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  • 层次分析法

    2020-07-17 20:53:26
    层次分析法一、层次分析法原理二、解题步骤(1)层次结构模型(2)成对比较矩阵成对比较矩阵(有现成代码进行一致性检验和求权重)②成对比较阵标度表及举例③一致性检验三、旅游性问题举例(1)建模(2)构造成对...

    一、层次分析法原理

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    二、解题步骤

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    (1)层次结构模型

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    (2)成对比较矩阵

    ①成对比较矩阵(有现成代码进行一致性检验和求权重)

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    ②成对比较阵标度表及举例

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    ③一致性检验

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    三、旅游性问题举例

    (1)建模

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    (2)构造成对比较矩阵

    其中A矩阵为A1 、A2 、A3 、A4 、A5之间的重要性对比
    Bx矩阵为只以Ax为参考量,B1 、B2 、B3之间的关系(也就是说把B1 、B2 、B3之间的景色进行对比,例如此例中B1的景色:B2的景色 = 2)

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    (3)根据成对比较矩阵求权重(有现成的代码)

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    四、MATLAB实现代码

    disp('请输入判断矩阵A(n阶)');
    A=input('A=');
    [n,n]=size(A);
    x=ones(n,100);
    y=ones(n,100);
    m=zeros(1,100);
    m(1)=max(x(:,1));
    y(:,1)=x(:,1);
    x(:,2)=A*y(:,1);
    m(2)=max(x(:,2));
    y(:,2)=x(:,2)/m(2);
    p=0.0001;i=2;k=abs(m(2)-m(1));
    while  k>p
      i=i+1;
      x(:,i)=A*y(:,i-1);
      m(i)=max(x(:,i));
      y(:,i)=x(:,i)/m(i);
      k=abs(m(i)-m(i-1));
    end
    a=sum(y(:,i));
    w=y(:,i)/a;
    t=m(i);
    disp(w);
             %以下是一致性检验
    CI=(t-n)/(n-1);RI=[0 0 0.52 0.89 1.12 1.26 1.36 1.41 1.46 1.49 1.52 1.54 1.56 1.58 1.59];
    CR=CI/RI(n);
    if CR<0.10
        disp('此矩阵的一致性可以接受!');
        disp('CI=');disp(CI);
        disp('CR=');disp(CR);
    end
    
    
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  • 数学建模之层次分析法的源程序,输入成对比较矩阵可以得到相应的权重值。层次分析法是数学建模的基础方法,也是比较简单易懂易于操作的。程序具有通用性。几乎只要是层次分析法,给出矩阵就可计算。
  • 第二层A的各个因素对目标层Z的成对比较矩阵(专家打分) 说明C2的重要性是C1的两倍 第三层B的各个因素A1,A2……A5的成对比较矩阵分别如下: 层次单排序及其一致性检验 0.6=1/(1+1/2+1/6) 矩阵中...

    层次分析法概述

    定义

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    步骤归纳

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    例子

    1. 建立层次结构模型
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    2. 构造判断(成对比较)矩阵
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      第二层A的各个因素对目标层Z的成对比较矩阵(专家打分法)
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      说明C2的重要性是C1的两倍
      第三层B的各个因素A1,A2……A5的成对比较矩阵分别如下:
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    3. 层次单排序及其一致性检验
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      0.6=1/(1+1/2+1/6) 矩阵中其他数值同理
      0.587=1/3(0.6+0.615+0.545)

    4. 层次单排序及其一致性检验
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    应用实例

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    Python实现

    程序如下:

    (本程序配的案例,现在是机密,先不能公开,但看程序仍可以理解)

    import numpy as np
    
    # A--D的判断矩阵
    A_D = np.array([
        [1, 2, 6, 4],
        [1 / 2, 1, 5, 2],
        [1 / 6, 1 / 5, 1, 1 / 2],
        [1 / 4, 1 / 2, 2, 1]
    ])
    # A1-A4的判断矩阵
    A1_A4 = np.array([
        [1, 4, 5, 4],
        [1 / 4, 1, 4, 2],
        [1 / 5, 1 / 4, 1, 1 / 3],
        [1 / 4, 1 / 2, 3, 1]
    ])
    # B1-B3的判断矩阵
    B1_B3 = np.array([
        [1, 2, 3],
        [1 / 2, 1, 3],
        [1 / 3, 1 / 3, 1]
    ])
    # C1--C2
    C1_C2 = np.array([
        [1, 2],
        [1 / 2, 1]
    ])
    # D1--D2
    D1_D2 = np.array([
        [1, 1],
        [1, 1]
    ])
    # A11_A14的判断矩阵
    A11_A14 = np.array([
        [1, 1 / 5, 1 / 4, 1 / 2],
        [5, 1, 2, 3],
        [4, 1 / 2, 1, 2],
        [2, 1 / 3, 1 / 2, 1]
    ])
    # A1的评价矩阵
    A1_Emat = np.array([
        [0.109, 0.176, 0.142, 0.302, 0.27],
        [0.077, 0.062, 0.145, 0.324, 0.392],
        [0.057, 0.118, 0.159, 0.34, 0.327],
        [0.074, 0.173, 0.221, 0.402, 0.131]
    ])
    # A21--A22
    A21_A22 = np.array([
        [1, 1 / 2],
        [2, 1]
    ])
    # A2的评价矩阵
    A2_Emat = np.array([
        [0.182, 0.198, 0.245, 0.265, 0.11],
        [0.133, 0.147, 0.126, 0.318, 0.276]
    ])
    
    # A31--A33
    A31_A33 = np.array([
        [1, 2, 1],
        [1 / 2, 1, 1 / 2],
        [1, 2, 1]
    ])
    # A3的评价矩阵
    A3_Emat = np.array([
        [0.088, 0.206, 0.234, 0.265, 0.207],
        [0.093, 0.129, 0.25, 0.34, 0.188],
        [0.007, 0.255, 0.221, 0.341, 0.176]
    ])
    # A41--A42
    A41_A42 = np.array([
        [1, 1 / 2],
        [2, 1]
    ])
    # A4的评价矩阵
    A4_Emat = np.array([
        [0.124, 0.211, 0.235, 0.248, 0.182],
        [0.098, 0.182, 0.203, 0.302, 0.214]
    ])
    # B11--B13
    B11_B13 = np.array([
        [1, 1 / 2, 1 / 3],
        [2, 1, 1 / 2],
        [3, 2, 1]
    ])
    # B1的评价矩阵
    B1_Emat = np.array([
        [0.067, 0.194, 0.195, 0.193, 0.351],
        [0.06, 0.161, 0.191, 0.206, 0.382],
        [0.097, 0.134, 0.233, 0.353, 0.284]
    ])
    # B21--B23
    B21_B23 = np.array([
        [1, 1 / 2, 1 / 3],
        [2, 1, 1 / 2],
        [3, 2, 1]
    ])
    # B2的评价矩阵
    B2_Emat = np.array([
        [0.098, 0.182, 0.303, 0.302, 0.114],
        [0.074, 0.163, 0.221, 0.312, 0.231],
        [0.082, 0.198, 0.145, 0.365, 0.21]
    ])
    # B31--B33
    B31_B33 = np.array([
        [1, 1 / 4, 1 / 3],
        [4, 1, 2],
        [3, 1 / 2, 1]
    ])
    # B3的评价矩阵
    B3_Emat = np.array([
        [0.06, 0.157, 0.335, 0.312, 0.136],
        [0.007, 0.199, 0.223, 0.355, 0.216],
        [0.065, 0.054, 0.186, 0.391, 0.304]
    ])
    
