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  • 优化基础——模型方法建模优化; 最优化基础——模型方法;如何建模和优化分析
  • 针对传统三维建模流程存在的延时问题,提出...该算法让简化算法贯穿在整个区域建模过程中,从而将模型优化的时间间隔降至传统方法下的三分之一左右.最后以联合站系统为例,验证了所提三维建模流程优化方法的优越性.
  •   &... 最优化赛题是数学建模大赛中最常见的问题类型之一。一般说来,凡是寻求最大、最小、最远、最近、最经济、最丰富、最高效、最耗时的目标,都可以划入优化问题的范畴。MATLAB ...

       

            最优化赛题是数学建模大赛中最常见的问题类型之一。一般说来,凡是寻求最大、最小、最远、最近、最经济、最丰富、最高效、最耗时的目标,都可以划入优化问题的范畴。MATLAB 优化工具箱和全局优化工具箱对多个优化问题提供了完整的解决方案,前者涵盖了线性规划、混合整型线性规划、二次规划、非线性优化、非线性最小二乘的求解器,后者囊括了全局搜索、多初始点、模式搜索、遗传算法等求解算法。

    本讲主要介绍如何使用优化工具箱求解数学建模中标准的优化模型。更多的内容,欢迎大家浏览 MathWorks 官网以及 MATLAB 软件文档。

    1. 聊一聊最优化问题

    最优化即在一定的条件下,寻求使目标最小(大)的设计参数或决策。在优化问题中有两个关键对象:目标函数和约束条件(可选)。常规优化问题,其数学表达可以描述为:


    其中x 为长度n的决策变量向量,f(x) 为目标函数,G(x) 为约束函数。

    求解目标函数的最小(大)值,一个高效而精确的解决方案不仅取决于约束条件和变量数量,更取决于目标函数和约束函数的特性。明确优化类型是确认优化方案的前提,让我们看一下这些特性如何划分:



    常见的目标函数有:

    线性规划:被广泛的应用于变量之间可线性表示的财务、能源、运营研究等现代管理领域中。

    混合整数线性规划:扩展了线性规划问题,增加了最优解中部分或全部变量必须是整数的约束。例如,如果一个变量代表要认购的股票数量,则只应取整数值。同样,如果一个变量代表发电机的开/关状态,则只应取二进制值(0 或 1)。

    二次规划:目标函数或约束函数为多元二次函数。此优化应用于财务金融中投资组合优化、发电厂发电优化、工程中设计优化等领域。

    最小二乘:分为线性和非线性,通过最小化误差的平方和寻找变量的最优函数匹配。非线性最小二乘优化还可用于曲线拟合。

    2. 优化求解器太多了,怎么选?

    对 MATLAB 提供的各类优化问题的算法,我们称之为求解器(Solver)。根据其求解目标,被分为四大组:

    • 极小值优化组:找到目标函数出发点 x0 附近的局部极小值

    • 多目标优化组:找到最小化一组函数的最大值或指定的值

    • 方程求解组:找到非线性方程 f(x) = 0 出发点 x0 附近的解

    • 最小二乘法(曲线拟合)组:最小化平方和

    仅优化工具箱就提供了近 20 种求解器,面对如此繁多的选项,用户往往一头雾水。幸好,MATLAB 提供了简单明了的参考工具 —— 优化决策表。可谓一表在手,优化不愁:


    上表中*表示算法由全局工具箱提供。此外,多目标优化与方程组求解器并未被此表列举,更多求解器的选择方案,可以点击阅读原文查看。

    3. 写出漂亮、高效的代码

    确认优化策略后,就可以开工写代码了。下面让我们通过一个例子,了解编写高效优化算法代码的步骤和注意事项。

    [题目]

    - 目标函数


    -  约束函数(所有变量为正)


    [解答]

    a. 首先,根据题目确认这是一个线性规划问题。而线性规划的通用数学表达式和MATLAB标准形式为:


     创建符合标准格式的A、b、Aeq、beq、lb、ub参数,才可以顺利的运行优化算法。

    b. 对于线性规划的优化求解步骤(也适用于其他优化方案),建议如下:

        1 ) 选择优化求解器

        2 ) 将所有变量合并为一个向量

        3 ) 创建边界约束(lb,ub)

        4 ) 创建线性不等式约束(A,b)

