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    常微分方程数值求解的一般概念

    常微分方程数值求解的一般概念

    1. 求解微分方程概念
      求解常微分方程初值问题就是寻找函数y(t)使之满足如下方程:
      y’=f(t,y),t0≤t≤b ,y(t0)=y0
      所谓其数值解法,就是求y(t)在离散结点tn处的函数近似值yn的方法,yn≈y(xn)。 这些近似值称为常微分方程初值问题的数值解。相邻两个结点之间的距离称为步长。

    2. 两种方法:

    • 单步法:在计算yn+1时只用到前一步的yn,因此在有了初值之后就可以逐步往下计算, 其代表是龙格-库塔(Runge-Kutta)法。
    • 多步法:在计算yn+1时,除了用到前一步的值yn之外,还要用到yn-p(p=1,2,…,k, k>0)的值,即前面的k步。其代表就是亚当斯(Adams)法。

    常微分方程数值求解函数

    常微分方程数值求解函数

    • 调用格式
      [t,y]=solver(filename,tspan,y0,option)
    1. t和y分别给出时间向量和相应的数值解。
    2. solver为求常微分方程数值解 的函数(即下面表格中的函数)。
    3. filename是定义f(t,y)的函数名,该函数必须返回一个列向量。
    4. tspan形式为[t0,tf],表示求解区间。
    5. y0是初始状态向量。
    6. Option是可选参数, 用于设置求解属性,常用的属性包括相对误差值RelTol(默认值是10-3)和绝对误 差值AbsTol(默认值是10-6)。
    • 常微分方程数值求解函数的统一命名格式:
      odennxx
    1. ode是Ordinary Differential Equation的缩写,是常微分方程的意思。
    2. nn是数字,代表所用方法的阶数。
      例如,ode23采用2阶龙格-库塔(Runge-Kutta)算法,用3阶公式做误差估计来调节步长,具有低等精度。
      ode45采用4阶龙格-库塔算法,用5阶公式做误差估计来调节步长,具有中
      等精度。
    3. xx是字母,用于标注方法的专门特征。例如,ode15s、ode23s中的“s”
      代表(Stiff),表示函数适用于刚性方程。

    求常微分方程数值解的函数

    在这里插入图片描述

    举几个个栗子

    例一

    在这里插入图片描述

    f=@(t,y) (y^2-t-2)/4/(t+1);
    [t,y]=ode23(f,[0,10],2);
    y1=sqrt(t+1)+1;%精确计算
    plot(t,y,'b:',t,y1,'r');%绘图比较一下精确计算与数值求解的结果,从图形可以看出拟合较好
    

    在这里插入图片描述

    例二

    在这里插入图片描述

    f=@(t,x) [-2,0;0,1]*[x(2);x(1)]; 
    [t,x]=ode45(f,[0,20],[1,0]); %四个未知数
    subplot(2,2,1);plot(t,x(:,2));
    subplot(2,2,2);plot(x(:,2),x(:,1));
    

    在这里插入图片描述

    刚性问题

    有一类常微分方程,其解的分量有的变化很快,有的变化很慢,且相差悬殊,这就是所谓的刚性问题(Stiff)。
    对于刚性问题,数值解算法必须取很小步长才能获得满意的结果,导致计算
    量会大大增加。解决刚性问题需要有专门方法。非刚性算法可以求解刚性问
    题,只不过需要很长的计算时间。

    举个例子

    假如点燃一个火柴,火焰球迅速增大直至某个临界体积,然后,维持这一体积不变,原因是火焰球内部燃烧耗费的氧气和从球表面所获氧气达到平衡。其简化模型如下:
    在这里插入图片描述
    其中,y(t)代表火焰球半径,初始半径是λ,它很小。分析λ的大小对方程求解过程的影响。
    这里列出两个方法,通过对比时间长短体会刚性问题的特殊解法。

    lamada较大采用非刚性解法
    lamda=0.01; %lamada较大
    f=@(t,y) y^2-y^3;
    tic;%记录开始时间
    [t,y]=ode45(f,[0,2/lamda],lamda);%非刚性解法
    toc ;%记录结束时间
    disp(['ode45计算的点数' num2str(length(t))]);
    结果:
    时间已过 0.061455 秒。%时间较短,说明此时没有较明显的刚性
    ode45计算的点数157
    
    lamada较小,两种方法对比
    非刚性解法:
    lamda=1e-5; %lamda特别小
    f=@(t,y) y^2-y^3; 
    tic;
    [t,y]=ode45(f,[0,2/lamda],lamda);
    toc;
    disp(['ode45计算的点数' num2str(length(t))]);
    结果:
    时间已过 0.230707 秒。
    ode45计算的点数120565%时间长,点数多表明明显的钢性特征
    
