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  • 优化方法:常用数学符号的含义
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    2019-02-27 18:22:06

    优化方法:常用数学符号的含义

    min ⁡ x ∈ Ω f ( x ) f ( x ) 在 Ω 上 的 最 小 值 \min \limits_{x \in \Omega} f(x) \qquad f(x) 在 \Omega 上的最小值 xΩminf(x)f(x)Ω

    max ⁡ x ∈ Ω f ( x ) f ( x ) 在 Ω 上 的 最 大 值 \max \limits_{x \in \Omega} f(x) \qquad f(x) 在 \Omega 上的最大值 xΩmaxf(x)f(x)Ω

    s .   t . 受 约 束 于 , s u b j e c t   t o 缩 写 s.\ t. \qquad 受约束于,subject \ to 缩写 s. t.subject to

    A ⊂ B 集 合 A 包 含 于 集 合 B A \subset B \qquad 集合A包含于集合B ABAB

    A ⊃ B 集 合 A 包 含 集 合 B A \supset B \qquad 集合A包含集合B ABAB

    x ∈ A x 属 于 集 合 A x \in A \qquad x属于集合A xAxA

    x ∉ A x 不 属 于 集 合 A x \notin A \qquad x不属于集合A x/AxA

    A ∪ B 集 合 A 与 集 合 B 的 并 集 A \cup B \qquad 集合A与集合B的并集 ABAB

    A ∩ B 集 合 A 与 集 合 B 的 交 集 A \cap B \qquad 集合A与集合B的交集 ABAB

    ≈ 近 似 等 于 \approx \qquad 近似等于

    ∅ 空 集 合 \varnothing \qquad 空集合

    N ( x 0 ,   ε )   或   N ε ( x 0 ) 以 点 x 0 为 中 心 , ε 为 半 径 的 邻 域 N(x_0, \ \varepsilon) \ 或 \ N_\varepsilon(x_0) \qquad 以点x_0为中心,\varepsilon为半径的邻域 N(x0, ε)  Nε(x0)x0ε

    C k n   或   ( n k ) 二 项 式 系 数 , 即 从 n 个 元 素 中 每 次 取 出 k 个 元 素 所 有 不 同 的 组 合 数 C^n_k \ 或 \ \binom{n}{k} \qquad 二项式系数,即从n个元素中每次取出k个元素所有不同的组合数 Ckn  (kn)nk

    ≜ 定 义 、 恒 等 \triangleq \qquad 定义、恒等

    R 实 数 域 R \qquad 实数域 R

    R n n 维 实 欧 氏 空 间 R^n \qquad n维实欧氏空间 Rnn

    [ x ] 不 超 过 x 的 最 大 整 数 [x] \qquad 不超过x的最大整数 [x]x

    f ( x ) ∈ C f ( x ) 是 连 续 函 数 f(x) \in C \qquad f(x)是连续函数 f(x)Cf(x)

    f ( x ) ∈ C k f ( x ) 具 有 k 阶 连 续 偏 导 数 f(x) \in C^k \qquad f(x)具有k阶连续偏导数 f(x)Ckf(x)k

    f : D ⊂ R n → R f ( x ) 是 定 义 在 R n 中 区 域 D 上 的 实 值 函 数 f : D \subset R^n \rightarrow R \qquad f(x)是定义在R^n中区域D上的实值函数 f:DRnRf(x)RnD

    ∥ x ∥ 向 量 x 的 欧 式 范 数 , 即 ∥ x ∥ = ( ∑ i = 1 n x i 2 ) 1 / 2 \parallel x \parallel \qquad 向量x的欧式范数,即 \parallel x \parallel = (\sum \limits^n \limits_{i=1} x^2_i) ^{1/2} xxx=(i=1nxi2)1/2

    ( x , y )   或   x T y 向 量 x 、 y 的 内 积 (x, y) \ 或 \ x^Ty \qquad 向量x、y的内积 (x,y)  xTyxy

    d e t ( A )   或   ∣ A ∣ 矩 阵 A 的 行 列 式 det(A) \ 或 \ |A| \qquad 矩阵A的行列式 det(A)  AA

    r ( A ) 矩 阵 A 的 秩 r(A) \qquad 矩阵A的秩 r(A)A

    ▽ f ( x ) f ( x ) 的 梯 度 , ▽ f ( x ) = ( ∂ f ∂ x 1 ,   ∂ f ∂ x 2 ,   ⋯   ,   ∂ f ∂ x n ) T \bigtriangledown f(x) \qquad f(x)的梯度,\bigtriangledown f(x) = (\frac{\partial f}{\partial x_1}, \ \frac{\partial f}{\partial x_2}, \ \cdots, \ \frac{\partial f}{\partial x_n})^T f(x)f(x)f(x)=(x1f, x2f, , xnf)T

