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  • 算法将布谷鸟全局搜索能力与Powell方法的局部寻优性能有机地结合,并根据适应度值逐步构建精英种群候选解池在迭代后期牵引Powell搜索的局部优化,在保证求解速度、尽可能找到全局极值点的同时提高算法的求解精度。...
  • 一、问题描述 无约束的多维极值问题一般描述如下公式...对于实际问题来说,这是不矛盾的,因为实际问题都存在一定的应用背景使用条件,局部最优点并不多,甚至有时局部最优点就是全局最优点,所以实际问题可以根据实

    一、问题描述

           无约束的多维极值问题一般描述如下公式:

           其中x为向量,而f(x)为标量函数,多维极值的问题就是要求得全局最小值。但是大多数的算法都存在着搜索范围问题,无法求得全局最小值,只能计算出一些局部最优值。对于实际问题来说,这是不矛盾的,因为实际问题都存在一定的应用背景和使用条件,局部最优点并不多,甚至有时局部最优点就是全局最优点,所以实际问题可以根据实际经验近似认为局部最优可以作为系统的全局最优解来使用。

     

    二、常用算法

            求无约束最优化的问题大致有两大类:直接法和间接法。其中直接法是不需要计算导数的方法,它们采用的方法是沿着坐标轴搜索函数下降方向或者沿着预先给定的方向进行搜索,因此其本质是一种搜索----试探----前进的反复过程。间接法是通过对目标函数进行求导,沿着特定的方向进行搜索。一般来说直接法比使用导数的间接法要慢一些,但是直接法不需要计算导数,迭代比较简单,编制程序也比较容易。

    1、直接法

    (1)模式搜索法

    (2)Rosenbrock法

    (3)单纯形搜索法

    (4)Powell法

     

     

     

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  • 遗传算法之求取函数极值 ...该函数有两个局部极大点,分别是f(2.048,-2.048)=3897.7342f(-2.048,-2.048)=3905.9262,其中后者为全局最大点。 1. 原书代码 %Generic Algorithm for function f(x1,x2) o

    遗传算法之求取函数极值

    1、前言

    在智能控制(刘金琨)这本里面讲了遗传算法求取函数极值的方法,这里给出一些个人理解时的注释,顺带 求解了第10章的课后习题第二题。
    遗传算法流程图如下:
    遗传算法流程图

    2、原书案例

    利用遗传算法求Rosenbrock函数的极大值
    在这里插入图片描述
    该函数有两个局部极大点,分别是f(2.048,-2.048)=3897.7342和f(-2.048,-2.048)=3905.9262,其中后者为全局最大点。

    1. 原书代码

    %Generic Algorithm for function f(x1,x2) optimum
    clear all;
    close all;
    
    %Parameters
    Size=80;   
    G=100;     
    CodeL=10;
     
    umax=2.048;
    umin=-2.048;
    %初始化 种群 采样rand+round 产生01
    E=round(rand(Size,2*CodeL));    %Initial Code
    
    %Main Program
    for k=1:1:G
    time(k)=k;
    
    for s=1:1:Size
    m=E(s,:);
    y1=0;y2=0;
    
    %Uncoding  解码操作
    m1=m(1:1:CodeL);
    for i=1:1:CodeL
       y1=y1+m1(i)*2^(i-1);
    end
    x1=(umax-umin)*y1/1023+umin;
    m2=m(CodeL+1:1:2*CodeL);
    for i=1:1:CodeL
       y2=y2+m2(i)*2^(i-1);
    end
    x2=(umax-umin)*y2/1023+umin;
    %优化目标是求函数的最大值,故可将个体的适应度直接取为对应的目标函数值
    F(s)=100*(x1^2-x2)^2+(1-x1)^2;
    end
    %选个体适应度的倒数作为目标函数
    Ji=1./F;     %(有一说一 这个真的没用)
    %****** Step 1 : Evaluate BestJ ******
    BestJ(k)=min(Ji);
    
    fi=F;                          %适应度函数 
    %'ascend' 表示升序(默认值),'descend' 表示降序。
    [Oderfi,Indexfi]=sort(fi,'ascend' );     %升序排列
    Bestfi=Oderfi(Size);           %Let Bestfi=max(fi )选出最优个体
    BestS=E(Indexfi(Size),:);      %Let BestS=E(m), m is the Indexfi belong to max(fi)
    bfi(k)=Bestfi;             %作图用的 寻优过程
    
