精华内容
下载资源
问答
  • 局部稳定性矩阵
    万次阅读 多人点赞
    2016-11-10 19:23:13

    1892年,俄国学者李雅普诺夫提出的稳定性定理采用了状态向量来描述,适用于单变量,线性,非线性,定常,时变,多变量等系统。

    目前,李雅普诺夫理论是证明非线性系统稳定性的重要理论依据,也是设计控制算法的重要方法之一。

    这里介绍李雅普诺夫直接法(第二法)

    基础知识

    1、二次型定义及其表达式

    形如

    f(x,y)=ax2+2bxy+cy2
    ,每项的次数都是2。矩阵表示为:
    V(x1,x2,,xn)=[x1,x2,,xn]p11,p21,,pn1,p12,p22,,pn2,,,,,p1np2npnnx1x2xn=xTPx

    其中, P 为对称矩阵。

    2、(二次型)V(x) 判据

    (1)、 V(x)正定的充分必要条件是矩阵 P 的所有主子式行列式为正。
    (2)、若 P 是奇异矩阵,且它的所有主子式行列式均非负,则 V(x) 为半正定的。
    (3)、如果矩阵 P 的奇数阶主子行列式为负值,偶数阶主子行列式为正值,则其为负定的。
    (4)、若 P 正定,则对于任意 x0 , 总有 V(x)>0

    3、任意 V(x) 判据

    (1)、则对于任意 x0 , 总有 Q(x)=xTQx>0 ,则称 Q(x) 为正定函数。
    (2)、则对于任意 x , 总有 Q(x)=xTQx0 , 且存在 x0 ,使 Q(x)=0 ,则称 Q(x) 为半 正定函数。
    (3)、若 Q(x) 为(半)正定函数,则 Q(x) 为(半)负定函数

    稳定性定理

    一、稳定性定义

    1、对系统 x˙=f(x,t) ,若任意给定一个实数 ϵ>0 ,总存在另一个实数 δ(ϵ,t0)>0 ,使当 初始条件 ||xt0)||<δ 时,系统的状态 ||xt||<δtto , 则称系统的平衡状态 xs 是稳定的。否则,就是不稳定的。
    2、一致稳定性
    如果系统的平衡状态是稳定的,且 δ t0 无关,(若任意给定一个实数 ϵ>0 ,总存在另一个实数 δ(ϵ)>0 ,使当 初始条件 ||xt0)||<δ 时,系统的状态 ||xt||<δtto ),则该平衡状态是一致稳定的。
    若定常系统的平衡状态是稳定的,则一定是一致稳定的。

    3、渐近稳定性
    xe 是系统的一个稳定点,对任意 t0 ,存在正常数
    δ(t0)R+ ,当 x(t0)<δ , 系统的状态收敛于0,即

    limt||xxe||=0

    则系统是渐进稳定的。

    4、指数稳定性
    对一个系统而言,如果存在正常数 α,λR+ ,当初始位置在以原点为中心的球域范围内,即 x(t0)Br(o,r) 时,系统的状态 x(t) 具有以下的包络线:

    ||x(t)||||x(t0)||eλ(tt0)
    ,则称平衡点 xs=0 是指数稳定的,其中正常数 λ 称为指数收敛率。

    二、稳定性定理

    李雅普诺夫第二法是从能量的观点出发得来的。任何物理系统的运动都要消耗能量,并且能量总是大于零的。对于一个不受外部作用的系统,如果系统的能量,随系统的运动和时间的增长而连续地减小,一直到平衡状态为止,则系统的能量将减少到最小,那么这个系统是渐近稳定的。

    1、局部稳定性定理
    x=0 是系统的平衡点,如果对于球域 BR ,存在一个标量函数 V(x) ,它具有一阶连续偏导数,且满足:
    (1)、函数 V(x) 在球域 BR 上是正定的
    (2)、若函数 V(x) 关于时间的导数在球域 BR 上是半负定的,则平衡点 x=0 是局部稳定的
    (3)、若函数 V(x) 关于时间的导数在球域 BR 上是负定的,则平衡点 x=0 是局部渐近稳定的

