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  • 本章体系 基础知识 ...4. 实对称矩阵 不同特征值对应的特征向量必正交 5. 属于特定特征值的特征向量的个数 6. A对角矩阵相似 7. 相似对角化的条件 和 5 区分 8. 实对称矩阵的特征值:实数、正交对

    本章体系

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    基础知识

    特征向量

    在这里插入图片描述

    矩阵相似:可逆矩阵(合同是)

    在这里插入图片描述
    相似和合同都是可逆矩阵,合同对应的是可逆矩阵的转置,相似对应的是可逆矩阵本身。

    一个推论

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    重要定理

    1. 特征向量的线性组合

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    2. !特征向量 和 trace & 行列式的关系:联立两个方程

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    3. 不同特征值对应的特征向量线性无关

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    4. 实对称矩阵 不同特征值对应的特征向量必正交

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    5. 属于特定特征值的特征向量的个数

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    6. A与对角矩阵相似

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    7. 相似对角化的条件 和 5 区分

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    8. 实对称矩阵的特征值:实数、正交对角化

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    9. 规范正交化

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  • 因此,一个可能有k个类别的分类变脸就可以编码成为一个长度为k的特征向量。若变量不能同时属于多个类别,那这组就只有一个比特位是‘开’的。 独热编码的优缺点: 独热编码解决了分类器不好处理属性数据的问题,...

    分类变量是表示类别或标记的。与数值型变量不同,分类变量的值是不能被排序的,故而又称为无序变量。

    one-hot编码

    独热编码(one-hot encoding)通常用于处理类别间不具有大小关系的特征。独热编码使用一组比特位表示不同的类别,每个比特位表示一个特征。因此,一个可能有k个类别的分类变脸就可以编码成为一个长度为k的特征向量。若变量不能同时属于多个类别,那这组值就只有一个比特位是‘开’的。

    独热编码的优缺点:

    1. 独热编码解决了分类器不好处理属性数据的问题,在一定程度上也起到了扩充特征的作用。它的值只有0和1,不同的类型存储在垂直的空间。
    2. 当类别的数量很多时,特征空间会变得非常大。在这种情况下,一般可以用PCA来减少维度。而且one hot encoding+PCA这种组合在实际中也非常有用。使用稀疏向量节省空间配合特征选择降低维度
    import pandas as pd
    from sklearn import linear_model
    
    df = pd.DataFrame({'city':['SF','SF','SF','NYC','NYC','NYC','Seattle','Seattle','Seattle'],
                      'Rent':[3999, 4000, 4001, 3499, 3500, 3501, 2499, 2500, 2501]})
    
    df['Rent'].mean()
    
    3333.3333333333335
    
    #将分类变量转换为one-hot编码并拟合一个线性回归模型
    one_hot_df = pd.get_dummies(df, prefix=['city'])
    one_hot_df
    
    Rent city_NYC city_SF city_Seattle
    0 3999 0 1 0
    1 4000 0 1 0
    2 4001 0 1 0
    3 3499 1 0 0
    4 3500 1 0 0
    5 3501 1 0 0
    6 2499 0 0 1
    7 2500 0 0 1
    8 2501 0 0 1
    model = linear_model.LinearRegression()
    model.fit(one_hot_df[['city_NYC', 'city_SF', 'city_Seattle']],
             one_hot_df['Rent'])
    model.coef_                         #获取线性回归模型的系数
    
    array([ 166.66666667,  666.66666667, -833.33333333])
    
    model.intercept_                      #获取线性回归模型的截距
    
    3333.3333333333335
    
    model.score(one_hot_df[['city_NYC', 'city_SF', 'city_Seattle']],
             one_hot_df['Rent'])          #获取模型的拟合优度R2
    
    0.9999982857172245
    

    使用one-hot编码时,截距表示目标变量rent的整体均值,每个线性系数表示相应城市的Rent均值与整体Rent均值有多大

    虚拟编码

    虚拟编码在进行表示时只使用k-1个特征,除去了额外的自由度。没有被使用的那个特征通过一个全零向量来表示,它称为参照类。虚拟编码和one-hot都可以通过pandas.get_dummies实现

    #用虚拟编码训练一个线性回归模型,指定drop_first标志来生成虚拟编码
    
    dummy_df = pd.get_dummies(df, prefix=['city'], drop_first=True)
    dummy_df
    
    Rent city_SF city_Seattle
    0 3999 1 0
    1 4000 1 0
    2 4001 1 0
    3 3499 0 0
    4 3500 0 0
    5 3501 0 0
    6 2499 0 1
    7 2500 0 1
    8 2501 0 1
    model.fit(dummy_df[['city_SF', 'city_Seattle']], dummy_df['Rent'])
    model.coef_
    
    array([  500., -1000.])
    
