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  • R_展示变量之间关系的图形

    千次阅读 2018-04-02 22:54:51
    #绘制普通矩阵散点图plot(dataframe)#绘制带有拟合直线,最佳拟合曲线和直方图的矩阵散点图library(car)attach(dataframe)...,gap=0.5)#绘制气泡图symbols(var1,var2,circles = var3/pi) #用气泡图表示三变...
    #绘制普通矩阵散点图
    plot(dataframe)
    #绘制带有拟合直线,最佳拟合曲线和直方图的矩阵散点图
    library(car)
    attach(dataframe)
    scatterplotMatrix(~var1+var2+var3+...,diagonal="histogram",gap=0.5)


    #绘制气泡图
    symbols(var1,var2,circles = var3/pi) #用气泡图表示三个变量之间的关系,其中用一个变量的大小表示气泡的大小


    #雷达图
    load('E:/软件学习/R/example2_5.RData')
    library(fmsb)
    radarchart(example2_5,axistype =0,seg = 4,maxmin=FALSE,vlabels = names(example2_5),plwd=2)
    #radarchart(数据框,axistype-轴坐标,seg—每个轴分几段,maxmin=TRUE要求数据框第一行必须是最大值,
    #第二行必须是最小值,vlabels变量的名称)
    legend(x="topleft",legend = rownames(example2_5),col = 1:7,lwd=2,text.width = 0.5,cex = 0.6)


    #平行坐标图(多线图)
    outplot<-function(data){
      nc<-ncol(data) #data的列数
      nr<-nrow(data) #data的行数
      plot(x=1:nc,ylim = c(min(data),max(data)),xaxt="n",type = "n",ylab = "值",cex.axis=0.6)
      #xaxt="n" 设置x-轴但不显示,type = "n" 不作图
      for(i in 1:nr){
        lines(as.numeric(data[i,]),col=i,lwd=2,type="o")
      }
      legend(x="top",legend = rownames(data),col=1:nr,lwd=2,text.width = 1,cex=0.6)
      axis(side=1,at=1:nc,labels =names(data),cex.axis=0.7 )
    }
    outplot(example2_5)
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  • 目录散点图描述关系特征相关性协方差Pearson相关性非线性关系Spearman秩相关相关性和因果关系 之前提到过描述单个随机变量的一些...研究两个变量之间关系的最简单方法是散点图(scatter plot)。但好的散点图的绘...


    之前提到过描述单个随机变量的一些工具,比如正针对整体总体细节的“分布”、针对总体概述的各种统计量(期望、方差等),也提到过针多元随机变量的描述量:协方差和相关系数,现在此总结下多个变量之间关系的研究。

    注:针对机器学习的问题,“变量”可以直接理解为“特征”。

    1. 散点图

    研究两个变量之间关系的最简单方法是散点图(scatter plot)。但好的散点图的绘制并不简单。

    注:可以将数据进行抖动(jittering),即加入随机噪音弥补四舍五入的效果,以减少丢失信息对散点图的影响。
    但是,抖动数据通常只应用于视觉效果,你应该避免在分析时使用经过抖动处理的数据。
    在这里插入图片描述
    即便经过了抖动处理,散点图也不是展示数据的最佳方法。图中有很多重叠的点,遮盖了密集部分的数据,使离群值显得特别突出。这种效果称为饱和(saturation)。

    2. 描述关系特征

    散点图能让我们对变量关系有个大体了解,而其他可视化方法则可以让我们更深入地了解变量关系的本质。一种方法是对一个变量进行分区,绘制另一个变量的百分位数

    3. 相关性分析

    相关性(correlation)是一个统计量,用于量化两个变量之间关系的强弱

    度量相关性的困难之处在于,我们需要比较的变量通常使用不同的单位。即便变量使用相同的单位,也可能来自不同的分布。

    这些问题有两个常见的解决方法。

    • 将每个值都转换为标准分数(standard score),即其偏离均值的标准差数。这种转换会产生“Pearson乘积矩相关系数”。
    • 将每个值都转换为秩,即其在所有值的排序列表中的索引。这种转换会产生“Spearman秩相关系数”。

