关系代数是一种抽象的查询语言，它用对关系的运算来表达查询。
 
关系运算的运算对象是关系，运算结果亦是关系，关系代数的运算符包括两类：传统的集合运算和专门的关系运算两类。
 传统的集合运算是从关系的水平方向，即行的角度来进行
 而专门的关系代数不仅涉及行，还涉及列。
 
 
传统的集合运算
 
传统的集合运算是二目运算，包括并，差，交，笛卡尔积4种运算。
 
并（Union，表示为U）：两个表或集合的联合。
 

 例：R1=（A，B），R2=（B，C，D）。
 则R1UR2=（A，B，C，D）。
 注：U集里不包含重复的属性。
 
差（Difference，表示位-）：两个表或集合的区别。
 
例：R1=（A，B），R2=（B，C，D）。
 
则R1-R2=（A）。
 
 注：-集里的元素个数不能大于初始。
 
交（Intersection，∩）：两个及以上的集合或表中具有相同属性的集合。
 
笛卡儿积（Product，表示为X）：两个表或集合的组合个数。
 

 例1：R1=（A，B），R2=（B，C，D）。
 
则R1xR2=(AB,AC,AD,BB，BC，BD)。
 
注：R1xR2集的元素个数为R1的元素个数乘R2的元素个数；
 
专门的关系运算
 
投影（Project，表示为π）：从表中抽取特定的列值。
 
表达式：πM（R）={ t(M) |t∈R }.
 
释义：R表示一个关系表；
 
T表示R中的一条横向的记录；
 
M表示T中的M列的交叉属性值；
 
πM（R）={ t(M) |t∈R }表示在关系表R中T行M列的一个属性值；
 
 
选择（Select，表示为σ–Sigma）:从表中选取与给定条件相符的行。
 
表达式：σA=a（R）={ t(A)=a |t∈R }.
 
A表示R表中的一个字段或属性类型；
 
t∈R表示R表中的一条记录；
 
t(A)=a表示记录t中A属性的具体值等于a;
 
σA=a（R）={ t(A)=a |t∈R }表示在R表中选择A=a的一条记录；
 
联接（join,表示为▷◁）：通过共同属性连接两个表。
 
连接运算中有两种最为常见的连接。一种是等值连接还有一种为自然连接。等值连接为从R和S的笛卡尔积中选取那些R和S的公共属性值都相等的那些元组，进行等值连接。
 自然连接是一种特殊的等值连接，在等值连接的基础上去掉那些R和S都有的公共属性列，就是自然连接。
 
 表现在数据库中简单来说是通过字段值相同的条件下，将两个表中的记录连接在一起。
 
除（Division，表水为÷）：除运算需要满足两个条件：表R和表S的属性集合要有相同性；R÷S的商是R和S非相同属性集合的一个投影的子集，该子集和S的笛卡尔积必须包含在R中。

谭浩强老师《C程序设计》第四章第一题。学习辅导里没有答案，整理一下方便记忆。
 
1.算术运算就是指加减乘除和整数的模运算（即取余数运算）。
 
2.关系运算就是比较运算，将两个数值进行比较，判断其比较结果是否符合给定的条件。
 
3.逻辑运算指两个条件进行运算，有逻辑与、逻辑或、逻辑非三种。

什么是算术运算？什么是关系运算？什么是逻辑运算？
 
【答案解析】
 
算术运算：
 
 
算术运算即“四则运算”，是加法、减法、乘法、除法、乘方、开方等几种运算的统称。
 
 
其中加减为一级运算，乘除为二级运算，乘方、开方为三级运算。在一道算式中，如果有多级运算存在，则应先进行高级运算，再进行低一级的运算。
 
 
C语言中的算熟运算符包括：+、-、*、/、++、--、% 等种类。
 
 
如果只存在同级运算；则从左至右的顺序进行；如果算式中有括号，则应先算括号里边，再按上述规则进行计算。
 
 
示例：$ (1 + 1)^{2} * 4+5 * 3$
 
解析：
 
先进行括号内运算1+1，然后进行乘方运算得到结果4.
接下来与4相乘，得到结果16
因为乘法优先级大于加法，因此先进行5*3，得到结果15
最终相加得到结果31
 
结果：31
 
关系运算：
 
 
关系的基本运算有两类：一类是传统的集合运算（并、差、交等），另一类是专门的关系运算（选择、投影、连接、除法、外连接等），而在C语言中，关系运算通常被认为是比较运算，将两个数值进行比较，判断比较结果是否符合给定的条件。
 