    H ( x )   或   ▽ 2 f ( x ) f ( x ) 的 H e s s i a n 阵 , H ( x )   或   ▽ 2 f ( x ) ≜ ( ∂ 2 f ( x ) ∂ x i ∂ x j ) n × n H(x) \ 或 \ \bigtriangledown ^2 f(x) \qquad f(x)的Hessian阵,H(x) \ 或 \ \bigtriangledown ^2 f(x) \triangleq (\frac{\partial ^2 f(x)}{\partial x_i \partial x_j})_{n \times n} H(x)  2f(x)f(x)HessianH(x)  2f(x)(xixj2f(x))n×n

    min ⁡ { x 1 , x 2 , ⋯   , x n } 数 x 1 , x 2 , ⋯   , x n 中 的 最 小 者 \min \{x_1, x_2, \cdots, x_n\} \qquad 数x_1, x_2, \cdots, x_n中的最小者 min{x1,x2,,xn}x1,x2,,xn

    max ⁡ { x 1 , x 2 , ⋯   , x n } 数 x 1 , x 2 , ⋯   , x n 中 的 最 大 者 \max \{x_1, x_2, \cdots, x_n\} \qquad 数x_1, x_2, \cdots, x_n中的最大者 max{x1,x2,,xn}x1,x2,,xn

    inf ⁡ x ∈ X f ( x ) f ( x ) 在 X 上 的 下 确 界 \inf \limits_{x \in X} f(x) \qquad f(x)在X上的下确界 xXinff(x)f(x)X

    sup ⁡ x ∈ X f ( x ) f ( x ) 在 X 上 的 上 确 界 \sup \limits_{x \in X} f(x) \qquad f(x)在X上的上确界 xXsupf(x)f(x)X

    x ∗ 最 优 解 x^* \qquad 最优解 x

    f ∗ 目 标 函 数 的 最 优 值 f^* \qquad 目标函数的最优值 f

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  • nginx配置文件 nginx优化 nginx负载均衡算法和几种参数 nginx缓存池的启用

                              我们就以nginx1.20.1版本举例(epel源目前默认下载的版本)

    目录

    nginx的两种配置文件

     全局配置文件的优化

    优化:

    开启缓存池:

     nginx负载均衡几种参数

     nginx扩展配置文件参数与优化

    优化参数详情: 

    总结


    nginx的两种配置文件

            第一种全局配置文件:/etc/nginx/nginx.conf  默认位置

            虚拟主机配置文件:/etc/nginx/conf.d/*.conf   扩展配置文件文件夹 后缀一定要是.conf ,注意了这个版本conf.d目录下不在有默认配置文件了。(旧版本都有)

    可修改配置文件位置(/etc/nginx/nginx.conf 修改)

     全局配置文件的优化

    不建议大量修改全局配置文件,有些优化可以写在扩展配置文件内(下面会说到)

    我们打开nginx全局配置问价查看一下:

    vim /etc/nginx/nginx.conf

     worker_processes *  worker_connections =这个服务器最大的并发请求

    优化:

     我在event 事件驱动的地方加入了一个 use epoll 模型  详细请看图片 加入这个字段记得在结尾处加上';' 号

    worker_connections 4096; 我改为4096个 

    这里做一个安全,nginx隐藏版本号

    将以下这条加入到http的字段内 实现不显示版本号

     server_tokens off; #关闭版本号显示

    接下来我们做个对比,没有隐藏版本号

    命令用 curl -i   显示头部信息

     

     隐藏后:

     

     

    全局配置文件其他配置含义:

        include             /etc/nginx/mime.types;  迷你加密模块 用来做配对密钥加密签名使用的 (公钥加密私钥签名)

       default_type        application/octet-stream 支持的数据类型 (应用程序,群集模式都支持)

      log_format  main 定义日志格式

       access_log  /var/log/nginx/access.log  main; 日志存放位置和格式

       sendfile        on;  发送大文件 默认开启

    开启缓存池:

        proxy_buffering on; #启用缓存池
        proxy_temp_path /usr/local/nginx/proxy_temp; #临时文件位置  这里的目录要自己创建
        proxy_cache_path /usr/local/nginx/proxy_cache levels=1:2 keys_zone=my-cache:100m inactive=600m  max_size=2g; 
    

     配置内容解析:proxy_cache_path /usr/local/nginx/proxy_cache levels=1:2 keys_zone=my-cache:100m inactive=600m  max_size=2g;  

     levels=1:2   1:2 表示建立的目录 一表示一级目录 二表示二级目录 

     keys_zone=my-cache:100m(定义缓存池名字大小100兆)

    inactive=600m(活跃600兆)

    max_size=2g(最大2GB)

