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    算数平均数、中位数、众数和几何平均数

    统计数据时经常用到的几种数的比较:

    算数平均数中位数众数几何平均数
    英文名Arithmetic meanMedianModeGeometric Mean
    别称均值中值
    定义n个变量的和除以n。中位数是按顺序排列的一组数据中居于中间位置的数,即在这组数据中,有一半的数据比他大,有一半的数据比他小。一组数据中,出现次数最多的数就叫这组数据的众数。几何平均数是n个变量值连乘积的n次方根。
    优点只需要知道变量组的总额,不需要知道每个变量值,就可以计算。不容易受极大值和极小值影响。数据项没有数值时也可以计算。不容易受极大值和极小值影响。
    缺点容易受极大值或极小值影响。需要知道每个变量的值,并且先排序,再找出中位数。需要知道每个变量出现的次数,仅适用于计算Top N的情况。变量值不能为0或负数,仅适用于具有等比或近似等比关系的数据。

    考虑上算数平均数和几何平均数的数据项采用不同的权重,就是加权算数平均数和加权几何平均数。

    在统计一般的“平均数”时,比如统计平均工资、平均房价时,用中位数比算数平均数更合理,可以避免受极大值或极小值影响。但是在实际中,考虑到统计成本,统计的样本比较小,统计数据缺失,统计对象的有意漏报错报,而算数平均数因为计算简单对数据要求不高,仍然被广泛使用。

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  • 上课第一课时众数、中位数、平均数与样本频率分布直方图关系.ppt
  • 上课第一课时-众数、中位数、平均数与样本频率分布直方图关系.ppt
  • 个人理解,说简单点: 一组数据中如果有特别大的数或特别小的数时,一般用中位数 一组数据比较多(20个以上),范围比较集中,一般用众数 ... 1、平均数是通过计算得到的,因此它会因每一个数据的变化而变...

    原文链接:http://www.360doc.com/content/18/0717/09/57858800_771067787.shtml

    个人理解,说简单点:
    一组数据中如果有特别大的数或特别小的数时,一般用中位数
    一组数据比较多(20个以上),范围比较集中,一般用众数
    其余情况一般还是平均数比较精确

    一、联系与区别:

      1、平均数是通过计算得到的,因此它会因每一个数据的变化而变化。

      2、中位数是通过排序得到的,它不受最大、最小两个极端数值的影响.中位数在一定程度上综合了平均数和中位数的优点,具有比较好的代表性。部分数据的变动对中位数没有影响,当一组数据中的个别数据变动较大时,常用它来描述这组数据的集中趋势。另外,因中位数在一组数据的数值排序中处中间的位置,

      3、众数也是数据的一种代表数,反映了一组数据的集中程度.日常生活中诸如“最佳”、“最受欢迎”、“最满意”等,都与众数有关系,它反映了一种最普遍的倾向.

    二、平均数、中位数和众数它们都有各自的的优缺点.

    平均数:
    (1)需要全组所有数据来计算;
    (2)易受数据中极端数值的影响.

    中位数:
    (1)仅需把数据按顺序排列后即可确定;
    (2)不易受数据中极端数值的影响.

