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  • 一般地,一个最优化数学模型能够表示成下列标准形式: 所谓 Karush-Kuhn-Tucker 最优化条件,就是指上式最小点x*必须满足下面条件: KKT最优化条件Karush[1939]以及Kuhn和Tucker[1951]先后独立发表出來...

    Karush-Kuhn-Tucker 最优化条件 (KKT 条件)

    一般地,一个最优化数学模型能够表示成下列标准形式:

    所谓 Karush-Kuhn-Tucker 最优化条件,就是指上式的最小点 x* 必须满足下面的条件:

     

    KKT最优化条件是Karush[1939]以及Kuhn和Tucker[1951]先后独立发表出來的。这组最优化条件在Kuhn和Tucker 发表之后才逐渐受到重视,因此许多书只记载成「Kuhn-Tucker 最优化条件 (Kuhn-Tucker conditions)」。

     

    KKT条件第一项是说最优点必须满足所有等式及不等式限制条件,也就是说最优点必须是一个可行解,这一点自然是毋庸置疑的。第二项表明在最优点 x*, ∇f 必須是 ∇hj 和 ∇gk 的线性組合,和都叫作拉格朗日乘子。所不同的是不等式限制条件有方向性,所以每一个 kµ都必须大於或等於零,而等式限制条件没有方向性,所
    以 jλ没有符号的限制,其符号要视等式限制条件的写法而定

    备注:该条件是SVM中需要到,处理不等式约束,把它变换成一组等式约束。

     

    https://www.xuebuyuan.com/1973691.html

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  • 多目标优化问题数学模型一般可以写成如下形式:fig1 多目标优化问题数学模型fig 2fig 2表示n个目标函数,目标都使之达到最小。fig 3fig 3其变量约束集合,可以理解为变量取值范围,下面介绍具体解之间...

    多目标求解会筛选出一个相对较优的解的集合,在这个集合里就要用到pareto找出相对优的解或者最优解。

    多目标优化问题的数学模型一般可以写成如下形式:

    7dfac8f4b94e

    fig1 多目标优化问题的数学模型

    7dfac8f4b94e

    fig 2

    fig 2表示n个目标函数,目标是都使之达到最小。

    7dfac8f4b94e

    fig 3

    fig 3是其变量的约束集合,可以理解为变量的取值范围,下面介绍具体的解之间的支配,占优关系。

    1:解A优于解B(解A强帕累托支配解B)

    假设现在有两个目标函数,解A对应的目标函数值都比解B对应的目标函数值好,则称解A比解B优越,也可以叫做解A强帕累托支配解B,举个例子,就很容易懂了.

    下图中代表的是两个目标的的解的情况,横纵坐标表示两个目标函数值,E点表示的解所对应的两个目标函数值都小于C,D两个点表示的解所对应的两个目标函数值,所以解E优于解C,D.

    7dfac8f4b94e

    2:解A无差别于解B(解A能帕累托支配解B)

    同样假设两个目标函数,解A对应的一个目标函数值优于解B对应的一个目标函数值,但是解A对应的另一个目标函数值要差于解B对应的一个目标函数值,则称解A无差别于解B,也叫作解A能帕累托支配解B,举个例子,还是上面的图,点C和点D就是这种情况,C点在第一个目标函数的值比D小,在第二个函数的值比D大。

    3:最优解

    假设在设计空间中,解A对应的目标函数值优越其他任何解,则称解A为最优解,举个例子,下图的x1就是两个目标函数的最优解,使两个目标函数同时达到最小,但是前面也说过,实际生活中这种解是不可能存在的。真要存在就好了,由此提出了帕累托最优解.

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    4:帕累托最优解

    同样假设两个目标函数,对于解A而言,在 变量空间 中找不到其他的解能够优于解A(注意这里的优于一定要两个目标函数值都优于A对应的函数值),那么解A就是帕累托最优解.