                切记这个缓存目录一定要在程序账号目录下(/usr/local/nginx),其他目录可能出错

     添加位置:

       Nginx缓存是键值存储,URL是键,文件路径是值。键值存储的速度就是加快在文件系统中查找的速度。所以,存储的key是哈希过的值。

    nginx缓存的好处:

    1、减轻服务器负载
    2、提供网页响应效率
    3、降低网络阻塞,增强网络可扩展性

    为什么使用缓存?
    1、服务器处理能力以及负载能力出现瓶颈,响应效率大大降低
    2、为了减少网络传输延迟,提升响应效率
    3、能够避免因为后端服务器出现异常以及网络故障,客户端请求数据副本能够及时响应

     nginx负载均衡几种参数

    算法通常写在upstream字段内

        sticky算法:是nginx的一个模块,它是基于cookie(状态信息)的一种nginx的负载均衡解决方案,通过分发和识别cookie,来使同一个客户端的请求落在同一台服务器上

    写法:直接在upstream字段内第一行写入 sticky; 

       weight 权重参数:加权轮巡,权重值越高就越优先访问

    写法:在server ip 后面加上weight=1;  1代表权重值为1。

    backup参数:备用web节点,比如当配置群集的web节点全部宕机,那么就会启用备用节点来继续保持。通常情况的访问不会直接访问备用节点。

    写法:在server ip 后面加上 backup; 

     ip_hash 哈希参数:用户ip第一次访问的是那台web节点,下一次访问还是相同节点。

    写法:upstream字段内第一行加入

     如果没有参数表示,轮巡,一个一个轮着来

        max_fails        允许请求失败的次数
        fail_timeout    经过max_fails失败后,服务的暂停时间
        max_conns       同一ip最大连接数、 

        down当前节点服务器不参与负载均衡

    写法:

      nginx扩展配置文件参数与优化

          我们首先创建一个nginx优化文件,文件内容如下  我们在全局配置文件nginx.conf中开启了缓存池名字就叫 my-cache  写好这个文件就可以一直用

    cat > /etc/nginx/nginx_params <<EOF
    proxy_cache my-cache;
    add_header Nginx-Cache $upstream_cache_status;
    proxy_cache_valid 200 304 301 302 8h;
    proxy_cache_valid 404 1m;
    proxy_cache_valid any 1d;
    proxy_cache_key $host$uri$is_args$args;
    expires 30d;
    
    proxy_set_header Host $http_host;
    proxy_set_header X-Real-IP $remote_addr;
    proxy_set_header X-Forwarded-For $proxy_add_x_forwarded_for;
    
    proxy_connect_timeout 30;
    proxy_send_timeout 60;
    proxy_read_timeout 60;
    
    proxy_buffering on;
    proxy_buffer_size 32k;
    proxy_buffers 4 128k;
    EOF

    优化参数详情: 

    proxy_cache my-cache;  我的代理缓存  my-cache 这里使用的缓存名字
    add_header Nginx-Cache $upstream_cache_status; 群集缓存状态
    proxy_cache_valid 200 304 301 302 8h;  访问成功的信息 保存8h  8小时
    proxy_cache_valid 404 1m; 错误信息缓存 保存1分钟
    proxy_cache_valid any 1d; 其他信息缓存一天
    proxy_cache_key $host$uri$is_args$args; 缓存键值
    expires 30d; 默认缓存超时时间为30天
    
    
    proxy_pass http://web;   #是代理转发的意思								
    proxy_set_header Host $http_host;		#重新定义或者添加发往后端服务器的请求头
    proxy_set_header X-Real-IP $remote_addr;#启用客户端真实地址(否则日志中显示的是代理在访问网站)
    proxy_set_header X-Forwarded-For $proxy_add_x_forwarded_for; #记录代理地址
    proxy_next_upstream error timeout invalid_header http_500 http_502 http_503 http_504; 超时错误代码 错误信息
    	
    proxy_connect_timeout 30;	#代理和后端服务器连接超时时间
    proxy_send_timeout 60;		#后端服务器传回代理的超时时间
    proxy_read_timeout 60;		#代理等待后端服务器的响应时间
    				
    proxy_buffering on;		    #启用缓存,后端返回内容先缓存,再给客户端,收到多少转多少
    proxy_buffer_size 32k;		#代理缓存用户头信息的缓存区大小
    proxy_buffers 4 128k;		#缓存区的设置
    proxy_busy_buffers_size 256k; #从proxy_buffers划出一部分缓冲区来专门向客户端传送数据的地方
    proxy_max_temp_file_size 256k; #超大的响应头存储成文件。