    %****** Step 2 : Select and Reproduct Operation******
       fi_sum=sum(fi);
       fi_Size=(Oderfi/fi_sum)*Size;%比例法进行 复制
       
       fi_S=floor(fi_Size);        %Selecting Bigger fi value
       
       kk=1;       
       for i=1:1:Size
          for j=1:1:fi_S(i)        %Select and Reproduce 
           TempE(kk,:)=E(Indexfi(i),:);  %%优秀的个体进行复制
             kk=kk+1;              %kk is used to reproduce
          end
       end
       
    %************ Step 3 : Crossover Operation ************
    pc=0.60;               %%交叉的概率
    n=ceil(20*rand);       %%一点交叉 选择出一点交叉的位置
    for i=1:2:(Size-1)
        temp=rand;
        if pc>temp                  %Crossover Condition
        for j=n:1:20
            TempE(i,j)=E(i+1,j);
            TempE(i+1,j)=E(i,j);
        end
        end
    end
    TempE(Size,:)=BestS;
    E=TempE;
       
    %************ Step 4: Mutation Operation **************
    %pm=0.001;
    %pm=0.001-[1:1:Size]*(0.001)/Size; %Bigger fi, smaller Pm
    %pm=0.0;    %No mutation
    pm=0.1;     %Big mutation   %%%变异
    
       for i=1:1:Size
          for j=1:1:2*CodeL
             temp=rand;
             if pm>temp                %Mutation Condition
                if TempE(i,j)==0
                   TempE(i,j)=1;        %10 01
                else
                   TempE(i,j)=0;
                end
            end
          end
       end
       
    %Guarantee TempPop(30,:) is the code belong to the best individual(max(fi))
    TempE(Size,:)=BestS;      %保证最优个体不丢失(变异交叉等会改变最优个体的基因)
    E=TempE;                  %形成新的一代种群的基因
    end
     
    Max_Value=Bestfi
    BestS
    x1
    x2
    figure(1);
    plot(time,BestJ); 
    xlabel('Times');ylabel('Best J');
    figure(2);
    plot(time,bfi);
    xlabel('times');ylabel('Best F');
    

    2. 代码结果
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    Max_Value =
       3.9059e+03
    BestS =116
    
         0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     01720
         0     0     0     0
    x1 =
       -2.0480
    x2 =
       -2.0480
    

    3、 课后习题

    1. 题目要求
    在这里插入图片描述

    2. 实验代码

    %Generic Algorithm for function f(x1,x2) optimum
    clear all;
    close all;
    
    %Parameters
    Size=80;   
    G=100;     
    CodeL=40;%最主要的改动是这里 通过提高编码的长度,提高解的精度
    
    umax=5.12;
    umin=-5.12;
    %初始化 种群 采样rand+round 产生01
    E=round(rand(Size,3*CodeL));    %Initial Code
    
    %Main Program
    for k=1:1:G
    time(k)=k;
    
    for s=1:1:Size
    m=E(s,:);
    y1=0;y2=0;y3=0;
    
    %Uncoding  解码操作
    m1=m(1:1:CodeL);
    for i=1:1:CodeL
       y1=y1+m1(i)*2^(i-1);
    end
    x1=(umax-umin)*y1/( 2^CodeL-1)+umin;
    m2=m(CodeL+1:1:2*CodeL);
    for i=1:1:CodeL
       y2=y2+m2(i)*2^(i-1);
    end
    x2=(umax-umin)*y2/( 2^CodeL-1)+umin;
    m3=m(2*CodeL+1:1:3*CodeL);
    for i=1:1:CodeL
       y3=y3+m3(i)*2^(i-1);
    end
    x3=(umax-umin)*y3/( 2^CodeL-1)+umin;
    
    F(s)=x1*x1+x2*x2+x3*x3;
    end
    
    Ji=F;
    %****** Step 1 : Evaluate BestJ ******
    BestJ(k)=min(Ji);
    %要求最小值 所以适应度函数可以设为目标函数的倒数,这样好选出最优个体(值小的适应度高)
    fi=1./F;                          %Fitness Function
    %'ascend' 表示升序(默认值),'descend' 表示降序。
    [Oderfi,Indexfi]=sort(fi,'ascend' );     %Arranging fi small to bigger
    Bestfi=Oderfi(Size);           %Let Bestfi=max(fi)
    BestS=E(Indexfi(Size),:);      %Let BestS=E(m), m is the Indexfi belong to max(fi)
    bfi(k)=Bestfi;%作图用的 寻优过程
    
    %****** Step 2 : Select and Reproduct Operation******
       fi_sum=sum(fi);
       fi_Size=(Oderfi/fi_sum)*Size;%比例法进行 复制
       
       fi_S=floor(fi_Size);        %Selecting Bigger fi value
       
       kk=1;       
       for i=1:1:Size
          for j=1:1:fi_S(i)        %Select and Reproduce 
           TempE(kk,:)=E(Indexfi(i),:);  %%优秀的个体进行复制
             kk=kk+1;              %kk is used to reproduce
          end
       end
       
