1. 算法简介
 
层次分析法（AHP）是美国运筹学家萨蒂于上世纪70年代初，为美国国防部研究“根据各个工业部门对国家福利的贡献大小而进行电力分配”课题时，应用网络系统理论和多目标综合评价方法，提出的一种层次权重决策分析方法。
 层次分析法是一种解决多目标的复杂问题的定性与定量相结合的决策分析方法。该方法将定量分析与定性分析结合起来，用决策者的经验判断各衡量目标之间能否实现的标准之间的相对重要程度，并合理地给出每个决策方案的每个标准的权数，利用权数求出各方案的优劣次序，比较有效地应用于那些难以用定量方法解决的课题。
 
2. 算法基本原理
 
例子：
 
 
2.1. 解决问题的思路
 
层次分析法的基本思路是将所要分析的问题层次化；根据问题的性质和所要达成的总目标，将问题分解为不同的组成因素，并按照这些因素的关联影响及其隶属关系，将因素按不同层次凝聚组合，形成一个多层次分析结构模型；最后，对问题进行优劣比较并排列。
 
2.2. 层次分析法的步骤
 
1.建立层次结构模型
 
将决策的目标、考虑的因素（决策准则）和决策对象按照他们之间的相互关系分为最高层、中间层和最低层，绘出层次结构图。
最高层： 决策的目的、要解决的问题。
 最低层： 决策时的备选方案。
 中间层： 考虑的因素、决策的准则。
对相邻的两层，称高层为目标层，低层为因素层。
 
 
 
层次分析法所要解决的问题是关于最低层对最高层的相对权重的问题，按此相对权重可以对最低层中的各种方案、措施进行排序，从而在不同的方案中做出选择或形成选择方案的原则。
 
 
2.构造判断矩阵
 层次分析法中构造判断矩阵的方法是一致矩阵法，即：不把所有因素放在一起比较，而是两两相互比较；对此时采用相对尺度，以尽可能减少性质不同因素相互比较的困难，以提高准确度。
 
 
 
判断矩阵$a_{ij}$的标度方法
 
 
标度
含义
1
表示两个因素相比，具有同样重要性
3
表示两个因素相比，一个因素比另一个因素稍微重要
5
表示两个因素相比，一个因素比另一个因素明显重要
7
表示两个因素相比，一个因素比另一个因素强烈重要
9
表示两个因素相比，一个因素比另一个因素极端重要
2,4,6,8
上述两相邻判断的中值
倒数
因素$i$于$j$比较的判断$a_{ij}$，则因素$j$与$i$比较的判断$a_{ji}=1/a_{ij}$
 
3.层次单排序及其一致性检验
 对应于判断矩阵最大特征根$\lambda max$的特征向量，经归一化（使向量中各元素之和为1）后记为$W$。$W$的元素为同一层次元素对于上一层因素某因素相对重要性的排序权值，这一过程称为层次单排序。
 
 
 
定义一致性指标$CI=\frac{\lambda -n}{n-1}$：
 $CI=0$,有完全的一致性；
 $CI$接近于0，有满意的一致性；
 $CI$越大，不一致越严重。
 
 
为了衡量$CI$的大小，引入随机一致性指标$RI$
 
 
 
  随机一致性指标
  RI
   
   
n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
RI
0
0
0.58
0.90
1.12
1.24
1.32
1.41
1.45
1.49
1.51
  
 
 
定义一致性比率：$CR=\frac{CI}{RI}$，一般认为一致性比率$CR<0.1$时，认为A的不一致程度在容许范围之内，有满意的一致性，通过一致性检验。可用其归一化特征向量作为权向量，否则要重新构造成对比较矩阵A，对$a_{ij}$加以调整。
 
示例：
 
 
4.层次总排序及其一致性检验
 
计算某一层次所有因素对于最高层（总目标）相对重要性的权值，称为层次总排序。
这一过程是从最高层次到最低层次依次进行的。
 
 A层$m$个因素$A_1,A_2,\cdot \cdot \cdot ,A_m,$对总目标Z的排序为$a_1,a_2,\cdot \cdot \cdot ,a_m$。
 B层$n$个因素对上层A中因素为$A_j$的层次单排序为$b_{1j},b_{2j},\cdot \cdot \cdot ,b_{nj}(j=1,2,3,\cdot \cdot \cdot ,m)$。
 
 
 
B层的层次总排序(即B层第$i$个因素对总目标的权值为：${\sum }_{j=1}^m{a}_j{b}_{ij}$)为：
 $B_1:a_1{b}_{11}+a_2{b}_{12}+\cdot \cdot \cdot +a_m{b}_{1m},$
 $B_2:a_1{b}_{21}+a_2{b}_{22}+\cdot \cdot \cdot +a_m{b}_{2m},$
 $\cdot \cdot \cdot$
 $B_n:a_1{b}_{n1}+a_2{b}_{n2}+\cdot \cdot \cdot +a_m{b}_{nm},$
 
