一、传统的集合运算

传统的集合运算是二目运算，包括并、差、交、笛卡尔积4种运算。

设关系R和关系S具有相同的目n，也就是两个关系中都有n个属性，且相应的属性取自同一个域，t是元组变量，t∈R表示t是R的一个元组。

（1）并（union）

关系R与关系S的并记作：，其结果仍为n目关系，由属于R而不属于S的元组组成。

（2）差（except）

关系R与关系S的差记作：，其结果仍为n目关系，由属于R而不属于S的所有元组组成。

（3）交（intersection）

关系R与关系S的交记作：，其结果仍为n目关系，由既属于R又属于S的元组组成，关系的交还可以用差来表示：R∩S=R-(R-S)。

（4）笛卡尔积

笛卡尔积的元素是元组。两个分别为n目和m目的关系R和S的笛卡尔积是一个（n+m）列的元组的集合，若R有K1个元组，S有K2个元组，则关系R和关系S的笛卡尔积有K1×K2个元组，记作：

传统集合运算举例：
二、专门的关系运算

专门的关系运算包括选择σ、投影π、连接∞、除运算÷等。

1.选择（restriction）

在关系R中选择满足给定条件的诸元组：

σF (R ) = {t |t ∈ R∧F (t ) = ‘真’}         F：选择条件，是一个逻辑表达式，其基本形式为：X1θY1，选择运算是从关系R中选取逻辑表达式F为真的元组，从行的角度进行运算。

例如：查询信息系（IS系）全体学生：     σSdept = ‘IS’ (Student)

2.投影（Projection）

从R中选择出若干属性列组成新的关系：

πA® = { t [A]| t ∈ R }        A：R 中的属性列

投影操作主要是从列的角度进行运算，但投影之后不仅取消了原关系中的某些列，而且还可能取消某些元组（为了避免重复行）。

例如：查询学生的姓名和所在系：πSname，Sdept(Student)
3.连接（join）

连接也称为θ连接，从两个关系的笛卡尔积中选取属性间满足一定条件的元组



A 和B：分别为R 和S 上度数相等且可比的属性组

θ：比较运算符投影操作主要是从列的角度进行运算

3.1等值连接

定义：从关系R与S的广义笛卡尔积中选取A、B属性值相等的那些元组，即等值连接为：



3.2自然连接

自然连接：两个关系中进行比较的分量必须是相同的属性组，在结果中还要把重复的属性列去掉。



例如：关系R和关系S如下所示：



例如：查询选修了课程的学生学号、姓名、课程号和成绩



查询选修了课程的学生学号、姓名、课程名和成绩

3.3  外连接

外连接：如果把悬浮元组也保存在结果中，而其他属性上填空值，那么这种连接就叫做外连接，记作：

左外连接：如果只保留左边关系R中的悬浮元组就叫做左外连接，记作：

右外连接：如果只保留右边关系S中的悬浮元组就叫做右外连接，记作：

外连接运算举例：

概述 

传统的集合运算 （并，差，交，笛卡尔积） 

专门的关系运算

并（Union）
R和S
具有相同的目n（即两个关系都有n个属性）
相应的属性取自同一个域

R∪S 
仍为n目关系，由属于R或属于S的元组组成
             R∪S = { t|t  R∨t S }
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差（Difference）
R和S
具有相同的目n
相应的属性取自同一个域

R - S 
仍为n目关系，由属于R而不属于S的所有元组组成
                R -S = { t|tR∧tS }
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交（Intersection）
R和S
具有相同的目n
相应的属性取自同一个域

R∩S
仍为n目关系，由既属于R又属于S的元组组成
                    R∩S = { t|t  R∧t S }
              R∩S = R –(R-S）
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笛卡尔积（Cartesian Product）

R: n目关系，k1个元组
S: m目关系，k2个元组
R×S 
列：（n+m）列元组的集合
元组的前n列是关系R的一个元组
后m列是关系S的一个元组
行：k1×k2个元组
R×S = {tr ts |tr R ∧ tsS }
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专门的关系运算