    %************ Step 3 : Crossover Operation ************
    pc=0.60;               %%交叉的概率
    n=ceil(30*rand);       %%一点交叉 概率大于0.6 
    for i=1:2:(Size-1)
        temp=rand;
        if pc>temp                  %Crossover Condition
        for j=n:1:30
            TempE(i,j)=E(i+1,j);
            TempE(i+1,j)=E(i,j);
        end
        end
    end
    TempE(Size,:)=BestS;
    E=TempE;
       
    %************ Step 4: Mutation Operation **************
    %pm=0.001;
    %pm=0.001-[1:1:Size]*(0.001)/Size; %Bigger fi, smaller Pm
    %pm=0.0;    %No mutation
    pm=0.1;     %Big mutation   %%%变异
    
       for i=1:1:Size
          for j=1:1:3*CodeL
             temp=rand;
             if pm>temp                %Mutation Condition
                if TempE(i,j)==0
                   TempE(i,j)=1;
                else
                   TempE(i,j)=0;
                end
            end
          end
       end
       
    %Guarantee TempPop(30,:) is the code belong to the best individual(max(fi))
    TempE(Size,:)=BestS;
    E=TempE;
    end
     
    
    BestS
    x1
    x2
    x3
    figure(1);
    plot(time,BestJ); 
    xlabel('Times');ylabel('Best J');
    figure(2);
    plot(time,bfi);
    xlabel('times');ylabel('Best F');
    

    3. 实验结果
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    
    BestS =118
    
         1     1     1     0     0     1     0     0     1     0     0     0     0     1     1     1     0     11936
    
         0     0     1     0     0     1     1     1     1     1     1     1     1     1     1     1     1     13754
    
         1     1     1     0     0     1     0     1     1     1     1     0     0     0     1     0     0     15572
         0     0     0     1     0     1     0     1     1     0     0     0     0     0     0     0     0     07390
    
         0     0     0     0     0     0     0     1     0     1     0     0     0     0     1     1     0     091108
    
         0     1     1     1     0     1     0     1     0     1     1     1     1     1     1     1     1     1109120
    
         1     1     1     1     1     1     1     1     1     1     1     0
    
    x1 =
      -1.2489e-04
    x2 =
    
       6.4789e-05
    x3 =
      -3.2121e-06
    

    PS:适应度函数不一定要选成目标函数值的倒数,也可以是相反数,这样最小值问题就转换成最大值问题了。有兴趣的可以自己做一下。

    展开全文
  •   造成神经网络难以优化的一个重要(乃至主要)原因不是高维优化问题中有很多局部极值,而是存在大量鞍点。   吴恩达视频中讲的,虽然没有理论的证明,局部最小值就是全局最小值,但是很多实际的经验告诉我们,...

    局部最优和鞍点

      造成神经网络难以优化的一个重要(乃至主要)原因不是高维优化问题中有很多局部极值,而是存在大量鞍点。
      吴恩达视频中讲的,虽然没有理论的证明,局部最小值就是全局最小值,但是很多实际的经验告诉我们,最后,只能收敛到一个最小值,也就是说,很多现实实际问题是只有一个最小值的。但这个最小值通常是鞍点。

    认识鞍点的历史

      BP算法自八十年代发明以来,一直是神经网络优化的最基本的方法。神经网络普遍都是很难优化的,尤其是当中间隐含层神经元的个数较多或者隐含层层数较多的时候。长期以来,人们普遍认为,这是因为较大的神经网络中包含很多局部极小值(local minima),使得算法容易陷入到其中某些点。这种看法持续二三十年,至少数万篇论文中持有这种说法。举个例子,如著名的Ackley函数 。对于基于梯度的算法,一旦陷入到其中某一个局部极值,就很难跳出来了。

      到2014年,一篇论文《Identifying and attacking the saddle point problem in high-dimensional non-convex optimization》(https://arxiv.org/pdf/1406.2572v1.pdf)。
      指出高维优化问题中根本没有那么多局部极值。作者依据统计物理,随机矩阵理论和神经网络理论的分析,以及一些经验分析提出高维非凸优化问题之所以困难,是因为存在大量的鞍点(梯度为零并且Hessian矩阵特征值有正有负)而不是局部极值。

      这个问题目前仍有讨论,不过大体上人们接受了这种观点,即造成神经网络难以优化的一个重要(乃至主要)原因是存在大量鞍点。造成局部极值这种误解的原因在于,人们把低维的直观认识直接推到高维的情况。在一维情况下,局部极值是仅有的造成优化困难的情形(Hessian矩阵只有一个特征值)。该如何处理这种情况,目前似乎没有特别有效的方法。