 
层次总排序的一致性比率为:$CR=\frac{a_{1}C{I}_1+a_{2}C{I}_2+\cdot \cdot \cdot +a_{m}C{I}_m}{a_{1}R{I}_1+a_{2}R{I}_2+\cdot \cdot \cdot +a_{m}R{I}_m}$,当$CR<0.1$时，认为层次总排序通过一致性检验。
 例子：
 
 
3.算法总结
 
应用领域：经济计划个管理，能源政策和分配，人才选拔和评价，生产决策，交通运输，科研选题，产业结构，教育，医疗，环境，军事等。
处理问题类型：决策、评价、分析、预测等。
建立层次分析结构模型是关键一步，要有主要决策层参与。
构造成对比较矩阵是数量依据，应由经验丰富、判断力强的专家给出。
 
4.参考
 
层次分析法建模——《百度文库》

 
 
 
  
 
   

            层次分析法（Analytic Hierarchy Process，简称AHP）是将与决策总是有关的元素分解成目标、准则、方案等层次，在此基础之上进行定性和
    定量分析
    的决策方法。该方法是美国运筹学家匹茨堡大学教授萨蒂于20世纪70年代初，在为
    美国国防部
    研究"根据各个工业部门对国家福利的贡献大小而进行电力分配"课题时，应用网络系统理论和多目标综合评价方法，提出的一种层次权重决策分析方法。
   
 
   

     
   
 
   

    应用实例编辑 
    

     1、建立递阶层次结构；
    
 
    

     2、构造两两比较判断矩阵；（
     正互反矩阵
     ）  
     
 
      
                           购物层次分析模型
     
 
    
 
    

     对各指标之间进行两两对比之后，然后按9分位比率排定各评价指标的相对优劣顺序，依次构造出评价指标的判断矩阵。
    
 
    

     3、针对某一个标准，计算各备选元素的权重；
    
 
    

     关于判断矩阵权重计算的方法有两种，即几何平均法（根法）和规范列平均法（和法）。
    
 
    

     （1）几何平均法（根法）
    
 
    

     计算矩阵A各行各个元素的乘积，得到一个n行一列的矩阵B；
    
 
    

     计算矩阵每个元素的n次方根得到矩阵C；
    
 
    

     对矩阵C进行归一化处理得到矩阵D；
    
 
    

     该矩阵D即为所求权重向量。
    
 
    

     （2）规范列平均法（和法）
    
 
    

     矩阵A每一列归一化得到矩阵B；
    
 
    

     将矩阵B每一行元素的平均值得到一个一列n行的矩阵C；
    
 
    

     矩阵C即为所求权重向量。
    
 
    

      
    
 
    
2定义
 
    

     所谓层次分析法，是指将一个复杂的多目标决策问题作为一个系统，将目标分解为多个目标或准则，进而分解为多指标（或准则、约束）的若干层次，通过定性指标模糊量化方法算出层次单排序（权数）和总排序，以作为目标（多指标）、多方案优化决策的系统方法。
    
 
    

     层次分析法是将决策问题按总目标、各层子目标、评价准则直至具体的备投方案的顺序分解为不同的层次结构，然后得用求解判断矩阵特征向量的办法，求得每一层次的各元素对上一层次某元素的优先权重，最后再加权和的方法递阶归并各备择方案对总目标的最终权重，此最终权重最大者即为最优方案。这里所谓“优先权重”是一种相对的量度，它表明各备择方案在某一特点的评价准则或子目标，标下优越程度的相对量度，以及各子目标对上一层目标而言重要程度的相对量度。层次分析法比较适合于具有分层交错评价指标的目标系统，而且目标值又难于定量描述的决策问题。其用法是构造
     判断矩阵
     ，求出其最大
     特征值
     。及其所对应的
     特征向量
     W，
     归一化
     后，即为某一层次指标对于上一层次某相关指标的相对重要性权值。
    
 
    

      
    
 
    
3优缺点
 
    
优点
 
    

     1. 系统性的分析方法
    
 
    

     层次分析法把研究对象作为一个系统，按照分解、比较判断、综合的思维方式进行决策，成为继机理分析、统计分析之后发展起来的系统分析的重要工具。系统的思想在于不割断各个因素对结果的影响，而层次分析法中每一层的权重设置最后都会直接或间接影响到结果，而且在每个层次中的每个因素对结果的影响程度都是量化的，非常清晰、明确。这种方法尤其可用于对无结构特性的系统评价以及多目标、多准则、多时期等的系统评价。
    
 
    

     2. 简洁实用的决策方法
    
 
    

     这种方法既不单纯追求高深数学，又不片面地注重行为、逻辑、推理，而是把定性方法与定量方法有机地结合起来，使复杂的系统分解，能将人们的思维过程数学化、系统化，便于人们接受，且能把多目标、多准则又难以全部量化处理的决策问题化为多层次单目标问题，通过两两比较确定同一层次元素相对上一层次元素的数量关系后，最后进行简单的数学运算。即使是具有中等文化程度的人也可了解层次分析的基本原理和掌握它的基本步骤，计算也经常简便，并且所得结果简单明确，容易为决策者了解和掌握。
    
