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  • 数学建模优化理论与方法PPT学习教案.pptx
  • 崔雪婷老师最优化理论与方法课程学习笔记。 主要讲解最优化问题的基础知识和算法。 包括凸集定义及基本性质、凸函数、凸优化问题、无约束优化、约束优化理论等。 适合最优化入门的学习爱好者。
  • 优化理论与方法参考学习资源:上海财经大学崔老师B站讲解视频

    最优化理论与方法

    参考学习资源:上海财经大学崔老师B站讲解视频

    以下是个人学习笔记,并不具有很强的参考性,具体学习书籍可参考《最优化理论与方法-袁亚湘》


    大致分类:

    1、无约束优化/约束优化

    2、线性/非线性优化

    3、连续/离散优化

    4、单目标/多目标优化

    5、动态规划

    6、随机规划

    7、鲁棒优化


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    目前只了解了小部分内容,对于剩余内容有待慢慢学习。


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  • 优化理论与方法

    千次阅读 2019-04-23 12:28:47
    优化问题 :eg:,其中x在控制问题中被称为为控制决策变量;在数学优化中叫做决策量。无论是最优控制还是数学优化(数学规划)都是优化问题,即都是这样的形式。 1. 优化的两个基本问题 确定一个优化的必要或/和...

    优化问题 :eg:{min}_xf\left ( x \right ) st. x\in D,其中x在控制问题中被称为为控制决策变量;在数学优化中叫做决策量。无论是最优控制还是数学优化(数学规划)都是优化问题,即都是{min}_xf\left ( x \right ) st. x\in D这样的形式。

    1. 优化的两个基本问题

    • 确定一个优化的必要或/和充分的条件(建模)。
    • 设计一个数值程序(算法的设计+程序的实现)。

    遗传算法在弱优化或无约束优化问题中应用较好。

    2. 优化的相关概念

    静态    vs    动态    数学优化\leftrightarrow最优控制;

    连续    vs   离散    数学优化的离散与连续问题\leftrightarrow控制问题的连续与离散问题;

    凸   vs   非凸   既可能与目标有关,又可能与约束有关;

    完美   vs   满意   结果的完美解与满意解;

    严格   vs   启发   方法在数学上是否严格收敛到最优与否。

    2.1 静态优化(参数优化、数学规划等方法)

    • 对变量进行优化;
    • 约束条件与目标为代数方程或不等式。

    2.2 动态优化(变分问题、最优控制)

    • 对函数进行优化(例如最优决策路径)(函数未知)
    • 目标为积分型泛函;
    • 约束条件包含微分方程。

    2.3 连续优化与离散优化

    • 可行域(决策空间)
    •     0-1规划
    •     整数规划
    • 时间序列
    •     离散时间的动态规划——差分描述
    •     连续时间的动态规划——微分描述

    2.4 确定性优化与随机优化

    • DP 动态优化 确定性;
    • MDP Markov决策过程 随机性

    2.5 凸与非凸

    • 凸集;
    • 凸函数

    2.6 启发与随机化搜索

    • 启发式+随机化=高级启发或超级启发(遗传算法、模拟退火算法、蚁群算法);

    2.7 完美解与满意解

    • 一般需要对满意解进行评价

    3 优化方法

    迭代    vs   解析    计算机喜爱迭代方法,并且这种方法效率高;

    串行    vs    并行    

    求导    vs    搜索

    点对点    vs    集到集

    解析    vs    启发

    注:结构知识绝对重要,搜索方法应当在结构信息的指导下进行搜索。启发、学习、人的才智以及软优化在求解方法中占有重要地位。

    一些常用的迭代方法

    • 梯度法(利用了梯度结构信息)
    • 牛顿法(利用了梯度+Hessen矩阵等结构信息)
    • BFGS (共轭梯度结构信息)
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  • 优化理论与方法-牛顿迭代法

    万次阅读 2018-04-06 22:21:21
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    目录:

    1. 简介牛顿迭代法

    2. 牛顿迭代法公式

    3. 牛顿迭代法的收敛性

    4. 牛顿法的改进

    5. 牛顿法和梯度下降法的区别


    一、简介牛顿法


    迭代法也称为辗转法,是一种不断用变量的旧值递推新值的过程,跟迭代法相对应的是直接法,即一次性解决问题。但多数方程不存在求根公式,因此求解根非常困难,甚至不可能,从而寻找方程的近似根就显得特别重要。

    迭代算法是用计算机解决问题的一种基本方法。它利用计算机运算速度快、适合做重复性操作的特点,让计算机对一组指令或一定步骤进行重复执行,在每次执行这组指令或这些步骤时,都从变量的原值推出它的一个新值。

    利用迭代算法解决问题,需要做好以下3方面的工作:

    1. 确定迭代变量。在可以用迭代算法解决的问题中,至少存在一个直接或间接地不断由旧值递推出新值的变量,这个变量就是迭代变量。

    2. 建立迭代关系式。所谓迭代关系式,是指如何从变量的前一个值推出下一个值的公式或关系。迭代关系式的建立是解决迭代问题的关键,通常可以使用递推或倒推的方法来完成。

    3. 对迭代过程进行控制。在什么时候结束迭代过程?这是编写迭代程序必须考虑的问题。不能让迭代过程无休止地重复下去。迭代过程的控制通常可以分为两种情况:(一)所需的迭代次数是个确定的值,可以计算出来。(二)所需的迭代次数无法确定,需要程序员进步一分析出用来结束迭代过程结束的条件。

    牛顿迭代法(Newton’smethod)又称为牛顿-拉夫逊(拉夫森)方法。它是牛顿17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。多数方程不存在求根公式,因此求精确根非常困难,甚至不可能,从而寻找方程的近似根就显得特别重要。该方法使用函数f(x)泰勒级数的前面几项来寻找方程f(x)=0的根。牛顿迭代法是求方程根的重要方法之一,其最大优点是在方程f(x)=0的单根附近具有平方收敛,而且该法还可以用来求方程的重根、复根。此时一定线性收敛,但是可通过一些方法变成超线性收敛。另外该方法广泛用于计算机编程中。


    二、牛顿迭代法公式


    用迭代法解非线性方程时,如何构造迭代函数是非常重要的,那么怎样构造的迭代函数才能保证迭代法收敛呢?牛顿迭代法就是常用的方法之一,其迭代格式的来源或者理解方式大概有两种方式:


    1.设,对在点作泰勒展开:




    略去二次项,得到的线性近似式:由此得到方程0的近似根(假定0),,即可构造出迭代格式(假定0):这就是牛顿迭代公式,若得到的序列{}收敛于α,则α就是非线性方程的根。


    2.牛顿迭代法也称为牛顿切线法,设ζ是=0的根,选取作为ζ的初始近似值,过点做曲线的切线LL的方程为,求出Lx轴交点的横坐标,称x1ζ的一次近似值。过点做曲线的切线,并求该切线与x轴交点的横坐标ζ的二次近似值。重复以上过程,得ζ的近似值序列,其中称为ζ次近似值,上式称为牛顿迭代公式,如图1左图所示,这就是牛顿切线法的几何解释。实际上,牛顿迭代法也可以从几何意义上推出。利用牛顿迭代公式,由得到,从图1右图上看,就是过点作函数的切线,切线轴的交点就是,所以有,整理后也能得出牛顿迭代公式:



    三、牛顿迭代法的收敛性


    这里我就不在证明了,直接给出结论

    牛顿迭代法具有较高的收敛速度,它的收敛阶数p2;而牛顿迭代法的局部收敛性较强,只有初值充分地接近ζ,才能确保迭代序列的收敛性。如果是连续的,并且待求的零点是孤立的,那么在零点周围存在一个区域,只要初始值位于这个邻近区域内,那么牛顿法必定收敛。并且,如果0, 那么牛顿法将具有平方收敛的性能粗略的说,这意味着每迭代一次,牛顿法结果的有效数字将增加一倍。


