局部稳定性矩阵

局部稳定性矩阵
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2016-11-10 19:23:13

1892年，俄国学者李雅普诺夫提出的稳定性定理采用了状态向量来描述，适用于单变量，线性，非线性，定常，时变，多变量等系统。

目前，李雅普诺夫理论是证明非线性系统稳定性的重要理论依据，也是设计控制算法的重要方法之一。

这里介绍李雅普诺夫直接法（第二法）

基础知识

1、二次型定义及其表达式

形如
$f (x, y) = a x 2 + 2 b x y + c y 2$ $f(x,y)= ax^2 + 2bxy + cy^2$ ，每项的次数都是2。矩阵表示为：
$V (x 1, x 2, \dots, x n) = [x 1, x 2, \dots, x n] ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ p 11, p 21, \dots, p n 1, p 12, p 22, \dots, p n 2, \dots, \dots, \dots, \dots, p 1 n p 2 n \dots p n n ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ x 1 x 2 ⋮ x n ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ = x T P x$ $V(x_1,x_2, \cdots , x_n)=[x_1,x_2,\cdots,x_n] \begin{bmatrix} p_{11},&p_{12},& \dots, &p_{1n} \\ p_{21},& p_{22},& \dots, & p_{2n} \\ \cdots ,& \cdots, & \cdots, & \cdots \\ p_{n1},&p_{n2},& \dots, &p_{nn} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix} = x^T P x$
其中， $P$ 为对称矩阵。

2、（二次型）V(x) 判据

（1）、 $V(x)$ 正定的充分必要条件是矩阵 $P$ 的所有主子式行列式为正。
（2）、若 $P$ 是奇异矩阵，且它的所有主子式行列式均非负，则 $V(x)$ 为半正定的。
（3）、如果矩阵 $P$ 的奇数阶主子行列式为负值，偶数阶主子行列式为正值，则其为负定的。
（4）、若 $P$ 正定，则对于任意 $x \neq 0$ , 总有 $V(x) > 0$ 。

3、任意 V(x) 判据

（1）、则对于任意 $x \neq 0$ , 总有 $Q(x) =x^T Q x> 0$ ，则称 $Q(x)$ 为正定函数。
（2）、则对于任意 $x$ , 总有 $Q(x) =x^T Q x \geq 0$ ，且存在 $x \neq 0$ ，使 $Q(x) =0$ ，则称 $Q(x)$ 为半正定函数。
（3）、若 $-Q(x)$ 为（半）正定函数，则 $Q(x)$ 为（半）负定函数

稳定性定理

一、稳定性定义

1、对系统 $\dot x = f(x,t)$ ,若任意给定一个实数 $\epsilon > 0$ ，总存在另一个实数 $\delta (\epsilon,t_0)>0$ ，使当初始条件 $|| x（t_0) || < \delta$ 时，系统的状态 $||x（t）||< \delta ，\forall t \geq t_o$ , 则称系统的平衡状态 $x_s$ 是稳定的。否则，就是不稳定的。
2、一致稳定性
如果系统的平衡状态是稳定的，且 $\delta$ 与 $t_0$ 无关，（若任意给定一个实数 $\epsilon > 0$ ，总存在另一个实数 $\delta (\epsilon)>0$ ，使当初始条件 $|| x（t_0) || < \delta$ 时，系统的状态 $||x（t）||< \delta ，\forall t \geq t_o$ ），则该平衡状态是一致稳定的。
若定常系统的平衡状态是稳定的，则一定是一致稳定的。

3、渐近稳定性
若 $x_e$ 是系统的一个稳定点，对任意 $t_0$ ，存在正常数
$\delta(t_0) \in R^+$ ，当 $x(t_0) < \delta$ ，系统的状态收敛于0，即
$lim t \to \infty | | x - x e | | = 0$ $\lim\limits_{t\rightarrow{\infty}} ||x-x_e||=0$
则系统是渐进稳定的。

4、指数稳定性
对一个系统而言，如果存在正常数 $\alpha,\lambda \in R^+$ ，当初始位置在以原点为中心的球域范围内，即 $x(t_0) \in B_r(o,r)$ 时，系统的状态 $x(t)$ 具有以下的包络线:

$| | x (t) | | \leq | | x (t 0) | | e - λ (t - t 0)$ $||x(t)|| \leq ||x(t_0)|| e^{- \lambda (t-t_0)}$ ,则称平衡点 $x_s =0$ 是指数稳定的，其中正常数 $\lambda$ 称为指数收敛率。

二、稳定性定理

李雅普诺夫第二法是从能量的观点出发得来的。任何物理系统的运动都要消耗能量，并且能量总是大于零的。对于一个不受外部作用的系统，如果系统的能量，随系统的运动和时间的增长而连续地减小，一直到平衡状态为止，则系统的能量将减少到最小，那么这个系统是渐近稳定的。

1、局部稳定性定理
设 $x=0$ 是系统的平衡点，如果对于球域 $B_R$ ，存在一个标量函数 $V(x)$ ，它具有一阶连续偏导数，且满足：
（1）、函数 $V(x)$ 在球域 $B_R$ 上是正定的
（2）、若函数 $V(x)$ 关于时间的导数在球域 $B_R$ 上是半负定的，则平衡点 $x=0$ 是局部稳定的
（3）、若函数 $V(x)$ 关于时间的导数在球域 $B_R$ 上是负定的，则平衡点 $x=0$ 是局部渐近稳定的

2、全局稳定性定理

设 $x=0$ 是系统的平衡点，存在一个标量函数 $V(x)$ ，它具有一阶连续偏导数，且满足：
（1）、函数 $V(x)$ 是正定的
（2）、 V(x) 正则，即当 $||x|| \rightarrow \infty$ 时， $V(x) \rightarrow \infty$ 。
（3）、若函数 $V(x)$ 关于时间的导数是半负定的，则平衡点 $x=0$ 是全局稳定的
（4）、若函数 $V(x)$ 关于时间的导数是负定的，则平衡点 $x=0$ 是全局渐近稳定的

3、全局指数稳定性定理
设 $x=0$ 是系统的平衡点，存在一个标量函数 $V(x)$ ，它具有一阶连续偏导数，且满足：
（1）、函数 $V(x)$ 是正定的
（2）、 V(x) 正则，即当 $||x|| \rightarrow \infty$ 时， $V(x) \rightarrow \infty$ 。
（3）、若函数 $V(x)$ 关于时间的导数是半负定的
（4）、存在两个正数 $\lambda_1$ 和 $\lambda_2$ ，分别使得

$V (x) \leq λ 1 | | x | | 2, V ˙ (x) \leq λ 2 | | x | | 2$ $V(x) \leq \lambda_1 ||x||^2, \dot V(x) \leq \lambda_2 ||x||^2$
则平衡点 $x=0$ 是全局指数稳定的，指数收敛率为 $\frac {\lambda_1}{\lambda_2}$

非线性系统

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一、基本概念 1.1、标量函数的定号性定义1-1：若V(0)=0，且对任意非零x，...（2）定号性可以是原点邻域上的局部性质，如：标量函数在域上是负定的。如：(在二维空间下) 正定；半正定；不定考虑二次函数的定..

一、基本概念

1.1、标量函数的定号性

定义1-1：若V(0)=0，且对任意非零x， $V(x)>0(V(x) \geq 0)$ ，称标量函数 $V(x)$ 正定（半正定）；

定义1-2：若 $-V(x)$ 是正定（半正定）的，称标量函数 $V(x)$ 负定（半负定）；

定义1-3：正定和半正定（负定和半负定）统称为非负定（非正定），无任何定号性称为不定。

注意：

（1）V(0)=0是定号性的必要条件。在不引起混淆时，可直接用 $V(x)>0$ 表示正定，其余类推；

（2）定号性可以是原点邻域上的局部性质，如：标量函数 $V(x)=[(x_1^2+x_2^2)-1](x_1^2+x_2^2)$ 在域 $\left \{ \Omega | x_1^2+x_2^2<1 \right \}$ 上是负定的。

如：(在二维空间下)

