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  • 通过问卷调查得到不同因素的不同重要程度,并将其结果通过此软件进行分析,最终得到通过专家打分产生的各因素权重软件,在数据分析权重确定的方面应用十分方便。
  • 很多AHP软件要么收费,要么层级受限制。这是一款简单实用的层次分析法工具软件,无需安装,完全免费,简单且容易上手,非常实用。
  • ahp层次分析法权重自动计算VBA模板,ahp层次分析法权重自动计算VBA模板,
  • 层次分析法权重的计算:基于Lingo的数学模型,陈宝星,,理论上,层次分析法评价准则的权重是通过计算两两比较矩阵的特征值和特征向量来确定的。而采用lingo软件建立该问题的数学模型,无�
  • 层次分析法(AHP)是一种基于数学和心理学的组织和分析复杂决策的结构化技术。 定位方法(AHP)的过程可以在IDRISI软件中实现。 层次级别是客观的。 比较了这两组数据,并确定了它们的权重。 然后,确定同意比例的...
  • MATLAB实现层次分析法计算权重的代码函数实现

    万次阅读 多人点赞 2014-10-18 13:35:20
     disp('对比矩阵A通过一致性检验,各向量权重向量Q为:');  Q=zeros(n,1);  for i=1:n  Q(i,1)=C(i,1)/sum(C(:,1)); %特征向量标准化  end else  disp('对比矩阵A未通过一致性检验,需对对比矩阵A...
    function Q=AHP(A)
    
    [m,n]=size(A);
    RI=[0 0 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.49 1.51];
    R=rank(A);                         %求判断矩阵的秩
    [V,D]=eig(A);                      %求判断矩阵的特征值和特征向量,V特征值,D特征向量;
    tz=max(D);
    B=max(tz);                         %最大特征值
    [row, col]=find(D==B);             %最大特征值所在位置
    C=V(:,col);                        %对应特征向量
    CI=(B-n)/(n-1);                    %计算一致性检验指标CI
    CR=CI/RI(1,n);   
    if CR<0.10
        disp('CI=');disp(CI);
        disp('CR=');disp(CR);
        disp('对比矩阵A通过一致性检验,各向量权重向量Q为:');
        Q=zeros(n,1);
        for i=1:n
            Q(i,1)=C(i,1)/sum(C(:,1)); %特征向量标准化
        end
    else
        disp('对比矩阵A未通过一致性检验,需对对比矩阵A重新构造');

    end


    以上写在M文件中,最后在主界面添加判断矩阵,调用该函数方法:AHP(A);

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  • 随着我国经济水平逐渐提高,居民消费具有高层次高需求特征,大学生群体作为主力军之一,对牙膏的要求逐渐提高,寻求层次化和差异化,用层次分析法建立模型,能帮助店家如何控制进货量保证利益最大化。本文选用市面上比较...
  • 层次分析法权重确定过程中主观成分相对较重;主成分分析在某些特定情况下的有效性也值得商榷。讨论了2种方法的局限性,提出了一种结合主成分分析法改进后的层次分析法,并结合R软件对湖北省工业企业创新能力进行...
  • 层次分析法(小白必看&手机查看)

    千次阅读 2021-01-07 21:45:38
    层次分析法 时间 2020年4月15日 本周我主要学习了层次分析法(AHP)的基本原理及其在企业资金分配方案、太阳镜产品质量评价等案例中的应用,并学习使用visio绘制所需图形以及了解maltab基础语法知识,并编程...
    数学建模层次分析法
    时间2020年4月15日

    本周我主要学习了层次分析法(AHP)的基本原理及其在企业资金分配方案、太阳镜产品质量评价等案例中的应用,并学习使用visio绘制所需图形以及了解maltab基础语法知识,并编程实现了一些功能。

    01层次分析法概述

    层次分析法是对定性问题进行定量分析的一种简便灵活而又实用的多准则决策方法。层次分析法是建模比赛中最基础的模型之一,其主要用于解决评价类问题。

    02二层次分析法的特点

    AHP的主要特点是通过建立递阶层次结构,把人类的判断转化到若干因素两两之间重要度的比较上,从而把难于量化的定性判断转化为可操作的重要度的比较上面。在许多情况下,决策者可以直接使用AHP进行决策,极大地提高了决策的有效性、可靠性和可行性。