    2、全局稳定性定理

    x=0 是系统的平衡点,存在一个标量函数 V(x) ,它具有一阶连续偏导数,且满足:
    (1)、函数 V(x) 是正定的
    (2)、 V(x) 正则,即当 ||x|| 时, V(x)
    (3)、若函数 V(x) 关于时间的导数是半负定的,则平衡点 x=0 是全局稳定的
    (4)、若函数 V(x) 关于时间的导数是负定的,则平衡点 x=0 是全局渐近稳定的

    3、全局指数稳定性定理
    x=0 是系统的平衡点,存在一个标量函数 V(x) ,它具有一阶连续偏导数,且满足:
    (1)、函数 V(x) 是正定的
    (2)、 V(x) 正则,即当 ||x|| 时, V(x)
    (3)、若函数 V(x) 关于时间的导数是半负定的
    (4)、存在两个正数 λ1 λ2 ,分别使得

    V(x)λ1||x||2,V˙(x)λ2||x||2

    则平衡点 x=0 是全局指数稳定的,指数收敛率为 λ1λ2

    更多相关内容
  • 讨论了T-S模糊系统的局部稳定性及控制器设计问题.给出连续T-S模糊系统局部稳定的定义,利用非二次Lyapunov函数和线性矩阵不等式(LMI)方法得到连续T-S 模糊系统局部稳定的充分条件,并给出了基于LMI的局部镇定控制器...
  • 探索了一种基于非李雅普诺夫框架的新型一般稳定性分析方案。 根据M矩阵,提出了几个易于检查的指数p稳定性的充分条件。... 线性化技术与本文中获得的测试相结合,可用于分析一类广泛的非线性随机微分方程的局部稳定性
  • 基于时频矩阵局部对比度的跳频信号参数估计.docx
  • 李雅普诺夫稳定性分析

    万次阅读 2021-04-18 15:32:42
    一、基本概念 1.1、标量函数的定号 定义1-1:若V(0)=0,且对任意非零x,...(2)定号可以是原点邻域上的局部性质,如:标量函数在域上是负定的。 如:(在二维空间下) 正定;半正定;不定 考虑二次函数的定..

    一、基本概念

    1.1、标量函数的定号性

    定义1-1:若V(0)=0,且对任意非零xV(x)>0(V(x) \geq 0),称标量函数V(x)正定(半正定)

    定义1-2:-V(x)是正定(半正定)的,称标量函数V(x)负定(半负定)

    定义1-3:正定和半正定(负定和半负定)统称为非负定非正定),无任何定号性称为不定

    注意:

    (1)V(0)=0是定号性的必要条件。在不引起混淆时,可直接用V(x)>0表示正定,其余类推;

    (2)定号性可以是原点邻域上的局部性质,如:标量函数V(x)=[(x_1^2+x_2^2)-1](x_1^2+x_2^2)在域\left \{ \Omega | x_1^2+x_2^2<1 \right \}上是负定的。

    如:(在二维空间下)

    x_1^2+x_2^2 正定;(x_1+x_2)^2半正定;x_1^2-x_2^2不定

     

    考虑二次函数x^TAx的定号性,A是实对称矩阵

    定理1-1:实对称矩阵A是正定(半正定)的,当且仅当所有特征值均大于(大于等于)零;

    定理1-2:实对称矩阵A是正定(半正定)的,当且仅当所有主子式均大于(大于等于)零;

    实对称矩阵A的各阶顺序主子式:

    \pi_1=a_{11},\pi_2=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix},\pi_n=\left | A \right |

    定理1-3(赛尔维斯特判据):实对称矩阵A

    (1)正定当且仅当 \pi_k>0,k=1,2,\dots,n;

    (2)负定当且仅当(-1)^k\pi_k>0,k=1,2,\dots,n  (顺序主子式是正负相间隔的)

    注意:

    (1)在判断矩阵A的正定性时,可以将主子式简化为顺序主子式

    (2)在判断矩阵A的半正定性时,不可以将主子式简化为顺序主子式

     

    1.2、李雅普诺夫稳定性

    向量的2范数:实数向量z \in R^n,其2范数定义为

    \left \| z \right \|=\sqrt{z_1^2+z_2^2+\dots+z_n^2}

    定义1-4:对于系统\dot{x}=f(x,t),满足f(x_e,t)=0的状态x_e称作系统的平衡状态平衡点;(x_e为常数向量,为状态空间中的一个点)

