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  • 层次分析与一致性检验

    万次阅读 2020-12-20 17:19:25
    目录1、层次分析法的基本步骤1.1、建立层次结构模型1.2、构造判断(成对比较)矩阵1.3、层次排序一致性检验1.4、 层次总排序及其一致性检验2、总结:层次分析法的4步3、实例:去哪儿旅游5、为什么层次分析法要进行...

    1、层次分析法的基本步骤

    参考:https://zhuanlan.zhihu.com/p/38207837

    1.1、建立层次结构模型

    将决策的目标、考虑的因素(决策准则)和决策对象按他们之间的相互关系分成最高层、中间层和最低层,绘制层次结构图。

    • 最高层(目标层):决策的目的、要解决的问题;
    • 中间层(准则层或指标层):考虑的因素、决策的准则;
    • 最低层(方案层):决策时的备选方案;

    下面以选择旅游地为例进行分析:
    在这里插入图片描述

    1.2、构造判断(成对比较)矩阵

    那在确定各层次各因素之间的权重时,如果只是定性的结果(就是我认为景色占80%,费用10%等等),则常常不容易被别人接受,因此Santy等人提出:一致矩阵法

    即:

    • 不把所有因素放在一起比较,而是两两比较;
    • 对此时采用相对尺度,以尽可能减少性质不同的诸因素相互比较的困难,以提高准去性;

    成对比较矩阵是表示本层所有因素针对上一层某一个因素(准侧或目标)的相对重要性的比较。成对比较矩阵的元素 aij表示的是第i个因素相对于第j个因素的比较结果,这个值使用的是Santy的1-9标度方法给出。
    在这里插入图片描述那比如,举上面的旅游的例子,在旅游问题中第二层A的各个因素对目标层Z的影响两两比较的结果如下图:
    第二层个因素对第一层的影响的对比矩阵
    比如 a14=3 则表示的是景色因素比居住因素对于选择旅游地来说稍微重要。

    那两两进行比较以后,怎么才能知道,下层各因素对上层某因素的影响程度的排序结果呢?

    1.3、层次单排序及一致性检验

    层次单排序:W的元素为同一层次因素对于上一层次因素某因素相对重要性的排序权值,这一过程称为层次单排序,那能否确认层次单排序,需要进行一致性检验,所谓一致性检验是指对成对比较矩阵确定不一致的允许范围。

    一致性的直观显示如下图:在这里插入图片描述在这里插入图片描述在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述在这里插入图片描述如果成对比较矩阵属于可接受的一致性或者是一致性矩阵,那么就可以使用这种方式来近似的计算层次单排序权重,也就是同一层次的每个因素对于上一层次因素某因素相对重要性的排序权值。

    比如对于"一致性检验以及求得权重"这个图,权向量中有5个元素,那每一个元素代表的是每一个因素对上一层的因素的权重,比如说第一个值为0.263,那这代表的含义就是景色对于选择旅游地的重要性为0.263。

    1.4、 层次总排序及其一致性检验

    计算某一层次所有因素对于最高层(总目标)相对重要性的权值,称为层次总排序。

    这一过程是从最高层到最低层次依次进行的。
    在这里插入图片描述在这里插入图片描述在这里插入图片描述在这里插入图片描述在这里插入图片描述

    2、总结:层次分析法的4步

    1. 建立层次结构模型:该结构图包括目标层,准则层,方案层;

    2. 构造成对比较矩阵:从第二层开始用成对比较矩阵和1~9尺度;

    3. 计算单排序权向量并做一致性检验:对每个成对比较矩阵计算最大特征值及其对应的特征向量,利用一致性指标、随机一致性指标和一致性比率做一致性检验。若检验通过,特征向量(归一化后)即为权向量;若不通过,需要重新构造成对比较矩阵;

    4. 计算总排序权向量并做一致性检验:计算最下层对最上层总排序的权向量。
      利用总排序一致性比率
      在这里插入图片描述
      进行检验,若通过,则可按照总排序权向量表示的结果进行决策,否则需要重新考虑模型或重新构造那些一致性比率CR较大的成对比较矩阵。

    3、实例:去哪儿旅游

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    计算单排序权向量:
    在这里插入图片描述
    计算总排序权向量以及进行一致性检验:
    在这里插入图片描述选择最终的决策方案:
    在这里插入图片描述

    5、为什么层次分析法要进行一致性检验?

    防止矛盾:例如A比B重要,B比C重要,但是C又比A重要,这就形成一个“闭合环”,是矛盾的!

    在这里插入图片描述参考:https://www.zhihu.com/question/325242753/answer/689833040,

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    以下内容整理来自B站UP主:数学建模学习交流

    层次分析法(The Analytic Hierarchy ProcessAHP)是由美国运筹学家、 匹兹堡大学教授T . L. Saaty于20世纪70年代创立的一种系统分析与决策的综合 评价方法,是在充分研究了人类思维过程的基础上提出来的,它较合理地解决了定性问题定量化的处理过程。

    AHP的主要特点是通过建立递阶层次结构,把人类的判断转化到若干因素两两之间重要度的比较上,从而把难于量化的定性判断转化为可操作的重要度的比较上面。在许多情况下,决策者可以直接使用AHP进行决策,极大地提高了决策的有效性、可靠性和可行性,但其本质是一种思维方式,它把复杂问题分解成多个组成因素,又将这些因素按支配关系分别形成递阶层次结构,通过两两比较的方法确定决策方案相对重要度的总排序。整个过程体 现了人类决策思维的基本特征,即分解、判断、综合,克服了其他方法回避决策者主观判断的缺点。

    具体代码实现部分请见博客评价类模型——层次分析法,一致性检验学习笔记,matlab代码实现(二) 

    层次分析

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  • 层次分析法判断矩阵求权值以及一致性检验程序function [w,CR]=mycom(A,m,RI)[x,lumda]=eig(A);r=abs(sum(lumda));n=find(r==max(r));max_lumda_A=lumda(n,n);max_x_A=x(:,n);w=A/sum(A);CR=(max_lumda_A-m)/(m-1)/RI...