    举个例子,下图中应该找不到比 x1 对应的目标函数都小的解了吧,即找不到一个解优于 x1 了,同理也找不到比 x2 更优的解了,所以这两个解都是帕累托最优解,实际上,x1-x2 这个范围的解都是帕累托最优解,不信自己慢慢想。因此对于多目标优化问题而言,帕累托最优解只是问题的一个可接受解,一般都存在多个帕累托最优解,这个时候就需要人们自己决策了。

    7dfac8f4b94e

    5:帕累托最优前沿

    还是看 刚才 那张图 ,如下图所示,更好的理解一下帕累托最优解,实心点表示的解都是帕累托最优解,所有的帕累托最优解构成帕累托最优解集,这些解经目标函数映射构成了该问题的Pareto最优前沿或Pareto前沿面,说人话,即帕累托最优解对应的目标函数值就是帕累托最优前沿。

    7dfac8f4b94e

    对于两个目标的问题,其Pareto最优前沿通常是条线。而对于多个目标,其Pareto最优前沿通常是一个超曲面。

    图片来源于网络,侵删。

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  • 1.1最优化(运筹学)模型的一般形式 1.1.1三要素 决策变量(与问题求解的难度相关),目标函数,约束条件(等约束与不等约束) 1.1.2步骤 1.设决策变量(什么是决策变量?–>影响目标的因素,常用0-1来设立决策...

    华中农的优化模型->西北工业的优化题

    1.概述

    最优化方法:在一系列客观或主观限制条件下,寻求合理分配有限资源使所关注的某个或者多个指标达到最大(或者最小)的数学理论和方法,是运筹学里一个十分重要的分支。(寻找使利益最大化的方法)

    1.1最优化(运筹学)模型的一般形式

    1.1.1三要素

    决策变量(与问题求解的难度相关),目标函数,约束条件(等约束与不等约束)

    1.1.2步骤

    1.设决策变量(什么是决策变量?–>影响目标的因素,常用0-1来设立决策变量)
    2.找并写出约束条件(st)
    3.写出模型
    4.模型求解
    易(容易建立模型)–>lingo
    难(需要搜索最优解)–>matlab

    1.2最优化模型的分类

    在这里插入图片描述

    2.几类常见问题

    2.1运输问题

    产销平衡问题直接求解,其他化为平衡问题
    题目:在这里插入图片描述
    求解:在这里插入图片描述

    2.2下料问题

    2.3指派问题

    在这里插入图片描述

    2.4目标规划

    与线性规划的区别:

    1.线性规划严格要求满足所有约束条件
    2.且线性规划只能解决单目标优化问题
    3.线性规划中所有约束条件的地位一样
    4.线性规划求最优解

    2.5 装箱问题

    2.6生产计划问题

    2.7非线性规划

    2.8多目标规划

    2.9灵敏度分析

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  • 深度学习(13)神经网络中损失函数作用三要素期望风险与经验风险结构风险与正则化损失函数层Softmax函数loss计算...评估指的是模型在数据上表现量化形式,我们选取合适函数来表示什么样子的模型是,性能度...

    三要素

    • 机器学习的三要素就是:表示,评估和优化。
    1. 表示指的是将样本空间映射到一个合适的特征空间,一般地,我们更青睐于这样的表示是低维度的,是更加稀疏交互的,同时也希望是相互独立的。
    2. 评估指的是模型在数据上表现的量化形式,我们选取合适的函数来表示什么样子的模型是好的,性能度量就是评估。
    3. 在前两步都完成了以后,最后要做的就是优化,就是对评估函数进行求解,找出最合适的解,来确定最终的模型。

    所谓的性能度量(performance measure) 就是关于真实值和预测值的关系,真实值与预测值越接近,或者说真实的分布与预测分布越接近,性能越好。对于 回归 问题,我们可以选用均方误差(mean squared error),绝对误差(absolute Loss),决定系数(coefficient of determination )以及Huber Loss来度量模型的性能,对于 分类 问题,我们可以用准确率,错误率,或者得到混淆矩阵,进一步得到查准率(precision)、查全率(recall)以及P-R曲线和ROC曲线