$x_1^2+x_2^2$ 正定； $(x_1+x_2)^2$ 半正定； $x_1^2-x_2^2$ 不定

考虑二次函数 $x^TAx$ 的定号性， $A$ 是实对称矩阵

定理1-1：实对称矩阵 $A$ 是正定（半正定）的，当且仅当所有特征值均大于（大于等于）零；

定理1-2：实对称矩阵 $A$ 是正定（半正定）的，当且仅当所有主子式均大于（大于等于）零；

实对称矩阵 $A$ 的各阶顺序主子式：

$\pi_1=a_{11},\pi_2=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix},\pi_n=\left | A \right |$

定理1-3（赛尔维斯特判据）：实对称矩阵 $A$ 为

（1）正定当且仅当 $\pi_k>0,k=1,2,\dots,n$ ;

（2）负定当且仅当 $(-1)^k\pi_k>0,k=1,2,\dots,n$ （顺序主子式是正负相间隔的）

注意：

（1）在判断矩阵 $A$ 的正定性时，可以将主子式简化为顺序主子式；

（2）在判断矩阵 $A$ 的半正定性时，不可以将主子式简化为顺序主子式；

1.2、李雅普诺夫稳定性

向量的2范数：实数向量 $z \in R^n$ ，其2范数定义为

$\left \| z \right \|=\sqrt{z_1^2+z_2^2+\dots+z_n^2}$

定义1-4：对于系统 $\dot{x}=f(x,t)$ ，满足 $f(x_e,t)=0$ 的状态 $x_e$ 称作系统的平衡状态或平衡点；（ $x_e$ 为常数向量，为状态空间中的一个点）

定义1-5：若某一点附近足够小的邻域内没有别的平衡点，则称它为孤立平衡点。

例：

（1）原点为平衡点，且为唯一的平衡点，当然也为孤立平衡点

（2）原点为其中之一平衡点，平衡点不唯一，但均孤立

（3）当 $x_2$ 为0时， $x_1$ 为任何值均为平衡点，故平衡点不孤立

定义1-6：假设 $x_e$ 是系统 $\dot{x}=f(x)$ 的孤立平衡状态。如果对于任意给定正实数 $\varepsilon >0$ ，都存在 $\delta (\varepsilon )>0$ ，使得满足不等式

$\left \| x_0-x_e \right \| \leq \delta (\varepsilon )$

的任意初始状态出发的系统运动 $x(t)$ 均成立

$\left \| x(t)-x_e \right \| \leq \varepsilon ,t \geq t_0$

则称平衡状态 $x_e$ 是（在李雅普诺夫意义下）稳定的。

若 $x_e$ 不满足上述稳定的条件，称平衡状态 $x_e$ 不稳定。

（通俗来讲就是在一定范围内（ $\delta (\varepsilon )$ ）出发的状态均能在一定时间后回到平衡状态的一定区域（ $\varepsilon$ ）内）

定义1-7：若 $x_e$ 稳定，且存在一个邻域（吸引域），其内出发的运动恒有 $\lim_{t \to \inf}\left \| x-x_e \right \|=0$ ，称平衡状态 $x_e$ 渐近稳定；

定义1-8：若 $x_e$ 渐进稳定，且吸引域充满整个状态空间，称平衡状态 $x_e$ 全局渐近稳定（大范围渐近稳定）。

注意：平衡状态唯一是全局渐近稳定的必要条件。

李雅普诺夫稳定性的示意性说明：（平衡点为原点 $x_e$ ）

（1）稳定

任意给定一个 $\varepsilon$ 圆，圆心为 $x_e$ ，半径为 $\varepsilon$ ；那么均存在一个 $\delta (\varepsilon )$ 圆，圆心为 $x_e$ ，半径为 $\delta (\varepsilon )$ ； $\delta (\varepsilon )$ 圆内，任意点出发的运动，都维持在 $\varepsilon$ 圆内，则称其为稳定的（李雅普诺夫稳定）；

（2）渐进稳定

若平衡状态 $x_e$ ，不仅为李雅普诺夫稳定，还存在一个邻域，从邻域内出发的运动，都会渐进的收敛到平衡点 $x_e$ ，这时称其为渐进稳定；

若平衡状态不满足上述所说的条件，存在某个 $\varepsilon$ ，我们无论选取怎样的 $\delta (\varepsilon )$ ，均存在从某个出发的状态都运动到 $\varepsilon$ 圆之外，称为不稳定。

