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  • 常微分方程微分方程的概念方程对于学过中学数学的人来说是比较熟悉的;在初等数学中就有各种各样的方程,比如线性方程、二次方程、高次方程、指数方程、对数方程、三角方程和方程组等等。这些方程都是要把研究的问题...
    常微分方程

    微分方程的概念

    方程对于学过中学数学的人来说是比较熟悉的;在初等数学中就有各种各样的方程,比如线性方程、二次方程、高次方程、指数方程、对数方程、三角方程和方程组等等。这些方程都是要把研究的问题中的已知数和未知数之间的关系找出来,列出包含一个未知数或几个未知数的一个或者多个方程式,然后取求方程的解。

    但是在实际工作中,常常出现一些特点和以上方程完全不同的问题。比如:物质在一定条件下的运动变化,要寻求它的运动、变化的规律;某个物体在重力作用下自由下落,要寻求下落距离随时间变化的规律;火箭在发动机推动下在空间飞行,要寻求它飞行的轨道,等等。

    物质运动和它的变化规律在数学上是用函数关系来描述的,因此,这类问题就是要去寻求满足某些条件的一个或者几个未知函数。也就是说,凡是这类问题都不是简单地去求一个或者几个固定不变的数值,而是要求一个或者几个未知的函数。 

    解这类问题的基本思想和初等数学解方程的基本思想很相似,也是要把研究的问题中已知函数和未知函数之间的关系找出来,从列出的包含未知函数的一个或几个方程中去求得未知函数的表达式。但是无论在方程的形式、求解的具体方法、求出解的性质等方面,都和初等数学中的解方程有许多不同的地方。 

    在数学上,解这类方程,要用到微分和导数的知识。因此,凡是表示未知函数的导数以及自变量之间的关系的方程,就叫做微分方程。 

    微分方程差不多是和微积分同时先后产生的,苏格兰数学家耐普尔创立对数的时候,就讨论过微分方程的近似解。牛顿在建立微积分的同时,对简单的微分方程用级数来求解。后来瑞士数学家雅各布·贝努利、欧拉、法国数学家克雷洛、达朗贝尔、拉格朗日等人又不断地研究和丰富了微分方程的理论。 

    常微分方程的形成与发展是和力学、天文学、物理学,以及其他科学技术的发展密切相关的。数学的其他分支的新发展,如复变函数、李群、组合拓扑学等,都对常微分方程的发展产生了深刻的影响,当前计算机的发展更是为常微分方程的应用及理论研究提供了非常有力的工具。

    牛顿研究天体力学和机械力学的时候,利用了微分方程这个工具,从理论上得到了行星运动规律。后来,法国天文学家勒维烈和英国天文学家亚当斯使用微分方程各自计算出那时尚未发现的海王星的位置。这些都使数学家更加深信微分方程在认识自然、改造自然方面的巨大力量。

    微分方程的理论逐步完善的时候,利用它就可以精确地表述事物变化所遵循的基本规律,只要列出相应的微分方程,有了解方程的方法。微分方程也就成了最有生命力的数学分支。 

    常微分方程的内容 

    如果在一个微分方程中出现的未知函数只含一个自变量,这个方程就叫做常微分方程,也可以简单地叫做微分方程。 

    一般地说,n 阶微分方程的解含有 n个任意常数。也就是说,微分方程的解中含有任意常数的个数和方程的解数相同,这种解叫做微分方程的通解。通解构成一个函数族。 

    如果根据实际问题要求出其中满足某种指定条件的解来,那么求这种解的问题叫做定解问题,对于一个常微分方程的满足定解条件的解叫做特解。对于高阶微分方程可以引入新的未知函数,把它化为多个一阶微分方程组。 

    常微分方程的特点

    常微分方程的概念、解法、和其它理论很多,比如,方程和方程组的种类及解法、解的存在性和唯一性、奇解、定性理论等等。下面就方程解的有关几点简述一下,以了解常微分方程的特点。 

    求通解在历史上曾作为微分方程的主要目标,一旦求出通解的表达式,就容易从中得到问题所需要的特解。也可以由通解的表达式,了解对某些参数的依赖情况,便于参数取值适宜,使它对应的解具有所需要的性能,还有助于进行关于解的其他研究。 

    后来的发展表明,能够求出通解的情况不多,在实际应用中所需要的多是求满足某种指定条件的特解。当然,通解是有助于研究解的属性的,但是人们已把研究重点转移到定解问题上来。

