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  • 存贮模型不允许缺货的存贮模型问题背景问题分析模型假设模型建立模型求解结果解释敏感性分析允许缺货的存贮模型模型假设模型建立模型求解结果解释 不允许缺货的存贮模型 问题背景 问题:配件厂为装配线生产若干种...

    不允许缺货的存贮模型

    问题背景

    问题:配件厂为装配线生产若干种部件,所需的费用情况有以下几种:

    1. 轮换生产不同的部件时因更换设备要付生产准备费(与生产数量无关,只要有生产,不管生产几个,都要付的费用)。
    2. 同一部件的产量大于需求时因积压资金、占用仓库要付贮存费

    现有情况:今已知某一部件的日需求量100****件生产准备费5000元贮存费每日每件1元

    前提条件:

    1. 生产能力远大于需求(也就是不考虑供不应求的情况)。
    2. 不允许出现缺货,

    安排生产计划:多少天生产一次(称为生产周期),每次产量多少可使总费用最小。

    问题分析

    先试算一下,以便发现规律:

    • 若每天生产一次,每次100件,无贮存费,生产准备费5000元,每天费用5000元;
    • 若10天生产一次,每次1000件,贮存费是900+800+…+100=4500元,生产准备费5000元,总计9500元,平均每天费用950元;
    • 若50天生产一次,每次5000件,贮存费是4900+4800+…+100=122500元,生产准备费5000元,总计127500元,平均每天费用2550元。

    从上面的试算看出:生产周期短,产量小,贮存费小,准备费大;生产周期长、生产量多,会使贮存费大,准备费小。因此肯定存在一个最佳的周期,使得费用最小,显然,应该建立一个优化模型。

    考虑这种不允许缺货的存贮模型的一般情况:产品需求稳定不变,生产准备费和生产贮存费为常数、生产能力无限、不允许缺货,确定生产周期和产量,使得总费用最小。

    模型假设

    为了处理方便,考虑连续模型,即设生产周期T和生产量Q均为连续量,根据问题性质做如下假设:

    1. 产品每天的需求量为常数r;
    2. 每次生产准备费为c1,每天每件产品的贮存费为c2
    3. 生产能力为无限大(相当于需求量),当贮存量降到零时,Q件产品立即生产出来供给需求,即不允许缺货。

    模型建立

    贮存量表示为时间t的函数q(t),
    t=0生产Q件,贮存量q(0)=Q,
    q(t)以需求速率r递减,直到q(T)=0,
    如图1
    在这里插入图片描述
    显然有
    Q=rTQ=rT ———————————— (1)

    一个周期内的贮存费应该是c1t=0Tq(t)c_1\sum_{t=0}^{T} q(t) ,将周期看成连续的量,转化成积分形式:
    在这里插入图片描述其中积分恰等于图1中A的面积QT/2,因为一个周期的准备费是c1,再注意到(1)式,得到一个周期的总费用是
    在这里插入图片描述

    模型求解

    求T使(3)式的C最小,容易得到
    在这里插入图片描述

    结果解释

    由(4)(5)式可以得到,当准备费c1增加时,生产周期和产量都变大;当贮存费增加时生产周期和产量都变小;当需求量r增加时,生产周期变小而产量变大,这些定性结果符合常识,而定量关系只能由数学建模得到。

    用得到的模型计算本节开始的问题:以c
    1=5000,c2=1,r=100代入(4),(6)式,得T=10天,C=1000元。

    这里得到的费用C与前面计算的950元有微小差别,由于我们把离散的模型连续化而产生的误差。

    敏感性分析

    讨论c1,c2,r有微小变化时对生产周期T的影响。
    用相对改变量衡量结果对参数的敏感程度,T对c1的敏感度记作S(T,c1),定义为
    在这里插入图片描述

    允许缺货的存贮模型

    模型假设

    与上述问题假设均一致,假设第三点改变,现在假设为:

    1. 产品每天的需求量为常数r;
    2. 每次生产准备费为c1,每天每件产品的贮存费为c2
    3. 生产能力为无限大(相当于需求量),允许缺货,每天每件产品缺货损失费c3,但缺货数量需要在下次生产(或订货)时间补足。

    模型建立

    因贮存量不足造成缺货时,可以认为贮存量函数q(t)为负值,如图2,周期仍记作T,Q是每周期初的贮存量,当t=T1时q(t)=0,于是有:
    在这里插入图片描述在T1到T这段缺货时段内需求率r不变,q(t)按原斜率继续下降,由于规定缺货量需补足,所以在t=T时数量为R的产品立即到达,使下周初的贮存量恢复到Q.

