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  • 05常微分方程数值.ppt第五章,常微分方程数值解法,(Numerical s for Ordinary Differential Equations ),...称 在区域D上对 满足Lipschitz条件 是指,二、初值问题的存在性, 考虑一阶常微分方程的初值问题 /* Init...

    05常微分方程数值解.ppt

    第五章,常微分方程数值解法,(Numerical s for Ordinary Differential Equations ),常微分方程分为 (1)初值问题 (2)边值问题,一、初值问题的数值解法,1 引 言,一阶常微分方程初值问题的一般形式是,称 在区域D上对 满足Lipschitz条件 是指,二、初值问题解的存在性, 考虑一阶常微分方程的初值问题 /* Initial-Value Problem */则上述IVP存在唯一解。,只要 在 上连续,且关于 y 满足 Lipschitz 条件,,即存在与 无关的常数 L 使,对任意定义在 上的 都成立,,要计算出解函数 yx 在一系列节点 a x0 x1 xn b 处的近似值 采用离散化方法。,称节点间距 为步长, 通常采用等距节点,即取 hi h 常数。,三、初值问题的离散化方法,离散化方法的基本特点是依照某一递推公式,,值 ,取 。,按节点从左至右的顺序依次求出 的近似,如果计算 需用到前r步的值 , ,则称这类方法为r步方法。,2 欧拉方法 /* Eulers */, 欧拉公式单步显示公式),向前差商近似导数亦称为欧拉折线法 /* Eulers polygonal arc */,在假设 yi yxi,即第 i 步计算是精确的前提下,考虑的截断误差 Ri yxi1 yi1 称为局部截断误差 /* local truncation error */。,定义,若某算法的局部截断误差为Ohp1,则称该 算法有p 阶精度。,定义, 欧拉法的局部截断误差,Ri 的主项 /* leading term */,欧拉法具有 1 阶精度。,例1 用欧拉公式求解初值问题,取步长 。,解 应用Euler公式于题给初值问题的具体形式为,其中 。,计算结果列于下表可用来检验近似解的准确程度。,进行计算,数值解已达到了一定的精度。,这个初值问题的准确解为 ,,从上表最后一列,我们看到取步长, 欧拉公式的改进, 隐式欧拉法 /* implicit Euler */,向后差商近似导数由于未知数 yi1 同时出现在等式的两边,不能直接得到,故称为隐式 /* implicit */ 欧拉公式,而前者称为显式 /* explicit */ 欧拉公式。一般先用显式计算一个初值,再迭代求解。, 隐式欧拉法的局部截断误差,即隐式欧拉公式具有 1 阶精度。, 梯形公式 /*trapezoid ula */, 显、隐式两种算法的平均注的确有局部截断误差 ,,即梯形公式具有2 阶精度,比欧拉方法有了进步。,但注意到该公式是隐式公式,计算时不得不用到,迭代法,其迭代收敛性与欧拉公式相似。, 中点欧拉公式 /* midpoint ula */,中心差商近似导数假设 ,则可以导出 即中点公式具有 2 阶精度。,简单,精度低,稳定性最好,精度低, 计算量大,精度提高,计算量大,精度提高, 显式,多一个初值, 可能影响精度,Cant you give me a ula with all the advantages yet without any of the disadvantages,Do you think it possible,Well, call me greedy,OK, lets make it possible., 改进欧拉法 /* modified Eulers */,Step 1 先用显式欧拉公式作预测,算出注此法亦称为预测-校正法 /* predictor-corrector */,可以证明该算法具有 2 阶精度,同时可以看到它,是个单步递推格式,比隐式公式的迭代求解过程,简单。后面将看到,它的稳定性高于显式欧拉法。,改进的欧拉法,在实际计算时,可将欧拉法与梯形法则相结合, 计算公式为,应用改进欧拉法,如果序列 收敛它的极限便满足方程,改进欧拉法的截断误差,因此,改进欧拉法公式具有 2 阶精度,例2,用改进Euler公式求解例1中的初值问题,,取步长 。