    一个常微分方程是不是有特解呢?如果有,又有几个呢?这是微分方程论中一个基本的问题,数学家把它归纳成基本定理,叫做存在和唯一性定理。因为如果没有解,而我们要去求解,那是没有意义的;如果有解而又不是唯一的,那又不好确定。因此,存在和唯一性定理对于微分方程的求解是十分重要的。 

    大部分的常微分方程求不出十分精确的解,而只能得到近似解。当然,这个近似解的精确程度是比较高的。另外还应该指出,用来描述物理过程的微分方程,以及由试验测定的初始条件也是近似的,这种近似之间的影响和变化还必须在理论上加以解决。 

    现在,常微分方程在很多学科领域内有着重要的应用,自动控制、各种电子学装置的设计、弹道的计算、飞机和导弹飞行的稳定性的研究、化学反应过程稳定性的研究等。这些问题都可以化为求常微分方程的解,或者化为研究解的性质的问题。应该说,应用常微分方程理论已经取得了很大的成就,但是,它的现有理论也还远远不能满足需要,还有待于进一步的发展,使这门学科的理论更加完善。 

    来源:数缘社区和数学中国

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  • 先求通解再确定特解,是求常微分方程定解问题采用的方法,都某些偏微分方程,也能通过积分求出通解,进而确定出满足定解条件的特解。 两个自变量的一阶线性偏微分方程 今有两个自变量的一阶线性偏微分方程。 a(x,y)...

    先求通解再确定特解,是求常微分方程定解问题采用的方法,都某些偏微分方程,也能通过积分求出通解,进而确定出满足定解条件的特解。

    两个自变量的一阶线性偏微分方程

    今有两个自变量的一阶线性偏微分方程。
    a(x,y)ux+b(x,y)uy+c(x,y)u=f(x,y)(1) a(x,y)\frac{\partial u}{\partial x}+b(x,y)\frac{\partial u}{\partial y}+c(x,y)u=f(x,y) \tag{1}
    其中,系数a(x,y),b(x,y),c(x,y)a(x,y),b(x,y),c(x,y)是平面区域DR2D\subset \bold R^2上的连续函数,且a(x,y),b(x,y)a(x,y),b(x,y)不同时为零,f(x,y)f(x,y)在D上连续,称为方程的非齐次项。若f(x,y)0f(x,y)\equiv 0,方程为齐次的。

    思路:将两个自变量的方程化为求一个自变量的方程

    情况1:如果在D上,a(x,y)0,b(x,y)0a(x,y)\equiv 0,b(x,y)\neq 0,方程(1)改写为
    ux+c(x,y)b(x,y)u=f(x,y)b(x,y)(2) \frac{\partial u}{\partial x}+\frac{c(x,y)}{b(x,y)}u=\frac{f(x,y)}{b(x,y)} \tag{2}
    利用一阶线性常微分方程的求解方法得其通解。
    u(x,y)=exp(c(x,y)b(x,y)dy)[exp(c(x,y)b(x,y))f(x,y)b(x,y)dy+g(x)] u(x,y)=exp(-\int \frac{c(x,y)}{b(x,y)}dy)·[\int exp(\int \frac{c(x,y)}{b(x,y)})\frac{f(x,y)}{b(x,y)}dy+g(x)]
    其中,g(x)g(x)为任意C函数。

