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  • 第一型与第二曲线积分
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    2019-11-30 21:51:02

    一、定义

    第一型曲线积分

      设 L \small L L 为平面上可求长度(至于什么叫做可求长度,可参见《复变函数论》(第四版 钟玉泉 著)第25页,只需要知道连续曲线都是可求长度的)的曲线段, f ( x , y ) \small f(x,y) f(x,y) 为定义在 L \small L L 上的函数. 对曲线 L \small L L 作分割 T \small T T,它把 L \small L L 分成 n n n 个可求长度的小曲线段 L i ( i = 1 , 2 , ⋯   , n ) \small L_i (i=1,2,\cdots,n) Li(i=1,2,,n) L i \small L_i Li弧长记为 Δ s i \small \Delta s_i Δsi,分割 T \small T T 的细度定义为 ∣ ∣ T ∣ ∣    = max ⁡ 1 ≤ i ≤ n   Δ s i \small \mid\mid T \mid\mid\;=\max \limits_{1\leq i \leq n}\ \small \Delta s_i T=1inmax Δsi,在 L i \small L_i Li 上任取一点 ( ξ i , η i ) ( i = 1 , 2 , ⋯   , n ) \small (\xi_i,\eta_i)(i=1,2,\cdots,n) (ξi,ηi)(i=1,2,,n). 若有极限
    lim ⁡ ∣ ∣ T ∣ ∣ → 0 ∑ i = 1 n f ( ξ i , η i ) Δ s i = J \lim_{\mid\mid T \mid\mid \to 0}\sum_{i=1}^{n}f(\xi_i,\eta_i)\small \Delta s_i=J T0limi=1nf(ξi,ηi)Δsi=J J \small J J 的值与分割 T \small T T、点 ( ξ i , η i ) \small (\xi_i,\eta_i) (ξi,ηi) 的取法无关,则称此极限为 f ( x , y ) \small f(x,y) f(x,y) L \small L L 上的第一型曲线积分,记作 ∫ L f ( x , y )   d s . \int_L {f(x,y)}\,ds. Lf(x,y)ds.

    第二型曲线积分

      设函数 P ( x , y ) \small P(x,y) P(x,y) Q ( x , y ) \small Q(x,y) Q(x,y) 定义在平面有向可求长度曲线 L : A B ⏠ \small L:\overgroup{AB} LAB 上,对 L \small L L 的任一分割 T \small T T,它把 L \small L L 分割成 n n n 个小弧段 M i − 1 M i ⏠    ( i = 1 , 2 , ⋯   , n ) , \overgroup{M_{i-1}M_i}\;(i=1,2,\cdots,n), Mi1Mi (i=1,2,,n)其中 M 0 = A , M n = B M_0=A, M_n=B M0=A,Mn=B. 记各小弧段 M i − 1 M i ⏠ \small \overgroup{M_{i-1}M_i} Mi1Mi 的弧长为 Δ s i \small \Delta s_i Δsi,分割 T \small T T 的细度为
    ∣ ∣ T ∣ ∣    = max ⁡ 1 ≤ i ≤ n   Δ s i \small \mid\mid T \mid\mid\;=\max \limits_{1\leq i \leq n}\ \small \Delta s_i T=1inmax Δsi. 又设 T \small T T 的分点 M i \small M_i Mi 的坐标为 ( x i , y i ) \small (x_i,y_i) (xi,yi),并记 Δ x i = x i − x i − 1 , Δ y i = y i − y i − 1    ( i = 1 , 2 , ⋯   , n ) \small \Delta x_i=x_i-x_{i-1},\small\Delta y_i=y_i-y_{i-1}\;(i=1,2,\cdots,n) Δxi=xixi1,Δyi=yiyi1(i=1,2,,n). 在每个小弧段 M i − 1 M i ⏠ \small \overgroup{M_{i-1}M_i} Mi1Mi 上任取一点 ( ξ i , η i ) \small (\xi_i,\eta_i) (ξi,ηi),若有极限
    lim ⁡ ∣ ∣ T ∣ ∣ → 0 ∑ i = 1 n P ( ξ i , η i ) Δ x i + lim ⁡ ∣ ∣ T ∣ ∣ → 0 ∑ i = 1 n Q ( ξ i , η i ) Δ y i = J \lim_{\mid\mid T \mid\mid \to 0}\sum_{i=1}^{n}P(\xi_i,\eta_i)\small \Delta x_i+\lim_{\mid\mid T \mid\mid \to 0}\sum_{i=1}^{n}Q(\xi_i,\eta_i)\small \Delta y_i=J T0limi=1nP(ξi,ηi)Δxi+T0limi=1nQ(ξi,ηi)Δyi=J J \small J J 的值与分割 T \small T T、点 ( ξ i , η i ) \small (\xi_i,\eta_i) (ξi,ηi) 的取法无关,则称此极限为函数 P ( x , y ) , Q ( x , y ) \small P(x,y), Q(x,y) P(x,y),Q(x,y) 沿有向曲线 L \small L L 上的第二型曲线积分,记作
    ∫ L P ( x , y ) d x + Q ( x , y ) d y    o r ∫ A B P ( x , y ) d x + Q ( x , y ) d y . \int_L {P(x,y)}dx+{Q(x,y)}dy\; or\int_{AB}{P(x,y)}dx+{Q(x,y)}dy. LP(x,y)dx+Q(x,y)dyorABP(x,y)dx+Q(x,y)dy.

