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  • 数学建模之常见的优化模型

    千次阅读 多人点赞 2020-07-24 16:40:55
    建立模型: ai:第i个水库供水量 bi:第i个小区基本用水量 ci:第i个小区额外用水量 dij:从第i歌水库运到第j个小区的管理费 决策变量:xij:从第i个水库运到第j个小区的水量 maxZ=∑i=13∑j=14xijstd:{x34=0,∑j=14xij...

    EverydayOneCat

    🌬🌬💨肝ing

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    知识点

    1.运输问题

    前面线性规划文章中已经讲过经典的运输问题。这个例子只是一个补充,在考虑经济效益的基础上进行运输问题的研究。

    image-20200722113221752

    建立模型:

    ai:第i个水库供水量
    bi:第i个小区基本用水量
    ci:第i个小区额外用水量
    dij:从第i歌水库运到第j个小区的管理费

    决策变量:xij:从第i个水库运到第j个小区的水量
    m a x Z = ∑ i = 1 3 ∑ j = 1 4 x i j s t d : { x 34 = 0 , ∑ j = 1 4 x i j ≤ a i , i=1,2,3 ∑ i = 1 3 x i j ≥ b j , j=1,2,3,4 ∑ j = 1 4 x i j ≤ c j + b j , j=1,2,3,4 maxZ=\sum_{i=1}^{3}\sum_{j=1}^{4}{x_{ij}}\\ std: \begin{cases} x_{34}=0, & \text{} \\ \sum_{j=1}^{4}{x_{ij}}\leq a_i, & \text{i=1,2,3}\\ \sum_{i=1}^{3}{x_{ij}}\ge b_j, & \text{j=1,2,3,4}\\ \sum_{j=1}^{4}{x_{ij}}\le c_j+b_j, & \text{j=1,2,3,4} \end{cases} maxZ=i=13j=14xijstd:x34=0,j=14xijai,i=13xijbj,j=14xijcj+bj,i=1,2,3j=1,2,3,4j=1,2,3,4
    image-20200722120523869

    供水量提高一倍模型一样,修改一下数据即可。

    image-20200722120616909

    2.装箱问题

    image-20200722120700958

    这道题建模主要难点在于三个货舱中实际载重必须与其最大载重成比例。其实解决方法很简单,我们把他们都比上比例的值相等即可。

    模型假设:

    每种货物可以分割到任意小;
    每种货物可以在一个或多个货舱中任意分布;
    多种货物可以混装,并保证不留空隙;

    ai:第i个货舱最大载重
    bi:第i个货舱最大容积
    cj:第j个货物的最大重量
    dj:第j个货物的空间
    ej:第j个货物的利润
    T:常数

    决策变量:xij:第i个前舱放货物j的重量
    m a x Z = ∑ i = 1 3 ∑ j = 1 4 x i j ∗ e j s t d : { ∑ j = 1 4 x i j a i = T , i=1,2,3 ∑ i = 1 3 x i j ≤ c j , j=1,2,3,4 ∑ j = 1 4 x i j ∗ d j ≤ b i , i=1,2,3 ∑ j = 1 4 x i j ≤ a i , i=1,2,3 maxZ=\sum_{i=1}^{3}\sum_{j=1}^{4}{x_{ij}*e_{j}}\\ std: \begin{cases} \frac{\sum_{j=1}^{4}{x_{ij}}}{a_i}=T, & \text{i=1,2,3}\\ \sum_{i=1}^{3}{x_{ij}}\le c_j, & \text{j=1,2,3,4}\\ \sum_{j=1}^{4}{x_{ij}*d_j}\leq b_i, & \text{i=1,2,3}\\ \sum_{j=1}^{4}{x_{ij}}\le a_i, & \text{i=1,2,3} \end{cases} maxZ=i=13j=14xijejstd:aij=14xij=T,i=13xijcj,j=14xijdjbi,j=14xijai,i=1,2,3j=1,2,3,4i=1,2,3i=1,2,3
    image-20200722121735078

    3.生产计划问题

    汽车厂生产三种类型的汽车,已知各类型每辆车对钢材、劳动时间的需求,利润及工厂每月的现有量。image-20200722142904830

    (1)制订月生产计划,使工厂的利润最大。

    (2)如果生产某一类型汽车,则至少要生产80辆,那么最优的生产计划应作何改变?