    层次分析法判断矩阵求权值以及一致性检验程序

    function [w,CR]=mycom(A,m,RI)

    [x,lumda]=eig(A);

    r=abs(sum(lumda));

    n=find(r==max(r));

    max_lumda_A=lumda(n,n);

    max_x_A=x(:,n);

    w=A/sum(A);

    CR=(max_lumda_A-m)/(m-1)/RI;

    end

    本matlab程序用于层次分析法中计算判断矩阵给出的权值已经进行一致性检验。

    其中A为判断矩阵,不同的标度和评定A将不同。

    m为A的维数

    RI为判断矩阵的平均随机一致性指标:根据m的不同值不同。

    RI值

    指标数123456789RI000.580.91.121.241.381.411.46

    当CR<0.1时 符合一致性检验,判断矩阵构造合理。

    下面是层次分析法的简介,以及判断矩阵构造方法。

    一.层次分析法的含义

    层次分析法(The analytic hierarchy process)简称AHP,在20世纪70年代中期由美国运筹学家托马斯·塞蒂(T.L.Saaty)正式提出。它是一种定性和定量相结合的、系统化、层次化的分析方法。由于它在处理复杂的决策问题上的实用性和有效性,很快在世界范围得到重视。它的应用已遍及经济计划和管理、能源政策和分配、行为科学、军事指挥、运输、农业、教育、人才、医疗和环境等领域。

    层次分析法的基本思路与人对一个复杂的决策问题的思维、判断过程大体上是一样的。层次分析法是将决策问题按总目标、各层子目标、评价准则直至具体的备投方案的顺序分解为不同的层次结构,然后得用求解判断矩阵特征向量的办法,求得每一层次的各元素对上一层次某元素的优先权重,最后再加权和的方法递阶归并各备择方案对总目标的最终权重,此最终权重最大者即为最优方案。这里所谓“优先权重”是一种相对的量度,它表明各备择方案在某一特点的评价准则或子目标,标下优越程度的相对量度,以及各子目标对上一层目标而言重要程度的相对量度。层次分析法比较适合于具有分层交错评价指标的目标系统,而且目标值又难于定量描述的决策问题。其用法是构造判断矩阵,求出其最大特征值。及其所对应的特征向量W,归一化后,即为某一层次指标对于上一层次某相关指标的相对重要性权值。建立系统的递阶层次结构;

    构造两两比较判断矩阵;(正互反矩阵)

    针对某一个标准,计算各备选元素的权重;

    计算当前一层元素关于总目标的排序权重。

    进行一致性检验。 模糊综合评价法是一种基于模糊数学的综合评标方法。该综合评价法根据模糊数学的隶属度理论把定性评价转化为定量评价,即用模糊数学对受到多种因素制约的事物或对象做出一个总体的评价。它具有结果清晰,系统性强的特点,能较好地解决模糊的、难以量化的问题,适合各种非确定性问题的解决。…,Bn之间的相对重要性为:Bi与Bj的相对重要性为Bij, Bij,通常为1-9标度,此时Bij,取1,2,。。。,9及其倒数,1-9标度的含义为:

    表5-17 标度含义

    定义(Bij )标度Bi因素比Bj因素一样重要1Bi因素比Bj因素稍微重要3Bi因素比Bj因素明显重要5Bi因素比Bj因素重要得多7Bi因素比Bj因素极端重要9Bi因素比Bj因素重要性在两个判断尺度中间2,4,6,8

    判断矩阵的形式表示见表5-18

    表5-18 判断矩阵

    AkB1 B2 … Bj … BjB1

    B2

    BnB11 B12 … B1j … B1m

    B21 B22 … B2j … B1m

    …. …. … … … …

    Bn1 Bn2 … Bnj … Bnm②计算权重根据判断矩阵,先计算出判断矩阵的特征向量W,然后经过归一化处理,使其满足

    ∑W=1,即可求出Bi对于Ak的相对重要程度,即权重。

    A 计算判断矩阵B每一行数值的乘积Mi,并计算其n次方根:

    (5-8)

    B、计算的权数

    (5-9)

    C、计算判断矩阵的最大特征根

    (5-10)

    ③判断矩阵的一致性检验

    在评价过程中,评价者是不可能对所有因素的数值进行精确判断的,根据会存在误差,这就会导致判断矩阵的特征值会产生偏差。在构造判断矩阵时,并不要求判断具有完全一致性,但是要求判断具有大体的一致性却是必须的,否则将无法进行分析。因此,在求出最大特征根λmax后,还要进行一致性检验。

    计算一致性指标CI

    CI=(λmax-n)/(n-1) (4-11)

    当λmax稍大

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层次总排序的一致性检验

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