    与建立不允许缺货模型时类似,一个周期内的贮存费是c2乘以图2中三角形A的面积,缺货损失费是c3乘以图2中三角形B的面积,计算这两块面积,并加上准备费c1,得到一个周期的总费用为
    在这里插入图片描述在这里插入图片描述

    模型求解

    利用微分法求驻点
    在这里插入图片描述

    结果解释

    在这里插入图片描述c3趋于∞时,也就是说缺货损失费是无穷大,那么商家就不会让其缺货,也就回到了上面的不允许缺货模型,因此可以将不允许取货模型看成是允许缺货模型的一个特例。

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  • 血管分支问题问题背景模型假设模型建立结果解释有趣的推论 问题背景 血管形状遵循能量最小原则,指研究血管分支处粗细血管的比例和分叉角度。 模型假设 分支点处的三个血管在同一平面(若不在同一平面就不符合能量...

    问题背景

    血管形状遵循能量最小原则,指研究血管分支处粗细血管的比例和分叉角度。

    模型假设

    1. 分支点处的三个血管在同一平面(若不在同一平面就不符合能量最小原则)[几何上的假设]
    2. 血液流动受到的阻力看成粘性流体在刚性管道中的流动受到的阻力[物理上的假设]
    3. 血液对血管壁提供营养的能量随管壁内表面积和管壁内的体积的增加而增加,管壁所占体积取决于管壁厚度,厚度近似与血管半径成正比。[生理上的假设]
      在这里插入图片描述假设2: 利用流体力学中的Poiseuille定律,血液提供半径r,长为l的一段血管AC时,流量为:
      在这里插入图片描述
      其中△p是A,C两点的压力差,μ是血液的粘性系数。在血液流动过程中,机体克服阻力所消耗的能量为E1=q·△p,将(1)式中的△p代入,得
      在这里插入图片描述
      假设3: 比较复杂,需要作进一步简化,对于半径为r、长度为l的血管,管壁内表面积s=2πrl,管壁所占体积v=s’l,其中s’是管壁截面积。记壁厚为d,则s’=π[(r+d)²-r²]=π(d²+2rd)。设壁厚d近似地与半径r成正比,可知v近似地与r²成正比,又因为s与r成正比,为血管壁提供营养消耗的能量为
      在这里插入图片描述

    模型建立

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    结果解释

    上述结果与实验吻合的相当好

    有趣的推论

    在这里插入图片描述

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  • 永磁同步电机矢量控制(一)——数学模型

    万次阅读 多人点赞 2019-05-17 09:51:21
    导师研究的课题是永磁同步... 1、永磁同步电机的数学模型 (参考于解小刚、陈进采用Id=0永磁同步电机矢量控制文章) 永磁同步电机是一个非线性系统,具有多变量、强耦合的特点。我们对其分析的时候有以下假设: ...

    注:
    1:此为永磁同步控制系列文章之一,应大家的要求,关于永磁同步矢量控制的系列文章已经在主页置顶,大家可以直接去主页里面查阅,希望能给大家带来帮助,谢谢。
    2:矢量控制的六篇文章后。弱磁、MTPA、位置控制系列讲解已经补充,也放在主页了,请大家查阅。
    3: 恰饭一下,也做了一套较为详细教程放在置顶了,内含基本双闭环、MTPA、弱磁、三闭环、模糊PI等基本控制优化策略,也将滑模,MRAS等无速度控制课题整理完成,请大家查看_
    **
    4、文章对应资料附件放在了文章末尾

    导师研究的课题是永磁同步电机的控制,首先给我安排的任务就是将其矢量控制系统仿真搭建出来。本文记录矢量控制系统学习过程。因为是初学我的理解可能不够,其中每个内容的出处都会在文章内标注出来,大家可以参考原文原著。

    1、永磁同步电机的数学模型 (参考于解小刚、陈进采用Id=0永磁同步电机矢量控制文章)
    永磁同步电机是一个非线性系统,具有多变量、强耦合的特点。我们对其分析的时候有以下假设:

    • 忽略铁芯饱和,不计涡流和磁滞损耗

    • 忽略换相过程中的电枢反应

    • 转子上无阻尼绕组,永磁体无阻尼作用

    • 永磁体产生的磁场和三相绕组产生的感应磁场呈正弦分布

    • 定子绕组电流在气隙中只产生正弦分布的磁势,无高次谐波

    • 按照电动机应用建模
      在此理想条件下:
      1.1 永磁同步电机在三相静止坐标系下定子电压方程:(下图有误,定子磁链要求个导)
      这里写图片描述
      式中Rs为电枢电阻,ψa ψb ψc分别为abc三相磁链,ia ib ic 分别为其 abc三相的相电流。
      1.2 三相静止坐标系下磁链方程
      这里写图片描述
      其中Laa、Lbb、Lcc为各相绕组自感,且Laa=Lbb=Lcc,式中Mab等为绕组之间互感且均相等。ψf是永磁体磁链,θ为转子N极和a相轴线之间的夹角。
      经过CLARK和PARK左边变换后,得到其在dq坐标系下的数学模型:
      1.3 dq坐标系下电压方程
      这里写图片描述
      其中ud、uq为dq轴电压,id、iq为dq轴电流,ψd、ψq为dq轴磁链,Ld、Lq为dq轴电感,we为转速。
      1.4 dq坐标系下磁链方程
      这里写图片描述
      1.5 转矩方程
      在这里插入图片描述
      从上1.5中转矩方程可以看出,电磁转矩由两个部分组成,第一项是永磁体和定子绕组磁链之间相互作用产生,第二项则是由磁阻变化而产生的。这里我们需要区分一下凸极和隐极电机的区别,隐极电机由于Lq=Ld,所以磁阻变化转矩是凸极电机特有的,我们在搭建仿真的时候也需要注意这的电机类型。

      小结:
      永磁同步电机的数学模型解释了其内部构成,有助于我们设计控制策略,我们进行坐标变换和PI参数整定时都需要对其数学模型进行分析,很重要,很重要,很重要,说三遍!!!