    众数:
    (1)通过计数得到;
    (2)不易受数据中极端数值的影响

    关于“中位数、众数、平均数”这三个知识点的理解,我简单谈谈自己的认识和理解。
    ⒈众数。
    一组数据中出现次数最多的那个数据,叫做这组数据的众数。
    ⒉众数的特点。
    ①众数在一组数据中出现的次数最多;②众数反映了一组数据的集中趋势,当众数出现的次数越多,它就越能代表这组数据的整体状况,并且它能比较直观地了解到一组数据的大致情况。但是,当一组数据大小不同,差异又很大时,就很难判断众数的准确值了。此外,当一组数据的那个众数出现的次数不具明显优势时,用它来反映一组数据的典型水平是不大可靠的。
    3.众数与平均数的区别。
    众数表示一组数据中出现次数最多的那个数据;平均数是一组数据中表示平均每份的数量。
    4.中位数的概念。
    一组数据按大小顺序排列,位于最中间的一个数据(当有偶数个数据时,为最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数。
    5.众数、中位数及平均数的求法。
    ①众数由所给数据可直接求出;②求中位数时,首先要先排序(从小到大或从大到小),然后根据数据的个数,当数据为奇数个时,最中间的一个数就是中位数;当数据为偶数个时,最中间两个数的平均数就是中位数。③求平均数时,就用各数据的总和除以数据的个数,得数就是这组数据的平均数。
    6.中位数与众数的特点。
    ⑴中位数是一组数据中唯一的,可能是这组数据中的数据,也可能不是这组数据中的数据;
    ⑵求中位数时,先将数据有小到大顺序排列,若这组数据是奇数个,则中间的数据是中位数;若这组数据是偶数个时,则中间的两个数据的平均数是中位数;
    ⑶中位数的单位与数据的单位相同;
    ⑷众数考察的是一组数据中出现的频数;
    ⑸众数的大小只与这组数的个别数据有关,它一定是一组数据中的某个数据,其单位与数据的单位相同;
    (6)众数可能是一个或多个甚至没有;
    (7)平均数、众数和中位数都是描述一组数据集中趋势的量。
    7.平均数、中位数与众数的异同:
    ⑴平均数、众数和中位数都是描述一组数据集中趋势的量;
    ⑵平均数、众数和中位数都有单位;
    ⑶平均数反映一组数据的平均水平,与这组数据中的每个数都有关系,所以最为重要,应用最广;
    ⑷中位数不受个别偏大或偏小数据的影响;
    ⑸众数与各组数据出现的频数有关,不受个别数据的影响,有时是我们最为关心的数据。
    8.统计量。
    平均数、众数和中位数都叫统计量,它们在统计中,有着广泛的应用。
    9.举手表决法。
    在生活中,往往会有由多数人来从众多答案中选择一个的情形,一般都利用“举手表决”方式来解决问题。即在统计出所有提议及相应票数的情况下,看各票数的众数是否超过总票数的一半,如果众数超过了总票数的一半,选择的最终答案就是这个众数。如果出现了双众数(两个众数),可对这两个众数采用抓阄、抽签或投掷硬币等办法选出最终的答案。
    10.平均数、众数和中位数三种统计数据在生活中的意义。
    平均数说明的是整体的平均水平;众数说明的是生活中的多数情况;中位数说明的是生活中的中等水平。
    11.如何通过平均数、众数和中位数对表面现象到背景材料进行客观分析。
    在个别的数据过大或过小的情况下,“平均数”代表数据整体水平是有局限性的,也就是说个别极端数据是会对平均数产生较大的影响的,而对众数和中位数的影响则不那么明显。所以,这时要用众数活中位数来代表整体数据更合适。即:如果在一组相差较大的数据中,用中位数或众数作为表示这组数据特征的统计量往往更有意义。

