• 最陡下降方程，即ddtx(t)=−∇f(x(t)),会生成一条路径 x(t)，该路径随着 t 的增长而抵达局部最小值。通常，彼此靠近的初始值 x(0) 给出趋向于相同最小值点的最陡下降路径。最陡下降的吸引盆是导向相同局部最小值的一...

吸引盆

如果目标函数 f(x) 是平滑的，则向量 –∇f(x) 指向 f(x) 下降最快的方向。最陡下降方程，即

ddtx(t)=−∇f(x(t)),

会生成一条路径 x(t)，该路径随着 t 的增长而抵达局部最小值。通常，彼此靠近的初始值 x(0) 给出趋向于相同最小值点的最陡下降路径。最陡下降的吸引盆是导向相同局部最小值的一组初始值。

下图显示两个一维最小值。该图使用不同线型显示不同的吸引盆，并用箭头指示最陡下降的方向。对于此图以及后面的图，黑点表示局部最小值。从 x(0) 点开始，每条最陡下降路径都抵达包含 x(0) 的盆中的黑点。

一维盆 下图显示最陡下降路径在更多维度的情形中变得更为复杂。

显示来自不同起点的最陡下降路径的吸引盆 下图显示更加复杂的路径和吸引盆。

多个吸引盆 约束可以将一个吸引盆分成几个部分。例如，假设在以下约束条件下求 y 的最小值：

y ≥ |x|

y ≥ 5 –

4(x–2)2。

下图显示两个具有最终点的吸引盆。 myabs = @(x) abs(x);

mycurve = @(x) 5 - 4.*(x-2).^2;

myline = @(x) max(myabs(x),mycurve(x));

mybrdr = @(x) 1 + heaviside(x-2);

myarea = @(x,y) heaviside(y - myline(x)).*mybrdr(x);

% myarea = 0 where infeasible, 1 when x < 2, 2 when x > 2

marinv = @(x,y) 1./myarea(x,y); % removes the infeasible region

plot(0,0,'k.','MarkerSize',25,'LineWidth',2);

hold on

grid on

plot(11/4,11/4,'k.','MarkerSize',25,'LineWidth',2);

fplot(mycurve,'k',[.9 3],'LineWidth',2)

fplot(myline,[-2 5],'k','LineWidth',2)

fsurf(marinv,[-2 5 -1,6],'EdgeColor','none','FaceAlpha',0.5)

colormap jet

在命令行中输入 plottools 以使用箭头绘制工具添加箭头。

最陡下降路径是向下一直延伸到约束边界的直线。从约束边界开始，最陡下降路径沿边界向下行进。最终点是 (0,0) 或 (11/4,11/4)，具体取决于初始 x 值是高于还是低于 2。

展开全文 • matlab局部最优和全局最优算法

万次阅读 多人点赞 2016-03-03 14:06:10
在实际的工作和生活过程中...优化问题一般分为局部最优全局最优局部最优，就是在函数值空间的一个有限区域内寻找最小值；而全局最优，是在函数值空间整个区域寻找最小值问题。 函数局部最小点是那种它的函数值

转自http://blog.sciencenet.cn/blog-922140-850587.html

在实际的工作和生活过程中，优化问题无处不在，比如资源如何分配效益最高，拟合问题，最小最大值问题等等。优化问题一般分为局部最优和全局最优，局部最优，就是在函数值空间的一个有限区域内寻找最小值；而全局最优，是在函数值空间整个区域寻找最小值问题。

• 函数局部最小点是那种它的函数值小于或等于附近点的点。但是有可能大于较远距离的点。

• 全局最小点是那种它的函数值小于或等于所有的可行点。

matlab中的提供的传统优化工具箱（Optimization Tool），能实现局部最优，但要得全局最优，则要用全局最优化算法（Global  Optimization Tool ），主要包括：
1. GlobalSearch） 全局搜索和（MultiStart）多起点方法产生若干起始点，然后它们用局部求解器去找到起始点吸引盆处的最优点。