    理解鞍点,以及如何有效地避开它们

      大家都知道局部最小值是我们的克星,所以一个重要的问题就是如何避免局部最小值。但问题并不明显,有很多机器学习的问题没有局部最小值。即使你有局部最小值,梯度下降似乎可以轻松回避它们。神经网络如果足够大的话就会有足够的冗余,要做到这一点并不难。达到零就是全局最优解。
      如果一个回路的局部最大值不是问题,它的鞍点是剩下需要解决的。
      鞍点在这些体系结构中大量存在,不论是在简单的模型还是在神经网络中。它们会导致学习曲线变平。你会经常看到一个学习曲线下降很快,之后很久都是平的。这就是靠近鞍点的表现。最终你会逃离鞍点。
      继续下去,你可能会碰到另一个鞍点。你会看到一个学习曲线,它这样上升和下降。某种意义上,这不是问题,如果你最终得到正确答案。但是你可能会碰到一个鞍点并在那里停滞很长一段时间,时间过久,以至于你都不知道在某个地方能找到更好的答案。特别是如果你没有那么多时间来运行你的算法。所以你可以在多维度中理解这个。

      让我给你们看一张鞍点的图片。在左边我们有一个“严格”的鞍点。有一个负曲率的方向,这个负曲率是严格小于零的。在右边,它是个非严格鞍点,但第二个特征值严格为零。

    如何逃离鞍点?

      如果你沿着中间部分往下走,你最终会摆脱它,但这可能需要很长时间。这只是两个维度上,但如果你有上十万甚至上百万维度呢?就像现在一般的研究中一样。在这种情况下,可能只有一条出路,其他的方向都不行,所以要找到逃逸的方向可能要花很长时间。当维度越来越大的时候,就有问题了。基于梯度下降的算法可能会有麻烦。
      只用一阶导数是难以区分最优点和鞍点的。但如果你有一个海森矩阵,这个问题将会消失,因为你会知道所有的方向,但你必须计算一个海森矩阵的特征向量。这两种情况都不好,因为它太复杂了也太慢。所以,梯度方法是个问题。

      我们想一下,最优点和鞍点的区别不就在于其在各个维度是否都是最低点嘛~只要某个一阶导数为0的点在某个维度上是最高点而不是最低点,那它就是鞍点。而区分最高点和最低点当然就是用二阶导数(斜率从负变正的过程当然就是“下凸”,即斜率的导数大于0,即二阶导数大于0。反之则为“上凹”,二阶导数小于0)。也就是说,若某个一阶导数为0的点在至少一个方向上的二阶导数小于0,那它就是鞍点啦。
      那么二阶导数大于0和小于0的概率各是多少呢?由于我们并没有先验知识,因此按照最大熵原理,我们认为二阶导数大于和小于0的概率均为0.5!

      那么对于一个有n个参数的机器学习/深度学习模型,“loss曲面”即位于n+1维空间(loss值为纵轴,n个参数为n个横轴)。在这个空间里,如果我们通过梯度下降法一路下滑终于滑到了一个各方向导数均为0的点,那么它为局部最优点的概率即0.5^ n,为鞍点的概率为1-0.5^n,显然,当模型参数稍微一多,即n稍微一大,就会发现这个点为鞍点的概率会远大于局部最优点!

    实际操作中避开鞍点

      使用的mini-batch梯度下降法本身就是有噪声的梯度估计,哪怕我们位于梯度为0的点,也经常在某个mini-batch下的估计把它估计偏了,导致往前或者往后挪了一步摔下马鞍,也就是mini-batch的梯度下降法使得模型很容易逃离特征空间中的鞍点。

      更多的,我们可以从以下方面考虑:
      1)如何去设计一个尽量没有“平坦区”等危险地形的loss空间,即着手于loss函数的设计以及深度学习模型的设计;
      2)尽量让模型的初始化点远离空间中的危险地带,让最优化游戏开始于简单模式,即着手于模型参数的初始化策略;
      3)让最优化过程更智能一点,该加速冲时加速冲,该大胆跳跃时就大胆跳,该慢慢踱步时慢慢走,对危险地形有一定的判断力,如梯度截断策略;
      4)开外挂,本来下一步要走向死亡的,结果被外挂给拽回了安全区,如batch normalization策略等。

    展开全文
  • 局部搜索 邻域搜索

    千次阅读 2020-01-19 20:25:53
    通常考察一个算法的性能通常用局部搜索能力和全局收敛能力这两个指标。局部搜索是指能够无穷接近最优解的能力,而全局收敛能力是指找到...一般的局部搜索算法一旦陷入局部极值点,算法就在该点处结束,这时得到的可...