    算数平均数、中位数与众数——统计量背后的故事

    现代经济社会的数字化程度越来越高,我们会发现在我们生活的这个世界里充斥着各种各样的数字。人们在描述事物或过程时,人们也已经习惯性的偏好于接受数字信息以及对于各种数字的整理和分析。因此,社会经济统计越发的重要。统计学一定是基于现实经济社会发展的需要牵引而不断发展的。在运用统计方法、观察统计数字时不能仅仅看到数字,更要看到数字背后的故事。其实统计学作为一门工具能够帮助我们更为深刻的理解抽象的社会经济现象。当我们仔细发掘其中涵义就会发现,其实自然科学与社会科学并不是相隔千里,它们有着很多地方可以相互的对应,存在普遍而深刻的联系。
    笔者曾在为一些本科学生讲授统计学而准备教案时,产生了一些似乎有些勉强,但的确可以训练思维的想法。下面以对于如何理解“算数平均数、中位数与众数”之间的关系为例说一说统计量背后的故事。这三个统计量都是用来描述样本集中趋势的,但三者描述的机制和所表达出来的内涵有不小的区别。算数平均数这样一个统计量反映了样本内所有个体的信息,尽管反映的程度因个体在整体中所占比重不同而不同。在政治过程中,算数平均数与完全的平均主义、严格的每人一票、“全民公投”等相对应。中位数指的在是从小到大排序之后的样本序列中,位于中间的数值,它并不能反映所有样本个体的信息,仅仅考虑的是在相对位置上中间的样本的信息。在一个社会中,按照财富和社会地位进行排序位于中间位置的是中产阶级。中产阶级的意见受到重视的社会是一个较为稳定的社会,是一个有了较高发展程度的社会。众数指的则是在样本中出现次数做多的个体。很明显,在政治过程中这是与“少数服从多数”相对应的。出现次数最多的个体信息被表达出来,其他个体的所有信息完全被忽视。那个个体票数最多,它的利益得以实现,而少数人的利益则不能够得到保证。这恰恰证明了所谓民主的局限之一,即“多数人对少数人的暴政”。
    在一个社会里,完全的平均主义会使人们失去进取的动力,“全民公投”的成本极高并且也不能保证个体表达出其真实意愿,因此这并不是理想的政治过程。在改革开放之前实行的计划经济体制最终走下了历史舞台也正是因为我们清楚地认识到了这样的问题;我们反对台湾当局针对台湾是否独立实行“全民公投”也正是基于这一点。那么美国式的民主,即“少数服从多数”是否理想呢?民主是有局限性的,如此的政治过程不能够保护少数人的利益,正是其重要的缺陷之一。况且如果需要政府来保障那些不能通过政治过程实现自身利益的个体,成本极高。相对而言,使中产阶级的利益得以表达,将会形成一个稳定的社会结构,市较为理想的政治过程。人们会有不断进取的心态使自己成为中产阶级,同时最富裕的阶层也受到了一定限制,从而不会凭借其财富垄断社会的公共资源,为整个社会提供了一套阶层之间相互流动的渠道和机制。当然,如此的政治过程仍然是具有一定局限性的。比如仍然会有部分弱势群体的利益得不到保护。但是,相对于“少数服从多数”的政治过程,政府出面保护弱势群体的成本将低得多了。那么我们能不能为社会提供一个最为理想的政治过程呢,哪怕那仅仅是一种理想呢?或许可以。在统计学中,最理想的情况是反映集中趋势的三个统计量相互重合,即算数平均数、中位数和众数相等。这种情况下的社会结构分布可以被看作为正态分布。中产阶级的在数量上占整体的多数,即为富裕与极贫困者皆为少数;中产阶级通过民主的政治过程表达出自身的利益取向;平均看来整个社会在一个较高的发展水平上运行。

    教参上说了他们三者的联系

    “重视理解平均数、中位数与众数的联系与区别。
    描述一组数据的集中趋势,可以用平均数、中位数和众数,它们有各自不同的特点。
    平均数应用最为广泛,用它作为一组数据的代表,比较可靠和稳定,它与这组数据中的每一个数据都有关系,能够最为充分地反映这组数据所包含的信息,在进行统计推断时有重要的作用;但容易受到极端数据的影响。
    中位数在一组数据的数值排序中处于中间的位置,故其在统计学分析中也常常扮演着“分水岭”的角色,人们由中位数可以对事物的大体趋势进行判断和掌控。
    众数着眼于对各数据出现的频数的考察,其大小仅与一组数据中的部分数据有关,当一组数据中有不少数据多次重复出现时,它的众数往往是我们关心的一种统计量。
    在这部分知识的教学中,要注意讲清上述三个量的联系与区别。使学生知道它们都是描述一组数据集中趋势的统计量,但描述的角度和适用范围有所不同,在具体的问题中究竟采用哪种统计量来描述一组数据的集中趋势,要根据数据的特点及我们所关心的问题来确定。”

    有个顺口溜 分析数据平中众,比较接近选平均,相差较大看中位,频数较大用众数;
       所有数据定平均,个数去除数据和,即可得到平均数;大小排列知中位;
       整理数据顺次排,单个数据取中问,双个数据两平均;频数最大是众数

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  • 中位众数和均值的关系

    万次阅读 2016-01-23 16:35:44
    中位众数和均值都是描述数据集中趋势的统计量,他们各有特点。例如,对于某种商品的各种售价,中位处在中间的价格,大于和小于中位的价格各为一半;...当数据为单峰的对称分布时,其中位数、众数与

