第一讲：层次分析法

模型介绍

评价类问题可用打分解决









根据权重表格计算得分



一个小小的总结

一道引出层次分析法的例题





















还记得这张权重表格吗？

直接问权重的弊端

分而治之的思想

层次分析法的思想登场











填写判断矩阵



一个可能出问题的地方

一致矩阵

一致矩阵的例子



一致性检验





一致性检验的步骤

两个小问题

一致矩阵怎么计算权重

判断矩阵计算权重



方法1：算数平均法算权重





方法2：几何平均法求权重

方法3特征值求权重



将计算结果填入权重表

代码演示





汇总结果到权重矩阵

计算个方案的得分





三个问题对我们的启发

层次分析法第一步

使用SmartArt生成

使用专业软件：亿图图示

层次分析法第二步

构造判断矩阵

看看优秀论文的做法吧





层次分析法第三步

一致性检验的步骤

CR>0.1如何修正

层次分析法第四步

层次分析法的一些局限性

代码详解



本节代码部分知识点索引

模型拓展







课后练习

课后训练

下一讲预告：TOPSIS法

层次分析法
层次分析法
层次分析法的应用

层次分析法
层次分析法（Analytic Hierarchy Process，简称 AHP）是对一些较为复杂、较为模 糊的问题作出决策的简易方法，它特别适用于那些难于完全定量分析的问题。它是美 国运筹学家 T. L. Saaty 教授于上世纪 70 年代初期提出的一种简便、灵活而又实用的 多准则决策方法。
§1 层次分析法的基本原理与步骤 人们在进行社会的、经济的以及科学管理领域问题的系统分析中，面临的常常是 一个由相互关联、相互制约的众多因素构成的复杂而往往缺少定量数据的系统。层次 分析法为这类问题的决策和排序提供了一种新的、简洁而实用的建模方法。 运用层次分析法建模，大体上可按下面四个步骤进行： （i）建立递阶层次结构模型； （ii）构造出各层次中的所有判断矩阵； （iii）层次单排序及一致性检验； （iv）层次总排序及一致性检验。 下面分别说明这四个步骤的实现过程。 1.1  递阶层次结构的建立与特点 应用 AHP 分析决策问题时，首先要把问题条理化、层次化，构造出一个有层次 的结构模型。在这个模型下，复杂问题被分解为元素的组成部分。这些元素又按其属 性及关系形成若干层次。上一层次的元素作为准则对下一层次有关元素起支配作用。 这些层次可以分为三类： （i）最高层：这一层次中只有一个元素，一般它是分析问题的预定目标或理想结 果，因此也称为目标层。 （ii）中间层：这一层次中包含了为实现目标所涉及的中间环节，它可以由若干 个层次组成，包括所需考虑的准则、子准则，因此也称为准则层。 （iii）最底层：这一层次包括了为实现目标可供选择的各种措施、决策方案等， 因此也称为措施层或方案层。 递阶层次结构中的层次数与问题的复杂程度及需要分析的详尽程度有关，一般地 层次数不受限制。每一层次中各元素所支配的元素一般不要超过 9 个。这是因为支配 的元素过多会给两两比较判断带来困难。


层次分析法的应用
在应用层次分析法研究问题时，遇到的主要困难有两个：（i）如何根据实际情况 抽象出较为贴切的层次结构；（ii）如何将某些定性的量作比较接近实际定量化处理。 层次分析法对人们的思维过程进行了加工整理，提出了一套系统分析问题的方法，为 科学管理和决策提供了较有说服力的依据。但层次分析法也有其局限性，主要表现在： （i）它在很大程度上依赖于人们的经验，主观因素的影响很大，它至多只能排除思维 过程中的严重非一致性，却无法排除决策者个人可能存在的严重片面性。（ii）比较、 判断过程较为粗糙，不能用于精度要求较高的决策问题。AHP 至多只能算是一种半定 量（或定性与定量结合）的方法。 在应用层次分析法时，建立层次结构模型是十分关键的一步。现再分析一个实例， 以便说明如何从实际问题中抽象出相应的层次结构。 例 2  挑选合适的工作。经双方恳谈，已有三个单位表示愿意录用某毕业生。该 生根据已有信息建立了一个层次结构模型，如图 2 所示。 ：