    model.intercept_
    
    3500.0
    
    model.score(dummy_df[['city_SF', 'city_Seattle']], dummy_df['Rent'])
    
    0.9999982857172245
    

    使用虚拟编码时,偏差系数表示相应变量y对于参照类的均值,该例中参照类是city_NYC。第i个特征的系数等于第i个类别的均值与参照类均值的差。

    效果编码

    效果编码与虚拟编码非常相似,区别在于参照类的用全部由-1组成的向量表示的

    effect_df = dummy_df.copy()
    effect_df.loc[3:5, ['city_SF','city_Seattle']]= -1.0
    effect_df
    
    Rent city_SF city_Seattle
    0 3999 1.0 0.0
    1 4000 1.0 0.0
    2 4001 1.0 0.0
    3 3499 -1.0 -1.0
    4 3500 -1.0 -1.0
    5 3501 -1.0 -1.0
    6 2499 0.0 1.0
    7 2500 0.0 1.0
    8 2501 0.0 1.0
    model.fit(effect_df[['city_SF', 'city_Seattle']], effect_df['Rent'])
    
    LinearRegression(copy_X=True, fit_intercept=True, n_jobs=None, normalize=False)
    
    model.coef_
    
    array([ 666.66666667, -833.33333333])
    
    model.intercept_
    
    3333.3333333333335
    
    model.score(effect_df[['city_SF', 'city_Seattle']], effect_df['Rent'])
    
    0.9999982857172245
    

    处理大型分类变量

    特征散列化

    散列函数是一种确定性函数,它可以将一个可能无界的整数映射到一个有限的整数范围【1,m】中。

    import pandas as pd
    import json
    js = []
    with open('yelp_academic_dataset_review.json') as f:
        for i in range(10000):
            js.append(json.loads(f.readline()))
    f.close()
    
    review_df = pd.DataFrame(js)
    
    # 定义m为唯一的business_id的数量
    m = len(review_df.business_id.unique())
    
    m
    
    4174
    
    from sklearn.feature_extraction import FeatureHasher
    
    h = FeatureHasher(n_features = m , input_type='string')
    f = h.transform(review_df['business_id'])
    
    review_df['business_id'].unique().tolist()[0:5]
    
    ['9yKzy9PApeiPPOUJEtnvkg',
     'ZRJwVLyzEJq1VAihDhYiow',
     '6oRAC4uyJCsJl1X0WZpVSA',
     '_1QQZuf4zZOyFCvXc0o6Vg',
     '6ozycU1RpktNG2-1BroVtw']
    
    f.toarray()
    
    array([[0., 0., 0., ..., 0., 0., 0.],
           [0., 0., 0., ..., 0., 0., 0.],
           [0., 0., 0., ..., 0., 0., 0.],
           ...,
           [0., 0., 0., ..., 0., 0., 0.],
           [0., 0., 0., ..., 0., 0., 0.],
           [0., 0., 0., ..., 0., 0., 0.]])
    
    from sys import getsizeof
    
    print('Our pandas Series, in bytes: ', getsizeof(review_df['business_id']))
    print('Our hashed numpy array, in bytes: ', getsizeof(f))
    
    Our pandas Series, in bytes:  790152
    Our hashed numpy array, in bytes:  56
    

    分箱计数

    import pandas as pd
    
    df = pd.read_csv('train_subset.csv')
    
    len(df['device_id'].unique()) #查看训练集中有多少个唯一的特征
    
    1075
    
    df.head()
    
    id click hour C1 banner_pos site_id site_domain site_category app_id app_domain ... device_type device_conn_type C14 C15 C16 C17 C18 C19 C20 C21
    0 1000009418151094273 0 14102100 1005 0 1fbe01fe f3845767 28905ebd ecad2386 7801e8d9 ... 1 2 15706 320 50 1722 0 35 -1 79
    1 10000169349117863715 0 14102100 1005 0 1fbe01fe f3845767 28905ebd ecad2386 7801e8d9 ... 1 0 15704 320 50 1722 0 35 100084 79
    2 10000371904215119486 0 14102100 1005 0 1fbe01fe f3845767 28905ebd ecad2386 7801e8d9 ... 1 0 15704 320 50 1722 0 35 100084 79
    3 10000640724480838376 0 14102100 1005 0 1fbe01fe f3845767 28905ebd ecad2386 7801e8d9 ... 1 0 15706 320 50 1722 0 35 100084 79
    4 10000679056417042096 0 14102100 1005 1 fe8cc448 9166c161 0569f928 ecad2386 7801e8d9 ... 1 0 18993 320 50 2161 0 35 -1 157