    情况2:如果在D上,a(x,y)b(x,y)0a(x,y)b(x,y)\neq 0,方程(1)不能直接积分求解,试作待定的自变量代换
    {ξ=φ(x,y)η=ψ(x,y)(a) \begin{cases} \xi=\varphi(x,y) \\ \eta=\psi(x,y) \end{cases} \tag{a}
    要求其雅可比(Jacobi)行列式
    J(φ,ψ)=(φ,ψ)(x,y)=φxφyψxψy0 J(\varphi,\psi)=\frac{\partial (\varphi,\psi)}{\partial(x,y)}= \begin{vmatrix} \frac{\partial \varphi}{\partial x} & \frac{\partial \varphi}{\partial y} \\ \frac{\partial \psi}{\partial x} & \frac{\partial \psi}{\partial y} \end{vmatrix} \neq 0
    以保证新变量ξ,η\xi,\eta的相互独立性,利用链式法则
    ux=uξξx+uηηx=φxuξ+ψxuηuy=uξξy+uηηy=φyuξ+ψyuη \frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial u}{\partial \xi}\frac{\partial \xi}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial \eta}\frac{\partial \eta}{\partial x}=\frac{\partial \varphi}{\partial x}\frac{\partial u}{\partial \xi}+\frac{\partial \psi}{\partial x}\frac{\partial u}{\partial \eta} \\ \frac{\partial u}{\partial y}=\frac{\partial u}{\partial \xi}\frac{\partial \xi}{\partial y}+\frac{\partial u}{\partial \eta}\frac{\partial \eta}{\partial y}=\frac{\partial \varphi}{\partial y}\frac{\partial u}{\partial \xi}+\frac{\partial \psi}{\partial y}\frac{\partial u}{\partial \eta}
    u=u(x,y)u=u(x,y)的方程(1)变为u=u(x(ξ,η),y(ξ,η))=u(ξ,η)u=u(x(\xi,\eta),y(\xi,\eta))=u(\xi,\eta)的新方程
    (aφx+bφy)uξ+(aψx+bψy)uη+cu=f(3) (a\frac{\partial \varphi}{\partial x}+b\frac{\partial \varphi}{\partial y})\frac{\partial u}{\partial \xi}+(a\frac{\partial \psi}{\partial x}+b\frac{\partial \psi}{\partial y})\frac{\partial u}{\partial \eta}+cu=f \tag{3}
    若取ξ=φ(x,y)\xi=\varphi(x,y)是齐次一阶线性偏微分方程
    a(x,y)φx+b(x,y)φy=0(4) a(x,y)\frac{\partial \varphi}{\partial x}+b(x,y)\frac{\partial \varphi}{\partial y}=0 \tag{4}
    的解,则新方程(3)称为(2)型的方程
    (aψx+bψy)uη+cu=f(b) (a\frac{\partial \psi}{\partial x}+b\frac{\partial \psi}{\partial y})\frac{\partial u}{\partial \eta}+cu=f \tag{b}
    η\eta积分便可求出通解。

    以下求解一阶线性偏微分方程(4),它的解对应与相应的常微分方程
    a(x,y)dyb(x,y)dx=0(5) a(x,y)dy-b(x,y)dx=0 \tag{5}
    亦即
    dxa(x,y)=dyb(x,y)(6) \frac{dx}{a(x,y)}=\frac{dy}{b(x,y)} \tag{6}
    的解之间存在确定的关系。

    定理:若φ(x,y)=h\varphi(x,y)=h(常数)是一阶常微分方程(5)在区域D内的隐式通解(积分曲线族),则ξ=φ(x,t)\xi=\varphi(x,t)是一阶线性偏微分方程(4)在区域D上的一个解。

    证明:设φ(x,y)=h\varphi(x,y)=h是方程(5)在D内的隐式通解,则过D内一点(x0,y0)(x_0,y_0)有一条积分曲线Γ0:φ(x,y)=φ(x0,y0)=h0\Gamma_0:\varphi(x,y)=\varphi(x_0,y_0)=h_0,此隐式解满足方程
    dxa(x,y)=dyb(x,y) \frac{dx}{a(x,y)}=\frac{dy}{b(x,y)}
    又沿此积分曲线Γ0\Gamma_0,有
    φxdx+φydy=0 \frac{\partial \varphi}{\partial x}dx+\frac{\partial \varphi}{\partial y}dy=0
    故在Γ0\Gamma_0上,有
    a(x,y)φx+b(x,y)φy=0 a(x,y)\frac{\partial \varphi}{\partial x}+b(x,y)\frac{\partial \varphi}{\partial y}=0
    由于(x0,y0)(x_0,y_0)是D内任意一点,故ξ=φ(x,y)\xi=\varphi(x,y)是一阶线性偏微分方程(4)在D上的解。

    定题的逆命题也成立。

    由常微分方程理论,一阶常微分方程(5)在区域D内存在且仅存在一族独立的积分曲线。如果求出了方程(5)的积分曲线族φ(x,y)=h\varphi(x,y)=h,再任取函数ψ(x,y)\psi(x,y),使在D上J(φ,ψ)0J(\varphi,\psi)\neq 0,以此φ\varphiψ\psi作变量代换(a)式,一阶线性偏微分(1)便可化为可积分求通解的方程(b)。