 
    

     3. 所需定量数据信息较少
    
 
    

     层次分析法主要是从评价者对评价问题的本质、要素的理解出发，比一般的定量方法更讲求定性的分析和判断。由于层次分析法是一种模拟人们决策过程的思维方式的一种方法，层次分析法把判断各要素的相对重要性的步骤留给了大脑，只保留人脑对要素的印象，化为简单的权重进行计算。这种思想能处理许多用传统的最优化技术无法着手的实际问题。[1]
    
 
    
缺点
 
    

     1. 不能为决策提供新方案
    
 
    

     层次分析法的作用是从备选方案中选择较优者。这个作用正好说明了层次分析法只能从原有方案中进行选取，而不能为决策者提供解决问题的新方案。这样，我们在应用层次分析法的时候，可能就会有这样一个情况，就是我们自身的创造能力不够，造成了我们尽管在我们想出来的众多方案里选了一个最好的出来，但其效果仍然不够企业所做出来的效果好。而对于大部分决策者来说，如果一种分析工具能替我分析出在我已知的方案里的最优者，然后指出已知方案的不足，又或者甚至再提出改进方案的话，这种分析工具才是比较完美的。但显然，层次分析法还没能做到这点。
    
 
    

     2. 定量数据较少，定性成分多，不易令人信服
    
 
    

     在如今对科学的方法的评价中，一般都认为一门科学需要比较严格的数学论证和完善的定量方法。但现实世界的问题和人脑考虑问题的过程很多时候并不是能简单地用数字来说明一切的。层次分析法是一种带有模拟人脑的决策方式的方法，因此必然带有较多的定性色彩。这样，当一个人应用层次分析法来做决策时，其他人就会说：为什么会是这样？能不能用数学方法来解释？如果不可以的话，你凭什么认为你的这个结果是对的？你说你在这个问题上认识比较深，但我也认为我的认识也比较深，可我和你的意见是不一致的，以我的观点做出来的结果也和你的不一致，这个时候该如何解决？
    
 
    

     比如说，对于一件衣服，我认为评价的指标是舒适度、耐用度，这样的指标对于女士们来说，估计是比较难接受的，因为女士们对衣服的评价一般是美观度是最主要的，对耐用度的要求比较低，甚至可以忽略不计，因为一件便宜又好看的衣服，我就穿一次也值了，根本不考虑它是否耐穿我就买了。这样，对于一个我原本分析的‘购买衣服时的选择方法’的题目，充其量也就只是‘男士购买衣服的选择方法’了。也就是说，定性成分较多的时候，可能这个研究最后能解决的问题就比较少了。
    
 
    

     对于上述这样一个问题，其实也是有办法解决的。如果说我的评价指标太少了，把美观度加进去，就能解决比较多问题了。指标还不够？我再加嘛！还不够？再加！还不够？！不会吧？你分析一个问题的时候考虑那么多指标，不觉得辛苦吗？大家都知道，对于一个问题，指标太多了，大家反而会更难确定方案了。这就引出了层次分析法的第三个不足之处。
    
 
    

     3. 指标过多时数据统计量大，且权重难以确定
    
 
    

     当我们希望能解决较普遍的问题时，指标的选取数量很可能也就随之增加。这就像系统结构理论里，我们要分析一般系统的结构，要搞清楚关系环，就要分析到基层次，而要分析到基层次上的相互关系时，我们要确定的关系就非常多了。指标的增加就意味着我们要构造层次更深、数量更多、规模更庞大的判断矩阵。那么我们就需要对许多的指标进行两两比较的工作。由于一般情况下我们对层次分析法的两两比较是用1至9来说明其相对重要性，如果有越来越多的指标，我们对每两个指标之间的重要程度的判断可能就出现困难了，甚至会对层次单排序和总排序的一致性产生影响，使一致性检验不能通过，也就是说，由于客观事物的复杂性或对事物认识的片面性，通过所构造的判断矩阵求出的特征向量（权值）不一定是合理的。不能通过，就需要调整，在指标数量多的时候这是个很痛苦的过程，因为根据人的思维定势，你觉得这个指标应该是比那个重要，那么就比较难调整过来，同时，也不容易发现指标的相对重要性的取值里到底是哪个有问题，哪个没问题。这就可能花了很多时间，仍然是不能通过一致性检验，而更糟糕的是根本不知道哪里出现了问题。也就是说，层次分析法里面没有办法指出我们的判断矩阵里哪个元素出了问题。[1]
      
     
    
 
    

     4. 特征值和特征向量的精确求法比较复杂
    
 
    

     在求判断矩阵的特征值和特征向量时，所用的方法和我们多元统计所用的方法是一样的。在二阶、三阶的时候，我们还比较容易处理，但随着指标的增加，阶数也随之增加，在计算上也变得越来越困难。不过幸运的是这个缺点比较好解决，我们有三种比较常用的近似计算方法。第一种就是和法，第二种是幂法，还有一种常用方法是根法。
    
 
    

      
    
 
    
4基本步骤
 
    

     建立层次结构模型
    
 
    