        5 ) 创建线性等式约束(Aeq,beq)

        6 ) 创建目标函数

        7 ) 优化问题求解

        8 ) 结果检验

    c. MATLAB 代码和注释:



    d. 优化结果:


    e. 如果结果不满意,可以调整优化选项,迭代计算。

    4. 整数规划求解神器

    在优化问题中, 经常会遇到整数规划问题, 尤其是0-1规划问题, MATLAB 对于整数规划问题,有个专门的求解器 intlinprog。 该函数不仅可以求解一般的整数规划问题,还可以求解混合整数规划问题,也就是决策变量既可以是整数也可以是小数,只要指定是整数的决策变量的编号就是可以。 通过一个具体的例子, 来看看这个函数的使用。

    求解的问题是:


    求解的代码是:


    运行代码, 可很快得到最优解 x = [1 0 1]。

    5. 受欢迎的图形化应用

    MATLAB 在数据分析领域如此受欢迎,除了其提供丰富的内置算法集,还有各类友好的应用界面。在优化工具箱中,也有这么一个强大的工具—— Optimization App,可以在 MATLAB Apps 窗口或者运行 optmitool 命令打开。它是一个交互式的图形化应用工具,无需手写代码,直接在图形界面中设置各类求解器、配置目标函数、约束条件,即可运行优化算法并使中间结果和最终结果可视化。


    在 Optimization App 中,只需点击菜单栏中的 File > Generate Code,即可将 App 中的各项设置自动生成 MATLAB 代码,用户可实现算法的复用和二次开发。

    此外,面对越来越复杂的优化问题,如何加快算法的运行也是我们经常听到的问题。针对这个需求,可以结合 MATLAB 并行计算工具箱,利用电脑的多核硬件资源,实现算法加速,有兴趣的用户可以点击阅读原文观看视频做更多的了解。

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  • 离散型问题是建模竞赛中的主流题型,如果判断所研究的问题是组合优化问题, 那么就大概率需要全局优化算法了。历年赛题中, 比较经典的这类问题有灾情巡视、公交车调度、彩票问题、露天矿卡车调度、交巡警服务...


           离散型问题是建模竞赛中的主流题型,如果判断所研究的问题是组合优化问题, 那么就大概率需要全局优化算法了。历年赛题中, 比较经典的这类问题有灾情巡视、公交车调度、彩票问题、露天矿卡车调度、交巡警服务平台、太阳影子定位等等。可见全局优化问题的求解算法在数学建模中的重要性,这一讲重要就介绍 MATLAB 全局优化技术及相关实例。

    1. MATLAB 全局优化概况

    MATLAB 中有个全局优化工具箱 ( Global Optimization Toolbox ) ,该工具箱集成了几个主流的全局优化算法,包含全局搜索、多初始点、模式搜索、遗传算法、多目标遗传算法、模拟退火求解器和粒子群求解器, 如图 1 所示。对于目标函数或约束函数连续、不连续、随机、导数不存在以及包含仿真或黑箱函数的优化问题,都可使用这些求解器来求解。


    图 1 MATLAB 全局优化工具箱包含的求解器

    另外,还可通过设置选项和自定义创建、更新函数来改进求解器效率。可以使用自定义数据类型,配合遗传算法和模拟退火求解器,来描绘采用标准数据类型不容易表达的问题。利用混合函数选项,可在第一个求解器之后应用第二个求解器来改进解算。

    2. 遗传算法

    遗传算法可以说是典型的通过变化解的结构以得到更优解的算法,适应能力比较强,现已经典的旅行商问题(TSP)为例, 来看看如何使用 MATLAB 来实现遗传算法。

    • 旅行商问题的数据

    load(’usborder.mat’,‘x’,‘y’,‘xx’,‘yy’);
    plot(x,y,‘Color’,‘red’); hold on;
    cities = 40;
    locations = zeros(cities,2);
    n = 1;
    while (n <= cities)
        xp = rand*1.5;
        yp = rand;
        if inpolygon(xp,yp,xx,yy)
            locations(n,1) = xp;
            locations(n,2) = yp;
            n = n+1;
        end
    end
    plot(locations(:,1),locations(:,2),‘bo’);