    我们可以很容易想到,损失函数(Loss function)也是这样一回事情,真实值与预测值差别越大,Loss越大,我们的优化的目标就是减小Loss。从评估的角度来说,损失函数和性能度量所起到的作用是相同的,那么我们为什么既要有损失函数,也有要性能评估呢?事实上,常见的均方误差:

    在这里插入图片描述

    既可以被当作性能度量,同时也是回归问题的损失函数。但在更多的问题中,我们会发现,我们往往会为了减小模型的错误率,并不直接优化错误率,而是会优化另一个函数,比如在logistic回归中,我们会优化对数似然,在SVM中,我们会优化hinge loss,在adaboost中会优化指数损失。

    期望风险与经验风险

    • 以二分类问题为例,我们的错误率,也就是0-1损失函数,可以定义为:

    在这里插入图片描述

    • 如果我们的模型f携带参数θ,那么我们的任务可以是找到最佳的θ:
      在这里插入图片描述

    但这样的函数并不是连续的,因为参数的变化会反映到错误率上,而错误率的变化不可能是连续的,当我们预测对样本每增加一个,错误率就会跃变1/m,如果我们采用梯度下降或者牛顿法去优化,就会利用到它的一阶导数甚至二阶导数,会发现导数根本不存在。

    • 所以损失函数一定要是连续的,这是寻找损失函数的第一个条件。此外,根本性的问题在于,我们想优化的根本不是经验风险,所谓的经验风险,如同上式,是定义在训练集上的样本上损失;我们真正想优化的是期望风险,定义在全部样本(包含测试集)的损失,用期望来表示:

    在这里插入图片描述

    将其拆开就是:

    在这里插入图片描述

    但是概率分布P(x,y)未知的话,我们连期望风险都无法计算,更无法将其最小化。但我们使用的数据越多,根据大数定律,期望风险也就越接近于经验风险,注意到,我们的联合分布还可以写为:

    在这里插入图片描述

    • 联合分布可以被拆为先验概率和条件概率。但是当我们可以假设模型的概率分布时,比如线性回归假设了高斯分布,logistic回归假设了伯努利分布,我们就可以利用极大似然估计来逼近期望风险,这也叫做一致性(consistency ),这个是我们寻找损失的函数第二个条件

    如果是连续的凸函数,在0处可导,且导数小于零,就具备与0-1损失函数的一致性,我们把这些损失函数叫做替代损失(Surrogate loss),值得注意的是,这是我们选用凸函数的最重要的原因,虽然凸函数具备局部最小值就是全局最小值的性质,但主要是为了计算上的便利,而非本质意义上的。

    在这里插入图片描述

    如图,除去Perceptron Loss,其余的Loss function均可以给出0-1损失的上界,也就是说,在优化替代损失的时候,也就优化了原本的损失函数。

    结构风险与正则化

    在《贝叶斯的回归模型》中曾经把岭回归的正则化项归结于高斯先验,把LASSO的正则化项归结于拉普拉斯先验,那么从损失函数的构造角度来看,**所谓正则化项,描述的其实是模型的复杂度,模型的复杂度越高,过拟合的风险也就越大,所谓的结构风险就是指模型本身结构的复杂度。**添加结构风险的Loss Function一般形式就是:

    在这里插入图片描述

    结构风险加上经验风险,是在数据量有限的情况下,为了更好的近似期望风险的策略,这一策略的本质意义是,是希望在模型拟合数据能力和复杂度之间取得平衡,拟合数据相同的模型,我们偏向于复杂度低的模型,复杂度相同的模型,我们偏向于拟合得好的模型。虽然我们早就知道了正则化,但从这样的思路去理解正则话会使得我们在神经网络这样解释能力极差的模型中,也可以添加相应对连接权重的正则化项:

    在这里插入图片描述


    • 有人认为,凸函数在统计学习中最好的性质就是局部最优即全局最优,这样算法就不用担心其会陷入局部最优而非全局最优,但在神经网络这样极其复杂的参数空间中,我们有充足的理由不去过分担心全局最优的问题。 从这个意义上来说, 寻找一致性的连续的损失函数才是最关键的问题。 对于某些模型,结构风险天然就被包含在了模型之中,比如SVM,它的结构风险项是划分超平面间隔的大小。