    第一问很简单,普通的建立线性规划模型即可:

    设每月生产小、中、大型汽车的数量分别为x1, x2, x3

    image-20200722143023663

    这里有个需要注意的小细节,一般通常数据量较小的时候,我们可以通过整数规划来求解(因为汽车数量没有小数一说),但是一旦数据量较大,我们就需要去掉整数的条件来使得运算更加快速。具体方法我们通过本例来讲述:

    image-20200722143250473

    1)舍去小数:取x1=64,x2=167,算出目标函数值z=629,与LP最优值632.2581相差不大。
    2)试探:如取x1=65,x2=167;x1=64,x2=168等,计算函数值z,通过比较可能得到更优的解。
    • 但必须检验它们是否满足约束条件。

    +++

    第二问:若生产某类汽车,则至少生产80辆,我们可以得到条件x1,x2, x3=0 或>=80

    方法1:分解为8个LP子模型

    image-20200722143438637

    x1=80,x2= 150,x3=0,最优值z=610

    方法2:引入0-1变量,化为整数规划

    image-20200722143554154 image-20200722143607289

    方法3:化为非线性规划

    image-20200722143624518

    非线性规划(Non- Linear Programming,简记NLP)虽然可用现成的数学软件求解( 如LINGO,MATLAB),但是其结果常依赖于初值的选择。

    4.分段函数问题

    image-20200722171632862

    决策变量:image-20200722171726395

    目标函数:image-20200722171756570

    image-20200722171817704

    约束条件:image-20200722171838381

    image-20200722171859761

    对于用分段函数定义的c(x),一般的非线性规划软件也难以输入和求解,得想办法将模型化简。

    +++

    方法一:相乘

    x1 , x2 , x3 ~以价格10, 8, 6(千元/吨)采购A的吨数,x~购买A的总吨数

    x1到达500,x2才能不为0,也就是x1=500或者x2=0,遇到这种或问题,想到相乘;x3同理

    x= x1+x2+x3, c(x) = 10x1+8x2+6x3

    目标函数:image-20200722172224475

    image-20200722172307292

    非线性规划模型,可以用LINGO求解

    Model: 
    Max= 4.8*x11 + 4.8*x21 + 5.6*x12 + 5.6*x22 - 10*x1 - 8*x2 - 6*x3;
    x11+x12 < x + 500;
    x21+x22 < 1000;
    x11 - x21 > 0;
    2*x12 - 3*x22 > 0;
    x=x1+x2+x3;
    (x1 - 500) * x2=0;
    (x2 - 500) * x3=0;
    x1 < 500;
    x2 < 500;
    x3 < 500;
    x > 0;
    x11 > 0;
    x12 > 0;
    x21 > 0;
    x22 > 0;
    x1 > 0;
    x2 > 0;
    x3 > 0;
    end
    
    image-20200722172349386

    +++

    方法二:转化为整数规划

    y1, y2 , y3=1 ~以价格10, 8, 6(千元/吨)采购A

    image-20200722172554831 image-20200722172823239

    购买1000吨原油A,与库存的500吨原油A和1000吨原油B一起,生产汽油乙,利润为5,000千元。优于方法1的结果

    +++

    这里还有方法三:直接处理处理分段线性函数c(x)

    这一段👴看了一遍没看懂,不高兴研究了。其实懂得方法一二已经足够用了,这里我直接照搬。看懂的xdm把流弊打在公屏上。

    image-20200722173528947 image-20200722173541674

    5.分派问题

    选课策略:要求至少选两门数学课、三门运筹学课和两门计算机课

    image-20200722204336845

    (1)为了选修课程门数最少,应学习哪些课程?
    (2)选修课程最少,且学分尽量多,应学习哪些课程?

    第一问:

    选或者不选我们想到0-1规划模型

    决策变量:xi=1 ~选修课号i 的课程(xi=0 ~不选)

    目标函数:选修课程总数最少image-20200722204504638

    约束条件:image-20200722204523264

    image-20200722204626737

    第二问:多目标规划

    image-20200722205623610 image-20200722205637902

    6.饮料厂的生产与检修计划

    image-20200723125216937

    第一问:

    模型假设:

    • 饮料厂在第1周开始时没有库存;
    • 从费用最小考虑, 第4周末不能有库存;
    • 周末有库存时需支出一周的存贮费;
    • 每周末的库存量等于下周初的库存量。

    决策变量:

    x1~ x4:第1~4周的生产量
    y1~ y3:第1~3周末库存量

    目标函数:image-20200723151017712

    约束条件:

    image-20200723151039409

    接着到了本题重点第二问:

    检修安排在任一周均可,所以这四周分为检修和不检修,导入0-1变量。0-1变量wt :wt=1~ 检修安排在第t周(t=1,2,3,4)

    image-20200723151715725

    增加约束条件:检修1次image-20200723152847421

    作业

    题目:选区划分

    在—个遥远的国家,Sark Mevo 所领导的政党最终击败了Reguel Tekris王子领导的联合党派。Mevo希望巩固他在首都地区的席位。首都由14个街区组成,这些街区将分组为多个选区。下图是首都地区的示意图。在图中用数字1到14对这些街区进行了编号。每个街区中的另外两个数字是预计该街区会投票给Mevo的选民数和该街区的选民总数。所有选民都必须投票,且选举胜出方必须得到绝对多数选票。一个选区可以由多个相邻的街区组成,且选区内总选民数应在30,000到100,000之间。如果两个街区不相邻,例如12和13,则它们不能组成一个选区。如果某个街区选民人数不少于50,000,则允许此街区单独作为一个选区。但是由于Mevo本人就居住在街区10内,因此迫于舆论压力,他不能将这个街区单独作为一个选区。

    请设计出一个将首都划分为5个选区的方案,以使Mevo得到的席位数最多。如果这样做有困难,可以尝试划分为6个选区。

    img

    分析

    经核算首都共有54万人,而每个选区至多10000人,所以五个选区是不行的,要划分成六个选区。

    img 能够组成一个14行6列的矩阵

    imgi街区Mevo派选民,imgi街区总人数

    img 是一个14维的矩阵。

    img

    img为第img个选区的选民总人数

    目标函数:希望获得席位数最多

    img;

    约束一:每个街道必须并入一个选区

    img

    约束二:满足选区人数要求,单位:单位:百人

    img

    约束三:胜利和失败的条件

    img

    约束四:选区中街道之间必须关联。

    img时,img

    约束五:第10个街区不能单独成选区。因为第10行只有一个数为1(约束一的规定),现在就要求这一列还有别的img为1,两者相乘为1。因为不想用过滤条件,自己和自己相乘为1.

    img。所以就定义下列约束条件。

    img,所以就要求下式大于等于2.

    约束六:第i个街区单独成选区的条件是人数大于5万

    img则要求imgimg

    约束七 缩小迭代次数,规定人数最多的选取下标为1,以此类推。

    img

    最后就是0-1和整数约束了

    代码

    根据上面分析的模型编写lingo代码:

    model:
    sets:
    jq/1..14/:a,b;
    xq/1..6/:z,s,bili;
    link1(jq,xq):x;
    link2(jq,jq):r;
    endsets
    data:
    a=175 150 142 420 180 90 120 100 260 340 25 270 290 150;
    b=300 500 200 700 200 400 300 300 400 600 100 600 400 400;
    r=1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 
    1 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
    0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
    0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0
    1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0
    0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0
    0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0
    0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0
    0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 0 0
    0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0
    0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0
    0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 1
    0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 1
    0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1;
    enddata
    max=@sum(xq:z);
    @for(jq(i):@sum(xq(j):x(i,j))=1);
    @for(xq(j):s(j)=@sum(jq(i):b(i)*x(i,j)));
    @for(xq:s<1000;s>300);
    @for(xq(j):z(j)=@if(@sum(jq(i):a(i)*x(i,j))#gt#0.5*s(j),1,0));
    @for(xq(j):@for(link2(i,k)|i#ne#k:x(i,j)+x(k,j)<@if(r(i,k)#eq#0,1,x(i,j)+x(k,j))));
    @sum(link1(i,j):x(10,j)*x(i,j))>2;
    @for(xq(j):s(j)>@if(@sum(jq(i):x(i,j))#eq#1,500,s(j)));
    @for(link1:@bin(x));
    @for(xq(j):bili=@sum(jq(i):a(i)*x(i,j))/s(j));
    end
    

    image-20200724162052918

    image-20200724162114650

    根据结果可知席数最多为5个选区。

    结语

    我妈嫌占空间把从小陪到大的台式机给卖给收废品的了,真的吐了😭NMD就值50

    很烦,最近不想学了

    展开全文
  • 数学建模【四大模型优化、分类、评价、预测)总结】

    目录

    1 优化模型

    1.1 数学规划模型

    1.2 微分方程组模型

    1.3 图论与网络优化问题

    1.4 概率模型

    1.5 组合优化经典问题

    1.5.1 多维背包问题(MKP)

    1.5.2 二维指派问题(QAP)

    1.5.3 旅行商问题(TSP)

    1.5.4 车辆路径问题(VRP)

    1.5.5 车间作业调度问题(JSP)

    2 分类模型

    2.1 判别分析

    2.1.1 距离判别法

    2.1.2 Fisher判别法

    2.1.3 Bayes判别法

    2.1.4 逐步判别法

    2.2 聚类分析

    2.2.1 系统聚类法(分层聚类法)

    2.2.2 快速聚类法(K-均值聚类法)

    2.2.3 两步聚类法(智能聚类方法)

    2.2.4 模糊聚类分析

    2.2.5 与遗传算法、神经网络或灰色理论联合的聚类方法

    2.3 神经网络分类方法

    3 评价模型

    3.1 层次分析法(AHP)

