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  • 局部极小值点
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    2022-03-03 21:07:49

    分类目录:《机器学习中的数学》总目录
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    凸优化问题的一个突出特点是其可以简化为寻找一个局部极小点的问题。任何一个局部极小点都是全局最小点。有些凸函数的底部是一个平坦的区域,而不是单一的全局最小点,但该平坦区域中的任意点都是一个可以接受的解。优化一个凸问题时,若发现了任何形式的临界点,我们都会知道已经找到了一个不错的可行解

    对于非凸函数时,如神经网络,有可能会存在多个局部极小值。事实上,几乎所有的深度模型基本上都会有非常多的局部极小值。然而,我们会发现这并不是主要问题。由于模型可辨识性问题,神经网络和任意具有多个等效参数化潜变量的模型都会具有多个局部极小值。如果一个足够大的训练集可以唯一确定一组模型参数,那么该模型被称为可辨认的。带有潜变量的模型通常是不可辨认的,因为通过相互交换潜变量我们能得到等价的模型。例如,考虑神经网络的第一层,我们可以交换单元 i i i和单元 j j j的传入权重向量、传出权重向量而得到等价的模型。如果神经网络有 m m m层,每层有 n n n个单元,那么会有 n ! m n!m n!m种排列隐藏单元的方式。这种不可辨认性被称为权重空间对称性。

    除了权重空间对称性,很多神经网络还有其他导致不可辨认的原因。例如,在任意整流线性网络或者Maxout网络中,我们可以将传入权重和偏置扩大 α \alpha α倍,然后将传出权重扩大 1 α \frac{1}{\alpha} α1倍,而保持模型等价。这意味着,如果代价函数不包括如权重衰减这种直接依赖于权重而非模型输出的项,那么整流线性网络或者Maxout网络的每一个局部极小点都在等价的局部极小值的 m × n m×n m×n维双曲线上。

    这些模型可辨识性问题意味着,神经网络代价函数具有非常多甚至不可数无限多的局部极小值。然而,所有这些由于不可辨识性问题而产生的局部极小值都有相同的代价函数值。因此,这些局部极小值并非是非凸所带来的问题。如果局部极小值相比全局最小点拥有很大的代价,局部极小值会带来很大的隐患。我们可以构建没有隐藏单元的小规模神经网络,其局部极小值的代价比全局最小点的代价大很多。如果具有很大代价的局部极小值是常见的,那么这将给基于梯度的优化算法带来极大的问题。

    对于实际中感兴趣的网络,是否存在大量代价很高的局部极小值,优化算法是否会碰到这些局部极小值,都是尚未解决的公开问题。多年来,大多数从业者认为局部极小值是困扰神经网络优化的常见问题。如今,情况有所变化。这个问题仍然是学术界的热点问题,但是学者们现在猜想,对于足够大的神经网络而言,大部分局部极小值都具有很小的代价函数,我们能不能找到真正的全局最小点并不重要,而是需要在参数空间中找到一个代价很小(但不是最小)的点。

    很多从业者将神经网络优化中的所有困难都归结于局部极小值。我们鼓励从业者要仔细分析特定的问题。一种能够排除局部极小值是主要问题的检测方法是画出梯度范数随时间的变化。如果梯度范数没有缩小到一个微小的值,那么该问题既不是局部极小值,也不是其他形式的临界点。在高维空间中,很难明确证明局部极小值是导致问题的原因。许多并非局部极小值的结构也具有很小的梯度。

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    局部极小点一阶必要条件:
    x是多元实值函数f在Ω边界上的局部极小点,则对于x处的任意可行方向d,都有方向导数大于等于0.
    该式代表方向导数大于等于0

    x是多元实值函数f在Ω内的局部极小点,则该点的梯度等于0.

    该式代表梯度为0

    局部极小点二阶必要条件:
    函数在约束集上二阶连续可微,如果x是函数f在Ω上的局部极小点,d是x处的一个可行方向,且满足方向导数等于0.
    则满足
    在这里插入图片描述

    函数在约束集上二阶连续可微,如果x是函数f在Ω内的局部极小点,则该点梯度为0,且黑塞矩阵半正定,即
    在这里插入图片描述
    这里d为任意向量

    局部极小点的二阶充分条件:
    函数在约束集上二阶连续可微,x是Ω的一个内点,如果同时满足该点梯度为0且黑塞矩阵正定,则x是函数的一个严格局部极小点

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    本文主要内容包括:

    • 1. 局部极小值与全局极小值(local and global minimizers)
    • 参考文献

     

    1. 局部极小值与全局极小值(local and global minimizers)

    非线性规划与线性规划(凸规划,所以最优解就是整个可行域的全局最优解)有一个不同之处就是,非线性规划求出的解是一部分可行域上的极值点,但不一定是整个可行域上的全局最优解。

    局部极小值定义:

    全局极小值定义:

    下图给出了一个存在很多局部极小值的函数f,对于像这样的函数,寻找全局最优会很困难,因为算法往往被“困”在局部极小值上。有一类规划问题很特殊,它是凸规划(目标函数和约束条件为凸函数,可行域为凸集的规划),这一类规划的特别之处在于它的局部极小值就是全局极小值。

     

    参考文献

    1. 第4版《运筹学》-清华大学出版社

    2. Luenberger, D. G. , & Ye, Y. . (2016). Linear and nonlinear programming.

    3. Nocedal, Jorge, & Wright, Stephen J. (0). Numerical optimization. 2nd ed.. Springer.

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    最近上系统分析这门课的时候,老师提到了这个概念,当我们能够确定凸函数的局部最小值,这个最小值即为全局极小值,但并未给出证明。这里记录一下:

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    主要用的还是凸函数的定义:凸函数区间任意位置的函数值小于两区间端点函数值之和

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