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  • 学习笔记,仅供参考,有错必...针对这个问题,文中用科学计算软件对相关文献中给出的例子进行了实验,说明该例子并不能否定极大熵聚类算法收敛性定理.最后,从理论上给出了极大熵聚类算法收敛性定理的一个证明。 ...

    学习笔记,仅供参考,有错必纠

    关键词:熵;不动点;聚类算法;收敛


    极大熵聚类算法的收敛性定理证明


    摘要


    有关极大熵聚类算法收敛性的研究是理论研究的一个热点问题,有的学者认为迭代序列的极限点有可能不是目标函数的严格局部极值点。

    针对这个问题,文中用科学计算软件对相关文献中给出的例子进行了实验,说明该例子并不能否定极大熵聚类算法收敛性定理.最后,从理论上给出了极大熵聚类算法收敛性定理的一个证明。


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  • 应用:数值求积公式的收敛性1. Baire 定理Cantor 交集定理: X是完备的距离空间, 而 是X中满足下列性质的非空闭子集 组成的序列,他们满足则存在 使得 ( ,也就是集合中的最远距离)也就是说如果这个集合序列越来越...
    • 1. Baire 定理
      • 1.1. Baire定理的应用
    • 2. Banach-Steinhaus 定理(一致有界性原理)
      • 2.1. 推论及应用
        • 2.1.1. 应用:数值求积公式的收敛性

    1. Baire 定理

    Cantor 交集定理: X是完备的距离空间, 而

    是X中满足下列性质的非空闭子集
    组成的序列,他们满足

    则存在

    使得

    (

    ,也就是集合中的最远距离)

    也就是说如果这个集合序列越来越小,趋近于一个点的话,那么这些序列中无穷多个集合的交集就是只有这一个点。

    Baire 定理: 设X是完备的距离空间,则两个等价性质成立: - 设

    是X中的闭子集序列,且对所有的
    ,则有
    • 是X中的开子集序列,且对所有的

    (int是集合内取点,也就是去除边界值。应该是 interior of a set 吧)

    按照第一种描述的话,闭子集是集合中包含边界的子集(忘了就想想闭区间),然后这个闭子集序列如果内部都为空,也就是说都是只包含了边界,那么所有的集合的并集还是只包含了X的边界,他们的并集的内部是空的。

    按照第二章描述的话,开子集是不包含任何边界的子集,如果序列里面所有的开子集加上边界就是X的话,那他们不就都一样了么,都是X中的所有内点组成的集合,他们的并集肯定还是不带任何边界,但是有所有X中的内点,然后加上边界就是X了。

    两种描述是一样的,因为开子集和闭子集互补,X也和空集互补。

    • 设X是距离空间,令
      是X的闭子集使得
      ,有
    • 如果对所有
      ,有
      ,则X是不完备的
    • 如果X是完备的,则存在
      ,使得
    • 无穷维的Banach空集不可能具有可列无穷Hamel基。

    1.1. Baire定理的应用

    Weierstrass 函数:

    上有定义且可连续,但是处处不可微。

    啊这个函数让我想起来了一个老段子

    青年问禅师:“我现在遇到了很多很多的困难和烦恼,怎么办?”禅师说:“你随手画一条曲线,用放大镜放大了看,它还有那么弯曲吗?”那个青年画了一个魏尔斯特拉斯函数。。。

    bb5ae6fd66ee3f2683976425f1ff7adf.png
    图源网络

    Baire定理可以直接退出连续但处处不可微函数的存在性。

    这块的证明十分麻烦。。。知道一下就好了

    • 存在[0,1]上的连续函数,在 [0,1]是处处不可微。
    • Bolzano-Weierstrass性质:任何有界的实数列
      ,即存在
      ,对所有的
      ,均有
      ,必定包含收敛子列。
    • Weierstrass 多项式逼近定理:空间
      在赋以sup范数的空间
      中稠密,类似地,空间
      在赋以sup范数的空间
      中稠密。

    2. Banach-Steinhaus 定理(一致有界性原理)

    定理内容: 设X是Banach空间,Y是赋范向量空间,而

    是映射
    构成的算子族,满足对每一个
    ,则有

    也就是说,如果对于每个x,其映射结果是有界的话,那么这个算子的范数就是有界的。

    2.1. 推论及应用

    推论: 设X是banach空间,Y是赋范向量空间,而

    是映射
    构成的算子族,使得对每一
    ,序列
    在Y中收敛,则

    进而,设映射

    由下式定义

    2.1.1. 应用:数值求积公式的收敛性

    给定一个权函数

    ,对任意函数
    ,用容易计算的
    有限和 尽可能精确的 逼近 积分

    一般方法是适当选取 n+1个不同的节点

    和n+1个权
    ,然后使用数值求积公式来逼近积分。

    (有很多种方式,比如Lagrange插值,Simpson公式等等,我还曾经在知乎回答过一个关于数值积分运算的问题来着 Matlab怎么用梯形公式和Simpson公式求积分近似还要控制精度? - 走地小云雀的回答 - 知乎 https://www.zhihu.com/question/307008999/answer/1330861129 总之数值分析里面学过这些东西)

    Polya定理: 给定一个权函数

    ,以及一个连续线性泛函
    的形如

    其中

    的序列,设该序列有

    的充要条件是

    这个权函数的形式像极了数值积分!