    需要文章资料与仿真模型的同学请博客下评论留一下邮箱,看到就会发过去。
    整理不易,希望大家帮忙点个赞呀,谢谢啦~_

    后续文章链接:

    永磁同步电机矢量控制到无速度传感器控制学习教程(PMSM)
    永磁同步电机矢量控制(二)——控制原理与坐标变换推导
    永磁同步电机矢量控制(三)——电流环转速环 PI 参数整定
    永磁同步电机矢量控制(四)——simulink仿真搭建
    永磁同步电机矢量控制(五)——波形记录及其分析
    永磁同步电机矢量控制(六)——MTPA最大转矩电流比控制
    永磁同步电机矢量控制(七)——基于id=0的矢量控制的动态解耦策略
    永磁同步电机矢量控制(八)——弱磁控制(超前角弱磁)
    永磁同步电机矢量控制(九)——三闭环位置控制系统
    永磁同步电机矢量控制(十)——PMSM最优效率(最小损耗)控制策略

    展开全文
  • 最简单的规划问题其实就是函数的求极值的问题。在这个基础上扩展并运用相关的软件解决实际生产中的一些问题。简单的说,就是一些最大、最小的问题。在这类问题中,重点在于写出目标函数、设置好决策变量、找对找全...

    最简单的规划问题其实就是函数的求极值的问题。在这个基础上扩展并运用相关的软件解决实际生产中的一些问题。简单的说,就是一些最大、最小的问题。在这类问题中,重点在于写出目标函数、设置好决策变量、找对找全约束关系以及运用好相关软件。
    1、单一生产问题(高中学的线性规划)
    这种问题比较简单,所谓单一是指生产条件、市场需求等外界因素不随时间的变化而变化。
    *求解工具的简单介绍:
    1)lindo
    !注释内容,可用中文
    !目标函数:最大-max,最小-min,大小写不分
    max 3 x1+5 x2+4 x3
    !约束,以subject to开始
    subject to
    2 x1+3 x2<=1500
    2 x2+4 x3<=800
    3 x1+2 x2 +5 x3<=2000
    end
    *注意事项:
    变量以字母开头,下标写在后面,系数与变量之间加空格
    不等号为:<= ( <),>=( >) , =, <=与 <等同
    变量非负约束可省略
    结束时以end标示
    2)lingo
    model:
    MAX=3*x1+5*x2+4*x3;
    2*x1+3*x2<=1500;
    2*x2+4*x3<=800;
    3*x1+2*x2+5*x3<=2000;
    end
    *注意事项:
    目标函数中加等号
    变量与系数之间用“*”
    Model:-end可省略
    3)结果分析:
    举例:
    OBJECTIVE FUNCTION VALUE
    1) 3360.000
    VARIABLE VALUE REDUCED COST
    X1 20.000000 0.000000
    X2 30.000000 0.000000
    ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES
    2) 0.000000 48.000000
    3) 0.000000 2.000000
    4) 40.000000 0.000000
    NO. ITERATIONS= 2
    分析:
    假设第二行(2))表示的是原料的约束条件,第三行(3))表示的是时间的约束条件,第四行(4))表示的是加工能力的约束条件。则:
    1、达到最优化时,原料无剩余,时间无剩余,加工能力剩余了40。
    2、原料增加1单位时,利润增加48,时间增加1单位时,利润增加2,加工能力增长不影响利润。
    所以,如果35元可买到1桶牛奶,要卖吗?35 <48, 应该买!聘用临时工人付出的工资最多每小时几元? 2元。
    4)敏感性范围的分析:
    最优解不变时目标函数系数允许变化范围
    分析目标函数中未知数的系数以及约束条件中未知数的系数
    X1 72.000000(X1的系数)
    24.000000(增加)
    8.000000(减少)
    x1系数范围(64,96) 在这个范围变化时,最优计划是不变的!
    Objective Coefficient Ranges
    Current Allowable Allowable
    Variable Coefficient Increase Decrease
    X1 3.000000 1.666667 1.000000
    X2 5.000000 1.500000 2.500000
    X3 4.000000 7.000000 3.000000

             Righthand Side Ranges
            Row          Current        Allowable        Allowable
                          RHS            Increase         Decrease
              2         1500.000         500.0000         833.3333
              3         800.0000         1000.000         600.0000
              4         2000.000         1250.000         750.0000
    
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