    03层次分析法的步骤和方法

    在这里插入图片描述

    04结合企业应用案例,深入学习层次分析法

    某企业年末又留成,希望将这笔资金用于以下几个领域:发奖金、福利事业和引进设备,但是再利用企业留成是需考虑以下及各方面:调动员工积极性、提高企业技术水平和改善职工生活条件。

    1.分析系统中各因素之间的关系,建立系统的递阶层次结构**

    使用Visio生成,导出为PDF格式。

    在这里插入图片描述

    2.构造各层次中所有判断矩阵

    用成对比较法和1~9尺度,构造各层对上一层每一因素的成对比较矩阵。

    • 成对比较法:即两两比较法,两个两个指标进行比较。
    • 1~9尺度
      在这里插入图片描述
      在这里插入图片描述
      在这里插入图片描述
    3.由判断矩阵计算被比较元素对于该准则的相对权重并进行一致性检验
    • 对矩阵进行一致性检验的必要性
      在这里插入图片描述
      我们构造的判断矩阵都是正互反矩阵,若正互反矩阵满足为一致矩阵。
      在这里插入图片描述
    • 一致性检验原理:检验我们构造的判断矩阵与一致性矩阵有无太大差别。(线性代数知识)
      在这里插入图片描述在这里插入图片描述在这里插入图片描述
      一致性检验的步骤
      第一步 计算一致性指标
      在这里插入图片描述第二步 计算随机一致性指标RI(查表或使用MATLAB计算

      在这里插入图片描述
      第三步 计算一致性比例CR
      在这里插入图片描述
      如果CR<0.1,则可以认为判断矩阵的一致性是可以接受的:否则需要对判断矩阵进行修正。修正的话,就是往一直矩阵上调整即调整判断矩阵各行成倍数关系。
    4.MATLAB一致性检验代码及结果

    在这里插入图片描述在这里插入图片描述

    5.计算被比较元素对于准则层的相对权重

    方法一:算术平均法
    第一步:将判断矩阵按照列归一化(每一个元素除以其所在列的和)
    第二步:将归一化的各列相加(按行求和)
    第三步:将相加后的得到的向量中每一个元素除以n即可得到权重向量
    MATLAB代码及运行结果:
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    方法二 几何平均法求权重

    第一步:将判断矩阵按照行相乘得到一个新的列向量

    第二步:将新的向量的每一个向量开n次方

    第三步:对该向量进行归一化即可得到权重向量。

    MATLAB代码及运行结果:在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    方法三:特征值法

    假如我们的判断矩阵的一致性可以接受,那么我们可以仿照求一致矩阵权重的求法。

    第一步:求出矩阵A的最大特征值以及它对应的特征向量。

    第二步:对求出的特征向量进行归一化即可得到我们的权重。

    MATLAB代码及运行结果:在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述在这里插入图片描述

    6.计算各层元素对系统目标的合成权重,并进行排序。

    最终的权重为准则层对目标层的权重向量与方案层对准则层的权重向量的乘积。在这里插入图片描述

    05 总结

    • 当对代码中出现的函数不解时,打开帮助查看函数的详细讲解及示例
    • 加强对一致性检验中涉及线性代数的特征向量知识的理解
    • 层次分析模型图用专业绘图软件visio画
    • 通过网络学习别人的代码,将代码跑起来并理解各部分的语义及其所实现功能。
    • 在理解的基础上把别人的代码做进一步修改,加入自己的理解,变成自己的知识。
    展开全文
  • 层次分析法(AHP)原理_例题应用及代码

    万次阅读 多人点赞 2020-09-27 16:09:47
    层次分析法(AHP)原理应用及代码AHP算法步骤算法举例第一步:建立递阶层次图第二步:建立判断矩阵计算五个指标的判断矩阵计算三个方案相对于某一指标的权重第三步:进行一致性检验一致性检验的步骤第一步:计算一致...