    3.2 灰色综合评价法(灰色关联度分析)

    3.3 模糊综合评价法

    3.4 BP神经网络综合评价法

    3.5 数据包络法(DEA)

    3.6 组合评价法

    4 预测模型

    4.1 回归分析法

    4.2 时间序列分析法

    4.3 灰色预测法

    4.4 BP神经网络法

    4.5 支持向量机法

    4.6 组合预测法


    1 优化模型

    1.1 数学规划模型

    线性规划、整数线性规划、非线性规划、多目标规划、动态规划。

    1.2 微分方程组模型

    阻滞增长模型、SARS传播模型。

    1.3 图论与网络优化问题

    最短路径问题、网络最大流问题、最小费用最大流问题、最小生成树问题(MST)、旅行商问题(TSP)、图的着色问题。

    1.4 概率模型

    决策模型、随机存储模型、随机人口模型、报童问题、Markov链模型。

    1.5 组合优化经典问题

    1.5.1 多维背包问题(MKP)

    背包问题:个物品,对物品,体积为,背包容量为。如何将尽可能多的物品装入背包。 
    多维背包问题:个物品,对物品,价值为,体积为,背包容量为。如何选取物品装入背包,是背包中物品的总价值最大。 
    多维背包问题在实际中的应用有:资源分配、货物装载和存储分配等问题。该问题属于难问题。

    1.5.2 二维指派问题(QAP)

    工作指派问题:个工作可以由个工人分别完成。工人完成工作的时间为。如何安排使总工作时间最小。 
    二维指派问题(常以机器布局问题为例):台机器要布置在个地方,机器与之间的物流量为,位置与之间的距离为,如何布置使费用最小。 
    二维指派问题在实际中的应用有:校园建筑物的布局、医院科室的安排、成组技术中加工中心的组成问题等。

    1.5.3 旅行商问题(TSP)

    旅行商问题:有个城市,城市与之间的距离为,找一条经过个城市的巡回(每个城市经过且只经过一次,最后回到出发点),使得总路程最小。

    1.5.4 车辆路径问题(VRP)

    车辆路径问题(也称车辆计划):已知个客户的位置坐标和货物需求,在可供使用车辆数量及运载能力条件的约束下,每辆车都从起点出发,完成若干客户点的运送任务后再回到起点,要求以最少的车辆数、最小的车辆总行程完成货物的派送任务。 
    TSP问题是VRP问题的特例。

    1.5.5 车间作业调度问题(JSP)

    车间调度问题:存在个工作和台机器,每个工作由一系列操作组成,操作的执行次序遵循严格的串行顺序,在特定的时间每个操作需要一台特定的机器完成,每台机器在同一时刻不能同时完成不同的工作,同一时刻同一工作的各个操作不能并发执行。如何求得从第一个操作开始到最后一个操作结束的最小时间间隔。

    2 分类模型

    判别分析是在已知研究对象分成若干类型并已经取得各种类型的一批已知样本的观测数据,在此基础上根据某些准则建立判别式,然后对未知类型的样品进行判别分析。 
    聚类分析则是给定的一批样品,要划分的类型实现并不知道,正需要通过局内分析来给以确定类型的。

    2.1 判别分析

    2.1.1 距离判别法

    基本思想:首先根据已知分类的数据,分别计算各类的重心即分组(类)的均值,判别准则是对任给的一次观测,若它与第类的重心距离最近,就认为它来自第类。 
    至于距离的测定,可以根据实际需要采用欧氏距离、马氏距离、明科夫距离等。

    2.1.2 Fisher判别法

    基本思想:从两个总体中抽取具有个指标的样品观测数据,借助方差分析的思想构造一个判别函数或称判别式。其中系数确定的原则是使两组间的区别最大,而使每个组内部的离差最小。 
    对于一个新的样品,将它的p个指标值代人判别式中求出 y 值,然后与判别临界值(或称分界点(后面给出)进行比较,就可以判别它应属于哪一个总体。在两个总体先验概率相等的假设下,判别临界值一般取:

    最后,用统计量来检验判别效果,若则认为判别有效,否则判别无效。 
    以上描述的是两总体判别,至于多总体判别方法则需要加以扩展。 
    Fisher判别法随着总体数的增加,建立的判别式也增加,因而计算比较复杂。

    2.1.3 Bayes判别法

    基本思想:假定对所研究的对象有一定的认识,即假设个总体中,第个总体的先验概率为,概率密度函数为。利用bayes公式计算观测样品来自第个总体的后验概率,当时,将样本判为总体。