     在深入分析实际问题的基础上，将有关的各个因素按照不同属性
     自上而下
     地分解成若干层次，同一层的诸因素从属于上一层的因素或对上层因素有影响，同时又支配下一层的因素或受到下层因素的作用。最上层为目标层，通常只有1个因素，最下层通常为方案或对象层，中间可以有一个或几个层次，通常为准则或指标层。当准则过多时(譬如多于9个)应进一步分解出子准则层。
    
 
    

     构造成对比较阵
    
 
    

     从层次结构模型的第2层开始，对于从属于(或影响)上一层每个因素的同一层诸因素，用
     成对比较法
     和1—9比较尺度构造成对比较阵，直到最下层。
    
 
    

     计算权向量并做一致性检验
    
 
    

     对于每一个成对比较阵计算最大特征根及对应
     特征向量
     ，利用一致性指标、随机一致性指标和一致性比率做一致性检验。若检验通过，特征向量(
     归一化
     后)即为权向量：若不通过，需重新构造成对比较阵。
    
 
    

     计算组合权向量并做组合一致性检验
    
 
    

     计算最下层对目标的组合权向量，并根据公式做组合一致性检验，若检验通过，则可按照组合权向量表示的结果进行决策，否则需要重新考虑模型或重新构造那些一致性比率较大的成对比较阵。
    
 
    

     美国运筹学家T.L.saaty于20世纪70年代提出的层次分析法(Analytic Hierarchy Process，简称AHP方法)，是对方案的多指标系统进行分析的一种层次化、结构化决策方法，它将决策者对复杂系统的决策思维过程模型化、数量化。应用这种方法，决策者通过将复杂问题分解为若干层次和若干因素，在各因素之间进行简单的比较和计算，就可以得出不同方案的权重，为最佳方案的选择提供依据。运用AHP方法，大体可分为以下三个步骤:
    
 
    

     步骤1:分析系统中各因素间的关系，对同一层次各元素关于上一层次中某一准则的重要性进行两两比较，构造两两比较的判断矩阵;
    
 
    

     步骤2:由判断矩阵计算被比较元素对于该准则的相对权重，并进行判断矩阵的一致性检验;
    
 
    

     步骤3:计算各层次对于系统的总排序权重，并进行排序。
    
 
    

     最后，得到各方案对于总目标的总排序。
    
 
    

     构造判断矩阵
    
 
    

     层次分析法的一个重要特点就是用两两重要性程度之比的形式表示出两个方案的相应重要性程度等级。如对某一准则，对其下的各方案进行两两对比，并按其重要性程度评定等级。记为第 和第 因素的重要性之比，表3列出Saaty给出的9个重要性等级及其
     赋值
     。按两两比较结果构成的矩阵 称作判断矩阵。判断矩阵 具有如下性质：
    
 
    

     且 / ( =1,2,… ) 即 为
     正互反矩阵
    
 
    

     表3比例标度表
    
 
    
 
        

         因素 比因素
        
 
 
        

         量化值
        
 
 
        

         同等重要
        
 
 
        

         1
        
 
 
        

         稍微重要
        
 
 
        

         3
        
 
 
        

         较强重要
        
 
 
        

         5
        
 
 
        

         强烈重要
        
 
 
        

         7
        
 
 
        

         极端重要
        
 
 
        

         9
        
 
 
        

         两相邻判断的中间值
        
 
 
        

         2，4，6，8
        
 
 
    

     计算权重向量
    
 
    

     为了从判断矩阵中提炼出有用信息，达到对事物的规律性的认识，为决策提供出科学依据，就需要计算判断矩阵的权重向量。
    
 
    

     定义：判断矩阵 ，如对 … ，成立 ，则称 满足一致性，并称 为一致性矩阵。
    
 
    

     一致性矩阵A具有下列简单性质:
    
 
    

     1、 存在唯一的非零特征值 ,其对应的特征向量归一化后 记为 ，叫做权重向量，且 ；
    
 
    

     2、 的列向量之和经规范化后的向量，就是权重向量；
    
 
    

     3、 的任一列向量经规范化后的向量，就是权重向量；
    
 
    

     4、对 的全部列向量求每一分量的几何平均，再规范化后的向量，就是权重向量。
    
 
    

     因此，对于构造出的判断矩阵，就可以求出最大特征值所对应的特征向量，然后归一化后作为权值。根据上述定理中的性质2和性质4即得到
     判断矩阵
     满足一致性的条件下求取权值的方法，分别称为和法和根法。而当
     判断矩阵
     不满足一致性时，用和法和根法计算权重向量则很不精确。
    
 
    

     一致性检验
    
 
    

     当
     判断矩阵
     的阶数 时，通常难于构造出满足一致性的矩阵来。但判断矩阵偏离
     一致性条件
     又应有一个度，为此，必须对判断矩阵是否可接受进行鉴别，这就是一致性检验的内涵。
    
 
    

     定理:设 是正互反矩阵 的最大特征值则必有 ,其中等式当且仅当 为一致性矩阵时成立。
    
 
    

