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  • 数学符号的意义总结(未完待续)

    千次阅读 2017-07-31 20:11:11
    ~与。。。同阶无穷大(无穷小) ∝正比于 ξ,ɛ,ω,ϖ,η希腊字母,纯粹变量 ...⊄,⊅,⊈,⊉不包含于,不包含 ⊊,⊋真包含于,真包含 ∈属于 ¬否 ∃存在∀任意 ∧合取 ≜定义

    ~与。。。同阶无穷大(无穷小)
    ∝正比于
    ξ,ɛ,ω,ϖ,η希腊字母,纯粹的变量
    ∁余集
    ∫积分
    ,∑求和
    ⊕直和
    ⊗直积
    ∅空集
    ∩交集∪并集
    ⊂,⊆包含于⊃⊇包含
    ⊄,⊅,⊈,⊉不包含于,不包含
    ⊊,⊋真包含于,真包含
    ∈属于
    ¬否
    ∃存在∀任意
    ∧合取
    ≜定义

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  • 离散网格G包含于Z2Z2*提供了像素之间邻域关系。当且仅当(p,q)属于G时,pq是邻域关系。这篇文章我们将使用4邻域或者8邻域或者如图2所示六角形网格。不过请注意,下面描述算法适用于任何维度,任何尺寸...

    论文作者:Luc Vincent

    论文符号定义:
    图像I是离散平面Z2的有限矩形子集DI到离散灰度集的映射{0,1,…,N-1}。二进制图像I只能是0或者1这两个值中一个。在本文中,经常使用Z2来代替二进制离散集合。类似的,灰度图被看成函数或者映射。

    离散网格G包含于Z2Z2*提供了像素之间的邻域关系。当且仅当(p,q)属于G时,p和q是邻域关系。这篇文章我们将使用4邻域或者8邻域或者如图2所示的六角形网格。不过请注意,下面描述的算法适用于任何维度,任何尺寸的网格。

    在这里插入图片描述
    4邻域
    在这里插入图片描述
    8邻域
    在这里插入图片描述
    六角形

    在Z2上的G的距离dG:dG(p,q)表示为像素p到像素q穿过的网格边的最小数量。在4邻域中这被称作城区距离,在8邻域中这被称为棋盘距离。我们用NG§表示在网格G上p的邻域集合。

    在这里插入图片描述

    1 Reconstruction for binary images

    1.1 Defination in terms of connected components

    I 和 J 是同一个离散定义域 D 上的两个二值图像,使得J包含于I。
    从映射的角度看,这意味着对于任意的J§ = 1 有I§ = 1。J为标记图像,I为遮罩。定义I1,I2,…In为I的连通域。

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    我的理解是J是左图中深色部分,I是左图中浅色部分。两图交集为深色部分,在I中与两者交集有关联的有三个连通域,从标记到连通域的重构就是由两者的交集为种子,生长满其所在的连通域,
    这个概念非常简单,但却产生了一些很有趣的应用程序和扩展。

    1.2 Definition in terms of geodesic distance

    大部分时间描述重构的定义都是通过距离的概念。给定(mask)集合X,像素p和像素q之间的距离是集合X中包含的连接p与q的最短路径的长度。值得注意的是(Mask)X中的距离取决于所使用的连接类型。
    在这里插入图片描述
    1981年,Lantu ejoul和Beucher 在图像分析框架中引入了距离,它是几种形态学算子的基础。可以利用以下定义膨胀(腐蚀类似):

    在这里插入图片描述

    在这里插入图片描述
    腐蚀和膨胀(距离定义)
    曲面上两点间距离最短的线:geodesic

    在这里插入图片描述
    模拟种子点生长,膨胀再与MASK的交集。

    在Mask X内对集合Y执行连续的膨胀,与Y交集不为空的X的连通域将逐渐被填满。从而给出如下定义:

    在这里插入图片描述

    1.3 Grayscale reconstruction

    1.3.1 Definition using threshold superposition

    近几年来可知,至少在离散领域,在二值图像上的任何新增的变换都可以扩展到灰度图像上。所谓的扩展指的是:
    在这里插入图片描述
    (这一段我翻译太差)大体可以理解为越高的阈值的二值化区域是低阈值的子集。
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    灰度重构更贴近真实世界的图像处理,如何做出h-dome变换依赖于灰度重构。(h-dome方法是我看这篇文章的目的),这里需要加深理解。