    2.1.4 逐步判别法

    基本思想与逐步回归法类似,采用“有进有出”的算法,逐步引入变量,每次引入一个变量进入判别式,则同时考虑在较早引入判别式的某些作用不显著的变量剔除出去。

    2.2 聚类分析

    聚类分析是一种无监督的分类方法,即不预先指定类别。 
    根据分类对象不同,聚类分析可以分为样本聚类(Q型)和变量聚类(R型)。样本聚类是针对观测样本进行分类,而变量聚类则是试图找出彼此独立且有代表性的自变量,而又不丢失大部分信息。变量聚类是一种降维的方法。

    2.2.1 系统聚类法(分层聚类法)

    基本思想:开始将每个样本自成一类;然后求两两之间的距离,将距离最近的两类合成一类;如此重复,直到所有样本都合为一类为止。 
    适用范围:既适用于样本聚类,也适用于变量聚类。并且距离分类准则和距离计算方法都有多种,可以依据具体情形选择。

    2.2.2 快速聚类法(K-均值聚类法)

    基本思想:按照指定分类数目,选择个初始聚类中心;计算每个观测量(样本)到各个聚类中心的距离,按照就近原则将其分别分到放入各类中;重新计算聚类中心,继续以上步骤;满足停止条件时(如最大迭代次数等)则停止。 
    使用范围:要求用户给定分类数目,只适用于样本聚类(Q型),不适用于变量聚类(R型)。

    2.2.3 两步聚类法(智能聚类方法)

    基本思想:先进行预聚类,然后再进行正式聚类。 
    适用范围:属于智能聚类方法,用于解决海量数据或者具有复杂类别结构的聚类分析问题。可以同时处理离散和连续变量,自动选择聚类数,可以处理超大样本量的数据。

    2.2.4 模糊聚类分析

    2.2.5 与遗传算法、神经网络或灰色理论联合的聚类方法

    2.3 神经网络分类方法

    3 评价模型

    3.1 层次分析法(AHP)

    基本思想:是定性与定量相结合的多准则决策、评价方法。将决策的有关元素分解成目标层、准则层和方案层,并通过人们的判断对决策方案的优劣进行排序,在此基础上进行定性和定量分析。它把人的思维过程层次化、数量化,并用数学为分析、决策、评价、预报和控制提供定量的依据。 

    基本步骤:构建层次结构模型;构建成对比较矩阵;层次单排序及一致性检验(即判断主观构建的成对比较矩阵在整体上是否有较好的一致性);层次总排序及一致性检验(检验层次之间的一致性)。 

    优点:它完全依靠主观评价做出方案的优劣排序,所需数据量少,决策花费的时间很短。从整体上看,AHP在复杂决策过程中引入定量分析,并充分利用决策者在两两比较中给出的偏好信息进行分析与决策支持,既有效地吸收了定性分析的结果,又发挥了定量分析的优势,从而使决策过程具有很强的条理性和科学性,特别适合在社会经济系统的决策分析中使用。 

    缺点:用AHP进行决策主观成分很大。当决策者的判断过多地受其主观偏好影响,而产生某种对客观规律的歪曲时,AHP的结果显然就靠不住了。 

    适用范围:尤其适合于人的定性判断起重要作用的、对决策结果难于直接准确计量的场合。要使AHP的决策结论尽可能符合客观规律,决策者必须对所面临的问题有比较深入和全面的认识。另外,当遇到因素众多,规模较大的评价问题时,该模型容易出现问题,它要求评价者对问题的本质、包含的要素及其相互之间的逻辑关系能掌握得十分透彻,否则评价结果就不可靠和准确。 

    改进方法: 

    (1) 成对比较矩阵可以采用德尔菲法获得。 

    (2) 如果评价指标个数过多(一般超过9个),利用层次分析法所得到的权重就有一定的偏差,继而组合评价模型的结果就不再可靠。可以根据评价对象的实际情况和特点,利用一定的方法,将各原始指标分层和归类,使得每层各类中的指标数少于9个。

    3.2 灰色综合评价法(灰色关联度分析)

    基本思想:灰色关联分析的实质就是,可利用各方案与最优方案之间关联度大小对评价对象进行比较、排序。关联度越大,说明比较序列与参考序列变化的态势越一致,反之,变化态势则相悖。由此可得出评价结果。 
    基本步骤:建立原始指标矩阵;确定最优指标序列;进行指标标准化或无量纲化处理;求差序列、最大差和最小差;计算关联系数;计算关联度。 

    优点:是一种评价具有大量未知信息的系统的有效模型,是定性分析和定量分析相结合的综合评价模型,该模型可以较好地解决评价指标难以准确量化和统计的问题,可以排除人为因素带来的影响,使评价结果更加客观准确。整个计算过程简单,通俗易懂,易于为人们所掌握;数据不必进行归一化处理,可用原始数据进行直接计算,可靠性强;评价指标体系可以根据具体情况增减;无需大量样本,只要有代表性的少量样本即可。 