    • 计算城市间的距离

    distances = zeros(cities);

    for count1=1:cities
        for count2=1:count1
            x1 = locations(count1,1);
            y1 = locations(count1,2);
            x2 = locations(count2,1);
            y2 = locations(count2,2);
            distances(count1,count2)=sqrt((x1-x2)^2+(y1-y2)^2);
            distances(count2,count1)=distances(count1,count2);
        end
    end

    • 定义目标函数

    FitnessFcn = @(x) traveling_salesman_fitness(x,distances);


    my_plot = @(options,state,flag) traveling_salesman_plot(options, …
        state,flag,locations);

    • 设置优化属性并执行遗传算法求解

    options = optimoptions(@ga, ’PopulationType’, ‘custom’,‘InitialPopulationRange’, …
                                [1;cities]);

    options = optimoptions(options,‘CreationFcn’,@create_permutations, …
                            ‘CrossoverFcn’,@crossover_permutation, …
                            ‘MutationFcn’,@mutate_permutation, …
                            ‘PlotFcn’, my_plot, …
                            ‘MaxGenerations’,500,‘PopulationSize’,60, …
                            ‘MaxStallGenerations’,200,‘UseVectorized’,true);

    numberOfVariables = cities;
    [x,fval,reason,output] = …
        ga(FitnessFcn,numberOfVariables,[ ],[ ],[ ],[ ],[ ],[ ],[ ],options);


    3. 模拟退火算法

    模拟退火(SA)算法也是经典的全局优化算法之一,它脱胎于自然界的物理过程,奇妙地与优化问题挂上了钩。这里将以求解经典的 Peaks 问题为例,介绍如何使用 MATLAB 中的 SA 算法。

    • 用模拟退火(SA)算法求解Peaks问题

    clc, clear, close all

    • 定义优化问题

    peaks

    problem = createOptimProblem(’fmincon’,…
                                 ‘objective’,@(x) peaks(x(1),x(2)), …
                                 ‘nonlcon’,@circularConstraint,…
                                 ‘x0’,[-1 -1],…
                                 ‘lb’,[-3 -3],…
                                 ‘ub’,[3 3],…
                                 ‘options’,optimset(‘OutputFcn’,…
                                                    @peaksPlotIterates))

    用一般最优算法求解

    [x,f] = fmincon(problem)


    x =

       -1.3474    0.2045
    f =
       -3.0498



    • 用 SA 算法寻找全局最小值

    problem.solver  = ’simulannealbnd’;

    problem.objective = @(x) peaks(x(1),x(2)) + (x(1)^2 + x(2)^2 - 9);
    problem.options = saoptimset(’OutputFcn’,@peaksPlotIterates,…
                                 ‘Display’,‘iter’,…
                                 ‘InitialTemperature’,10,…
                                 ‘MaxIter’,300)

    [x,f] = simulannealbnd(problem)


    x =
        0.2280   -1.5229
    f =
      -13.0244



    4. 全局优化求解器汇总

    MATLAB 全局优化算法的各求解器如下表所示。 在建模比赛中, 建议大家先了解各算法的原理, 这样当遇到具体问题的时候, 就可以根据问题的特征判断哪个或哪几个算法比较合适, 如果不好判断, 不妨全部尝试一下, 做个算法比较也是比较常见的事情, 这样得到的结果更酷, 摘要也更有内容啦。


    以上只是简单介绍一下建模中常用全局优化算法的MATLAB实现方法,点击阅读原文查看关于更多的MATLAB全局优化技术和MATLAB帮助文档。

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  • 数学建模的常用模型和方法

    千次阅读 2011-12-16 09:45:44
    l 规划&优化(lingo):0-1规划、线性规划、整数规划、非线性规划、动态规划、单目标、多目标、 l 图论:最短路径、hamilton圈、旅行商TSP问题 、最小生成树、网络最大流、最小费用流、 l 插值拟合 :插值、...