    我们在/etc/nginx/conf.d/下写入一个负载均衡的配置文件 名字就位lb.conf了

    cd /etc/nginx/conf.d && vi lb.conf
    upstream web {
            server 172.16.1.10 max_fails=2 fail_timeout=10s max_conns=1;
            server 172.16.1.11 max_fails=2 fail_timeout=10s max_conns=1;
    }
    server {
                    listen 80;
                    server_name www.test.com;
                    index index.html index.htm;
    
                    location /{
                            root html;
                            proxy_pass http://web;
                            include nginx_params;  #这个地方代表引用刚才我们设置的优化的参数文件
                    }
    }
    

    我们用nginx自带命令检查我们的配置文件是否有问题

    nginx -t

     没问题后重启nginx

     systemctl restart nginx.service 

    尝试访问然后尝试:

    这里一直一个ip地址没有轮巡起来 是因为缓存池 将ip缓存到了目录下  来提高访问速度 

    查看日志默认的位置在: /var/log/nginx/access.log

    追踪查看日志:

    tail -f 50 /var/log/nginx/access.log

     

    上图日志内显示的是:nginx负载均衡服务器的ip地址 

    上图是日志内显示我访问的客户端ip地址以及时间用的命令是curl命令 

    总结

       nginx优化,总的来说就是将工作进程和每个进程的接收客户端请求量,改大,添加epoll模型,设置超时时间,设置缓存池,针对性能较好的服务器加权轮巡,并且设置请求失败的时间和次数,还有设置ip最大连接数。

    展开全文
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  • 数据库:查询优化简述

    千次阅读 多人点赞 2020-11-19 21:33:33
    1,查询处理 1.1,查询处理步骤 查询分析 对查询语句进行扫描、词法分析和语法分析 查询检查 对合法的查询语句进行语义检查,即根据数据字典中有关的模式定义检查语句中的数据库... 按照优化的层次,

    1,查询处理

    1.1,查询处理步骤

    查询分析查询语句进行扫描、词法分析和语法分析
    查询检查
    • 对合法的查询语句进行语义检查,即根据数据字典中有关的模式定义检查语句中的数据库对象,如关系名、属性名是否有效;如果是对视图的操作,则要用视图消解方法把对视图的操作转换成对基本表的操作
    • 根据数据字典中的用户权限和完整性约束定义对用户的存取权限进行检查
    • 检查通过后把SQL查询语句转换成内部表示,即等价的关系代数表达式
    查询优化
    • 按照优化的层次,可以分为:代数优化、物理优化
    • 查询优化的选择依据:基于规则、基于代价和基于语义
    查询执行
    • 依据优化器得到的执行策略,由代码生成器生成执行这个查询计划的代码
    • 两种执行方法:自顶向下和自底向上
      【例】: SELECT *   FROM Student   WHERE Sage>20
      使用B+树索引找到Sage=20的索引项,以此为入口点在B+树的顺序集上得到Sage>20的所有元组指针
      通过这些元组指针到student表中检索到所有年龄大于20的学生。 
      

    1.2,选择运算的查询处理

    全表扫描算法,优点:简单有效,适用于数据量较小的表

    应用于  SELECT * FROM STUDENT

    假设可以使用的内存为M,按照物理次序读StudentM块到内存;

    检查内存的每个元组t,如果满足选择条件,则输出t

    如果student还有其他块未被处理,重复①和②

    索引扫描算法(等值)

    应用于  SELECT * FROM STUDENT WHERE SNO= '201215121'

    当选择条件的属性上有索引,并且为等值条件查询时,使用索引得到符合条件的元组的指针

    通过元组指针在Student表中检索到该学生

    索引扫描算法(非等值或范围查询)

    当选择条件的属性上有索引,并且选择条件是范围查询或非等值查询,或非主属性的等值查询

    【例】: SELECT * FROM Student WHERE Sage>20
    使用B+树索引找到Sage=20的索引项,以此为入口点在B+树的顺序集上得到Sage>20的所有元组指针
    通过这些元组指针到student表中检索到所有年龄大于20的学生。 
    

    1.3,连接运算的查询处理

    连接操作是查询处理中最耗时的操作之一

    嵌套循环算法

    对外层循环(Student)的每一个元组(s),检索内层循环(SC)中的每一个元组(sc),检查这两个元组在连接属性(Sno)上是否相等,如果满足连接条件,则串接后作为结果输出,直到外层循环表中的元组处理完为止。