    缺点:要求样本数据且具有时间序列特性;只是对评判对象的优劣做出鉴别,并不反映绝对水平,故基于灰色关联分析综合评价具有“相对评价”的全部缺点。 
    适用范围:对样本量没有严格要求,不要求服从任何分布,适合只有少量观测数据的问题;应用该种方法进行评价时,指标体系及权重分配是一个关键的问题,选择的恰当与否直接影响最终评价结果。 

    改进方法: 

    (1) 采用组合赋权法:根据客观赋权法和主观赋权法综合而得权系数。 

    (2) 结合TOPSIS法:不仅关注序列与正理想序列的关联度,而且关注序列与负理想序列的关联度,依据公式计算最后的关联度。

    3.3 模糊综合评价法

    基本思想:是以模糊数学为基础,应用模糊关系合成的原理,将一些边界不清、不易定量的因素定量化,从多个因素对被评价事物隶属等级(或称为评语集)状况进行综合性评价的一种方法。综合评判对评判对象的全体,根据所给的条件,给每个对象赋予一个非负实数评判指标,再据此排序择优。 

    基本步骤:确定因素集、评语集;构造模糊关系矩阵;确定指标权重;进行模糊合成和做出评价。 

    优点::数学模型简单,容易掌握,对多因素、多层次的复杂问题评判效果较好。模糊评判模型不仅可对评价对象按综合分值的大小进行评价和排序,而且还可根据模糊评价集上的值按最大隶属度原则去评定对象所属的等级,结果包含的信息量丰富。评判逐对进行,对被评对象有唯一的评价值,不受被评价对象所处对象集合的影响。接近于东方人的思维习惯和描述方法,因此它更适用于对社会经济系统问题进行评价。 

    缺点:并不能解决评价指标间相关造成的评价信息重复问题,隶属函数的确定还没有系统的方法,而且合成的算法也有待进一步探讨。其评价过程大量运用了人的主观判断,由于各因素权重的确定带有一定的主观性,因此,总的来说,模糊综合评判是一种基于主观信息的综合评价方法。 

    应用范围:广泛地应用于经济管理等领域。综合评价结果的可靠性和准确性依赖于合理选取因素、因素的权重分配和综合评价的合成算子等。 

    改进方法: 

    (1) 采用组合赋权法:根据客观赋权法和主观赋权法综合而得权系数。

    3.4 BP神经网络综合评价法

    基本思想:是一种交互式的评价方法,它可以根据用户期望的输出不断修改指标的权值,直到用户满意为止。因此,一般来说,人工神经网络评价方法得到的结果会更符合实际情况。 

    优点:神经网络具有自适应能力,能对多指标综合评价问题给出一个客观评价,这对于弱化权重确定中的人为因素是十分有益的。在以前的评价方法中,传统的权重设计带有很大的模糊性,同时权重确定中人为因素影响也很大。随着时间、空间的推移,各指标对其对应问题的影响程度也可能发生变化,确定的初始权重不一定符合实际情况。再者,考虑到整个分析评价是一个复杂的非线性大系统,必须建立权重的学习机制,这些方面正是人工神经网络的优势所在。针对综合评价建模过程中变量选取方法的局限性,采用神经网络原理可对变量进行贡献分析,进而剔除影响不显著和不重要的因素,以建立简化模型,可以避免主观因素对变量选取的干扰。 

    缺点:ANN在应用中遇到的最大问题是不能提供解析表达式,权值不能解释为一种回归系数,也不能用来分析因果关系,目前还不能从理论上或从实际出发来解释ANN的权值的意义。需要大量的训练样本,精度不高,应用范围是有限的。最大的应用障碍是评价算法的复杂性,人们只能借助计算机进行处理,而这方面的商品化软件还不够成熟。 

    适用范围:神经网络评价模型具有自适应能力、可容错性,能够处理非线性、非局域性的大型复杂系统。在对学习样本训练中,无需考虑输入因子之间的权系数,ANN通过输入值与期望值之间的误差比较,沿原连接权自动地进行调节和适应,因此该方法体现了因子之间的相互作用。 

    改进方法: 

    (1) 采用组合评价法:对用其它评价方法得出的结果,选取一部分作为训练样本,一部分作为待测样本进行检验,如此对神经网络进行训练,知道满足要求为止,可得到更好的效果。

    3.5 数据包络法(DEA)

    3.6 组合评价法

    4 预测模型

    定性研究与定量研究的结合,是科学的预测的发展趋势。在实际预测工作中,应该将定性预测和定量预测结合起来使用,即在对系统做出正确分析的基础上,根据定量预测得出的量化指标,对系统未来走势做出判断。