     

    常用模型

    l  规划&优化(lingo):0-1规划、线性规划、整数规划、非线性规划、动态规划、单目标、多目标、
    l   图论:最短路径、hamilton圈、旅行商TSP问题 、最小生成树、网络最大流、最小费用流、
    l  插值拟合 :插值、线性拟合 、非线性拟合、最小二乘拟合
    l  概率论&数理统计:概率模型、方差分析、回归分析(二次曲线回归,线性回归)、
                                       假设检验、分布拟合检验、参数估计
    l  微分方程:常微分方程、微分方程组、稳定状态、灵敏度分析
    l  差分方程:
    l  时间序列:
    l  马氏链:
    l  聚类分析 :
    l  智能算法 :神经网络、遗传算法(gatool)、模拟退火
    l  排队论:
    l  判别分析:
    l  生存数据分析:
    l  综合评价:层次分析、综合评分法、综合指数法、Topsis法、秩和比法
    l  预测:灰色预测
    l  系统仿真:蒙特卡洛
    l  模糊数学:模糊聚类、模糊综合评价
    l  图像处理:灰度化、二值化、滤波、边缘提取、三维重建
    l  数据处理:主成分分析、因子分析
    l  解方程:
     
    各种数据处理方法:

    a)  回归分析法(数理统计方法)-用于对函数f(x)的一组观测值(xi,fi)i=1,2,…,n,确定函数的表达式。

    b)  时序分析法--处理的是动态的时间序列相关数据,又称为过程统计方法。

    c)  多元统计分析(聚类分析、判别分析、因子分析、主成分分析、生存数据分析)。

         还有图形绘制:条形图、折线图、散点图、饼图、频率分布直方图......
     
    常用软件:
    Lingo Lindo(优化和规划)
    Matlab(科学计算)
    Excel(绘图、统计)
    MathType(公式编辑器)
    SPSS
    展开全文
  • 数学建模四大模型总结

    万次阅读 多人点赞 2019-06-13 15:31:53
    文章目录数学建模四大模型总结1 、优化模型1.1 数学规划模型1.2 微分方程组模型1.3 图论与网络优化问题1.4 概率模型1.5 组合优化经典问题现代优化算法:禁忌搜索;模拟退火;遗传算法;人工神经网络2、分类模型2.1 ...

    选题建议

    1. 有固定答案或参考答案,结果往往要求比较准确才能够获奖。
      1.1 专业性很强的题目,与自己专业相关,建议选择;与自己专业相差较大,谨慎选择。
      1.2 专业性不强的题目,如果队友有较好的数学思维,对题目感兴趣可以选择,但是模型必须建立出来,结果不能太离谱。
    2. 开放性较强,仅有评阅要点或者得分点,一般对结果没有限制。
      2.1 附件有数据,这类题目一般比较简单,建议优先选择,只要合理建立模型,在所给数据集上有结果,就比较容易得奖。
      2.2 附件没有给数据,一般比较难,因为数据收集起来比较费劲,且大部分数据需要做大量处理工作,谨慎选择。

    1 、优化模型

    1.1 数学规划模型

    线性规划、整数线性规划、非线性规划、多目标规划、动态规划。

    1.2 微分方程组模型

    阻滞增长模型、SARS传播模型。

    1.3 图论与网络优化问题

    最短路径问题、网络最大流问题、最小费用最大流问题、最小生成树问题(MST)、旅行商问题(TSP)、图的着色问题。

    1.4 概率模型

    决策模型、随机存储模型、随机人口模型、报童问题、Markov链模型。

    1.5 组合优化经典问题

    • 1.5.1 多维背包问题(MKP)

      背包问题:个物品,对物品,体积为,背包容量为。如何将尽可能多的物品装入背包。
      多维背包问题:个物品,对物品,价值为,体积为,背包容量为。如何选取物品装入背包,是背包中物品的总价值最大。
      多维背包问题在实际中的应用有:资源分配、货物装载和存储分配等问题。该问题属于难问题。

    • 1.5.2 二维指派问题(QAP)

      工作指派问题:个工作可以由个工人分别完成。工人完成工作的时间为。如何安排使总工作时间最小。
      二维指派问题(常以机器布局问题为例):台机器要布置在个地方,机器与之间的物流量为,位置与之间的距离为,如何布置使费用最小。
      二维指派问题在实际中的应用有:校园建筑物的布局、医院科室的安排、成组技术中加工中心的组成问题等。

    • 1.5.3 旅行商问题(TSP)

      旅行商问题:有个城市,城市与之间的距离为,找一条经过个城市的巡回(每个城市经过且只经过一次,最后回到出发点),使得总路程最小。

    • 1.5.4 车辆路径问题(VRP)