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    通常考察一个算法的性能通常用局部搜索能力和全局收敛能力这两个指标。局部搜索是指能够无穷接近最优解的能力,而全局收敛能力是指找到全局最优解所在大致位置的能力。局部搜索能力和全局搜索能力,缺一不可。向最优解的导向,对于任何智能算法的性能都是很重要的。

    局部最优问题(或叫局部峰值局部陷井):现实问题中,f在D上往往有多个局部的极值点。一般的局部搜索算法一旦陷入局部极值点,算法就在该点处结束,这时得到的可能是一个糟糕的结果。解决的方法就,目标函数差的点,被选中的概率小。考虑归一化问题,使得邻域内所有点被选中的概率和为1。总的来说,局部搜索的方法,就是依赖于对解空间进行按邻域搜索。

    起始点问题:一般的局部搜索算法是否能找到全局最优解,与初始点的位置有很大的依赖关系。解决的方法就是随机生成一些初始点,从每个初始点出发进行搜索,找到各自的最优解。再从这些最优解中选择一个最好的结果作为最终的结果。

    学习的重要性:
    1、直接用于无约束的实际问题;
    2、其基本思想和逻辑结构可以推广到约束问题;
    3、约束问题可以转化成无约束问题求解。

    方法分类:
    1、间接法:对简单问题,求解必要条件或充分条件;
    2、迭代算法:
    零阶法:只需计算函数值 f(x) (直接法)
    一阶法:需计算 ▽f(x) (梯度法)
    二阶法:需计算 ▽2f(x) (梯度法)

    直接搜索法优点:计算不太复杂;易于实施与快速调试;所需的准备时间较少

    一、单纯形搜索法:

    1962年由Spendley, Hext和Himsworth提出,80年代得到证明。单纯形搜索法是一种无约束最优化的直接方法。单纯形法是求解非线性多元函数、无约束最小化问题的有效方法之一。在许多技术领域内,都取得了有效的成果。

    所谓的单纯形是指n维空间En中具有n+1个顶点的凸多面体。比如一维空间中的线段,二维空间中的三角形,三维空间中的四面体等,均为相应空间中的单纯形。单纯形搜索法与其它直接方法相比,基本思想有所不同,在这种方法中,给定维空间En中一个单纯形后,求出n+1个顶点上的函数值,确定出有最大函数值的点(称为最高点)和最小函数值的点(称为最低点),然后通过反射、扩展、压缩等方法(几种方法不一定同时使用)求出一个较好点,用它取代最高点,构成新的单纯形,或者通过向最低点收缩形成新的单纯形,用这样的方法逼近极小点。
    单纯形搜索法的基本思想是:先找出一个基本可行解,对它进行鉴别,看是否是最优解;若不是,则按照一定法则转换到另一改进的基本可行解,再鉴别;若仍不是,则再转换,按此重复进行。因基本可行解的个数有限,故经有限次转换必能得出问题的最优解。

    一般解题步骤可归纳如下:

    ①把线性规划问题的约束方程组表达成典范型方程组,找出基本可行解作为初始基本可行解。

    ②若基本可行解不存在,即约束条件有矛盾,则问题无解。

    ③若基本可行解存在,从初始基本可行解作为起点,根据最优性条件和可行性条件,引入非基变量取代某一基变量,找出目标函数值更优的另一基本可行解。

    ④按步骤3进行迭代,直到对应检验数满足最优性条件(这时目标函数值不能再改善),即得到问题的最优解。

    ⑤若迭代过程中发现问题的目标函数值无界,则终止迭代。

    二、Powell共轭方向法(方向加速法)

    1964年由Powell提出,后经Zangwoll(1967年)和Brent(1973年)改进。该算法有效地利用了迭代过程中的历史信息,建立起能加速收敛的方向。

    理论基础:以二次对称函数为模型进行研究。

    在非线性目标函数中,最简单的是二次函数,故任何对一般函数有效的方法首先应对二次函数有效;在最优点附近,非线性函数可用一个二次函数作近似,故对二次函数使用良好的方法,通常对一般函数也有效;很多实际问题的目标函数是二次函数。

    设A是n×n阶对称正定矩阵,p(0), p(1)为两个n维向量,若 成立p(0)T A p(1) = 0,则称向量p(0)与p(1)为A共轭或A正交,称该两向量的方向为A共轭方向。