     应用上面的定理，则可以根据 是否成立来检验矩阵的一致性，如果 比 大得越多，则 的非一致性程度就越严重。因此，定义一致性指标
    
 
    

     （1）
    
 
    

     CI越小，说明一致性越大。考虑到一致性的偏离可能是由于随机原因造成的，因此在检验
     判断矩阵
     是否具有满意的一致性时，还需将CI和平均随机一致性指标RI进行比较，得出检验系数CR，即
    
 
    

     （2）
    
 
    

     如果CR<0.1 ，则认为该判断矩阵通过一致性检验，否则就不具有满意一致性。
    
 
    

     其中，随机一致性指标RI和判断矩阵的阶数有关，一般情况下，矩阵阶数越大，则出现一致性随机偏离的可能性也越大，其对应关系如表4:
    
 
    

     表4 平均随机一致性指标RI标准值(不同的标准不同，RI的值也会有微小的差异)
    
 
    
 
        

         矩阵阶数
        
 
 
        

         1
        
 
 
        

         2
        
 
 
        

         3
        
 
 
        

         4
        
 
 
        

         5
        
 
 
        

         6
        
 
 
        

         7
        
 
 
        

         8
        
 
 
        

         9
        
 
 
        

         10
        
 
 
        

         RI
        
 
 
        

         0
        
 
 
        

         0
        
 
 
        

         0.58
        
 
 
        

         0.90
        
 
 
        

         1.12
        
 
 
        

         1.24
        
 
 
        

         1.32
        
 
 
        

         1.41
        
 
 
        

         1.45
        
 
 
        

         1.49
        
 
 
    

     可见，AHP方法不仅原理简单，而且具有扎实的理论基础，是定量与定性方法相结合的优秀的决策方法，特别是定性因素起主导作用的决策问题。
    
 
    
5注意事项
 
    

     如果所选的要素不合理，其含义混淆不清，或要素间的关系不正确，都会降低AHP法的结果质量，甚至导致AHP法决策失败。
    
 
    

     为保证递阶层次结构的合理性，需把握以下原则：
    
 
    

     1、分解简化问题时把握主要因素，不漏不多；
    
 
    

     2、注意相比较元素之间的强度关系，相差太悬殊的要素不能在同一层次比较。
    
 
    

      
    
 
    

      
    
 
    

      
    
 
   
 
  
 
 
 

       层次分析法（The analytic hierarchy process）简称AHP，在20世纪70年代中期由美国运筹学家托马斯.塞蒂（T.L.saaty）正式提出。它是一种定性和定量相结合的、系统化、层次化的分析方法。由于它在处理复杂的决策问题上的实用性和有效性，很快在世界范围得到重视。它的应用已遍及经济计划和管理、能源政策和分配、行为科学、军事指挥、运输、农业、教育、人才、医疗和环境等领域。
 
计算步骤
 
       1、建立层次结构模型。在深入分析实际问题的基础上，将有关的各个因素按照不同属性自上而下地分解成若干层次，同一层的诸因素从属于上一层的因素或对上层因素有影响，同时又支配下一层的因素或受到下层因素的作用。最上层为目标层，通常只有1个因素，最下层通常为方案或对象层，中间可以有一个或几个层次，通常为准则或指标层。当准则过多时(譬如多于9个)应进一步分解出子准则层。
 
　　2、构造成对比较阵。从层次结构模型的第2层开始，对于从属于(或影响)上一层每个因素的同一层诸因素，用成对比较法和1—9比较尺度构造成对比较阵，直到最下层。
 
　　3、计算权向量并做一致性检验。对于每一个成对比较阵计算最大特征根及对应特征向量，利用一致性指标、随机一致性指标和一致性比率做一致性检验。若检验通过，特征向量(归一化后)即为权向量：若不通过，需重新构造成对比较阵。
 
　　4、计算组合权向量并做组合一致性检验。计算最下层对目标的组合权向量，并根据公式做组合一致性检验，若检验通过，则可按照组合权向量表示的结果进行决策，否则需要重新考虑模型或重新构造那些一致性比率较大的成对比较阵。
 
案例
 
（1）建立层次结构模型
 
        层次分析法的基本思路与人对一个复杂的决策问题的思维、判断过程大体上是一样的。不妨用选拔干部为例：对三个干部候选人y1、y2 、y3，按选拔干部的五个标准：品德、才能、资历、年龄和群众关系，构成如下层次分析模型： 假设有三个干部候选人y1、y2 、y3，按选拔干部的五个标准：品德，才能，资历，年龄和群众关系，构成如下层次分析模型
 
 
（2）构造判断矩阵
 
       在确定各层次各因素之间的权重时，如果只是定性的结果，则常常不容易被别人接受，因而Saaty等人提出：一致矩阵法，即：不把所有因素放在一起比较，而是两两相互比较。对比时采用相对尺度，以尽可能减少性质不同因素相互比较的困难，以提高准确度。
 