      车辆路径问题(也称车辆计划):已知个客户的位置坐标和货物需求,在可供使用车辆数量及运载能力条件的约束下,每辆车都从起点出发,完成若干客户点的运送任务后再回到起点,要求以最少的车辆数、最小的车辆总行程完成货物的派送任务。
      TSP问题是VRP问题的特例。

    • 1.5.5 车间作业调度问题(JSP)

      车间调度问题:存在个工作和台机器,每个工作由一系列操作组成,操作的执行次序遵循严格的串行顺序,在特定的时间每个操作需要一台特定的机器完成,每台机器在同一时刻不能同时完成不同的工作,同一时刻同一工作的各个操作不能并发执行。如何求得从第一个操作开始到最后一个操作结束的最小时间间隔。

    现代优化算法:禁忌搜索;模拟退火;遗传算法;人工神经网络

    2、分类模型

    ​ 判别分析是在已知研究对象分成若干类型并已经取得各种类型的一批已知样本的观测数据,在此基础上根据某些准则建立判别式,然后对未知类型的样品进行判别分析。
    聚类分析则是给定的一批样品,要划分的类型实现并不知道,正需要通过局内分析来给以确定类型的。

    2.1 判别分析

    • 2.1.1 距离判别法

      基本思想:首先根据已知分类的数据,分别计算各类的重心即分组(类)的均值,判别准则是对任给的一次观测,若它与第类的重心距离最近,就认为它来自第类。
      至于距离的测定,可以根据实际需要采用欧氏距离、马氏距离、明科夫距离等。

    • 2.1.2 Fisher判别法

      基本思想:从两个总体中抽取具有个指标的样品观测数据,借助方差分析的思想构造一个判别函数或称判别式。其中系数确定的原则是使两组间的区别最大,而使每个组内部的离差最小。
      对于一个新的样品,将它的p个指标值代人判别式中求出 y 值,然后与判别临界值(或称分界点(后面给出)进行比较,就可以判别它应属于哪一个总体。在两个总体先验概率相等的假设下,判别临界值一般取:

      最后,用统计量来检验判别效果,若则认为判别有效,否则判别无效。
      以上描述的是两总体判别,至于多总体判别方法则需要加以扩展。
      Fisher判别法随着总体数的增加,建立的判别式也增加,因而计算比较复杂。

    • 2.1.3 Bayes判别法

      基本思想:假定对所研究的对象有一定的认识,即假设个总体中,第个总体的先验概率为,概率密度函数为。利用bayes公式计算观测样品来自第个总体的后验概率,当时,将样本判为总体。

    • 2.1.4 逐步判别法

      基本思想与逐步回归法类似,采用“有进有出”的算法,逐步引入变量,每次引入一个变量进入判别式,则同时考虑在较早引入判别式的某些作用不显著的变量剔除出去。

    2.2 聚类分析

    ​ 聚类分析是一种无监督的分类方法,即不预先指定类别。根据分类对象不同,聚类分析可以分为样本聚类(Q型)和变量聚类(R型)。样本聚类是针对观测样本进行分类,而变量聚类则是试图找出彼此独立且有代表性的自变量,而又不丢失大部分信息。变量聚类是一种降维的方法。

    • 2.2.1 系统聚类法(分层聚类法)

      基本思想:开始将每个样本自成一类;然后求两两之间的距离,将距离最近的两类合成一类;如此重复,直到所有样本都合为一类为止。
      适用范围:既适用于样本聚类,也适用于变量聚类。并且距离分类准则和距离计算方法都有多种,可以依据具体情形选择。

    • 2.2.2 快速聚类法(K-均值聚类法)

      基本思想:按照指定分类数目,选择个初始聚类中心;计算每个观测量(样本)到各个聚类中心的距离,按照就近原则将其分别分到放入各类中;重新计算聚类中心,继续以上步骤;满足停止条件时(如最大迭代次数等)则停止。
      使用范围:要求用户给定分类数目,只适用于样本聚类(Q型),不适用于变量聚类(R型)。

    • 2.2.3 两步聚类法(智能聚类方法)

      基本思想:先进行预聚类,然后再进行正式聚类。
      适用范围:属于智能聚类方法,用于解决海量数据或者具有复杂类别结构的聚类分析问题。可以同时处理离散和连续变量,自动选择聚类数,可以处理超大样本量的数据。