先引入几个记号
（1） R，tR，t[Ai]
         设关系模式为R(A1，A2，…，An)
         它的一个关系设为R
          tR表示t是R的一个元组
          t[Ai]则表示元组t中相应于属性Ai的一个分量 
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（2） A，t[A]， A
   若A={Ai1，Ai2，…，Aik}，其中Ai1，Ai2，…，Aik是A1，A2，…，An中的一部分，则A称为属性列或属性组。
   t[A]=(t[Ai1]，t[Ai2]，…，t[Aik])表示元组t在属性列A上诸分量的集合。
   A则表示{A1，A2，…，An}中去掉{Ai1，Ai2，…，Aik}后剩余的属性组。 
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（3） tr ts
    R为n目关系，S为m目关系。
    tr R，tsS， tr ts称为元组的连接。
    tr ts是一个n + m列的元组，前n个分量为R中的一个n元组，后m个分量为S中的一个m元组。 
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（4）象集Zx
  给定一个关系R（X，Z），X和Z为属性组。
  当t[X]=x时，x在R中的象集（Images Set）为：
               Zx={t[Z]|t R，t[X]=x}
    它表示R中属性组X上值为x的诸元组在Z上分量的集合 
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选择操作：感觉是数据库当中最简单的一种操作了，其定义如下： 
σF(R)=t|t∈R∧F(t)=true 

F是我们的选择条件，就是选出符合条件的元素。

投影操作： 

就是从R中选择出若干属性组成新的关系。 
πA(R)={t[A]|t ∈R}$


连接
1）连接也称为θ连接
2）连接运算的含义
从两个关系的笛卡尔积中选取属性间满足一定条件的元组
     R         S = {          | tr  R∧ts S∧tr[A]θts[B] }

A和B：分别为R和S上度数相等且可比的属性组
θ：比较运算符 
    连接运算从R和S的广义笛卡尔积R×S中选取（R关系）在A属性组上的值与（S关系）在B属性组上值满足比较关系θ的元组 
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3）两类常用连接运算
等值连接（equijoin） 
什么是等值连接
θ为“＝”的连接运算称为等值连接 
等值连接的含义
从关系R与S的广义笛卡尔积中选取A、B属性值相等的那些元组，即等值连接为：
        R    S = {          | tr R∧ts S∧tr[A] = ts[B] }  
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自然连接（Natural join） 
自然连接是一种特殊的等值连接
两个关系中进行比较的分量必须是相同的属性组（同名同域:必须具有相同的属性名，并且出自相同的域集）
在结果中把重复的属性列去掉
自然连接的含义
    R和S具有相同的属性组B
        R   S = {         | tr R∧ts S∧tr[B] = ts[B] }  
一般的连接操作是从行的角度进行运算。
        自然连接还需要取消重复列，所以是同时从行和列的角度进行运算。 
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外连接
在做自然连接时，如果把舍弃的元组也保存在结果关系中，而在其他属性上填空值(Null)，这种连接就叫做外连接（OUTER JOIN）。
左外连接
在做自然连接时，如果只把左边关系R中要舍弃的元组保留就叫做左外连接(LEFT OUTER JOIN或LEFT JOIN)
右外连接
在做自然连接时，如果只把右边关系S中要舍弃的元组保留就叫做右外连接(RIGHT OUTER JOIN或RIGHT JOIN)。 
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除（Division）
给定关系R (X，Y) 和S (Y，Z)，其中X，Y，Z为属性组。
R中的Y与S中的Y可以有不同的属性名，但必须出自相同的域集。
R与S的除运算得到一个新的关系P(X)，
P是R中满足下列条件的元组在 X 属性列上的投影：
元组在X上分量值x的象集Yx包含S在Y上投影的集合，记作：
       R÷S = {tr [X] | tr  R∧πY (S)  Yx }
       Yx：x在R中的象集，x = tr[X]
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在关系R中，A可以取四个值{a1，a2，a3，a4}
    a1的象集为 {(b1，c2)，(b2，c3)，(b2，c1)}
    a2的象集为 {(b3，c7)，(b2，c3)}
    a3的象集为 {(b4，c6)}
    a4的象集为 {(b6，c6)}
S在(B，C)上的投影为
           {(b1，c2)，(b2，c1)，(b2，c3) }
只有a1的象集包含了S在(B，C)属性组上的投影
     所以     R÷S ={a1} 