    3.1 协方差

    协方差(covariance)可以度量两个变量共同变化的趋势
    对于随机变量X和Y,两者的协方差定义如下:
    Cov[X,Y] = E[(X-μx)(Y-μy)],(中括号只是一种约定俗成的表示手段)可以这样理解:
    在这里插入图片描述

    • 协方差公式中包含的含义
      协方差为正,表示X增大时,Y也增大——正相关性;
      协方差为负,表示X增大时,Y倾向于减小——负相关性;
      协方差为0时,表示X增大,Y没有明显的增大或减小的倾向——两者独立相关。

    几点注意:

    1.与方差的关系
    Var[X] = E[(X-μ)2] = E[(X-μ)(X-μ)] ,其实方差就是一种特殊的协方差

    2.协方差矩阵

    我们可以引入一个协方差矩阵,将一组变量X1,X2,X3两两之间的协方差用矩阵的形式统一进行表达:

    [ 
    V[X~1~]      Cov[X~1~X~2~]      Cov[X~2~X~3~]
    Cov[X~2~X~1~      V[X~2~]       Cov[X~2~X~3~]
    Cov[X~2~X~1~]      Cov[X~3~X~2~]     V[X~3~]     
    ]
    

    注:看上面的公示就会发现若均值μ都为0 ,则计算会简便很多,所以一般先对变量进行0均值处理(xi或者yi减去他们的均值)

    3.PCA降维的过程

    假设我们研究的对象有两个特征属性X和Y,对 5 个样本进行数据采样的结果如下:

    X Y
    样本1 2 2
    样本2 2 6
    样本3 4 6
    样本4 8 8
    样本5 4 8

    我们的目标是对其降维,只用一维特征来表示每个样本,只用一维特征来表示每个样本。我们首先将其绘制在二维平面图中进行整体观察:
    在这里插入图片描述
    查看这两个变量的协方差矩阵,

    import numpy as np
    import matplotlib.pyplot as plt
    
    x = [2,2,4,8,4]
    y = [2,6,6,8,8]
    S = np.vstack((x,y))
    
    print(np.cov(S))
    
    
    [[ 6.  4.]
     [ 4.  6.]]
    

    结合之前的二维散点图可以发现5个样本的特征 X 和特征 Y 呈现出正相关性,数据彼此之间存在着影响。

    若直接粗暴地去掉一个特征,可行么?则会变成:
    在这里插入图片描述显然效果不理想:忽视了数据中的内在结构关系,并且带来了非常明显的信息损失。
    (降维——>高维数据向低维进行投影)

    一个解决思路便是:

    ① 去除原始特征的相关性,使用心新的一组特征来表示原始数据
    ② 然后从新的彼此无关的特征中舍弃不重要的特征,保留较少的特征,实现降维。

    首先,第一点的目的是使用新的特征来对样本来进行描述为了让这两个新特征满足彼此无关的要求,就需要让这两个新特征的协方差为0,构成的协方差矩阵是一个对角矩阵(原始特征X和Y的协方差不是0,只是一个普通的对称矩阵

    对变量分别进行0均值处理后,通过求解协方差矩阵的特征向量,就可以得到线性无关的特征矩阵(图中两个新的坐标方向)。

    在这里插入图片描述
    接下来的工作就是从这两个特征中选取一个作为原始数据的特征表达,其判断标准是方差,方差越大表示这个特征里的数据分布的离散程度就越大,特征所包含的信息量就越大。

