线性代数005之行列式展开定理与零值定理 

1.余子式

 

2.代数余子式

余子式Mij乘(-1)^(i+j) 后成为aij的代数余子式，记为Aij，即



 

3.行列式按照某一行（列）展开的展开公式



例如：



 

泰勒公式和二项式展开定理的共同点
对于f(x)=(1+x)^n，采用泰勒展开法有：
f(x)=fk0(0)*(x)^0/0!+fk1(0)(x)^1/1!+fk2(0)(x)^2/2!...
其中fk0(0),fk1(0).. 分别代表fk(x)的k阶导数，并且传0代替k阶导数中的x,所以有：
fk0(0)=(1+0)^n
fk1(0)=n*(1+0)^(n-1)
fk2(0)=n*(n-1)*(1+0)^(n-2)
....
所以有f(x)=1^n*x^0/0!+1^(n-1)*x^1*n/1!+1^(n-2)*x^1*n*(n-1)/2!...
联系二项式公式，可以得到上面式子与二项式展开一样。

下面介绍6种行列式的展开方式：
(1) 设$A = ( a_{{ij}} )_{n \times n}$，则$a_{i1}A_{j1} +a_{i2}A_{j2} + \cdots + a_{{in}}A_{{jn}} = \begin{cases}|A|,i=j\\ 0,i \neq j\end{cases}$
或$a_{1i}A_{1j} + a_{2i}A_{2j} + \cdots + a_{{ni}}A_{{nj}} = \begin{cases}|A|,i=j\\ 0,i \neq j\end{cases}$即 $AA^{*} = A^{*}A = \left| A \right|E,$其中：$A^{*} = \begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} & \ldots & A_{1n} \\ A_{21} & A_{22} & \ldots & A_{2n} \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ A_{n1} & A_{n2} & \ldots & A_{{nn}} \\ \end{pmatrix} = (A_{{ji}}) = {(A_{{ij}})}^{T}$
$D_{n} = \begin{vmatrix} 1 & 1 & \ldots & 1 \\ x_{1} & x_{2} & \ldots & x_{n} \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ x_{1}^{n - 1} & x_{2}^{n - 1} & \ldots & x_{n}^{n - 1} \\ \end{vmatrix} = \prod_{1 \leq j < i \leq n}^{}\,(x_{i} - x_{j})$
(2) 设$A,B$为$n$阶方阵，则$\left| {AB} \right| = \left| A \right|\left| B \right| = \left| B \right|\left| A \right| = \left| {BA} \right|$，但$\left| A \pm B \right| = \left| A \right| \pm \left| B \right|$不一定成立。
(3) $\left| {kA} \right| = k^{n}\left| A \right|$,$A$为$n$阶方阵。
(4) 设$A$为$n$阶方阵，$|A^{T}| = |A|;|A^{- 1}| = |A|^{- 1}$（若$A$可逆），$|A^{*}| = |A|^{n - 1}$
$n \geq 2$
(5) $\left| \begin{matrix}  & {A\quad O} \\  & {O\quad B} \\ \end{matrix} \right| = \left| \begin{matrix}  & {A\quad C} \\  & {O\quad B} \\ \end{matrix} \right| = \left| \begin{matrix}  & {A\quad O} \\  & {C\quad B} \\ \end{matrix} \right| =| A||B|$，$A,B$为方阵，但$\left| \begin{matrix} {O} & A_{m \times m} \\  B_{n \times n} & { O} \\ \end{matrix} \right| = ({- 1)}^{{mn}}|A||B|$
(6) 范德蒙行列式$D_{n} = \begin{vmatrix} 1 & 1 & \ldots & 1 \\ x_{1} & x_{2} & \ldots & x_{n} \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ x_{1}^{n - 1} & x_{2}^{n 1} & \ldots & x_{n}^{n - 1} \\ \end{vmatrix} =  \prod_{1 \leq j < i \leq n}^{}\,(x_{i} - x_{j})$
设$A$是$n$阶方阵，$\lambda_{i}(i = 1,2\cdots,n)$是$A$的$n$个特征值，则

$|A| = \prod_{i = 1}^{n}\lambda_{i}$