    5 rows × 24 columns

    def click_counting(x, bin_column):
        clicks = pd.Series(
            x[x['click'] > 0][bin_column].value_counts(), name='clicks')
        no_clicks = pd.Series(
            x[x['click'] < 1][bin_column].value_counts(), name='no_clicks')
    
        counts = pd.DataFrame([clicks, no_clicks]).T.fillna('0')
        counts['total'] = counts['clicks'].astype(
            'int64') + counts['no_clicks'].astype('int64')
    
        return counts
    
    
    def bin_counting(counts):
        counts['N+'] = counts['clicks'].astype('int64').divide(
            counts['total'].astype('int64'))
        counts['N-'] = counts['no_clicks'].astype('int64').divide(
            counts['total'].astype('int64'))
        counts['log_N+'] = counts['N+'].divide(counts['N-'])
    
        #    If we wanted to only return bin-counting properties, we would filter here
        bin_counts = counts.filter(items=['N+', 'N-', 'log_N+'])
        return counts, bin_counts
    
    bin_column = 'device_id'
    device_clicks = click_counting(df.filter(items = [bin_column, 'click']), bin_column)
    device_all, device_bin_counts = bin_counting(device_clicks)
    
    len(device_bin_counts)
    
    1075
    
    device_all.sort_values(by = 'total', ascending = False).head(4)
    
    clicks no_clicks total N+ N- log_N+
    a99f214a 1561 7163 8724 0.178932 0.821068 0.217925
    c357dbff 2 15 17 0.117647 0.882353 0.133333
    a167aa83 0 9 9 0.000000 1.000000 0.000000
    3c0208dc 0 9 9 0.000000 1.000000 0.000000
    from sys import getsizeof
    
    print('Our pandas Series, in bytes: ', getsizeof(df.filter(items=['device_id', 'click'])))
    print('Our bin-counting feature, in bytes: ', getsizeof(device_bin_counts))
    
    Our pandas Series, in bytes:  730152
    Our bin-counting feature, in bytes:  95699
    

    参考:
    爱丽丝·郑、阿曼达·卡萨丽,精通特征工程

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  • 第三章: 矩阵的标准型 矩阵的相似对角形 n阶矩阵A能够相似于对角形矩阵 的充要条件 是什么?...属于不同特征值特征向量一定线性无关 同一个特征值(多重特征值)的特征向量会有多个 所有的特征值对应的特征...

    第三章: 矩阵的标准型

    矩阵的相似对角形

    在这里插入图片描述
    n阶矩阵A能够相似于对角形矩阵 的充要条件 是什么?

    在这里插入图片描述

    若矩阵A能与对角形矩阵相似, 那么 该对角形矩阵的 对角线元素 是A的n个特征值
    而且 可逆矩阵p的列向量 就是 对应于这些特征值的 n 个线性无关的特征向量
    

    在这里插入图片描述在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述在这里插入图片描述

    特征值和特征向量的关系:

    1. 属于不同特征值的特征向量一定线性无关
    2. 同一个特征值(多重特征值)的特征向量会有多个
    3. 所有的特征值对应的特征向量的个数之和 等于可逆矩阵p的阶数 == p的阶数也是n, 特征值的总个数也是n, 这样才会一一对应.

    那么这里需要注意的是 如何求特征值和特征向量 ? 相似矩阵有相同的特征多项式, 从而有相同的特征值

    需要注意的几个名词:
    特征值, 特征向量
    特征矩阵 特征多项式
    矩阵的迹
    特征子空间: 矩阵A的 某一个特征值 对应的特征向量的集合, 构成一个线性空间, 称为A的特征子空间(相同特征值对应的特征向量集合), 特征子空间的维数不超过特征值的重数