    特点:Powell法本质上是以正定二次函数为背景,以共轭方向为基础的一种方法。不同于其他的直接法, Powell法有一套完整的理论体系,故其计算效率高于其他直接法。若每次迭代的前n 个搜索方向都线性无关时,则原始Powell法具有二次终止性 Powell法使用一维搜索,而不是跳跃的探测步。Powell法的搜索方向不一定为下降方向。

    不足:在原始Powell法中,必须保持每次迭代中前n个搜索方向线性无关,否则将永远得不到问题的最优解。

    为了避免出现搜索方向组线性相关的现象,Powell及其他人对原始Powell法进行修正:

    三、梯度法

    又名最速下降法,求解无约束多元函数极值的数值方法,早在1847年就已由柯西(Cauchy))提出。它是导出其他更为实用、更为有效的优化方法的理论基础。因此,梯度法是无约束优化方法中最基本的方法之一。该方法选取搜索方向Pκ的出发点是:怎样选取Pk可使ƒ(X)下降得最快?或者说使ƒ(Xκ+λΡκ)-ƒ(Χκ)<0且不等式左式的绝对值尽量大。

    目标:求出平稳点(满足Ñf(x)=0的x * )。对给定的解,按负梯度方向搜索其邻域解,若邻域中有更优的解(根据给定的评估函数评定),则移动至该邻域解,继续寻找,直至找不到为止。此时,就找到了局部最优解。方法非常简单,但是缺陷也很明显,即陷入到局部最优解之后无法跳出。

    注意:最速下降法的搜索路径呈直角锯齿形,相邻两个搜索方向是正交的。

    1、优点:计算简单,需记忆的容量小;对初始点要求低,稳定性高;远离极小点时收敛快,常作为其它方法的第一步。

    2、缺点:收敛速度较慢(线性或不高于线性),原因是最速下降方向只有在该点附近有意义。直线搜索可能会产生一些问题,可能会“之字型”地下降。尤其当目标函数等值面是很扁的椭圆、椭球或类似图形时,收敛更慢。

    四、Newton法

    由最速下降法可知,从全局角度来看,负梯度方向一般不是一个特别好的方向,有没有更好的方向?

    基本思想:利用目标函数f(x)在x(k)处的二阶Taylor展开式去近似目标函数,用二次函数的极小点去逼近目标函数的极小点。

    1、Newton法的最大优点是:Newton法是局部收敛的,当初始点选得合适时收敛很快,具有二阶收敛速度,是目前算法中最快的一种。 对初始点要求高,一般要求初始点离极小点较近,否则不收敛。有时即使是收敛的,但因初始点离极大点或鞍点较近,会收敛于极大点或鞍点。

    2、Newton法的搜索方向-H (x)-1 g(x),称为Newton方向,是一个好方向,对二次函数此方向直指平稳点。如果H(x(k))是正定的,则H(x(k))-1必存在,从而算法是可行的,并且保证求得的平稳点是极小点。但在迭代过程中要求H(x(k))是正定的这一条件不一定能保证,因而它不一定是下降方向。一般在极小点附近的Hesse矩阵容易为正定的。所以基本Newton法在极小点附近才比较有效。

    五、共轭梯度法

    共轭梯度法最早是又Hestenes和Stiefle(1952)提出来的,用于解正定系数矩阵的线性方程组,在这个基础上,Fletcher和Reeves (1964)首先提出了解非线性最优化问题的共轭梯度法。由于共轭梯度法不需要矩阵存储,且有较快的收敛速度和二次终止性等优点,现在共轭梯度法已经广泛地应用与实际问题中。

    共轭梯度法(Conjugate Gradient)是介于最速下降法与牛顿法之间的一个方法,它仅需利用一阶导数信息,但克服了最速下降法收敛慢的缺点,又避免了牛顿法需要存储和计算Hesse矩阵并求逆的缺点,共轭梯度法不仅是解决大型线性方程组最有用的方法之一,也是解大型非线性最优化最有效的算法之一。

    共轭梯度法是一个典型的共轭方向法,它的每一个搜索方向是互相共轭的,而这些搜索方向d仅仅是负梯度方向与上一次迭代的搜索方向的组合。在各种优化算法中,共轭梯度法是非常重要的一种。其优点是所需存储量小,具有步收敛性,稳定性高,而且不需要任何外来参数。

