戴河31 1 3 \frac 13 31
    桂林831
    (居住)苏杭北戴河桂林
    苏杭113
    北戴河113
    桂林 1 3 \frac 13 31 1 3 \frac 13 311
    (饮食)苏杭北戴河桂林
    苏杭134
    北戴河 1 3 \frac 13 3111
    桂林 1 4 \frac 14 4111
    (交通)苏杭北戴河桂林
    苏杭11 1 4 \frac 14 41
    北戴河11 1 4 \frac 14 41
    桂林441

    step3:填好表格后开始进行一致性检验。

    1.检验准则层判断矩阵:

    一致性指标CI=
    0.0180
    一致性比例CR=
    0.0161
    因为CR<0.10,所以该判断矩阵A的一致性可以接受!

    2.检验方案层判断矩阵:

    一致性指标CI=0.0028
    一致性比例CR=0.0053
    因为CR<0.10,所以该判断矩阵A的一致性可以接受!

    一致性指标CI=7.7081e-04
    一致性比例CR=0.0015
    因为CR<0.10,所以该判断矩阵A的一致性可以接受!

    一致性指标CI=-4.4409e-16
    一致性比例CR=-8.5402e-16
    因为CR<0.10,所以该判断矩阵A的一致性可以接受!

    一致性指标CI=0.0046
    一致性比例CR=0.0088
    因为CR<0.10,所以该判断矩阵A的一致性可以接受!

    一致性指标CI=0
    一致性比例CR=0
    因为CR<0.10,所以该判断矩阵A的一致性可以接受!
    可以发现之前所有判断矩阵均通过了一致性检验。(若有没通过的判断矩阵需要对其中元素进行修改直到通过检验为止)

    step4:计算各项指标对应的权重,有三种计算方法,最好三种方法取平均值,也可只采纳特征值法所算出的数据。(这块直接跑现成的程序出结果就行了,不介绍计算过程了)

    填入数据:

    指标权重苏杭北戴河桂林
    景色0.26360.59540.27640.1283
    花费0.47580.08190.23630.6817
    居住0.05380.42860.42860.1429
    饮食0.09810.63370.19190.1744
    交通0.10870.16670.16670.6667

    (5)结论
    计算各个方案的最终得分。(这块Excel拉表出结果)
    苏杭:0.299
    北戴河:0.245
    桂林:0.455

    结论:桂林得分最高,因此选择去桂林。

    二、模型实现

    本模型采用多种软件实现。

    (1)层次分析模型示意图
    采用Office自带的SmartArt绘图。

    (2)判断矩阵一致性检验代码

    A=input('判断矩阵:')
    clc;
    [n,n]=size(A);
    [X,Y]=eig(A);
    lambda_max=max(Y(:));
    CI=(lambda_max-n)/(n-1);
    RI=[0 0 0.52 0.89 1.12 1.26 1.36 1.41 1.46 1.49 1.52 1.54 1.56 1.58 1.59];
    CR=CI/RI(n);
    disp('CI=');disp(CI);
    disp('RI=');disp(CR);
    if CR<0.1
        disp('可以接受!');
    else
        disp('需要修改!');
    end
    

    (3)算术平均法求权重代码

    A=input('判断矩阵:');
    Sum=sum(A);
    [n,n]=size(A);
    Sum=repmat(Sum,n,1);
    clc;
    res=A./Sum;
    disp('结果1:');
    disp(sum(res,2)/n);
    

    (4)几何平均法求权重代码

    A=input('判断矩阵:');
    Pro=prod(A,2);
    Res=Pro.^(1/n);
    disp('结果2:');
    disp(Res/sum(Res));
    

    (5)特征值法求权重代码

    A=input('判断矩阵:');
    [X,Y]=eig(A);
    lambda_max=max(Y(:));
    Y==lambda_max;
    [x,y]=find(Y==lambda_max,1);
    X(:,y);
    disp('结果3:');
    disp(X(:,y)./sum(X(:,y)));
    