    4.1 回归分析法

    基本思想:根据历史数据的变化规律,寻找自变量与因变量之间的回归方程式,确定模型参数,据此预测。回归问题分为一元和多元回归、线性和非线性回归。 
    特点:技术比较成熟,预测过程简单;将预测对象的影响因素分解,考察各因素的变化情况,从而估计预测对象未来的数量状态;回归模型误差较大,外推特性差。 
    适用范围:回归分析法一般适用于中期预测。回归分析法要求样本量大且要求样本有较好的分布规律,当预测的长度大于占有的原始数据长度时,采用该方法进行预测在理论上不能保证预测结果的精度。另外,可能出现量化结果与定性分析结果不符的现象,有时难以找到合适的回归方程类型。

    4.2 时间序列分析法

    基本思想:把预测对象的历史数据按一定的时间间隔进行排列,构成一个随时间变化的统计序列,建立相应的数据随时间变化的变化模型,并将该模型外推到未来进行预测。 

    适用范围:此方法有效的前提是过去的发展模式会延续到未来,因而这种方法对短期预测效果比较好,而不适合作中长期预测。一般来说,若影响预测对象变化各因素不发生突变,利用时间序列分析方法能得到较好的预测结果;若这些因素发生突变,时间序列法的预测结果将受到一定的影响。

    4.3 灰色预测法

    基本思想:将一切随机变量看作是在一定范围内变化的灰色变量,不是从统计规律角度出发进行大样本分析研究,而是利用数据处理方法(数据生成与还原),将杂乱无章的原始数据整理成规律性较强的生成数据来加以研究,即灰色系统理论建立的不是原始数据模型,而是生成数据模型。 

    适用范围:预测模型是一个指数函数,如果待测量是以某一指数规律发展的,则可望得到较高精度的预测结果。影响模型预测精度及其适应性的关键因素,是模型中背景值的构造及预测公式中初值的选取。

    4.4 BP神经网络法

    人工神经网络的理论有表示任意非线性关系和学习等的能力,给解决很多具有复杂的不确定性和时变性的实际问题提供了新思想和新方法。 

    利用人工神经网络的学习功能,用大量样本对神经元网络进行训练,调整其连接权值和闭值,然后可以利用已确定的模型进行预测。神经网络能从数据样本中自动地学习以前的经验而无需繁复的查询和表述过程,并自动地逼近那些最佳刻画了样本数据规律的函数,而不论这些函数具有怎样的形式,且所考虑的系统表现的函数形式越复杂,神经网络这种特性的作用就越明显。 

    误差反向传播算法(BP算法)的基本思想是通过网络误差的反向传播,调整和修改网络的连接权值和闭值,使误差达到最小,其学习过程包括前向计算和误差反向传播。它利用一个简单的三层人工神经网络模型,就能实现从输入到输出之间任何复杂的非线性映射关系。目前,神经网络模型已成功地应用于许多领域,诸如经济预测、财政分析、贷款抵押评估和破产预测等许多经济领域。 

    优点:可以在不同程度和层次上模仿人脑神经系统的结构及信息处理和检索等功能,对大量非结构性、非精确性规律具有极强的自适应功能,具有信息记忆、自主学习、知识推理和优化计算等特点,其自学习和自适应功能是常规算法和专家系统技术所不具备的,同时在一定程度上克服了由于随机性和非定量因素而难以用数学公式严密表达的困难。 

    缺点:网络结构确定困难,同时要求有足够多的历史数据,样本选择困难,算法复杂,容易陷入局部极小点。

    4.5 支持向量机法

    支持向量机是基于统计学习的机器学习方法,通过寻求结构风险化最小,实现经验风险和置信范围的最小,从而达到在统计样本较少的情况下,亦能获得良好统计规律的目的。 

    其中支持向量机是统计学习理论的核心和重点。支持向量机是结构风险最小化原理的近似,它能够提高学习机的泛化能力,既能够由有限的训练样本得到小的误差,又能够保证对独立的测试集仍保持小的误差,而且支持向量机算法是一个凸优化问题,因此局部最优解一定是全局最优解,支持向量机就克服了神经网络收敛速度慢和局部极小点等缺陷。 

    核函数的选取在SVM方法中是一个较为困难的问题,至今没有一定的理论方面的指导。

    4.6 组合预测法

    在实际预测工作中,从信息利用的角度来说,就是任何一种单一预测方法都只利用了部分有用信息,同时也抛弃了其它有用的信息。为了充分发挥各预测模型的优势,对于同一预测问题,往往可以采用多种预测方法进行预测。不同的预测方法往往能提供不同的有用信息,组合预测将不同预测模型按一定方式进行综合。根据组合定理,各种预测方法通过组合可以尽可能利用全部的信息,尽可能地提高预测精度,达到改善预测性能的目的。 