    层次分析法(AHP)原理应用及代码


    层次分析法是将 定性问题定量化处理的一种方法。
    层次分析法简称AHP,其主要特点是通过建立递阶层次结构,把人的主观判断转化为对若干两两因素重要程度的判断上,从而把难以操作的定性判断量化为可操作的重要性程度判断上

    1.AHP算法步骤

    第一步:分析系统各因素之间的关系,建立递阶层次结构
    第二步:对于同一层次的各要素,针对上一准则层的某一准则的重要性进行两两比较,构造两两比较矩阵(判断矩阵)
    第三步:根据判断矩阵得到各元素针对于某一准则的相对权重,并进行一致性检验(通过一致性检验的才可使用)
    第四步:根据权重矩阵计算得分,并进行排序

    2.算法举例

    小明同学要出去旅游,事先确定了三个地方,分别是北戴河、苏杭、桂林,但最终无法从这三个地方中选定,希望你通过层次分析法来帮助小明进行判断。

    根本目的就是为了填完下面的这张表。用*指标权重*乘以每个地方的得分,然后做和就可以得到这个地方的分数,最后根据分数判断即可

    第一步:建立递阶层次图

    在这里插入图片描述

    第二步:建立判断矩阵

    因为我们一次性比较五个指标很困难,两两指标进行比较,根据比较的结果确定权重,我们有如下的标准
    在这里插入图片描述

    计算五个指标的判断矩阵

    %% 判断矩阵一般交给专家填写,但建模比赛中一般自己判断

    在这里插入图片描述
    (1) a ( i , j ) a_(i,j) a(i,j)表示的意义是,与指标𝑗相比,𝑖的重要程度。
    (2)当𝑖 = 𝑗时,两个指标相同,因此同等重要记为1,这就解释了主对角线元素为1。
    (3) a ( i , j ) a_(i,j) a(i,j)> 0且满足 a ( i , j ) ∗ a ( j , i ) a_(i,j)*a_(j,i) a(i,j)a(j,i)=1 (我们称满足这一条件的矩阵为正互反矩阵
    实际上,上面这个矩阵就是层次分析法中的判断矩阵。

    *上面第一行解释为:与花费相比,景色没有花费重要;与居住相比,景色更重要一点;与饮食相比,景色稍微重要。*其他以此类推
    在这里插入图片描述

    计算三个方案相对于某一指标的权重

    计算苏杭、北戴河、桂林在景色方面所占的权重(得分)
    在这里插入图片描述
    矩阵里的数据可以解释为:苏杭的景色与北戴河相比要好一点,要比桂林好很多

    相对于其他指标的判断矩阵以此类推,如下图所示
    在这里插入图片描述

    第三步:进行一致性检验

    首先要明确:

    1. 如果正互反矩阵满足 a ( i , j ) ∗ a ( j , k ) = 1 a_(i,j)*a_(j,k)=1 a(i,j)a(j,k)=1
      ,则称此正互反矩阵为一致矩阵
    2. 记我们构造的矩阵的特征值的最大值为 λ m a x \lambda_{max} λmax,若判断矩阵为一致矩阵,则有 λ m a x = n \lambda_{max}=n λmax=n;若为非一致矩阵,则有 λ m a x > n \lambda_{max}>n λmax>n
    3. 判断矩阵越不一致,则最大值 λ m a x \lambda_{max} λmax n n n的差别越大
    4. 一致性检验就是检验我们构造的矩阵与一致矩阵是否有太大差别

    一致性检验的步骤

    第一步:计算一致性指标 C I CI CI

    C I = λ m a x − n n − 1 CI=\frac{\lambda_{max}-n}{n-1} CI=n1λmaxn

    第二步:查找对应的平均随机一致性指标 R I RI RI

    R I RI RI为已经给定的标准,不需要自己计算,只需要查表即可
    在这里插入图片描述
    在实际运用中,n很少超过10,如果指标的个数大于10,则可考虑建立
    二级指标体系,或使用模糊综合评价模型。

    第三步:计算一致性比例 C R CR CR

    C R = C I R I CR=\frac{CI}{RI} CR=RICI

    如果 C R < 0.1 CR<0.1 CR<0.1,则认为一致性可以接受,否则需要对判断矩阵进行修改

    第四步:计算权重

    通过一致性检验的前提下,计算权重有三种方法

    第一种:算术平均法

    以对于景色指标来说,三个方案的权重计算为例;对于其余指标三个方案的权重以及五个指标的权重计算也类似
    在这里插入图片描述

    第一步:将判断矩阵按照列归一化

    即每一个元素除以其所在列的和,比如说苏杭的0.5882= 1 / ( 1 + 1 2 + 1 5 ) 1/(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{5}) 1/(1+21+51),其余以此类推
    在这里插入图片描述

