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  • 泰勒展开式

    千次阅读 多人点赞 2020-05-22 23:09:31
    的核心思想是仿造。 当我们想要仿造一个东西的时候,无形之中都会按照上文提到的思路,即先保证大体上相似,再保证局部相似,再保证细节相似,再保证更细微的地方相似……不断地细化下去,无穷次细化以后,仿造...

    本段的核心思想是仿造。

    当我们想要仿造一个东西的时候,无形之中都会按照上文提到的思路,即先保证大体上相似,再保证局部相似,再保证细节相似,再保证更细微的地方相似……不断地细化下去,无穷次细化以后,仿造的东西将无限接近真品。真假难辨。

    这是每个人都明白的生活经验。

    ===============

    一位物理学家,把这则生活经验应用到他自己的研究中,则会出现下列场景:

    一辆随意行驶的小车,走出了一个很诡异的轨迹曲线:
    在这里插入图片描述
    物理学家觉得这段轨迹很有意思,也想开车走一段一摸一样的轨迹。

    既然是复制,他把刚才关于“仿造”生活经验应用到这里,提出了一个解决办法:

    既然想模仿刚才那辆车,那首先应该保证初始位置一样,

    继续模仿,让车在初始位置的速度也一样,

    不满足,继续细化,这次保持位置、在初始位置处的速度一样的同时,保证在初始位置处车的加速度也一样,
    不满足,继续细化,这次保证初始位置、初始位置处的速度、初始位置处的加速度都一样,也保证初始位置处的加速度的变化率也一样,

    不满足,精益求精,可以一直模仿下去。
    物理学家得出结论:把生活中关于“仿造”的经验运用到运动学问题中,如果想仿造一段曲线,那么首先应该保证曲线的起始点一样,其次保证起始点处位移随时间的变化率一样(速度相同),再次应该保证前两者相等的同时关于时间的二阶变化率一样(加速度相同)……如果随时间每一阶变化率(每一阶导数)都一样,那这俩曲线肯定是完全等价的。

    =================

    一位数学家,泰勒,某天看到一个函数 y = e x \bold{y=e^x} y=ex ,不由地眉头一皱,心里面不断地犯嘀咕:有些函数啊,他就是很恶心,比如这种,还有三角函数,这样的函数本来具有很优秀的品质(可以无限次求导,而且求导还很容易),但是呢,如果是代入数值计算的话,就很难了。比如,看到 y = c o s x \bold{y=cosx} y=cosx 后,我无法很方便地计算 x = 2 \bold{x=2} x=2 时候的值。

    为了避免这种如鲠在喉的感觉,必须得想一个办法让自己避免接触这类函数,即把这类函数替换掉。

    可以根据这类函数的图像,仿造一个图像,与原来的图像相类似,这种行为在数学上叫近似。不扯这个名词。讲讲如何仿造图像。
    他联想到生活中的仿造经验,联想到物理学家考虑运动学问题时的经验,泰勒首先定性地、大概地思考了一下整体思路。(下面这段只需要理解这个大概意思就可以,不用深究。)

    面对 y = c o s x \bold{y=cosx} y=cosx的图像,泰勒的目的是:仿造一段一模一样的曲线 g ( x ) \bold {g(x)} g(x),从而避免余弦计算。
    在这里插入图片描述
    想要复制这段曲线,首先得找一个切入点,可以是这条曲线最左端的点,也可以是最右端的点,anyway,可以是这条线上任何一点。他选了最左边的点。

    由于这段曲线过 ( 0 , 1 ) \bold{(0,1)} (0,1) 这个点,仿造的第一步,就是让仿造的曲线也过这个点,

    完成了仿造的第一步,很粗糙,甚至完全看不出来这俩有什么相似的地方,那就继续细节化。开始考虑曲线的变化趋势,即导数,保证在此处的导数相等。

    经历了第二步,现在起始点相同了,整体变化趋势相近了,可能看起来有那么点意思了。想进一步精确化,应该考虑凹凸性。高中学过:表征图像的凹凸性的参数为“导数的导数”。所以,下一步就让二者的导数的导数相等。

    起始点相同,增减性相同,凹凸性相同后,仿造的函数更像了。如果再继续细化下去,应该会无限接近。所以泰勒认为“仿造一段曲线,要先保证起点相同,再保证在此处导数相同,继续保证在此处的导数的导数相同……

    有了整体思路,泰勒准备动手算一算。

    下面就是严谨的计算了。

    先插一句,泰勒知道想仿造一段曲线,应该首先在原来曲线上随便选一个点开始,但是为了方便计算,泰勒选择从 ( 0 , 1 ) \bold{(0,1)} (0,1)这个点入手。

    把刚才的思路翻译成数学语言,就变成了:

    首先得让其初始值相等,即: g ( 0 ) = f ( 0 ) \boldsymbol{g(0)=f(0)} g(0)=f(0)
    其次,得让这俩函数在x=0处的导数相等,即: g ′ ( 0 ) = f ′ ( 0 ) \boldsymbol{g'(0)=f'(0)} g(0)=f(0)
    再次,得让这俩函数在x=0处的导数的导数相等,即: g ′ ′ ( 0 ) = f ′ ′ ( 0 ) \boldsymbol{g''(0)=f''(0)} g(0)=f(0)
    ……

    最终,得让这俩图像在x=0的导数的导数的导数的……的导数也相同。

    这时候,泰勒思考了两个问题:

    第一个问题,余弦函数能够无限次求导,为了让这两条曲线无限相似,我仿造出来的 g ( x ) \boldsymbol{g(x)} g(x)必须也能够无限次求导,那 g ( x ) \boldsymbol{g(x)} g(x)得是什么样类型的函数呢?

    第二个问题,实际操作过程中,肯定不能无限次求导,只需要求几次,就可以达到我想要的精度。那么,实际过程中应该求几次比较合适呢?

    综合考虑这两个问题以后,泰勒给出了一个比较折中的方法:令 g ( x ) \boldsymbol{g(x)} g(x)为多项式,多项式能求几次导数呢?视情况而定,比如五次多项式 g ( x ) = a x 5 + b x 4 + c x 3 + d x 2 + e x + f \boldsymbol{g(x)=ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f} g(x)=ax5+bx4+cx3+dx2+ex+f,能求5次导,继续求就都是0了,几次多项式就能求几次导数。

    泰勒比我们厉害的地方仅仅在于他想到了把这种生活经验、翻译成数学语言、并运用到仿造函数图像之中。假如告诉你这种思路,静下心来你都能自己推出来。

    泰勒开始计算,一开始也不清楚到底要求几阶导数。为了发现规律,肯定是从最低次开始。

    先算个一阶的。

    在这里插入图片描述

    可以看出,除了在 ( 0 , 1 ) \boldsymbol{(0,1)} (0,1) 这个点,其他的都不重合,不满意。

    再来个二阶的。
    在这里插入图片描述

    可以看出,在 ( 0 , 1 ) \boldsymbol{(0,1)} (0,1) 这个点附近的一个小范围内,二者都比较相近。

    再来个四阶的。

    在这里插入图片描述

    可以看出,仍然是在 ( 0 , 1 ) \boldsymbol{(0,1)} (0,1) 这个点附近的一个范围内二者很相近。只是,此时二者重合的部分扩大了。

    到这里,不光是泰勒,我们普通人也能大概想象得到,如果继续继续提高阶数,相似范围继续扩大,无穷高阶后,整个曲线都无限相似。插个图,利用计算机可以快速实现。

    在这里插入图片描述
    然而泰勒当时没有计算机,他只能手算,他跟我们一样,算到四阶就算不动了,他就开始发呆:刚才为什么这么做来着?哦,对了,是为了计算 c o s 2 \boldsymbol{cos 2} cos2的时候避免出现余弦。所以他从最左端 ( 0 , 1 ) \boldsymbol{(0,1)} (0,1) 处开始计算,算着算着,他没耐心了,可是离着计算 x = 2 \boldsymbol{x=2} x=2 还有一段距离,必须得继续算才能把这俩曲线重合的范围辐射到 x = 2 \boldsymbol{x=2} x=2 处。

    此时,他一拍脑门,恍然大悟,既然我选的点离着我想要的点还远,我为啥不直接选个近点的点呢,反正能从这条曲线上任何一个点作为切入,开始仿造。近了能省很多计算量啊。想计算 c o s 2 \boldsymbol{cos2} cos2,可以从 c o s π 2 \boldsymbol{cos{\pi \over2}} cos2π 处开始仿造啊。
    所以啊,泰勒展开式就是把一个三角函数或者指数函数或者其他比较难缠的函数用多项式替换掉。也就是说,有一个原函数 f ( x ) \boldsymbol{f(x)} f(x) ,我再造一个图像与原函数图像相似的多项式函数 g ( x ) \boldsymbol{g(x)} g(x) ,为了保证相似,我只需要保证这俩函数在某一点的初始值相等,1阶导数相等,2阶导数相等,……n阶导数相等。

    写到这里,你已经理解了泰勒展开式。

    如果能理解,即使你记不住泰勒展开式,你都能自己推导。所以,我建议你,考试之前临时死记硬背一下,即使考试因为紧张忘了,也可以现场推。如果不是为了考试,那记不住也没关系,反正记住了一段时间不用,也会忘。用的时候翻书,找不到书就自己推导。

    继续说泰勒。

    泰勒算到四阶以后就不想算了,所以他想把这种计算过程推广到n阶,算出一个代数式,这样直接代数就可以了。泰勒就开始了下面的推导过程。

    首先要在曲线 f ( x ) \boldsymbol{f(x)} f(x)上任选一个点,为了方便,就选 ( 0 , f ( x ) ) \boldsymbol{(0,f(x))} (0,f(x)),设仿造的曲线的解析式为 g ( x ) \boldsymbol{g(x)} g(x) ,前面说了,仿造的曲线是一个多项式,假设算到n阶。能求n次导数的多项式,其最高次数肯定也为n。所以,仿造的曲线的解析式肯定是这种形式:
    在这里插入图片描述
    前面说过,必须保证初始点相同,即
    在这里插入图片描述,求出了 a 0 a_0 a0
    接下来,必须保证n阶导数依然相等,即
    在这里插入图片描述

    因为对 g ( x ) \boldsymbol{g(x)} g(x)求n阶导数时,只有最后一项为非零值,为 n ! a n \boldsymbol{n!a_n} n!an
    由此求出
    在这里插入图片描述
    求出了 a n \boldsymbol{a_n} an,剩下的只需要按照这个规律换数字即可。

    综上: 在这里插入图片描述

    知道了原理,然后把原理用数学语言描述,只需要两步即可求出以上结果。背不过推一下就行。泰勒推到这里,又想起了自己刚才那个问题:不一定非要从x=0的地方开始,也可以从 在这里插入图片描述开始。此时,只需要将0换成 x 0 \boldsymbol{x_0} x0,然后再按照上面一模一样的过程重新来一遍,最后就能得到如下结果:
    在这里插入图片描述

    泰勒写到这里,长舒一口气,他写下结论:有一条解析式很恶心的曲线 f ( x ) \boldsymbol{f(x)} f(x),我可以用多项式仿造一条曲线 g ( x ) \boldsymbol{g(x)} g(x) ,那么在这里插入图片描述
    泰勒指出:在实际操作过程中,可根据精度要求选择n值,只要n不是正无穷,那么,一定要保留上式中的约等号。若想去掉约等号,可写成下面形式:
    在这里插入图片描述