    排序-合并算法

    如果连接的表没有排好序,先对Student表和SC表按连接属性Sno排序 ,取Student表中第一个Sno,依次扫描SC表中具有相同Sno的元组 ;当扫描到Sno不相同的第一个SC元组时,返回Student表扫描它的下一个元组,再扫描SC表中具有相同Sno的元组,把它们连接起来 ;重复上述步骤直到Student 表扫描完。

    ★索引连接算法

    1. SC表上已经建立属性Sno的索引。
    2. Student中每一个元组,由Sno值通过SC的索引查找相应的SC元组。
    3. 这些SC元组和Student元组连接起来  
    4. 循环执行②③,直到Student表中的元组处理完为止

    Hash Join算法

    1. 把连接属性作为hash码,用同一个hash函数把Student表和SC表中的元组散列到hash表中
    2. 在划分阶段,对包含较少元组的表(Student)进行一遍处理,把它的元组按hash函数分散到hash表的桶中。
    3. 在试探阶段对另一个表(SC)进行一遍处理,把SC表的元组也按同一个hash函数(hash码是连接属性)进行散列,把SC元组与桶中来自Student表并与之相匹配的元组连接起来。

    2,查询优化

    2.1,查询优化概述

    关系系统的查询优化是关系数据库管理系统实现的关键技术又是关系系统的优点所在,它减轻了用户选择存取路径的负担。关系系统的查询优化由系统完成, 而不是由用户完成。

    查询优化的总目标:寻求最优的执行计划使查询执行开销尽量小。

    2.2,查询优化的必要性

    【例】:求选修了2号课程的学生姓名。
    用SQL表达:SELECT Student.Sname FROM Student,SC WHERE Student.Sno=SC.Sno AND SC.Cno=’2’ 
    

    先求StudentSC的笛卡尔积,然后从中选出两学号字段值相等、课程2的元组:

    ②先做StudentSC的自然连接,然后从中选出课程号2的元组:

     ③先从Student中选出课程号为2的元组,然后将该结果与S连接:

    ①计算广义笛卡尔积 Student×SC

    假定学生-课程数据库中有1000个学生记录,10000个选课记录;选修2号课程的选课记录为50个 

    设一块能装10个学生记录或100个选课记录,每次在内存中存放5Student元组、1SC的元组,StudentSC表的总块数各100。外循环一次,内循环20次

    硬盘到内存:读取的总块数,设每秒能读写20块,则读的时间:2100÷20/= 105

    连接后的元组数为10^3×10^4=10^7设每块能装10个元组,则写出10^6 块。

    内存到硬盘,写笛卡尔集中间结果的总花费时间1000000÷20/= 50000

    读的时间:10^6¸ 20/= 50000秒,满足条件的元组50个,设全部放入内存(不再临时存储)

    假设选择后剩的50个元组均可放入内存,因此只需要CPU时间:105 + 50000 + 50000 » 10万秒(近28小时)

    ②计算自然连接 StudentSC

    读取S表和SC表的策略不变,执行时间还是105秒。

    因为SC表中的每一个学号都在S表中出现,而S表中无重复学号,故连接后的表和SC表的行数一样,为10000个元组,将它们临时存入盘中需(10000 ÷ 10=1000块,每秒能读写20块,那么内存到硬盘,写自然连接中间结果的总花费1000÷20/= 50

    读取中间文件块,执行选择运算,读取的数据块= 1000 块,耗时50

    假设选择后剩的50个元组均可放入内存,因此只需要CPU时间:105 + 50+ 50 » 205秒(约3.4分钟)

    ③从Student中选出课程号为2的元组,然后将该结果与S连接

    SC表作选择运算,只需读一遍SC表,存取(10000÷100)=100耗时100÷20/=5,因为满足条件的元组仅50个,不必使用中间文件。

    读取Student表,把读入的Student元组和内存中的SC元组作连接。也只需读一遍Student表,结果仍为50个元组需时 5秒。

    把连接结果投影输出:5 + 5 = 10

    假如SC表的Cno字段上有索引

    • 第一步就不必读取所有的SC元组而只需读取Cno=‘2’的那些元组(50)
    • 存取的索引块和SC中满足条件的数据块大约总共34

    Student表在Sno上也有索引

    • 不必读取所有的Student元组
    • 因为满足条件的SC记录仅50个,涉及最多50Student记录
    • 读取Student表的块数也可大大减少