二、李雅普诺夫稳定性分析方法

2.1、第一方法（间接法）（将系统的描述在 $x_e$ 平衡点附近进行线性化，针对线性化模型进行稳定性判断，判断 $A$ 的特征值的实部）

设 $x_e$ 是系统 $\dot{x}=f(x)$ 的平衡状态。该系统在 $x_e$ 处的线性化模型为：

$\dot{y}=Ay, A= \frac{\partial f}{\partial x^T}|_{x=x_e}=\begin{bmatrix} \frac{\partial f_1}{\partial x_1} & \frac{\partial f_1}{\partial x_2} & \dots &\frac{\partial f_1}{\partial x_n} \\ \frac{\partial f_2}{\partial x_1} &\frac{\partial f_2}{\partial x_2} & &\frac{\partial f_2}{\partial x_n} \\ \vdots &\vdots & \ddots &\vdots \\ \frac{\partial f_n}{\partial x_1} &\frac{\partial f_n}{\partial x_2} & \dots & \frac{\partial f_n}{\partial x_n} \end{bmatrix}$

其中， $y=x-x_e$ 。（矩阵 $A$ 为雅克比矩阵）

根据A的特征值，有如下稳定性判别定理：

定理2-1：若 $A$ 的特征值均具有负实部， $x_e$ 是渐进稳定的；若存在特征值具有正实部， $x_e$ 是不稳定的；其它情况，则不能判定。

例：判断下列系统在原点处的稳定性。

$\left\{\begin{matrix} \dot{x_1}=x_2cosx_1\\ \dot{x_2}=-sinx_1-x_2 \end{matrix}\right.$

解：可知 $f_1=x_2cosx_1$ , $f_2=-sinx_1-x_2$ ，故可求得原点处的雅克比矩阵为：

$A=\begin{bmatrix} -x_2 sin x_1 & cos x_1 \\ -cos x_1 & -1 \end{bmatrix}|_{x=0}=\begin{bmatrix} 0 & 1\\ -1 & -1 \end{bmatrix}$

特征根均在左半开平面内，因此原点是该系统的渐近稳定平衡点。（该例中的系统有多个平衡点，因此原点不是其渐近稳定平衡点）。

注意：线性化方法不能给出全局稳定性的判断。

例：判断下述系统在原点处的稳定性

$\left\{\begin{matrix} \dot{x_1}=-3 x_1^3\\ \dot{x_2}=3 x_1 - x_1x_2 \end{matrix}\right.$

解：原点是系统的平衡点，在原点处线性化可得：

$A=\begin{bmatrix} -3x_1^2 & -4 \\ 3- x_2 & -x_1 \end{bmatrix}|_{x=0}=\begin{bmatrix} 0 & -4\\ 3 & 0 \end{bmatrix}$

特征根均在虚轴上，间接法失效。

2.2、第二方法（直接法）

设原点是系统 $\dot{x}=f(x)$ 的平衡状态。 $V(x)$ 是正定的标量函数（能量函数）它沿系统状态轨线对时间 $t$ 的导数为：

$\dot{V}(x)=\frac{\partial V(x)}{\partial x^T}f(x)$

李雅普诺夫第二方法是根据 $V(x)$ 和 $\dot{V}(x)$ 的定号性，判别系统平衡状态的稳定性。（上式中， $\dot{x}$ 用 $f(x)$ 代替）

定理2-2： $V(x)$ 正定， $\dot{V}(x)$ 负定，则原点是渐近稳定的；进而，若 $\left \| x \right \|\to\infty$ 时， $V(x) \to \infty$ ，则原点是全局渐近稳定；

定理2-3： $V(x)$ 正定， $\dot{V}(x)$ 半负定，则原点是稳定的；此外，若 $\dot{V}(x)$ 除原点外沿状态线不恒为零，则原点是渐近稳定的；再进一步，若 $\left \| x \right \|\to\infty$ 时， $V(x) \to \infty$ ，则原点是全局渐近稳定；

