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  • 这里主要讨论母函数以及牛顿展开的证明。 考虑卡特兰数的递推,发现这是一个卷积 令f(x)f(x)f(x)为卡特兰数的生成函数 可以将递推表示为 f(x)=x∗f(x)2+1 f(x)=x*f(x)^2+1 f(x)=x∗f(x)2+1 解得 f(x)=1±1−4x...

    组合意义非常显然,经典的路径问题。这里主要讨论母函数以及牛顿展开的证明。

    考虑卡特兰数的递推式,发现这是一个卷积式
    f(x)f(x)为卡特兰数的生成函数
    可以将递推式表示为
    f(x)=xf(x)2+1 f(x)=x*f(x)^2+1
    解得
    f(x)=1±14x2x f(x)=\frac{1\pm\sqrt{1-4x}}{2x}
    ±\pm号怎么取?
    考虑x=0x=0的时候,取正号显然不合法(卡特兰数第一项)
    故卡特兰数的生成函数为
    f(x)=114x2x f(x)=\frac{1-\sqrt{1-4x}}{2x}
    14x\sqrt{1-4x}用牛顿二项式展开
    (14x)12=k=0(12k)(4x)k(1-4x)^{\frac{1}{2}}=\sum_{k=0}^\infty{\frac{1}{2} \choose k}(-4x)^k
    考虑把(12k){\frac{1}{2} \choose k}展开
    (12k)=(12)(12)(32)...(32k)k!=(1)k2kk!i=1k(2i3)i=1k(2i3)=(1)135...(2k3)=(1)(2k2)!246...(2k2)=(1)(2k2)!2k1(k1)! {\frac{1}{2} \choose k} = \frac{(\frac{1}{2})(-\frac{1}{2})(-\frac{3}{2})...(\frac{3}{2}-k)}{k!}\\ =\frac{(-1)^{k}}{2^k*k!}\prod_{i=1}^k(2i-3)\\ \prod_{i=1}^k(2i-3)=(-1)*1*3*5*...*(2k-3)\\ =\frac{(-1)*(2k-2)!}{2*4*6*...(2k-2)} =\frac{(-1)*(2k-2)!}{2^{k-1}*(k-1)!}
    带入原式,得到(这里忽略了k=0k=0的边界)
    1k=1(1)k1(2k2)!(4x)k22k1k!(k1)!=k=12(2k2)!k!(k1)!xk=k=12k(2k2k1)xk 1-\sum_{k=1}^\infty\frac{(-1)^{k-1}(2k-2)!(-4x)^k}{2^{2k-1}*k!*(k-1)!}\\ =\sum_{k=1}^\infty \frac{2*(2k-2)!}{k!(k-1)!}x^k\\ =\sum_{k=1}^\infty\frac{2}{k}{2k-2 \choose k-1}x^k
    最后除以2x2x(左移)
    得到
    f(x)=k1k+1(2kk)xk f(x)=\sum_k \frac{1}{k+1} {2k\choose k}x^k
    以上就是卡特兰数的推导过程

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  • 箭型行列式通项求解

    千次阅读 2020-03-02 14:48:57
    我们把诸如下图形式的行列称为箭型行列。箭型行列的特点是第一行和第一列均为1,而主对角线上的元素依次是递增的自然数。 对于箭型行列的求解,我们给出...代入初始值即可得到最终我们需要的通项公式 ...

    我们把诸如下图形式的行列式称为箭型行列式。箭型行列式的特点是第一行和第一列均为1,而主对角线上的元素依次是递增的自然数。
    在这里插入图片描述
    对于箭型行列式的求解,我们给出递推数列的方法。
    我们对行列式按第n行展开可以得到:
    在这里插入图片描述
    再次按第n列展开可以得到:
    在这里插入图片描述
    这时我们令在这里插入图片描述
    可以得到数列的递推公式如下:
    在这里插入图片描述
    根据数列一阶线性方程的公式:
    在这里插入图片描述
    代入初始值即可得到最终我们需要的通项公式
    在这里插入图片描述

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  • sinx的泰勒展开式

    万次阅读 2019-08-19 20:18:33
    最后以省略号结束,代表 “ 无穷 ”,需要求的就是 a0,a1,a2,…… 的值,准确地说就是通项公式。然后,我们就可以开始 “ 微分 ” 了,就是等式两边同时、不停地微分下去。左边的三角函数的微分,其实是四个一...

    sinx的泰勒展开式求解过程

    思路:
    sin x 可以如何 “ 展开 ”?写成式子就是:
    最后以省略号结束,代表 “ 无穷 ”,需要求的就是 a0,a1,a2,…… 的值,准确地说就是通项公式。然后,我们就可以开始 “ 微分 ” 了,就是等式两边同时、不停地微分下去。左边的三角函数的微分,其实是四个一循环的:sin x ➜ cos x ➜ - sin x ➜ - cos x,再回到 sin x……我们也会注意到,凡是把右边微分后,第一项(常数)就为 0 了,也就是可以直接忽略。
    在这里插入图片描述
    这样一来,等式左边在有规律地循环着,等式右边每次都减少一项。当然,x = 0 时等式也会成立,那将 x = 0 带入,将消去所有 x 指数大于 0 的项(都是 0 啊)。这样一来,就可以顺利求出 a0,a1,a2,……啦,sin 0、cos 0、- sin 0 和 - cos x 分别是 0、+1 、0、-1(显然的规律)。上面是微分的过程,下面是对于所有系数得到的等式。
    在这里插入图片描述
    最后,等式左边是四个一循环,可以从除以 4 的余数来考虑(分类);然后,等是右边可以用字母来代替,就是 k! × ak,这里 k! 代表阶乘。所以说,我们可以得到一个看上去漂亮的结果:
    在这里插入图片描述
    如果将系数数列 a 代入,那么偶数项都会消掉(系数为 0),只剩下一加一减的奇数项了。这就是泰勒展开(其实泰勒展开有好几个,这里只是 sin x 的泰勒展开):

    在这里插入图片描述
    想法是不是很巧妙,哈哈?我也是看别人写的。其他各种复杂函数的展开式求解也采用相同的方法,很实用哦。

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  • C++——求展开式问题

    2018-04-02 21:18:34
    展开式问题 关于展开式的问题,要先找到递推公式,找到每一项的通项,然后累加或累乘,利用循环语句,程序如下:while语句实现do-while语句实现2.计算实数n次方根(循环语句搭配判断以及break和continue) ...

    求展开式问题

                

              

    关于展开式的问题,要先找到递推公式,找到每一项的通项,然后累加或累乘,利用循环语句,程序如下:

    while语句实现


    do-while语句实现


    2.计算实数n次方根(循环语句搭配判断以及break和continue)

                                         



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空空如也

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