    # C11--C12
    C11_C12 = np.array([
        [1, 3 / 2],
        [2 / 3, 1]
    ])
    # C1的评价矩阵
    C1_Emat = np.array([
        [0.093, 0.225, 0.331, 0.249, 0.101],
        [0.093, 0.213, 0.335, 0.265, 0.095]
    ])
    # C21--C23
    C21_C23 = np.array([
        [1, 3, 1 / 3],
        [1 / 3, 1, 1 / 5],
        [3, 5, 1]
    ])
    # C2的评价矩阵
    C2_Emat = np.array([
        [0.06, 0.161, 0.291, 0.306, 0.182],
        [0.097, 0.234, 0.333, 0.253, 0.084],
        [0.067, 0.194, 0.295, 0.293, 0.151]
    ])
    # D11--D12
    D11_D12 = np.array([
        [1, 4 / 3],
        [3 / 4, 1]
    ])
    # D1的评价矩阵
    D1_Emat = np.array([
        [0.074, 0.163, 0.221, 0.312, 0.231],
        [0.097, 0.234, 0.233, 0.253, 0.184]
    ])
    # D21--D23
    D21_D23 = np.array([
        [1, 2, 2],
        [1 / 2, 1, 1 / 2],
        [1 / 2, 2, 1]
    ])
    # D2的评价矩阵
    D2_Emat = np.array([
        [0.079, 0.198, 0.321, 0.29, 0.112],
        [0.093, 0.199, 0.35, 0.278, 0.08],
        [0.097, 0.234, 0.333, 0.253, 0.084]
    ])
    
    
    def Eigenvalues_Feature_vector(phalanx):
        # 计算判断矩阵的特征值和特征向量
        a, b = np.linalg.eig(phalanx)
        # print("特征值是\n", a)
        print("特征值实部:", a.real)  # 显示特征值实部
        max_eigenvalue = max(a.real)
        print("最大特征值:", max_eigenvalue)
        num_shape = phalanx.shape
        CI = (max_eigenvalue - num_shape[0]) / (num_shape[0] - 1)
        print("---->> CI=", CI)
        if num_shape[0] == 2:
            RI = 0
        elif num_shape[0] == 3:
            RI = 0.52
        else:
            RI = 0.89
    
        if RI == 0 and CI == 0:
            CR = 0
            print("---->> CR=", CR)
        else:
            CR = CI / RI
            print("---->> CR=", CR)
        if CR < 0.1:
            print("---->> 一致性比例可接受!")
        else:
            print("---->> 一致性检验不通过!")
        print("\n")
        # print("特征向量是\n", b)  # numpy的特征向量是竖方向的,numpy输出的特征向量是单位化后的向量
        print("特征向量实部:", b.real)
        return b
    
    
    def Weight_vector(phalanx):
        # 计算判断矩阵的权向量
        num = 0
        b = Eigenvalues_Feature_vector(phalanx)
        for i in range(len(b.real)):
            num += b.real[i][0]
        print("\n")
        print("指标权重是:")
        weight_list = []
        for j in range(len(b.real)):
            weight_num = b.real[j][0] / num
            weight_list.append(weight_num)
        print(weight_list)
        print("\n")
        return np.array([weight_list])
    
    
    def get_point(phalanx, Emat):
        # 计算得分
        vec = Weight_vector(phalanx)
        Eva = np.dot(vec, Emat)
        print(Eva)
        grade = np.array([[20, 40, 60, 80, 100]])
        Eva_point = np.dot(Eva, grade.T)
        print("评价得分:----------->>", Eva_point[0][0])
        print("*" * 80)
        return Eva_point[0][0]
    
    
    A_D_weightmat = Weight_vector(A_D)
    A1_A4_weightmat = Weight_vector(A1_A4)
    B1_B3_weightmat = Weight_vector(B1_B3)
    C1_C2_weightmat = Weight_vector(C1_C2)
    D1_D2_weightmat = Weight_vector(D1_D2)
    point_A1 = get_point(A11_A14, A1_Emat)
    point_A2 = get_point(A21_A22, A2_Emat)
    point_A3 = get_point(A31_A33, A3_Emat)
    point_A4 = get_point(A41_A42, A4_Emat)
    point_B1 = get_point(B11_B13, B1_Emat)
    point_B2 = get_point(B21_B23, B2_Emat)
    point_B3 = get_point(B31_B33, B3_Emat)
    point_C1 = get_point(C11_C12, C1_Emat)
    point_C2 = get_point(C21_C23, C2_Emat)
    point_D1 = get_point(D11_D12, D1_Emat)
    point_D2 = get_point(D21_D23, D2_Emat)
    