    好了,泰勒的故事讲完了。其实真正的数学推导只需要两步,困难的是不理解思想。如果背不过,就临时推导,只需要十几二十秒。

    ===============

    泰勒的故事讲完了,但是事情没完,因为泰勒没有告诉你,到底该求导几次。于是,剩下一帮人帮他擦屁股。

    第一个帮他擦屁股的叫佩亚诺。他把上面式子中的省略号中的东西给整出来了。然而最终搁浅了,不太好用。

    后面拉格朗日又跳出来帮佩亚诺擦屁股。至此故事大结局。

    首先讲讲佩亚诺的故事。

    简单回顾一下,上文提到,泰勒想通过一个多项式函数 g ( x ) \boldsymbol{g(x)} g(x)的曲线,把那些看起来很恶心的函数 f ( x ) \boldsymbol{f(x)} f(x) 的曲线给仿造出来。提出了泰勒展开式,也就是下面的第一个式子:
    在这里插入图片描述

    佩亚诺开始思考误差的事。先不说佩亚诺,假如让你思考这个问题,你会有一个怎样的思路?既然是误差,肯定越小越小对吧。所以当我们思考误差的时候,很自然的逻辑就是让这个误差趋近于0。佩亚诺也是这么想的,他的大方向就是令后面这半部分近似等于0,一旦后半部分很接近0了,

    那么就可以省去了,只展开到n阶就可以了,泰勒展开就可以用了。但是他不知道如何做到。

    后来,他又开始琢磨泰勒的整个思路:先保证初始点位置相同,再保证一阶导数相同,有点相似了,再保证二阶导数相同,更细化了,再保证三阶导数相同……突然灵光闪现:**泰勒展开是逐步细化的过程,也就是说,每一项都比前面一项更加精细化(更小)。**举个例子,你想把90斤粮食添到100斤,第一次,添了一大把,变成99斤了,第二次,添了一小把,变成99.9斤了,第三次,添了一小撮,变成99.99斤了……每一次抓的粮食,都比前一次抓的少。泰勒展开式里面也是这样的:在这里插入图片描述
    由此可见,最后一项(n阶)是最小的。皮亚诺心想:**只要让总误差(后面的所有项的总和)比这一项还要小,不就可以把误差忽略了吗?**现在的任务就是比较大小,比较泰勒展开式中的最后一项、与误差项的大小,即:在这里插入图片描述
    如何比较大小?高中生都知道,比较大小无非就是作差或者坐商。不能确定的话,一个个试一下。最终,皮亚诺用的坐商。他用误差项除以泰勒展开中的最小的项,整理后得到:
    在这里插入图片描述
    红框内的部分是可以求出具体数字的。佩亚诺写到这里,偷了个懒,直接令 x \boldsymbol{x} x 趋近于 x 0 \boldsymbol{x_0} x0 ,这样,误差项除以泰勒展开中的最小项不就趋近于0了吗?误差项不就趋近于0了吗?

    我不知道你们看到这里是什么感觉,可能你觉得佩亚诺好棒,也可能觉得,这不糊弄人嘛。

    反正,为了纪念佩亚诺的贡献,大家把上面的误差项成为佩亚诺余项。

    总结一下佩亚诺的思路:首先,他把泰勒展开式中没有写出来的那些项补全,然后,他把这些项之和称为误差项,之后,他想把误差项变为0,考虑到泰勒展开式中的项越来越小,他就让误差项除以最后一项,试图得到0的结果,最后发现,只有 x \boldsymbol{x} x当趋近于 x 0 \boldsymbol{x_0} x0时,这个商才趋近于0,索性就这样了。

    其实整体思路很简单,当初学不会,无非是因为数学语言描述这么个思路会让人很蒙逼。

    佩亚诺的故事讲完了,他本想完善泰勒展开,然而,他的成果只能算 x \boldsymbol{x} x趋近于 x 0 \boldsymbol{x_0} x0 时的情况。这时候,拉格朗日出场了。

    拉格朗日的故事说来话长,从头说起吧。话说有一天,拉格朗日显得无聊,思考了一个特别简单的问题:一辆车,从 S 1 \boldsymbol{S_1} S1处走到 S 2 \boldsymbol{S_2} S2处,中间用了时间 t \boldsymbol{t} t ,那么这辆车的平均速度就是
    在这里插入图片描述
    ,假如有那么一个时刻,这辆车的瞬时速度是小于平均速度 v \boldsymbol{v} v 的,那么,肯定有一个时刻,这辆车的速度是大于平均速度 v \boldsymbol{v} v 的,由于车的速度不能突变,从小于 逐渐变到大于 v \boldsymbol{v} v ,肯定有一个瞬间是等于 v \boldsymbol{v} v 的。就这个问题,我相信在做的大多数,即使小时候没有听说过拉格朗日,也一定能想明白这个问题。拉格朗日的牛逼之处在于,能把生活中的这种小事翻译成数学语言。他把 在这里插入图片描述图像画出来了,高中生都知道,在这个图像中,斜率表征速度:在这里插入图片描述把上面的这个简单的问题用数学语言描述出来,就是那个被拉格朗日了的定理,简称拉格朗日中值定理:有个函数在这里插入图片描述 ,如果在一个范围内连续,可求导,则 在这里插入图片描述

    后来啊,拉格朗日的中值定理被柯西看到了,柯西牛逼啊,天生对于算式敏感。柯西认为,纵坐标是横坐标的函数,那我也可以把横坐标写成一个函数啊,于是他提出了柯西中值定理:在这里插入图片描述

    拉格朗日听说了这事,心里愤愤不平,又觉得很可惜,明明是自己的思路,就差这么一步,就让柯西捡便宜了,不过柯西确实说的有道理。这件事给拉格朗日留下了很深的心理阴影。接下来,拉格朗日开始思考泰勒级数的误差问题,他同佩亚诺一样,只考虑误差部分(见前文)。插一句,各位老铁,接下来拉格朗日的操作绝壁开挂了,我实在是编不出来他的脑回路。首先,跟佩亚诺一样,先把误差项写出来,并设误差项为 在这里插入图片描述在这里插入图片描述

    误差项 中每一项都是俩数的乘积,假如是你,你肯定是想两边同时除掉一个 ,对吧,为了简单,把 在这里插入图片描述 设为在这里插入图片描述 :
    在这里插入图片描述
    所以除过之后,就成了:在这里插入图片描述
    等等,这一串东西看着怎么眼熟?咦?这不是柯西老哥推广的我的中值定理么?剩下的不就是……:
    在这里插入图片描述
    红框中,脑路之清奇、操作之风骚、画风之诡异、场面之震撼,让我们不禁感慨,拉格朗到底日了什么,脑海里才会想到柯西。拉格朗日写到这里卡住了,不知道你们有没有这种经验,反正我思考一道数学题的时候,会尝试着把思路进行到底,直到完全进了死胡同才会否定这种思路。有了前面的脑洞,拉格朗日继续复制这种思路,想看看能不能继续往下写:

    先看分子

    在这里插入图片描述

    再看分母

    在这里插入图片描述

    好巧合,又可以用一次柯西的中值定理了。

    在这里插入图片描述
    总之,按照这种方法,可以一直求解下去,最终的结果就是:
    在这里插入图片描述

    至此,拉格朗日把后面无数多的误差项给整合成了一项,而且比配诺亚更加先进的地方在于,不一定非要让 x \boldsymbol{x} x 趋近于 x 0 \boldsymbol{x_0} x0 ,可以在二者之间的任何一个位置 ξ \boldsymbol{\xi} ξ 处展开,及其好用。

    本文涵盖泰勒展开式、佩亚诺余项、拉格朗日中值定理、柯西中值定理、拉格朗日余项。全文完毕。

    链接:https://www.zhihu.com/question/25627482/answer/313088784
    来源:知乎

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  • 泰勒公式的展开细节解析

    万次阅读 多人点赞 2017-08-05 08:58:22
    上周写完了《《三体》读后思考-泰勒展开/维度打击/黑暗森林》后收到一些邮件,进一步思考了关于泰勒展开的意义。也许我掌握的那些网络技术比如Linux Netfilter,NAT之类,太过底层太过小众,所以大家几乎都是没有感...

    上周写完了《《三体》读后思考-泰勒展开/维度打击/黑暗森林》后收到一些邮件,进一步思考了关于泰勒展开的意义。也许我掌握的那些网络技术比如Linux Netfilter,NAT之类,太过底层太过小众,所以大家几乎都是没有感兴趣的,倒是这种科普性质的文章和那些吐槽类的文章,会引发一系列的互动,这对我来讲是好事,因为我喜欢跟人交流技术和思想。

    声明

    本来这篇文章应该添加在《三体》读后感后的“补遗”一节呢,后来觉得太长了,有点喧宾夺主的意思,就单独写了一篇文章。
      其实吧,这篇文章已经跟《三体》小说没有太大的关系了,这纯粹是一篇关于数学的文章,但是由于本文要涉及大量关于“趋势的趋势的趋势”,“走势的走势的走势的走势”,“导数的导数的导数的导数的导数…”,为了保持一致性,我将本文的题目写成了“《三体》读后感的读后感…”,可能后面还有,未完待续!

    第一部分.泰勒展开解释

    很多人对我解释的泰勒展开提出了自己的疑问,这些疑问大致都是对下面的问题表示不解:
    为什么可以从一个单独的点不断求导就可以画出整个函数的曲线?即“一点是如何蕴含整个世界”的。
    诚然,这个问题其实在数学上是及其容易证明的,在定量的角度,随便找出一本讲微积分或者数学分析的书都可以得到令人满意的回答,我在文章《《三体》读后思考-泰勒展开/维度打击/黑暗森林》中也给出了一个简易的推导。然而,在满足了逻辑上的自洽后,我们很多人对一件逻辑上合情合理的事情便有了探索其实际意义的欲望,比如我们会问,它的物理意义是什么,它的几何意义是什么,甚至更基本的,它的意义是什么?就这么问着问着,便似乎有了一点哲学探索的味道,在我看来,这便是最精彩的!
       很多人都看过双截棍表演,但现如今很少有人了解鞭术了,其实你可以把鞭子看成是N趋近于无穷大时的N截棍,玩起来更难。其实我也不是很懂,就是为了解释这个泰勒展开才稍微看了一点关于鞭术的东西,具体来讲,执鞭人手执鞭子在原地只是上下左右按照一定的规则甩鞭,一条很长的鞭子就会整体展现成各种漂亮的曲线,他是怎么做到的?
       当然,从物理上讲,这当然是若干列波从执鞭处向鞭子的另一端传播,传播的过程在不同的点产生了定向的效果,然而似乎不是一个很好的足以让人满意的解释,我们的问题是,那个执鞭人的手需要怎么个动作,才能让鞭子整体上看来是那种效果?
      这个问题我是回答不了,因为我不懂鞭术,身边也没有懂的人,但是这个问题似乎和本文一开始的那个问题讲的是同一回事,即从一个点来蕴含整体的行为。

      我的观点是:既然走势可以让人预测曲线上邻接的下一点的大致位置,那么走势的走势便可以相对精确地预测邻接下一点的具体位置,紧接着,走势的走势的走势便可以告诉人们这种趋势可以延续到什么时候,再继续…这似乎超出了人们的想象力…我们还是用简单的数学来表示吧。我们先从1阶导数,2阶导数,3阶导数的几何意义说起。
      先看1阶导数,我们知道,它是经过曲线上某点的切线的斜率:

    这里写图片描述

    我们来看这个1阶导数可以预测到多远处呢?如果我们仅仅知道该点的坐标以及有这么一个该点的1阶导数的值,我们几乎什么都预测不了,除了知道在该点处有沿着切线向上的趋势之外,这没能为我们画出这个曲线带来帮助,似乎下面的曲线都能满足,然而真正正确的只有一个:

    这里写图片描述

    换句话说,1阶导数只能将邻接的下面的点定位到两个范围中的一个:

    这里写图片描述

    so,我们需要进一步的信息,我们继续求2阶导数,看看能挖掘出什么新玩意儿。
      2阶导数是1阶导数的导数,换句话说,它代表了检测点切线的变化趋势,有了这个趋势,我们是不是可以相对精确地预测邻接的点的位置了呢?我们先看2阶导数的几何意义为何。学过数学的都知道,2阶导数表示了曲线的凸凹,对于凸函数,2阶导数是负数,它表示切线的斜率会越来越小,而对于凹函数,2阶导数是正数,它表示切线的斜率越来越大:

    这里写图片描述

    因此,有了2阶导数,我们对接下来的曲线走势定位就更加精确了,我们可以进一步缩小邻接的点的取值范围:

    这里写图片描述

    具体的坐标由2阶导数的具体值来约束。
      到了这一步,进一步将曲线往前延伸似乎是无望的,因为:

    1.首先,我们不知道代表检测点凸凹性的2阶导数的值在将来会不会逆转,即我们不知道曲线会不会由凸变凹或者由凹变凸;
    2.其次,即便假设函数的凸凹性不变,我们也不知道接下来曲线是越来越凸/凹呢?还是反过来呢?