,解对此初值问题采用改进Euler公式, 其具体形式为计算结果列于下表改进的Euler法,Euler法,通过计算结果得比较可以看出,改进的Euler方法,的计算精度比Euler方法要高。,3 龙格 - 库塔法 /* Runge-Kutta */,建立高精度的单步递推格式。,单步递推法的基本思想是从 xi , yi 点出发,,欧拉法及其各种变形所能达到的最高精度为2阶。,以某一斜率沿直线达到 点。, 考察改进的欧拉法,可以将其改写为斜率 一定取K1 K2 的平均值吗,步长一定是一个h 吗,首先希望能确定系数 1、2、p,使得到的算法格式有2阶精度,即在 的前提假设下,使得,Step 1 将 K2 在 xi , yi 点作 Taylor 展开Step 2 将 K2 代入第1式,得到,Step 3 将 yi1 与 y xi1 在 xi 点的泰勒展开作比较,要求 ,则必须有这里有 个未知数, 个方程。,3,2,存在无穷多个解。所有满足上式的格式统称为2阶龙格 - 库塔格式。,注意到, 就是改进的欧拉法。,为获得更高的精度,应该如何进一步推广,其中i i 1, , m ,i i 2, , m 和 ij i 2, , m; j 1, , i1 均为待定系数,确定这些系数的步骤与前面相似。,考虑一阶常微分方程初值问题将区域a,b进行分划,若则,n级显式Runge-Kutta方法二阶Runge-Kutta方法,取n2,记,由此得,另一方面,为使局部截断误差为 ,应取,改进的Euler方法,取,中点方法,取,二阶Heun方法,取,二级Runge-Kutta方法不超过二阶,记,则,因此局部截断误差只能达到,三级Runge-Kutta方法,取n3,记,又由于,因此要使局部截断误差为 ,必须,Kutta方法,取,三阶Heun方法,取,三级Runge-Kutta方法不超过三阶,完全类似于二级Runge-Kutta方法的分析,只能达到,三级Runge-Kutta方法的局部截断误差,将 和 都展开到 项,易证,四级R-K方法,取n4,局部截断误差为Oh5,最常用为四级4阶经典龙格-库塔法 /* Classical Runge-Kutta */ ,附注,二阶Runge-Kutta方法的局部截断误差 只能达到,五阶Runge-Kutta方法的局部截断误差 只能达到,四阶Runge-Kutta方法的局部截断误差 只能达到,三阶Runge-Kutta方法的局部截断误差 只能达到,注 龙格-库塔法的主要运算在于计算 的值,即计算 的值。Butcher 于1965年给出了计算量与可达到的最高精度阶数的关系, 由于龙格-库塔法的导出基于泰勒展开,故精,太好的解,最好采用低阶算法而将步长h 取小。,度主要受解函数的光滑性影响。对于光滑性不,4 单步方法的收敛性与稳定性 /* Convergency and Stability */, 收敛性 /* Convergency */,例就初值问题 考察欧拉显式格式的收敛性。,解该问题的精确解为,欧拉公式为,对任意固定的 x xi i h ,有 稳定性 /* Stability */,例考察初值问题 在区间0, 0.5上的解.分别用欧拉显、隐式格式和改进的欧拉格式计算数值解。,1.0000 2.0000 4.0000 8.0000 1.6000101 3.2000101,1.0000 2.5000101 6.2500102 1.5625102 3.9063103 9.7656104,1.0000 2.5000 6.2500 1.5626101 3.9063101 9.7656101,1.0000 4.9787102 2.4788103 1.2341104 6.1442106 3.0590107,What is wrong ,一般分析时为简单起见,只考虑试验方程 /* test equation */常数,可以是复数,我们称算法A 比算法B 稳定,就是指 A 的绝对稳定 区域比 B 的大。,当步长取为 h 时,将某算法应用于上式,并假设只在,初值产生误差 ,则若此误差以后逐步衰减,就称该算法相对于 绝对稳定, 的全体构成,绝对稳定区域。,例考察显式欧拉法,由此可见,要保证初始误差0 以后逐步衰减, 必须满足,例考察隐式欧拉法可见绝对稳定区域为注一般来说,隐式欧拉法的绝对稳定性比同阶的显式法的好。,例隐式龙格-库塔法,其中2阶方法 的绝对稳定 区域为,无条件稳定,而显式 1 4 阶方法的绝对稳定区域为,