       比较第 i 个元素与第 j 个元素相对上一层某个因素的重要性时，使用数量化的相对权重aij来描述。设共有 n 个元素参与比较，则称为成对比较矩阵。
 
　　成对比较矩阵中aij的取值可参考 Satty 的提议，按下述标度进行赋值。aij在 1-9 及其倒数中间取值。
 
aij = 1，元素 i 与元素 j 对上一层次因素的重要性相同；
aij = 3，元素 i 比元素 j 略重要；
aij = 5，元素 i 比元素 j 重要；
aij = 7， 元素 i 比元素 j 重要得多；
aij = 9，元素 i 比元素 j 的极其重要；
aij = 2n，n=1,2,3,4，元素 i 与 j 的重要性介于aij = 2n − 1与aij = 2n + 1之间；
，n=1,2,...,9， 当且仅当aji = n。
　　成对比较矩阵的特点：。（备注：当i=j时候，aij = 1）
 
       对该例 2， 选拔干部考虑5个条件：品德x1，才能x2，资历x3，年龄x4，群众关系x5。某决策人用成对比较法，得到成对比较阵如下：
 
　　
 
　　a14 = 5 表示品德与年龄重要性之比为 5，即决策人认为品德比年龄重要。
 
（3）判断矩阵的一致性检验
 
       所谓一致性是指判断思维的逻辑一致性。如当甲比丙是强烈重要，而乙比丙是稍微重要时，显然甲一定比乙重要。这就是判断思维的逻辑一致性，否则判断就会有矛盾。
 
       从理论上分析得到：如果A是完全一致的成对比较矩阵，应该有
 
　　
 
　　但实际上在构造成对比较矩阵时要求满足上述众多等式是不可能的。因此退而要求成对比较矩阵有一定的一致性，即可以允许成对比较矩阵存在一定程度的不一致性。
 
　　由分析可知，对完全一致的成对比较矩阵，其绝对值最大的特征值等于该矩阵的维数。对成对比较矩阵 的一致性要求，转化为要求： 的绝对值最大的特征值和该矩阵的维数相差不大。
 
　　检验成对比较矩阵A一致性的步骤如下：
 
计算衡量一个成对比较矩阵 A （n>1 阶方阵）不一致程度的指标CI：
　　
 
　　RI是这样得到的:对于固定的n,随机构造成对比较阵A, 其中aij是从1,2,…,9,1/2,1/3,…,1/9中随机抽取的. 这样的A是不一致的, 取充分大的子样得到A的最大特征值的平均值
 
n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
RI
0
0
0.58
0.90
1.12
1.24
1.32
1.41
1.45
　　注解:
 
从有关资料查出检验成对比较矩阵 A 一致性的标准RI：RI称为平均随机一致性指标，它只与矩阵阶数 n 有关。
按下面公式计算成对比较阵 A 的随机一致性比率 CR：
　　 。
 
判断方法如下： 当CR<0.1时，判定成对比较阵 A 具有满意的一致性，或其不一致程度是可以接受的；否则就调整成对比较矩阵 A，直到达到满意的一致性为止。
　　例如对例 2 的矩阵
 
　　
 
　　计算得到,查得RI=1.12，
 
　　
 
　　这说明 A 不是一致阵，但 A 具有满意的一致性，A 的不一致程度是可接受的。
 
　　此时A的最大特征值对应的特征向量为U=(-0.8409,-0.4658,-0.0951,-0.1733,-0.1920)。 这个向量也是问题所需要的。通常要将该向量标准化：使得它的各分量都大于零，各分量之和等于 1。该特征向量标准化后变成U = (0.475,0.263,0.051,0.103,0.126)Z。经过标准化后这个向量称为权向量。这里它反映了决策者选拔干部时，视品德条件最重要，其次是才能，再次是群众关系，年龄因素，最后才是资历。各因素的相对重要性由权向量U的各分量所确定。
 
　　求A的特征值的方法，可以用 MATLAB 语句求A的特征值:〔Y,D〕=eig（A），D为成对比较阵 的特征值，Y的列为相应特征向量。
 
　　在实践中，可采用下述方法计算对成对比较阵A = (aij)的最大特征值λmax(A)和相应特征向量的近似值。
 
　　定义
 
　　，
 
　　可以近似地看作A的对应于最大特征值的特征向量。
 
　　计算
 
　　
 
　　可以近似看作A的最大特征值。实践中可以由λ来判断矩阵A的一致性
 
（4） 层次总排序及决策
 
       现在来完整地解决例 2 的问题，要从三个候选人y1,y2,y3中选一个总体上最适合上述五个条件的候选人。对此，对三个候选人y = y1,y2,y3分别比较他们的品德(x1)，才能(x2)，资历(x3)，年龄(x4)，群众关系(x5)。
 
　　先成对比较三个候选人的品德，得成对比较阵
 
　　
 
　　经计算，B1的权向量
 
　　ωx1(Y) = (0.082,0.236,0.682)z
 
　　
 
　　故B1的不一致程度可接受。ωx1(Y)可以直观地视为各候选人在品德方面的得分。
 
　　类似地，分别比较三个候选人的才能，资历，年龄，群众关系得成对比较阵
 
　　　　 
 
