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  • 统计学习是什么

    2020-06-30 23:02:32
    统计学习概率论、统计学、信息论、计算机论、最优化理论及计算机科学等多个领域的交叉学科,并且在发展中逐步形成独自的理论体系与方法论。 统计学习的对象 统计学习的对象数据。它从数据出发,抽.
    1. 统计学习的特点

    统计学习是关于计算机基于数据构建概率统计模型运用模型对数据进行预测与分析的一门科学。

    • 统计学习以计算机及网络为平台,是建立在计算机及网络上的;
    • 统计学习以数据为研究对象,是数据驱动的学科
    • 统计学习的目的是对数据进行预测与分析
    • 统计学习以方法为中心,统计学习方法构建模型并应用模型进行预测与分析
    • 统计学习是概率论、统计学、信息论、计算机论、最优化理论及计算机科学等多个领域的交叉学科,并且在发展中逐步形成独自的理论体系与方法论。
    1. 统计学习的对象

    统计学习的对象是数据。它从数据出发,抽象出模型,又回到数据,对数据进行预测和分析。

    统计学习关于数据的基本假设是同类数据具有一定的统计规律,这是统计学习的前提。同类数据指的是,具有某种相同性质的数据。

    数据由变量或者变量组表示。变量又可分为,离散变量和连续变量。

    1. 统计学习的目的

    统计学习用于对数据的预测与分析,特别是对未知数据的预测与分析。

    统计学习总的目的就是考虑学习什么样的模型和如何学习模型,以使模型能够对数据进行准确的预测与分析,同时也要考虑尽可能提高学习效率。

    1. 统计学习的方法

    从给定的、有限的、用于学习的训练数据集合出发,假设数据是独立同分布产生的;

    并且假设要学习的模型属于某个函数的集合,称为假设空间;

    应用某个评价准则,从假设空间中选取一个最优模型,使他对已知的训练数据及未知的测试数据在给定的评价准则下有最优的预测;

    最优模型的选取由算法实现,这样,统计学习方法包括模型的假设空间,模型选择的准则以及模型学习的算法。称其为统计学习方法的三要素,简称为模型、策略、和算法。

    实现统计学习方法的步骤如下:

    • 得到一个有限的训练数据集合

    • 确定包含所有可能的模型的假设空间, 即学习模型的集合。

    • 确定模型选择的准则,即学习的策略。

    • 实现求解最优模型的算法,即学习的算法

    • 通过学习方法选择最优模型

    • 利用学习的最优模型对新数据进行预测或分析

    1. 统计学习的研究

    统计学习一般包括统计学习方法、统计学习理论、统计学习应用。

    统计学习方法的研究旨在开发新的学习方法;

    统计学习理论的研究在于探求统计学习方法的有效性与效率,以及统计学习的基本理论问题。

    统计学习应用的研究主要考虑将统计学习方法应用到实际问题中去,解决实际问题。

    1. 统计学习的重要性
    • 统计学习是处理海量数据的有效方法
    • 统计学习是计算机智能化的有效手段
    • 统计学习是计算机科学发展的一个重要组成部分

    知识内容来自
    《统计学习方法—李航著》

    展开全文
  • c#学习方法

    2018-03-08 14:29:40
    课程内容:讲解粒子系统、Mecanim、导航寻路、Unity游戏移植技术、Mecanim 动画系统、导航寻路、项目研发常用优化策略、Unity游戏移植手指触控识别、射线、数据持久化、对象缓冲池技术、物理模拟(铰链关节...
  • 特别,在实际应用中如果我们能把一个问题转化为凸优化问题,非常好的一步。而能够这样做的前提,知道基本的函数的凸性以及有哪些保凸运算。上镜图有助于我们从集合的角度理解这个函数为什么是凸的(集合的保凸...

    这一节主要学习凸函数的定义以及性质。了解保凸运算,以及上镜图与下水平集等。这些基础知识看似零乱,然而却是后面的基础。特别是,在实际应用中如果我们能把一个问题转化为凸优化问题,是非常好的一步。而能够这样做的前提,是知道基本的函数的凸性以及有哪些保凸运算。上镜图有助于我们从集合的角度理解这个函数为什么是凸的(集合的保凸运算);水平集是以函数的形式表示集合,类似于等高线,在历史上是重要的方法。这里我们通过下水平集把函数的凸性和集合的凸性联系了起来。

    基本性质

    定义

    凸函数(Convex)的定义如下:

    这里写图片描述

    即:自变量的凸组合的函数值小于等于函数值的凸组合。

    严格凸函数,只要把等号去掉。

    凹函数(Concave)是凸函数取负号。

    仿射函数是既凸且凹的

    常见的凸函数

    • 仿射函数
    • eaXaReaX,∀a∈R
    • 指数函数:xαR++R++,对α1α≥1或者α0α≤0

    扩展值延伸

    定义凸函数在定义域外的值为,从而将定义域延伸至全空间RnRn

    一阶条件(First Order Conditions)

    函数f可微分,则函数f是凸函数的充要条件是其定义域dom f是凸集且对于任意的x,ydom fx,y∈dom f,下式成立

    f(y)f(x)+f(x)T(yx)f(y)≥f(x)+∇f(x)T(y−x)

    即大于等于一阶泰勒近似。上式说明了一个凸函数的局部信息。对于严格凸和凹函数,有相应的结论。

    对于一个凸函数,其一阶泰勒近似是原函数的一个全局下估计。反之,若某个函数的一阶泰勒近似总是其全局下估计,则这个函数是凸的。

    二阶条件

    函数f二阶可微(函数在定义域的开集上处处存在二阶导数),则f是凸函数的充要条件是:其Hessian矩阵是半正定矩阵。即对于所有xdom fx∈dom f,有

    2f(x)0∇2f(x)⪰0

    此条件说明函数的倒数是非递减的。从几何上看是指函数图像在x点具有正的曲率。

    函数f二阶可微(函数在定义域的开集上处处存在二阶导数),则f是凹函数的充要条件是:其Hessian矩阵是半负定矩阵。即对于所有xdom fx∈dom f,有

    2f(x)0∇2f(x)⪯0

    R上的例子

    • 指数函数。对任意aRa∈R, 函数eaxeax在R上是凸的
    • 幂函数。当a1a≥1或者a0a≤0时,xaxaR++R++上是凸函数;当0a10≤a≤1时,xaxaR++R++上是凹函数
    • 绝对值幂函数。当p1p≥1时,函数|x|p|x|pRR上是凸函数。
    • 对数函数。函数log(x)log⁡(x)R++R++上是凹函数。
    • 负熵。函数xlog(x)xlog⁡(x)是定义域上的凸函数。

     RnRn上的一些例子

    • 范数。RnRn上任意范数为凸函数。

    • 最大值函数。函数f(x)=max{x1,...,xn}f(x)=max{x1,...,xn}RnRn上是凸的。

    • 二次-线性分式函数。函数f(x,y)=x2/yf(x,y)=x2/y,其定义域为dom f=R×R++={(x,y)R2|y>0}dom f=R×R++={(x,y)∈R2|y>0}是凸函数。

    这里写图片描述

    • 指数和的对数。函数f(x)=log(ex1+...+exn)f(x)=log⁡(ex1+...+exn)RnRn上是凸函数。

    • 几何平均。几何平均函数f(x)=(ni=1xi)1/nf(x)=(∏i=1nxi)1/n在定义域Rn++R++n上是凹函数。

    • 对数-行列式。函数f(X)=logdetXf(X)=log⁡detX在定义域Sn++S++n是凹函数。

    判断函数的凸性的方法:

    • 根据二阶条件,求出Hessian矩阵,根据Hessian矩阵是否半正定。或者直接判断
    • 根据一阶条件判断
    • 把函数转化为与其定义域相交的直线,通过单变量函数判断原函数的凸性。
    • 把函数看成由其他简单的凸函数通过保凸运算导出。

    下水平集(Sublevel Set)

    水平集是一种通过函数表示集合的方法。函数的αα−下水平集的定义是:

    这里写图片描述

    即:使得函数值小于等于αα的自变量的集合。

    同理可以得到函数的αα−上水平集的定义。

    凸函数的任意下水平集都是凸集。

    凹函数的任意上水平集都是凸集。

    因此,可以根据函数的凸性来判断集合的凸性。

    比如:

    这里写图片描述

    这里算术平均是凸函数,几何平均是凹函数。其复合函数是凹的,因此集合是凸集。

    上镜图(Epigraph)

    函数的图像是指:

    这里写图片描述

    函数的上镜图是指函数图像上面的部分:

    这里写图片描述

    显然,可以通过函数图像的上镜图判断函数的凸性。

    一个函数是凸函数,当且仅当上镜图是凸集。

    一个函数是凹函数,当且仅当亚图是凸集。这里写图片描述

    一阶条件的几何解释

    考虑一阶条件,根据上镜图的定义可得,

    这里写图片描述

    这里写图片描述

    Jessen不等式及其扩展

    一阶条件的基本不等式也叫做Jessen不等式,可以扩展到无穷项和、积分以及期望。

    保凸运算

    学习保持凸性或者凹性的运算,可以用于构造新的凸函数或者凹函数,以及判断一个函数的凸性。

    非负加权求和

    显然,如果函数f是凸函数,则其非负加权求和仍然是凸函数。

    f=w1f1+...+wmfmf=w1f1+...+wmfm

    对凹函数有相应的结论。

    从上镜图可以得到这个结论,前面我们已经知道凸集通过线性变换之后的像依然是凸集。而

    这里写图片描述

    复合仿射映射

    这里写图片描述

    这个性质和集合的保凸运算类似。

    逐点最大和逐点上确界

    如果f1,...,fmf1,...,fm是凸的,那么f(x)=max{f1,...,fm}f(x)=max{f1,...,fm}也是凸的。

    逐点最大的性质可以扩展至无限个凸函数的逐点上确界。如果对于任意yAy∈A,函数f(x,y)f(x,y)关于xx都是凸的,则函数g

    g(x)=supyAf(x,y)g(x)=supy∈Af(x,y)

    关于x也是凸的。

    从上镜图的角度理解,一系列函数的逐点上确界函数对应着这些函数上镜图的交集,而我们知道凸集的交集仍然是凸集,所以一系列函数的逐点上确界函数的上镜图是凸集。

    集合的支撑函数

    这里写图片描述

    到集合中最远点的距离

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    以权为变量的最小二乘

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    对称矩阵最大特征值

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    矩阵范数

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    表示成一组仿射函数的逐点上确界

    建立凸函数的技巧:表示成一组仿射函数的逐点上确界

    复合函数

    标量复合

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    矢量复合

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    最小化

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    函数g的定义域是dom f在x方向上的投影。

    透视函数

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    共轭函数

    拟凸函数

    拟凸函数:定义域和所有下水平集都是凸集。

    拟凹函数:定义域和所有上水平集是凸集。

    拟线性函数:既是拟凸又是拟凹,定义域和所有水平集都是凸集。

    易知,凸函数是拟凸函数。但是拟凸函数不一定是凸函数。

    性质:拟凸性是凸性的扩展。在拟凸条件下,很多性质仍然成立。

    拟凸函数的Jensen不等式:

    f(θx+(1θ)y)max{f(x),f(y)}f(θx+(1−θ)y)≤max{f(x),f(y)}

    一阶条件

    这里写图片描述

    二阶条件

    这里写图片描述

    保拟凸运算

    待续

    对数-凹函数和对数-凸函数

    这里写图片描述

    一个函数是否是对数-凸函数,是指这个函数取对数之后是凸函数。

    一些例子:

    • 许多常见概率密度函数是对数-凹函数
    • 高斯概率密度函数的累积分布函数是对数-凹函数

    相关性质

    函数f二阶可微,则其是对数-凸函数,当且仅当

    这里写图片描述

    关于广义不等式的凸性

    把普通的不等式替换成广义不等式,则函数的单调性、凸性需要重新定义。

    关于广义不等式的单调性

    这里写图片描述

    关于广义不等式的凸性

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    参考文献

    《凸优化》

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  • 机器学习一种理论方法,主要解决人工智能中的问题,机器学习用数据或过去积累的经验,以此优化计算机程序的性能标准。 数据挖掘一种应用和目的,一般指从大量的数据中通过算法搜索隐藏于其中信息的过程,...

    机器学习是一种理论和方法,主要解决人工智能中的问题,机器学习是用数据或过去积累的经验,以此优化计算机程序的性能标准。

    数据挖掘是一种应用和目的,一般是指从大量的数据中通过算法搜索隐藏于其中信息的过程,目标是从大量数据中提取模式和知识,并将其转换成可理解的结构,以进一步使用。机器学习是数据挖掘手段中的一个。


    其实,现在的数据挖掘大多都是采用深度学习和机器学习的方法做。相比深度学习,机器学习可以做的东西更广更全一些,比如自然语言处理、计算机视觉等。至于哪边更好,我只能说现在这两边的研究人员都是鱼龙混杂,如果是有梦想,想做理论研究,追未来热点,直接转机器学习的理论研究。如果对于应用这块比较感兴趣,想弄份稳定工作,学数据挖掘做大数据(经济,网络,推荐系统)是很好的选择。但这两方向都需要做到很深你才能真正站在顶端。来源:微信公众号-计算机信息观察家

    转载于:https://www.cnblogs.com/keo1234/p/10718882.html

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  • 微积分优化机器学习模型中问题最终解决方案的落地手段。当我们分析具体问题,并建立好算法模型后,问题的最终求解过程往往都会涉及到优化问题,因此我们需要去探寻数据空间中的极值。这一切如果没有微分理论...