    中位数、众数和均值都是描述数据集中趋势的统计量,他们各有特点。例如,对于某种商品的各种售价,中位数处在中间的价格,大于和小于中位数的价格各为一半;众数为众多价格中出现频数最多的那个价格;而均值在大部分情况下,数值上不会等于其中的任何一个价格,但是将所有的价格都放在数轴上,均值刚好位于平衡点,即在所有价格的重心上,该点两侧的力矩是相等的,恰好使数轴保持平衡。

    当数据为单峰的对称分布时,其中位数、众数与均值是相同的。但如果是单峰的偏态分布,则在均值的两侧,数据的个数不同。显然,中位数在数据个数较多的一侧;由于均值位于平衡点,两侧的力矩相等,则数据个数较多的一侧,每个点相对于均值的力矩(即距离)要小一些。也就是说,数据较多的一侧分布在较小的区间里,更容易出现频数较大的数据(众数)。所以中位数和众数会出现在均值的同侧。

    下面利用皮尔森(K.Pearson)经验公式给出更加准确的关系描述。

    中位数(median)一般介于均值(mean)和众数(mode)之间,且众数近似地等于3倍的中位数减去2倍的均值,即

    mode = 3 median - 2 mean

    还可以进一步得到如下两个公式。

    *将等式两端同时减去mean,得到

    mode - mean = 3(median - mean)

    这说明众数与均值的距离约等于中位数与均值距离的3倍。

    *将等式两端同时减去median,得到

    mode - median = 2(median - mean)

    这说明众数与中位数的距离约等于中位数与均值距离的2倍.

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  • 本文内容 平均数 中位数 众数 参考资料 演示 最近大 BOSS“迷上”了一个网络游戏(什么游戏就不多说啦~),让我写个程序帮他算一下(现在他让另一个同事写了,我要改 bug 没时间,所以,我主要是没事时“凑热闹”提...

    本文内容

    • 平均数
    • 中位数
    • 众数
    • 参考资料
    • 演示

    最近大 BOSS“迷上”了一个网络游戏(什么游戏就不多说啦~),让我写个程序帮他算一下(现在他让另一个同事写了,我要改 bug 没时间,所以,我主要是没事时“凑热闹”提点想法)。期间,发现这个游戏一定是基于某个数学模型,于是在网上找了一个 VaR 模型,虽然现在觉得正态分布更合适。 VaR 模型最初是 J.P Morgan 用来预测金融风险的数学模型,现在有很多改进型。我对里边使用的一些统计名词有些模糊,就找资料回忆了一下,毕竟我不是学统计学的,虽然知道点,但认识得不深、不系统。

    本文主要说明平均数、中位数和众数,以及它们之间的关系,这三种的目的类似,都是为了反应一组数据的一般情况(代表性),只是适用的场景不同。我们对平均数很熟悉,但它并不是“万能的”,若数据中出现极大或极小值,则平均数受到的影响很大,而中位数则不会。这也就是为什么,早先一些娱乐节目,台下的评委评分后,主持人会去掉一个最小分数和一个最大分数,再取平均数的原因。或是,上学时,老师对成绩差的学生会特别“愤怒”,常说“你拉下了全班的成绩”、“拖了大家的后退~”。

    平均数


    平均数(Mean),或均值是统计中的一个重要概念。是集中趋势的最常用测度值,目的是确定一组数据的均衡点。这里的平均数是指算术平均数,即一组数据的和除以这组数据的个数所得的平均值,也叫算术平均值。

    计算

    平均数的计算公式为:

    clip_image002

    在统计中,算术平均数常用于表示统计对象的一般水平,描述数据集中程度的一个量。我们既可以用它来反映一组数据的一般情况,也可以用它进行不同组数据的比较,以便看出组与组之间的差别。用平均数可以直观、简明地表示一组数据的情况,所以日常生活中经常用到,如中小学学生的平均身高,由于生活条件的改善,现在孩子的身高肯定比80年代要高;平均成绩,这个一定不陌生,上学时,老师对成绩差的学生会特别“愤怒”,常说“你拉下了全班的成绩”、“拖了大家的后退~”。