2. ga  遗传算法用一组起始点（称为种群），通过迭代从种群中产生更好的点，只要初始种群覆盖几个盆，GA就能检查几个盆。

3. simulannealbnd）模拟退火完成一个随机搜索，通常，模拟退火算法接受一个点，只要这个点比前面那个好，它也偶而接受一个比较糟的点，目的是转向不同的盆。

4. patternsearch ）模式搜索算法在接受一个点之前要看看其附近的一组点。假如附近的某些点属于不同的盆，模式搜索算法本质上时同时搜索若干个盆

下面我就一些具体例子，来说明各种优化方法：
（1）先看一个求最小值的普通优化问题
 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 %%目标函数 f = @(x) x.*sin(x) + x.*cos(2.*x); %% 的取值范围 lb = 0; ub = 10; %% 寻找最小值和绘图 x0 = [0 1 3 6 8 10]; hf = figure; for i=1:6    x(i) = fmincon(f,x0(i),[],[],[],[],lb,ub,[],...                   optimset('Algorithm','SQP','Disp','none'));    subplot(2,3,i)    ezplot(f,[lb ub]);    hold on    plot(x0(i),f(x0(i)),'k+')    plot(x(i),f(x(i)),'ro')    hold off    title(['Starting at ',num2str(x0(i))])    if i == 1 || i == 4        ylabel('x sin(x) + x cos(2 x)')    end end 可以看出，初值x0不同，得到的结果截然不同，这说明这种求解器，能寻找局部最优，但不一定是全局最优，在起点为8时，取得全局最优。

我们换一种求解器：fminbound,这种求解器不需要给点初值。

 1 2 3 4 5 6 7 8 x2 = fminbnd(f,lb,ub); figure ezplot(f,[lb ub]); hold on plot(x2,f(x2),'ro') hold off ylabel('x sin(x) + x cos(2 x)') title({'Solution using fminbnd.','Required no starting point!'}) 现在我们尝试全局最优的方法：GlobalSearch

 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 % Leason Learned: Use the appropriate solver for your problem type! %% But what if |fmincon| was the only choice? % Use globalSearch or MultiStart problem = createOptimProblem('fmincon','objective',f,'x0',x0(1),'lb',lb,...             'ub',ub,'options',optimset('Algorithm','SQP','Disp','none')); gs = GlobalSearch; xgs = run(gs,problem); figure ezplot(f,[lb ub]); hold on plot(xgs,f(xgs),'ro') hold off ylabel('x sin(x) + x cos(2 x)') title('Solution using globalSearch.') 因此全局最优的方法能够获取全局最优。

（2）再看一个线性拟合的问题:
 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 close all, clear all, clc %% Pharmacokinetic Data t = [ 3.92,  7.93, 11.89, 23.90, 47.87, 71.91, 93.85, 117.84 ]              %#ok<*NOPTS> c = [0.163, 0.679, 0.679, 0.388, 0.183, 0.125, 0.086, 0.0624 ]   plot(t,c,'o'), xlabel('t'), ylabel('c')   %% 3 Compartment Model model = @(b,t) b(1)*exp(-b(4)*t) + b(2)*exp(-b(5)*t) + b(3)*exp(-b(6)*t)   %% Define Optimization Problem   problem = createOptimProblem('lsqcurvefit', ...                             'objective', model, ...                             'xdata', t, 'ydata', c, ...                             'x0',ones(1,6),...                             'lb', [-10 -10 -10  0   0   0 ],...                             'ub', [ 10  10  10 0.5 0.5 0.5], ...                             'options',optimset('OutputFcn',...                             @curvefittingPlotIterates)) %% solve b = lsqcurvefit(problem)

结果：最小二乘拟合结果误差较大 现在我们尝试全局最优方法：MultiStart  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 %% Multistart ms = MultiStart                                                             [b,fval,exitflag,output,solutions] = run(ms, problem, 50)                   %#ok<*NASGU,*ASGLU>   %% curvefittingPlotIterates(solutions)   %% problem.options.OutputFcn = {}; tic, [b,fval,exitflag,output,solutions] = run(ms, problem, 100), toc  %计算算法的时间 可以看出全局优化结果较好，误差较小。
这种算法的运行时间 ：Elapsed time is 6.139324 seconds.