除法比较难理解点，所以就详细的说说。。

设关系R除以关系S的结果为关系T，则T包含所有在R但不在S中的属性及其值，且T的元组与S的元组的所有组合都在R中。

所以结合着例子，对于定义进行理解吧：

首先呢给出关系R和关系S




1、定义中说，T包含所有在R但不在S中的属性，所以呢 R 所包含的属性有{A，B，C}，S中所包含的属性有{B，C，D}，显而易见，关系T中应该只包含

 一个属性---A；

2、及其值，只考虑关系R中A属性的值{a1，a2，a3，a4}，关系T属性A的元素应该是{a1，a2，a3，a4}的子集；

3、且T的元组与S的元组的所有组合都在R中，很明显，S中的需要考虑的只是属性B和属性C，所以






所以符合定义要求的值只有a1了。

从而得出：

传统的集合运算包括并，差，交，笛卡儿积运算
1.并
关系R和关系S的所有元组合并，再删去重复的元组，组成一个新的关系，即不允许有重复的行
2.差
关系R和关系S的差是由属于R但不属于S的所有元组组成的集合，即关系R中删去与关系S中相同的元组
3.交 
关系R和关系S的交是由既属于R又属于S的元组组成的集合，即在两个关系R和S中取相同的元组，组成一个新关系
4.笛卡儿积运算
在这里指广义笛卡尔积，因为笛卡尔积的元素是元组。设m目和n目的关系R和S，他们的笛卡尔积是一个（n+m）目的元组集合。元组的前n列是关系R的一个元组，后m列是关系S的一个元组。若R有r个元组，S有s个元组，则关系R和关系S的笛卡尔积应当有r*s个元组
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专门的关系运算包括选择，投影，连接，除
1.选择
从一个关系中选出满足给定条件的记录的操作，是从行的角度进行的运算
2投影
从关系中挑选若干属性组成新的关系，是从列的角度进行的运算
3.连接
将两个关系的属性名拼接成一个更宽的关系，生成的新关系中包含满足连接条件的元组
4.除
R与S的除法运算得到一个新的关系P，P是R中满足下列条件的元组在X属性列上的投影，元组在X上的分量值x的象集Yx包含S在Y上的投影

概述 

  传统的集合运算 （并，差，交，笛卡尔积） 

  专门的关系运算



并（Union）

R和S
具有相同的目n（即两个关系都有n个属性）
相应的属性取自同一个域

R∪S 
仍为n目关系，由属于R或属于S的元组组成
             R∪S = { t|t  R∨t S }


差（Difference）



R和S
具有相同的目n
相应的属性取自同一个域

R - S 
仍为n目关系，由属于R而不属于S的所有元组组成
                R -S = { t|tR∧tS }


交（Intersection）

R和S
具有相同的目n
相应的属性取自同一个域

R∩S
仍为n目关系，由既属于R又属于S的元组组成
                    R∩S = { t|t  R∧t S }
              R∩S = R –(R-S）


笛卡尔积（Cartesian Product）


R: n目关系，k1个元组
S: m目关系，k2个元组
R×S 
列：（n+m）列元组的集合
元组的前n列是关系R的一个元组
后m列是关系S的一个元组
行：k1×k2个元组
R×S = {tr ts |tr R ∧ tsS }