通俗语言讲解层次分析法
算法概述
算法导入
导入总结
问题描述
权重表格的生成
一致性检验
权重的计算
层次结构图
层次分析法局限性


参考资料：清风老师的数学建模课试听课程

中间夹杂了自己对知识点的理解

算法概述
此算法根据我们的目标和评价指标，通过对不同的方案打分，最终在备选方案中选择分高的那个方案。
算法导入
如果要科学严谨地评价兵长和魏无羡谁是我心目中的第一男神，我只需要列出一张表

（表格内数据纯属胡侃）



在这个表格中，颜色相同的部分之和均为1，所有数字均是指权重或比例

那么我们可以计算出两位男神的得分

兵长：0.4x0.4+0.3x0.5+0.2x0.3+0.1x0.7=0.44

魏无羡：0.4x0.6+0.3x0.5+0.2x0.7+0.1x0.3=0.56

恭喜我们的羡羡


导入总结
1.根据要研究的问题，先确定我们的目标（选出第一男神）和备选方案（兵长和魏无羡）

2.根据网上资料、对问题的理解来确定评价指标（颜值、身手、身高、声音）

3.权重表格的生成

4.计算权重
问题描述
在桂林、苏杭、北戴河选择一个最佳旅游景点。通过资料确定评价指标为：交通、景色、花费、居住、饮食。
权重表格的生成
我们需要填写好这张表：



直接填写因为很难同时兼顾众多指标而难度很大，所以我们两两为一组来讨论权重，最终再汇总。

注意：颜色相同的部分，其权重和为1，所以可将表分为6个部分，对其中每一个部分中的元素两两为一组讨论权重，所以最终会生成6个表格。

下面以上图表格中蓝色部分为例：

首先考虑景色和花费，如果你觉得花费比景色稍微重要一些，根据下表



选择数值2，理解为花费：景色=2：1，那么景色：花费=1：2，即1/2



同理，根据资料和你对问题的理解，确定相应的权重，将上述表格填写完整，就能生成层次分析法中的判断矩阵：



我们观察这个矩阵:

1.是一个方阵

2.每个元素都大于0，且aij*aji=1,满足这两个条件的矩阵被称为正互反矩阵

同理我们生成：



在这个矩阵中我们能发现：

苏杭：北戴河=2：1，北戴河：桂林=2：1，那么苏杭：桂林应该等于4：1，然而在表格中，苏杭：桂林=1：1，此时出现了逻辑问题。

对数据稍微修改一下：



此时逻辑问题被解决，矩阵被称为一致性矩阵。

一致性矩阵的要求：aij=aik * akj


观察矩阵，会发现每一行（列）都是呈一定比例缩放的。

反证法证明：aij=aik * akj能推出矩阵每一行（列）都是呈一定比例缩放的



但是控制矩阵完全一致不太可能，所以要控制不一致的程度。所以需要一致性检验，当不一致性太大，判断矩阵就失效了。这时就需要重新构造判断矩阵。
一致性检验
我们知道一致矩阵各行呈比例，在线性代数中，此矩阵秩为1，仅有一个非零特征值，也是最大特征值，其数值为n

以下为推导：（这里没有写特征向量的推导）





有图有真相：（行：a的取值，列：最大特征值）





我们可以根据这个性质来定义一致性检验。

一致性检验的计算步骤：


权重的计算
如果我们的矩阵是一致矩阵：



首先在计算前，将数据进行归一化。

因为是一致矩阵，所以只需取一列（行）来计算权重即可。

这里我懒癌犯了，数据是没有归一化的数据。

苏杭：1/(1+0.5+0.25)，北戴河、桂林同理，这样就算出了在景色指标下，三个景点的权重（也可理解为令人满意的程度）
若我们的矩阵不是一致矩阵：

计算前，将数据归一化

1.算术平均法求权重



2.几何平均法求权重



3.特征值法求权重

这是在建模，三个求法当中，运用次数最多的一个





将计算结果填入表：



同理重复上述步骤，可将整个表格填写完整。



最后计算景点的得分：

苏杭：指标权重列与苏杭对应列的元素相乘后求和，其余同理。

最终可得，得分最高的是桂林。所以最佳旅游景点是桂林。
层次结构图


扯个题外话 ，这个结构和神经网络结构机器相似，除了箭头的方向。但是小弟才疏学浅，就不继续深挖下去了。看来这两个算法在我这篇博客里是有缘无份咯。
层次分析法局限性
1.RI表格的n值的最多到15，所以n的值不能过大