    当线性变换T 有n个线性无关的特征向量时, 只要选取这一组向量为一个基, 则显然T在这个基下的矩阵就是对角形矩阵 线性变换 等价于 矩阵
    反过来, 若T在某个基 下的矩阵是对角形矩阵, 从而有 T * 基中的第i个向量 = 相对应的特征值 * 该向量, 因此 基内各个向量是线性无关的特征向量.
    在这里插入图片描述实对称矩阵都相似与对角形矩阵
    但是并非所有的矩阵A都可以相似与对角形矩阵, 那么当矩阵A不能和对角形矩阵相似时, 我们能否找到一个构造比较简单的分块对角矩阵与他们相似呢? 在复数域C内考虑这个问题时, 这个矩阵确实存在, 这个就是约当形矩阵, 称为矩阵A 的约当标准形

    实对称矩阵: 矩阵元素都是实数
    实矩阵: 实矩阵指的是矩阵中所有的数都是实数的矩阵。如果一个矩阵中含有除实数以外的数,那么这个矩阵就不是实矩阵
    复数矩阵

    复数包括实数和虚数,虚数包括纯虚数和非纯虚数;实数包括有理数和无理数,有理数又包括整数和分数。所以实数集是复数集的子集合。

    矩阵的约当标准形

    在这里插入图片描述在这里插入图片描述在这里插入图片描述

    1. 多项式整除的概念
    2. 首项系数为1( 最高次的那一项的系数为1 )的最大公因式( f(x), g(x) )
      在这里插入图片描述在这里插入图片描述在C复数域上求若干个多项式的最大公因式时, 先把每个多项式分解成一次因式的乘积形式, 然后取公共一次因式的最低方幂的乘积, 即为所求的最大公因式.

    互素 / 互质:

    若 ( f(x), g(x) ) = 1, 则称 f(x) 和 g(x) 互素 / 互质,
    关于多项式的最大公因式和互素有下列两个重要的结果:
    在这里插入图片描述设矩阵A中的各个元素的值是属于复数域中的, 那么矩阵A的特征矩阵是 A(m) = mE - A
    ![在这里插入图片描述](https://img-blog.csdnimg.cn/20191203112444138.png在这里插入图片描述在这里插入图片描述在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述在这里插入图片描述在这里插入图片描述在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    哈密顿-开莱定理 与 矩阵的最小多项式

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述次数最低 + 零化多项式 = 最小多项式
    在这里插入图片描述在这里插入图片描述在这里插入图片描述
    但是一个矩阵的最小多项式是唯一的


    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述在这里插入图片描述在这里插入图片描述在这里插入图片描述

    多项式矩阵与史密斯标准形

    多项式矩阵的形式
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述在这里插入图片描述

    多项式矩阵的互质性和既约性

    互素 / 互质: 若 ( f(x), g(x) ) = 1, 则称 f(x) 和 g(x) 互素 / 互质,
    在这里插入图片描述在这里插入图片描述

    互质性

    在这里插入图片描述在这里插入图片描述

    既约性

    在这里插入图片描述在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    有理分式矩阵的标准形及其仿分式分解

    在这里插入图片描述

    系统的传递函数矩阵

    舒尔定理及矩阵的QR分解

    在这里插入图片描述在这里插入图片描述

    矩阵的奇异值分解

    在这里插入图片描述在这里插入图片描述

    在这里插入图片描述在这里插入图片描述在这里插入图片描述

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  • 不同特征值对应的特征向量正交 (垂直,且表达的向量空间不同) 抽象实对称矩阵求特征向量 这三种属于简单题型,自己理解尝试写一下通法 必考考点 这种属于考点 已知Aα1=λ1α1,且λ1≠λ2=λ3,求α2,α3已知 A\...

    考研数学基础 之线性代数通法——Chapter6:合同对角化与二次型

    2022考研数学基础
    主讲老师: 刘金峰 武忠祥

    对称矩阵的对角化

    考研范围内只考察实对称矩阵
    以下内容所表述的对象均为实对称矩阵

    性质

    • 对称矩阵的特征值为实数
    • 不同特征值对应的特征向量正交 (垂直,且表达的向量空间不同)

    抽象实对称矩阵求特征向量

    这三种属于简单题型,自己理解尝试写一下通法
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    必考考点

    这种属于考点

    Aα1=λ1α1,λ1λ2=λ3,α2,α3已知 A\alpha_1=\lambda_1\alpha_1,且\lambda_1\neq\lambda_2=\lambda_3,求\alpha_2,\alpha_3

    • 解法
      α1Tα2,3=0\alpha_1^T\alpha_{2,3}=0 解出 α2α3\alpha_2与\alpha_3
      在这里插入图片描述
      因为λ2=λ3\lambda_2=\lambda_3, 所以α2,α3\alpha_2,\alpha_3在同一个向量空间中,
      k2α2+k3α3k_2\alpha_2+k_3\alpha_3可以表示该向量空间中的任何向量
      所以可以找到两个α2,α3\alpha_2,\alpha_3使得他们正交(这是为了后面的合同对角化准备的)