专门的关系运算

先引入几个记号 



（1） R，tR，t[Ai]
         设关系模式为R(A1，A2，…，An)
         它的一个关系设为R
          tR表示t是R的一个元组
          t[Ai]则表示元组t中相应于属性Ai的一个分量 

（2） A，t[A]， A
   若A={Ai1，Ai2，…，Aik}，其中Ai1，Ai2，…，Aik是A1，A2，…，An中的一部分，则A称为属性列或属性组。
   t[A]=(t[Ai1]，t[Ai2]，…，t[Aik])表示元组t在属性列A上诸分量的集合。
   A则表示{A1，A2，…，An}中去掉{Ai1，Ai2，…，Aik}后剩余的属性组。 


（3） tr ts
    R为n目关系，S为m目关系。
    tr R，tsS， tr ts称为元组的连接。
    tr ts是一个n + m列的元组，前n个分量为R中的一个n元组，后m个分量为S中的一个m元组。 




（4）象集Zx
  给定一个关系R（X，Z），X和Z为属性组。
  当t[X]=x时，x在R中的象集（Images Set）为：
               Zx={t[Z]|t R，t[X]=x}
    它表示R中属性组X上值为x的诸元组在Z上分量的集合 




连接



1）连接也称为θ连接
2）连接运算的含义
从两个关系的笛卡尔积中选取属性间满足一定条件的元组
     R         S = {          | tr  R∧ts S∧tr[A]θts[B] }

A和B：分别为R和S上度数相等且可比的属性组
θ：比较运算符 
    连接运算从R和S的广义笛卡尔积R×S中选取（R关系）在A属性组上的值与（S关系）在B属性组上值满足比较关系θ的元组 


3）两类常用连接运算
等值连接（equijoin） 
什么是等值连接
θ为“＝”的连接运算称为等值连接 
等值连接的含义
从关系R与S的广义笛卡尔积中选取A、B属性值相等的那些元组，即等值连接为：
        R    S = {          | tr R∧ts S∧tr[A] = ts[B] }  




自然连接（Natural join） 
自然连接是一种特殊的等值连接
两个关系中进行比较的分量必须是相同的属性组（同名同域:必须具有相同的属性名，并且出自相同的域集）
在结果中把重复的属性列去掉
自然连接的含义
    R和S具有相同的属性组B
        R   S = {         | tr R∧ts S∧tr[B] = ts[B] }  
一般的连接操作是从行的角度进行运算。
        自然连接还需要取消重复列，所以是同时从行和列的角度进行运算。 




外连接
在做自然连接时，如果把舍弃的元组也保存在结果关系中，而在其他属性上填空值(Null)，这种连接就叫做外连接（OUTER JOIN）。
左外连接
在做自然连接时，如果只把左边关系R中要舍弃的元组保留就叫做左外连接(LEFT OUTER JOIN或LEFT JOIN)
右外连接
在做自然连接时，如果只把右边关系S中要舍弃的元组保留就叫做右外连接(RIGHT OUTER JOIN或RIGHT JOIN)。 




除（Division）

给定关系R (X，Y) 和S (Y，Z)，其中X，Y，Z为属性组。
R中的Y与S中的Y可以有不同的属性名，但必须出自相同的域集。
R与S的除运算得到一个新的关系P(X)，
P是R中满足下列条件的元组在 X 属性列上的投影：
元组在X上分量值x的象集Yx包含S在Y上投影的集合，记作：
       R÷S = {tr [X] | tr  R∧πY (S)  Yx }
       Yx：x在R中的象集，x = tr[X]




在关系R中，A可以取四个值{a1，a2，a3，a4}
    a1的象集为 {(b1，c2)，(b2，c3)，(b2，c1)}
    a2的象集为 {(b3，c7)，(b2，c3)}
    a3的象集为 {(b4，c6)}
    a4的象集为 {(b6，c6)}
S在(B，C)上的投影为
           {(b1，c2)，(b2，c1)，(b2，c3) }
只有a1的象集包含了S在(B，C)属性组上的投影
     所以     R÷S ={a1}