    在这里插入图片描述

    3.2 Pearson相关性

    协方差在一些计算中非常有用,但其含义很难解释,因此人们很少将协方差作为摘要统计量。别的不提,协方差的单位是 X 和 Y 的单位乘积,这一点就很难理解。例如,BRFSS数据集中体重和身高的协方差是113千克-厘米,天晓得这是什么意思。
    解决这个问题的方法之一是将偏差除以标准差,得到标准分数,然后计算标准分数的乘积。
    Pearson相关性容易计算,也易于解释。因为标准分数是无量纲(无单位),所以 ρ 也是无单位的。

    非线性关系

    如果Pearson相关性接近0,你可能会认为变量之间没有关系,但这个结论并不成立。Pearson相关性只度量了线性(linear)关系。如果变量之间存在非线性关系,那么 ρ 对变量相关性强弱的估计就可能是错误的。

    Spearman秩相关

    如果变量之间的关系是线性的,而且变量大致符合正态分布,那么Pearson相关性能够很好地说明相关性的强弱。但是离群值会影响Pearson相关性的稳健性。Spearman秩相关能够缓解离群值以及偏斜分布的的影响,也可以用于描述变量的相关性。要计算Spearman相关性,必须计算每个值的秩(rank),即该值在排序样本中的索引。

    相关性和因果关系

    记住:“相关性并不意味着因果关系”

    我们可以用 X 的信息,去预测 Y 的分布或者某些特征,但并不能告诉我们 X 的变化一定会导致 Y 的变化。

    统计关系,无论多么强、多么富有启示性,都不能确立因果关系。因果关系的思想必须来自于统计学之外,来源于一些理论或者其他方面
    ——Kendall & Stuart(1961)

    参考:

    1. 《概率思维》
    2. 线性回归:描述变量间预测关系最简单的回归模型
    3. 简单相关性分析(两个连续型变量)
    4. 矩阵特征值分解与主成分分析(Python 实现)
    展开全文
  • 交换两个变量的值,不使用第三个变量的四种法方

    千次阅读 多人点赞 2019-09-13 18:42:27
    交换两个变量的值,不使用第三个变量的四种法方 通常我们的做法是(尤其是在学习阶段):定义一个新的变量,借助它完成交换。代码如下: int a,b; a=10; b=15; int t; t=a; a=b; b=t; 这种算法易于理解,特别适合...

    交换两个变量的值,不使用第三个变量的四种法方

    通常我们的做法是(尤其是在学习阶段):定义一个新的变量,借助它完成交换。代码如下:
    int a,b;
    a=10; b=15;
    int t;
    t=a; a=b; b=t;
    这种算法易于理解,特别适合帮助初学者了解计算机程序的特点,是赋值语句的经典应用。在实际软件开发当中,此算法简单明了,不会产生歧义,便于程序员之间的交流,一般情况下碰到交换变量值的问题,都应采用此算法(以下称为标准算法)。

    上面的算法最大的缺点就是需要借助一个临时变量。那么不借助临时变量可以实现交换吗?答案是肯定的!这里我们可以用三种算法来实现:1)算术运算;2)指针地址操作;3)位运算;4)栈实现。

    1) 算术运算
    int a,b;
    a=10;b=12;
    a=b-a; //a=2;b=12
    b=b-a; //a=2;b=10
    a=b+a; //a=10;b=10
    它的原理是:把a、b看做数轴上的点,围绕两点间的距离来进行计算。
    具体过程:第一句“a=b-a”求出ab两点的距离,并且将其保存在a中;第二句“b=b-a”求出a到原点的距离(b到原点的距离与ab两点距离之差),并且将其保存在b中;第三句“a=b+a”求出b到原点的距离(a到原点距离与ab两点距离之和),并且将其保存在a中。完成交换。
    此算法与标准算法相比,多了三个计算的过程,但是没有借助临时变量。(以下称为算术算法)
    缺点:是只能用于数字类型,字符串之类的就不可以了。a+b有可能溢出(超出int的范围),溢出是相对的, +了溢出了,-回来不就好了,所以溢出不溢出没关系,就是不安全。