2.若指标数据已知，则数据的运用也是问题。

AHP
层次分析法
层次分析法的特点
基本概念
重要性表
判断矩阵
为什么要引入判断矩阵呢？
判断矩阵的特点
一致矩阵
为什么要定义一致矩阵呢？
一致矩阵的特点:
一致矩阵的引理：
一致性检验的步骤
判断矩阵计算权重
算术平均法求权重
几何平均法
特征值法求权重
层次分析法的局限性
层次分析法框架图

层次分析法

评价类问题可用打分来解决，也就是说通过分数来量化一个评价指标，层次分析法就是一个量化指标的方法。
解决评价类问题的思路：

评价的目标是什么？
达到这个目标有哪几种可选的方案？
评价的准则或者说评价的指标是什么？


一般来说，前两个问题的答案是根据数学建模题目可以判断出来的，但是第三个问题的答案就需要根据题目中的背景材料、常识以及网上搜索到的参考资料进行结合，从中筛选出最合适的指标，就可以根据指标来对方案进行打分



层次分析法的特点


层次分析法的主要特点是通过建立递阶层次结构，把人类的判断转化为若干因素两两之间重要度的比较上，从而把难于量化的定性判断转化为可操作的重要度的比较上面。在很对情况下，决策者可以直接使用层次分析法（AHP）进行决策，极大地提高了决策的有效性、可靠性和可行性，但本质是一种思维方式，它把复杂问题分解成多个组成因素，又将这些因素按支配关系分别形成递阶层次结构，通过两两比较的方法确定决策方案相对重要度的总排序。整个过程体现了人类决策思维的基本特征，即分解、判断、综合、克服了其他方法回避决策者主观判断的缺点
基本概念
重要性表

判断矩阵
判断矩阵是层次分析法用来分析的一个方阵，方阵里的元素是评价指标之间两两比较得出的分值
为什么要引入判断矩阵呢？
这是为了确定指标的权重，一次性考虑全部指标之间的关系，往往考虑不周，因此采用了分而治之的思想，对单个指标进行研究，在这个指标下对方案之间两两比较进行评分，最后计算出该指标的权重
判断矩阵的特点
记方阵为A，对应的元素为$\boldsymbol{a_{ij}}$

$\boldsymbol{a_{ij}}$表示的意义是，与指标$\boldsymbol{j}$相比，$\boldsymbol{i}$的重要程度，重要程度由重要性表给出
当$\boldsymbol{i}=\boldsymbol{j}$时，两个指标相同，因此同等重要记为1，所以主对角线上的元素为1
$\boldsymbol{a_{ij}>0}$且满足$\boldsymbol{a_{ij}\times a_{ji}=1}$（满足正互反矩阵）

一致矩阵
为什么要定义一致矩阵呢？
这是为了要判断我们的判断矩阵是否是不一致的，也就是判断矩阵会出现一些逻辑上的错误，一致矩阵的目的就是用来检验判断矩阵中是否存在很大的逻辑错误（可以容忍稍微的不一致）
一致矩阵的特点:
各行（各列）之间成倍数关系

$\boldsymbol{a_{ij}=\frac{\text{i的重要程度}}{\text{j的重要程度}}}$

$\boldsymbol{a_{jk}=\frac{\text{j的重要程度}}{\text{k的重要程度}}}$

$\boldsymbol{a_{ik}=\frac{\text{i的重要程度}}{\text{k的重要程度}}=a_{ij}\times a_{jk}}$
一致矩阵的引理：

A为n阶方阵，且A的秩$\boldsymbol{r(A)=1}$，则A有一个特征值为$\boldsymbol{tr（A）}$，其余特征值均为0，当特征值为n时，对应的特征向量刚好为$\boldsymbol{k[\frac{1}{a_{11}},\frac{1}{a_{12}}···\frac{1}{a_{1n}}]^T(k\ne 0)}$
n阶正互反矩阵A为一致矩阵时当且仅当最大特征值$\boldsymbol{\lambda_{max}=n}$，且当正互反矩阵A非一致时，一定满足$\boldsymbol{\lambda_{max}>n}$