    • 有人认为,什么模型就只能用什么损失函数 ,因为其他的损失函数,书上没有讲过,这样的看法是片面的,logistic回归这样一种广义的线性模型也可以用平方损失函数,只是平方损失并不会满足一致性,得到的结果无法改善原来的损失。


    损失函数层

    cnn进行前向传播阶段,依次调用每个Layer的Forward函数,得到逐层的输出,最后一层与目标函数比较得到损失函数,计算误差更新值,通过反向传播逐层到达第一层,所有权值在反向传播结束时一起更新。

    loss layer 是CNN的终点,接受两个Blob作为输入,其中一个是CNN的预测值,另一个是真实标签。损失层则将这两个输入进行一系列运算,得到当前网络的损失函数(Loss Function),一般记做L(θ)其中θ是当前网络权值构成的向量空间。机器学习的目的是在权值空间中找到让损失函数L(θ) 最小的权值θ(opt),可以采用一系列最优化方法(如SGD方法)逼近权值θ(opt)。

    损失函数是在前向传播计算中得到的,同时也是反向传播的起点。

    Softmax函数

    假设有K个类别,Softmax计算过程为:
    在这里插入图片描述

    其中,j=0,1,2,3,4,5,…,K-1

    下面图更直观:

    在这里插入图片描述

    • softMax的结果相当于输入图像被分到每个标签的概率分布,该函数是单调增函数,即输入值越大,输出也就越大,输入图像属于该标签的概率就越大。

    SVM只选自己喜欢的男神,Softmax把所有备胎全部拉出来评分,最后还归一化一下

    对softmax的结果计算交叉熵分类损失函数为:

    在这里插入图片描述

    取log里面的值就是这组数据正确分类的Softmax值,它占的比重越大,这个样本的Loss也就越小,这种定义符合我们的要求.

    • softmax函数的本质就是将一个K 维的任意实数向量压缩(映射)成另一个K维的实数向量,其中向量中的每个元素取值都介于(0,1)之间。将高维的输入x转化一个K维的实数,即K类的各自的概率。

    loss计算

    理想的分类器应当是除了真实标签的概率为1,其余标签概率均为0,这样计算得到其损失函数为-ln(1)=0.

    损失函数越大,说明该分类器在真实标签上的分类概率越小,性能也就越差。

    当损失函数接近正无穷时表明训练发散,需要调小学习速率。

    在ImageNet-1000分类问题中,初始状态为均匀分布,每个类别的分类概率均为0.001,此时损失函数-ln(0.001)=ln(1000)=6.90775…,

    当loss总在6.9左右时,说明 没有训练收敛的迹象,尝试调大学习速率,或者修改权值初始化方式。

    • softmax_loss的计算包含2步:

      1. 计算softmax归一化概率

      2. 计算损失

    这里以batchsize=1的2分类为例:

    设最后一层的输出为[1.2 0.8],减去最大值后为[0 -0.4],

    然后计算归一化概率得到[0.5987 0.4013],

    假如该图片的label为1,则Loss=-log0.4013=0.9130

    • 可选参数
      1. ignore_label
        int型变量,默认为空。如果指定值,则label等于ignore_label的样本将不参与Loss计算,并且反向传播时梯度直接置0.

      2. normalize
        bool型变量,即Loss会除以参与计算的样本总数;否则Loss等于直接求和

      3. normalization

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  • 使用岭回归(使用Moore-Penrose逆直接估计)将给定数据集与一般形式f(x)=w1+w2x+w3x平方+...wnxn−1次方 多项式模型拟合,若要确定具有超参数优化的最大多项式阶数。求参数和超参数...
  • 运筹学--介绍

    2021-03-13 18:58:55
    介绍 由于最近开始找工作了,博主还是希望找运筹优化相关的岗位,最近总结...模型的一般形式 模型一般包括三要素:决策变量、约束、目标函数 一般命题的表达形式: maxF(x)s.t.G(x)≥0x≥0\begin{aligned} &m

空空如也

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优化模型的一般形式是什么