    四、牛顿法的改进


    用牛顿法解方程,虽然在单根附近具有较快的收敛速度,但它有个明显的缺点,就是每次都要计算导数,当比较复杂时,计算可能很困难。

    从计算导数困难方面,改进的算法有:简化牛顿法。

    为了避免频繁地计算导数值,可将它取为固定值,比如在牛顿迭代公式中用,即在迭代过程中始终保持分母不变,则有简化牛顿迭代公式(或固定斜率切线法):




    从初值选择方面,改进的算法有牛顿下山法。

    由牛顿法的收敛性定理知,牛顿法对初始值的选取要求是很高的。一般地说,牛顿法只有局部收敛性。当初始值取得离根太远时,迭代将不收敛,而一旦初始值进入收敛域内,牛顿法就有平方收敛的速度,为了扬长避短,扩大初始值选取的范围。这就是牛顿下山法的思想。

    这里,我就不在展开来讲解了。需要了解详细过程的同学,请自行学习。


    五、牛顿法与梯度下降法的区别



    1. 牛顿法优点:最优化问题中,牛顿法比梯度下降法求解需要的迭代次数更少。

    原因:牛顿法是二阶收敛,梯度下降是一阶收敛,所以牛顿法就更快。如果更通俗地说的话,比如你想找一条最短的路径走到一个盆地的最底部,梯度下降法每次只从你当前所处位置选一个坡度最大的方向走一步,牛顿法在选择方向时,不仅会考虑坡度是否够大,还会考虑你走了一步之后,坡度是否会变得更大。所以牛顿法比梯度下降法看得更远一点,能更快地走到最底部。根据wiki上的解释如图2所示,从几何上说,牛顿法就是用一个二次曲面去拟合你当前所处位置的局部曲面,而梯度下降法是用一个平面去拟合当前的局部曲面,通常情况下,二次曲面的拟合会比平面更好,所以牛顿法选择的下降路径会更符合真实的最优下降路径。红色的牛顿法的迭代路径,绿色的是梯度下降法的迭代路径。



    图2:牛顿法与梯度下降法的区别



    2.牛顿法缺点:

    (1) 对目标函数有严格的要求,必须有连续的一、二阶偏导数,海森矩阵必须是正定的。

    (2) 计算量大,除计算梯度外,还需要计算二阶偏导矩阵及其逆矩阵。


    Reference:

    最优化问题中,牛顿法为什么比梯度下降法求解需要的迭代次数更少? - 大饼土博的回答 - 知乎 https://www.zhihu.com/question/19723347/answer/14636244


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  • 优化理论是现代应用数学的一个重要分支,是一门应用广泛、实用性强的学科。它所研究的问题是讨论在众多的...通过最优化理论方法学习,使学生得到良好的数学训练,培养学生的抽象思维能力和解决实际问题的能力。
  • 优化理论与方法-牛顿迭代法后续

    千次阅读 2018-04-06 22:20:18
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    目录:

    (1)牛顿迭代法在数学中求解方程的根。

    (2)最优化理论与方法中牛顿迭代法应用。

    (3)对Hessian矩阵的深入讨论。

    (4)牛顿法与梯度下降法的区别。

    (一) 牛顿迭代法在数学中求解方程的根

      上一篇文章《最优化理论与方法-牛顿迭代法》中,主要讲解了牛顿迭代法在数学中求解方程根的主要内容。对应的主要内容是(1)简介牛顿迭代法。(2)牛顿迭代法的公式。(3)牛顿迭代法的收敛性。(4)牛顿法的改进。没有看过的同学,可以再去看看《最优化理论与方法-牛顿迭代法》这篇文章。但是,在这篇文的最后一小节(5)牛顿法和梯度下降法的区别中,我比较了在最优化理论与方法中牛顿迭代法和梯度下降法的区别,但是遗留了两个问题:

    (1)数学中牛顿迭代法和最优化理论与方法中牛顿迭代法的区别?

    (2)最优化理论与方法中,牛顿迭代法为什么要计算海森矩阵?