    正交矩阵与合同对角化

    正交矩阵的定义

    QTQ=EQQT=EQ^TQ=E或QQ^T=E

    合同对角化

    以三阶对角阵为例

    • step1: 求特征值

    • step2: 求三个正交的特征向量

      • 若三个λ\lambda相等,则特征向量两两正交
      • 若仅有两个λ\lambda相等则可以使用施密特正交化公式将特征向量正交化
        在这里插入图片描述
      • 推荐在计算特征向量的时候直接取值得到正交的矩阵
    • step3: 特征向量单位化得到 (γ1,γ2,γ3)(\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3)

    • step4: Q=(γ1,γ2,γ3),Q,QTAQ=ΛQ=(\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3),则Q为正交矩阵 ,且Q^TAQ=\Lambda
      ΛA其中 \Lambda以A的特征值为对角元

    二次型及其标准型

    二次型对应数一中的曲线方程, 其几何意义可以用来判断曲线的形状
    例如
    x2+y2+z2=1()x^2+y^2+z^2=1 代表球面(全正)
    x2+2y2+3z2=1()x^2+2y^2+3z^2=1 代表椭球面(全正)
    x2+y22z2=1()x^2+y^2-2z^2=1 代表单叶双曲面(一个负号)
    注: x2+y22z2=1y22z2zx^2+y^2-2z^2=1看作y^2-2z^2绕z轴旋转得到
    x2y2z2=1()x^2-y^2-z^2=1 代表双叶双曲面(两个负号)
    注: x2y2z2=1x2y2=1xx^2-y^2-z^2=1看作x^2-y^2=1绕x轴旋转得到

    不难发现, 上面的例子都是只含平方项的式子,因此比较好判断,但是对于一般的式子,如
    在这里插入图片描述
    显然不能看正负号来判断其曲面的形状
    因此对应到线性代数中这个式子被称为二次型
    化成只剩平方项之后的形式被称为标准形

    标准型才是我们需要的结果,可以通过其平方项的正负轻松的判断出曲线的形状

    系数矩阵

    证明见笔记
    在这里插入图片描述

    二次型转为标准形步骤(正交变换法)

    • 写出系数矩阵A
    • 求A的特征值
    • 求A的特征向量(然后正交化+单位化)
    • Q=(γ1,γ2,γ3),x=Qy:Q=(\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3),x=Qy的变换下得到二次型的标准形:
      f=λ1y12+λ2y22+λ3y32f=\lambda_1*y_1^2+ \lambda_2*y_2^2+ \lambda_3*y_3^2
      注:: 这样变换可以保证x与y是可逆变换, 因为 Q 可逆, 因此 最后得到的结果可以变换回 x 的方程
      所以他们的形状相同

    二次型转为标准形步骤(配方法)

    需要注意所使用的的变化矩阵需要可逆
    在这里插入图片描述
    变换矩阵必须可逆
    注: 上图中圈起来的 y3y_3因为在原二次型方程中没有对应的平方项,所以在换元的时候,原则上是可以随便写的,为了方便起见,这里就写了个x3x_3

    二次型转的标准形转换为规范形

    规范形在二次型的基础上将系数都变成了 1,1,01,-1,0
    在这里插入图片描述

    二次型转的正定性

    了解一下就可以了

    判断二次型的正定性方法

    可以化成标准型/计算特征值来判断
    在这里插入图片描述
    不过做题也多用下面这种
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    证明见笔记,自己想一遍

    判断二次型的正定性步骤

    • 写出系数矩阵
    • 依次判断 1,2,3…阶行列式的正负
      在这里插入图片描述

    一道含坑的题目(考察正定性与转换矩阵可逆的条件)

    在这里插入图片描述
    标准的错误,经典的零分 答法
    在这里插入图片描述

    然后再 f=y12+y22+y32,f=y_1^2+y_2^2+y_3^2, 所以是正定矩阵
    这种解法是标准的错误,经典的零分, 没有理解转换矩阵可逆的条件, 这里我们写出转换矩阵y=Qx, 虽然f(y)的方程是正定的,但是因为Q不可逆,所以这里的 y 不能通过可逆变换变成x, 所以它与原先的方程不等价。
    正确做法, 将方程展开,使用通法求解,可以自己算一下,方法如例题,答案是非正定矩阵

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