    微积分与最优化,是机器学习模型中问题最终解决方案的落地手段。当我们分析具体问题,并建立好算法模型后,问题的最终求解过程往往都会涉及到优化问题,因此我们需要去探寻数据空间中的极值。这一切如果没有微分理论和计算方法作为支撑,任何漂亮的模型都无法落地。因此夯实多元微分的基本概念,掌握最优化的实现方法,是通往问题最终解决方案的必经之路。

    在机器学习的实践中,对于一个函数,尤其是多元函数而言,读者需要面对许多非常重要的概念和方法问题:我们常说的导数和微分的背后的几何含义是什么?我们常常听说的链式法则又是如何运转的?

    对于一个连续的函数,我们是如何基于不同阶数的导数,在指定点处,利用有限的级数项之和对函数进行近似?

    多元函数中的梯度指示出了怎样的重要信息?我们如何利用它去寻找函数的极值?

    利用程序进行函数极值求解时,如何利用不断迭代的方法在连续的函数中实现我们的目标?

    梯度法、最速下降法、牛顿法,这些极值求解的具体方法是如何实现的?各有什么优点和不足?

    这些微积分中的重要问题和概念,是理解和实现优化方法的重中之重。

    因此,在《机器学习中的数学:微积分与最优化》中,我们将重点落实微分基础、多元分析、优化基础和多元极值这四部分内容,一次讲清楚优化算法中最为关键的基本概念和方法。

    专栏特色篇幅短小精悍,帮你提炼重点:这不是一个大而全的高等数学课程,而是一个简明扼要的专栏,解决的是机器学习中最优化问题所需要的核心基础概念,但对于最重要的微分基础、多元分析、优化基础和多元极值四部分知识,我们则进行庖丁解牛式的透彻讲解。

    使用 Python 工具,无缝对接工程:教你用熟、用好 NumPy、SciPy、Matplotlib、Pandas 等工具库,无缝对接工程实践应用。

    结合优化算法,提升学习效率:结合实际的典型优化算法,分析、讲解微积分内容,通过更强的导向性和目标性,大幅度提升学习效率。

    设计思路

    我们将通过专栏的四大核心板块向你依次展现机器学习所需的微积分核心内容。

    第 1 部分:微分基础。这一部分从一元函数的导数和微分入手,快速理清连续与可微、切线与导数等重要概念,巩固核心基础,同时从切线的几何意义出发顺势引出微分的数值求法。在此基础上进一步讨论一元函数的泰勒近似,引导读者利用高阶导数基于有限的级数项,在指定点对函数进行近似处理。

    第 2 部分:多元分析。这一部分由一元过渡到多元函数,导数与微分的概念得以进一步完善和深化,引出多元函数的极限、连续以及偏导数,并在多元微分的几何意义的基础上,讨论了多元函数的泰勒近似。同时从偏导数的几何意义出发,引出这一部分最为重要的概念:多元函数的梯度向量和黑塞矩阵,探究梯度与函数值变化的重要关系,为后面的优化方法打好基础。

    第 3 部分:优化基础。这一部分讨论了最优化的概念基础,首先我们分析最优化问题的由来和背景,然后重点讨论函数极值存在的条件以及探索函数极值过程中常用的迭代法。

    第 4 部分:多元极值。这一部分面向几个典型的实际算法,分别举了多元函数极值求取的一阶方法和二阶方法的典型例子,对许多材料中耳熟能详、反复出现的梯度法、最速下降法以及牛顿法都进行了深入的介绍和完整的实现。同时综合整个四部分内容,整合微分与优化的完整知识闭环。

    我希望我们能一起形成一种思维习惯:源于理论,我们条分缕析;面向实践,我们学以致用。 有了扎实的数学理论和方法基础,相信同学们都能登高望远、一往无前。

    gitchat平台上的课程专栏链接:机器学习中的数学:微积分与最优化​gitbook.cn

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