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  • 但之前求解微分方程的解析方法主要是应用于一些简单和特殊的微分方程求解中,对于一般形式的微分方程,一般很难用解析方法求出精确,只能用数值方法求解。而在具体求解微分方程中,一般来说是条件是 KaTeX parse ...

    在惯性导航以及VIO等实际问题中利用IMU求解位姿需要对IMU测量值进行积分得到需要的位置和姿态,其中主要就是求解微分方程。但之前求解微分方程的解析方法主要是应用于一些简单和特殊的微分方程求解中,对于一般形式的微分方程,一般很难用解析方法求出精确解,只能用数值方法求解。该系列主要介绍一些常用的常微分方程的数值解法,主要包括:

    这个系列后面文章会用到前面文章的理论和技术,所以建议按照顺序查看。

    简介

    而在具体求解微分方程中,一般来说给定的条件是
    { x ′ ( t ) = f ( t , x ( t ) ) , a ≤ t ≤ b x ( t 0 ) = x 0 \begin{cases} \mathbf{x}^{\prime}(t)=f(t, \mathbf{x}(t)), \quad a \leq t \leq b \\ \mathbf{x}({t_0}) = x_0 \end{cases} {x(t)=f(t,x(t)),atbx(t0)=x0
    即给定微分方程以及原方程在初始点的值,求原方程在某个 t t t下的 x ( t ) x(t) x(t)原方程的值,这类问题就是(一阶)常微分方程初值求解问题。
    (这里不对常微分方程或者偏微分方程等概念,以及求解微分方程的其他条件如边界条件情况做详细介绍,需要了解的话可以自己google,不影响本系列介绍。)

    解法介绍

    一般来说,(一阶)常微分方程数值解法基本思想是:
    在区间 [ a , b ] [a, b] [a,b]中插入一系列间隔相同为 Δ t \Delta t Δt的离散点
    a ≤ t 0 < t 1 < ⋯ < t i < ⋯ < t n − 1 < t n ≤ b a \leq t_0 < t_1< \cdots < t_i < \cdots < t_{n-1} < t_n \leq b at0<t1<<ti<<tn1<tnb
    常微分方程的数值解法的目的就是在给定合适初始值前提下,建立求解 x ( t ) x(t) x(t)的近似值 x t x_t xt的递推方式,这样求得 x ( t ) x(t) x(t)在各个离散点的近似值。
    给定一个具体的时间间隔 Δ t \Delta_t Δt,可以把该方程转换成差分方程
    x ( t + Δ t ) = x ( t ) + ∫ τ ∈ [ t , t + Δ t ] f ( τ , x ( τ ) ) d τ , a ≤ t ≤ b , (1) \mathbf{x}(t+\Delta t)=\mathbf{x}(t)+\int_{\tau \in [t, t+\Delta t]} f(\tau, \mathbf{x}(\tau)) d \tau, \quad a \leq t \leq b, \tag{1} x(t+Δt)=x(t)+τ[t,t+Δt]f(τ,x(τ))dτ,atb,(1)
    这样利用之前说的离散点可以把 t t t离散化,那么 t i = a + i Δ t t_{i}=a+i \Delta t ti=a+iΔt以及 x i ≈ x ( t i ) \mathbf{x}_{i} \approx \mathbf{x}(t_{i}) xix(ti),所以上面公式 ( 2 ) (2) (2)也可以写成
    x ( t i + 1 ) ≈ x i + 1 = x i + ∫ τ ∈ [ a + i Δ t , a + ( i + 1 ) Δ t ] f ( τ , x ( τ ) ) d τ , (2) \mathbf{x}(t_{i+1}) \approx x_{i+1}=\mathbf{x}_{i}+\int_{\tau \in [a+i \Delta t, a+(i+1) \Delta t]} f(\tau, \mathbf{x}(\tau)) d \tau, \tag{2} x(ti+1)xi+1=xi+τ[a+iΔt,a+(i+1)Δt]f(τ,x(τ))dτ,(2)

    截断误差

    上节介绍常微分方程的数值解法就是利用初值和离散点获得近似值 x t x_t xt,但是和真实值 x ( t ) x(t) x(t)之前还是存在误差,即
    e i = x i − x ( t i ) , (3) \boldsymbol{e}_i = x_i - \mathbf{x}(t_i), \tag{3} ei=xix(ti),(3)
    e i \boldsymbol{e}_i ei则表示该数值解法在离散点 t i t_i ti处的局部截断误差。局部截断误差在一定程度上反应了该数值解法的精度。
    一般来说常用泰勒展开式来计算讨论局部截断误差,后面具体方法会给出具体的对应的截断误差的讨论。这里简单给出定义:
    如果数值解法的局部截断误差为 e i = O ( Δ t P + 1 ) \boldsymbol{e}_i = \boldsymbol{O}(\Delta t^{P+1}) ei=O(ΔtP+1),则称该解法具有P阶精度或P阶解法

    这里 O ( Δ t P + 1 ) \boldsymbol{O}(\Delta t^{P+1}) O(ΔtP+1)为泰勒展开式的余项

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  • 常微分方程——的延拓性定理

    千次阅读 2020-03-21 17:06:14
    文章目录定理推论例题对初值的连续性和可微性理解对初值的连续依赖理解对初值的连续性理解对初值的可微性 定理 推论 例题 对初值的连续性和可微性定理 对初值的连续依赖定理 对初值的连续性...