定理2-4： $V(x)$ 正定， $\dot{V}(x)$ 也正定，则原点是不稳定的。

注意：

（1）以上均为充分条件。某 $V(x)$ 不满足定理条件时，不能下结论；

（2）若 $V(x)$ 代表广义能量，则 $\dot{V}(x)$ 代表广义功率。 $\dot{V}(x)<0$ ，说明沿状态轨线运动是消耗能量的。

例：判断下述系统在原点处的稳定性

$\left\{\begin{matrix} \dot{x_1}=-\frac{2x_1}{(1+x_1^2)^2}+2x_2\\ \dot{x_2}=-\frac{2x_1+2x_2}{(1+x_1^2)^2} \end{matrix}\right.$

解：令 $\dot{x_1}$ 和 $\dot{x_2}$ 为0，可知原点为系统唯一的平衡点，利用第一方法也可判定其渐近稳定性，它是渐近稳定的。

考虑 $V(x)=\frac{x_1^2}{1+x_1^2}+x_2^2>0$

将状态方程 $\dot{x_1}$ 和 $\dot{x_2}$ 带入，则 $\dot{V}(x)=-\frac{4x_1^2}{(1+x_1^2)^4}-\frac{4x_2^2}{(1+x_1^2)^2}<0$

所以原点是渐近稳定的。但当 $x_1\to \infty$ ， $x_2 \to \infty$ 时， $V(x) \to 1$ ，即 $\left \| x \right \| \to \infty$ 时， $V(x) \to \infty$ 不成立，不能保证全局渐近稳定。

例：判断下述系统在原点处的稳定性

$\dot{x}=\begin{bmatrix} 0 &1 \\ -1 & -1 \end{bmatrix}x$

解：（1）取 $V(x)=2x_1^2+x_2^2>0$ ， $\dot{V}(x)=2x_1x_2-2x_2^2$ ，不定，不能判定；

（2）取 $V(x)=x_1^2+x_2^2>0$ ， $\dot{V}(x)=-2x_2^2$ 半负定，故原点稳定。

若 $\dot{V}(x)\equiv 0$ ，则 $x_2=\dot{x}_2\equiv 0$ ，带入原方程 $\dot{x}_2=-x_1-x_2$ ， $x_1\equiv 0$ ;因而 $\dot{V}(x)\equiv 0$ 仅发生在原点处。当 $\left \| x \right \| \to \infty$ 时， $V(x) \to \infty$ ，所以原点全局渐进稳定。

（3）取 $V(x)=1.5x_1^2+x_2^2+x_1x_2>0$ ， $\dot{V}(x)=-x_1^2-x_2^2<0$ ，当 $\left \| x \right \| \to \infty$ 时， $V(x) \to \infty$ ，所以原点全局渐进稳定。

注意：选择不同的 $V$ 函数，可能得到不同的结果，但得到的结论是不矛盾的。找到“好”的 $V$ 函数，需要经验和运气。

例：判断下述系统在原点处的稳定性

$\left\{\begin{matrix} \dot{x_1}=- x_1^3+x_2^4\\ \dot{x_2}=- x_2^3 + x_1^4 \end{matrix}\right.$

解：原点是平衡点但不唯一（点（1,1）同为平衡点）。线性化方法失效（ $A$ 矩阵为零）。

取 $V(x)=0.5(x_1^2+x_2^2)>0$ ，则 $\dot{V}(x)=-x_1^4(1-x_2)-x_2^4(1-x_1)$

在 $x_1<1$ 且 $x_2<1$ 的区域内（原点是该区域的内点）， $\dot{V}(x)<0$ ，该系统在原点处是渐近稳定的。（虽然当 $\left \| x \right \| \to \infty$ 时， $V(x) \to \infty$ ，当 $\dot{V}(x)<0$ 限制了区域都并非大范围渐进稳定）。

三、李雅普诺夫函数的构造方法

对于非线性系统，没有一种构造李雅普诺夫函数的通用方法。人们通常凭经验和技巧选取李雅普诺夫函数，最常见的是二次型函数，有些方法适用于一些特定情形，如克拉索夫斯基方法、变量梯度法和偶函数法等方法。