    (6)为方案评分
    此处将数据导入到Excel表中,按F4锁定第一行作为乘数拉表计算。

    三、模型应用

    (一)题目描述

    近年来,电动汽车在世界各国的生产和销售发展势头猛烈。这一方面与各国政府的大力扶持有关系,另一方面也与电动汽车本身的一些特定优势有关,比如充电而非耗油、运行耗能低等。不考虑牌照限制等问题,建立数学模型解决如下问题:

    1. 从用户的角度出发,比较电动汽车和燃油汽车的总体拥有成本。
    2. 一对年龄在 25 岁左右的年轻夫妇,参加工作不久,都在一家杭州软件公司工作,目前家庭年收入 20 万元,没有房产。考虑日常通勤、周末和假期出游等需求,他们准备
      买一辆 15 万元左右的车。帮他们决定该买电动车还是燃油车。

    (二)模型实战

    第一问是有一个对应的总体拥有成本的公式,通过查阅各大网站或者书籍资料可得到公式中对应的参数值,从而计算出对应的总体拥有成本。(可能会用到Excel)没有模型。

    第二问给了一个具体的场景,并且属于评价决策类问题,使用AHP层次分析法再合适不过了。于是按照AHP流程走。

    参考一等奖论文思路

    (1)建立层次结构(考虑五种准则,在这块可以变)

    (2)构造判断矩阵(忽略计算与检验过程)
    支撑材料1:
    一对年龄在 25 岁左右的年轻夫妇,参加工作不久,都在一家杭州软件公司工作,目前家庭年收入 20 万元,没有房产。考虑日常通勤、周末和假期出游等需求,他们准备买一辆 15 万元左右的车。帮他们决定该买电动车还是燃油车。

    总结信息:收入中等,工作频繁,闲暇时间不多。
    1、使用成本时第一个要考虑的因素,不能负担不起。
    2、通勤时使用车辆的第一理由。
    3、很少有假期,因此驾车远游不重要。

    目标层-准则层判断矩阵:

    准则层-方案层判断矩阵:
    支撑材料2:
    通过查阅资料可得出年使用成本公式
    A A C = P T + C I + M + F i + M V I + V V AAC=PT+CI+M+F_i+MVI+VV AAC=PT+CI+M+Fi+MVI+VV
    根据具体情况查阅对应指标的值可得到:

    如果有一个年使用成本占总生活支出比例就更加直观了,因此也可以查阅资料求出对应比例。

    总结信息:年使用成本上,与燃油车相比,电动车具有明显的令人满意程度。


    支撑材料3:
    通过查阅资料可以得到通勤主要成本

    同时根据常识可知在路上不开车等候更费油。

    总结信息:通勤上,与燃油车相比,电动车具有强烈的令人满意程度。



    支撑材料4:
    与通勤情况类似。满足“短距离低速”特点。


    支撑材料5:
    电动车长距离开车要充电,然而查阅资料(摆上地图之类的)可知充电桩都在繁华地带,造成充电不方便。

    总结信息:可知在燃料费上,与燃油车相比,电动车具有强烈的令人满意程度。



    支撑材料6:
    通过查阅资料将两种类型的车(一定注意控制变量,比如价格不能相差太远)的性能指标罗列出来逐一对比,可以自己设定一套定量评分规则,进而最终确定性能判断矩阵。

    总结信息:在车身性能上,与电动车相比,燃油车具有明显的令人满意程度。



    (3)评价方案
    逐一填入对应权重:

    由此得出最终结论:

    1、方案E1权重为0.4155
    2、方案E2权重为0.5845
    故购买电动车(E2)更合适。

    (三)总结思考

    1、分析由层次分析法得到各项评价指标权重,并从实际意义进行评价。比如说:通过层次分析法得出的权重值,XXX的权重最大,这也符合XXX的实际功能/实际意义…

    2、模型评价:利用层次分析法决定XXX使得评价具有一定的客观性、准确性,避免了过于偏重某个需求而忽略其他的需求。但在给予各个准则相应的权重以及比较XXX的各个指标时不可避免地带有一定的主观性,使得评价结果的客观性及准确性降低。

    3、模型贡献:通过层次分析法计算各项指标权重,总结出了XXX控制的重点因素,为XXX提供了明确的数据指导,为XXX指明了未来发展的重点方向与道路。

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  • 【数学建模】1层次分析法模型部分

    千次阅读 2020-11-08 11:45:49
    层次分析法(The analytic hierarchy process 简称AHP)建模比赛中最基础的模型之一,其主要用于解决评价类问题(例如:选择哪种方案最好、哪位运动员或者员工表现得更优秀) AHP的主要特点是通过建立递阶层次结构,...