    简单总结一下:
    论文中首先定义了4-邻域,8邻域和六角形邻域dG是p与q的最短距离,The elementary ball in distance dG is denoted BG , or simply BNG§是p的邻域
    其次定义了连通域,Let I1, I2, … , In be the connected components of I.I数字代表其连通域中的各个元素。

    在这里插入图片描述
    这是标记图像J到掩膜图像I的重构。
    第三段定义了最短距离的概念,并用距离的概念描述了基于腐蚀膨胀的重构操作。
    在这里插入图片描述
    距离运算。
    在这里插入图片描述
    Y为标记图像,Y包含于X,p是X中的点,求取p到Y的距离小于n的集合。

    二值图像重构定义:

    基于上面的距离概念给出了Y对X的重构

    在这里插入图片描述

    注意:
    在这里插入图片描述
    重构运算
    在这里插入图片描述
    距离运算

    在回顾了每个运算符代表的含义之后,再重新理解灰度重构的定义:

    首先为了将图像重构概念从二值扩展到灰度图像,引入了
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    它表示的是图像I中灰度值大于k的点的集合。

    T0(I)代表所有灰度值大于0的点的集合,以此类推。

    这些阈值将I分层,如下图所示:

    在这里插入图片描述
    这些集合之间满足如下的包含关系:
    在这里插入图片描述
    对于这个集合组中的每一个集合的运算仍满足上述包含关系:

    在这里插入图片描述
    那么对于二值图像来说,这个关系可以反应为:
    在这里插入图片描述
    Definition (grayscale reconstruction)

    J 和 I 是相同定义域上的两张灰度图像,以离散集合 {0,1,…,N-1} 获取两张图像的灰度值,并且J <= I。从 J 到 I 的灰度重建为:

    在这里插入图片描述
    下图说明了这种转换。 就像二进制重建提取标记的marker的那些相连的元素一样,灰度重建提取标记图像标记的marker的峰值。

    在这里插入图片描述

    还是不太明白,虽然单独拿出来的二值化重构很好理解,但灰度我无法去想像会怎样发展,那个max啥意思???最大的k???。按照概念一步一步模拟着推一下。

    在这里插入图片描述
    当阈值选择完毕之后,上方值为1,下方值为0,上图选择为全1图,无需重构。

    阈值向上增长:
    在这里插入图片描述
    f 图除了最右边一点值为0外全为1,g图为1的值与f重叠,g对f的重构无改变。

    阈值继续向上:

    在这里插入图片描述
    阈值将分为4部分,分别是1,0,1,0。此时g对f的重构为:
    在这里插入图片描述
    绿色部分为1,其余为0。

    阈值再往上:

    在这里插入图片描述
    阈值再往上:

    在这里插入图片描述
    阈值再往上:

    在这里插入图片描述
    阈值再往上:

    在这里插入图片描述

    阈值再往上:

    在这里插入图片描述

    没有种子点,无法膨胀,交集为0。

    这个max还是没理解,最大的p值???

    我是在二值图像中去理解它们的,如果带上本身的阈值呢?

    从第一张图像开始分析,

    第一张,f 全为1,g全1,本身阈值为f1。那么这一层的重构可以覆盖到全部,重构图的所有点全部赋予f1这个值。

    当阈值上升,到 f 的最小的极小值时,这是临界点,再往上种子点的重构无法覆盖到全图像,此时阈值为f2,那么此时最小值点为f2。在第一最小极值点和第二最小极值点之间,根据阈值保留有外轮廓。重构图应该为:

    在这里插入图片描述
    画的有点难看。

    阈值继续往上走:

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    当阈值全部遍历完之后即可得到论文的结果图。

    重点
    重点
    重点

    关键点是每一次重构时,两幅图像重构的结果图为1的点赋予这个阈值,其他点保持不变,如此便可计算出最后的结果了。。。

    到此概念阶段结束。
    论文中的应用实例在下篇博文。

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    《逻辑的引擎》阅读笔迹
    p27

    在英国,当布尔开始自己的工作时,人们以及渐渐认识到代数的力量来自于这样一个事实,即代表着量和运算的符号服从不多的几条基本规则或定律。这就暗示着,同样的力量也可适用于形形色色的对象和运算,只要它们也服从着其中某些同样的定律。

    yy=y.
    布尔对这个的理解简直神了。
    x(1-x)=0
    意思时:没有任何东可以既属于又不属于一个给定的类x

    p40

    也许可以认为数学极为系统地概况了极为复杂的逻辑推理,所以想要对一种以完备性味目标的逻辑理论进行最终的检验,就要看它是否包含了一切数学推理。

    p42

    乔治布尔的伟大成就是一劳永逸地证明了逻辑演绎可以成为数学的一个分支。尽管在亚里士多德的先驱工作之后,逻辑学上曾经有过某些发展,但布尔却发现这门学科本质上仍然是2000年亚里士多德之后的样子。布尔之后,数理逻辑就处于不断发展之中了。

    弗雷格的贡献极为重要。他提出了把普通数学中一切演绎推理都包含在内的第一个完备的逻辑体系,他用逻辑分析工具来研究语言的开拓性工作为哲学的主要发展提供了基础。

    弗雷格的《概念文字》。副标题为:一种模仿算术语言构造的纯思维的形式语言。弗雷格试图找到一个能够包含数学实践中全部演绎推理的逻辑系统。布尔曾经认为用于表示其他命题之间的关系的命题是二阶命题,在这里,弗雷格发现那些连接命题的关系也可以被用于分析命题的结构,他把这些关系充当了他逻辑的基

    础。
    出现了:
    所有的/
    存在一个/
    如果那么的推导/
    且/
    或/
    非/
    如上六种符号

    F(X)可以表示X是一个失败的学生
    S(X)表示X是糊涂的
    L(X)表示X是懒惰的
    L(X,Y)表示X爱Y

    康托尔不得不把无穷集当作完成了的整体来处理,并且对其进行复杂的运算。不久,他就把集合了发展成了一门独立的学科。
    康托尔也和莱布尼茨一样免了一个问题:或者谈论一个无限集中元素的数目是没有意义的,或者某些无限集与它的一个子集具有相同的元素数目。康托尔想要发展一种能够应用于无限集的关于数的理论,这种理论恰恰认为一个无限集将于它的一个部分拥有同样多的元素数目。

    后来,康托尔证明了实数集无法于自然数集之间建立一一对应,无限集至少有两种大小。代数数可以于自然数一一对应,但实数则不行。所以实数集和代数集是不同的。因此就必定存在一个实数不是代数数,于是它就是超越数。

    基数与序数。 基数是一二三,序数是第一、第二、第三。 基数用于指明某个集合中有多少东西,序数用于指明这些东西是如何以一定的次序排列的。

    p107

    在希尔伯特的新纲领种,数学与逻辑将通过一种纯形式的符号语言被发展处理。这样一种语言可以从内部和外部来看。从内部看,它就是数学,每一步演绎都可以完全弄清楚。但从外部看,它仅仅是许多公式和符号操作,它们可以在不考虑意义的情况下进行处理。这里的任务是要证明,从这种语言种导出的任何两个公式都不会彼此矛盾,或者等价的说,像1=0或0不等于0这样的公式是不可能导出的。

    p119

    维特根斯坦所关注的这些东西与希尔伯特的立场相当一致,它们都认为形式逻辑系统不仅可以在系统内部表达数学推理,而且还可以从系统外部用数学方法加以研究。

    p123

    希尔伯特期望这样一种证明:如果一个推理具有如下属性: 不论对公式中的字母做何种解释,只要其前提是真陈述,则它的结论就是真的。

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    开发者一直在寻找一种创建多行字符串的形式,但要使用单引号双引号字符串一定要在同一行才行。

    老办法:

    还有其他办法,虽然能实现,但是太啰嗦

     

    es6模板自变量

    使用反撇好(`)替换了单双引号

    反撇好中的所有空白都属于字符串,所以千万要小心缩进

     

    es6字符串占位符

    使用${ }符号组成,中间可以包含任意的js表达式,还可以进行运算,函数调用

     

    转载于:https://www.cnblogs.com/lichunjing/p/8298461.html

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