    特别地,当c(x,y)=f(x,y)0c(x,y)=f(x,y)\equiv 0时,方程(1)即为方程(4),相应的新方程(b)为uη=0\frac{\partial u}{\partial \eta}=0,其通解为u=g(ξ),g(ξ)u=g(\xi),g(\xi)为任意C函数。代回原自变量,得方程
    a(x,y)ux+b(x,y)uy=0 a(x,y)\frac{\partial u}{\partial x}+b(x,y)\frac{\partial u}{\partial y}=0
    的通解u=g(φ(x,y))u=g(\varphi(x,y))。这里,φ(x,y)=h\varphi(x,y)=h是常微分方程(5)的隐式通解,g(ξ)g(\xi)是任意C函数。

    如果给定u在某一曲线Γ:γ(x,y)=d\Gamma:\gamma(x,y)=d上的值,则需求解定解问题
    {a(x,y)ux+b(x,y)uy=0uγ(x,y)=d=θ(y) \begin{cases} a(x,y)\frac{\partial u}{\partial x}+b(x,y)\frac{\partial u}{\partial y}=0 \\ u|_{\gamma(x,y)=d}=\theta(y) \end{cases}
    用定解条件定出通解中的任意函数g(ξ)g(\xi)即可。

    这种求解定解问题的方法称之为通解法。常微分方程(5)或等价的方程(6)称为一阶线性偏微分方程(1)的特征方程,其积分曲线称之为特征曲线

    例1:求解右行单波方程的初值问题
    {ut+aux=0,t>0,<x<+ut=0=φ(x) \begin{cases} \frac{\partial u}{\partial t}+a \frac{\partial u}{\partial x}=0,\quad t>0,-\infty<x<+\infty \\ u|_{t=0}=\varphi(x) \end{cases}
    其中,a>0a>0为常数。

    :特征方程dxadt=0dx-adt=0特征线族xat=hx-at=h

    ξ=xat,η=x\xi=x-at, \eta=x,则方程化为
    uη=0 \frac{\partial u}{\partial \eta}=0
    η\eta积分得通解u=g(ξ)=g(xat)u=g(\xi)=g(x-at),其中,g(ξ)g(\xi)是任意C函数。由初始条件
    ut=0=g(x)=φ(x) u|_{t=0}=g(x)=\varphi(x)
    得该初值问题的解u(t,x)=φ(xat)u(t,x)=\varphi(x-at)

    (x,u)(x,u)平面上看(图1.3.1),t=0t=0u=φ(x)u=\varphi(x),对每个固定时刻t>0u=φ(xat)]t>0,u=\varphi(x-at)],其图形相当于曲线u=φ(x)u=\varphi(x)向右移动了atat,波形的传播速度为aa。称这样的解为右行波解

    (x,t,u)(x,t,u)空间看(图1.3.2),波形沿特征线传播。在特征线xat=hx-at=h上,u=φ(xat)=φ(h)u=\varphi(x-at)=\varphi(h),故当观察者沿某条特征线前行时,看到的波形始终不变。如果初始扰动φ(x)\varphi(x)只发生在区间h1xh2h_1\leq x\leq h_2内,则这个扰动沿着(x,t)(x,t)平面上的特征条形域h1xath2h_1\leq x-at\leq h_2传播。

    在这里插入图片描述

    本例中初始条件给在非特征线的直线t=0t=0上,从通解可唯一确定特解。如果初始条件给在一条特征线xat=h0x-at=h_0上,初始条件uxat=h0=g(xat)xat=h0=g(h0)=φ(x)u|_{x-at=h_0}=g(x-at)|_{x-at=h_0}=g(h_0)=\varphi(x),当φ(x)\varphi(x)为非常值函数时无解,当φ(x)\varphi(x)为常数φ0\varphi_0时有无穷多个解g(ξ)g(\xi),只要g(h0)=φ0g(h_0)=\varphi_0

    对于左行单波方程utaux=0\frac{\partial u}{\partial t}-a\frac{\partial u}{\partial x}=0,同样可求得其通解为左行波u=g(x+at)u=g(x+at)gg为任意C1C^1函数(一阶连续导数)。

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  • 2.3 常微分方程组的数值解法 知识要点 常微分方程初值...逆流壁冷式固定床反应器一维模型 固定床反应器的分散模型 Matlab常微分方程求解问题分类 初值问题 定解附加条件在自变量的一端 一般形式为 初值问题的数值解法一
  • 定解条件1.9. 特解1.10. 显函数形式1.11. 隐函数形式2. 求解方法2.1. 可分离变量型2.2. 齐次型2.3. 一阶齐次线性型2.4. 一阶非齐次线性型2.5. 可降阶型2.6. 二阶可降阶型(缺y)2.7. 二阶可降阶型(缺x)2.8. 二阶...