现在我使用并行计算的方式解决：
 1 2 3 4 5 %% Parallel Version matlabpool open 2 %开启两个matlab并行计算 ms.UseParallel = 'always' %开启并行计算 tic, [bp,fvalp,exitflagp,outputp,solutionsp] = run(ms, problem, 100); toc matlabpool close
结果：14 out of 100 local solver runs converged with a positive local solver exit flag.
Elapsed time is 4.358762 seconds.
Sending a stop signal to all the labs ... stopped.
可以看出，运行时间减少，提高了效率。

（3）再看一个寻找最小值的问题
 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 %% Objective Function % We wish find the minimum of the |peaks| function clear all, close all, clc peaks   %% Nonlinear Constraint Function % Subject to a nonlinear constraint defined by a circular region of radius % three around the origin type circularConstraint   %% Define Optimization Problem problem = createOptimProblem('fmincon',...                             'objective',@(x) peaks(x(1),x(2)), ...                             'nonlcon',@circularConstraint,...                             'x0',[-1 -1],...                             'lb',[-3 -3],...                             'ub',[3 3],...                             'options',optimset('OutputFcn',...                                                @peaksPlotIterates))                               %% Run the solver |fmincon| from the inital point % We can see the solution is not the global minimum [x,f] = fmincon(problem) 这种方法只能寻找局部最优。
现在用全局优化算法：
 1 2 3 4 5 6 7 %% Use |MultiStart| to Find the Global Minimum % Define the multistart solver close all ms = MultiStart %这里可以换成GlobalSearch %% Run |Multistart| % Well use 5 starting points [x,f,exitflag,output,solutions] = run(ms, problem, 5) （4）再举一个模拟退火即模式搜索的算法 ：
[x fval] = simulannealbnd(@objfun,x0,lb,ub,options)

 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 %% Objective Function % We wish find the minimum of the |peaks| function clear all, close all, clc peaks   %% Nonlinear Constraint Function % Subject to a nonlinear constraint defined by a circular region of radius % three around the origin type circularConstraint   %% Define Optimization Problem problem = createOptimProblem('fmincon',...                             'objective',@(x) peaks(x(1),x(2)), ...                             'nonlcon',@circularConstraint,...                             'x0',[-1 -1],...                             'lb',[-3 -3],...                             'ub',[3 3],...                             'options',optimset('OutputFcn',...                                                @peaksPlotIterates))                               %% Run the solver |fmincon| from the inital point % We can see the solution is not the global minimum [x,f] = fmincon(problem)                                                       %% Use Simmulated Annealing to Find the Global Minimum % Solve the problem using simmulated annealing.  Note that simmulated % annealing does not support nonlinear so we need to account for this in % the objective function. problem.solver  = 'simulannealbnd'; problem.objective = @(x) peaks(x(1),x(2)) + (x(1)^2 + x(2)^2 - 9); problem.options = saoptimset('OutputFcn',@peaksPlotIterates,...                             'Display','iter',...                             'InitialTemperature',10,...                             'MaxIter',300)   [x,f] = simulannealbnd(problem) f = peaks(x(1),x(2)) Use Pattern Search to Find the Global Minimum
 1 2 3 4 5 6 7 8 %% Use Pattern Search to Find the Global Minimum % Solve the problem using pattern search. problem.solver  = 'patternsearch'; problem.options = psoptimset('OutputFcn',@peaksPlotIterates,...                             'Display','iter',...                             'SearchMethod',{@searchlhs})   [x,f] = patternsearch(problem)

展开全文  matlab 算法 优化
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一、题目

Description

As a reward for record milk production, Farmer John has decided to start paying Bessie the cow a small weekly allowance. FJ has a set of coins in N (1 <= N <= 20) different denominations, where each denomination of coin evenly divides the next-larger denomination (e.g., 1 cent coins, 5 cent coins, 10 cent coins, and 50 cent coins).Using the given set of coins, he would like to pay Bessie at least some given amount of money C (1 <= C <= 100,000,000) every week.Please help him ompute the maximum number of weeks he can pay Bessie.