    定义1-5:若某一点附近足够小的邻域内没有别的平衡点,则称它为孤立平衡点

    例:

    (1)原点为平衡点,且为唯一的平衡点,当然也为孤立平衡点

    (2)原点为其中之一平衡点,平衡点不唯一,但均孤立

    (3)当x_2为0时,x_1为任何值均为平衡点,故平衡点不孤立

    定义1-6:假设x_e是系统\dot{x}=f(x)的孤立平衡状态。如果对于任意给定正实数\varepsilon >0,都存在\delta (\varepsilon )>0,使得满足不等式

    \left \| x_0-x_e \right \| \leq \delta (\varepsilon )

    的任意初始状态出发的系统运动x(t)均成立

    \left \| x(t)-x_e \right \| \leq \varepsilon ,t \geq t_0

    则称平衡状态x_e是(在李雅普诺夫意义下)稳定的

    x_e不满足上述稳定的条件,称平衡状态x_e不稳定

    (通俗来讲就是在一定范围内(\delta (\varepsilon ))出发的状态均能在一定时间后回到平衡状态的一定区域(\varepsilon)内)

    定义1-7:x_e稳定,且存在一个邻域(吸引域),其内出发的运动恒有\lim_{t \to \inf}\left \| x-x_e \right \|=0,称平衡状态x_e渐近稳定

    定义1-8:x_e渐进稳定,且吸引域充满整个状态空间,称平衡状态x_e全局渐近稳定(大范围渐近稳定)

    注意:平衡状态唯一是全局渐近稳定的必要条件。

    李雅普诺夫稳定性的示意性说明:(平衡点为原点x_e

    (1)稳定

    任意给定一个\varepsilon圆,圆心为x_e,半径为\varepsilon;那么均存在一个\delta (\varepsilon )圆,圆心为x_e,半径为\delta (\varepsilon )\delta (\varepsilon )圆内,任意点出发的运动,都维持在\varepsilon圆内,则称其为稳定的(李雅普诺夫稳定);

    (2)渐进稳定

    若平衡状态x_e,不仅为李雅普诺夫稳定,还存在一个邻域,从邻域内出发的运动,都会渐进的收敛到平衡点x_e,这时称其为渐进稳定;

    若平衡状态不满足上述所说的条件,存在某个\varepsilon,我们无论选取怎样的\delta (\varepsilon ),均存在从某个出发的状态都运动到\varepsilon圆之外,称为不稳定。

    二、李雅普诺夫稳定性分析方法

    2.1、第一方法(间接法)(将系统的描述在x_e平衡点附近进行线性化,针对线性化模型进行稳定性判断,判断A的特征值的实部)

    x_e是系统\dot{x}=f(x)的平衡状态。该系统在x_e处的线性化模型为:

    \dot{y}=Ay, A= \frac{\partial f}{\partial x^T}|_{x=x_e}=\begin{bmatrix} \frac{\partial f_1}{\partial x_1} & \frac{\partial f_1}{\partial x_2} & \dots &\frac{\partial f_1}{\partial x_n} \\ \frac{\partial f_2}{\partial x_1} &\frac{\partial f_2}{\partial x_2} & &\frac{\partial f_2}{\partial x_n} \\ \vdots &\vdots & \ddots &\vdots \\ \frac{\partial f_n}{\partial x_1} &\frac{\partial f_n}{\partial x_2} & \dots & \frac{\partial f_n}{\partial x_n} \end{bmatrix}

    其中,y=x-x_e。(矩阵A为雅克比矩阵)

     

    根据A的特征值,有如下稳定性判别定理:

    定理2-1:A的特征值均具有实部,x_e渐进稳定的;若存在特征值具有正实部x_e不稳定的;其它情况,则不能判定

    例:判断下列系统在原点处的稳定性。

    \left\{\begin{matrix} \dot{x_1}=x_2cosx_1\\ \dot{x_2}=-sinx_1-x_2 \end{matrix}\right.