 
常见的关系运算符包括：<、<=、>、>=、==、!= 等种类。
 
 
其中，前4种关系运算符(<、<=、>、>= )的优先级别相同，后2种(==、!=)也相同。而前4种高于后2种。
 
 
例如, > 优先于 == 。而 > 与 < 优先级相同。 并且，关系运算符的优先级低于算术运算符，关系运算符的优先级高于赋值运算符(=)。
 
 
逻辑运算：
 
 
在逻辑代数中，有与、或、非三种基本逻辑运算。表示逻辑运算的方法有多种，如语句描述、逻辑代数式、真值表、卡诺图等。而在C语言中，逻辑运算通常用于使用逻辑运算符将关系表达式或其它逻辑量连接起来组成逻辑表达式用来测试真假值。
 
 
常见的逻辑运算符包括：&&、||、! 等种类
 
 
&&： 与是双目运算符，要求有两个运算对象，表示两个运算对象都成立，则结果为真，否则结果为假。
 
 
例如：(a<b) && (x>y)，表示(a<b)和(x>y)同时成立则为真。
 
 
||：是双目运算符，要求有两个运算对象，表示两个运算对象只要任意一个成立，则结果为真，否则结果为假。
 
 
例如：(a<b) && (x>y)，表示(a<b)和(x>y)两个对象中任意一个成立则结果为真。
 
 
!：是单目运算符，只要求有一个运算对象，表示取运算对象反义，运算对象为真则结果为假，运算对象结果为假则结果为真。
 
 
例如：!(a>b)，表示(a>b)成立时结果为假，不成立时结果为真。
 
 
若在一个逻辑表达式中包含多个逻辑运算符，则优先次序为： ! > && > ||。当然若一个逻辑表达式中包含括号括起来的子逻辑，则优先括号内的子逻辑判断。
 
 
示例：
 
 
(1>2)||(2>3)&&(4>3) 结果为0 !(1>2)||(2>3)&&(4>3)结果为1
 
 
注：&&优先级大于||，((2>3)&&(4>3))无法同时成立，则结果为假，然后与(1>2)结果进行逻辑或运算，两者都为假因此第一次结果为假。 而第二次!优先级最高，先对(1>2)的结果取逻辑非，得到结果为真，因此结果为真。
 

 
文章目录
 
一、关系幂运算
二、关系幂运算示例
三、关系幂运算性质

 

 

 

 

 
一、关系幂运算
 
 

 
关系 $R$ 的 $n$ 次幂定义 :
 
$R\subseteq A\times A,n\in N$
 
$\{\begin{array}{ll}{R}^0=I_A& \\ R^{n+1}=R^n\circ R& (n\ge 0)\end{array}$
 

 
关系 $R$ 是 集合 $A$ 上的 二元关系 , $R$ 的 $0$ 次幂 $R^0$ 是恒等关系 $I_A$ , 关系 $R$ 的 $n+1$ 次幂等于 $R^{n+1}=R^n\circ R$ 其中 $n\ge 0$ ;
 
$R^1=R^0\circ R=R$ , 恒等关系与 关系 $R$ 逆序合成 , 结果还是关系 $R$ , 这个关系 $R$ 可以是任意关系 ;
 
恒等关系就是 集合 $A$ 中每个元素自己跟自己有关系 ;
 