    二、 区别

      第二型曲线积分与曲线 L \small L L方向有关. 对同一曲线,当方向由从 A \small A A B \small B B 改为从 B \small B B A \small A A 时,每一小曲线段的方向也改变,从而 Δ x i , Δ y i \small \Delta x_i,\Delta y_i Δxi,Δyi 也随之改变符号,故有
    ∫ A B P ( x , y ) d x + Q ( x , y ) d y = − ∫ B A P ( x , y ) d x + Q ( x , y ) d y \int_{AB}{P(x,y)}dx+{Q(x,y)}dy=-\int_{BA}{P(x,y)}dx+{Q(x,y)}dy ABP(x,y)dx+Q(x,y)dy=BAP(x,y)dx+Q(x,y)dy   而第一型曲线积分的被积表达式只是函数 f ( x , y ) \small f(x,y) f(x,y) 与弧长的乘积,它与曲线 L \small L L 的方向无关.

    三、联系

      两类曲线积分的物理原型
      第一型曲线积分:已知某曲线段的密度函数,求该曲线段的质量;
      第二型曲线积分:一质点受力 F ( x , y ) \small \bm{F}(x,y) F(x,y) 的作用沿平面曲线 L \small L L 由点 A \small A A 运动到点 B \small B B,求力 F ( x , y ) \small \bm{F}(x,y) F(x,y) 所作的功.
      虽然两类曲线积分来自于不同的物理原型,且有着不同的特性. 但在一定条件下,例如规定曲线的方向后,可以建立它们之间的联系.

      设 L \small L L 为从 A \small A A B \small B B 的有向光滑曲线,它以弧长 s s s 为参数,于是 L \small L L 可以表示为
    L : { x = x ( s ) , 0 ≤ s ≤ l y = y ( s ) , 0 ≤ s ≤ l L: \begin{cases} \displaystyle x=x(s), {0 \leq s \leq l}\\ y=y(s), {0 \leq s \leq l} \end{cases} L:{x=x(s),0sly=y(s),0sl其中 l l l 为曲线 L \small L L 的长度,且点 A \small A A B \small B B 的坐标分别为 ( x ( 0 ) , y ( 0 ) ) \small (x(0),y(0)) (x(0),y(0)) ( x ( l ) , y ( l ) ) \small (x(l),y(l)) (x(l),y(l)). 曲线 L \small L L 上每一点的切线方向都指向弧长增加的方向,即从 A \small A A 出发沿曲线朝 B \small B B 走的方向. 现以 ( t , x ^ ) 、 ( t , y ^ ) (\widehat{\bm{t},x})、(\widehat{\bm{t},y}) (t,x )(t,y ) 分别表示切线方向 t \bm{t} t x x x 轴、与 y y y 轴正向的夹角,则曲线上每一点的切线方向余弦是
    d x d s = c o s ( t , x ^ ) , d y d s = c o s ( t , y ^ ) . \frac{dx}{ds}=cos(\widehat{\bm{t},x}),\frac{dy}{ds}=cos(\widehat{\bm{t},y}). dsdx=cos(t,x ),dsdy=cos(t,y ). P ( x , y ) , Q ( x , y ) \small P(x,y),\small Q(x,y) P(x,y),Q(x,y) 为曲线 L L L 上的连续函数,则有如下关系式:

    ∫ L P ( x , y ) d x + Q ( x , y ) d y =    ∫ 0 l P ( x ( s ) , y ( s ) ) d x d s d s + Q ( x ( s ) , y ( s ) ) d y d s d s =    ∫ 0 l [ P ( x ( s ) , y ( s ) ) c o s ( t , x ^ ) + Q ( x ( s ) , y ( s ) ) c o s ( t , y ^ ) ] d s =    ∫ L [ P ( x , y ) c o s ( t , x ^ ) + Q ( x , y ) c o s ( t , y ^ ) ] d s \begin{aligned} &\int_L {P(x,y)}dx+{Q(x,y)}dy \\ =&\;\int_0^l {P(x(s),y(s))\frac{dx}{ds}ds+Q(x(s),y(s))\frac{dy}{ds}ds} \\=&\;\int_0^l {[P(x(s),y(s))cos(\widehat{\bm{t},x})+Q(x(s),y(s))cos(\widehat{\bm{t},y})]ds}\\=&\;\int_L{[P(x,y)cos(\widehat{\bm{t},x})+Q(x,y)cos(\widehat{\bm{t},y})]ds} \end{aligned} ===LP(x,y)dx+Q(x,y)dy0lP(x(s),y(s))dsdxds+Q(x(s),y(s))dsdyds0l[P(x(s),y(s))cos(t,x )+Q(x(s),y(s))cos(t,y )]dsL[P(x,y)cos(t,x )+Q(x,y)cos(t,y )]ds最后一个等式将定积分转化为第一型曲线积分.

      这里需要指出,当第二型曲线积分中 L \small L L 改变方向时,曲线上各点的切线方向与原来相反,这时夹角 ( t , x ^ ) , ( t , y ^ ) (\widehat{\bm{t},x}),(\widehat{\bm{t},y}) (t,x ),(t,y ) 与原来的夹角相差弧度 π \pi π c o s ( t , x ^ ) cos(\widehat{\bm{t},x}) cos(t,x ) c o s ( t , y ^ ) cos(\widehat{\bm{t},y}) cos(t,y ) 都要变号,从而积分值的符号改变. 可以看出,曲线的方向性在第一型曲线积分中以 c o s ( t , x ^ ) cos(\widehat{\bm{t},x}) cos(t,x ) c o s ( t , y ^ ) cos(\widehat{\bm{t},y}) cos(t,y ) 的形式得以体现,与 d s ds ds 无关,这里的 d s ds ds 仍表示弧长微元.
      这样便建立起了两种不同类型曲线积分之间的联系.

    参考文献:华东师范大学数学系. 数学分析(下册)[M]. 第四版. 北京:高等教育出版社,2010: 209-221.

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    什么是增长的逻辑?

    增长的逻辑:用不变的第一性原理,在第一曲线中找到破局点/失速点,跨越非连续性,将单一要素最大化,扩大到第二曲线中的全部,实现增长

    记住加黑的关键词,及其所处的位置,后面一一介绍其含义

    破局点,极限点与失速点在一个曲线中的位置


    第二曲线如何形成?

       找到企业在发展曲线中的的最低点与最高点,即破局点极限点

    为什么找这两个点?

       为了解决企业在面临创新发展的困境中,如何实现突破困境,并创造下一个增长曲线

       极限点=失速点=第二曲线的撬动点

    找到撬动点后如何构建出第二曲线?

        单一要素最大化:聚焦第一曲线的一个要素功能点,扩大为第二曲线的全部产品线

    第二曲线扩大步骤?

        让第一曲线中的第二曲线的撬动点——跳出对第一曲线的价值网依赖(非连续性)——让它处于新的价值网体系中——沿着用户增长和返脆弱的第一性原理——进行10倍速增速变化——达到行业市场近乎垄断的程度

    第二曲线所处的位置

    每条曲线既是非连续的,又整体看上去是在不断地增长中,这就是增长的逻辑

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    Netflix的发展史:

    <1988年斯坦福大学人工智能理科硕士毕业
    <1988年,在工作中发明检测内存泄漏工具
    <1989年,创建第一家公司,Pure Software,产品为自己研发的工具
    <1995年上市,1996年被收购,收获了巨大财富,但在官僚主义中迷失,决定主动辞职
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    Netflix发展的第一曲线:

      <1997年成立Netflix,网上租赁DVD业务

      <1997年市场背景:DVD租赁VS录影带

      特点:新轻巧便捷,利于邮寄

      第一曲线破局点:简单的盈利模式,收入=用户数*年费

      竞争对手: Blockbuster(百视达)——传统门店式DVD租赁

    <2000年市场背景:科技公司泡沫破灭,大批公司倒闭,华尔街只要见到科技公司都会多加防备

        Blockbuster规模:2000W用户,4190名员工,528家连锁店

        Netflix规模:12W用户,但亏损6000W美元

        Netflix无人收购及投资,Netflix无奈只能砍掉公司40%员工,以保公司生存(三年中的成长,之前总觉得裁员很残忍,但公司需要生存,需要他亲自去做正确的事)

    <Netflix的转机:2001年,用户继续增长到50W,在市场萧条的时代脱颖而出,获得8300美元融资,2002年成功上市

    <盈利模式PK:Blockbuster  VS  Netflix

        Blockbuster:违约金一单一营收模式  简单粗暴,服务感低

        Netflix:月租、年租,无限单无违约金   注重服务,教用户降低费用及时间成本。(10美元/月,不限次数,一次可邮寄2张,用户网上预约下次2张,本次看完后,寄回,自动发送已预约  DVD,目的:提升单用户观看量)

    第一曲线增长的:单一要素最大化:促进一个用户在一定时间内看多部电影

    Blockbuster失速:大船无力掉头

      1. 2003年才开始着手,并不敢投入大量资金,以防激怒加盟店主

      2. 传统模式转新模式内部阻碍大,内部动乱,原CEO被赶走,新CEO资本逐利,取消非短期盈利的网络业务

    <2006 年Netflix用户数近千万

    <2010 年 9 月,Blockbuster 宣告破产,Netflix 股价的不断暴涨  

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    Netflix的第二曲线:

      第一曲线的失速点:2007年预测,随着网络时代网速发展越来越快,人们更喜欢选择线上观影,到2013年到达失速点

      实况:2010年DVD租赁业务达到失速点

      第二曲线破局点:流媒体  2007年推出第一款流媒体产品“Watch Now”
      取胜点:敏锐发现市场变化,分拆两项业务,面对公司内外资本市场、媒体、用户多方压力,坚持颠覆革新的决心,并缓和步调让市场更能接受
      增长曲线:单一要素最大化:将电影压缩包转移到线上,进行售卖

    <2012年:用户2500W

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     Netflix的第三曲线:

      第二曲线的失速点:内容方面没有创新,只是迎合市场需求速度的变化

      背景:从第三方平台买独播,成本飙升

       第三曲线破局点:原创内容制作者  2013年推出第一部自制剧“纸牌屋”

       取胜点:内容垄断:原创+独家

       1. 发展自制内容,脱离版权束缚:长期积累的用户行为数据:搜索、观看、收藏,回放,对         电影精密细分,精确把握用户喜好:题材、演员、镜头、情节,确定导演、演员、题材。

       2.  专注版权内容的独播性:与热门版权商建立独家合作关系

    <2013年新增用户1100W

      增长曲线:单一要素最大化:将原先一小部分原创内容最大化


    <实况:全球最大的娱乐供应商

      2018年Q1收入    37亿美元,同比增长40%

      2018年Q1利润    2.9亿美元,同比增长63%

          连续7个季度30%+增长


    Netflix 的第一性原理:

    1.用户增长(战略指北针)

      1.1简单的业务模式:只有流媒体付费一种主营业务,拒绝广告   

      1.2简单的增长指标:用户数,收入=用户数*年费

      1.3简单的用户体验:智能推荐算法为核心,KPI:一个用户看了多少电影

      1.4简单的增长引擎:唯一的获客方式是独家的原创优质内容

    简介而优美的增长战略

    2.返脆弱

      2.1技术返脆弱:chaos monkey,自混乱系统,测试稳定性

      2.2业务返脆弱:不做大而全,目前5-10年保持专注做好此阶段核心项目——内容

      2.3组织返脆弱:高绩效人才增长速度高于业务复杂度增长速度,同时保持员工的自由度

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    Netflix 的未来

    想像空间还会更大,比如藉助虚拟现实技术让人在任何地方都可以看电影。
    我们要在 HBO 变成 Netflix 之前,将 Netflix 发展成 HBO。
    ——Netflix 的首席内容长泰德沙兰多
    竞争对手简介:HBO 有线电视网络媒体公司:1980年代初期,HBO电视网开始制作自己的节目。1983年,HBO推出了自己制作的第一部电影,此后,HBO开始以一月一部的速度,制作低成本的电视电影。
    代表作品:《兄弟连》《黑道家族》、《欲望都市》《绝命毒师》等
    2011年开始,每年一季的《冰与火之歌:权力的游戏》,2014年第五季国内腾讯独家播出

    2016年3月4日,进入拉美市场,而Netflix早已在2011年进入拉美市场

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    DAY16.