    解:可知f_1=x_2cosx_1,f_2=-sinx_1-x_2,故可求得原点处的雅克比矩阵为:

    A=\begin{bmatrix} -x_2 sin x_1 & cos x_1 \\ -cos x_1 & -1 \end{bmatrix}|_{x=0}=\begin{bmatrix} 0 & 1\\ -1 & -1 \end{bmatrix}

    特征根均在左半开平面内,因此原点是该系统的渐近稳定平衡点。(该例中的系统有多个平衡点,因此原点不是其渐近稳定平衡点)。

    注意:线性化方法不能给出全局稳定性的判断。

    例:判断下述系统在原点处的稳定性

    \left\{\begin{matrix} \dot{x_1}=-3 x_1^3\\ \dot{x_2}=3 x_1 - x_1x_2 \end{matrix}\right.

    解:原点是系统的平衡点,在原点处线性化可得:

    A=\begin{bmatrix} -3x_1^2 & -4 \\ 3- x_2 & -x_1 \end{bmatrix}|_{x=0}=\begin{bmatrix} 0 & -4\\ 3 & 0 \end{bmatrix}

    特征根均在虚轴上,间接法失效。

    2.2、第二方法(直接法)

    设原点是系统\dot{x}=f(x)的平衡状态。V(x)是正定的标量函数(能量函数)它沿系统状态轨线对时间t的导数为:

    \dot{V}(x)=\frac{\partial V(x)}{\partial x^T}f(x)

    李雅普诺夫第二方法是根据V(x)\dot{V}(x)的定号性,判别系统平衡状态的稳定性。(上式中,\dot{x}f(x)代替)

    定理2-2:V(x)正定\dot{V}(x)负定,则原点是渐近稳定的;进而,若\left \| x \right \|\to\infty时,V(x) \to \infty,则原点是全局渐近稳定

    定理2-3:V(x)正定,\dot{V}(x)负定,则原点是稳定的;此外,若\dot{V}(x)除原点外沿状态线不恒为零,则原点是渐近稳定的;再进一步,若\left \| x \right \|\to\infty时,V(x) \to \infty,则原点是全局渐近稳定;

    定理2-4:V(x)正定\dot{V}(x)正定,则原点是不稳定的。

    注意:

    (1)以上均为充分条件。某V(x)不满足定理条件时,不能下结论;

    (2)若V(x)代表广义能量,则\dot{V}(x)代表广义功率。\dot{V}(x)<0,说明沿状态轨线运动是消耗能量的。

    例:判断下述系统在原点处的稳定性

    \left\{\begin{matrix} \dot{x_1}=-\frac{2x_1}{(1+x_1^2)^2}+2x_2\\ \dot{x_2}=-\frac{2x_1+2x_2}{(1+x_1^2)^2} \end{matrix}\right.

    解:令\dot{x_1}\dot{x_2}为0,可知原点为系统唯一的平衡点,利用第一方法也可判定其渐近稳定性,它是渐近稳定的。

    考虑V(x)=\frac{x_1^2}{1+x_1^2}+x_2^2>0

    将状态方程\dot{x_1}\dot{x_2}带入,则\dot{V}(x)=-\frac{4x_1^2}{(1+x_1^2)^4}-\frac{4x_2^2}{(1+x_1^2)^2}<0

    所以原点是渐近稳定的。但当x_1\to \inftyx_2 \to \infty时,V(x) \to 1,即\left \| x \right \| \to \infty时,V(x) \to \infty不成立,不能保证全局渐近稳定。

    例:判断下述系统在原点处的稳定性

    \dot{x}=\begin{bmatrix} 0 &1 \\ -1 & -1 \end{bmatrix}x

    解:(1)取V(x)=2x_1^2+x_2^2>0\dot{V}(x)=2x_1x_2-2x_2^2,不定,不能判定;

    (2)取V(x)=x_1^2+x_2^2>0\dot{V}(x)=-2x_2^2半负定,故原点稳定。

    \dot{V}(x)\equiv 0,则x_2=\dot{x}_2\equiv 0,带入原方程\dot{x}_2=-x_1-x_2x_1\equiv 0;因而\dot{V}(x)\equiv 0仅发生在原点处。当\left \| x \right \| \to \infty时,V(x) \to \infty,所以原点全局渐进稳定。

    (3)取V(x)=1.5x_1^2+x_2^2+x_1x_2>0\dot{V}(x)=-x_1^2-x_2^2<0,当\left \| x \right \| \to \infty时,V(x) \to \infty,所以原点全局渐进稳定。

    注意:选择不同的V函数,可能得到不同的结果,但得到的结论是不矛盾的。找到“好”的V函数,需要经验和运气。

    例:判断下述系统在原点处的稳定性

    \left\{\begin{matrix} \dot{x_1}=- x_1^3+x_2^4\\ \dot{x_2}=- x_2^3 + x_1^4 \end{matrix}\right.