　　
 
　　
 
　　通过计算知，相应的权向量为
 
　　 
 
　　 
 
　　 
 
　　 
 
　　它们可分别视为各候选人的才能分，资历分，年龄分和群众关系分。经检验知B2,B3,B4,B5的不一致程度均可接受。
 
　　最后计算各候选人的总得分。y1的总得分
 
　　 
 
　　从计算公式可知，y1的总得分ω(y1)实际上是y1各条件得分ωx1(y1) ,ωx2(y1) ,...,ωx5(y1) ,的加权平均, 权就是各条件的重要性。同理可得y2,Y3 的得分为
 
　　ωz(y2) = 0.243,ωz(y3) = 0.452
 
 
0.457
0.263
0.051
0.103
0.126
总得分
Y1
0.082
0.606
0.429
0.636
0.167
0.305
Y2
0.244
0.265
0.429
0.185
0.167
0.243
Y3
0.674
0.129
0.143
0.179
0.667
0.452
　　即排名:Y3 > Y1 > Y2
 
　　比较后可得：候选人y3是第一干部人选。
 
优缺点
 
（一）优点
 
1. 系统性的分析方法：
 
       层次分析法把研究对象作为一个系统，按照分解、比较判断、综合的思维方式进行决策，成为继机理分析、统计分析之后发展起来的系统分析的重要工具。
 
2. 简洁实用的决策方法：
 
       这种方法既不单纯追求高深数学，又不片面地注重行为、逻辑、推理，而是把定性方法与定量方法有机地结合起来。
 
3. 所需定量数据信息较少：
 
层次分析法主要是从评价者对评价问题的本质、要素的理解出发，比一般的定量方法更讲求定性的分析和判断。
 
（二）缺点
 
1. 不能为决策提供新方案：
 
       层次分析法的作用是从备选方案中选择较优者。这个作用正好说明了层次分析法只能从原有方案中进行选取，而不能为决策者提供解决问题的新方案。
 
2. 定量数据较少，定性成分多，不易令人信服：
 
       在如今对科学的方法的评价中，一般都认为一门科学需要比较严格的数学论证和完善的定量方法。但现实世界的问题和人脑考虑问题的过程很多时候并不是能简单地用数字来说明一切的。
 
3. 指标过多时数据统计量大，且权重难以确定：
 
       当我们希望能解决较普遍的问题时，指标的选取数量很可能也就随之增加。
 
4. 特征值和特征向量的精确求法比较复杂：
 
       在求判断矩阵的特征值和特征向量时，所用的方法和我们多元统计所用的方法是一样的。
 
注意事项
 
       如果所选的要素不合理，其含义混淆不清，或要素间的关系不正确，都会降低AHP法的结果质量，甚至导致AHP法决策失败。
 
　　为保证递阶层次结构的合理性，需把握以下原则：
 
　　1、分解简化问题时把握主要因素，不漏不多；
 
　　2、注意相比较元素之间的强度关系，相差太悬殊的要素不能在同一层次比较。
 
四层AHP
 
      上面例子是只有目标层、准则层、方案层，下面的结构多了子准则层，并且准则层对应不同的子准则层
 
 
如果对你有帮助，请点下赞，予人玫瑰手有余香！
 
时时仰望天空，理想就会离现实越来越近！
 
 

层次分析法的求解步骤
 
1.建立层次结构模型
 
模型分为三层。分别为最高层（决策问题最终要解决什么，即决策的目的）、中间层（考虑的因素，决策的准则。比如买衣服要考虑价格、尺寸、款式等因素）和最低层（决策时的备选方案，即有几种选择可以选择）。也叫作目标层、准则层、方案层。
 层次分析法所要解决的问题是关于最低层对最高层的相对权重的问题，按此相对权重可以对最低层中的各种方案、措施进行排序，从而在不同的方案中做出选择或形成选择方案的原则。
 
2.列出权重表格
 
分别由方案、考虑因素、所占权重组成。首先得出准则权重，然后由准则权重确定不同方案的权重。例如：下图旅游选择旅游地点：
 
 图：确定准则权重
 
 
图：准则权重确定不同的方案权重（景色）
 
3.构造判断矩阵
 
直接对权重表格考虑填好，往往会考虑不周，因此分而治之，两个两个指标进行比较，最终由两两比较的结果来推出权重。采用相对尺度，以尽可能减少性质不同因素相互比较的困难，以提高准确度。
 书上给的解释：
 在确定影响某因素的诸因子在该因素中所占的比重时，遇到的主要困难是这些比重常常不易定量化。此外，当影响某因素的因子较多时，直接考虑各因子对该因素有多大程度的影响时，常常会因考虑不周全、顾此失彼而使决策者提出与他实际认为的重要性程度不相一致的数据，甚至有可能提出一组隐含矛盾的数据。
 ——选自司守奎[kuí]老师的《数学建模算法与应用》
 两个元素进行比较时，可用于判断权重的标度，以此来对各个考虑因素确定重要程度。(判断矩阵)
 