    刚性解法:
    lamda=1e-5;
    f=@(t,y) y^2-y^3; 
    tic;
    [t,y]=ode15s(f,[0,2/lamda],lamda);
    toc 
    disp(['ode15s计算的点数' num2str(length(t))])
    结果:
    时间已过 0.044472 秒。
    ode15s计算的点数98
    
    展开全文
  • 本节将介绍常微分方程初值问题的数值求解,主要内容分为三个部分:常微分方程数值求解的概念、求解函数及刚性问题。 一、常微分方程数值求解的一般概念 首先,凡含有参数,未知函数和未知函数导数 (或微分) 的方程,...

    本节将介绍常微分方程初值问题的数值求解,主要内容分为三个部分:常微分方程数值求解的概念、求解函数及刚性问题。
    一、常微分方程数值求解的一般概念
    首先,凡含有参数,未知函数和未知函数导数 (或微分) 的方程,称为微分方程,有时简称为方程,未知函数是一元函数的微分方程称作常微分方程,未知函数是多元函数的微分方程称作偏微分方程。微分方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数,称为微分方程的阶。
    常微分方程数值求解,指研究求解初值问题各类数值方法的构造、理论分析与数值实现问题。研究的主要对象为一阶方程组初值问题:
    在这里插入图片描述
    其中,其中y=y(x)是未知函数,y(x0)=y0是初值条件,而f(x,y)是给定的二元函数。
    所谓其数值解法,就是求y(x)在离散结点xn处的函数近似值yn 的方法 ,yn≈y(xn)。这些近似值称为常微分方程初值问题的数值解。相邻两个结点之间的距离称为步长。
    这里主要介绍两种:单步法和多步法
    单步法:在计算y(n+1)时只用到前一步的y(n),因此在有了初值之后就可以逐步往下计算,其代表是龙格- - 库塔( Runge- - Kutta ) 法
    多步法:在计算y(n+1)时,除了用到前一步的值y(n)之外, , 还要用到y(n-p)( p=1,2 , … ,k,k>0)的值, , 即前面的k步。其代表就是亚当斯 (Adams) 法
    更多介绍可参见这个链接:
    https://wenku.baidu.com/view/cafe161b9a6648d7c1c708a1284ac850ad0204fc.html
    二、常微分方程求解函数
    MATLAB 提供了多个求常微分方程初值问题数值解的函数,一般调用格式为:
    [t,y]=solver(filename,tspan,y0,option)
    其中,t和y分别给出时间向量和相应的数值解。solver为求常微分方程数值解的函数。filename 是定义 f(t ,y) 的函数名,该函数必须返回一个列向量。
    tspan 形式为 [t0,tf],表示求解区间。 y0 是初始状态向量。Option 是可选参数,用于设置求解属性,常用的属性包括相对误差值 RelTol(默认值是10的-3次方)和绝对误差值 AbsTol( ( 默认值是10的-6次方)。
    常微分方程数值求解函数的统一命名格式:
    odennx
    ode是Ordinary Differential Equation 的缩写,是常微分方程的意思。
    nn 是数字,代表所用方法的阶数。例如,ode23采用2阶龙格- - 库塔( Runge- - Kutta )算法 ,用3阶公式做误差估计来调节步长,具有低等精度。ode45 采用4阶龙格- - 库塔算 法 ,用5阶公式做误差估计来调节步长,具有中等精度。
    x是字母,用于标注方法的专门特征。例如, ode15s 、ode23s 中的“s”代表( Stiff ),表示函数适用于刚性方程。
    下表列出了求常微分方程数值解的函数:

    求解函数 采用方法 适用场合
    ode23 2 阶或3阶 Runge- - Kutta 算法,低精度 非刚性
    ode45 4 阶或5阶 Runge- - Kutta 算法,中精度 非刚性
    ode113 Adams 算法,精度可到10的-3次方至10的-6次方 非刚性,计算时间比 ode45
    ode23t 梯形算法 适度刚性
    ode15s Gear’s 反向数值微分算法,中精度 刚性
    ode23s 2阶 Rosebrock 算法,低精度 刚性,当精度较低时,计算时间比 ode15s
    ode23tb 梯形算法,低精度 刚性,当精度较低时,计算时间比 ode15s

    先看一个简单例子,y‘=y+3x/x^2,初值y(0)=-2,求解区间为[1,4]。

    >> odefun=@(x,y) (y+3*x)/x^2;
    tspan=[1 4];
    y0=-2;
    [x y]=ode45(odefun,tspan,y0)
    plot(x,y)
    