关系 $R$ 幂运算结果 $R^n$ 关系 也是集合 $A$ 上的二元关系 , 因此有 $R^n\subseteq A\times A$
 

 

 
关系 $R$ 的 $n$ 次幂 , 就是 $n$ 个 $R$ 关系逆序合成 :
 
$R^n=\begin{array}{c}\underbrace{R\circ R\circ \cdots \circ R}\\ n个R逆序合成\end{array}$
 

 

 

 

 
二、关系幂运算示例
 
 

 
集合 
     
      
       
        
         A
        
        
         =
        
        
         {
        
        
         a
        
        
         ,
        
        
         b
        
        
         ,
        
        
         c
        
        
         }
        
       
       
        A = \{ a, b, c \}
       
      
     A={a,b,c} 关系 $R$ 是 集合 $A$ 上的二元关系 , $R\subseteq A\times A$ ,
 

    
     
      
       
        R
       
       
        =
       
       
        {
       
       
        <
       
       
        a
       
       
        ,
       
       
        b
       
       
        >
       
       
        ,
       
       
        <
       
       
        b
       
       
        ,
       
       
        a
       
       
        >
       
       
        ,
       
       
        <
       
       
        a
       
       
        ,
       
       
        c
       
       
        >
       
       
        }
       
      
      
       R = \{ <a,b> , <b,a> , <a, c> \}
      
     
    R={<a,b>,<b,a>,<a,c>}
 

 
关系 $R$ 的 幂集个数 : $A$ 是有限集 , $A$ 上的有序对个数是 $3\times 3=9$ 个 , $A$ 上的二元关系个数 , 即有序对集合的幂集个数 , 是 $2^{3\times 3}=512$ 个 ;
 

 

 
关系 $R$ 的 $0$ 次幂 : $R^0=I_A$ , $R$ 关系的 $0$ 次幂是恒等关系 , 关系图是每个顶点都有环 , 顶点之间没有关系 ;
 
 

 

 
关系 $R$ 的 $1$ 次幂 : $R^1=R^0\circ R=R$ , 恒等关系 $I_A$ 与任何关系逆序合成 , 结果还是那个关系 ;
 
 

 

 
关系 $R$ 的 $2$ 次幂 :
 

     
      
       
        
         
          
           
            
             R
            
            
             2
            
           
          
         
         
          
           
            =
           
          
         
         
          
           
            
             
              R
             
             
              0
             
            
            
             ∘
            
            
             R
            
           
          
         
        
        
         
          
           
          
         
        
        
         
          
           
          
         
         
          
           
            =
           
          
         
         
          
           
            
             R
            
            
             ∘
            
            
             R
            
           
          
         
        
        
         
          
           
          
         
        
        
         
          
           
          
         
         
          
           
            =
           
          
         
         
          
           
            
             {
            
            
             <
            
            
             a
            
            
             ,
            
            
             b
            
            
             >
            
            
             ,
            
            
             <
            
            
             b
            
            
             ,
            
            
             a
            
            
             >
            
            
             ,
            
            
             <
            
            
             a
            
            
             ,
            
            
             c
            
            
             >
            
            
             }
            
            
             ∘
            
            
             {
            
            
             <
            
            
             a
            
            
             ,
            
            
             b
            
            
             >
            
            
             ,
            
            
             <
            
            
             b
            
            
             ,
            
            
             a
            
            
             >
            
            
             ,
            
            
             <
            
            
             a
            
            
             ,
            
            
             c
            
            
             >
            
            
             }
            
           
          
         
        
        
         
          
           
          
         
        
        
         
          
           
          
         
         
          
           
            =
           
          
         
         
          
           
            
             {
            
            
             <
            
            
             a
            
            
             ,
            
            
             a
            
            
             >
            
            
             ,
            
            
             <
            
            
             b
            
            
             ,
            
            
             b
            
            
             >
            
            
             ,
            
            
             <
            
            
             b
            
            
             ,
            
            
             c
            
            
             >
            
            
             }
            
           
          
         
        