 两个元素进行比较时，判断权重标度时表格。
 
 
（此图有误，为正互反矩阵，但不是一致矩阵）
 此矩阵为正互反矩阵，即矩阵所有元素均大于0，并且aij*aji=1(i为行，j为列)
 注意：𝑎ij表示的意义是，与指标𝑗相比，𝑖的程度。
 当𝑖 = 𝑗时，两个指标相同，因此同等重要记为1，这就解释了主对角线元素为1。
 元素应该是1-9整数或者其倒数，有的写为诸如4/3是不对的。
 然后重复上述步骤，对准则权重确定不同的方案权重同样列出判断矩阵。如：
 
 
4.一致矩阵的判断
 
若正互反矩阵满足𝑎ij* 𝑎jk =𝑎ik，则我们称其为一致矩阵。(式中i、j、k都为整数，直接取即可)如果第5条中一致矩阵检验不通过，进行修正，可使矩阵满足各行或者各列之间成倍数关系。下图为修正后的一致矩阵：
 
 引理：n阶正互反矩阵A为一致矩阵时当且仅当最大特征值等于n.并且当正互反矩阵非一致时，一定满足最大特征值大于n.矩阵越不一致时，最大特征值和n相差就越大。
 
5.一致性检验
 
定义一致性指标CI=（λ−n）/（n−1） CI=0，有完全的一致性；
 CI接近于0，有满意的一致性；CI越大，不一致越严重。
 第一步：计算一致性指标CI CI=（λ−n）/（n−1）
 第二步：查找对应的平均随机一致性指标RI
 
 
第三步：计算一致性比例CR
 CR=CI/RI
 如果CR<0.1,则认为判断矩阵的一致性可以接受，否则需要修正。
 注：特征值可用matlab软件进行计算，没学过线性代数的同学也不需要担心。如果特征值中有虚数，则比较的是特征值的模长。
 
6.判断矩阵计算权重
 
三种方法计算权重：
 （1） 算术平均法（2）几何平均法（3）特征值法
 比赛时尽量三种方法均使用：
 以往的论文利用层次分析法解决实际问题时，都是采用其中某一种方法求权重，而不同的计算方法可能会导致结果有所偏差。为了保证结果的稳健性，本文采用了三种方法分别求出了权重后计算平均值，再根据得到的权重矩阵计算各方案的得分，并进行排序和综合分析，这样避免了采用单一方法所产生的偏差，得出的结论将更全面、更有效。
 
算数平均法求权重
 第一步：将判断矩阵按照列归一化（每一个元素除以其所在列的和）
 第二步：将归一化的各列相加(按行求和)
 第三步：将相加后得到的向量中每个元素除以n即可得到权重向量
 就像这样：
 
几何平均法求权重
 第一步：将A的元素按照行相乘得到一个新的列向量
 第二步：将新的向量的每个分量开n次方
 第三步：对该列向量进行归一化即可得到权重向量
特征值法求权重
 假如我们的判断矩阵一致性可以接受，那么我们可以仿照一致矩阵权重的求法。
 第一步：求出矩阵A的最大特征值以及其对应的特征向量
 第二步：对求出的特征向量进行归一化即可得到我们的权重
 最后求解得出权重表：
 如：
 
 （景色）
 
 
最终得出总表：
 
 
由此来分别计算各个方案的得分，做出决策。
 
7.层次分析法的一些缺点
 
*–和一般的评价过程, 特别是模糊综合评价相比, AHP客观性提高, 但当因素多 (超过9个) 时, 标度工作量太大, 宜引起标度专家反感和判断混乱.
 *–对判断矩阵的一致性讨论得较多, 而对判断矩阵的合理性考虑得不够, 这是因为对标度专家的数量和质量重视不够
 *–没有充分利用已有定量信息.AHP都是研究专门的定性指标评价问题, 对于既有定性指标也有定量指标的问题 (这种问题更普遍) 讨论得不够.事实上, 为使评价客观, 评价过程中应尽量使用定量指标, 实在没有定量指标再用定性判断
 *–判断矩阵中的各个标度的赋值有很大的随意性, 同时, 这种赋值方式对于单人决策是可行的, 对于多人决策, 可能会出现冲突。虽然也可以通过专家决策法将决策意见进行汇总取权重, 但这个过程周期长且比较复杂
 *–判断矩阵的赋值方式有待斟酌, 即矩阵中对称位置权数取倒数关系。该赋值一方面忽视现实决策中的非理性实际,鉴于此, 层次分析法中提出了一致性 检验, 即找出实际决策环境中的随机判断矩阵的最大特征值 λ , 用公式 (λ-n)/ (n-1)来检验矩阵的一致性指标, 但仅仅是检验, 而不能在决策之前就对决策进行指导。
 *–正反矩阵的这种“倒数”赋值 会在后面的计算标准权重和相对权重中 产生“意见放大”现象
 *–不能为决策提供新方案。层次分析法的作用是从备选方案中选择较优者。这个作用正好说明了层次分析法只能从原有方案中进行选取，，而不能为决策者提供解决问题的新方案。
 自己总结