    解:原点是平衡点但不唯一(点(1,1)同为平衡点)。线性化方法失效(A矩阵为零)。

    V(x)=0.5(x_1^2+x_2^2)>0,则\dot{V}(x)=-x_1^4(1-x_2)-x_2^4(1-x_1)

    x_1<1x_2<1的区域内(原点是该区域的内点),\dot{V}(x)<0,该系统在原点处是渐近稳定的。(虽然当\left \| x \right \| \to \infty时,V(x) \to \infty,当\dot{V}(x)<0限制了区域都并非大范围渐进稳定)。

     

    三、李雅普诺夫函数的构造方法

    对于非线性系统,没有一种构造李雅普诺夫函数的通用方法。人们通常凭经验和技巧选取李雅普诺夫函数,最常见的是二次型函数,有些方法适用于一些特定情形,如克拉索夫斯基方法变量梯度法偶函数法等方法。

    3.1、克拉索夫斯基方法(Krasovskii)

    考虑如下非线性系统\dot{x}=f(x),其中f(x)存在连续偏导数。定义雅克比矩阵:

    F(x)= \frac{\partial f}{\partial x}=\begin{bmatrix} \frac{\partial f_1}{\partial x_1} & \dots & \frac{\partial f_1}{\partial x_n} \\ \vdots & \vdots & \vdots\\ \frac{\partial f_n}{\partial x_1} & \dots & \frac{\partial f_n}{\partial x_n} \end{bmatrix}

     

    待续》》》

     

     

     

     

     

     

     

     

    展开全文
  • 考虑一类由局部状态空间Fornasini-Marchesini (FM LSS) 第二模型描述的, 具有时变状态滞后非线性二 ...证系统的稳定性, 进而, 状态反馈控制律可由线性矩阵不等式求得; 最后通过数值算例表明了所得结果的有效性.</p>
  • 雅克比矩阵

    千次阅读 2019-01-21 12:24:39
    看图

    看图
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    在这里插入图片描述

    在这里插入图片描述

    展开全文
  • 局部切空间排列(LTSA)算法是一种有效的流形学习算法...在此基础上, 提出了一种改进的局部切空间排列算法, 并通过实验结果体现了该方法的有效性和稳定性。与已有经典算法相比, 提出的计算方法没有增加任何计算复杂度。
  • 大柔性太阳能无人机在气动载荷的作用下产生较大的弯曲变形,机翼结构的刚度、质量分布等特性亦发生较大改变,线性理论无法满足这类飞机气动弹性稳定性分析的精度要求。基于Co-rota-tional(CR)理论,推导了结构变形后的...
  • 现代控制理论5——稳定性稳定性判据

    万次阅读 多人点赞 2020-03-11 16:47:35
    李雅普诺夫稳定性理论 1.前期铺垫~ !:稳定性是系统正常工作的重要特性 稳定性,是描述初始条件(不一定为0)下,系统是否具有收敛性,与输入作用无关 在经典控制理论中,有代数判据(劳斯、霍尔维茨)、奈奎斯特...

    注:本文是在MOOC平台上学习西北工业大学《现代控制理论基础》(郭建国、赵斌、郭宗易)的课程进行随笔记录与整理

    一.李雅普诺夫稳定性理论

    1.前期铺垫~

    !:稳定性是系统正常工作的重要特性
    稳定性,是描述初始条件(不一定为0)下,系统是否具有收敛性,与输入作用无关
    在经典控制理论中,有代数判据(劳斯、霍尔维茨)、奈奎斯特判据、对数判据、根轨迹判据