    毕竟,我们只求得了检测点的1阶和2阶导数,注意,它们都只是一个数字,而不是一个带有自变量的新的函数,所以我们通过1阶导数和2阶导数,得到仅仅是2个值,仅此而已,如果我们能得到关于曲线任意一点的2阶导数的函数表达式,那么我们当然可以预测曲线2阶函数的走势,但在本文中,我不会那么做,我就假设,我们没有这个函数表达式,只有一个检测点的2阶导数的值!怎么办?
      我们继续看3阶导数。在此之前,我必须要澄清一个我的观点。
      我在知乎上查过相关资料,另外还特意请教过一些搞数学的老师或者朋友,得到的解答可能都是从哪个地方看到的一致性解答,说3阶,4阶,5阶…导数这些没有几何意义和物理意义,数学只追求逻辑上的完整,自包容,而不是去追求什么几何意义,物理意义。我并不赞成这个说法,以霍金为例,它的虚时间模型虽然只是数学上的技巧,但是最终的目标却是为他的有限无界的宇宙几何模型服务,这说明,完成逻辑完整性证明和寻找其意义同等重要,可能后者还会更重要,我没有看到哪一个伟大的物理学发现背后仅仅是纯粹的思辨性的数学,不管是牛顿的引力场,还是爱因斯坦的引力场,还是霍金的量子引力,在逻辑严谨性支撑的前脸,都有一个漂亮得体的几何模型作为表象。

      3阶导数不难求,继续对2阶导数表达式求导,然后代入检测点的x值即可,然而3阶导数的意义是什么?其实仔细想想,并不难理解,这正如2阶导数主导1阶导数的变化从而把1阶导数自认为正确的“以直代曲”的直线模拟拉成弯曲的或者凸或者凹的曲线一样,3阶导数同样主导2阶导数的变化,它可以表示“曲线是继续凸下去或者继续凹下去,还是会在某一个x值后逆转,由凸变凹或者由凹变凸”。用语言表示比较苍白难以理解,于是我画个图示:

    这里写图片描述

    好了,有了3阶导数,我们似乎进一步将曲线向前推进了,至少是预测出了一种趋势,然而这个趋势是必然的吗?考虑到一种情况,比如当前检测点的2阶导数值为1,表示曲线在检测点是凹的,而同时3阶导数的值为-1,这表示可能接下来邻接点的2阶导数会比1小一点,最终会变成0甚至负数,这意味着曲线会由凹变凸,即经历一个拐点,但这种预测一定会发生吗?
      不一定!But why?
      虽然当前检测点的3阶导数值为-1,但这并不意味着它会一直保持-1,如果它一直保持-1,那么我们的预测正确,但是如果曲线的3阶导数在该检测点是递增的呢?这意味着会发生下面的情况:
    在曲线从检测点 x0 开始,2阶导数变为0甚至负数之前,其3阶导数就已经从-1递增到0以上了,这说明虽然曲线的凹性越来越显得不那么凹,有变平变凸的趋势,但这种趋势的趋势越来越弱,还没等曲线变成凸的,这种作用便消失了,曲线将会继续保持凹型发展下去…
      上面的判断简直可以弥补3阶导数的误差,曲线进一步前进,很帅!那么如何判断3阶导数的走势呢?简单,求4阶导数!
    进一步,以上这样发展会持续多久呢?好吧,求5阶导数吧,可以再推进一步。我们对曲线走势的掌握离开检测点随着越来越高阶导数的求解渐行渐远,6阶导数,7阶,8阶,9阶…我们对曲线走势的预测将越来越接近原先的函数。

      我来画一个实际的例子结束讨论:

    这里写图片描述


    这是不是有点像鞭术大师执鞭表演,力道和甩鞭模式从大师的手掌开始沿着鞭体传播,模式的频率越低,影响的越远。除了鞭术,还有双截棍,如果玩双截棍的时候打到了自己,那么一定是哪个导数没有求好,比如4阶导数搞错了…
      在了解了曲线的走势后,剩下的就是用二项式去拟合了。其实,这种二项式叠加的拟合方式并没有什么特殊的含义,只是因为它是可以做到的而已,你同样可以用傅立叶变换的方式将一个函数在频域上展开,因为那也是一种可能的方式。其实任何两个或者多个带有实际效应的表达式叠加在一起,整体而言都会表现出各个叠加体局部的性质,这里重要的是一个纯数学上的技巧,即如何确定二项式的系数,可以肯定的是系数跟各阶导数是相关的,剩下的问题就是待定系数法求解了,这并不是需要赘述的内容。
      综上,在这个待定系数的角度,二项式拟合任何曲线实属凑出来的,因为凑出来的二项式叠加表达式的各阶导数值恰好等于原函数的各阶导数值。
      然而这并不能让不断寻找意义的人满意,如果非要在纯数学之外去寻找这样做的意义,那么我们可以从中值定理入手去理解。说好了不谈这些诸如中值定理的,但事实上,想彻底理解一个数学概念,这些概念是避不开的,问题是,我们如何更简单地(而不是更复杂地)去理解它们。
      以拉格朗日中值定理为例,它的中值定理是这样的:

    f(x)x0,x,[x0,x],ξ[x0,x]使:f(x)=f(x0)+f(ε)(xx0)

    按照这个思路展开,既然在直观的1阶导数情形下,拉格朗日中值定理拥有的几何意义,那么在2阶导数均拟合的情况下,是不是可以有下面的描述呢:

    f(x)x0,x,[x0,x],ξ[x0,x]使:f(x)=f(x0)+f(x0)(xx0)+f(x0)2!(xx0)2+f(ε)3!(xx0)3

    这个式子可以推广到 N 阶,这是一种很常见的思路,把一个式子一般化后推广,然后小心求证其合理性,待到证明完成,便可以进一步地解释现象,这种思路承接了近代绝大部分的科学技术进步!
      我来给出上式子的一个几何解释,虽然我们想象不到2阶导数依照其几何意义如何画出来,但是我们可以把原始的函数本身升一个维度,然后用积分的思想去理解2阶导数的几何意义。
      理解我在说什么了吗?我的意思简单点说,就是积分式的1阶导数(其实是导函数)就是被积函数,被积函数的1阶导数就是积分式的2阶导数,而我们知道积分式是有几何意义的,它表示面积,而被积函数则表示曲线,再进一步积分式的2阶导数则表示曲线上某点切线的斜率…这样,相当于我们将2阶导数看成了切线斜率,将1阶导数看成了曲线本身,而原始函数看成了曲线与x轴围成的面积:

    Farea=f(x)=x0g(x)dx
    f=g(x)
    f=g=线

    这样我们就可以用拼接图形求总面积的方式来在更高的维度表达类似拉格朗日中值定理的式子了。我们看一个图示:

    这里写图片描述

    我们依照上面的图示,试着求一下 OxDA 的总面积,首先我们将其表示成各个小块的和的形式:

    SOxDA=SOx0P0A+Sx0xCP0+SP0CB+SP0BD

    然后我们依照图示中的几何关系来分别求各个小块的面积,幸运的是,以直代曲的思想在此体现的淋漓尽致,我们要求的只是简单的三角形,矩形的面积,而我们知道这些完全用加减乘除四则混合运算就足够了,是不是很符合二项式叠加的思想呢?殊途同归!首先看 SOx0P0A ,由定义,我们知道它就是 f(x0) ,接下来看 Sx0xCP0 ,它是个矩形,变长分别为 xx0 LP0x0 ,而 LP0x0 按照定义,它就是 g(x0) ,而 g(x0) 又是什么呢?很显然根据上面的微积分关系,他就是 f(x0) ,到此为止我们可以把面积求和算式写成如下的样子了:

    SOxDA=f(x)=f(x0)+f(x0)(xx0)+SP0CB+SP0BD

    还剩下两项,现在来看 SP0CB ,它是个三角形,我们知道它的底边长就是 xx0 ,而高则是 LCB ,同时我们知道切线的斜率就是 f(x0) ,那么 LCB 显然就是 f(x0)(xx0) 咯!我们把它代入到上面的式子:

    SOxDA=f(x)=f(x0)+f(x0)(xx0)+12f(x0)(xx0)+SP0BD

    最后还剩一下一项了,即 SP0BD ,它太小了,并且貌似不是很容易计算,因为它不是三角形,也不是任何用直线围成的,它的上沿是一条曲线…这可怎么办?我们注意到,当 x x0趋于接近的时候,这块小面积就趋近于 0 了,这便是可以忽略不计了,这就是极限的思想,当然这不是本文的主题咯。我在画上面的示意图的时候,特意将x x0 拉开了一定的距离,这是为了直观,在真正的微积分运算中,这段距离就是无穷小,那么图形 SP0BD 的面积也就是无穷小了,暂且记为 O(SP0BD) ,最终的式子为:

    SOxDA=f(x)=f(x0)+f(x0)(xx0)+12f(x0)(xx0)+O(SP0BD)

    这样,当切分的区间越来越细致时, O(SP0BD) 越来越趋向于 0 (这个很容易用积分中值定理从直观上看出来,事实上,O(SP0BD)的值就等于 f(ε)3!(xx0)3 ).
      好了,这就是一个在2阶情况下,中值定理大致的几何印象。循着这个思路推广下去,泰勒公式就在眼前了。
      虽然我们想象不出来 N 阶中值定理的几何意义,但是正像物理学中经常提及超维一样,我们也可以把二维的笛卡尔坐标系拓展成“无限维度空间中的超立方体”。这样的假设下,似乎还不是特别令人满意,但也就只能这样了。
      事实上,我这里可以给出一点提示,利用积分中值定理可以证明泰勒公式在意义层面的合理性,利用分部积分从我上面给出的2阶导数直观几何意义开始,可以逐渐导出完整的泰勒公式!我不会在本文正文中去表达这些内容,因为怕公式太多。当你看线条找不出线条,夹角之间的关系时,试试面积,升个维度试试。
      最后,记住一个结论,N阶导数的几何意义物理意义要比如何用泰勒多项式表达任意表达式更加重要,后者只是说明它“恰好能做到”而已,除了泰勒多项式,傅立叶展开也可以达到同样的效果,另外,还可能有别的。
      在观察二项式拟合任意函数的时候,我们知道“它恰恰可以做到”,现在的问题是如何感性的认识到这一点,即“它为什么就可以做到?”,我们以下面的两个多项式为例,来点感性认识:

    f(x)=x2
    f(x)=x3

    我们把它们画在一个图里:

    这里写图片描述

    可以看得出,2次多项式的曲线表明它是关于 y 轴对称,而3次多项式的曲线表明它是关于O对称的。这个时候,我们试试两个二项式加和的图像时什么,为了保持对比,我把原始的两个二项式留在了图里:

    这里写图片描述

    感觉2次的多项式完全被3次多项式碾压覆盖,表现不出任何它自己的特征,我们可以清晰地看到,在 x 取值小于0的时候,根本表现不出2次曲线的行为,这似乎不是一个好消息,因为直观地看,次数越高的多项式在整体的求和表达式中越占据主导地位,那些次数较低的多项式都只是配角,负责曲线水平或者垂直的移动而已…这似乎打破了“任意次多项式求和表达式”可以拟合任何曲线的神话。
      然而,我们没有考虑缩放。
      直观地看,虽然3次曲线在x变化时,其 y 值的变化剧烈程度要大于2次曲线(从其1阶导数上便能看得出,2次曲线是2x,3次曲线是 3x2 ),如果我们能适当地,恰到好处的把二者的差异通过缩放平滑掉,那么结果如何呢?考虑到我们只能用四则混合运算,非常简单,给3次多项式除以一个大于1的系数,减小它的 y 效应,或者给2次多项式乘以一个大于1的系数,从而增加它的y效应,我们来看看结果如何。先看缩小3次曲线效应的结果:

    这里写图片描述

    再看增加2次曲线效应的结果:

    这里写图片描述

    这基本上达到了我们的预期。
      到这里,我们知道,二项式的加和表达式是“可以”拟合任何曲线的,而泰勒展开式的那些系数则是一组“恰到好处”的系数,它保证了原表达式和展开表达式的各阶导数都是相等的!

      我想,我终于把该表述的都说完了,有人提到说让我用动画去表示曲线的拟合,这个确实要比用图形和文字更加震撼,然而It is beyond my ability,我并不会这些东西,我所用的gnuplot都要折腾好久,我并没有什么更好的简单的工具来帮我做更加直观的东西,所以就只能通过画草图和文字加以赘述,实为能力所限,实在抱歉。
      我们考虑一个形象的表述来结束关于这个话题的讨论,那就是牛顿定律的 公式:

    v=at
    s=f(t)=v0t+12at2

    我们知道, 的1阶导数就是速度,2阶导数就是加速度,在恒力 F0 作用下,2阶导数是一个不随时间变化的定值,那么问题是,时间 t 后的位移由谁决定,仔细想想就会明白,如果我们忽略恒力导致的加速度a,即忽略 的2阶导数,那么时间t后的位移为:

    st=vt0t

    很显然,在恒力的作用下,这与真实的位移结果差很多,距离当前时间越远,结果误差就越大,很显然,在离当前时间 t0 的适当远 t 处,位移/时间的2阶导数便派上了用场,在恒力作用下,它可以精确计算相对于当前时间的位移。
      以上的讨论仅仅是在恒力作用下牛顿第二定律导出的结论,然而如果施加的力不是恒定的,而是一个关于时间t变化的变力 F=f(t) ,那么此时仅仅2阶导数便不足以刻画时间 t 后精确的位移了,此时要想预测时间t后的位移,随着 t 距离当前时间的远去,的3阶导数,4阶导数…便派上了用场,注意,变化率的变化率使得我们能在越来越远的地方预测趋势,这个正是和上文中关于泰勒展开的讨论是一致的。

    值得一提的是,牛顿在当初导出微积分重要结论的时候,就是为了研究物理运动的,特别是天体的运动,因此关于位移/时间在微积分上的结论应该是从《自然哲学的数学原理》中可以看到的第一手结论。

    第二部分.另外一种刻画的方式

    一般而言,我们在画一个函数的图像时,基本就两点:

    1.首先求解各阶导数,判断其增减性,凸凹性,极值,拐点等,并且描出这些点;
    2.其次,拟合若干个可以判断的具体点。

    这样,大致的曲线就画出来了,可以看到,这种画法跟素描的方式非常像,简直就是素描!先画轮廓,然后进一步细化。然而我觉得这不是云天明故事中针眼画师的画法,这也不是我的画法。
      不管怎样,虽然两种不同的画法在操作细节上是截然不一致的,但是结果是,两种方案的结论是完全一致的,函数被刻画了,性质坦然地舒展了,还有什么性质没有暴露呢?嗯,也许在无穷远处的无穷小的误差可能会引发逻辑上的争论。但此事并不经常,也不绝对。
      在正文中我是通过一个单独的点来蕴含整体模式的,然而在数学上,多数的建议却是,采用了素描的方式从粗到细地去刻画。两类的效果是一致的。

    第三部分.关于导数和频率

    我们知道,1阶导数就是函数在 x 变化时,对应到y变化的效应,而2阶导数则是 x 变化时,对应到函数1阶导数的变化效应,以此类推。最后我们发现,整个N阶导数对应是一系列不同频率的变化效应,而整个原始的函数曲线正是这些不同频率的效应的叠加,用这个思路去解释傅立叶展开是非常合理的,然而我们发现它竟然也可以对应地去解释泰勒展开!
      随着求导阶数的增加,效应频率也在不断降低,最终这些不同频率的效应将反馈到函数曲线上的任意一点,而这就完整勾勒出了整条曲线。如果能掌握了这个道理,那么那些执鞭者便可以从单点甩出任意曲线了,我们都知道,频率越高,传播距离越短,频率越低,传播距离越长,当然执鞭者也知道这个道理。这一切在数学上的反映,那就是:
    求导越深,频率越低,影响越远,曲线越拟合。
    爆炸!旋转升降座椅一定会爆炸!赶紧换椅子。

    很多人在看了这些文章后,都给了一些建议,比如说加入一些动画,我起初是不擅长这些的,然而主音吉他手告诉我说gnuplot里做gif超级简单,于是我在周一下班后仔细研究了一下,确实很简单,虽然还没有完全掌握关键的语法,但是比葫芦画瓢还是可以的。
      以下是一个 y=sin(x) 的泰勒展开的gif动画,红色代表原始的 y=sin(x) ,绿色曲线的每一帧表示多了一阶的导数,也就是展开式中多了一项,可以看得出,随着求导的深入,绿色曲线将越来越拟合原始的正弦曲线,能拟合到什么程度呢?答案是“你想到什么程度,就能到什么程度”
    这里写图片描述

    附录

    A. 分部积分法推导泰勒公式

    我们从正文中提到的的中值定理的变形体入手:

    f(x)=f(x0)+f(x0)(xx0)+

    为了简单起见,我忽略掉了余项 O(SP0BD) ,注意,只是在写法上忽略了余项,事实上它是会一直存在的,这个余项会随着推导的进行,一直往后逼,越来越小。
      我们首先希望推倒多米诺骨牌的第一块试试看,升个维度,把导数写成积分的形式,我们有:

    f(x)=f(x0)+xx0f(xr)dr

    请注意, r 是计算积分使用的变量,它和计算整个叠加和所用的x是不同的。以上就是整个多米诺骨牌布景了,现在该推倒第一块了!使用分部积分法则:

    udv=uvvdu

    u=f(xr)
    v=r

    xx0f(xr)dr=(f(xr)r)xx0xx0rdf(xr)

    xx0f(xr)dr=f(x0)(xx0)+xx0f(xr)2dr2

    f(x)=f(x0)+f(x0)(xx0)+xx0f(xr)2dr2

    好了,多米诺骨牌的第一块已然推倒了…接下来就观测吧!给出点提示:注意上面式子的第三部分:

    f(xr)2dr2

    如果我们再次设 u=f(xr) v=r2 呢,继续享受上面的分部积分过程吧
      大致意思就是这样,过程就不详细写了。

    B.泰勒公式失效的场景(这个附录会很长)

    是滋补鸡汤还是慢性毒药,刚刚喝完的时候是无法获知的,然而,当你喝下去这碗汤后3天,如果它是鸡汤,你无法在这么短的时间内体会到它带给你的益处,如果它是毒药,你将死去…
      是时候把物理意义扯出来了。
      在正文中,我强调的那些可以“从一点窥见整个世界”的曲线其实有有条件的,那就是它的定义域必须是全体实数,且处处可导,若不是这样的话,情况就会复杂得多,这些复杂的情况在本附录讨论。在详细讨论前,有个声明。
      由于本文并不是在同一时间写的,中间间隔了一个工作周,在这一周中我学会并喜欢上了Geogebra,所以我放弃了gnuplot,以下的图示全部来自于Geobebra。让我们开始吧!
      首先看一个简单的反比例函数 y=1x ,我们看下它的图像:

    这里写图片描述

    且问曲线如何从A点“按照趋势”延伸到B点?A点和B点之间有一堵墙,该墙不可逾越!因为分母不能是 0 ,所以y轴理所当然就是这堵不可逾越的墙了,换句话说, y 轴左右两边是隔离的两个世界,在数学上,这个x=0的点就叫做奇点
      奇点的意义在于,在该点,曲线是没有定义的,在这种点处,求导什么的都是毫无意义的,这些点真的就是“奇异”的点,任何计算,任何公式,定律都毫无意义(下文中将会赋予奇点以意义!)。
      知道了奇点的概念后,再说一个例子。
      有一天我微信上问温州皮鞋厂老板有没有什么好玩的东西,老板说算 5 比较好玩,然后我便犯了一个低级的错误。我信口开河“把 y=x12 泰勒展开,把 5 代入不就可以了吗”,为了在计算中不引入根号,瞬间想到了在x=1处展开…计算是简便了,然而结果对吗?
      我们先来看一段动画,即在 x=1 处展开 y=x12 的最多 n=50 阶逼近的过程(Geogebra做这个非常帅!简单直接易上手!):

    这里写图片描述

    n=1 n=50 ,把 x=5 代入均得不到正确的结果。可见,结论并不是我们之前预期的那样,在“ x=1 这一个点窥见整条曲线”,显然“能窥见”的曲线范围仅仅局限在大致 (0,2) 这个区间里。到底发生了什么?在进一步阐释物理意义之前,我还有点建议,如果你没有接触过复分析,收敛圆,收敛半径,审敛法这些,那么正好,如果你接触过这些但只是懂概念,能推导,那么建议暂时忘掉,如果你精通这些,那么不建议继续阅读下去。
    ………….
    霍金的宇宙模型中,奇点是所有经典物理定律完全失效的地方,它既是,它同时又是所有!霍金认为,量子理论可以解释奇点里发生的事,毕竟物理学不是哲学,人们显然不能接受纯粹的无或者无穷。奇点蕴含了整个宇宙本身,在创世之初的那一瞬间,奇点就是整个宇宙,它是时间,它是空间,它是上帝本体!
      宇宙的膨胀意味着时间的膨胀和空间的膨胀,既然是膨胀,肯定需要多余的物质和能量,当我们吹气球的时候,气球之所以会膨胀,那是因为有气体不断地注入气球内部,同时气球球壁还有足够的厚度可以展开,总之,整个过程是需要物质(球壁)和能量(吹气)的!宇宙外面是什么并不是我们讨论的范围,霍金认为宇宙就是宇宙,是一个自洽的整体,那么显然没有在宇宙外面吹气的那个人,宇宙也不会有球壁…促使宇宙膨胀的物质和能量来自哪里?
      来自奇点!
      来自奇点!
      来自奇点!
      奇点早就蕴含了一切!
      用霍金宇宙的奇点思想理解数学上的奇点概念,是朴素的。一条连续且光滑的曲线,它由它的奇点蕴含并生成,以 y=1x 为例,它由两条连续且光滑的曲线构成, x=0 是该函数的一个奇点,也是唯一的奇点,那么 x=0 处便蕴含并可生成整个两条曲线了。
      你可以把奇点想象成一个无线维度浓缩在一起的一个点,就像面团一样,可以展开到任何维度,可以擀成饺子皮,可以拉成拉面,可以团成馒头…现在我们用奇点的概念来描述一下函数 y=x12 的曲线的生成过程:

    这里写图片描述

    如果不加干预,整个曲线会一直展开下去,直到遇到定义域的边界,那么在泰勒公式的干预下,事情有所不同,当我们说将原函数在 x=a 处泰勒展开的时候,实际上我们是接管了整个展开过程, x>a 的后面的曲线将不再从奇点拉出,而是由泰勒公式预测出来并展开,此时奇点的物质和能量将停止向外释放,原始函数的曲线生成将停止,此后,泰勒展开的过程将用另外一条曲线去替代原始函数的曲线。需要注意的是,当我们将函数 f(x) x=a 处泰勒展开的时候,并非只针对 x>a 的点有效,而是所有定义域的点都有效,毕竟泰勒展开式和原始函数是完全不同的两个函数!
      由上面的过程性描述可知,如果将 f(x) x=a 处泰勒展开了,那么泰勒公式仅仅能看到的是曲线从其奇点开始到 x=a 结束这个区间的部分,其余的部分它是看不到的。这意味着什么?
      这意味着,泰勒公式仅仅可以利用曲线来自奇点的从奇点到这个展开点之间的小区间的“物质”和“能量”,这些能量有多少决定了泰勒公式能量曲线往后(离开奇点的方向上)延展多远,如果说从奇点到泰勒展开点,能量已经释放了 E ,那么泰勒公式就只能利用大小等于E的能量去展开原函数:

    这里写图片描述

    事实上也确实这样,抛开这些烧脑的东西,在我们日常生活中也经常会碰到类似的情况。
      当一个人讲话的时候,一些喜欢接话头的人就会插嘴说,我知道你想说什么,我来说吧。然而这种出风头的策略并非总是奏效。如果原来讲话的人刚开始说话,那么插话的人往往也预测不了太多的内容,然而如果最开始讲话的人说了很久,那么一些暗中观察的插话者往往能预测很多的内容并接着说下去。回到我们的泰勒展开,也就是说,展开点离开奇点越远,那么泰勒公式拟合的就越远,这背后的思想就是能量守恒,奇点已经将能量积累到了展开点,那么泰勒公式也就仅仅能用这么多能量(事实上所谓的能量就是各阶导数信息)来展开,这么多能量能跑多远呢?积累过程跑了多远,那就还能跑那么远!想想单摆运动吧,就这个道理。
      那么 y=sin(x) y=ex 这些函数的奇点在哪里?这些函数的奇点在无穷远处。这意味着,在任意一个展开点,函数曲线本身都已经积累的无穷的能量(即信息),这说明泰勒公式可以将其完全展开到无穷。
      离奇点越近,各种趋势越不易表现出来,奇点附近刚开始积累趋势,趋势尚未表现,这就是能量和运动的观点,我就是这样避开了那些收敛圆,收敛半径这些概念的。

    C.到底什么是数学

    如果你觉得数学纯思辨性的类似哲学的东西,那么你可以忽略我下面的所述,如果不是,请看完它,哪怕是心里压着邪火,保持着愤怒。
      只有在古希腊数学才是纯思辨哲学的分支,从罗马帝国的地中海世界开始,一直到今天,数学都只是工具,解题工具。当然这里说的解题并非我们考试中的解题,而是实实在在的处理数据时必须要解决的难题。
      不要把炼丹术和占星术看作是迷信这种不可救药的东西,它们和数学的关系源远流长。首先指出,现代数学和古希腊数学完全不是一个概念,甚至几乎没有什么关联,所以在理解现代数学本质的概念的时候,千万不要去想什么毕达哥拉斯学派什么的。炼丹术和占星术是现代化学和天文学的先祖,当它们无法用咒语欺骗国王的时候,它们就必须拿出证据来保住自己的饭碗,这无形中将它们推向了现代科学的“深渊”。千万不要将哥白尼,伽利略,牛顿…他们看成是拥有现代科学品质的明事理的人,在他们的年代,他们无一例外都披着神学的外衣,只是他们在处理一些棘手问题的时候,偶然间发现了一些所谓的真相,要让这些真相在逻辑上变得合理,他们必须处理大量的数据从而期望导出一些隐藏在这些数据背后的关系。在处理数据的时候,他们无一例外地被数据和关系的复杂性困扰,于是乎他们搞出一些处理技巧,这些技巧就是现代数学的前身,因此可以说炼丹术和占星术引导了现代物理,现代物理激发了现代数学,这其中一脉相承的就是神学和哲学的不断渗透和对抗。
      明白了这些之后,你会发现现在中学大学里的数学课程的教法是多么没有意义。这些课程看似很深邃,然而都是毫无意义的。我记得我上大学的时候(当时还是本科,后来才“进修到大专”),老师给我们讲梯度散度旋度,最后的输出就是背诵了一大堆的定理和公式,我问老师这些有什么用,老师说这些期末考试是必考点,以后考研也会考…后来我退学后跑到了女朋友(小小的妈妈)学校外面的村子里租了个房子,刚过去时,正逢她们班要期末考试了,也要考高等数学,什么洛必达法则,牛顿/莱布尼兹公式…爆炸,她们是日语教育专业啊!考这玩意儿毛用啊!
      然而抱怨是苍白的,我依然要拖着疲惫的身躯去给她们讲高等数学,对了,还包括她的同班男生,反正就是我女朋友全班…讲着讲着我就上瘾了(其实也没讲多久),当有人问我学这些有什么用的时候,我总是微笑着回答,这些都是必考点,以后你们考研也会考,说这话时我特别自豪,微笑里带着些许嘲讽和洒脱,因为我TMD再也不用考试和考研了!我不知道当时这样回答我的老师是不是也是这么想的。
    ….
    在以后的学习生涯中,我彻底摒弃了学校里的那一套,因为我再也不用考试了,而且也不会再参加任何形式的考试。所以我变得天马行空,我从马鞍面导出了Linux Netfilter的设计模型,最终确认作者也是这么想的,然后我想仅仅是精通iptables的配置或者看完conntrack的代码是多么Low啊,于是便更进一步探索了Cisco和Netfilter在设计上的差异,最终实现了基于Netfilter的Cisco模型…在我学习最小二乘法的时候,我试图理解平方的深意,后来我看了牛顿的《原理》之后,发现了平方律和立方律简直就是构成我们世界的基本元素啊!
      王姐姐说牛顿是外星人,我表示赞同。然而牛顿是怎么思考的?!
      1905年,爱因斯坦的奇迹年,主角是一位不修边幅,收入不高的专利局小职员,有点像《三体》小说作者刘慈欣,在火电站工作,不好好上班天天上班时间写小说…然而就是这个爱因斯坦道出了现代数学的本质,它只是工具!爱因斯坦从来没有系统学习过现代数学,他只是在用到的时候去请教身边的数学专家,他真的就是把数学当扳手使的。我不晓得其它的人怎么想,我只知道,狄拉克的算符,费曼的积分,霍金的虚时间轴,这些都是数学上的技巧,你要是问有什么物理意义,我觉得他们本人都说不出,只是这么处理很方便,仅此而已吧。
      那么,既然现代数学只是个工具,岂不是很Low?!No!每一个数学上的突破,均代表了一系列的总结,最终会引领新的突破,这方面,数学已经替代了哲学。在我工作的计算机领域,任何一个想法,如果你不能用数学表示出来,那便是不可处理的,请问不可处理的东西能完成KPI吗?于是便有了数学建模。然而模型的建立谈何容易。
    【外出买菜,未完待续】
    (TODO)

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  • 二级展开式斜齿圆柱齿轮减速器

    千次阅读 2010-06-10 17:56:00
    传动系统中采用两级展开式圆柱齿轮减速器,其结构简单,但齿轮相对轴承位置不对称,因此要求轴有较大的刚度,高速级和低速级都采用斜齿圆柱齿轮传动。 一、   电动机的选择 1.1 电动机的选择 ...

     

    机械设计课程设计
    ——设计计算说明书
     
     
     
    设计:过控0601 殷海潮(06420135)
    指导教师:陈庆
     
    吉林化工学院机电工程学院
    设计日期:2009.6.16~2009.7.5
     
     
     
    目   录
     
     
     
     
     
     
    机械课程设计任务书及传动方案的拟订
     
    一、设计任务书
    设计题目:二级展开式斜齿圆柱齿轮减速器
     
    工作条件及生产条件: 该减速器用于带式运输机的传动装置。工作时有轻微振动,经常满载,空载启动,单向运转,单班制工作。运输带允许速度差为±5%。减速器小批量生产,使用期限为5年(每年300天)。
     
    第19组减速器设计基础数据
    卷筒直径
    D/mm
    300
    运输带速度
    v(m/s)
    1.00
    运输带所需转矩 
    F(N)
    2600
     
    二、传动方案的分析与拟定
    图1-1带式输送机传动方案
     
    带式输送机由电动机驱动。电动机通过连轴器将动力传入减速器,再经连轴器将动力传至输送机滚筒,带动输送带工作。传动系统中采用两级展开式圆柱齿轮减速器,其结构简单,但齿轮相对轴承位置不对称,因此要求轴有较大的刚度,高速级和低速级都采用斜齿圆柱齿轮传动。


    一、       电动机的选择
    1.1 电动机的选择
    1.1.1 电动机类型的选择
    电动机的类型根据动力源和工作条件,选用Y系列三相异步电动机。
    1.1.2 电动机功率的选择
    根据已知条件计算出工作机滚筒的转速为:
    =60000/3.14× 300=63.694 r/min
    工作机所需要的有效功率为:
    =2600/1000=2.6 kW
    为了计算电动机的所需功率,先要确定从电动机到工作机之间的总效率 为弹性联轴器效率为0.99, 为滚动轴承传动效率为0.99, 为齿轮传动(8级)的效率为0.97, 为滚筒的效率为0.96。则传动装置的总效率为:
    0.851
    电动机所需的功率为:
    2.6 /0.851= 3.055kW
    在机械传动中常用同步转速为1500r/min和1000r/min的两种电动机,根据电动机所需功率和同步转速,由[2]P148表16-1查得电动机技术数据及计算总传动比如表3-1所示。
    表1-1电动机技术数据及计算总传动比
    方 案
    型 号
    额定功率
    (kW)
    转速 (r/min)
    质量
    N
    参考价格
    (元 )
    总传动比
    同步
    满载
    1
    Y112M-4
    4.0
    1500
    1440
    470
    230.00
    125.65
    2
    Y132M1-6
    4.0
    1000
    960
    730
    350.00
    83.77
    对以上两种方案进行相关计算,选择方案1较合适且方案1电动机质量最小,价格便宜。
    选用方案1电动机型号Y112M-4 ,根据[2]P149表16-2查得电动机的主要参数如表3-2所示。
    表1-2  Y112 M-4电动机主要参数
    型  号
    中心高 H/mm
    轴伸/ mm
    总长 L/mm
    Y112M-4
     