    在这里插入图片描述 二、刚性问题
    有一类常微分方程,其解的分量有的变化很快,有的变化很慢,且相差悬殊,这就是所谓的刚性问题 (Stiff) 。
    对于刚性问题,数值解算法必须取很小步长才能获得满意的结果,导致计算量会大大增加。解决刚性问题需要有专门方法。非刚性算法可以求解刚性问题,只不过需要很长的计算时间。
    例、假如点燃一个火柴,火焰球迅速增大直至某个临界体积,然后,维持这一体积不变,原因是火焰球内部燃烧耗费的氧气和从球表面所获氧气达到平衡。其简化模型如下:
    y’=y2-y3,y(0)=L,0<=t<=2/L
    其中, y(t) 代表火焰球半径,初始半径是λ ,它很小。分析 λ 的大小对方程求解过程的影响。

    >>  L=0.01;
    f=@(t,y) y^2-y^3;
    tic;[ t,y ]=ode45(f,[0,2/L],L); toc
    disp (['ode45 计算的点数' num2str(length(t))]);
    时间已过 0.003704 秒。
    ode45 计算的点数157
    >>  L=1e-5;
    f=@(t,y) y^2-y^3;
    tic;[ t,y ]=ode45(f,[0,2/L],L); toc
    disp (['ode45 计算的点数' num2str(length(t))]);
    时间已过 1.010016 秒。
    ode45 计算的点数120565
    >> L=1e-5;
    f=@(t,y) y^2-y^3;
    tic;[ t,y ]=ode15s(f,[0,2/L],L); toc
    disp (['ode45 计算的点数' num2str(length(t))]);
    时间已过 0.189977 秒。
    ode45 计算的点数98
    

    注:tic 和 toc 函数 用来记录 微分方程求解 命令执行的时间 ,使用 tic 函数启动计时器,使用 toc 函数显示从计时器启动到当前所经历的时间。
    上述采用了三种不同方法,可以发现,第一种的运行结果表明这时常微分方程不算很刚性;第二种这时计算时间明显加长,计算的点数剧增,表明这时常微分方程表现为刚性;因此对于刚性问题,我们需要改变求解算法,我们选择以“s”结尾的函数,例如第三种方法他们专门用于求解刚性方程。计算时间大大缩短,计算的点数大大减少。
    常微分方程数值解法的研究已发展得相当成熟,理论上也颇为完善,小编由于能力有限,只能了解个大概,本文讲解也就写的是比较基础的一些方面,如果大家有更多需求,可以自己查阅相关资料。

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  • 常微分方程数值求解1. 常微分方程数值求解的一般概念2. 常微分方程数值求解函数3. 常微分方程数值求解函数统一命名格式4. 刚性问题 1. 常微分方程数值求解的一般概念 2. 常微分方程数值求解函数 [t,y]=solver...

    1. 常微分方程数值求解的一般概念

    2. 常微分方程数值求解函数

    [t,y]=solver(filename,tspan,y0,option)
    t:时间向量; y:数值解;
    filename:定义f(t,y)的函数名,该函数必须返回一个列向量;
    tspan形式为[t0,tf],表示求解区间; y0:初始状态向量;
    option:可选参数,用于设置求解属性,常用的属性包括相对误差值RelTol(默认值为10-3和绝对误差值AbsTol(默认值为10-6);

    3. 常微分方程数值求解函数统一命名格式

    odennxx

    • ode:Ordinary Differential Equation,常微分方程
    • nn:数字,代表所用方法的阶数。
      ode23采用2阶龙格-库塔(Runge-Kutta)算法,用3阶公式做误差估计来调节步长,具有低等精度。
      ode45采用4阶龙格-库塔算法,用5阶公式做误差估计来调节步长,具有中等精度。
    • xx:字母,用于标注方法的专门特征。
      ode15s、ode23s中的“s”代表(Stiff),表示函数适用于刚性方程。
      在这里插入图片描述
      e.g.求解微分方程初值问题,并与精确解y(t)=sqrt(t+1)+1,进行比较。
      在这里插入图片描述
    >> f=@(t,y)(y^2-t-2)/4/(t+1);
    >> [t,y]=ode23(f,[0,10],2);
    >> y1=sqrt(t+1)+1;
    >> plot(t,y,'b:',t,y1,'r')
    