    而经典控制理论有其缺陷:
    针对外部描述模型;
    判断线性定常系统,不使用于时变和非线性
    相平面法只适用于一阶、二阶非线性系统

    而1892年李雅普诺夫提出的稳定性理论有很强优越性:
    针对内部描述模型;
    适用于单变量、线性、定常;
    适用于多变量;非线性;时变系统

    李雅普诺夫提出的稳定性理论包括:
    第一法(间接法)和第二法(直接法

    2.李雅普诺夫第一法

    (1)基本概念

    李普希兹(lipschitz)条件(解的存在性条件):
    ||f(x,t)-f(y,t)|| ≤ K||x-y|| , ||f(x,t)|| ≤ M

    摘自百度:以德国数学家鲁道夫·利普希茨命名,是一个比通常连续更强的光滑性条件。直觉上,利普希茨连续函数限制了函数改变的速度,符合利普希茨条件的函数的斜率,必小于一个称为利普希茨常数的实数(该常数依函数而定)。

    即:此函数任意取点所得到的斜率,都不会超过一个最小的常数K。用lipschitz条件可以体现函数的光滑性。

    动态系统要求:
    x` = f(x , t) t ≥ t0
    f(x , t) 内任意的线性或非线性、定常或时变的n维函数,满足lipschitz条件
    记其解为:x(t: x0, t0)
    从任意初始状态出发解x(t: x0, t0),唯一且连续地依赖于初始状态x(t0)=x0

    平衡状态/平衡点
    满足 f(xe, t) = 0, 状态xe称为平衡状态。
    平衡状态意味着f(xe, t) = 0,系统所有状态变量不再变化 xe`=0 (xe的导数为0)

    注意:
    · 线性定常系统只有唯一零解,即存在一个位于原点的平衡状态。 x`=Ax, xe=0
    · 线性系统有唯一的一个平衡状态——平衡状态稳定性即表征了系统的稳定性
    · 非线性系统的平衡状态可能有多个,取决于系统方程 f(x, t) = 0(各个平衡点的稳定性不相同,要逐个考虑)

    状态偏差向量
    ||x0-xe||:初始状态偏差向量的范数
    其几何意义:“初始状态偏差向量”的空间距离尺度
    定义式为:
    在这里插入图片描述
    ||x(t: x0,t0)-xe||:“状态偏差向量”的空间距离尺度

    (2)李雅普诺夫稳定性定义

    局部稳定:
    对于任意实数ε>0,如果存在δ(t0,ε)>0,使得当**||x0-xe|| ≤δ(t0,ε)时**,系统的解满足
    ||x(t: x0,t0) - xe|| ≤ ε t≧t0,则称该平衡状态是李雅普诺夫意义下的稳定性
    即:开始在δ邻域内,过了有限时间,系统一直在ε邻域内。
    在这里插入图片描述
    渐近稳定:
    ||x(t: x0,t0) - xe||→0
    在这里插入图片描述
    工程设计中的稳定性一般指渐进稳定,而李雅普诺的稳定性属于临界稳定性

    大范围(全局)渐近稳定(全局稳定)
    当初始扰动δ趋向于无穷,由状态空间任意一点出发的轨迹都收敛至平衡状态。
    (主要针对时变系统)
    在这里插入图片描述
    一致稳定
    时变系统的δ与ε和t0有关,定常系统的δ与t0无关。只要δ与t0无关,这种平衡状态称为一致稳定的。

    不稳定性
    对于任意实数ε>0,如果存在δ(t0,ε)>0,使得当||x0-xe|| ≤δ(t0,ε)时,系统的解满足
    ||x(t: x0,t0) - xe|| > ε , t≧t0
    在这里插入图片描述
    即:不管初始扰动有多小,都将趋向最远

    3.李雅普诺夫第二法

    由于第一法需要进行求解,才能用解进行判断;而第二法可以不用求解来判断稳定性
    构造一个类似于能量的标量函数,V(x,t)
    能量总大于0,因此V(x,t) 是一个正定函数
    能量衰减特性用V`(x,t)表征

    利用V和V`的符号特征直接对平衡性进行判断
    正定性
    标量函数V(x)在S域中对所有非零状态有V(x)>0,且V(0)=0,则称V(x)在S域内正定。
    负定性
    标量函数V(x)在S域中对所有非零状态有V(x)<0,且V(0)=0,则称V(x)在S域内正定。
    负(正)半定性
    标量函数V(x)在S域中对某些状态有V(x)=0且V(0)=0,其他均有V(x)<0(V(x)>0),则称V(x)在S域内负(正)半定。
    不定性
    V(x)在S域中可正可负,则称V(x)不定。
    例如:V(x)=x1x2