    1、共轭梯度法不需要预先估计任何参数就可以计算,每次迭代所需的计算,主要是向量之间的运算,便于并行化。程序简单,对大规模问题很有吸引力。对一般函数为超线性收敛。

    2、共轭梯度法的收敛速度比最速下降法要快得多,同时也避免了要求海塞矩阵的计算。收敛速度依赖于一维搜索的精确性及Hesse矩阵的特征值的分布。

    局部领域搜索是基于贪婪思想持续地在当前解的领域中进行搜索,虽然算法通用易实现,且容易理解,但其搜索性能完全依赖于领域结构和初解,尤其窥陷入局部极小而无法保证全局优化性。针对局部领域搜索,为了实现全局优化,可尝试的途径有:以可控性概率接受劣解来逃逸局部极小,如模拟退火算法;确定性的局部极小突跳策略,如禁忌策略;扩大领域搜索结构,如TSP的2opt扩展到k-opt;多点并行搜索,如进化计算;变结构领域搜索( Mladenovic et al,1997)等等。

    一、爬山法(Hill-Climbing)

    爬山算法是一种简单的贪心搜索算法,该算法每次从当前解的临近解空间中选择一个最优解作为当前解,直到达到一个局部最优解。爬山算法实现很简单,其主要缺点是会陷入局部最优解,而不一定能搜索到全局最优解。如下图所示:假设C点为当前解,爬山算法搜索到A点这个局部最优解就会停止搜索,因为在A点无论向那个方向小幅度移动都不能得到更优的解。

    爬山法是向值增加的方向持续移动到简单循环过程,算法在到达一个“峰顶”时终止,此时相邻状态中没有比该“峰顶”更高的值。爬山法不维护搜索树,当前节点只需要记录当前状态及其目标函数值;爬山法不会前瞻与当前状态不直接相邻的状态的值——“就像健忘的人在大雾中试图登顶珠峰一样”。爬山法从来不会“下山”,只会向值比当前节点好的方向搜索,因而肯定不完备,很容易停留在局部极值上。
    function HillClimbing(problem) return 一个局部最优状态
    输入:problem
    局部变量:current, 一个节点
    neighbor,一个节点
    current= MakeNode(Initial-State(problem));
    loop do
    neighbor= a highest-valued successor of current ;
    if VALUE[neighbor] <= VALUE[current] then return STATE[current];
    current= neighbor ;
    爬山法又称贪婪局部搜索,只是选择相邻状态中最好的一个。尽管贪婪是七宗罪之一,但是贪婪算法往往能够获得很好的效果。当然,爬山法会遇到以下问题:

    (1)局部极值

    (2)山脊:造成一系列的局部极值

    (3)高原:平坦的局部极值区域——解决办法:继续侧向移动
    随机爬山法:在上山移动中,随机选择下一步,选择的概率随着上山移动到陡峭程度而变化。

    首选爬山法:随机地生成后继节点直到生成一个优于当前节点的后继。

    随机重新开始的爬山法:“如果一开始没有成功,那么尝试,继续尝试”算法通过随机生成的初始状态来进行一系列的爬山法搜索,找到目标时停止搜索。该算法以概率1接近于完备:因为算法最终会生成一个目标状态作为初始状态。如果每次爬山搜索成功的概率为p,则需要重新开始搜索的期望次数为 1/p。

    二、模拟退火算法(Simulated Annealing)

    “模拟退火”算法是源于对热力学中退火过程的模拟,在某一给定初温下,通过缓慢下降温度参数,使算法能够在多项式时间内给出一个近似最优解。

    爬山法是完完全全的贪心法,每次都鼠目寸光的选择一个当前最优解,因此只能搜索到局部的最优值。模拟退火其实也是一种贪心算法,但是它的搜索过程引入了随机因素。模拟退火算法与爬山法类似,但是它没有选择最佳的移动,而是选择随机的移动。如果该移动使情况得到改善,那么接受该移动;否则,算法以某个概率接受该移动。因此有可能会跳出这个局部的最优解,达到全局的最优解。以上图为例,模拟退火算法在搜索到局部最优解A后,会以一定的概率接受到E的移动。也许经过几次这样的不是局部最优的移动后会到达D点,于是就跳出了局部最大值A。

    模拟退火的原理:我们将热力学的理论套用到统计学上,将搜寻空间内每一点想像成空气内的分子;分子的能量,就是它本身的动能;而搜寻空间内的每一点,也像空气分子一样带有“能量”,以表示该点对命题的合适程度。算法先以搜寻空间内一个任意点作起始:每一步先选择一个“邻居”,然后再计算从现有位置到达“邻居”的概率。可以证明,模拟退火算法所得解依概率收敛到全局最优解。

    当陷入局部最优之后,模拟退火算法要求概率根据算法进行过程中,逐步降低(逐渐降低才能趋向稳定)其跳出局部最优的概率,使其越来越趋于稳定。这一特性增加也同样存在缺陷,即对于全局最优解,也存在一定概率跳出,从而使得求解过程不稳定。