    统计学上,算术平均数较中位数、众数更少地受到随机因素影响,但缺点是它更容易受到极端值影响。

    除了算术平均数,还有几何平均数、调和平均数、平方平均数、移动平均数等。

    算术平均数用于数值型数据,不能用于分类数据和顺序数据。

    示例

    若有包含 7 个数值的数组 clip_image002[4],则算术平均数为 24.7。

    若有包含 8 个数值的数组 clip_image002[6],则算术平均数为 25.7。

    平均数很简单,但引出它主要是为了跟后面的中位数和众数进行比较。

    中位数


    中位数(Medians)是一个统计学的专有名词,代表一个样本、种群或概率分布中的一个数值,可以将数值集合划分为相等的两部分,即,若设连续随机变量 X 的分布函数为 F(X),那么满足条件 F(X)=1/2 ,称为 X 或分布 F 的中位数。中位数是用来衡量集中趋势的方法。对于一个有限的、有序的数集,位于中间位置的那个数值就是中位数,用 Me 表示。

    “中位数”中的“位”,即“位置”,看后“意义”小节,你会理解这段话的意思。

    计算

    若集合的项数为奇数,则处于中间位置的数据为中位数;若项数为偶数,则中位数为处于中间位置的两个数值的算术平均数。

    实数 clip_image002[8],按大小顺序(降序、升序都可)排列为 clip_image002[10] 。则实数数列 的中位数为 :

    clip_image002[12]

    示例

    若有包含7个数值的数组 clip_image002[14],按升序为 clip_image002[16],则中位数为 23。

    若有包含8个数值的数组 clip_image002[18],按升序为 clip_image002[20],则中位数为 (23+25)/2=24。

    意义——算术平均数与中位数

    中位数趋于数据集合的中间,是所有数据的代表值,它不受分布数列的极大或极小值影响,对极大极小值不敏感,一定程度上提高了中位数对分布数列的代表性。有些离散型变量的单项式数列,当次数分布偏态时,中位数的代表性会受到影响。

    中位数的作用与算术平均数相近,也是作为数据的代表值。在一个等差数列或一个正态分布数列中,中位数就等于算术平均数。

    在数列中出现了极端值的情况下,用中位数作为代表值比算术平均数更好。如果研究的目的是为了反映中间水平,应该用中位数。在统计数据的处理和分析时,可结合使用中位数。

    例如,有序组数 x=(200, 250, 300, 1000,2000),其平均数为 750,中位数为 300,因为一半比 300 多,另一个半比 300 少;若有序数组为 x=(200,250,300,500,1000),其平均数变为 450,但中位数还是 300。

    因此,平均数的变化较大。而中位数相对于平均数不太受极大极小值的影响。

    众数


    众数(Statistical Mode)是数据中出现频率最多的数。用众数代表一组数据,适合于数据量较多时使用,且众数不受极端数据的影响,并且求法简便。在一组数据中,如果个别数据有很大的变动,选择中位数表示这组数据的“集中趋势”就比较适合。

    当数值或被观察者没有明显次序(常发生于非数值性资料)时特别有用,由于可能无法良好定义算术平均数和中位数。例子:(苹果, 苹果, 香蕉, 橙, 橙, 橙, 桃) 的众数是“橙”。

    一组数据可能没有众数或有多个众数。在高斯分布(正态分布)中,众数位于峰值。

    众数主要用于分类数据,也可用于顺序数据和数值型数据。

    示例

    若有数组  (2, 2, 3, 3, 4),则其众数为 (2, 3);若数组为 (1, 2, 3, 4) ,则其没有众数。

    算术平均数、中位数和众数之间的关系


    平均数、中位数和众数三者之间,一个有趣的经验关系是:

    clip_image002[22]

    参考资料


    演示


    下载 Demo

    转载于:https://www.cnblogs.com/liuning8023/p/3523308.html

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  • 平均数 中位数 众数的实际意义

    千次阅读 2019-04-08 10:45:04
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  • 平均数的简单方法

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