    1.2 装置运动及动力参数计算
    1.2.1 传动装置总传动比和分配各级传动比
    根据电动机的满载转速 和滚筒转速 可算出传动装置总传动比为:
    1440/63.964=22.61
           双级圆柱齿轮减速器 分配到各级传动比为:
    ①高速级的传动比为: ===5.52
    ②低速级的传动比为: =/ =22.61/5.52=4.10
    1.2.2 传动装置的运动和动力参数计算:
    a)      各轴的转速计算:
    = =1440r/min
    = /=1440/5.52=260.870r/min
    =/=260.870/4.10=63.694r/min
    ==63.694r/min
    b) 各轴的输入功率计算:
    = =3.055 0.99=3.024kW
    ==3.024 0.97 0.99=2.904kW
    ==2.904 0.97 0.99=2.789kW
    ==2.789 0.99 ×0.99=2.733kW
    c)  各轴的输入转矩计算:
    =9550 9550 3.055/1440=20.26N ·m
    = × =20.26 ×0.99=20.06 N·m
    = × × × =20.06 ×5.52×0.99×0.97=106.34 N·m
    = × × × =106.34 ×4.10×0.99×0.67=418.69 N·m
    = × × =418.69 ×0.99×0.99=410.36N·m
    由以上数据得各轴运动及动力参数见表1-3。
    1 -3 各轴运动及动力参数
    轴号
    转速
    n/(r/min)
    功率 P/kW
    转矩 T/N.mm
    传动比
    1
    1400.000
    3.024
    20.06
    5.52
    2
    260.870
    2.904
    106.34
    4.10
    3
    63.694
    2.789
    418.69
    1.00
    4
    63.694
    2.733
    410.36
     
    二、  传动零件的设计计算
    斜齿圆柱齿轮减速器的设计选用标准斜齿圆柱齿轮传动。 标准结构参数压力角 ,齿顶高系数 ,顶隙系数
    2.1 高速级斜齿圆柱齿轮传动的设计计算
    1) 选择齿轮材料及热处理方式
    由于软齿面齿轮用于齿轮尺寸紧凑性和精度要求不高,载荷不大的中低速场合。根据设计要求现选软齿面组合:
    根据 [ 1 ]P102 表8-1得:
    小齿轮选择45钢调质,HBS =217~255;
    大齿轮选择45钢常化,HBS =162~217;
    此时两齿轮最小硬度差为217-162=55;比希望值略小些,可以初步试算。
    2) 齿数的选择:
    现为软齿面齿轮,齿数以比根切齿数较多为宜,初选
    =23
    = × =5.5223=126.96
    取大齿轮齿数 =127,则齿数比(即实际传动比)为 =/=127/23=5.5217。与原要求仅差(5.1328-5.1304)/5.1304=0.05%,故可以满足要求。
    3) 选择螺旋角β:
          按经验 ,8°< <20°,现初选 =13°
    4) 计算当量齿数,查齿形系数:
    z= z/cos β=23/ cos 13°=24.8631
    z= z/cos β=127/ cos 13°=137.30
    由[1]P111表8-8线性差值求得:
    5) 选择齿宽系数:
    由于减速器为展开式双级齿轮传动,所以齿轮相对支承只能为非对称简支结构,故齿宽系数不宜选得过大,参考[1]表8-5,选择为0.7~1.0,现选   =0.8
    6 )选择载荷系数:
      参考[1]P106表8-3,由齿轮承受中等冲击载荷,选载荷系数K为1.2~1.6。
    取K=1.3。
    7 )计算I号齿轮轴上的扭矩TI :
    9550000 ×3.024/1440=20100 N·mm
    8) 计算几何参数:
    tan=tan/ cos=tg20 °/ cos13°=0.374
    =20.5158 °=
    sin = sin cos == sin13 °×cos20°=0.213
    =12.2103 °=
    =1.68
    =1/z1tg=1/3.141590.823tg13 °=1.35
    9) 按齿面接触疲劳强度设计:
    区域系数:        2.4414             
    弹性影响系数:      Z=189.8
    由[1]P109表8-6取安全系数S =1.0
    许用接触应力:
    小齿轮分度圆直径:
         计算法面模数m  
    m=cosd/z=cos13 ° 36.513/23=1.53 mm
     10) 按齿根弯曲疲劳强度设计:
    计算螺旋角系数Y ,因=1.35>1,按=1计算得:
    Y =1-=1-1 =0.892
    计算齿形系数与许用应力之比值:
    Y/[]=2.7002/148.9744=0.018
    Y/[]=2.1365/137.1795=0.016
    由于Y /[]较大,用小齿轮的参数Y /[]代入公式,计算齿轮所需的法面模数:
    ==1.078
    11) 决定模数
    由于设计的是软齿面闭式齿轮传动,其主要失效是齿面疲劳点蚀,若模数过小,也可能发生轮齿疲劳折断。所以 对比两次求出的结果,按接触疲劳强度所需的模数较大,齿轮易于发生点蚀破坏,即应以mn≥1.53mm为准。根据标准模数表,暂定模数为:
    m=2.0mm
    12) 初算中心距:
    2.0(23+127)/2cos13 °=154.004mm
    标准化后取   a=154mm
    13) 修正螺旋角β 
    按标准中心距修正β:
    14) 计算端面模数:
    15) 计算传动的其他尺寸:
     
    16) 计算齿面上的载荷:
    17) 选择精度等级
      齿轮的圆周转速:
    3.558 m/s
    对照[1]P107表8-4,因运输机为一般通用机械,故选齿轮精度等级为8级是合宜的。
    18 )齿轮图:
     
     
     
     
     
     
     
     
    2.2 低速级斜齿圆柱齿轮的传动设计计算
    1) 选择齿轮材料及热处理方式
    由于软齿面齿轮用于齿轮尺寸紧凑性和精度要求不高,载荷不大的中低速场合。根据设计要求现选软齿面组合:
    根据 [ 1 ]P102 表8-1得:
    小齿轮选择45钢调质,HBS =217~255;
    大齿轮选择45钢常化,HBS =162~217;
    此时两齿轮最小硬度差为217-162=55;比希望值略小些,可以初步试算。
    2) 齿数的选择:
    现为软齿面齿轮,齿数以比根切齿数较多为宜,初选
    =25
    ==4.1025=102.5
    取大齿轮齿数z =103,则齿数比(即实际传动比)为 =z/z1=103/25=4.12。与原要求仅差(4.12-4.10)/4.10=0.487%,故可以满足要求。
    3) 选择螺旋角β:
          按经验 ,8°< <20°,现初选
    =12 °
    4) 计算当量齿数,查齿形系数:
    z= 1 /cos=25/ cos12 °=26.709
    z= /cos=103/ cos12 °=110.043
    由[1]P111表8-8线性差值求得:
    5) 选择齿宽系数:
    由于减速器为展开式双级齿轮传动,所以齿轮相对支承只能为非对称简支结构,故齿宽系数不宜选得过大,参考[1]表8-5,选择为0.7~1.15,现选 =0.8
    6 )选择载荷系数:
      参考[1]P106表8-3,由齿轮承受中等冲击载荷,选载荷系数K为1.2~1.6。
    取K=1.3。
    7 )计算II号齿轮轴上的扭矩TII:
    106300 N ·m
    8) 计算几何参数:
    tan=tan/ cos=tan20 °/ cos12°=0.372
    =20.415 °=
    sin= sincos= sin12 °cos20° =0.195
    =11.27 °=
     
    =1.68
    =1/z1tan=1/3.141590.825tan12 °=1.35
    9) 按齿面接触疲劳强度设计:
    区域系数:         Z==2.449
    弹性影响系数:       Z=189.8
    K =1  =450.000MPa      S=1.0
    许用接触应力:
     
    小齿轮分度圆直径:
    计算法面模数m :
    m=cosd/z=cos12 ° 64.868/25=2.53mm
    10) 按齿根弯曲疲劳强度设计:
    计算螺旋角系数Y ,因=1.35>1,按=1计算得:
    Y =1-=1-1 =0.9083
    计算齿形系数与许用应力之比值:
    Y/[]=2.585/144.846=0.0178
    Y/[]=2.174/134.615=0.016
    由于Y /[]较大,用大齿轮的参数Y /[]代入公式
    计算齿轮所需的法面模数:
    ==1.777
    11) 按接触强度决定模数值,取
    m=2.5mm
    12) 初算中心距:
    a=m(z1+ z)/2cos=2.5(25+103)/2cos12 °=163.599 mm
    标准化后取                 a=164mm
    13) 修正螺旋角β:
    按标准中心距修正β:
    14) 计算端面模数:
    15) 计算传动的其他尺寸:
       
    16) 计算齿面上的载荷:
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
    齿轮的主要参数
     
    高速级
    低速级
    齿数
    23
    127
    25
    103
    中心距
    154
    164
    法面模数
    2.0
    2.5
    端面模数
    2.053
    2.563
    螺旋角
      
    法面压力角
      
    端面压力角
      
    齿宽b
    40
    38
    58
    52
    齿根高系数标准值
    1
    1
    齿顶高系数
    0.9724
    0.9810
    齿顶系数标准值
    0.25
    0.25
    当量齿数
    24.863
    131.30
    26.709
    110.043
    分度圆直径
    47.259
    260.731
    64.063
    263.938
    齿顶高
    2.0
    2.5
    齿根高
    2.5
    3.125
    齿全高
    4.5
    5.625
    齿顶圆直径
    51.259
    264.731
    69.063
    268.938
    齿根圆直径
    42.259
    255.731
    57.750
    257.688
     


    三、       轴的结构设计和计算
    轴是组成机械的主要零件,它支撑其他回转件并传递转矩,同时它又通过轴承和机架连接。所有轴上零件都围绕轴心做回转运动,形成一个以轴为基准的组合体——轴系部件。
    3.1轴的结构设计
    3.1.1 初步确定轴的最小直径
    选取轴的材料为45号钢调质处理。
    按扭转强度法估算轴的直径,由[1]P207表12—2。
    高速轴: 取A =116
     mm
    中间轴:取 =112
    =112=25.007mm
    低速轴:取 =107
    =37.714mm
    3.1.2 确定轴的结构与尺寸
    轴的选取及计算
    1.            因为Ⅰ轴通过联轴器与电动机的轴径28mm,查联轴器标准,选联轴器为弹性柱销联轴器。标准型号HL2,与联轴器相联的轴径选取为25mm。
    2.            零件的轴向定位需用定位轴间。H>0.07d。为了加工装配方便而设置非定位轴肩,一般为2—3mm。
    4.                Ⅰ—Ⅱ与联轴器相联。
    5.                Ⅱ—Ⅲ为扳手位置和端盖。
    6.                Ⅲ—Ⅳ为轴承位置。
    7.                Ⅳ—Ⅴ为低速齿轮的空间,以不发生干涉为主。
    8.                Ⅴ—Ⅵ为齿轮轴。
    9.                Ⅵ—Ⅶ为齿轮端面和内壁的空隙和部分内壁距离。
    10.            Ⅶ—Ⅷ为轴承位置。
    轴承的尺寸如图所示
    II 轴的设计
    1.            根据前述所算的最小的轴径为25.88mm。选轴承型号为 GB/T297—93 7207C角接触球 轴承。
    2.                    按轴肩规格。设置轴的结构,及定位关系。
    Ⅰ—Ⅱ为轴承安装空间,轴承为GB/T—93 7207C型号       
      Ⅱ—Ⅲ为齿轮端面和内壁的空隙和部分内壁距离。
      Ⅳ—Ⅴ为齿轮轴。
    Ⅴ—Ⅵ为低速齿和高速齿端面距离。
      Ⅵ—Ⅶ为低速齿安装处。
      Ⅶ—Ⅷ为套筒定位和安放轴承。
    轴承的具体尺寸如图所示
     