    
    def standard_layer_score(weightmat, point1, point2, point3=0, point4=0):
        # 标准层的得分
        pointlist = []
        for i in [point1, point2, point3, point4]:
            if i > 0:
                pointlist.append(i)
        pointmat = np.array(pointlist)
        print(pointlist)
        standard_point = np.dot(weightmat, pointmat.T)
        print("------>>>标准层得分", standard_point)
        return standard_point[0]
    
    
    point_A = standard_layer_score(A1_A4_weightmat, point_A1, point_A2, point_A3, point_A4)
    point_B = standard_layer_score(B1_B3_weightmat, point_B1, point_B2, point_B3)
    point_C = standard_layer_score(C1_C2_weightmat, point_C1, point_C2)
    point_D = standard_layer_score(D1_D2_weightmat, point_D1, point_D2)
    
    
    def total_Score(weightmat, point1, point2, point3, point4):
        # 计算总得分
        pointlist = []
        for i in [point1, point2, point3, point4]:
            if i > 0:
                pointlist.append(i)
        pointmat = np.array(pointlist)
        print(pointlist)
        total_Score = np.dot(weightmat, pointmat.T)
        print("------>>>总得分", total_Score[0])
    
    
    total_Score(A_D_weightmat, point_A, point_B, point_C, point_D)
    
    
    #如果要用层次分析法问卷调查的数据,用一下程序进行归一化
    a1=np.array([0.109,0.176,0.142,0.302,0.270])#评价矩阵分隔开的向量
    A3_Emat = np.array([
        [0.088, 0.206, 0.234, 0.265, 0.207],
        [0.093, 0.129, 0.25, 0.34, 0.188],
        [0.007, 0.255, 0.221, 0.341, 0.176]
    ])
    a2=np.array([20,40,60,80,100])
    points=np.dot(A3_Emat,a2.T)
    print(points)
    #归一化处理,归到1-5之内
    for point in points:
        point_num=point/100
        print("%.3f"%float(point_num))
    
    

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    展开全文
  • 利用层次分析法,将成对比较矩阵的特征向量作为煤矿通风系统评价因子权重,通过数据序列之间灰色关联关系,建立灰色关联矩阵,以量化方式准确地计算出各指标影响力排序,最终指出影响矿井通风系统主要因素。
  • 压缩包内包含三个文件适合使用层次分析法一切应用 1、层次分析法的教学PPT 2、层次分析法的源程序 3、层次分析法成对比较矩阵
  • 层次分析法(AHP):在复杂决策问题本质、影响因素极其内在关系等进行深入分析基础上,利用较少定量信息使决策思维过程数学化,从而为多目标、多准则或无结构特性复杂决策问题提供简便决策方案。...
    层次分析法(AHP):在对复杂的决策问题的本质、影响因素极其内在的关系等进行深入分析的基础上,利用较少的定量信息使决策的思维过程数学化,从而为多目标、多准则或无结构特性的复杂决策问题提供简便的决策方案。(解决决策类问题)运用层分析法时,大致分为以下四个步骤:
    1. 建立层次结构模型
    2. 构造判断(成对比较)矩阵
    3. 层次单排序极其一致性检验
    4. 层次总排序极其一致性检验
    5. 计算权重,得分
    如何构建层次结构模型(分层)最高层:决策的目的,要解决的问题中间层:考虑的阴因素,决策的准则最底层:决策时的备选方案举例:如何选择旅游地1.建立层次结构模型在网上搜索相关文献,旅游选择的因素,旅游选择指标(知网,百度文科等等)目标层:选择旅游地准则层:景色等方案层:北京等

    417b3ab2838cb496d2e630c510479338.png(橙子作图)