    (二) 最优化理论与方法中牛顿迭代法应用

      首先,在我的上一篇文章《最优化理论与方法-牛顿迭代法》中,我们推出了牛顿迭代法的基本公式:

      

    上面(1)式是为了求解f(x)=0的时候,x的值。但是在最优化理论与方法中,我们用的不是上面(1)式。

      在机器学习的最优化理论与方法中,求解最优化问题时,我们一般时为了求解minf(x),即f'(x)=0,极值点x的值。也就是实际迭代中,我们用到的是(2)式。

        

      我们有了在机器学习中最优化理论与方法的牛顿迭代法的推导公式(2)式。那么,我们再来思考一下,(2)式的由来。我们是求f'(x)=0的根。把f(x)泰勒展开,展开到2阶形式。

      

    这个(3)式是成立的,当且仅当无限趋近于0时。此时,(3)式中:

     

    我们对求导,为什么对求导呢?因为对求导可以得到的表达式。得到下面公式(5):

      

    求解得:

     

    得到迭代公式(2)。从公式(2)中,我们可以看出,之间的差距就是

       

    注意:这就是最优化理论与方法中,牛顿法是要求二阶导数的,并且还要讨论二阶收敛性。经过上面的解释,大家对牛顿迭代法二阶收敛应该有比较直观的理解吧!

    (三) 对Hessian矩阵的深入讨论

      对于高维函数,用牛顿法求极值也是(2)式这个形式,只不过这里的f'(x)和f''(x)都变成了向量矩阵。而且我们可以想象一下,高维函数二阶导数有多个,如下:

    假设:f(X)是关于x1、x2、x3、… …、xn的高维函数映射,那么f'(x)如公式(7)所示:

      

    那么,f''(x)就是Hessian矩阵,定义如公式(8)所示:

     

    高维情况下,迭代公式如下:

      高维情况依然可以用牛顿迭代求解,但是问题是Hessian矩阵引入的复杂性,使得牛顿迭代求解的难度大大增加,但是已经有了解决这个问题的办法就是拟牛顿法(Quasi-Newton method),拟牛顿法的本质思想是改善牛顿法每次需要求解复杂的Hessian矩阵的逆矩阵的缺陷,它使用正定矩阵来近似Hessian矩阵的逆,从而简化了运算的复杂度。感兴趣的同学,可以接着了解一下拟牛顿法。

    (1)Hessian矩阵的对称性

    如果函数在D区域内二阶连续可导,那么Hessian矩阵 在D内为对称矩阵

    原因:如果函数的二阶偏导数连续,则二阶偏导数的求导顺序没有区别,即

    则对于矩阵,有,所以为对称矩阵。

    (2)利用海森矩阵判定多元函数的极值

    (四) 牛顿法和梯度下降法的区别

    1.牛顿法优点:

    在最优化问题中,牛顿法比梯度下降法求解需要的迭代次数更少。

    原因:牛顿法是二阶收敛,梯度下降是一阶收敛,所以牛顿法就更快。如果更通俗地说的话,比如你想找一条最短的路径走到一个盆地的最底部,梯度下降法每次只从你当前所处位置选一个坡度最大的方向走一步,牛顿法在选择方向时,不仅会考虑坡度是否够大,还会考虑你走了一步之后,坡度是否会变得更大。所以牛顿法比梯度下降法看得更远一点,能更快地走到最底部。根据wiki上的解释如图1所示,从几何上说,牛顿法就是用一个二次曲面去拟合你当前所处位置的局部曲面,而梯度下降法是用一个平面去拟合当前的局部曲面,通常情况下,二次曲面的拟合会比平面更好,所以牛顿法选择的下降路径会更符合真实的最优下降路径。红色的牛顿法的迭代路径,绿色的是梯度下降法的迭代路径。


    1:牛顿法与梯度下降法的区别

    2.牛顿法缺点:

    1对目标函数有严格的要求,必须有连续的一、二阶偏导数,海森矩阵必须是正定的。

    2计算量大,除计算梯度外,还需要计算二阶偏导矩阵及其逆矩阵。

    注意:这一部分内容,我在上篇文章《最优化理论与方法-牛顿迭代法》中也提到了。



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