    1 数学建模的任务分配

    (1)数学建模三大块:建模+编程+写作
    (2)模型讲解
    • 简单例子
    • 写作训练

    2 简介

    层次分析法(The analytic hierarchy process 简称AHP)建模比赛中最基础的模型之一,其主要用于解决评价类问题(例如:选择哪种方案最好、哪位运动员或者员工表现得更优秀)
    AHP的主要特点是通过建立递阶层次结构,把人类的判断转化为若干因素两两之间重要度的比较上,从而把难于量化的定性判断转化为可操作的重要度的比较上面。在许多情况下,决策者可以直接使用AHP进行决策,极大的提高了决策的有效性、可靠性和可行性,但其本质是一种思维方式,它把复杂问题分解成多个组成因素,又将这些因素按支配关系分别形成递阶层次结构,通过两两比较但方法确定决策方案相对重要度但总排序。整个过程体现来人类决策思维的基本特征,即分解、判断、综合,克服来其他方法回避决策者主观判断的缺点。

    3 模型介绍

    3.1 评价类问题

    高考毕业了,小明选择去哪个学校
    思考问题的思路如下:
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
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    在这里插入图片描述

    3.2 拿到建模问题

    优先在知网(万方、百度学术、谷歌学术)上搜一下相关文献
    如果没有找到相关文献,则和小组成员来场头脑风暴+在平台上搜索别人或者专家的看法。

    3.3 推荐搜索网站

    虫部落-快搜
    优先级:
    • 谷歌搜索
    • 微信搜索
    • 知乎搜索
    例如本题我们可以搜索关键字:
    旅游选择因素、根据什么因素来选择旅游景点、旅游景点评价指标。

    3.4 确定好指标

    在这里插入图片描述

    3.5 确定指标权重

    (1)采用分而治之的思想

    问题:一次性考虑五个指标之间的关系,往往考虑不周
    解决方法:两两指标进行比较,最终根据两两比较的结果进行推算权重。

    (2)分而治之的思想

    在这里插入图片描述

    (3)得到判断矩阵

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    (4)再对每个指标进行填写判断矩阵

    在这里插入图片描述

    (5)解决判断矩阵中不一致现象

    在这里插入图片描述

    • 先介绍一下什么叫一致矩阵
    在这里插入图片描述

    • 一致矩阵特点:各行和各列成倍数关系
    在这里插入图片描述

    • 一致矩阵的定义
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    • 一致性检验
    原理:检验我们构造的矩阵和一致性矩阵是否有太大的差别
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    • 一致性检验的步骤
    在这里插入图片描述