3.1、克拉索夫斯基方法（Krasovskii）

考虑如下非线性系统 $\dot{x}=f(x)$ ，其中 $f(x)$ 存在连续偏导数。定义雅克比矩阵：

$F(x)= \frac{\partial f}{\partial x}=\begin{bmatrix} \frac{\partial f_1}{\partial x_1} & \dots & \frac{\partial f_1}{\partial x_n} \\ \vdots & \vdots & \vdots\\ \frac{\partial f_n}{\partial x_1} & \dots & \frac{\partial f_n}{\partial x_n} \end{bmatrix}$

待续》》》

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注：本文是在MOOC平台上学习西北工业大学《现代控制理论基础》（郭建国、赵斌、郭宗易）的课程进行随笔记录与整理

一.李雅普诺夫稳定性理论

1.前期铺垫~

！：稳定性是系统正常工作的重要特性
稳定性，是描述初始条件（不一定为0）下，系统是否具有收敛性，与输入作用无关
在经典控制理论中，有代数判据（劳斯、霍尔维茨）、奈奎斯特判据、对数判据、根轨迹判据

而经典控制理论有其缺陷：
针对外部描述模型；
判断线性定常系统，不使用于时变和非线性
相平面法只适用于一阶、二阶非线性系统

而1892年李雅普诺夫提出的稳定性理论有很强优越性：
针对内部描述模型；
适用于单变量、线性、定常；
适用于多变量；非线性；时变系统

李雅普诺夫提出的稳定性理论包括：
第一法（间接法）和第二法（直接法）

2.李雅普诺夫第一法

（1）基本概念

李普希兹（lipschitz）条件（解的存在性条件）：
||f(x,t)-f(y,t)|| ≤ K||x-y|| ， ||f(x,t)|| ≤ M

摘自百度：以德国数学家鲁道夫·利普希茨命名，是一个比通常连续更强的光滑性条件。直觉上，利普希茨连续函数限制了函数改变的速度，符合利普希茨条件的函数的斜率，必小于一个称为利普希茨常数的实数（该常数依函数而定）。

即：此函数任意取点所得到的斜率，都不会超过一个最小的常数K。用lipschitz条件可以体现函数的光滑性。

动态系统要求：
x` = f(x , t) t ≥ t0
f(x , t) 内任意的线性或非线性、定常或时变的n维函数，满足lipschitz条件
记其解为：x(t: x0, t0)
从任意初始状态出发解x(t: x0, t0)，唯一且连续地依赖于初始状态x(t0)=x0

平衡状态/平衡点
满足 f(xe, t) = 0，状态xe称为平衡状态。
平衡状态意味着f(xe, t) = 0，系统所有状态变量不再变化 xe`=0 (xe的导数为0)

注意：
· 线性定常系统只有唯一零解，即存在一个位于原点的平衡状态。 x`=Ax, xe=0
· 线性系统有唯一的一个平衡状态——平衡状态稳定性即表征了系统的稳定性
· 非线性系统的平衡状态可能有多个，取决于系统方程 f(x, t) = 0（各个平衡点的稳定性不相同，要逐个考虑）

状态偏差向量
||x0-xe||：初始状态偏差向量的范数
其几何意义：“初始状态偏差向量”的空间距离尺度
定义式为：
在这里插入图片描述
||x(t: x0,t0)-xe||：“状态偏差向量”的空间距离尺度

（2）李雅普诺夫稳定性定义

局部稳定：
对于任意实数ε＞0，如果存在δ(t0,ε)>0，使得当**||x0-xe|| ≤δ(t0,ε)时**，系统的解满足
||x(t: x0,t0) - xe|| ≤ ε t≧t0，则称该平衡状态是李雅普诺夫意义下的稳定性
即：开始在δ邻域内，过了有限时间，系统一直在ε邻域内。
在这里插入图片描述
渐近稳定：
||x(t: x0,t0) - xe||→0

工程设计中的稳定性一般指渐进稳定，而李雅普诺的稳定性属于临界稳定性。

大范围（全局）渐近稳定（全局稳定）
当初始扰动δ趋向于无穷，由状态空间任意一点出发的轨迹都收敛至平衡状态。
（主要针对时变系统）
在这里插入图片描述
一致稳定
时变系统的δ与ε和t0有关，定常系统的δ与t0无关。只要δ与t0无关，这种平衡状态称为一致稳定的。