    权重指标北京杭州西安
    景色
    费用
    居住
    饮食
    旅途

    确定权重:成对比较矩阵:1.不把所有因素放在一起比较,而是两两相互比较2.对此时采用想对尺度,以尽可能减少性质不同的诸因素相互比较的困难,以提高准确度。在确定各影响因素权重时,两两比较。

    标度

    含义

    1

    表示两个因素相比,具有同样重要性

    3

    表示两个因素相比,一个因素比另一个因素稍微重要

    5

    ......明显重要

    7

    ......强烈重要

    9

    ......极端重要

    2,4,6,8

    上述两相邻判断的中值

    倒数

    A和B相比如果标度为3,那么B和A相比就是1/3

    据上表,如果觉得居住比费用更重要,但又不是很重要那么景色比居住可以定为2,即居住比景色就为1/2。

    景色居住费用饮食旅途
    景色12433
    居住1/21755
    费用1/41/711/21/3
    饮食1/31/5211
    旅途1/31/5311

    上表数据区域是一个5✖5的方针,记为A,对应的元素为aij,方针有如下特点:1.aij表示与j相比,i的重要程度。2.i=j时,同等重要,这解释了主对角线元素为1。3.aij>0且aij✖aji=1时。成为正互反矩阵。(上面这个矩阵,就是层次分析法中的判断矩阵),有了判断矩阵,我们就能计算权重

    2.构造判断矩阵

    (五个因素的判断矩阵)

    景色北京杭州西安
    北京125
    杭州1/212
    西安1/51/21
    费用北京杭州西安
    北京11/31/8
    杭州311/3
    西安831
    居住北京杭州西安
    北京113
    杭州113
    西安1/31/31
    饮食北京杭州西安
    北京134
    杭州1/311
    西安1/411
    旅途北京杭州西安
    北京111/4
    杭州111/4
    西安441
    这个时候辉会出现矛盾之处(不一致现象),即假如北京=A,杭州=B,西安=C北京比杭州景色好一点A>B北京比西安景色一样好A=C杭州比西安景色好一点B>C

    3.一致性检验

    一致矩阵:各行(各列)成倍数关系,在使用判断矩阵求权重时,必须对其进行一致性检验

    61a7dac6d56676c1583b5ebfd9556ef6.png

    fbb6a368ac2058e9139f4db93db580a7.png

    一致性检验的步骤:1.计算一致性指标CI1c4ab38d12eefef9222dbda15be02460.png(最大特征根)2.查找对应的平均随机一致性指标RI3.计算一致性比例CR70b7ed171240bb703a8720dbc3ed25dd.png(RI是用随机方法构造500个样本矩阵,随机地从1-9极其倒数中抽取数字构造正互反矩阵,求得最大特征根的平均值并定义)如果CR<0.1,可认为判断矩阵的一致性可以接受,否则需要修正,往一致矩阵上调整4.一致矩阵计算权重(算术平均法,几何平均法,特征值法)(三种方法的计算均用MATLAB实现)
    景色北京杭州西安
    北京124
    杭州1/212
    西安1/41/21

    用第一列来算

    北京=1/(1+1/2+1/4)

    杭州=1/2(1+1/2+1/4)

    西安=1/4(1/4+1/2+1)

    (判断矩阵计算权重与其方法一样,但是各列之间不成比例,需计算各列的权重,再算平均权重,一致矩阵只需计算一列,因为各列都一样)算术平均法求求权重步骤:1.将判断矩阵归一化处理,每一个元素除以所在列的和2.将归一化的各列相加,按行求和3.将相加后的元素除以n,得到权重

    acd5b240ca830eede9818132c48f4b55.png

    5.将计算结果填入权重表(特征值法)
    算术平均法几何平均法特征值法
    北京0.59490.59540.5954
    杭州0.27660.27640.2764
    西安0.12850.12830.1283
    算术平均法几何平均法特征值法
    景色0.26230.26360.2636
    费用0.47440.47730.4758
    居住0.05450.05310.0538
    饮食0.09850.09880.0981
    旅途0.11030.10720.1087
    权重指标北京杭州西安
    景色0.26360.59540.27640.1283
    费用0.47580.08190.23630.6817
    居住0.05380.42860.42860.1429
    饮食0.09810.63370.19190.1744
    旅途0.10870.16670.16670.6667