    在这里插入图片描述
    e.g.已知一个二阶线性系统的微分方程为:
    在这里插入图片描述

    >> f=@(t,x) [-2,0;0,1]*[x(2);x(1)];
    >> [t,x]=ode45(f,[0,20],[1,0]);
    >> subplot(2,2,1);
    >> plot(t,x(:,2));
    >> subplot(2,2,2);
    >> plot(x(:,2),x(:,1));
    

    在这里插入图片描述

    4. 刚性问题

    有一类常微分方程,其解的分量有的变化很快,有的变化很慢,且相差悬殊,这就是所谓的刚性问题(Stiff)。对于刚性问题,数值解算法必须取很小步长才能获得满意的结果,导致计算量会大大增加。解决刚性问题需要有专门方法。非刚性算法可以求解刚性问题,只不过需要很长的计算时间。
    在这里插入图片描述

    >> lambda=0.01;
    >> f=@(t,y) y^2-y^3;
    >> tic;
    >> [t,y]=ode45(f,[0,2/lambda],lambda);
    >> toc
    时间已过 32.701709 秒。
    >> disp(['ode45计算的点数' num2str(length(t))]);
    ode45计算的点数157
    %tic和toc函数用来记录微分方程求解命令执行的时间,使用tic函数启动计时器,使用toc函数显示从计时器启动到当前所经历的时间。最后还输出计算的点数,运行结果表明这时常微分方程不算很刚性。
    
    >> lambda=1e-5;
    >> f=@(t,y) y^2-y^3;
    >> tic;
    >> f=@(t,y) y^2-y^3;
    >> toc
    时间已过 7.096559 秒。
    >> disp(['ode45计算的点数' num2str(length(t))]);
    ode45计算的点数157
    这时计算时间明显加长,计算的点数剧增,表明这时常微分方程表现为刚性
    
    >> lambda=1e-5;
    >> f=@(t,y) y^2-y^3;
    >> tic;
    >> [t,y]=ode15s(f,[0,2/lambda],lambda);
    >> toc
    时间已过 8.699999 秒。
    >> disp(['ode15s计算的点数' num2str(length(t))]);
    ode15s计算的点数98
    对于刚性问题,选择以“s”结尾的函数,专门用于求解刚性方程。计算时间大大缩短,计算的点数大大减少。
    相同程序,每次的计算时间都不相同
    
    展开全文
  • 今天是白露白露09 / 07农历七月廿十本节将介绍常微分方程初值问题的数值求解,主要内容分为三个部分:常微分方程数值求解的概念、求解函数及刚性问题。一、常微分方程数值求解的一般概念首先,凡含有参数,未知函数...
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    今天是白露bb266df5184a3a8cd6a0996f6ae22c30.pngbb266df5184a3a8cd6a0996f6ae22c30.png

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    本节将介绍常微分方程初值问题的数值求解,主要内容分为三个部分:常微分方程数值求解的概念、求解函数及刚性问题

    一、常微分方程数值求解的一般概念

    首先,凡含有参数,未知函数和未知函数导数 (或微分) 的方程,称为微分方程,有时简称为方程,未知函数是一元函数的微分方程称作常微分方程,未知函数是多元函数的微分方程称作偏微分方程。微分方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数,称为微分方程的阶。

    常微分方程数值求解,指研究求解初值问题各类数值方法的构造、理论分析与数值实现问题。研究的主要对象为一阶方程组初值问题:

    a453a97873367a8b46371f2dee23e66e.png

    其中,其中y=y(x)是未知函数,y(x0)=y0是初值条件,而f(x,y)是给定的二元函数。

    所谓其数值解法,就是求y(x)在离散结点xn处的函数近似值yn 的方法 ,yn≈y(xn)。这些近似值称为常微分方程初值问题的数值解。相邻两个结点之间的距离称为步长

    这里主要介绍两种:单步法多步法单步法:在计算y(n+1)时只用到前一步的y(n),因此在有了初值之后就可以逐步往下计算,其代表是龙格- - 库塔( Runge- - Kutta ) 法

    多步法:在计算y(n+1)时,除了用到前一步的值y(n)之外, , 还要用到y(n-p)( p=1,2 , … ,k,k>0)的值, , 即前面的k步。其代表就是亚当斯 (Adams) 法

    更多介绍可参见这个链接:https://wenku.baidu.com/view/cafe161b9a6648d7c1c708a1284ac850ad0204fc.html

    二、常微分方程求解函数

    MATLAB 提供了多个求常微分方程初值问题数值解的函数,一般调用格式为:
    [t,y]=solver(filename,tspan,y0,option)