       
       
        \begin{array}{lcl}R^2 & = & R^0 \circ R \\\\ &=& R \circ R \\\\ &=& \{ <a,b> , <b,a> , <a, c> \} \circ \{ <a,b> , <b,a> , <a, c> \} \\\\ &=& \{ <a,a>, <b, b> , <b,c> \}\end{array}
       
      
     R2​====​R0∘RR∘R{<a,b>,<b,a>,<a,c>}∘{<a,b>,<b,a>,<a,c>}{<a,a>,<b,b>,<b,c>}​
 
注意上述 $\circ$ 运算时逆序合成 , 从后面的关系中合成前面的关系 ;
 
 

 

 
关系 $R$ 的 $3$ 次幂 : 与 $R_1$ 相同
 

     
      
       
        
         
          
           
            
             R
            
            
             3
            
           
          
         
         
          
           
            =
           
          
         
         
          
           
            
             
              R
             
             
              1
             
            
            
             ∘
            
            
             R
            
           
          
         
        
        
         
          
           
          
         
        
        
         
          
           
          
         
         
          
           
            =
           
          
         
         
          
           
            
             {
            
            
             <
            
            
             a
            
            
             ,
            
            
             a
            
            
             >
            
            
             ,
            
            
             <
            
            
             b
            
            
             ,
            
            
             b
            
            
             >
            
            
             ,
            
            
             <
            
            
             b
            
            
             ,
            
            
             c
            
            
             >
            
            
             }
            
            
             ∘
            
            
             {
            
            
             <
            
            
             a
            
            
             ,
            
            
             b
            
            
             >
            
            
             ,
            
            
             <
            
            
             b
            
            
             ,
            
            
             a
            
            
             >
            
            
             ,
            
            
             <
            
            
             a
            
            
             ,
            
            
             c
            
            
             >
            
            
             }
            
           
          
         
        
        
         
          
           
          
         
        
        
         
          
           
          
         
         
          
           
            =
           
          
         
         
          
           
            
             {
            
            
             <
            
            
             a
            
            
             ,
            
            
             b
            
            
             >
            
            
             ,
            
            
             <
            
            
             a
            
            
             ,
            
            
             c
            
            
             >
            
            
             ,
            
            
             <
            
            
             b
            
            
             ,
            
            
             a
            
            
             >
            
            
             }
            
           
          
         
        
        
         
          
           
          
         
        
        
         
          
           
          
         
         
          
           
            =
           
          
         
         
          
           
            
             R
            
            
             1
            
           
          
         
        
       
       
        \begin{array}{lcl}R^3 & = & R^1 \circ R \\\\ &=& \{ <a,a>, <b, b> , <b,c> \} \circ \{ <a,b> , <b,a> , <a, c> \} \\\\ &=& \{ <a,b>, <a, c> , <b,a> \} \\\\ &=& R^1 \end{array}
       
      
     R3​====​R1∘R{<a,a>,<b,b>,<b,c>}∘{<a,b>,<b,a>,<a,c>}{<a,b>,<a,c>,<b,a>}R1​
 
 

 

 
关系 $R$ 的 $4$ 次幂 : 与 $R_2$ 相同
 

 

 
关系 $R$ 的 $5$ 次幂 : 与 $R_1$ 相同
 

 

 
关系 $R$ 的 $2k$ 偶数次幂 ( $k=1,2,\cdots$ ) : 与 $R_2$ 相同
 

 

 
关系 $R$ 的 $2k+1$ 奇数次幂 ( $k=0,1,2,\cdots$ ) : 与 $R_1$ 相同
 

 

 

 

 
三、关系幂运算性质
 
 

 
关系幂运算性质 :
 
关系 $R$ 是 集合 $A$ 上的关系 , $R\subseteq A\times A$ , $m,n$ 是自然数 , $m,n\in N$ ; 关系幂运算有以下两个性质 :
 
$R^m\circ R^n=R^{m+n}$
 
$(R^m{)}^n=R^{mn}$