    第二步:将归一化的各列相加(按行相加)

    在这里插入图片描述

    第三步:将相加后得到的向量中的每个元素除以 n n n即可得到权重向量

    在这里插入图片描述

    第二种:几何平均法

    第一步:将A的元素按照行相乘得到一个新的列向量

    第二步:将新的向量的每个分量开n次方

    第三步:对该列向量进行归一化即可得到权重向量

    第三种:特征值法

    第一步:求出矩阵A的最大特征值以及其对应的特征向量

    第二步:对求出的特征向量进行归一化即可得到我们的权重

    由此也可求出指标判断矩阵的权重
    在这里插入图片描述
    汇总结果得到权重矩阵
    在这里插入图片描述

    第五步:计算方案得分

    苏杭得分: = 0.2636 ∗ 0.5954 + 0.4758 ∗ 0.0819 + 0.0538 ∗ 0.4286 + 0.0981 ∗ 0.6337 + 0.1087 ∗ 0.1667 = 0.299 =0.2636*0.5954+0.4758*0.0819+0.0538*0.4286+0.0981*0.6337+0.1087*0.1667=0.299 =0.26360.5954+0.47580.0819+0.05380.4286+0.09810.6337+0.10870.1667=0.299
    类似可以求得:北戴河 0.245 0.245 0.245,桂林 0.455 0.455 0.455
    因此最佳旅游景点是桂林

    3.模型注意事项(一致性检验不通过怎么办)

    1. C R < 1 CR<1 CR<1如何修正?

    一致性矩阵的各行成倍数关系,如果没能通过一致性检验,只要调节判断矩阵尽量使各行成倍数关系即可

    2.判断矩阵写法

    判断矩阵一般是由专家来填写,因为在构造判断矩阵的过程中会带有人的主观判断。但是在实际建模过程中一般都是自己填写。

    3.平均随机一致性指标 R I RI RI

    平均随机一致性指标是通过大量实验模拟给出的结果,我们直接查找使用即可。有些地方给出的 R I RI RI表格可能与上面给出的由些许差别,尽量以上面给出的表格为准,因为上面的那个表格是最多人使用的

    4.如果准则层与方案层不是全连接该怎么办

    详细可参见以下文件
    层次分析法的解决办法,如果同学们没有积分的话可以直接私戳我,我会直接发给你的

    4.模型局限性

    1.评价的决策层不能太多,太多的话n会很大,判断矩阵和一致矩阵差异可能会很大, n n n最多是15

    2.这是一个将定性分析转化为定量分析的方法,如果决策层中的数据是已知的,则最好不要用层次分析法,可以选用Topsis方法

    5.模型代码

    
    M=input('请输入判断矩阵M='); 
    [~,n] = size(M); 
        
    %进行一致性检验
    [V,D] = eig(M);                      %M的全部特征值构成对角矩阵D,M的特征向量构成V的列向量
    Max_Eig = max(max(D));               %max(矩阵)返回一行向量包含每列的最大值
    CI = (Max_Eig - n) / (n-1); 
    RI=[0 0.0001 0.52 0.89 1.12 1.26 1.36 1.41 1.46 1.49 1.52 1.54 1.56 1.58 1.59];       %因为n最多能娶到15
                                              % 因为n=2时,一定是一致矩阵,所以CI = 0,为了避免分母为0,将其改为十分接近0的数
    CR=CI/RI(n);
    disp('CI=');  disp(CI); 
    disp('CR=');  disp(CR); 
    if CR<0.10 
        disp('矩阵M一致性可以接受!');
        disp('############################################3')
        S = 1;
    else 
        disp('矩阵M需要进行修改!'); 
        S = 0;
    end 
     
    if S == 1;
        % 第一种 特征值法求权重
        [r,c] = find(D == Max_Eig,1);       %利用find函数找到最大特征值所在的行列
        disp('特征值法结果为:');
        disp( V(:,c) ./ sum(V(:,c)) )       %归一化处理得到权重
    