    2.3,关系代数等价变换规则

    太难了,回头再看。

    代数优化是基于关系代数等价变换规则的优化方法

    代数优化策略:通过对关系代数表达式的等价变换来提高查询效率

    EE1E2是关系代数表达式,若用相同的关系代替E1E2中相应的关系变量后所得的结果关系相同,则称E1E2等价,记作 E1≡E2

    2.3,关系代数等价变换

    2.4,关系代数经典的启发式规则

    选择、投影运算应尽可能先

    在优化策略中这是最重要、最基本的一条。因为这样参加连接的元组就可以大大减少,从而减少下一步运算的数据量。

    选择和投影运算同时进行

    如有若干投影和选择运算,并且它们都对同一个关系操作,则可以在扫描此关系的同时完成所有的这些运算以避免重复扫描关系。

    把投影同其前或其后的双目运算结合起来,没有必要为了去掉某些字段而扫描一遍关系。

    每形成一个连接后的元组,就立即取出投影字段。而不是先连接形成一个临时关系,然后在再此临时关系上投影。

    每取出Student一个元组,先取出投影字段,然后与SC进行连接

    把某些选择同在它前面要执行的笛卡尔积结合起来成为一个连接运算,连接特别是等值连接运算要比同样关系上的笛卡尔积省很多时间

    找出公共子表达式

    如果这种重复出现的子表达式的结果不是很大的关系并且从外存中读入这个关系比计算该子表达式的时间少得多,则先计算一次公共子表达式并把结果写入中间文件是合算的。

    当查询的是视图时,定义视图的表达式就是公共子表达式的情况

    2.5,物理优化

    基于规则的启发式优化:启发式规则是指那些在大多数情况下都适用,但不是在每种情况下都是适用的规则。

    基于代价估算的优化:优化器估算不同执行策略的代价,并选出具有最小代价的执行计划

    两者结合的优化方法:常常先使用启发式规则,选取若干较优的候选方案,减少代价估算的工作量;然后分别计算这些候选方案的执行代价,较快地选出最终的优化方案。

    2.6,基于启发式规则的存取路径选择优化

    选择操作的启发式规则

    对于小关系,使用全表顺序扫描,即使选择列上有索引

    对于大关系,启发式规则有:

    1. 对于选择条件是“主码=值”的查询:查询结果最多是一个元组,可以选择主码索引;一般的关系数据库管理系统会自动建立主码索引。
    2. 对于选择条件是“非主属性=值”的查询,并且选择列上有索引:要估算查询结果的元组数目,如果比例较小(<10%)可以使用索引扫描方法,否则还是使用全表顺序扫描。
    3. 对于选择条件是属性上的非等值查询或者范围查询,并且选择列上有索引要估算查询结果的元组数目,如果比例较小(<10%)可以使用索引扫描方法,否则还是使用全表顺序扫描
    4. 对于用AND连接的合取选择条件:如果有涉及这些属性的组合索引,优先采用组合索引扫描方法;②如果某些属性上有一般的索引,可以用索引扫描方法,通过分别查找满足每个条件的指针,求指针的交集;通过索引查找满足部分条件的元组,然后在扫描这些元组时判断是否满足剩余条件;③其他情况则使用全表顺序扫描
    5. 对于用OR连接的析取选择条件,一般使用全表顺序扫描

    连接操作的启发式规则

    如果2个表都已经按照连接属性排序,选用排序-合并算法

    如果一个表在连接属性上有索引,选用索引连接算法

    如果上面2个规则都不适用,其中一个表较小,选用Hash join算法

    可以选用嵌套循环方法,并选择其中较小的表,确切地讲是占用的块数(b)较少的表,作为外表(外循环的表)

    理由:连接表RS分别占用的块数为BrBs,连接操作使用的内存缓冲区块数为K,分配K-1块给外表;如果R为外表,则嵌套循环法存取的块数为Br+BrBs/(K-1),显然应该选块数小的表作为外表

    2.7,基于代价的优化

    启发式规则优化是定性的选择,适合解释执行的系统,因为解释执行的系统,优化开销包含在查询总开销之中

    编译执行的系统中,一次编译优化,多次执行,查询优化和查询执行是分开的,因此可以采用精细复杂一些的基于代价的优化方法 

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    最优化理论的基本概念

    一. 最优化理论的定义与分类

    1. 一般形式

    (1)公式定义:
    m i n f ( x ) , 且 有 x ∈ X min f(x),且有 x∈X minf(x),xX
    其中,对于上式中的字母,含义如下:

    • f(x):代价函数(目标函数)
    • x:决策向量(单值或者是向量)
    • X:约束集合,约束集合一定是从属于n维实数空间(Rn)中的某个子空间

    (2)简单分类:

    当X是Rn空间的真子集时,上文描述的问题就称为约束优化问题

    形如下式中的问题就是约束优化问题
    m i n ( x 2 ) 【 s . t . x + 1 ≤ 0 】 min (x^2) 【s.t. x+1≤0】 min(x2)s.t.x+10