    1. 基本概念

    在学习常微分方程之前,我们先了解一些基本的概念;我们在中学的时候都学过解方程(如:x2+5=0x^2+5=0 ),不过那都是函数方程( f(x)=0f(x)=0,即含有未知数 xx 的方程)。

    因此,我们就引出了一个新的概念,什么是微分方程?

    1.1. 微分方程 (Differential Equation, D.E.)

    方程中含有未知函数的**导数(或称微分项)**的关系式,如:y+5y=3x(y=f(x))y'+5y = 3x(y=f(x))

    因此,我们便可知道函数方程是关于未知数 xx 的,而微分方程是关于 xx 的导数或微分的。

    1.2. 常微分方程

    一个未知函数及其导数(或微分)的关系式,如:f(x)7f(x)=0f'(x)-7f(x)=0

    这个“常” (Ordinary) 表示平常,也就是一般情况(理想情况)下的微分方程,这个方程只有一个未知函数;正因为如此,我们在尚未进行特殊说明的情况下,默认 D.E. 表示常微分方程。

    1.3. 解

    能使 D.E. 的关系式恒成立的函数,形如 y=f(x)y=f(x)

    先回顾以下我们熟悉的函数方程,它的解是什么?是满足函数关系式的未知数,也就是 x=C(C)x=C(C一般是常数);不难推出 D.E. 的解也要满足关系式,是长成 y=f(x)y=f(x) 的样子。

    1.4. 通解

    带有常数 CC 的解,如:y=C1x2+C2ex()y=C_1x^2+C_2e^x (有两项)

    1.5. 通积分

    1.5. 阶

    1.6. 齐次

    1.7. 线性

    1.8. 定解条件

    1.9. 特解

    1.10. 显函数形式

    1.11. 隐函数形式

    2. 求解方法

    2.1. 可分离变量型

    2.2. 齐次型

    2.3. 一阶齐次线性型

    y+p(x)y=0y' + p(x)y = 0

    方程组的形式为:
    Ax=0Ax = 0

    2.4. 一阶非齐次线性型

    y+p(x)y=q(x)y' + p(x)y = q(x)

    方程组的形式为:
    Ax=bAx = b

    2.5. 可降阶型

    2.6. 二阶可降阶型(缺y)

    2.7. 二阶可降阶型(缺x)

    2.8. 二阶常系数齐次线性型

    2.9. 二阶常系数非齐次线性型

    3. 解的性质

    3.1. 线性组成

    3.2. 线性无关

    3.3. 叠加原理

    From: (回忆大学所学)常微分方程

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  • 微分方程解决实际问题,包括建立微分方程、确定定解条件,从而确定出初值问题,最后求解方程这几个主要步骤。由于问题的广泛性在建立微分方程时要涉及多方面的科学知识. 因而,这一步骤有一定的难度. 但是在建立...
  • 二阶常微分方程的通中含有两个任意常数,故而不唯一确定。 只有偏微分方程同样如此: 在推导方程时,我们只考虑了介质的内部,并没有考虑介质通过表面与外界的相互作用。因此,严格来说,方程只适用于介质...

    • 根据牛顿第二定律列出的运动学方程并不能准确的确定质点的运动。
    • 要完全确定一个质点的运动,除了微分方程之外,还必须有初始条件。
    • 二阶常微分方程的通解中含有两个任意常数,故而解不唯一确定。
    • 只有偏微分方程同样如此:
      在这里插入图片描述

    • 在推导方程时,我们只考虑了介质的内部,并没有考虑介质通过表面与外界的相互作用。因此,严格来说,方程只适用于介质内部。
    • 如果问题与时间有关的话,在推导方程时也并没有考虑介质的历史情况。因此,方程也只适用于初始时刻t > 0以后的任意时刻。

    综上所述,为了完全描写一个具有确定解的物理问题,在数学上就是要构成一个定解问题:除了微分方程之外,还必须有边界条件和初始条件(包含时间时)。

    初始条件:
    • 对于波动方程来说,应该给出初始时刻的位移和速度:
      在这里插入图片描述
      x,y,z包含了边界。
    • 对于热传导方程,由于方程中只出现未知函数u对t的一阶偏微商,所以只需给出初始时刻的温度:
      在这里插入图片描述