    其中,t和y分别给出时间向量和相应的数值解。solver为求常微分方程数值解的函数。filename 是定义 f(t ,y) 的函数名,该函数必须返回一个列向量。

    tspan 形式为 [t0,tf],表示求解区间。y0 是初始状态向量。Option 是可选参数,用于设置求解属性,常用的属性包括相对误差值 RelTol(默认值是10的-3次方)和绝对误差值 AbsTol( ( 默认值是10的-6次方)。

    常微分方程数值求解函数的统一命名格式:
    odennx
    ode是Ordinary Differential Equation 的缩写,是
    常微分方程的意思。

    nn 是数字,代表所用方法的阶数。例如,ode23采用2阶龙格- - 库塔( Runge- - Kutta )算法 ,用3阶公式做误差估计来调节步长,具有低等精度。ode45 采用4阶龙格- - 库塔算 法 ,用5阶公式做误差估计来调节步长,具有中等精度。

    x是字母,用于标注方法的专门特征。例如, ode15s 、ode23s 中的“s”代表( Stiff ),表示函数适用于刚性方程。

    下表列出了求常微分方程数值解的函数:

    求解函数采用方法适用场合
    ode232 阶或3阶 Runge- - Kutta 算法,低精度非刚性
    ode454 阶或5阶 Runge- - Kutta 算法,中精度非刚性
    ode113Adams 算法,精度可到10的-3次方至10的-6次方非刚性,计算时间比 ode45
    ode23t梯形算法适度刚性
    ode15sGear’s 反向数值微分算法,中精度刚性
    ode23s2阶 Rosebrock 算法,低精度刚性,当精度较低时,计算时间比 ode15s
    ode23tb梯形算法,低精度刚性,当精度较低时,计算时间比 ode15s

    先看一个简单例子,y‘=y+3x/x^2,初值y(0)=-2,求解区间为[1,4]

    >> odefun=@(x,y) (y+3*x)/x^2;

    tspan=[1 4];

    y0=-2;

    [x y]=ode45(odefun,tspan,y0)

    plot(x,y)

    7d555f5c68e68d608b29f80760bbe269.png

    三、刚性问题

    有一类常微分方程,其解的分量有的变化很快,有的变化很慢,且相差悬殊,这就是所谓的刚性问题 (Stiff) 。

    对于刚性问题,数值解算法必须取很小步长才能获得满意的结果,导致计算量会大大增加。解决刚性问题需要有专门方法。非刚性算法可以求解刚性问题,只不过需要很长的计算时间。

    假如点燃一个火柴,火焰球迅速增大直至某个临界体积,然后,维持这一体积不变,原因是火焰球内部燃烧耗费的氧气和从球表面所获氧气达到平衡。其简化模型如下:y’=y2-y3,y(0)=L,0<=t<=2/L其中, y(t) 代表火焰球半径,初始半径是λ ,它很小。分析 λ 的大小对方程求解过程的影响。

    >>  L=0.01;

    f=@(t,y) y^2-y^3;

    tic;[ t,y ]=ode45(f,[0,2/L],L); toc

    disp (['ode45 计算的点数' num2str(length(t))]);

    时间已过 0.003704 秒。

    ode45 计算的点数157

    >>  L=1e-5;

    f=@(t,y) y^2-y^3;

    tic;[ t,y ]=ode45(f,[0,2/L],L); toc

    disp (['ode45 计算的点数' num2str(length(t))]);

    时间已过 1.010016 秒。

    ode45 计算的点数120565

    >> L=1e-5;

    f=@(t,y) y^2-y^3;

    tic;[ t,y ]=ode15s(f,[0,2/L],L); toc

    disp (['ode45 计算的点数' num2str(length(t))]);

    时间已过 0.189977 秒。

    ode45 计算的点数98

    注:tic 和 toc 函数 用来记录 微分方程求解 命令执行的时间 ,使用 tic 函数启动计时器,使用 toc 函数显示从计时器启动到当前所经历的时间。

    上述采用了三种不同方法,可以发现,第一种的运行结果表明这时,微分方程不算很刚性;第二种这时计算时间明显加长,计算的点数剧增,表明这时常微分方程表现为刚性;

    因此对于刚性问题,我们需要改变求解算法,我们选择以“s”结尾的函数,例如第三种方法他们专门用于求解刚性方程。计算时间大大缩短,计算的点数大大减少。

    常微分方程数值解法的研究已发展得相当成熟,理论上也颇为完善,小编由于能力有限,只能了解个大概,本文讲解也就写的是比较基础的一些方面,如果大家有更多需求,可以自己查阅相关资料。

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    千次阅读 2018-11-27 20:36:05
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常微分方程数值求解