不稳定性
对于任意实数ε＞0，如果存在δ(t0,ε)>0，使得当||x0-xe|| ≤δ(t0,ε)时，系统的解满足
||x(t: x0,t0) - xe|| > ε , t≧t0
在这里插入图片描述
即：不管初始扰动有多小，都将趋向最远

3.李雅普诺夫第二法

由于第一法需要进行求解，才能用解进行判断；而第二法可以不用求解来判断稳定性
构造一个类似于能量的标量函数，V（x,t）
能量总大于0，因此V(x,t) 是一个正定函数
其能量衰减特性用V`（x,t）表征。

利用V和V`的符号特征直接对平衡性进行判断
正定性
标量函数V（x）在S域中对所有非零状态有V（x）>0，且V（0）=0，则称V（x）在S域内正定。
负定性
标量函数V（x）在S域中对所有非零状态有V（x）<0，且V（0）=0，则称V（x）在S域内正定。
负(正)半定性
标量函数V（x）在S域中对某些状态有V（x）=0且V（0）=0，其他均有V（x）<0（V（x）>0），则称V（x）在S域内负(正)半定。
不定性
V（x）在S域中可正可负，则称V（x）不定。
例如：V（x）=x1x2

如何判断一个函数是正定性？
常采用二次型函数：其中P是对称阵 在这里插入图片描述
对P用塞尔维斯特准则判定：
当P的各顺序主子行列式均大于零，则为正定性；
当主子行列式负正相间（奇数阶负，偶数阶正），则为负定性；
对应主子行列式且含有等于0的情况时，则为负半定或者正半定；
不属于以上情况输入不定性。

李雅普诺夫第二稳定性定理：
基本条件：系统状态方程为x`=f（x,t），把原点作为平衡状态，在原点邻域存在向量的标量函数V(x，t)，具有一阶偏导
定理：

V(x,t)	V`(x,t)	稳定性	意义
正定	负定	渐进稳定	能量函数的能量随时间单调递减
正定	负半定，且在原点不恒为0	渐进稳定	状态轨迹只经历能量不变状态，但是会继续运行至原点
正定	负半定，且在原点恒为0	局部稳定
正定	正半定，且在原点恒为0	局部稳定	系统将维持某能量水平运行而不再衰减
正定	正半定，且在原点不恒为0	不稳定
正定	正定	不稳定	能量函数的能量随时间增大，状态从原点发散

注：
1.以上定理是充分条件
2.李雅普诺夫函数选取不唯一，但不会因选取不同影响对稳定性的判断
3.对非线性函数，目前没有构造李雅普诺夫函数的一般方法；对于线性定常系统常用二次型函数作为李雅普诺夫函数。

解的步骤：
①验证原点：令x1 ， x2的导数为零，可得x1,x2为零，可知原点为平衡点
②设李雅普诺夫函数：通常用二次型函数
③进行判定

二.特征值判据

思想：来源于经典控制理论中，极点在左半平面则稳定的判断方法。

使用范围：
对于线性定常系统

内容：系统在这里插入图片描述 渐近稳定的充要条件是，系统矩阵A的特征值全部位于复平面左半部分（不包括虚轴）。
当有特征值落在虚轴上，此时系统具有李雅普诺夫意义下的稳定性。
当有在右半平面，则系统不稳定。

举例：
在这里插入图片描述

三.基于李雅普诺夫方程值判据

系统在这里插入图片描述 渐进稳定的充要条件是：
给定一正定实对称矩阵Q，有唯一正定实对称矩阵P使（李雅普诺夫方程）成立。

！：此定理给出了判断线性系统是否渐进稳定、及构造线性渐近稳定系统李雅普诺夫函数的一般方法，当解得阵P为非正定时，系统是非渐近稳定。
显而易见，任选对称阵Q（通常选单位矩阵最方便），然后判断阵P是否正定对称，只需一次计算就可确定系统是否渐近稳定。

例如：
在这里插入图片描述
对于线性离散系统，也有相应特征值判据，此处不记录。

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