Input

• Line 1: Two space-separated integers: N and C

• Lines 2..N+1: Each line corresponds to a denomination of coin and contains two integers: the value V (1 <= V <= 100,000,000) of the denomination, and the number of coins B (1 <= B <= 1,000,000) of this denomation in Farmer John's possession.
Output

• Line 1: A single integer that is the number of weeks Farmer John can pay Bessie at least C allowance

3 6
10 1
1 100
5 120

111

Hint

INPUT DETAILS:
FJ would like to pay Bessie 6 cents per week. He has 100 1-cent coins,120 5-cent coins, and 1 10-cent coin.

OUTPUT DETAILS:
FJ can overpay Bessie with the one 10-cent coin for 1 week, then pay Bessie two 5-cent coins for 10 weeks and then pay Bessie one 1-cent coin and one 5-cent coin for 100 weeks.

二、思路&心得

• 贪心题目：从局部最优解得到全局最优解。
• 贪心策略如下：先对数据按照金额从小到大进行排序。对于金额大于C的纸币，直接全部取出；之后进行若干次循环，每次循环中先从大到小尽可能取到小于C的最大金额，之后再从小到大尽可能凑满C，允许超出一个当前最小金额值，一次处理结束后更新相应金额的数量。
• 这个贪心策略的数学化证明暂时没有想到，题目中还给出“金额之间还有确定的倍数关系”，也不清楚这个信息在算法中具体体现了什么作用。对于这个贪心策略，一个较为直观的解释如下：类比生活中买东西，当消费了一定金额后，我们肯定都是使用尽可能多的大面值的RMB，再使用小面值的，整个题目的思想应该跟这个差不多，我们生活中都下意识使用了很多的贪心策略。

• PS：做这个题目时，实在被坑了好久，花了三四个小时，RE + WA无数次才过，主要的问题还是自己一开始上手时，所使用的贪心策略完全错误，尝试了多种，并且举反例证明之后才逐渐找到了正确的贪心策略。

三、代码

#include<cstdio>
#include<climits>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int MAX_N = 25;

int N, C;

int ans;

int use[MAX_N];

struct Money {
int value;
int number;
} a[MAX_N];

bool cmp(Money a, Money b) {
return a.value < b.value;
}

void solve() {
int i, start = -1;
int min_num, dist;
//计算所有面额大于C的数据
for (i = N - 1; i >= 0; i --) {
if (a[i].value >= C) {
ans += a[i].number;
} else {
start = i;
break;
}
}
while (1) {
fill(use, use + N, 0);
dist = C;
//从大到小取到小于C的最大数值
for (i = start; i >= 0; i --) {
if (a[i].number) {
min_num = min(dist / a[i].value, a[i].number);
use[i] = min_num;
dist -= a[i].value * min_num;
}
}
//从小到大凑满C
if (dist > 0) {
for (int i = 0; i <= start; i ++) {
if (a[i].number) {
min_num = min((dist + a[i].value - 1) / a[i].value, a[i].number - use[i]);
use[i] += min_num;
dist -= a[i].value * min_num;
if (dist <= 0) break;
}
}
}
if (dist > 0) break;
//数量更新
min_num = INT_MAX;
for (i = 0; i <= start; i ++) {
if (use[i])
min_num = min(min_num, a[i].number / use[i]);
}
for (i = 0; i <= start; i ++) {
if (use[i]) {
a[i].number -= min_num * use[i];
}
}
ans += min_num;
}
printf("%d\n", ans);
}

int main() {
while (~scanf("%d %d", &N, &C)) {
ans = 0;
for (int i = 0; i < N; i ++) {
scanf("%d %d", &a[i].value, &a[i].number);
}
sort(a, a + N, cmp);
solve();
}
return 0;
}

转载于:https://www.cnblogs.com/CSLaker/p/7307771.html

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