    2) 指针地址操作
    因为对地址的操作实际上进行的是整数运算,比如:两个地址相减得到一个整数,表示两个变量在内存中的储存位置隔了多少个字节;地址和一个整数相加即“a+10”表示以a为基地址的在a后10个a类数据单元的地址。所以理论上可以通过和算术算法类似的运算来完成地址的交换,从而达到交换变量的目的。即:
    int a,b; //假设
    a=new int(10);
    b=new int(20); //&a=0x00001000h,&b=0x00001200h
    a=(int
    )(b-a); //&a=0x00000200h,&b=0x00001200h
    b=(int
    )(b-a); //&a=0x00000200h,&b=0x00001000h
    a=(int
    )(b+int(a)); //&a=0x00001200h,&b=0x00001000h
    通过以上运算a、b的地址真的已经完成了交换,且a指向了原先b指向的值,b指向原先a指向的值了吗?上面的代码可以通过编译,但是执行结果却令人匪夷所思!原因何在?
    首先必须了解,操作系统把内存分为几个区域:系统代码/数据区、应用程序代码/数据区、堆栈区、全局数据区等等。在编译源程序时,常量、全局变量等都放入全局数据区,局部变量、动态变量则放入堆栈区。这样当算法执行到“a=(int
    )(b-a)”时,a的值并不是0x00000200h,而是要加上变量a所在内存区的基地址,实际的结果是:0x008f0200h,其中0x008f即为基地址,0200即为a在该内存区的位移。它是由编译器自动添加的。因此导致以后的地址计算均不正确,使得a,b指向所在区的其他内存单元。再次,地址运算不能出现负数,即当a的地址大于b的地址时,b-a<0,系统自动采用补码的形式表示负的位移,由此会产生错误,导致与前面同样的结果。
    有办法解决吗?当然!以下是改进的算法:
    if(a<b)
    {
    a=(int*)(b-a);
    b=(int*)(b-(int(a)&0x0000ffff));
    a=(int*)(b+(int(a)&0x0000ffff));
    }
    else
    {
    b=(int*)(a-b);
    a=(int*)(a-(int(b)&0x0000ffff));
    b=(int*)(a+(int(b)&0x0000ffff));
    }
    算法做的最大改进就是采用位运算中的与运算“int(a)&0x0000ffff”,因为地址中高16位为段地址,后16位为位移地址,将它和0x0000ffff进行与运算后,段地址被屏蔽,只保留位移地址。这样就原始算法吻合,从而得到正确的结果。
    此算法同样没有使用第三变量就完成了值的交换,与算术算法比较它显得不好理解,但是它有它的优点即在交换很大的数据类型时,它的执行速度比算术算法快。因为它交换的时地址,而变量值在内存中是没有移动过的。(以下称为地址算法)

    3) 位运算
    int a=10,b=12; //a=1010^b=1100;
    a=a^b; //a=0110^b=1100;
    b=a^b; //a=0110^b=1010;
    a=a^b; //a=1100=12;b=1010;
    此算法能够实现是由异或运算的特点决定的,通过异或运算能够使数据中的某些位翻转,其他位不变。这就意味着任意一个数与任意一个给定的值连续异或两次,值不变。

    4)栈实现。不多解释了,栈和相关函数定义省去。
    int exchange(int x,int y)
    {
    stack S;
    push(S,x);
    push(S,y);
    x=pop(S);
    y=pop(S);
    }

    以上算法均实现了不借助其他变量来完成两个变量值的交换,相比较而言算术算法和位算法计算量相当,地址算法中计算较复杂,却可以很轻松的实现大类型(比如自定义的类或结构)的交换,而前两种只能进行整形数据的交换(理论上重载“^”运算符,也可以实现任意结构的交换)。
    介绍这三种算法并不是要应用到实践当中,而是为了探讨技术,展示程序设计的魅力。从中可以看出,数学中的小技巧对程序设计而言具有相当的影响力,运用得当会有意想不到的神奇效果。而从实际的软件开发看,标准算法无疑是最好的,能够解决任意类型的交换问题。