    人不能没有性情

    第一类曲线积分

    对弧长的曲线积分

    基本形式为: ∫ L f ( x , y ) d s \int_L f(x,y) d_s Lf(x,y)ds

    其中L为弧长、f(x,y)的点在弧长L上

    又分为三种形式方程

    1. L : y = y ( x ) ; ⇒ ∫ a b f ( x , y ( x ) ) 1 + ( y x ′ ) 2 d x L : y = y(x) ; \Rightarrow \int_a^{b} f(x, y(x))\sqrt {1+(y'_x)^2}d_x L:y=y(x);abf(x,y(x))1+(yx)2 dx
    2. L : x = x ( y ) ; ⇒ ∫ a b f ( x ( y ) , y ) 1 + ( x y ′ ) 2 d y L : x = x(y) ; \Rightarrow \int_a^{b} f(x(y), y)\sqrt {1+(x'_y)^2}d_y L:x=x(y);abf(x(y),y)1+(xy)2 dy
    3. L : { x = x ( t ) y = y ( t ) ⇒ ∫ t 1 t 2 f ( x ( t ) , y ( t ) ) ( d x d t ) 2 + ( d y d t ) 2 d t L:\begin{cases} x = x(t) \\ y = y(t) \end{cases} \Rightarrow \int_{t_1}^{t_2} f(x(t),y(t)) \sqrt{(\frac{d_x}{d_t})^2+(\frac{d_y}{d_t})^2}d_t L:{x=x(t)y=y(t)t1t2f(x(t),y(t))(dtdx)2+(dtdy)2 dt

    例题

    ∫ L ( x 2 + y 2 ) n d s \int_L (x^2+y^2)^n d_s L(x2+y2)nds其中L由圆周 x = a cos ⁡ t , y = a sin ⁡ t ( 0 ⩽ t ⩽ 2 π ) x = a \cos t ,y = a\sin t(0\leqslant t \leqslant 2 \pi) x=acost,y=asint(0t2π)围成

    解:

    依题意可知这是上面的第三种情况:

    ∫ L ( x 2 + y 2 ) n d s \int_L (x^2+y^2)^n d_s L(x2+y2)nds

    = ∫ 0 2 π ( a 2 cos ⁡ 2 t + a 2 sin ⁡ 2 t ) n ( − a sin ⁡ t ) 2 + ( a cos ⁡ t ) 2 d t =\int_0^{2 \pi}(a^2\cos^2 t+a^2\sin^2t)^n \sqrt{(-a\sin t)^2+(a\cos t)^2}d_t =02π(a2cos2t+a2sin2t)n(asint)2+(acost)2 dt

    = ∫ 0 2 π a 2 n a d t =\int_0^{2 \pi} a^{2n} a d_t =02πa2nadt

    = 2 π a 2 n + 1 =2\pi a^{2n+1} =2πa2n+1

    第二类曲线积分

    对坐标的曲线积分

    ∫ L P ( x , y ) d x + Q ( x , y ) d y \int_LP(x,y)d_x + Q(x,y)d_y LP(x,y)dx+Q(x,y)dy

    举一例:

    L : y = y ( x ) ⇒ ∫ a b P ( x , y ( x ) ) d x + Q ( x , y ( x ) ) y ′ ( x ) d x L : y = y(x) \Rightarrow \int_a^b P(x,y(x))d_x+Q(x,y(x))y'(x)d_x L:y=y(x)abP(x,y(x))dx+Q(x,y(x))y(x)dx

    例题

    ∫ L ( x 2 − y 2 ) d x \int_L (x^2 - y^2) d_x L(x2y2)dx其中L是 y = x 2 y = x^2 y=x2从点(0,0)到(2,4)的一段弧

    解:化为X形区域可得:

    = ∫ 0 2 ( x 2 − ( x 2 ) 2 ) d x =\int_0^2 (x^2 - (x^2)^2) d_x =02(x2(x2)2)dx

    = − 56 15 = - \frac{56}{15} =1556

    格林公式

    在这里插入图片描述

    要使用格林公式要满足一下三点:

    1. 积分区域封闭
    2. 正向
    3. D内 φ Q φ x , φ P φ y \frac{\varphi Q}{\varphi x},\frac{\varphi P}{\varphi y} φxφQ,φyφP存在且连续

    例题

    计算 ∫ L ( e x sin ⁡ y − 2 y ) d x + ( e x cos ⁡ y − 2 ) d y \int_L (e^x \sin y - 2y)d_x + (e^x \cos y - 2)d_y L(exsiny2y)dx+(excosy2)dy其中L为:

    在这里插入图片描述

    其中L为原曲线,我们做一条辅助线L1 ,图中已标明方向

    L = { y = 0 0 ⩽ x ⩽ 2 a L = \begin{cases} y = 0 \\ 0 \leqslant x \leqslant 2a \end{cases} L={y=00x2a

    此时整个方程满足格林公式的要求

    ∫ L ( e x sin ⁡ y − 2 y ) d x + ( e x cos ⁡ y − 2 ) d y \int_L (e^x \sin y - 2y)d_x + (e^x \cos y - 2)d_y L(exsiny2y)dx+(excosy2)dy

    = ∬ D x o y ( e x cos ⁡ y − ( e x cos ⁡ y − 2 ) ) d x d y = \iint_{D_{xoy}} (e^{x}\cos y - (e^x \cos y -2))d_xd_y =Dxoy(excosy(excosy2))dxdy

    = 2 ∬ D x o y d x d y =2 \iint_{D_{xoy}}d_xd_y =2Dxoydxdy

    = 2 ∗ 1 2 π a 2 =2 * \frac{1}{2} \pi a^2 =221πa2

    = π a 2 = \pi a^2 =πa2

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  • 【数学】第二曲线积分

    千次阅读 2019-05-14 21:28:45
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    先从一个物理概念入手,有一个质点受如下的变力作用:

    \overrightarrow{F}(x,y)=(P(x,y),Q(x,y))其中P(x,y)为该力x方向上的分量,Q(x,y)为该力y方向上的分量。

    该力F沿曲线L从A到B一共做了多少功呢?我们使用积分求解的典型步骤来完成求解:

     

    第一步:分割计算微元,特点是计算的微元必须是分段的,因为连续性,会有统一的方程

    将AB分割成n份,则\overrightarrow{M_{i-1}M{i}}=\Delta x_{i}\vec{i}+\Delta y_{i}\vec{j}

    [M_(i-1), M_i]中取任意一点(\xi _i, \eta _i)该段的作用力则:

    \vec{F}(\xi _i,\eta _i)=P(\xi _i,\eta _i)\vec{i}+Q(\xi _i,\eta _i)\vec{j}

    在该区间内的功,近似\Delta W_i\approx \vec{F}(\xi _i, \eta _i)\overrightarrow{M_{i-1}M_i}\approx P(\xi _i,\eta _j)\Delta x_i+Q(\xi _i,\eta _j)\Delta y_i

    第二步:求和

    W=\sum _{i=1}^{n}\Delta W_i\approx \sum _{i=1}^{n}\vec{F}(\xi _i,\eta _i)\overrightarrow{M_{i-1}M_i}\approx \sum _{i=1}^{n}[P(\xi _i,\eta _i)\Delta x_i+Q(\xi _i,\eta _i)\Delta y_i]

    第三步:取极限

    [M_(i-1), M_i]的最大间隔为\lambda

    W=\lim_{\lambda \to 0} \sum _{i=1}^{n}\vec{F}(\xi _i,\eta _i)\overrightarrow{M_{i-1}M_i}\approx=\lim_{\lambda \to 0}\sum _{i=1}^{n}[P(\xi _i,\eta _i)\Delta x_i+Q(\xi _i,\eta _i)\Delta y_i] 注意这里得到的是精确值。

    则引出第二型曲线积分:

    W=\int_{L} \vec{F}(x,y)d\vec{r} 该形式为向量形式

    W=\int_{L} [P(x,y)dx + Q(x,y)dy]该形式为坐标形式

    【一二型曲线积分的差别】

    第一型积分:

    数量函数\rho (x,y)对弧长的积分,与方向无关。化为定积分时,下限总是小于上限。

    第二型积分:

    向量函数\vec{F}(x,y)对坐标的积分之和,与积分的方向有关。

     

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空空如也

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