    如果一致性检验大于0.1,那就需要修正矩阵。
    在这里插入图片描述

    • 两个小问题
    在这里插入图片描述

    • 计算一致矩阵的权重
    在这里插入图片描述

    (6)计算判断矩阵的权重

    在这里插入图片描述

    方法一:算术平均化求权重
    在这里插入图片描述

    • 算术平均法求权重的步骤:
    在这里插入图片描述

    • 步骤的数学表示(可放到论文中)
    在这里插入图片描述

    方法二:几何平均法
    在这里插入图片描述

    方法三:特征值法求权重
    在这里插入图片描述

    • 将计算结果填入权重表(特征值法最常用)
    在这里插入图片描述

    • 代码实现求权重矩阵

    %层次分析代码
    disp('请输入判断矩阵A(n阶)');
    A=input('A=');
    【n,n】=size(A);
    x=ones(n,100);
    y=ones(n,100);
    m=zeros(1,100);
    m(1)=max(x(:,1));
    y(:,1)=x(:,1);
    x(:,2)=A*y(:,1);
    m(2)=max(x(:,2));
    y(:,2)=x(:,2)/m(2);
    p=0.0001;i=2;k=abs(m(2)-m(1));
    while k>p
    i=i+1;
    x(:,i)=A*y(:,i-1);
    m(i)=max(x(:,i));
    y(:,i)=x(:,i)/m(i);
    k=abs(m(i)-m(i-1));
    end
    a=sum(y(:,i));
    w=y(:,i)/a;
    t=m(i);
    disp('权向量');disp(w);
    disp('最大特征值');disp(t);
    %以下是一致性检验
    CI=(t-n)/(n-1);RI=【0 0 0.52 0.89 1.12 1.26 1.36 1.41 1.46 1.49 1.52 1.54 1.56 1.58 1.59】;
    CR=CI/RI(n);
    if CR<0.10
    disp('此矩阵的一致性可以接受!');
    disp('CI=');disp(CI);
    disp('CR=');disp(CR);
    else
    disp('此矩阵的一致性不可以接受!');
    end
    

    (7)Excel可以方便计算矩阵权重

    F4可以锁定单元格,往后拖动计算公式,那锁定的那个单元格不会变。
    在这里插入图片描述

    4 层次分析法完整建模过程

    4.1 第一步-建立层次结构图

    在这里插入图片描述

    生成层次结构图方法
    方法一:PPT的SmartArt来生成层次结构图
    方法二:专业 画图软件亿图图示(或processon)
    在这里插入图片描述

    4.2 第二步-构造判断矩阵

    在这里插入图片描述

    因为评价矩阵有主观性(能搜资料,参考专家的就参考专家的,没有也不要乱写),在论文撰写时,可以直接给出权重矩阵。例如别人的优秀论文
    在这里插入图片描述

    4.3 第三步-计算判断矩阵相对权重

    在这里插入图片描述

    4.4 第四步-计算合成权重排序

    在这里插入图片描述

    5 层次分析法的局限性

    在这里插入图片描述

    6 模型拓展

    (1)层次分析法还适用于最后一层是1对2(这里的2表示大于1小于方案层所有的方案数量),但不是上面举例中1对3(3表示方案层中所有方案数量)
    在这里插入图片描述