    定理

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    推论

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    例题

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    解对初值的连续性和可微性定理

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    解对初值的连续依赖定理

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    解对初值的连续性定理

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    解对初值的可微性

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  • 第03讲 一阶线性常微分方程解法Linear First Order ODE's: Definition and Examples[微分方程][MIT]麻省理工公开课 (3)​v.youku.com一阶线性微分方程这一讲的主要内容是一阶线性常微分方程 。所谓的“线性”是指导...

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    第03讲 一阶线性常微分方程解法

    Linear First Order ODE's: Definition and Examples

    [微分方程][MIT]麻省理工公开课 (3)​v.youku.com
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    • 一阶线性微分方程

    这一讲的主要内容是一阶线性常微分方程

    。所谓的“线性”是指导函数y¢和解函数y之间呈线性关系,可以类比线性方程
    。如果
    c=0,则称为齐次方程。

    一阶线性常微分方程的标准线性形式为

    ,这一表达式突出了“线性”。还有一种常用写法是
    ,这以表达式只突出了“一阶”,两者在
    p( x)的符号上有差异,要注意分别,弄错了会完全搞错解函数的性质。Mattuck教授只使用第一种形式。

    一阶线性常微分方程之所以重要,一方面是它总是可解的,而另一方面则是它在建模中应用广泛。

    • 数学模型

    几种重要的微分方程模型:

    温度—浓度模型

    混合模型

    放射性衰变模型

    银行利率模型

    运动模型

    下面介绍“温度—浓度模型”,它又可以称为“传导—扩散模型”,其内涵都是相同的,只是应用领域有差异,传导是针对温度变化,而扩散是对应浓度变化。

    传导模型:在液体池内部悬浮一个金属块,其外壁部分隔热。金属块的温度T与液体的温度Te并不相等,温度变化符合“牛顿冷却定律”

    ,其中热导常数
    ,初值为

    扩散模型:在盐水池内部有一内部空间,其中盐浓度C与外部盐浓度Ce有所差异,两者之间有半透膜可以完成盐分的扩散过程,扩散方程为扩散率等于常数乘以浓度差,

    将传导模型写成标准格式为

    。而更一般形式的方程是导热常数
    k和外部温度都可以随着时间改变。
    • 解微分方程

    微分方程

    ,方程可以用积分因子法求解。将积分因子u(x)乘到微分方程两侧得到
    。若左侧是某个函数的导函数,则将方程两侧同时对
    x积分就可以得到解函数,因此努力将等式左侧拼凑成导数的形式。注意到等式左侧第一项就是两函数之乘积 uy的导函数的第一项
    ,因此很容易想到
    可以凑成
    ,只要
    就行了。可得
    ,即
    。当然这个积分因子不止一个,但是只要求出一个就可以了,因此不用在积分上添加常数项。

    小结:微分方程

    (0) 写成如上式的标准形式,这样可以避免p(x)带符号因其的计算错误。

    (1) 计算积分因子

    (2) 将方程两侧同时乘以积分因子

    (不要忘记右侧也要乘)。

    (3) 对等式两侧积分。

    例1

    (0) 写标准形式

    (1) 计算积分因子

    (2) 将方程两侧同时乘以积分因子

    (3) 对等式

    两侧积分得到
    。得到

    例2

    (0) 写标准形式

    (1) 计算积分因子

    ,因此

    (2) 将方程两侧同时乘以积分因子

    (呵呵,这就是原方程)。

    (3) 对等式

    两侧积分得到
    。得到

    如果给定了微分方程的初值条件为

    ,则将
    x=0代入上面的解析式求出常数 C。得到解函数为
    • 线性常系数微分方程

    传导模型

    。积分因子为
    。方程两边同时乘以积分因子得到
    。两侧积分可得到
    。得到:

    最好写成定积分的形式

    。若初值条件为
    ,则有
    。因为
    ,所以
    随时间变化趋向于0,解函数的前半部分就是所谓的“稳态解”,在
    t趋近于无穷时候,稳态解表示了 T 的状态;而后一项
    则是暂态解,在
    t趋近于无穷的时候会消失。这告诉我们,从长远来看,初值对于最终的结果没有影响。
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  • 施加非负约束不一定总是可有可无,在某些情况下,由于方程的物理解释或性质的原因,可能有必要施加非负约束。仅在必要时对施加此约束,例如不这样做积分就会失败或者将不适用的情况。 如果的特定分量必须为...
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  • 常微分方程 笔记

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    千次阅读 2020-04-04 14:24:08
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    千次阅读 2019-09-25 07:01:27
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空空如也

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常微分方程定解条件