    随着邻域的范围的增大,跳出局部极小区域,最终进入全局极小区域的概率越来越大,但是代价是总的迭代次数增加。但是随着邻域范围的增大,会出现所谓的在极值附近来回”振荡”而无法落入极值点的现象。可以推测,随着邻域范围的进一步增大及其随机特性,模拟退火算法将退化到随机寻找极值并进行记录极值的算法。当然这种算法也存在问题,即对于某些情况下,也不易达到全局最优。例如,解空间中仅有两个局部最优,其中一个是全局最优,那么模拟退火似乎并不一定总能进入到全局最优解当中。

    Create initial solution S

    repeat

    for i=1 to iteration-length do

    Generate a random transition from S to Si

    If ( C(S) <= C(Si) ) then

    S=Si

    else if( exp(C(S)-C(Si))/kt > random[0,1) ) then

    S=Si

    Reduce Temperature t

    until ( no change in C(S) )

    C(S): Cost or Loss function of Solution S.

    1、在其他参数合适的情况下,初始解的位置与邻域结构是2个重要因素。

    2、初始解的位置与邻域结构的设计之间对于找到最优解的问题而言存在依赖关系。随着邻域的范围的增大,跳出局部极小区域,最终进入全局极小区域的概率越来越大,同时也可能会产生振荡,无法落入极值区域。

    3、模拟退火本质上也是一种 暴力搜索,只不过是利用随机的性质和局部极值区域连续(也取决于求解问题中邻域的结构)的特性避免了大量计算,进而在较短时间内从某种概率上逼近局部最优值和全局最优值。

    三、禁忌搜索(Tabu Search或Taboo Search,TS)

    禁忌搜索(Tabu Search或Taboo Search,简称TS)的思想最早由Glover(1986)提出,它是对局部领域搜索的一种扩展,是一种全局逐步寻优算法,是对人类智力过程的一种模拟。TS算法通过引入一个灵活的存储结构和相应的禁忌准则来避免迂回搜索,并通过藐视准则来赦免一些被禁忌的优良状态,进而保证多样化的有效探索以最终实现全局优化。相对于模拟退火和遗传算法,TS是又一种搜索特点不同的meta-heuristic算法。

    禁忌搜索是人工智能的一种体现,是局部领域搜索的一种扩展。禁忌搜索最重要的思想是标记对应已搜索的局部最优解的一些对象,并在进一步的迭代搜索中尽量避开这些对象(而不是绝对禁止循环),从而保证对不同的有效搜索途径的探索。禁忌搜索涉及到领域(neighborhood)、禁忌表(tabu list)、禁忌长度(tabu 1ength)、候选解(candidate)、藐视准则(candidate)等概念。

    简单TS算法的基本思想描述如下:

    (1)给定算法参数,随机产生初始解x,置禁忌表为空。

    (2)判断算法终止条件是否满足?若是,则结束算法并输出优化结果;否则,继续以下步骤。

    (3)利用当前解的邻域函数产生其所有(或若干)邻域解,并从中确定若干候选解。

    (4)对候选解判断特赦准则是否满足?若成立,则用满足特赦准则的最佳状态y替代x成为新的当前解,即x=y,并用与y对应的禁忌对象替换最早进入禁忌表的禁忌对象,同时用y替换“best so far”状态,然后转步骤6;否则,继续以下步骤。

    (5)判断候选解对应的各对象的禁忌属性,选择候选解集中非禁忌对象对应的最佳状态为新的当前解,同时用与之对应的禁忌对象替换最早进入禁忌表的禁忌对象元素。

    (6)转步骤(2)。

    局部搜索,模拟退火,遗传算法,禁忌搜索的形象比喻:为了找出地球上最高的山,一群有志气的兔子们开始想办法。
    1、兔子朝着比现在高的地方跳去。他们找到了不远处的最高山峰。但是这座山不一定是珠穆朗玛峰。这就是局部搜索,它不能保证局部最优值就是全局最优值。
    2、兔子喝醉了。他随机地跳了很长时间。这期间,它可能走向高处,也可能踏入平地。但是,他渐渐清醒了并朝最高方向跳去。这就是模拟退火。
    3、兔子们吃了失忆药片,并被发射到太空,然后随机落到了地球上的某些地方。他们不知道自己的使命是什么。但是,如果你过几年就杀死一部分海拔低的兔子,多产的兔子们自己就会找到珠穆朗玛峰。这就是遗传算法。
    4、兔子们知道一个兔的力量是渺小的。他们互相转告着,哪里的山已经找过,并且找过的每一座山他们都留下一只兔子做记号。他们制定了下一步去哪里寻找的策略。这就是禁忌搜索。

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局部极值和全局极值