    (2)还适用于一个准则对应自己的多个方案。
    在这里插入图片描述

    7 代码实现层次分析法

    ccfx_Learn.m

    %% 注意:在论文写作中,应该先对判断矩阵进行一致性检验,然后再计算权重,因为只有判断矩阵通过了一致性检验,其权重才是有意义的。
    %% 在下面的代码中,我们先计算了权重,然后再进行了一致性检验,这是为了顺应计算过程,事实上在逻辑上是说不过去的。
    %% 因此大家自己写论文中如果用到了层次分析法,一定要先对判断矩阵进行一致性检验。
    %% 而且要说明的是,只有非一致矩阵的判断矩阵才需要进行一致性检验。
    %% 如果你的判断矩阵本身就是一个一致矩阵,那么就没有必要进行一致性检验。
    %% 输入判断矩阵
    clear;clc
    disp('请输入判断矩阵A: ')
    % A = input('判断矩阵A=')
    A =[1 1 4 1/3 3;
     1 1 4 1/3 3;
     1/4 1/4 1 1/3 1/2;
     3 3 3 1 3;
     1/3 1/3 2 1/3 1]
    % matlab矩阵有两种写法,可以直接写到一行:
    % [1 1 4 1/3 3;1 1 4 1/3 3;1/4 1/4 1 1/3 1/2;3 3 3 1 3;1/3 1/3 2 1/3 1]
    % 也可以写成多行:
    [1 1 4 1/3 3;
     1 1 4 1/3 3;
     1/4 1/4 1 1/3 1/2;
     3 3 3 1 3;
     1/3 1/3 2 1/3 1]
    % 两行之间以分号结尾(最后一行的分号可加可不加),同行元素之间以空格(或者逗号)分开。
    %% 方法1:算术平均法求权重
    % 第一步:将判断矩阵按照列归一化(每一个元素除以其所在列的和)
    Sum_A = sum(A)
    [n,n] = size(A)  % 也可以写成n = size(A,1)
    % 因为我们的判断矩阵A是一个方阵,所以这里的r和c相同,我们可以就用同一个字母n表示
    SUM_A = repmat(Sum_A,n,1)   %repeat matrix的缩写
    % 另外一种替代的方法如下:
        SUM_A = [];
        for i = 1:n   %循环哦,这一行后面不能加冒号(和Python不同),这里表示循环n次
            SUM_A = [SUM_A; Sum_A]
        end
    clc;A
    SUM_A
    Stand_A = A ./ SUM_A
    % 这里我们直接将两个矩阵对应的元素相除即可
    % 第二步:将归一化的各列相加(按行求和)
    sum(Stand_A,2)
    % 第三步:将相加后得到的向量中每个元素除以n即可得到权重向量
    disp('算术平均法求权重的结果为:');
    disp(sum(Stand_A,2) / n)
    % 首先对标准化后的矩阵按照行求和,得到一个列向量
    % 然后再将这个列向量的每个元素同时除以n即可(注意这里也可以用./哦)
    %% 方法2:几何平均法求权重
    % 第一步:将A的元素按照行相乘得到一个新的列向量
    clc;A
    Prduct_A = prod(A,2)
    % prod函数和sum函数类似,一个用于乘,一个用于加  dim = 2 维度是行
    % 第二步:将新的向量的每个分量开n次方
    Prduct_n_A = Prduct_A .^ (1/n)
    % 这里对每个元素进行乘方操作,因此要加.号哦。  ^符号表示乘方哦  这里是开n次方,所以我们等价求1/n次方
    % 第三步:对该列向量进行归一化即可得到权重向量
    % 将这个列向量中的每一个元素除以这一个向量的和即可
    disp('几何平均法求权重的结果为:');
    disp(Prduct_n_A ./ sum(Prduct_n_A))
    %% 方法3:特征值法求权重
    % 第一步:求出矩阵A的最大特征值以及其对应的特征向量
    clc
    [V,D] = eig(A)    %V是特征向量, D是由特征值构成的对角矩阵(除了对角线元素外,其余位置元素全为0)
    Max_eig = max(max(D)) %也可以写成max(D(:))哦~
    % 那么怎么找到最大特征值所在的位置了? 需要用到find函数,它可以用来返回向量或者矩阵中不为0的元素的位置索引。
    % 那么问题来了,我们要得到最大特征值的位置,就需要将包含所有特征值的这个对角矩阵D中,不等于最大特征值的位置全变为0
    % 这时候可以用到矩阵与常数的大小判断运算
    D == Max_eig
    [r,c] = find(D == Max_eig , 1)
    % 找到D中第一个与最大特征值相等的元素的位置,记录它的行和列。
    % 第二步:对求出的特征向量进行归一化即可得到我们的权重
    V(:,c)
    disp('特征值法求权重的结果为:');
    disp( V(:,c) ./ sum(V(:,c)) )
    % 我们先根据上面找到的最大特征值的列数c找到对应的特征向量,然后再进行标准化。
    %% 计算一致性比例CR
    clc
    CI = (Max_eig - n) / (n-1);
    RI=[0 0 0.52 0.89 1.12 1.26 1.36 1.41 1.46 1.49 1.52 1.54 1.56 1.58 1.59];  %注意哦,这里的RI最多支持 n = 15
    CR=CI/RI(n);
    disp('一致性指标CI=');disp(CI);
    disp('一致性比例CR=');disp(CR);
    if CR<0.10
        disp('因为CR < 0.10,所以该判断矩阵A的一致性可以接受!');
    else
        disp('注意:CR >= 0.10,因此该判断矩阵A需要进行修改!');
    end
    % % 注意:代码文件仅供参考,一定不要直接用于自己的数模论文中
    % % 国赛对于论文的查重要求非常严格,代码雷同也算作抄袭
    % % 视频中提到的附件可在售后群(购买后收到的那个有道云笔记中有加入方式)的群文件中下载。包括讲义、代码、优秀的作业、我视频中推荐的资料等。
    % % 关注我的微信公众号《数学建模学习交流》,后台发送“软件”两个字,可获得常见的建模软件下载方法;发送“数据”两个字,可获得建模数据的获取方法;发送“画图”两个字,可获得数学建模中常见的画图方法。另外,也可以看看公众号的历史文章,里面发布的都是对大家有帮助的技巧。
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    % % 如何修改代码避免查重的方法:https://www.bilibili.com/video/av59423231(必看)
    