    如何判断一个函数是正定性?
    常采用二次型函数:其中P是对称阵在这里插入图片描述
    对P用塞尔维斯特准则判定:
    当P的各顺序主子行列式均大于零,则为正定性;
    当主子行列式负正相间(奇数阶负,偶数阶正),则为负定性;
    对应主子行列式且含有等于0的情况时,则为负半定或者正半定;
    不属于以上情况输入不定性。

    李雅普诺夫第二稳定性定理:
    基本条件:系统状态方程为x`=f(x,t),把原点作为平衡状态,在原点邻域存在向量的标量函数V(x,t),具有一阶偏导
    定理:

    V(x,t)V`(x,t)稳定性意义
    正定负定渐进稳定能量函数的能量随时间单调递减
    正定负半定,且在原点不恒为0渐进稳定状态轨迹只经历能量不变状态,但是会继续运行至原点
    正定负半定,且在原点恒为0局部稳定
    正定正半定,且在原点恒为0局部稳定系统将维持某能量水平运行而不再衰减
    正定正半定,且在原点不恒为0不稳定
    正定正定不稳定能量函数的能量随时间增大,状态从原点发散

    注:
    1.以上定理是充分条件
    2.李雅普诺夫函数选取不唯一,但不会因选取不同影响对稳定性的判断
    3.对非线性函数,目前没有构造李雅普诺夫函数的一般方法;对于线性定常系统常用二次型函数作为李雅普诺夫函数

    解的步骤:
    ①验证原点: 令x1 , x2的导数为零,可得x1,x2为零,可知原点为平衡点
    ②设李雅普诺夫函数: 通常用二次型函数
    ③进行判定

    二.特征值判据

    思想:来源于经典控制理论中,极点在左半平面则稳定的判断方法。

    使用范围:
    对于线性定常系统

    内容:系统在这里插入图片描述渐近稳定的充要条件是,系统矩阵A的特征值全部位于复平面左半部分(不包括虚轴)。
    当有特征值落在虚轴上,此时系统具有李雅普诺夫意义下的稳定性。
    当有在右半平面,则系统不稳定。

    举例:
    在这里插入图片描述

    三.基于李雅普诺夫方程值判据

    系统在这里插入图片描述渐进稳定的充要条件是:
    给定一正定实对称矩阵Q,有唯一正定实对称矩阵P使在这里插入图片描述(李雅普诺夫方程)成立。

    !:此定理给出了判断线性系统是否渐进稳定、及构造线性渐近稳定系统李雅普诺夫函数的一般方法,当解得阵P为非正定时,系统是非渐近稳定。
    显而易见,任选对称阵Q(通常选单位矩阵最方便),然后判断阵P是否正定对称,只需一次计算就可确定系统是否渐近稳定。

    例如:
    在这里插入图片描述
    对于线性离散系统,也有相应特征值判据,此处不记录。

    展开全文
  • 本文研究了具有时滞的复值神经网络(CVNN)的有界性和完全稳定性。 使用局部抑制推导了一些确保CVNN有界的条件。 此外,在有界条件下,还给出了一个紧凑的集合,该集合在全球范围内吸引了网络的所有轨迹。 此外,...
  • 提出一种改进的方法以降低T-S模糊系统稳定性判....此条件仅需在每个有效最大交叠规则组内分别寻找一个局部公共正定矩阵.以往的稳定性判定方法作为特例被包含在所提出方法中.仿真结果验证了该方法的有效性.
  • 现代控制理论(二)李雅普诺夫稳定性分析一、系统数学描述的两种形式1、基于输入输出模型的外部描述2、基于状态空间模型的内部描述(属于是时域模型上的描述)二、状态空间描述常用的基本概念(一)基础概念1、松弛性2...
  • 在结核病传播的数学模型的动力学系统基础上,利用 Hurwitz判据和复合矩阵理论,讨论了具有常数移入的结核病传播的数学模型的动力学性质,研究了具有常数移入的结核病模型的地方病平衡点的局部和全局渐近稳定性,得到了...
  • 为此,基于混沌运动的随机和遍历,在步长变化中引入混沌因子,避免因初始步长选择不当导致算法的不稳定且实现步长的自适应变化;同时利用动量项,避免算法陷入局部最小值,提高算法的收敛速度,优化测量矩阵性能...
  • 讨论了具有混合时滞的随机细胞神经网络的p-阶矩指数稳定和几乎必然指数稳定性。借助于局部鞅收敛定理、M-矩阵的性质和It
  • 针对多项式非线性系统,提出一种...对于局部稳定性分析,采用多个Lyapunov函数来趋近吸引域.每个Lyapunov函数均在各指定方向上进行最大半径优化.在稳定性分析基础上,提出保收敛率的局部镇定控制器设计方法以扩大吸引域.
  • 针对现有算法在通用图像分辨率要求较高时重建效果不稳定的问题,提出一种基于稀疏表示与矩阵填充的多帧超分辨率图像重建算法.对自然图像库进行训练建立过完备词典对,并将低分辨率图像分成若干图像块,根据局部先验...
  • 摘 要 : 特征提取是合成孔径雷达自动目标识别的关键技术 ,同时也是难点问题之一. 本文提出了一种基于非 负矩阵分解算法与 Fisher 线性...试验结果表明该方法是可行且有效的 ,并能够明显提高对目标识别的稳定性和正确率
  • 移概率矩阵行和为零的性质, 得到了新的基于线性矩阵不等式的稳定性分析和状态反馈镇定条件. 当转移概率为完 全已知时, 所给出的条件便退化为现有文献的结果. 最后, 仿真算例表明了所给出方法的有效性.</p>
  • 数值分析:矩阵求逆-奇异、条件数