    6.计算目的地得分

    (使用EXCEL可快速实现)

    647ab925d18bd68bf4bc6aec3e732935.png

    6ea4c2ceb1b465e4e8e99eba634ef7ce.png

    405da9612adf28625f9f11406d750b34.png

    2016年国赛MATLAB创新奖B题

    446d50d1b6441ccca5d610d01c35609c.png

    0bfd1a5be62a769363fb54bbf39ff639.png

    5580f6eca7fcba2d514c27e1387c2121.png

    68527d5342b95903c8fdca37e3978f7b.png

    167f0a2c5c229a8a3f336193ee3181d8.png

    e93d32d690b3de57787b18db81f53b21.png

    9524d794de4f5f9f98e968fc99c0817d.png

    bbada3da68f14d746e798e8b16f88b11.png

    0ad160ad28183f50e485a037332a127c.png

    0c377bbe5239cfa7ca605c2f81b93f8a.png

    b34c63276df313cf6d9a598c2f2423ce.png

    89f01f5dd0c1b9452c01d147fe65e7f1.png

    97bb11c7da974021bb41ef2c7019d49a.png

    43914b69a3dda8bf0d4162300cc94503.png

    0ee272b1cdf944b61f9ef72011e70c25.png

    8ccfcc851a32c6e59ea0ce250a38c5b8.png

    3ccbff22e00cea163f7dbb4ebf957866.png

    feb35b181c2d68af553fe7ad76d2fa0b.png

    fdb8e6c5ff679de5e48b2f6251874e27.png

    4cf0bc8a0c66a2f9cf5a6acf80952155.png

    -END-

    少一些功利主义的追求,多一些不为什么的坚持

    QINGLANSE

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  • 1.构建层次结构模型 构建成对比较矩阵 不一致性检验(程序可进行一致性检验。。。略) 2.实际问题解决 关于Bn是B1,B2,B2对An权重(Bn与B1,B2,B2,不是一个意思。。。。。。可求对sum(Bi*An)(i...n)目标权重)%...

    1.构建层次结构模型

    50ebfb57d08e0c6621af13fe76557e78.png

    构建成对比较矩阵

    a09be8d529a9453c44b3fd036dcd32fa.png

    83165fa9da70648ee3f20aa20acdc84c.png

    不一致性检验(程序可进行一致性检验。。。略)

    2d66c7604c4bc2f83d4dde92d0547010.png

    2.实际问题解决

    fe84e9f168fe732f620bfd9d93a4367f.png

    关于Bn是B1,B2,B2对An的权重(Bn与B1,B2,B2,不是一个意思。。。。。。可求对sum(Bi*An)(i...n)目标的权重)

    %层次分析法(AHP)

    disp('请输入判断矩阵A(n阶)');

    A = input('A=');

    [n,n] = size(A);

    x = ones(n,100);

    y = ones(n,100);

    m = zeros(1,100);

    m(1) = max(x(:,1));

    y(:,1) = x(:,1);

    x(:,2) = A*y(:,1);

    m(2) = max(x(:,2));

    y(:,2) = x(:,2)/m(2);

    p=0.0001; i=2; k=abs(m(2)-m(1));

    while k>p

    i=i+1;

    x(:,i) = A*y(:,i-1);

    m(i) = max(x(:,i));

    y(:,i) = x(:,i)/m(i);

    k=abs(m(i)-m(i-1));

    end

    a = sum(y(:,i));

    w = y(:,i)/a;

    t = m(i);

    disp(w);

    %一致性检验

    CI = (t-n)/(n-1);

    RI = [0 0 0.52 0.89 1.12 1.36 1.41 1.46 1.49 1.52 1.54 1.56 1.58 1.59];

    CR = CI/RI(n);

    if CR<0.10

    disp('此矩阵一致性可以接受!');

    disp('CI=');disp(CI);

    disp('CR=');disp(CR);

    end

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层次分析法的成对比较矩阵