    8 全国大学生数学建模竞赛论文模版下载

    全国大学生数学建模竞赛论文模版下载

    展开全文
  • 基于层次分析法的高考志愿填报模型,数学建模论文,内有层次分析法的整个过程和分析结果,以及关键计算步骤的matlab代码。
  • 基于层次分析法的公平评奖模型,肖斐,缪正平,数学建模这类竞赛的评奖往往难以有具体的评分标准。本文采用改进的层次分析法建立基本模型试制定合理的综合评判方法,尽量减小由
  • 层次分析法(AHP)详细步骤

    万次阅读 多人点赞 2019-01-07 13:01:10
    1. 算法简介 层次分析法(AHP)是美国运筹学家萨蒂于上世纪70年代初,为美国国防部研究“根据各个工业部门对国家福利的贡献大小而进行电力分配”课题时,应用网络系统理论和多目标综合评价方法,提出的一种层次权重...

    1. 算法简介

    层次分析法(AHP)是美国运筹学家萨蒂于上世纪70年代初,为美国国防部研究“根据各个工业部门对国家福利的贡献大小而进行电力分配”课题时,应用网络系统理论和多目标综合评价方法,提出的一种层次权重决策分析方法。
    层次分析法是一种解决多目标的复杂问题的定性与定量相结合的决策分析方法。该方法将定量分析与定性分析结合起来,用决策者的经验判断各衡量目标之间能否实现的标准之间的相对重要程度,并合理地给出每个决策方案的每个标准的权数,利用权数求出各方案的优劣次序,比较有效地应用于那些难以用定量方法解决的课题。

    2. 算法基本原理

    例子:
    在这里插入图片描述

    2.1. 解决问题的思路

    层次分析法的基本思路是将所要分析的问题层次化;根据问题的性质和所要达成的总目标,将问题分解为不同的组成因素,并按照这些因素的关联影响及其隶属关系,将因素按不同层次凝聚组合,形成一个多层次分析结构模型;最后,对问题进行优劣比较并排列。

    2.2. 层次分析法的步骤

    1.建立层次结构模型

    • 将决策的目标、考虑的因素(决策准则)和决策对象按照他们之间的相互关系分为最高层、中间层和最低层,绘出层次结构图。
    • 最高层: 决策的目的、要解决的问题。
      最低层: 决策时的备选方案。
      中间层: 考虑的因素、决策的准则。
    • 对相邻的两层,称高层为目标层,低层为因素层

    层次分析法所要解决的问题是关于最低层对最高层的相对权重的问题,按此相对权重可以对最低层中的各种方案、措施进行排序,从而在不同的方案中做出选择或形成选择方案的原则。

    2.构造判断矩阵
    层次分析法中构造判断矩阵的方法是一致矩阵法,即:不把所有因素放在一起比较,而是两两相互比较;对此时采用相对尺度,以尽可能减少性质不同因素相互比较的困难,以提高准确度。

    判断矩阵 a i j a_{ij} aij的标度方法

    标度含义
    1表示两个因素相比,具有同样重要性
    3表示两个因素相比,一个因素比另一个因素稍微重要
    5表示两个因素相比,一个因素比另一个因素明显重要
    7表示两个因素相比,一个因素比另一个因素强烈重要
    9表示两个因素相比,一个因素比另一个因素极端重要
    2,4,6,8上述两相邻判断的中值
    倒数因素 i i i j j j比较的判断 a i j a_{ij} aij,则因素 j j j i i i比较的判断 a j i = 1 / a i j a_{ji}=1/a_{ij} aji=1/aij

    3.层次单排序及其一致性检验
    对应于判断矩阵最大特征根 λ m a x \lambda max λmax的特征向量,经归一化(使向量中各元素之和为1)后记为 W W W W W W的元素为同一层次元素对于上一层因素某因素相对重要性的排序权值,这一过程称为层次单排序

    定义一致性指标 C I = λ − n n − 1 CI=\frac {\lambda-n}{n-1} CI=n1λn
    C I = 0 CI=0 CI=0,有完全的一致性;
    C I CI CI接近于0,有满意的一致性;
    C I CI CI越大,不一致越严重。

