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2021-01-02 14:16:14
下面介绍6种行列式的展开方式:
(1) 设 A = ( a i j ) n × n A = ( a_{ {ij}} )_{n \times n} A=
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在 n n n阶行列式中,去掉元素 a i j a_{ij} aij所在的第 i i i行、第 j j j列元素,由剩下的元素按原来的位置与顺序组成的 n − 1 n-1 n−1阶行列式称为元素 a i j a_{ij} aij的余子式,记作 M i j M_{ij} Mij
代数余子式
余子式 M i j M_{ij} Mij乘 ( − 1 ) j + j (-1)^{j+j} (−1)j+j后称为 a i j a_{ij} aij的代数余子式,记作 A i j A_{ij} Aij,即 A i j = ( − 1 ) i j M i j A_{ij}=(-1)^{ij}M_{ij} Aij=(−1)ijMij,显然也有 M i j = ( − 1 ) i j A i j M_{ij}=(-1)^{ij}A_{ij} Mij=(−1)ijAij
行列式按某一行(列)展开的展开公式
某行(列)元素分别乘该元素的代数余子式后再求和,即
∣ A ∣ = a i 1 A i 1 + a i 2 A i 2 + . . . + a i n A i n \lvert A \rvert = a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+...+a_{in}A_{in} ∣A∣=ai1Ai1+ai2Ai2+...+ainAin(列同理)
但是某行(列)元素分别乘另一行(列)元素的代数余子式后再求和,结果为零 -
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性质:
一.如果n阶行列式D中的第i行(列)所有元素除aij外都是零,那么D等于aij与它的代数余子式Aij的乘积,即D=aij*Aij。
二.行列式等于它的任一行(列)的各元素与其代数余子式的乘积之和。
三.行列式任一行(列)的元素与另一行(列)对应元素的代数余子式乘积之和等于0.
Cramer法则:只应用于n个未知数n个线性方程组
如果b1.....bn的值全为0,则行列式为齐次线性方程组。
性质:
一.当D不等于0时,齐次线性方程组没有非零解。
二.如果齐次线性方程组有非零解,则它的系数必为零。
如果b1.....bn的值不为0,则行列式为非齐次线性方程组。
性质:
一.当D不等于0时,一定有解,且解是唯一的。
二.如果非齐次线性方程组有多个解或无解,则它的系数必为零。
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