    万次阅读 多人点赞 2016-08-18 15:59:06
    http://blog.csdn.net/pipisorry/article/details/52241141本blog主要内容有:矩阵的奇异、条件数与病态矩阵矩阵求逆。奇异矩阵和非奇异矩阵singular matrix&nonsingular matrix概念和定义若n阶矩阵A的行列式不...
  • 建立了无病的εo和地方性ε1平衡,并在εo上具有局部稳定性。 我们建立了基本繁殖数Ro,用作使用下一代矩阵测量感染在人群中传播的阈值,并使用参数值将其数值计算为Ro = 0.0185903201。 已经确定,由于Ro <1,...
  • 该方法一方面在计算散度矩阵时引入了能保持数据局部性的Laplacian矩阵,以保持数据的流形结构,从而提高识别正确率;另一方面采用了有效且稳定的大间距的优化准则即最大化矩阵迹差,能克服利用Fisher准则所带来的小样本...
  • 李雅普诺夫稳定性

    千次阅读 2019-05-19 14:38:18
    在数学和自动控制领域中,李雅普诺夫稳定性(英语:Lyapunov stability,或李亚普诺夫稳定性)可用来描述一个动力系统的稳定性。如果此动力系统任何初始条件在{\displaystyle x_{0}}附近的轨迹均能维持在{\...
  • 基于局部特征的表情不变3维人脸识别算法.pdf
  • 基础-Lyapunov稳定性相关的理论

    千次阅读 2021-01-28 11:16:08
    Lyapunov稳定性相关的理论 稳定性: 渐进稳定性: 指数稳定性: 一致稳定性: 全局稳定性
  • 在给定一致性权重下,建立以一致性估计器增益为决策变量,以所有传感器节点有限时域下状态融合估计误差协方差矩阵的迹的和为代价函数的优化问题,基于Lyapunov稳定性理论给出使得融合估计误差在无噪声时渐近稳定的一致...
  • 在本文中,我们使用基于块的特征图像矩阵设计了一种用于面部和指纹图像的多峰融合框架,并从局部特征中提取了一种中间层语义特征,即一种具有更好表征能力的局部融合视觉特征。具有较低维度的多模式生物特征识别...
  • 针对铜浮选过程中矿源变化频繁而造成的浮选工况难以识别、生产过程不稳定等问题,在分析铜浮选流程特点的基础上,提出了一种局部颜色特征与关键工艺参数融合的铜浮选入矿类型识别方法.首先采用多元图像处理方法提取...
  • 局部保持投影算法(locality preserving projections,LPP)作为降维算法,在机器学习和模式识别中有着广泛应用;在识别分类中,为了更好地利用类别信息,在保持样本点的局部特征外,有效地从高维数据中提取出低维的人脸图像...

空空如也

空空如也

1 2 3 4 5 ... 20
收藏数 24,649
精华内容 9,859
关键字:

局部稳定性矩阵

友情链接: wirelessdev.zip