    为了衡量 C I CI CI的大小,引入随机一致性指标 R I RI RI

    随机一致性指标 RI
    n1234567891011
    RI000.580.901.121.241.321.411.451.491.51

    定义一致性比率: C R = C I R I CR=\frac{CI}{RI} CR=RICI,一般认为一致性比率 C R < 0.1 CR<0.1 CR<0.1时,认为A的不一致程度在容许范围之内,有满意的一致性,通过一致性检验。可用其归一化特征向量作为权向量,否则要重新构造成对比较矩阵A,对 a i j a_{ij} aij加以调整。

    示例:
    在这里插入图片描述在这里插入图片描述

    4.层次总排序及其一致性检验

    • 计算某一层次所有因素对于最高层(总目标)相对重要性的权值,称为层次总排序。
    • 这一过程是从最高层次到最低层次依次进行的。
      在这里插入图片描述
      A层 m m m个因素 A 1 , A 2 , ⋅ ⋅ ⋅ , A m , A_{1},A_{2},···,A_{m}, A1,A2,,Am,对总目标Z的排序为 a 1 , a 2 , ⋅ ⋅ ⋅ , a m a_{1},a_{2},···,a_{m} a1,a2,,am
      B层 n n n个因素对上层A中因素为 A j A_{j} Aj的层次单排序为 b 1 j , b 2 j , ⋅ ⋅ ⋅ , b n j ( j = 1 , 2 , 3 , ⋅ ⋅ ⋅ , m ) b_{1j},b_{2j},···,b_{nj}(j=1,2,3,···,m) b1j,b2j,,bnj(j=1,2,3,,m)

    B层的层次总排序(即B层第 i i i个因素对总目标的权值为: ∑ j = 1 m a j b i j \sum_{j=1}^{m}a_{j}b_{ij} j=1majbij)为:
    B 1 : a 1 b 11 + a 2 b 12 + ⋅ ⋅ ⋅ + a m b 1 m , B_{1}:a_{1}b_{11}+a_{2}b_{12}+···+a_{m}b_{1m}, B1:a1b11+a2b12++amb1m,
    B 2 : a 1 b 21 + a 2 b 22 + ⋅ ⋅ ⋅ + a m b 2 m , B_{2}:a_{1}b_{21}+a_{2}b_{22}+···+a_{m}b_{2m}, B2:a1b21+a2b22++amb2m,
    ⋅ ⋅ ⋅ ···
    B n : a 1 b n 1 + a 2 b n 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + a m b n m , B_{n}:a_{1}b_{n1}+a_{2}b_{n2}+···+a_{m}b_{nm}, Bn:a1bn1+a2bn2++ambnm,

    层次总排序的一致性比率为: C R = a 1 C I 1 + a 2 C I 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + a m C I m a 1 R I 1 + a 2 R I 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + a m R I m CR=\frac{a_{1}CI_{1}+a_{2}CI_{2}+···+a_{m}CI_{m}}{a_{1}RI_{1}+a_{2}RI_{2}+···+a_{m}RI_{m}} CR=a1RI1+a2RI2++amRIma1CI1+a2CI2++amCIm,当 C R < 0.1 CR<0.1 CR<0.1时,认为层次总排序通过一致性检验。
    例子:
    在这里插入图片描述在这里插入图片描述

    3.算法总结

    • 应用领域:经济计划个管理,能源政策和分配,人才选拔和评价,生产决策,交通运输,科研选题,产业结构,教育,医疗,环境,军事等。
    • 处理问题类型:决策、评价、分析、预测等。
    • 建立层次分析结构模型是关键一步,要有主要决策层参与。
    • 构造成对比较矩阵是数量依据,应由经验丰富、判断力强的专家给出。

    4.参考

    1. 层次分析法建模——《百度文库》
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  • 模糊层次综评模型及应用实例 摘要介绍了模糊层次法评价水环境质量的基本原理和方法步骤建立了水环 境质量综合评价模型利用?该评价?方法就?...水质综合评价的基本思路是 用层次分析法确定各指标的权重在
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    层次分析法一、评价模型1.层次分析法1.1 步骤分析1.2 应用难点1.3 局限性 一、评价模型 1.层次分析法 1.1 步骤分析 step1 :确定一下三个问题 ① 评价的目标? ② 为了达到该目标有哪些可选方案? ③ 评价的准则或...