一致性检验的步骤
第一步：计算一致性指标CI

$\boldsymbol{CI=\frac{\lambda_{max}-n}{n-1}}$

第二步：查找对应的平均随机一致性指标RI

RI的值是这样得到的，用随机方法构造500个样本矩阵，随机地从1~9及其倒数中抽取数字构造正互反矩阵，求得最大特征根的平均值$\boldsymbol{\lambda'_{max}}$

$\boldsymbol{RI=\frac{\lambda'_{max}-n}{n-1}}$

第三步：计算一致性比例CR

$\boldsymbol{CR=\frac{CI}{RI}}$

如果CR < 0.1，则可认为判断矩阵的一致性可以接受，否则需要对判断矩阵进行修正（判断矩阵一般不会完全一致）
假如CR > 0.1，此时应该对判断矩阵进行修正，往一致矩阵上调整，一致矩阵各行各列成比例
判断矩阵计算权重

一致矩阵因为各行和各列之间成比例，因此不需要每一行都计算出所占的权重，但是判断矩阵不同，判断矩阵不是每一行或每一列都成比例，因此在某些地方计算出来的权重是不相同的

算术平均法求权重

归一化处理权重：对每一行（列）的元素对该行（列）全部元素进行求和，该行对应的元素除以该行元素的总和就可以得出该元素（方案）的权重
将归一化后的各列相加（按行求和），将相加后得到的向量中的每个元素除以方案数n即可得到权重向量

数学表示：$假设判断矩阵=\left[
\begin{array}{ccc}
    a_{11} & a_{12} &... & a_{1n} \\
    a_{21} & a_{22} &... & a_{2n} \\
    ... &... &... &...\\
    a_{n1} & a_{n2} &... & a_{nn}
\end{array}
\right]$

$那么算术平均法求得的权重向量\ \omega_i=\frac{1}{n}\sum_{j=1}^n\frac{a_{ij}}{\sum_{k=1}^na_{kj}}(i=1,2,...,n)$
几何平均法

将矩阵A中的元素按照行相乘得到一个新的列向量
将新的向量的每个分量开n次方
对该列向量进行归一化处理即可得到权重向量

$假设判断矩阵A=\left[
\begin{array}{ccc}
 a_{11} & a_{12} &... & a_{1n} \\
 a_{21} & a_{22} &... & a_{2n} \\
 ... &... &... &...\\
 a_{n1} & a_{n2} &... & a_{nn}
\end{array}
\right]$

$那么几何平均法求得的权重向量\ \omega_i=\frac{(\prod^n_{j=1}a_{ij})^{\frac{1}{n}}}{\sum^n_{k=1}(\prod^n_{j=1}a_{kj})^{\frac{1}{n}}}$

特征值法求权重
由前面可知，一致矩阵有一个特征值为n，其余特征值为0，而且当特征值为n时，对应的特征向量刚好为$\boldsymbol{k[\frac{1}{a_{11}},\frac{1}{a_{12}}···\frac{1}{a_{1n}}]^T(k\ne 0)}$，分析可知$\boldsymbol{[\frac{1}{a_{11}},\frac{1}{a_{12}}···\frac{1}{a_{1n}}]^T}$就是一致矩阵的第一列上的元素
假如判断矩阵的一致性可以接受，那么也可以仿照一致矩阵权重的求法

求出矩阵A的最大特征值以及其对应的特征向量
对求出的特征向量进行归一化处理即可得到权重


只有判断矩阵通过一致性检验才能使用

层次分析法的局限性

评价的决策层（方案层）不能太多，太多的话n会很大，判断矩阵和一致矩阵差异可能会很大

平均随机一致性指标RI的表格中n最多是15
如果决策层中指标的数据是已知，再用层次分析法去主观给出判断矩阵显然是不合理的，那么我们该如何利用这些数据来世的评价更加准确呢？

层次分析法框架图


从上到下顺序地存在支配关系，并用直线段表示，除目标层外，每个元素至少受上一层一个元素支配，除最后一层外，每个元素至少支配下一层次一个元素，上下层元素的联系比同一层次强，以避免同一层次中不相邻元素存在支配关系；
整个结构中，层次数不受限制
最高层只有一个元素，每一个元素所支配的元素一般不超过9个，元素过多时可进一步分组。
由上图可以看到在准则层中，可以有不同的准则，以及准则之下还可以有子准则。