    优化组合预测有两类概念,一是指将几种预测方法所得的预测结果,选取适当的权重进行加权平均的一种预测方法,其关键是确定各个单项预测方法的加权系数;二是指在几种预测方法中进行比较,选择拟合度最佳或标准离差最小的预测模型作为最优模型进行预测。组合预测是在单个预测模型不能完全正确地描述预测量的变化规律时发挥其作用的。

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  • 数学建模四个基本模型,优化模型是其中之一,模型主要分类和解决问题概述。

    1.数学规划模型

    线性规划、整数线性规划、非线性规划、多目标规划、动态规划

    2.微分方程组模型

    阻滞增长模型、SARS传播模型。

    3.图论与网络优化模型

    最短路径问题、网络最大流问题、最小费用最大流问题、最小生成树问题(MST)、旅行商问题(TSP)、图的着色问题。

    4.概率模型

    决策模型、随机存储模型、随机人口模型、报童问题、Markov链模型。

    5.组合优化经典问题

    • 多维背包问题(MKP) n n n个物品,对物品 i i i,价值为 p i p_i pi,体积为 w i w_i wi背包容量为 W W W。如何选取物品装入背包,使背包中物品的总价值最大。多维背包问题的应用:资源分配、货物装载和存储分配。
    • 二维指派问题(QAP):常以机器布局问题为例, n n n台机器要布置在 n n n个地方,机器 i i i k k k之间的物流量为 f i k f_{ik} fik,位置 j j j l l l之间的距离为 d j l d_{jl} djl,如何布置使费用最小。二维指派问题在实际中的应用有:校园建筑物的布局、医院科室的安排、成
      组技术中加工中心的组成问题。
    • 车辆路径问题(也称车辆计划):已知 n n n个客户的位置坐标和货物需求,在可供使用车辆数量及运载能力条件的约束下,每辆车都从起点出发,完成若干客户点的运送任务后再回到起点,要求以最少的车辆数、最小的车辆总行程完成货物的派送任务。
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  • 2、优化模型 3、评价模型 数学建模的十大常用算法 预测模型:神经网络预测、灰色预测、拟合插值预测(线性回归)、时间序列预测、马尔科夫链预测、微分方程预测、Logistic 模型等等。 应用领域:人口预测、水资源...

    学习网址:数学建模竞赛常考三大模型及十大算法

    目   录

    三大模型

    1、预测模型

    2、优化模型

    3、评价模型

    数学建模的十大常用算法


    三大模型

    1、预测模型

    预测模型:神经网络预测、灰色预测拟合插值预测(线性回归)、时间序列预测、马尔科夫链预测、微分方程预测、Logistic 模型等等。

    应用领域:人口预测、水资源污染增长预测、病毒蔓延预测、竞赛获胜概率预测、月收入预测、销量预测、经济发展情况预测等在工业、农业、商业等经济领域,以及环境、社会和军事等领域中都有广泛的应用。

    预测模型:难度中等。

    拟合插值预测:基础简单、容易理解。

    • 拟合算法:matlab拟合工具箱、准确...
    • 插值算法:短期预测、完善补全数据、插值函数、拉格朗日插值法、三次样条插值法...

    神经网络预测:现代优化算法、考验编程能力。

    人口预测:灰色预测、Logistic 模型...

    2、优化模型

    优化模型:规划模型(目标规划、线性规划、非线性规划、整数规划、动态规划)、图论模型、排队论模型、神经网络模型、现代优化算法(遗传算法、模拟退火算法、蚁群算法、禁忌搜索算法)等等。

    应用领域:快递员派送快递的最短路径问题、水资源调度优化问题、高速路口收费站问题、军事行动避空侦察的时机和路线选择、物流选址问题、商区布局规划等各个领域。

    优化模型:偏难。

    切割木料、地板,使损耗最低、利润最高。

    自然水管道铺设问题:图论模型(迪杰斯特拉算法 Dijkstra、克鲁斯卡尔算法 Kruskal)

    3、评价模型

    评价模型:模糊综合评价法、层次分析法、聚类分析法、主成分分析评价法、灰色综合评价法、人工神经网络评价法等等。

    应用领域:某区域水资源评价、水利工程项目风险评价、城市发展程度评价、足球教练评价、篮球队评价、水生态评价、大坝安全评价、边坡稳定性评价。

    预测模型:偏简单。

    数学建模的十大常用算法

        

    遗传算法、模拟退火算法

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  • 优化模型

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空空如也

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