    • 2.2.4 模糊聚类分析

    • 2.2.5 与遗传算法、神经网络或灰色理论联合的聚类方法

    2.3 神经网络分类方法

    3、评价模型

    3.1 层次分析法(AHP)

    基本思想:是定性与定量相结合的多准则决策、评价方法。将决策的有关元素分解成目标层、准则层和方案层,并通过人们的判断对决策方案的优劣进行排序,在此基础上进行定性和定量分析。它把人的思维过程层次化、数量化,并用数学为分析、决策、评价、预报和控制提供定量的依据。
    基本步骤:构建层次结构模型;构建成对比较矩阵;层次单排序及一致性检验(即判断主观构建的成对比较矩阵在整体上是否有较好的一致性);层次总排序及一致性检验(检验层次之间的一致性)。
    优点:它完全依靠主观评价做出方案的优劣排序,所需数据量少,决策花费的时间很短。从整体上看,AHP在复杂决策过程中引入定量分析,并充分利用决策者在两两比较中给出的偏好信息进行分析与决策支持,既有效地吸收了定性分析的结果,又发挥了定量分析的优势,从而使决策过程具有很强的条理性和科学性,特别适合在社会经济系统的决策分析中使用。
    缺点:用AHP进行决策主观成分很大。当决策者的判断过多地受其主观偏好影响,而产生某种对客观规律的歪曲时,AHP的结果显然就靠不住了。
    适用范围:尤其适合于人的定性判断起重要作用的、对决策结果难于直接准确计量的场合。要使AHP的决策结论尽可能符合客观规律,决策者必须对所面临的问题有比较深入和全面的认识。另外,当遇到因素众多,规模较大的评价问题时,该模型容易出现问题,它要求评价者对问题的本质、包含的要素及其相互之间的逻辑关系能掌握得十分透彻,否则评价结果就不可靠和准确。
    改进方法
    (1) 成对比较矩阵可以采用德尔菲法获得。
    (2) 如果评价指标个数过多(一般超过9个),利用层次分析法所得到的权重就有一定的偏差,继而组合评价模型的结果就不再可靠。可以根据评价对象的实际情况和特点,利用一定的方法,将各原始指标分层和归类,使得每层各类中的指标数少于9个。

    3.2 灰色综合评价法(灰色关联度分析)

    基本思想:灰色关联分析的实质就是,可利用各方案与最优方案之间关联度大小对评价对象进行比较、排序。关联度越大,说明比较序列与参考序列变化的态势越一致,反之,变化态势则相悖。由此可得出评价结果。
    基本步骤:建立原始指标矩阵;确定最优指标序列;进行指标标准化或无量纲化处理;求差序列、最大差和最小差;计算关联系数;计算关联度。
    优点:是一种评价具有大量未知信息的系统的有效模型,是定性分析和定量分析相结合的综合评价模型,该模型可以较好地解决评价指标难以准确量化和统计的问题,可以排除人为因素带来的影响,使评价结果更加客观准确。整个计算过程简单,通俗易懂,易于为人们所掌握;数据不必进行归一化处理,可用原始数据进行直接计算,可靠性强;评价指标体系可以根据具体情况增减;无需大量样本,只要有代表性的少量样本即可。
    缺点:要求样本数据且具有时间序列特性;只是对评判对象的优劣做出鉴别,并不反映绝对水平,故基于灰色关联分析综合评价具有“相对评价”的全部缺点。
    适用范围:对样本量没有严格要求,不要求服从任何分布,适合只有少量观测数据的问题;应用该种方法进行评价时,指标体系及权重分配是一个关键的问题,选择的恰当与否直接影响最终评价结果。
    改进方法
    (1) 采用组合赋权法:根据客观赋权法和主观赋权法综合而得权系数。
    (2) 结合TOPSIS法:不仅关注序列与正理想序列的关联度,而且关注序列与负理想序列的关联度,依据公式计算最后的关联度。

