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  • 康托展开

    2019-08-05 11:16:27
    什么是康托展开? 就是关于全排列中某个排列的排名的问题 给出一个全排列,求出它是第几个全排列,这就叫康托展开 给出一个全排列的长度以及它的排名,让你求出这个全排列,这叫逆康托展开 (以上全排列都是从...

    康托展开

    什么是康托展开?

    就是关于全排列中某个排列的排名的问题

    1. 给出一个全排列,求出它是第几个全排列,这就叫康托展开
    2. 给出一个全排列的长度以及它的排名,让你求出这个全排列,这叫逆康托展开
      (以上全排列都是从1N1-N的排列,否则需要离散化一下,且排名指从小到大的排名)

    康托展开的核心—变进制数

    对于一个NN个数的排列

    1. 如果我们依次从左边到右边选择数字组成排列,那么每个位置可以选择的数字个数是确定的。比如第一个数有NN种选择,第二个数只有N1N-1种,第三......,...,, ... ,NN个数只有一种选择
    2. 如果我们可以把这些选择看做每个位置上的进制,对应的数字就是一个变进制数
    3. 那么我们如何得到一个能代表某个全排列的变进制数呢?

    N=5N=5为例,其中一个全排列是2,4,3,1,52,4,3,1,5

    1. 第一个数只有1,2,3,4,51,2,3,4,5可以选,所以22是排名第二的,将其赋值为1
    2. 第二个数只有1,3,4,51,3,4,5可以选,所以44是排名第三的,将其赋值为2
    3. 第三个数只有1,3,51,3,5可以选,所以33是排名第二的,将其赋值为1
    4. 第四个数只有1,51,5可以选,所以11是排名第一的,将其赋值为0
    5. 第五个数只有55可以选,所以55是排名第一的,将其赋值为0

    最后得到的变进制数就是 1210012100

    我们看到第ii位数的值就是aia_i减去左边比它小的数的数量再减去11(因为00也算一个数)

    显然我们可以将得到这个数的过程写成一段程序:

    //N表示全排列长度
    for(int i=1;i<=N;i++) {
        cin>>a[i];
        int x=a[i];
        for(int j=1;j<=a[i];j++) x-=used[j];
        //used[j]表示j是否用过(1用过,0没用)
        used[a[i]]=1;
        a[i]=x-1;
    }
    //下面给出树状数组加速版(线段树也行啦)
    for(int i=1; i<=N; ++i) {
        update(a[i]);//这里先把自己更新了,下面query的时候+1和-1就抵消掉了
        a[i]-=query(a[i]);
    }
    

    那它到底代表的排名是多少呢?我们只需要将这个变进制数转化为10进制即可

    转化过程:

    int ans=0; //其实多数时候需要long long以及取mod
    for(int i=1; i<N; ++i) ans=(ans+a[i])*(N-i); //最后的ans+1就是排名,因为要加上0的排名
    

    转化后的答案就是 3939
    这样,整个康托展开过程就结束了!也就几行代码啦。

    下面给出完整代码(一道模板题的AC代码):

    //#pragma comment(linker, "/STACK:102400000,102400000")
    #include "bits/stdc++.h"
    #define pb push_back
    #define ls l,m,now<<1
    #define rs m+1,r,now<<1|1
    #define hhh printf("hhh\n")
    #define see(x) (cerr<<(#x)<<'='<<(x)<<endl)
    using namespace std;
    typedef long long ll;
    typedef pair<int,int> pr;
    inline int read() {int x=0;char c=getchar();while(c<'0'||c>'9')c=getchar();while(c>='0'&&c<='9')x=x*10+c-'0',c=getchar();return x;}
    
    const int maxn = 1e6+10;
    const int mod = 998244353;
    const double eps = 1e-9;
    
    int a[maxn], p[maxn], N;
    void update(int x){while(x<=N){p[x]++;x+=x&-x;}}
    int query(int x){int sum=0;while(x){sum+=p[x];x-=x&-x;}return sum;}
    
    int main() {
    	//ios::sync_with_stdio(false);
        N=read();
        for(int i=1; i<=N; ++i) a[i]=read();
        for(int i=1; i<=N; ++i) {
            update(a[i]);
            a[i]-=query(a[i]);
        }
        ll ans=0;
        for(int i=1; i<N; ++i) ans=(ans+a[i])*(N-i)%mod;
        cout<<ans+1<<endl;
    }
    

    逆康托展开

    就是说你已经知道某全排列的长度以及它的排名,要你求出这个全排列

    1. 把这个排名转化为变进制数(细节后续补充)
    2. 再用求每位变进制数的逆过程即可求出这个全排列了(细节后续补充)
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  • 1. 本文主要讲述了应用计算机外板展开程序来设计和绘制船体肋骨型线图和外板展开图的方法The article mainly describes how to use computer shell-plating expansion program to design and draw ship hull molded ...

    1. 本文主要讲述了应用计算机外板展开程序来设计和绘制船体肋骨型线图和外板展开图的方法

    The article mainly describes how to use computer shell-plating expansion program to design and draw ship hull molded frame line and shell-plating expansion plan. The Generation of Ship Hull Form

    2. 本文主要介绍如何用Auto-lisp语言编程,将肋骨线型图中的构件线展开到外板图,以及将外板图中的板缝线返回到肋骨线型图。

    The paper deals with how to use the AUTO LISP program to turn the component lines on the line drawing to the shell expansion and feed the plate seam lines back to the lines.

    3. 计划(策划);外板展开图程序

    Shell expansion plan program

    4. 外板展开图上的板缝线自动返回到肋骨型线图;

    D shape. (2) automatic transference of the seam lines on the shell explansion plan to the frame plan;

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  • 内联函数inline 什么时候不展开   如果不是从源码编译的话,找不到实现就不展开了。 inline写在定义上而不是声明上,函数写头文件而不是源文件 增加程序体积,提高程序运行效率。空间换时间。一般很短的(10行内...

      最近去面试问到了,这里记录下


    内联函数inline 什么时候不展开

      如果不是从源码编译的话,找不到实现就不展开了。

    • inline写在定义上而不是声明上,函数写头文件而不是源文件
    • 增加程序体积,提高程序运行效率。空间换时间。一般很短的(10行内)函数用这个。
    • 减少函数调用的开销,预编译的时候把函数内容抄到被调用的地方。
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  • 这篇答案讲的不错 泰勒级数的展开涉及到一...那么,泰勒级数公式在不同的展开展开什么不同呢? 1,首先,不同的展开点,其与最近的奇点的距离d是不尽相同的,因此其收敛域是不同的。因为在收敛域之外,泰勒级...

    这篇答案讲的不错
    泰勒级数的展开涉及到一个收敛域 的问题。收敛域可以通过与展开点距离最近的奇点(不可求导点)的距离d来计算,其范围大概就是以展开点为中心,d为半径的圆内。若奇点为虚数,则收敛域则为复空间中以d为半径的球体所包含的区域。

    那么,泰勒级数公式在不同的展开点展开有什么不同呢?

    1,首先,不同的展开点,其与最近的奇点的距离d是不尽相同的,因此其收敛域是不同的。因为在收敛域之外,泰勒级数是发散的,无法对原函数进行预测,因此选择不同的展开点,对于预测的结果或者说对于可预测性是有影响的。
    2,不同的展开点,对于特定的预测任务所需要的计算复杂度不同。当需要估计的点位于收敛域内,且距离展开点较近时,所需要展开的级数就比较小。当需要估计的点位于收敛域外,泰勒级数将无法进行预测。当需要顾及的点位于收敛域内且距离展开点较远时,所需要的计算量就比较大。

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空空如也

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