    III 输出轴的设计
    1 .根据算的轴径最小值 。选取d=55mm。
    2 .轴的结构及定位关系取法步骤同前。
    Ⅰ—Ⅱ段为套筒定位和安放轴承。
    Ⅱ—Ⅲ段为高速级齿轮和安装空间以不发生干涉为主。
    Ⅲ—Ⅳ段为齿轮定位轴间。
    Ⅳ—Ⅴ为高速齿轮的空间,以不发生干涉为主。
    Ⅴ—Ⅵ为轴承位置。
      Ⅵ—Ⅶ段为扳手空间位置和轴承端盖。
    Ⅶ—Ⅷ与联轴器相联。
    轴承的具体尺寸如图所示
             
    3.3 中间轴的校核:
    1) 中间轴的各参数如下:
    = 106.34N ·m    =260.87r/min   =2.904kW
    2) 中间轴上的各力:
    低速级小齿轮:Ft1=3319N Fr1=1235N Fa1=747N
    高速级大齿:Ft2=851N Fr2=318N   Fa2=198N 
    3 )绘制轴的计算简图
    (1)计算支反力
     
    剪力图:
    弯矩图:
     
     
     
     
     
     
    垂直面:
    剪力图:
    弯矩图:
    扭矩图:
    合弯矩图:
           
    校核轴的强度:
    由上述可知,危险截面在C截面处。
    按第三强度理论求出弯矩M 图,由公式M =
    M ===155.275
    轴为45号钢,查表可知 [ ] = 60 Mpa
    由公式可得:
    [ ]
    所以中间轴满足强度要求。
    四、        滚动轴承的选择及计算
    轴承是支承轴的零件,其功用有两个:支承轴及轴上零件,并保持轴的旋转精度;减轻转轴与支承之间的摩擦和磨损。
    与滑动轴承相比,滚动轴承具有启动灵活、摩擦阻力小、效率高、润滑简便及易于互换等优点,所以应用广泛。它的缺点是抗冲击能力差,高速时有噪声,工作寿命也不及液体摩擦滑动轴承。
    4.1 轴承的选择与结构设计:
       于转速较高,轴 向力又比较小,故选用深沟球轴承。下面以高速级轴为例初选轴承型号为6207,具体结构图如下。
     
    4.2 高速轴轴承的校核:
    ,  
           
     Fa/Fr=198/318=0.623>e
    查表利用插值法得: e=0.204,则有
    >e    则有X=0.56,利用插值法:Y=2.16
    由公式P= (X+Y)可得
          P=1.2 ×(0.56 318+2.16 198)=726.912
    由公式 h〉12000h
    所以满足要求。即高速级选用6207型号的轴承
    4.3 中间轴轴承的校核:
    中间轴选择6208: ,  
      
    高速级大齿轮:    
    低速级小齿轮:    
                    
    所以利用插值法得e=0.227
     Fa/Fr=549/917=0.59>e
    所以选用X=0.56,Y=1.93
    由公式得:
    P=(X+Y) =1.2(0.56 917+1.93 549)=1887.708N
    由公式 h >12000h
    所以满足要求。即中间轴选用6208型号的轴承
     
    4.4 低速轴轴承的校核:
    初选低速级选用7209AC型号的轴承正装  
    ,  
    求得: =1768N    R =2506N 
    Fa=Fa -Fa =747-198=549N
    S =0.68R =0.68 ×1768=1202.24N
    S =0.68R =0.68-2506=1704.08N
    Fa+S =549+1704.48=2253.08 >S    故1被压缩,2被放松。
       求轴向载荷: A =Fa+S=2253.08N
    A =S=1704.08
    求当量动载荷P ,P
    A /R =2253.08/1768=1.27 >e    X =0.41 Y =0.87
    A /R =1704.08/2506=0.68=e    X =1      Y =0
    P =(X R +Y A )=1.2(0.41 1768+0.87 2253.08)=3222.1N
    P =(X R +Y A ) =1.2(1 2506)=3007.2N
    由公式 >12000h
    所以满足要求。即低速级选用7209AC型号的轴承
    五、键联接的选择及计算
    键是标准件,通常用于联接轴和轴上的零件,起到周向固定的作用并传递转矩。有些类型的键还可以实现轴上零件的轴向固定或轴向移动。根据所设计的要求。此次设计所采用的均为平键联接。
    5.1 键选择原则:
    键的两侧面是工作面,工作时候,靠键与键槽侧面的挤压来传递转矩;键的上表面与轮毂槽底面之间则留有间隙。平键联结不能承受轴向力,因而对轴上的零件不能起到轴向固定的作用。常用的平键有普通平键和导向平键两种。平键联结具有结构简单,装拆方便,对中良等优点,因而得到广泛的应用。普通平键用于静联结。A型号或B型号平键,轴上的键槽用键槽铣刀铣出,键在槽中固定良好,但当轴工作时,轴上键槽端部的应力集中较大。
    5.2 键的选择与结构设计
    取本设计中间轴段的平键进行说明。
    由于本设计装置,键所承受的应力不是很大,我们选择A型号圆头普通平键。根据中间轴段的轴径选择
    键的具体结构如下图
                   
     
     
     
     
    (1).键的校核
    校核:  先根据设计出轴的直径从标准中查的键的剖面尺寸为:键宽b=14mm, 键高h=9mm,在上面的公式中k为键与轮毂键槽的接触高度等于0.5h, 为键的工作长度: =L-b
    查表键联结的许用挤压应力,许用压力(Mpa)
    =100 ~120,取中间值 =110
    由轮毂宽度并参考键的长度系列,取键长L=46mm 
    校核

    键槽
    公称直径d
    公称尺寸b×h
    键长     L
    键的标记
    宽度b
    深度
    公称尺寸b
    极限偏差
    轴    t
    榖 t1
    一般键联接
    轴N9
    榖JS9
    >22~30                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                  
    8×7
    52
    键 C8×52 GB1096-2003
    8
    0
    0.018
    4.0
    3.3
    -0.036
    -0.018
    >30~38
    10×8
    80
    键 C10×80 GB1096-2003
    10
    5.0
    3.3
    >38~44                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                  
    12×8
    32
    键 12×32 GB1096-2003
    12
    0
    0.0215
    5
    3.3
    -0.043
    -0.0215
    -0.043
    -0.0215
    >38~44                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                
    12×8
    70
    键 C12×70 GB1096-2003
    12
    0
    0.0215
    5
    3.3
    -0.043
    -0.0215
     
      六、联轴器的选择及计算
    联轴器是机械传动常用的部件,它主要用来是联接轴与轴(有时也联接其它回转零件)。以传递运动与转矩。用联轴器连接的两根轴只有在机器停车后用拆卸的方法才能把两轴分离。
    6.1 联轴器的选择
       根据工作要求,选用弹性套柱销联轴器,型号为LT4.
    输出轴根据工作条件,选择弹性柱销联轴器,型号为HL3.
    结构如下图:
                     
    联轴器的校核
    校核公式:  = 
      查机械设计手册得, 查表11-1得 =1.5
    对于Ⅰ轴:
    =1.5 x 20.26=30.39 <[T], = =1440r/min [n]
    故合格。
    对于Ⅲ轴:
    =1.5 × 418.69=627 <[T], ==63.694r/min [n]
    故合格。
    联轴器的型号具体参数如下 

    型 号
    公称转矩Tn   N.m
     
      许用转速钢[n]
    r/min
    轴孔直径d 1 d 2 dz
     
    轴孔长度
    J
    LT4
    63
    5700
    25 ,28
    62
    HL3
    630
    5000
    40 ,42 ,45, 48
    112

     
    因为,所以选用油润滑。
    减速器的润滑
    减速器的传动零件和轴承必须要有良好的润滑,以降低摩擦,减少磨损和发热,提高效率。
    7.1 齿轮润滑
    润滑剂的选择
    齿轮传动所用润滑油的粘度根据传动的工作条件、圆周速度或滑动速度、温度等按来选择。根据所需的粘度按选择润滑油的牌号
    润滑方式(油池浸油润滑)
    在减速器中,齿轮的润滑方式根据齿轮的圆周速度V而定。当V≤12m/s时,多采用油池润滑,齿轮浸入油池一定深度,齿轮运转时就把油带到啮合区,同时也甩到箱壁上,借以散热。
    齿轮浸油深度以1~2个齿高为宜。当速度高时,浸油深度约为0.7个齿高,但不得小于10mm。当速度低(0.5~0.8m/s)时,浸油深度可达1/6~1/3的齿轮半径,在多级齿轮传动中,当高速级大齿轮浸入油池一个齿高时,低速级大齿轮浸油可能超过了最大深度。此时,高速级大齿轮可采用溅油轮来润滑,利用溅油轮将油溅入齿轮啮合处进行润滑
     
     
     
    7.2 滚动轴承的润滑
    润滑剂的选择:减速器中滚动轴承可采用润滑油或润滑脂进行润滑。若采用润滑油润滑,可直接用减速器油池内的润滑油进行润滑。若采用润滑脂润滑,润滑脂的牌号,根据工作条件进行选择。
    润滑方式(润滑油润滑)飞溅润滑:减速器中当浸油齿轮的圆周速度V >2~3m/s时,即可采用飞溅润滑。飞溅的油,一部分直接溅入轴承,一部分先溅到箱壁上,然后再顺着箱盖的内壁流入箱座的油沟中,沿油沟经轴承盖上的缺口进入轴承。输油沟的结构及其尺寸见图。当V更高时,可不设置油沟,直接靠飞溅的润滑油轴承。若采用飞溅润滑,则需设计特殊的导油沟,使箱壁上的油通过导油沟进入轴承,起到润滑的作用。
         
    因此选a=5mm ,b=6mm.
     
     
     
     
     
     
     
     
    八、箱体及设计的结构设计和选择
    8.1 减速器箱体的结构设计
    减速器铸造箱体的结构尺寸
    名称
    符号
    结构尺寸
    箱座壁厚
    δ
    10
    箱盖壁厚
    δ1
    8
    凸缘的厚度
    b,b1,b2
    15,12 ,25
    箱座上的肋厚
    m
    9
    轴承旁凸台的高度和半径
    h,R
    40 ,16
    轴承盖的外径
    D2
    D+ (5-5.5)d3
    地脚螺钉
    直径与数目
    df
    双级减速器
    n
    4
    a1+a2
    小于350
    df
    16
    n
    6
    通孔直径
    df
    20
    沉头座直径
    D0
    45
    底座凸缘尺寸
    C1
    22
    C2
    20
    联接螺栓
     
     
    轴承旁联接螺栓
    箱座、箱盖联接螺栓
    直径
     
    d1=12
    d2=8
    通孔直径
    d'
    13.5
    10
    联接螺栓直径
    d
    12
    11
    沉头座直径
    D
    26
    22
    凸缘尺寸
    c1min
    18
    13
    c2min
    16
    11
    定位销直径
    d
    6
     