    3.3 模糊综合评价法

    基本思想:是以模糊数学为基础,应用模糊关系合成的原理,将一些边界不清、不易定量的因素定量化,从多个因素对被评价事物隶属等级(或称为评语集)状况进行综合性评价的一种方法。综合评判对评判对象的全体,根据所给的条件,给每个对象赋予一个非负实数评判指标,再据此排序择优。
    基本步骤:确定因素集、评语集;构造模糊关系矩阵;确定指标权重;进行模糊合成和做出评价。
    优点:数学模型简单,容易掌握,对多因素、多层次的复杂问题评判效果较好。模糊评判模型不仅可对评价对象按综合分值的大小进行评价和排序,而且还可根据模糊评价集上的值按最大隶属度原则去评定对象所属的等级,结果包含的信息量丰富。评判逐对进行,对被评对象有唯一的评价值,不受被评价对象所处对象集合的影响。接近于东方人的思维习惯和描述方法,因此它更适用于对社会经济系统问题进行评价。
    缺点:并不能解决评价指标间相关造成的评价信息重复问题,隶属函数的确定还没有系统的方法,而且合成的算法也有待进一步探讨。其评价过程大量运用了人的主观判断,由于各因素权重的确定带有一定的主观性,因此,总的来说,模糊综合评判是一种基于主观信息的综合评价方法。
    应用范围:广泛地应用于经济管理等领域。综合评价结果的可靠性和准确性依赖于合理选取因素、因素的权重分配和综合评价的合成算子等。
    改进方法:采用组合赋权法:根据客观赋权法和主观赋权法综合而得权系数。

    3.4 BP神经网络综合评价法

    基本思想:是一种交互式的评价方法,它可以根据用户期望的输出不断修改指标的权值,直到用户满意为止。因此,一般来说,人工神经网络评价方法得到的结果会更符合实际情况。
    优点:神经网络具有自适应能力,能对多指标综合评价问题给出一个客观评价,这对于弱化权重确定中的人为因素是十分有益的。在以前的评价方法中,传统的权重设计带有很大的模糊性,同时权重确定中人为因素影响也很大。随着时间、空间的推移,各指标对其对应问题的影响程度也可能发生变化,确定的初始权重不一定符合实际情况。再者,考虑到整个分析评价是一个复杂的非线性大系统,必须建立权重的学习机制,这些方面正是人工神经网络的优势所在。针对综合评价建模过程中变量选取方法的局限性,采用神经网络原理可对变量进行贡献分析,进而剔除影响不显著和不重要的因素,以建立简化模型,可以避免主观因素对变量选取的干扰。
    缺点: ANN在应用中遇到的最大问题是不能提供解析表达式,权值不能解释为一种回归系数,也不能用来分析因果关系,目前还不能从理论上或从实际出发来解释ANN的权值的意义。需要大量的训练样本,精度不高,应用范围是有限的。最大的应用障碍是评价算法的复杂性,人们只能借助计算机进行处理,而这方面的商品化软件还不够成熟。
    适用范围:神经网络评价模型具有自适应能力、可容错性,能够处理非线性、非局域性的大型复杂系统。在对学习样本训练中,无需考虑输入因子之间的权系数,ANN通过输入值与期望值之间的误差比较,沿原连接权自动地进行调节和适应,因此该方法体现了因子之间的相互作用。
    改进方法
    采用组合评价法:对用其它评价方法得出的结果,选取一部分作为训练样本,一部分作为待测样本进行检验,如此对神经网络进行训练,知道满足要求为止,可得到更好的效果。

    3.5 数据包络法(DEA)

    3.6 组合评价法

    4、预测模型

    定性研究与定量研究的结合,是科学的预测的发展趋势。在实际预测工作中,应该将定性预测和定量预测结合起来使用,即在对系统做出正确分析的基础上,根据定量预测得出的量化指标,对系统未来走势做出判断。

    4.1 回归分析法

    ​基本思想:根据历史数据的变化规律,寻找自变量与因变量之间的回归方程式,确定模型参数,据此预测。回归问题分为一元和多元回归、线性和非线性回归。
    特点:技术比较成熟,预测过程简单;将预测对象的影响因素分解,考察各因素的变化情况,从而估计预测对象未来的数量状态;回归模型误差较大,外推特性差。
    适用范围:回归分析法一般适用于中期预测。回归分析法要求样本量大且要求样本有较好的分布规律,当预测的长度大于占有的原始数据长度时,采用该方法进行预测在理论上不能保证预测结果的精度。另外,可能出现量化结果与定性分析结果不符的现象,有时难以找到合适的回归方程类型。