    • 简单的证明:

    必要性

    因此有

    定义

    (因为根据这个f的定义的话,每一项都变成了
    乘自己的符号,就都变成了0或正数)

    因此有

    由于夹逼定理

    由Banach-SteinHaus推论可知

    ,因此必要性得证。

    充分性

    假定

    对任意的

    以及任意的
    ,我们有

    给定任意的

    以及任意的
    使得

    由假设,存在

    使得

    因此

    充分性得证

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  • 迭代法求解非线性方程的根

    千次阅读 2019-09-05 10:17:57
    1、判断使用全局收敛性定理还是局部收敛性定理 全局收敛性:未知根,已知根的取值区间(定理1.1/1.2) 局部收敛性:已知根,即已知根的邻域 (定理1.3/1.4) 2、解题步骤 根的存在性:零点存在定理 唯一性:单调性...

    不动点迭代法求解非线性方程的根

    知识储备

    1、求解的是非线性方程放f(x)=0的根

    解题要点

    1、判断使用全局收敛性定理还是局部收敛性定理

    全局收敛性:未知根,已知根的取值区间(定理1.1/1.2)
    局部收敛性:已知根,即已知根的邻域 (定理1.3/1.4

    2、解题步骤

    根的存在性:零点存在定理
    唯一性:单调性、反证法
    迭代格式的收敛性:一般用|a-Xi+1||Xi+1-a|产生迭代关系
    

    KaTeX数学公式

    您可以使用渲染LaTeX数学表达式 KaTeX:

    Gamma公式展示 Γ(n)=(n1)!nN\Gamma(n) = (n-1)!\quad\forall n\in\mathbb N 是通过欧拉积分

    Γ(z)=0tz1etdt . \Gamma(z) = \int_0^\infty t^{z-1}e^{-t}dt\,.

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  • 数值分析(1)——方程的求解需要解决的问题不动点迭代收敛性判断定理1:全局收敛性1定理2:全局收敛性2定理3:局部收敛性定理4:收敛的阶数Newton迭代法简化Newton迭代法Newton下山法Newton法修正已知根的重数未知...

    开始计算方法的复习了。按照几个知识重点复习

    需要解决的问题

    y=f(x)=0需要解决:y=f(x)=0的解;
    x=ϕ(x)解决方案:化为x=\phi(x)的形式迭代求解;

    不动点迭代收敛性判断

    定理1:全局收敛性1

    ϕ(x)[a,b](1)x[a,b]ϕ(x)[a,b](2)x[a,b]ϕ(x)L<1x0[a,b]xk+1=ϕ(xk)x=ϕ(x)[a,b]\phi(x)在[a,b]上具有一阶导数,且 \\(1)当x\in[a,b]时,\phi(x)\in[a,b] \\(2)\forall x\in[a,b],有|\phi'(x)|\le L<1 \\ 则对任意初值x_0\in[a,b],迭代过程x_{k+1}=\phi(x_k)收敛于x=\phi(x)在[a,b]上的唯一根

    定理2:全局收敛性2

    对定理1的(2)作出修改:
    ϕ(x)[a,b](1)x[a,b]ϕ(x)[a,b](2)x1,x2[a,b]ϕ(x1)ϕ(x2)Lx1x2,L<1\phi(x)在[a,b]上具有一阶导数,且 \\(1)当x\in[a,b]时,\phi(x)\in[a,b] \\(2)\forall x_1,x_2\in[a,b],有: \\ |\phi(x_1)-\phi(x_2)| \le L|x_1-x_2|, L<1 \\且有误差估计式:
    αxi11Lxi+1xi|\alpha-x_i|\le \frac{1}{1-L} |x_{i+1}-x_i|
    αxiLi1Lx1x0|\alpha-x_i| \le \frac{L^i}{1-L}|x_1-x_0|
    误差估计式的推导可以从定义出发,迭代相加推导。

    定理3:局部收敛性

    ϕ(x)αϕ(α)<1xi+1=ϕ(xi)\phi(x)在\alpha邻域内有一阶连续导数,且|\phi'(\alpha)|<1,则迭代过程x_{i+1}=\phi(x_i)具有局部收敛性

    定理4:收敛的阶数

    xi+1=ϕ(xi)αpx_{i+1}=\phi(x_i)在邻域\alpha内p阶收敛的充要条件是:
    ϕ(j)(α)=0,j=1,2,3...p1\phi^{(j)}(\alpha)=0,j=1,2,3...p-1
    ϕ(p)(α)0\phi^{(p)}(\alpha)\ne 0

    Newton迭代法

    若无重根,则是2阶收敛;若有重根,则为线性收敛

    xi+1=xif(xi)f(xi),i=0,1,2...x_{i+1} = x_i-\frac{f(x_{i})}{f'(x_i)},i=0,1,2...

    简化Newton迭代法

    xi+1=xif(xi)C,i=0,1,2...x_{i+1}=x_i- \frac{f(x_i)}{C},i=0,1,2...
    一般选取C=f(x0)C=f'(x_0)

    Newton下山法

    xi+1=xiλf(xi)f(xi),i=0,1,2...x_{i+1} = x_i-\lambda\frac{f(x_{i})}{f'(x_i)},i=0,1,2...
    λf(xi+1)<f(xi),i=0,1,2...\lambda的选择满足f(x_{i+1})<f(x_i),i=0,1,2...

    Newton法修正

    已知根的重数

    二阶收敛

    xi+1=xirf(xi)f(xi),i=0,1,2...x_{i+1} = x_i-r\frac{f(x_{i})}{f'(x_i)},i=0,1,2...

    未知根的重数

    二阶收敛

    xi+1=xiu(xi)u(xi),i=0,1,2...x_{i+1} = x_i-\frac{u(x_{i})}{u'(x_i)},i=0,1,2...
    u(x)=f(x)f(x)u(x)=\frac{f(x)}{f'(x)}

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空空如也

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局部收敛性定理