    轴承盖螺钉直径
    d3
    6
     
    视孔盖螺钉直径
    d4
    6
     
    箱体外壁至轴承座端面的距离
    L1
    42
     
    大齿轮顶圆与箱体内壁的距离
    Δ1
    14
     
    齿轮端面与箱体内壁的距离
    Δ2
    12
    9减速度器的附件
    为了保证减速器正常工作和具备完善的性能,如检查传动件的啮合情况、注油、排油、通气和便于安装、吊运等。减速器箱体上常设置某些必要的装置和零件,这些装置和零件及箱体上相应的局部结构统称为附件。
    9.1 窥视孔和视孔盖
    窥视孔用于检查传动件的啮合情况和润滑情况等,并可由该孔向箱内注入润滑油,平时由视孔盖用螺钉封住。为防止污物进入箱内及润滑油渗漏,盖板底部垫有纸质封油垫片。
    9.2 通气器
    减速器工作时,箱体内的温度和气压都很高,通气器能使热膨胀气体及时排出,保证箱体内、外气压平衡,以免润滑油沿箱体接合面、轴伸处及其它缝隙渗漏出来。结构图如下。
     
    9.3 轴承盖
    轴承盖用于固定轴承外圈及调整轴承间隙,承受轴向力。轴承盖有凸缘式和嵌入式两种。凸缘式端盖调整轴承间隙比较方便,封闭性能好,用螺钉固定在箱体上,用得较多。嵌入式端盖结构简单,不需用螺钉,依靠凸起部分嵌入轴承座相应的槽中,但调整轴承间隙比较麻烦,需打开箱盖。根据轴是否穿过端盖,轴承盖又分为透盖和闷盖两种。透盖中央有孔,轴的外伸端穿过此孔伸出箱体,穿过处需有密封装置。闷盖中央无孔,用在轴的非外伸端。
    通过对轴及轴承盖的设计得出数据,设计轴承盖:
    内径为35的轴承
    内径为40的轴承
    内径为45的轴承
    =6
    =7
    =6
    =7
    =6
    =7
    =70
    =78
    =83
    =87
    =95
    =100
    =102
    =110
    =115
    69
    77
    82
    =D-(10-15)=62
    =D-(10-15)=70
    =D-(10-15)=75
    b=5
    b=5
    b=5
    h=5
    h=5
    h=5
    e=(1 ~1.2) =6
    e=(1 ~1.2) =6
    e=(1 ~1.2) =6
    9.4 定位销
    为了保证箱体轴承座孔的镗削和装配精度,并保证减速器每次装拆后轴承座的上下半孔始终保持加工时候的位置精度,箱盖与箱座需用两个圆锥销定位。定位削孔是在减速器箱盖与箱座用螺栓联接紧固后,镗削轴承座孔之前加工的。
          
    9.5 油面指示装置
    为指示减速器内油面的高度是否符合要求,以便保持箱内正常的油量,在减速器箱体上设置油面指示装置,其结构形式
                    
    9.6 放油孔和螺塞
    放油孔应设置在箱座内底面最低处,能将污油放尽。在油孔附近应做成凹坑,以便为了更换减速器箱体内的污油聚集而排尽。平时,排油孔用油塞堵住,并用封油圈以加强密封。螺塞直径可按减速器箱座壁厚2或2.5倍选取。
     
    9.7 起盖螺钉
    减速器在安装时,为了加强密封效果,防止润滑油从箱体剖分面处渗漏,通常在剖分面上涂以水玻璃或密封胶,因而在拆卸时往往因粘接较紧而不易分开。为了便于开启箱盖,设置起盖螺钉,只要拧动此螺钉,就可顶起箱盖。
    9.8 起吊装置
    起吊装置有吊环螺钉、吊耳、吊钩等,供搬运减速器之用。吊环螺钉(或吊耳)设在箱盖上,通常用于吊运箱盖,也用于吊运轻型减速器;吊钩铸在箱座两端的凸缘下面,用于吊运整台减速器。
                                                          
     
     
     
     
     
     
     
    设计小结
         三周的课程设计已经结束了,虽然课程设计把我弄的身心俱惫,但却在此过程中学会综合全面的看待问题,学会如何与同学更好的合作,并且享受着成功时的快乐与失败时的苦闷。我为能够从事机械类专业的学习而感到自豪。
    随着时代的发展,机械设计越来越表现出其特有的作用,通过此次机械设计,使我对机械零件设计步骤和设计思想,得到了充分掌握,真正地把所学到的知识初步地运用到了实践之中,收益很大,同时,也发现了许多知识掌握不足。
    在这段时间里我们通过彼此之间的相互合作,交流学习,掌握了许多新知识,尤其对机械原理和机械设计有了系统的掌握。但由于时间有限,学习心得不够深刻,还不能对所学的知识达到熟练的运用,这就需要在今后不断的学习和提高。
    初次接触课程设计,有一种全新的感觉,和以前接触的是完全不同的境界。一切都从零开始,翻阅资料,购书学习,然后试着设计、计算、校核、绘图,并且不断的修改,反复试验。每一部分、每一个步骤都让我们感到受益非浅。有时因一个小小的错误,看起来并不影响美观的图纸,但经过反复思考,才发现这样一个不起眼的小错误就会造成意想不到的后果,这让我知道了千里之堤,毁于蚁穴的道理;有时还会出现别的不合理的地方。每当遇到这些情况,我们都耐心的思考、调试,直到最后成功。完成后我们都有一种打胜仗的感觉。
    虽然,我们如期完成了课程设计,但应当承认,我们设计的全面性还不够,考虑问题的周密性也不强,所设计的最后结果还没有达到最优效果。这其中有多方面原因,这包括对所学的知识不够熟练,也包括我们对实践中的机械零件的不够了解。
    课程设计让我们有机会把理论和实践相结合,学会了用理论去指导实践,同时也只有通过实践检验才知道理论正确与否。同时在这次毕业设计中我们深刻体会到机械设计发展的速度之快,在社会各领域的地位也越来越高。因此在这方面我们应不断学习,不断更新知识,不断充实自己,这样才能适应信息时代的发展。
    实践是检验真理的唯一标准。通过实践才能发先自身的不足,并加以改进,才能使自身得以更好的发展。最后感谢指导教师的细心指导。
     
     
     
     
     
     
     
     
    参考文献
    【1】 濮良贵,陈庚梅主编.机械设计教程,第二版.西安:西北工业大学出版社,2003年2月
    【2】唐增宝,常建娥主编.机械设计课程设计,第3版.武汉:华中科技大学出版社,2006年4月
    【3】龚溎义主编. 机械设计课程设计指导书,第二版.北京:高等教育出版社2007年12月
    【4】刘鸿文主编.简明材料力学.北京:高等教育出版社,2005年7月
    【5】大连理工大学工程画教研室编.胡宜鸣,孟淑华主编.机械制图,第五版.北京:高等教育出版社,2003年8月
    【6】毛平淮主编.互换性与测量技术基础.北京:机械工业出版社,2006年7月
    展开全文
  • 第一种是波浪号展开,第二种是通配符展开式. 波浪号展开 如果命令行字符串的第一个字符为波浪号(~),或者变量指定(例如PATH或CDPATH变量)的值里任何未被引号括起来的冒号之后的第一个字符为波浪号(~)时,shell变回...

    波浪号展开与通配符

    shell中两种与文件名相关的展开.第一种是波浪号展开,第二种是通配符展开式.

    波浪号展开

    如果命令行字符串的第一个字符为波浪号(~),或者变量指定(例如PATHCDPATH变量)的值里任何未被引号括起来的冒号之后的第一个字符为波浪号(~),shell变回执行波浪号展开.

    波浪号展开的目的,将用户根目录的符号型表示方式,改为实际的目录路径.可以采用直接或间接的方式指定执行此程序的用户,如未明白指定,则为当前的用户:
    命令:vi ~/.profile       vi $HOME/.profile相同

    命令:vi ~root/.profile 编辑用户root.profile文件

     

    案例分析:第一个命令,shell~换成$HOME,也就是当前用户的根目录.第二个命令,则是shell在系统的密码库里,需找用户root,再将~root置换为root的根目录.

     

    使用波浪号的好处:

    1.这是一种简介的概念表示方式

    2.这可以避免在程序里把路径名称直接编码,例如:

    有一段bash脚本:

    printf “enter username : ”

    read user

    vi /home/$user/.profile 编辑该用户的.profile文件

    这段程序假设所有用户的根目录都在/home之下.如果这又任何变动(例如,用户子目录根据部门存放在部门目录的子目录下),那么这个脚本就得重写.但如果使用波浪号展开,就能避免重写的情况:

    printf “enter username : ”

    read user

    vi /home/$user/.profile 编辑该用户的.profile文件

    这样一来,无论用户的根目录在哪里,程序都能正常运行了.

     

    使用通配符

    寻找文件名里的特殊字符,也是shell提供的服务之一.

                       基本的通配符

    通配符

    匹配

    *

    任何的字符串字符

    [set]

    任何在set里的字符

    [!set]

    任何不在set里的字符

    ?

    任何的单一字符

     

    ?通配符匹配于任何的单一字符,所以如果你的目录里含有demo.a,demo.b,demo.txt这三个文件,与表达式demo.?匹配为demo.a,demo.b,但是demo.txt则不匹配.

    星号(*)是一个功能强大的且广为使用的通配符;它匹配于任何字符组成的字符串.使用表达式demo.*会匹配前面说的三个文件;网页设计人员也可以用*.html表达式匹配他们的输入文件.

    set结构是一组组字符列表(例如abc),一段内含的范围(a-z),或者是两者的结合.如果希望破折号也是列表的一部分,只要把它放在第一个或最后一个就可以了.

                        使用set结构的通配符

    表达式

    匹配的单一字符

    [abc]

    a,bc

    [.,;]

    句号,逗号,或分号

    [-_]

    破折号或下划线

    [a-c]

    a,bc

    [a-z]

    任意一个小写字母

    [!0-9]

    任意一个非数字字符

    [0-9!]

    任意一个数字会感叹号

    [a-zA-Z]

    任意一个大写或小写字母

    [a-zA-Z0_9_-]

    任何一个字母,任何一个数字,下划线或破折号

     

    在原来的通配符返利中,demo.[ab]demo.[a-z]两者都匹配demo.ademo.b,但是demo.txt则不匹配.

    在左方括号之后的感叹号用来”否定”一个set.例如[!.;]符合句号和分号以外的任何一个字符;[!a-zA-Z]符合任何一个非字母的字符.

     

    范围表示法固然方便,但不应该对包含在范围内的字符有太多的假设.比较安全的方式是:分别指定所有大写字母,小写字母,数字,或任意的子范围(例如[f-q].[2-6]).不要想在标点符号字符上指定范围,或是在混用字母大小写上使用,[a-Z][A-z]这样的用法,都不能保证一定能确切的匹配出包括所有想要的字母,而没有其他不想要的字符.更大的问题是在于:这样的范围在不同的类型之间的计算机之间无法提供完全的可移植性.

     

    另一个问题是:很多国家默认的系统语言环境与纯粹的ASCII的字符集是不同的.为了解决这个问题,POSIX标准提出了方括号表达式,用来表示字母,数字,标点符号以及其他类型的字符,并且具有可移植性.在正则表达式下的方括号表达式里也出现相同的元素,它们可被用在兼容POSIXshell内的shell通配符模式中,不过应该尽量避免将其应用在需可移植的shell脚本里.

     

    习惯上,当执行通配符展开时,linux shell会忽略文件名开头为一个点号的文件.像这样的”点号文件”通常用做程序配置文件或启动文件(一般都隐藏起来了,需要使用 ls -a来查看).像是shell$HOME/.profile,ex/vi编辑器的$HOME/.exrc,以及bashgdb使用的GNU readline程序库的$HOME/.inputrc.

     

    要看到这类文件,需要在模式前面明确的提供一个点号.例如:

    echo .*                  显示隐藏文件

     

    注意:隐藏文件只是一个习惯用法.在用户层面的软件上他是这样的,但核心程序(kernel)并不认为开头带有一个点号的文件与其他文件有不同.

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