    一、评价模型

    1.层次分析法

    1.1 步骤分析

    step1 :确定一下三个问题
    ① 评价的目标?
    ② 为了达到该目标有哪些可选方案?
    ③ 评价的准则或指标?

    :一般而言,①②可直接观察,填表得数据,③需要根据题目背景,常识认知进行搜集材料(知网、万方、百度学术、谷歌学术、知乎、虫部落-快搜(https://search.chongbuluo.com/)等),筛选最合适的指标。

    step2 :分析系统中各因素之间的关系,建立系统的递阶层次结构模型(最高层,中间层,最底层)
    注:递阶层次结构中的层次数与问题的复杂程度与详尽程度有关,一般层次数不受限制,一般不超过9个,应用AHP分析决策问题时,将问题条理化、层次化,构造出一个有层次的结构模型。上一层次元素作为准则对下一层次有关元素起支配作用。

    Eg:
    图 1 层次结构模型
    step3 :构造判断矩阵(同一层各元素关于上一层中某一准则的重要性进行两两比较,构造判断矩阵)

    标 度含 义
    1表示两个元素相比,具有相同重要性
    3表示两个元素相比,前者比后者稍重要
    5表示两个元素相比,前者比后者明显重要
    7表示两个元素相比,前者比后者强烈重要
    9表示两个元素相比,前者比后者极端重要
    2,4,6,8表示上述相邻判断中间值
    倒数后者与前者相比: a j i = 1 a i j a_{ji}=\dfrac{1}{a_{ij}} aji=aij1

    Eg:

    OC1C2C3C4C5
    C111/2433
    C221755
    C31/41/711/21/3
    C41/31/5211
    C51/31/5311

    :一般作 n ∗ ( n − 1 ) 2 \frac{n*(n-1)}{2} 2n(n1)次两两判断是有必要的,可以提供更多信息,通过各种不同角度进行反复比较,导出一个合理的排序。

    step4 :层次单排序及一致性检验(由判断矩阵计算被比较元素对于该准则的相对权重,并进行一致性检验,验证通过,权重才能用)
    一致矩阵 不需要进行一致性检验,只有非一致性的判断矩阵才需进行一致性检验。
    判断矩阵 A对应于最大特征值 λ_max的特征向量W,经过归一化后为同一层次相应因素对于上一层某因素相对重要性的排序权值,这一过程称为层次单排序。
    ·对判断矩阵一致性检验步骤:

    a) 计算一致性指标CI:

    C I = λ m a x − n n − 1 CI=\dfrac{\lambda_{max}-n}{n-1} CI=n1λmaxn

    b) 查找相应的平均随机一致性指标RI:

    n123456789
    RI000.580.901.121.241.321.411.45

    :实际运用中,n很少超过10,若指标个数大于10,可考虑建立二级指标体系,或模糊综合评价模型。

    c) 计算一致性比例CR:

    C R = C I R I CR=\dfrac{CI}{RI} CR=RICI

    :若CR<0.1,则可认为判断矩阵的一致性可接受,否则需进行修正(向一致矩阵调整)。

    计算权重的方法:
    a) 算术平均法
    b) 几何平均法
    c) 特征值法
    :书写论文时,应先进行一致性检验,后再计算权重,最好使用三种方法计算,为保证结果的稳健性

    step5 :根据权重矩阵计算得分,进行排序。

    1.2 应用难点

    a) 如何根据实际情况抽象出较为贴切的层次结构模型。
    b) 如何将某些特性的量作为较接近实际定量化处理。

    1.3 局限性

    a) 评价的决策层不可太多,n过大,判断矩阵和一致性矩阵差异可能会太大。
    b) 主观因素影响较大,过于依赖人们的经验,最多可以排除思维过程中较为严重的非一致性,无法排除决策者个人可能存在的严重片面性
    c) 误差较大,无法适用于精度要求较高的一些决策问题。

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