    展开全文
  • 如果能从一个变量的信息中得到另一个变量的信息,那么这两个变量之间就是相关的。

    本章将研究变量之间的关系,如果能从一个变量的信息中得到另一个变量的信息,那么这两个变量之间就是相关的。

    散点图

    研究两个变量之间关系的最简单方法是散点图(scatter plot),但好的散点图的绘制并不简单。

    下面绘制BRFSS调查参与者的体重与身高关系的散点图。但这个绘制结果数据都成列聚集,这是因为身高数据四舍五入到相邻的英寸,转换为厘米后,再次四舍五入。在这个转换过程中,丢失了一些信息。


    图1 BRFSS调查参与者的体重与身高关系散点图,未抖动(左),抖动(右)

    即使经过了抖动处理,散点图也不是展示数据的最佳方法。图中有很多重叠的点,遮盖了密集部分的数据,使离群值显得特别突出。这种效果称为饱和(saturation)。我们可以使用参数alpha解决这个问题,将图中的点显示为半透明的。


    图2 经过抖动和透明处理的散点图(左)和hexbin图(右)

    对于中等规模的数据集,在散点图设置透明度效果很好。但要处理规模更大的数据集,可以使用hexbin图。hexbin图将图像划分为六角形的区间,将每个区间按照其中数据点的数量进行着色。

    hexbin的优点是可以很好地展示变量关系的形状,并且对于大数据集运行效率(时间效率和生成的文件大小)很高。缺点是离群值在图中不可见。

    描述关系特征

    散点图能让我们对变量关系有个大体了解,其他可视化方法则可以让我们更深入了解变量关系的本质。一种方法是对一个变量进行分区,绘制另一个变量的百分位数。

    计算分区的过程如下:

    • 去除指定列含有nan值的数据行,对数据进行分区
    • 遍历每个分区的数据,计算其身高均值和体重CDF
    • 绘制身高对应的体重百分位数

    下图展示了绘制结果,在140-200厘米,变量关系几乎是线性的。140-200厘米这个范围涵盖了超过99%的数据。


    图3 一组高度分区的体重百分位数

    相关性

    相关性(correlation)是一个统计量,用于量化两个变量之间关系的强弱。

    度量相关性的困难在于需要比较的变量通常使用不同的单位,即使变量使用相同的单位,也可能来自不同的分布。通常有两个常见的解决方法:

    • 将每个值转换为标准分数(standard score),即其偏离均值的标准差数。这种转换会产生“Pearson乘积矩相关系数”。
    • 将每个值都转换为秩,即其在所有值的排列表中的索引。这种转换会产生“Spearman秩相关系数”。

    协方差

    协方差(covariance)可以度量两个变量共同变化的趋势。如果我们有两个序列X和Y,那么序列中的值与均值的偏差分别为:


    协方差是这些乘积的均值:


    其中n为这两个序列的长度(两个序列的长度必须相等)。

    如果学过线性代数,会发现Cov是两组偏差的点乘积除以其长度。因此,如果两个向量相同,则协方差值最大;如果两个向量正交,则协方差为0;如果两个向量方向相反,则协方差为负数。

    Pearson相关性

    协方差在一些计算中非常有用,但其含义很难解释,因此很少作为摘要统计量。解决这个问题的方法之一是将偏差除以标准差,得到标准分数,然后计算标准分数的乘积:

    其中Sx和Sy分布是X和Y的标准差。

    这些乘积的均值为:


    或者,可以通过分解​Sx和SyS_Y改写标准差:


    这个公式以统计学家Karl Pearson的名字命名,称为Pearson相关性。Pearson相关性取值介于-1~+1之间(包含端点)。

    \rhoρ的大小表明了相关性的强弱程度,如果\rhoρ为1或-1,两个变量完全相关。

    非线性关系

    Pearson相关性只是度量了线性关系,如果变量之间存在非线性关系,那么\rhoρ对变量相关性强弱的估计就可能是错误的。

    下图摘取自Wiki,展示了数据集的散点图和相关系数。


    图4 各种相关性的数据集示例

    第一行展示了不同线性相关性的数据集,第二行展示了具有不同斜度的完全相关,第三行展示了变量非线性的相关性。

    Spearman秩相关

    如果变量之间的关系是线性的,而且变量大致符合正态分布,那么Pearson相关性能很好地说明相关性的强弱,但离群值会影响Pearson相关性的稳健性。Spearman秩相关能缓解离群值以及偏斜分布的影响,也可用于描述变量的相关性。要计算Spearman相关性,必须计算每个值的秩,即该值在排序样本中的索引,然后计算这些秩的Pearson相关性。

    相关性和因果关系

    如果变量A和变量B相关,那么有3种可能:A导致B,B导致A,或其他因素导致A和B。这些解释称为“因果关系”。但相关性并不意味着因果关系。

    证明因果关系的方式有:

    • 时间 如果A在B之前发生,那么A可能导致B,而B不可能导致A。
    • 随机性 如果将一个大型样本随机分为两组,计算任意变量的均值,那么两组结果的差别应该很小。

    正是这些想法催生了随机对照试验。在随机对照试验中,试验对象被随机分配到两个(或多个)组:试验组和对照组,试验组接受某些干预,对照组不接受干预。

    在某些情况下,还可以使用回归分析来推导因果关系,这将在后文介绍。


    参考文献:

        统计思维. Allen B.Downey. 金迎 译


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    概览图:web服务器,web框架与WSGI的三层关系客户端从发送一请求到Flask处理请求,分别经过了web服务器(例如Nginx,Apache等)层,WSGI层,Flask层。下面简要介绍各层的作用。Web框架层我们以Flask框架为例子,...
  • JS 基础之全局变量,局部变量

    千次阅读 2018-08-23 09:56:29
    本章将概要介绍一些编写高质量JavaScript的最佳实践、模式和习惯,比如避免全局变量、使用单var声明、预缓存循环中的length、遵守编码约定等等。本章还包括一些编程习惯,这些习惯跟具体的代码关系不大,而是更多...
  • 三、随机变量 原文:prob140/textbook/notebooks/ch...其他值提供的变量的预测值,随机样本中观察到的不同类别个体的数量,以及自举样本的中值,仅仅是几例子。 你在 Data8 中看到了更多例子。 在概率论中,随...
  • 业务对象之间关系很多,有“直线”关系、“包含”关系、“继承”关系、依赖关系等等。某些资料可能将这些关系说得很玄乎、很难懂,本文将会以简单易懂的方式为你展示
  • 风控建模三:变量筛选原则

    千次阅读 2019-12-09 22:24:09
    风控建模一:变量筛选一 变量自身...2、变量和目标值之间是有强相关关系的; 3、变量和目标的强相关关系也是随时间相对稳定的; 建模初期所有的变量筛选工作都是围绕着这三点来寻找符合这些特性的变量的。 一 变...
  • UML中类之间的四种关系

    千次阅读 2015-01-06 17:33:35
    上一篇总结了类图的组成...依赖关系:是两个或多个模型元素之间语义上的连接关系。只将模型元素本身连接起来而不需要用一组实例来表达它的意思。提供者的某些变化会要求或只是依赖关系中客户的关系,即依赖关系将行为和
  • 十六、比较两个样本 原文:Comparing Two Samples 译者:飞龙 协议:CC BY-NC-SA 4.0 自豪地采用谷歌翻译 最近邻分类方法的动机是这样的,个体可能像最近的邻居。 从另一个角度来看,我们可以说一个...

空空如也

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展示两个变量之间的关系