        % 第二种 算术平均法求权重
        sum_A = sum(M);
        B=ones(n,n);                     %   
        for i = 1:n                      %
            B(:,i) = sum_A(i);           %构造用于平均的矩阵 
        end                              %
        Stand_A = M ./ B ; 
        disp('算术平均法结果为:') ;   
        disp(sum(Stand_A,2)./n)          
        
        % 第三种 几何平均法求权重 
        Geo_A = prod(M,2);            
        Geo_n_A = Geo_A .^ (1/n);     
        disp('几何平均法结果为:');        
        disp(Geo_n_A ./ sum(Geo_n_A))      
        
    else S == 0;
        disp('修改判断矩阵!!!') 
    end 
    
    
    展开全文
  • 层次分析法(AHP)

    千次阅读 2021-03-16 17:12:26
    层次分析法根据问题的性质和要达到的总目标,将问题分解为不同的组成因素,并按照因素间的相互关联影响以及隶属关系将因素按不同的层次聚集组合,形成一个多层次的分析结构模型,从而最终 使问题归结为最低层(供决策...

    1.问题的提出

    日常生活中有很多的决策问题。决策是指在面临多种方案时需要依据一定的标准选择某一种方案。日常生活中有许多决策的问题。比如:

    • 买钢笔,一般要依据质量、颜色、实用性、价格、外形等方面的因素选择某一支钢笔。
    • 假期旅游,是去风光秀丽的苏州,还是去迷人的北戴河,或者是去山水甲天下的桂林,那一般会依据景色、费用、食宿条件、旅途等因素来算着去哪个地方。

    面临各种各样的方案,要进行比较、判断、评价、直至最后的决策。这个过程中都是一些 主观的因素,这些因素可能由于个人情况的不同,有相应不同的比重,所以这样主观因素给数学方法的解决带来了很多的不便。

    2.AHP

    简单介绍一下什么是AHP?

    层次分析法,简称AHP,它是一种 运筹学理论 。是指将与决策总是有关的元素分解目标、准则、方案 等层次,在此基础之上进行定性和定量分析的决策方法。

    “该方法是美国运筹学家匹茨堡大学教授萨蒂于20世纪70年代初,在为美国国防部研究”根据各个工业部门对国家福利的贡献大小而进行电力分配”课题时,应用网络系统理论和多目标综合评价方法,提出的一种 层次权重决策分析方法。”

    层次分析法(Analytic Hierarchy Process,AHP)这是一种定性和定量相结合的、系统的、层次化的分析方法。这种方法的特点就是在对复杂决策问题的本质、影响因素及其内在关系等进行深入研究的基础上,利用较少的定量信息使决策的思维过程数学化,从而为多目标、多准则或无结构特性的复杂决策问题提供简便的决策方法。是对难以完全定量的复杂系统做出决策的模型和方法

    层次分析法的原理,层次分析法根据问题的性质和要达到的总目标,将问题分解为不同的组成因素,并按照因素间的相互关联影响以及隶属关系将因素按不同的层次聚集组合,形成一个多层次的分析结构模型,从而最终 使问题归结为最低层(供决策的方案、措施等)相对于最高层(总目标)的相对重要权值的确定或相对优劣次序的排定

    所以,AHP理论本质是通过把一个复杂的问题拆解为多个目标或准则,并且通过定性量化的方式为每个目标进行赋权的一个过程。

    简单来说AHP就是拆解加赋权,下面详细讲一下过程。
    层次分析法的步骤,运用层次分析法构造系统模型时,大体可以分为以下四个步骤:

    • 建立层次结构模型;
    • 构造判断(成对比较)矩阵;
    • 层次单排序及其一致性检验;
    • 层次总排序及其一致性检验;

    3.层次分析法的基本步骤

    将决策的目标、考虑的因素(决策准则)和决策对象按他们之间的相互关系分成最高层、中间层和最低层,绘制层次结构图。

    1.最高层(目标层):决策的目的、要解决的问题;
    2.中间层(准则层或指标层):考虑的因素、决策的准则;
    3.最低层(方案层):决策时的备选方案;

    3.1 建立层次结构模型

    在这里插入图片描述

    3.2 构造判断矩阵

    什么是判断矩阵?