    初始条件应该完全描写初始时刻介质内部及边界上任意一点的状况。


    波动方程中的边界条件
    • 弦的横振动:两端固定。
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    • 杆的纵振动:一端固定,
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      另一端受x方向上的外力作用,单位面积上的力是F(t)。
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      进而
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      利用胡克定律:
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      如果外力是0,即x = l端是自由的,则
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      如果外力F(t)不是一个确定的已知函数,而是由弹簧提供的弹性力,则
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      于是:
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    热传导问题中的边界条件
    • 边界上各点温度已知:
      在这里插入图片描述
    • 单位时间内、通过单位面积的边界面流入的热量已知:
      由介质表面流入的热量应当全部通过薄层的底面流向介质内部,所以边界条件为
      在这里插入图片描述
      其中
      在这里插入图片描述
      当边界绝热时上式等于0。

    当介质通过边界按照牛顿冷却定律散热时,单位时间通过单位面积表面和外界交换的热量与介质表面温度u|和外界温度u0之差成正比,取比例系数为H,有
    在这里插入图片描述

    总结
    波动方程 热传导方程 类型
    边界位移已知 边界温度已知 第一类边界条件
    边界受力已知(边界自由) 边界流入热量已知(边界绝热) 第二类边界条件
    边界有外加弹性力 边界按牛顿冷却定律散热 第三类边界条件

    其数学形式分别为:
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述


    补充讨论:

    1. 整个边界面上,各点的边界条件并不一定能有统一的表达式,也不见得同属一种类型。上面讨论的弹性杆的边界条件(例如一端固定,另一端自由)就是如此。
    2. 无界空间的问题(在问题研究的尺度下,物理过程到达不了边界、边界发生的物理过程也不影响研究):边界条件应当给出未知函数在无穷远处的极限行为,例如函数乃至其导数在无穷远处有界
    3. 在有界空间的问题中,有时也要出现有界条件,例如采用极坐标系、柱坐标系或球坐标系时,偏微商在坐标原点失去意义,因而需要针对具体情况,在坐标原点补充上有界条件。
      在这里插入图片描述

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  • 微分方程包括:常微分方程ode与偏微分方程pde 偏微分方程阶数:方程中存在的最高阶数 线性偏微分方程:方程中未知函数u及其导数都是线性的 齐次偏微分方程:齐次+线性偏微分方程,齐次是指f(x,t)=0 拟线性偏微分...
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  • 1.ode23: 显式的单步Runge-Kutta低阶(2阶到3阶)解法。适用具有一定难度对精度要求不高,或者f(t,y)...Tspan = [t0,tN]是常微分方程求解区域;或具体节点. 例:linspace(a,b,step) y0是表示初始条件 例1: function t
  • 且在这个初值点的附近有利普希茨条件成立的话,那么在这个初值点的附近的内部(注意是附近的内部,附近的内部,初值点附近的内部,具体是多内部得是情况而)就有这个微分方程存在且唯一这个性质,在证明这个...
  • 分离变数法,适用于大量的各种各样定解问题,其基本思想为把偏微分方程分解为几个常微分方程,其中有的带有附加条件常微分方程构成本征值问题。这是一种普适的求解方法,本文所涉及的本征函数为三角函数,本征函数...
  • 把时变电磁场中的达朗贝尔方程加以定解条件,使其成为定解问题.并用重傅氏积分变换法把三维非齐次偏微分波动方程变为常微分方程,使其求解过程大为简化,并推导出了时变电磁场的动态位函数和电磁渡激励源之间准确的...
  • Matlab实现有限差分法

    千次阅读 2020-12-03 10:52:23
    微分方程的定解问题就是在满足某些定解条件下求微分方程的解。在空间区域的边界上要满足的定解条件称为边值条件。如果问题与时间有关,在初始时刻所要满足的定解条件,称为初值条件。不含时间而只带边值条件的定解...
  • 复杂可变边界元方法(CVBEM)程序已扩展到在矩形域上建模二维线性扩散偏微分方程(PDE)的应用。 这项工作中的方法适用于用Dirichlet边界条件和边界上等于边界条件的初始条件对扩散问题进行建模。 建模方法的基础是...
  • 有限差分法