    当X就是Rn空间时,上文描述的问题称为无约束优化问题

    形如下式中的问题就是无约束优化问题
    m i n ( x 2 ) 【 x ∈ R 】 min (x^2) 【x∈R】 min(x2)xR

    (3)说明
    虽然在定义中,问题被统一定义成最小化的求解形式;其实最小化和最大化之间是可以相互转化的。
    Maximize f(x) ↔ Minimize -f(x)


    【例】根据给出的实际题目,写出其相应的最优化形式
    在这里插入图片描述


    2. 线性规划问题

    前面我们只是根据有没有约束条件,对优化问题进行有约束/无约束的简略分类;
    在实际中,最优化问题还有别的分类依据,其中线性规划【Linear Programming】就是一种。

    (1)定义

    目标函数是线性的+约束条件也是线性的 → 最优化问题是线性规划问题

    (2)一般形式
    M i n i m i z e f ( x ) ≡ c T ⋅ x , 且 有 x ∈ X Minimize f(x)≡c^T·x,且有x∈X Minimizef(x)cTxxX

    其中对于定义中的相关参数,作出以下规定:

    • 约束集合X = {x∈RnAx = b,x≥0}

    其中Ax = b,表示该线性约束是等式约束;也可以约束为Ax≤b的形式

    • 因为是线性的表述,上式中的符号统统采用向量和矩阵的形式:c∈Rn,b∈Rm,A∈Rmxn

    (3)NLP(NonLinear Programming)
    当目标函数是非线性的,或者限制条件是非线性的时候该最优化问题就属于非线性规划问题。

    我们这门课大部分讨论的都还是非线性规划的问题,因为现实生活中的条件复杂,很难满足线性性。

    3. 其他类型的优化问题

    (1)整数规划(Interger Programming)

    也称离散优化(Discrete Optimization),要求问题定义与求解中的所有决策变量或向量都是离散的整数类型。

    (2)混合整数规划(Mixed Integer Programming)

    决策变量有些是整型,有些是连续型的。

    (3)动态规划/最优控制(Dynamic Optimization)

    需要考虑系统的动态性,往往会考虑时间的影响。

    (4)随机优化(Stochastic Optimization)

    需要考虑问题中的不确定性因素,比如涉及到的部分变量是随机变量,而非确定性的。
    e.g. 前台接待系统中某一时段的客流量就是随机、不确定的。

    (5)多目标最优化(Multi-Objective Optimization)

    在进行优化时,有多个目标函数需要同时达到最优。
    e.g. 比如建造房子的时候,需要同时考虑“工期短”、“质量优”、“成本低”等目标。

    对于多目标优化问题,往往是不能拆解成若干个单独的最优化问题来求解的;因为各个目标之间也存在着制约、矛盾的关系。

    (6)博弈论(Game Theory)

    往往有多方决策者参与,且信息分布是不对称的(你不知道别人在想什么),也就是说你只能拿到局部信息。


    二. 最优化的基础概念

    1. 凸集

    在这里插入图片描述

    根据凸集的数学定义,其实质含义为——
    如果一个空间集合为凸集,那么这个集合中的任意两点的连线,也应该在这个空间集合的内部

    凸集举例:
    X = {x| ||x||2≤5,且x∈R2},表示二维平面上一个以原点为圆心,半径为5的圆面。

    非凸集举例:
    Y = {y| 2≤||y||2≤6,y∈R2},表示二维平面上一个以原点为圆心,内径和外径分别为2和6的圆环。

    其中,||·||2该符号表示向量的2范数。

    2. 超平面

    超平面是满足下面约束条件的一个点集
    X = { x ∣ c T ⋅ x = z } X = \{x|c^T·x = z\} X={xcTx=z}
    其中c和z均为向量,且c≠0,z是一个常向量。

    二维超平面举例:
    x∈R2,点集满足[1,1]·[x1,x2]T = 2,该集合对应的超平面就是二维空间中的一条直线x1+x2 = 2。

    三维超平面举例:
    x∈R3,点集满足[1,2,3]·[x1,x2,x3]T = 2,该集合对应的超平面就是三维空间中的一个平面x1+2x2+3x3 = 2。

    如果定义出了一个超平面,那么超平面就会将其所在空间划分成两个部分,其中一部分是{x|cT·x ≤z};另外一部分就是{x|cT·x >z}。

    3. 凸集某一边界点的支撑超平面

    给定一个凸集X,且取该集合中的一个边界点w,若称一个超平面cTx = z是该边界点w的支撑超平面,则需要满足:

    • cTw = z(该超平面是经过该边界点的)
    • cTx≥z(或者是cTx≤z) 对于所有的x∈Z(该凸集内的所有点都分布在该支撑超平面的同一侧)
      在这里插入图片描述

    4. 凸函数(与凹函数)

    “定义在凸集上,且任意两个自变量的线性组合的函数值不大于该两个自变量函数值的线性组合”,这样的函数就称为凸函数。

    (1)定义在这里插入图片描述
    (2)凸/凹/非凸非凹/又凸又凹函数
    在这里插入图片描述


    【微积分中的知识回顾】

    为了后续的理解与计算,现将“微分”、“方向导数”的概念进行回顾。

    在这里插入图片描述


    5. 可微凸函数的凸性三定理

    在定义凸函数的时候我们并不限制函数f(x)一定是可导的,但是这里我们只对于可导的函数进行性质讨论。

    (1)定理一

    如果f(x)是定义在凸集X上的一个可微函数,则f(x)是凸函数的充要条件是
    f(x2)-f(x1)≥▽f(x1)T·(x2-x1)

    (2)定理二

    如果f(x)是定义在凸的开集X上的一个二阶可微的函数,则f(x)是凸函数的充要条件为
    f(x)对应的Hessian矩阵H(x),对于任意一个x都是半正定的

    【背景知识补充】

    • 开集:对于集合中的任意一点,都能找到该点的一个邻域,且该邻域一定在集合内部。
      可以近似地认为所谓开集就是“没有边界的集合”,e.g. {x|满足||x||2<5}就是开集,如果“<”改成“≤”,则不再是开集。
    • 半正定矩阵:如果一个矩阵是对称阵,且对于任意一个非零的向量x,都有xTAx≥0,就称矩阵A是半正定矩阵。
      p.s. 在矩阵论系列博文中《【矩阵论】Hermite二次型(2)》中也对矩阵的正定性定义及定理进行了探讨。

    【证明】
    在这里插入图片描述
    梳理了以上证明过程,即可明白,定理2是基于定理1的

    (3)定理三

    如果f(x)是定义在一个凸的开集X上的二阶可微的函数,那么f(x)是集合X上的严格凸函数,这一结论的充分非必要条件是对应的Hessian矩阵H(x)对于每一个x∈X都是正定的

    因为根据定理三我们已经知道,由“凸的开集上的二阶可微函数是凸函数”,只能推出H(x)是半正定的,而非正定的。

    但是如果H(x)是正定的,则能够推出f(x)一定是凸函数。


    【例】考察给定函数的凸性
    在这里插入图片描述


    三. 最优化的条件

    1. 局部(全局)最小值

    在这里插入图片描述

    • 局部极小点:在该点某一邻域内的任意点的函数值都不小于在该点处的函数值
    • 全局极小点:在定义域内的任意点的函数值都不小于在该点处的函数值

    【扫除一些思维定式】
    ①一个点既可能是极小点,也可能是极大点
    在这里插入图片描述
    ②全局极值点也不一定唯一,比如sinx
    ③全局极值点和局部极值点也可能是同一的,比如sinx

    2. 极值的求解

    (1)现在可行的大部分理论和定理都可以帮助确定问题的局部极值
    (2)凸函数的极值:
    ①如果目标函数是凸函数,那么找到的局部极小值同样也是全局最小值

    证明
    在这里插入图片描述

    ②如果目标函数是严格凸函数,那么全局极小值是唯一的。

    (3)目前会使用诸如“模拟退火”或者“遗传算法”等随机化算法来进行全局最优值的求解。

    用“没有地图的蚂蚁找最高峰”这个问题来理解上述三种算法的思想:
    【经典梯度下降法】:从当前的出发点在局部范围内搜索,那个方向可以去往最高的方向,就沿着该方向进行一小步的移动,然后重复上述过程。
    p.s. 为了能够尽量找到全局的最优,可以选择多个起始点进行查找

    【模拟退火】:一只喝醉的蚂蚁,会随机地向上或向下进行寻找;但是随着时间的增加,蚂蚁会越来越清醒,会更加可能往高处进行寻找,

    【遗传算法】:利用一群蚂蚁,在不同的地方开始寻找,然后会定期地发大水,淹掉那些地势比较低的蚂蚁;而幸存下来的蚂蚁之间会进行信息交流(繁殖),其后代会在相对更高的地势开始进行寻找。

    3. 鞍点与极值判别定理

    (1)鞍点的定义
    在这里插入图片描述
    (2)极值判别定理
    在这里插入图片描述

    【例】直接截图,画质不太好请见谅
    在这里插入图片描述

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