    判断矩阵就是以参与指标计算的所有ferture组成的一个方阵,并且给出两两“比较量化值”。举例如下:

    对于A和B两个因子,1表示:A和B一样重要;3表示:A比B重要一些;5表示:A比B重要;7表示:A比B重要的多;9表示:A比B极其重要,具体标准如下图所示:

    因素i比因素j量化值
    同等重要1
    稍微重要3
    较强重要5
    强烈重要7
    极端重要9
    l两相邻判断的中间值2,4,6,8

    这其实就是一个典型的小组投票的过程,通过在方阵行列元素的两两比较,最终可以生成一个判断矩阵。比如对于有 A,B,C,D四个feature(分别代表钱,人员,时间,其它) 的判断矩阵如下图所示:

    ABCD
    A1.002.005.004.00
    B0.501.001.671.33
    C0.200.601.000.80
    D0.250.751.251.00

    3.3 层次单排序及一致性检验

    所谓一致性校验是指在进行投票的时候的公平性和一致性。
    比如你认为A比B重要,B比C重要,但是从最后的结果来看是C比A重要,这样即为不一致。
    一致性校验是通过计算校验系数来实现的,通常用CR来表示,小于0.1即表示一致性校验通过。

    CR包含一致性指标(CI)和随机一致性指标(RI)两部分,CR=CI/RI。

    CI和RI是一个固定值,与矩阵的阶数有关。
    一致性校验是通过计算校验系数来实现的,通常用CR来表示,小于0.1即表示一致性校验通过。

    1.模拟
    用EXCEL来进行计算(这里用三个参数来模拟
    在这里插入图片描述
    构建判断矩阵A(正交矩阵),用aij表示第i个因素相对于第j个因素的比较结果:

    在这里插入图片描述
    2.计算权重:
    将矩阵A的各行向量进行几何平均(方根法),然后进行归一化,即得到各评价指标权重和特征向量W:

    在这里插入图片描述

    3.一致性检验:

    在这里插入图片描述
    这里的n是指矩阵的维度

    • CI = 0,有完全的一致性;
    • CI 接近于0,有满意的一致性;
    • CI越大,不一致越严重;
      为了衡量 CI的大小,引入随机一致性指标 RI。方法为随机构造500个成对比较矩阵

    定义一致性比率:
    [公式]
    RI系数如下表格

    矩阵阶数34567891011
    RI0.51490.89311.11851.24941.34501.42001.46461.491.51

    一般,当一致性比率CR < 0.1 时,认为A的不一致程度在容许的范围之内,有满意的一致性,通过一致性检验,可用其归一化特征向量作为权向量,否则要重新构造成对比较矩阵A,对 其 加以调整。

    4.计算公式
    各列键入公式:

    按行相乘:F3=PRODUCT(C3:E3),下拉至F5。

    开n次方:G3=POWER(F3,1/3),下拉至G5;G6=SUM(G3:G5)。

    权重wi:H3=G3/G$6,下拉至H5。

    AWi:I3=C3H$3+D3H$4+E3*H$5,下拉至I5。

    AWi/wi:J3=I3/H3,下拉至J5;J6=AVERAGE(J3:J5)。

    CI:K3=(J6-3)/2。

    CR:L3=K3/0.5149

    5.进行计算

    在这里插入图片描述
    6.结束
    通过进行小组投票和自动计算,最终CR的值为0.03706,因此一致性检验通过

    权重Wi列即为每个feature的权重,因此最终我们可以得出该指标的计算公式为:

    target = A * 0.1047 + B * 0.6369 + c * 0.2582

    完美解决!

    4.总结

    大家这里或许会有个疑问:

    采用AHP的方法进行赋权,小组投票阶段是主观判断重要性的,所以是不是会带来误差?

    会,一定会。

    不过 策略一定是建立在业务之上的,撇开业务谈策略都是伪策略。

    采用AHP模型进行多因子赋权,

    需要对该业务有足够的了解,更需要对该target下的多个feature有 足够的了解 ,哪个对于target的贡献度是最大的。

    比如对于一个商品,什么样的商品是用户喜欢的?用户喜欢的商品有哪些feature?每个feature对于用户喜欢的贡献程度是什么样的?这些都是需要业务经验参与的。

    如果说科学的方法都有一个前提假设,那么AHP也有一个前提,就是 先了解业务,再谈策略

    以上,希望能帮助到大家。
    在这里插入图片描述

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