    2014-10-17 15:42:00
     微分方程的定解问题就是在满足某些定解条件下求微分方程的解。在空间区域的边界上要满足的定解条件称为边值条件。如果问题与时间有关,在初始时刻所要满足的定解条件,称为初值条件。不含时间而只带边值条件的定解...
  • 行波法与积分变换法 本文分为行波法和积分变换法两部分讲解总结,文章较...1.思路:仿照求解常微分方程的先求通,再用初始条件求特的方法。 2.引入坐标变换求(1)的通: 选择{ξ=(x+at)η=(x−at)即{x=(1/2)(ξ+η)
  • 题型总结

    2020-12-11 15:52:14
    文章目录前言一、总结二、题型汇总1.常微分方程 vs 偏微分方程2....给出定解条件来进行解方程,该类问题成为定解问题。下面给出各类问题的求解方法: 有初值 && 有界:分离变量法 有初值 &&..
  • 它受一组n个模函数$$ H_s(z)$$ Hs(z)的约束,它们服从n个常微分方程,并施加了一定的边界条件。 早先有人推测这些函数应该是多项式,即所谓的磁通多项式。 这些多项式取决于积分常数$$ q_s $$ qs,$$ s = 1,\ ...
  • 上页 下页 第9章 常微分方程初值问题数值解法 9.1 引言 9.2 简单的数值方法 9.3 龙格-库塔方法 其中f (x,y)是已知函数(1.2)是定解条件也称为 初值条件 各种数值解法 本章主要讨论一阶常微方程的初值问题 9.1 引 言 ...
  • 采用行波解法,将每个方程组转化为对应的单个常微分方程。对派生方程的定性分析表明,在一定条件下这些方程在相平面上存在同宿轨道或异宿轨道,分别对应着孤立波和冲击波。将外加载荷和阻尼作为对系统的摄动,利用...
  • 4. 微分方程的通、初始条件、特 2.可分离变量微分方程 1. 可分离变量微分方程的引入 2. 可分离变量微分方程的定义和解法 3. 求解可分离变量微分方程 3.一阶线性微分方程 1. 一阶线性微分方程 2. 齐次一阶...
  • 4.3 由反求常微分方程 4.4 解析函数的幂级数展开 第五章 卷积型级数的Mobius反演 5.1 定义 5.2 应用 5.3 卷积型级数Mobius反演与柱函数 5.4 卷积型积分变换的Mobius反演 第六章 应用留数定理计算积分 6.1 几个...
  • 第八章 常微分方程论 8·1 一般概念 8·2 一阶微分方程 8·3 高阶微分方程 8·4 高阶线性微分方程 8·5 二阶微分方程 8·6 线性微分方程组 8·7 定性理论与稳定性理论初步 8·8 微分方程在力学、电学中的应用 第九章...
  • 张宇带你学高数

    2018-06-11 13:35:26
    系数非齐次线性微分方程的通 7.3.3.欧拉方程 7.3.4.系数线性微分方程组 7.4.应用 7.4.1.几何 7.4.2.物理 第八章 向量代数与空间解析几何(数一) 8.1.向量 8.1.1.基本概念 几何意义 坐标表示 模、方向角、投影...
  • C++常用算法程序集

    热门讨论 2011-03-24 09:15:32
    第7章 常微分方程组的求解399 7.1 步长欧拉方法399 7.2 变步长欧拉方法404 7.3 维梯方法409 7.4 步长龙格-库塔方法414 7.5 变步长龙格-库塔方法419 7.6 变步长基尔方法424 7.7 变步长默森方法430 7.8 连分式法...
  • 9.12 变步长辛卜生二重积分方法 9.13 计算多重积分的高斯方法 9.14 计算二重积分的连分方式 9.15 计算多重积分的蒙特卡洛法 第10章 常微分方程组的求解 10.1 全区间积分的步长欧拉方法 10.2 积分一步的变步长欧拉...
  • 第10章 常微分方程组的求解 10.1 全区间积分的步长欧拉方法 10.2 积分一步的变步长欧拉方法 10.3 全区间积分维梯方法 10.4 全区间积分的步长龙格-库塔方法 10.5 积分一步的变步长龙格-库塔方法 10.6 积分一步的...
  • 第10章 常微分方程组的求解 10.1 全区间积分的步长欧拉方法 10.2 积分一步的变步长欧拉方法 10.3 全区间积分维梯方法 10.4 全区间积分的步长龙格-库塔方法 10.5 积分一步的变步长龙格-库塔方法 10.6 积分一步的...

空空如也

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常微分方程定解条件