    4.2 时间序列分析法

    ​基本思想:把预测对象的历史数据按一定的时间间隔进行排列,构成一个随时间变化的统计序列,建立相应的数据随时间变化的变化模型,并将该模型外推到未来进行预测。
    适用范围:此方法有效的前提是过去的发展模式会延续到未来,因而这种方法对短期预测效果比较好,而不适合作中长期预测。一般来说,若影响预测对象变化各因素不发生突变,利用时间序列分析方法能得到较好的预测结果;若这些因素发生突变,时间序列法的预测结果将受到一定的影响。

    4.3 灰色预测法

    ​基本思想:将一切随机变量看作是在一定范围内变化的灰色变量,不是从统计规律角度出发进行大样本分析研究,而是利用数据处理方法(数据生成与还原),将杂乱无章的原始数据整理成规律性较强的生成数据来加以研究,即灰色系统理论建立的不是原始数据模型,而是生成数据模型。
    适用范围:预测模型是一个指数函数,如果待测量是以某一指数规律发展的,则可望得到较高精度的预测结果。影响模型预测精度及其适应性的关键因素,是模型中背景值的构造及预测公式中初值的选取。

    4.4 BP神经网络法

    人工神经网络的理论有表示任意非线性关系和学习等的能力,给解决很多具有复杂的不确定性和时变性的实际问题提供了新思想和新方法。
    利用人工神经网络的学习功能,用大量样本对神经元网络进行训练,调整其连接权值和闭值,然后可以利用已确定的模型进行预测。神经网络能从数据样本中自动地学习以前的经验而无需繁复的查询和表述过程,并自动地逼近那些最佳刻画了样本数据规律的函数,而不论这些函数具有怎样的形式,且所考虑的系统表现的函数形式越复杂,神经网络这种特性的作用就越明显。
    误差反向传播算法(BP算法)的基本思想是通过网络误差的反向传播,调整和修改网络的连接权值和闭值,使误差达到最小,其学习过程包括前向计算和误差反向传播。它利用一个简单的三层人工神经网络模型,就能实现从输入到输出之间任何复杂的非线性映射关系。目前,神经网络模型已成功地应用于许多领域,诸如经济预测、财政分析、贷款抵押评估和破产预测等许多经济领域。
    优点:可以在不同程度和层次上模仿人脑神经系统的结构及信息处理和检索等功能,对大量非结构性、非精确性规律具有极强的自适应功能,具有信息记忆、自主学习、知识推理和优化计算等特点,其自学习和自适应功能是常规算法和专家系统技术所不具备的,同时在一定程度上克服了由于随机性和非定量因素而难以用数学公式严密表达的困难。
    缺点:网络结构确定困难,同时要求有足够多的历史数据,样本选择困难,算法复杂,容易陷入局部极小点。

    4.5 支持向量机法

    支持向量机是基于统计学习的机器学习方法,通过寻求结构风险化最小,实现经验风险和置信范围的最小,从而达到在统计样本较少的情况下,亦能获得良好统计规律的目的。 其中支持向量机是统计学习理论的核心和重点。支持向量机是结构风险最小化原理的近似,它能够提高学习机的泛化能力,既能够由有限的训练样本得到小的误差,又能够保证对独立的测试集仍保持小的误差,而且支持向量机算法是一个凸优化问题,因此局部最优解一定是全局最优解,支持向量机就克服了神经网络收敛速度慢和局部极小点等缺陷。 核函数的选取在SVM方法中是一个较为困难的问题,至今没有一定的理论方面的指导。

    4.6 组合预测法

    ​在实际预测工作中,从信息利用的角度来说,就是任何一种单一预测方法都只利用了部分有用信息,同时也抛弃了其它有用的信息。为了充分发挥各预测模型的优势,对于同一预测问题,往往可以采用多种预测方法进行预测。不同的预测方法往往能提供不同的有用信息,组合预测将不同预测模型按一定方式进行综合。根据组合定理,各种预测方法通过组合可以尽可能利用全部的信息,尽可能地提高预测精度,达到改善预测性能的目的。
    优化组合预测有两类概念,一是指将几种预测方法所得的预测结果,选取适当的权重进行加权平均的一种预测方法,其关键是确定各个单项预测方法的加权系数;二是指在几种预测方法中进行比较,选择拟合度最佳或标准离差最小的预测模型作为最优模型进行预测。组合预测是在单个预测模型不能完全正确地描述预测量的变化规律时发挥其作用的。

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优化模型的建模过程和方法