常微分方程数值求解
 
常微分方程数值求解的一般概念
常微分方程数值求解的一般概念
  
  
常微分方程数值求解函数
常微分方程数值求解函数
求常微分方程数值解的函数
举几个个栗子
例一
例二
     
    
   
  
  
刚性问题
举个例子
     
    
   
  
 

 
常微分方程数值求解的一般概念
 
常微分方程数值求解的一般概念
 
 
求解微分方程概念
 求解常微分方程初值问题就是寻找函数y(t)使之满足如下方程：
 y’=f(t,y)，t0≤t≤b ,y(t0)=y0
 所谓其数值解法，就是求y(t)在离散结点tn处的函数近似值yn的方法，yn≈y(xn)。 这些近似值称为常微分方程初值问题的数值解。相邻两个结点之间的距离称为步长。
 
 
两种方法：
 
 
单步法：在计算yn+1时只用到前一步的yn,因此在有了初值之后就可以逐步往下计算， 其代表是龙格-库塔（Runge-Kutta）法。
多步法：在计算yn+1时,除了用到前一步的值yn之外,还要用到yn-p（p=1，2，…，k， k＞0）的值,即前面的k步。其代表就是亚当斯(Adams)法。
 
常微分方程数值求解函数
 
常微分方程数值求解函数
 
调用格式
 [t,y]=solver(filename,tspan,y0,option)
 
t和y分别给出时间向量和相应的数值解。
solver为求常微分方程数值解 的函数（即下面表格中的函数）。
filename是定义f(t，y)的函数名，该函数必须返回一个列向量。
tspan形式为[t0，tf]，表示求解区间。
y0是初始状态向量。
Option是可选参数， 用于设置求解属性，常用的属性包括相对误差值RelTol(默认值是10-3)和绝对误 差值AbsTol(默认值是10-6)。
 
常微分方程数值求解函数的统一命名格式：
 odennxx
 
ode是Ordinary Differential Equation的缩写，是常微分方程的意思。
nn是数字，代表所用方法的阶数。
 例如，ode23采用2阶龙格-库塔（Runge-Kutta）算法，用3阶公式做误差估计来调节步长，具有低等精度。
 ode45采用4阶龙格-库塔算法，用5阶公式做误差估计来调节步长，具有中
 等精度。
xx是字母，用于标注方法的专门特征。例如，ode15s、ode23s中的“s”
 代表（Stiff），表示函数适用于刚性方程。
 
求常微分方程数值解的函数
 
 
举几个个栗子
 
例一
 
 
f=@(t,y) (y^2-t-2)/4/(t+1);
[t,y]=ode23(f,[0,10],2);
y1=sqrt(t+1)+1;%精确计算
plot(t,y,'b:',t,y1,'r');%绘图比较一下精确计算与数值求解的结果，从图形可以看出拟合较好
 
 
例二
 
 
f=@(t,x) [-2,0;0,1]*[x(2);x(1)]; 
[t,x]=ode45(f,[0,20],[1,0]); %四个未知数
subplot(2,2,1);plot(t,x(:,2));
subplot(2,2,2);plot(x(:,2),x(:,1));
 
 
刚性问题
 
有一类常微分方程，其解的分量有的变化很快，有的变化很慢，且相差悬殊，这就是所谓的刚性问题(Stiff)。
 对于刚性问题，数值解算法必须取很小步长才能获得满意的结果，导致计算
 量会大大增加。解决刚性问题需要有专门方法。非刚性算法可以求解刚性问
 题，只不过需要很长的计算时间。
 
举个例子
 
假如点燃一个火柴，火焰球迅速增大直至某个临界体积，然后，维持这一体积不变，原因是火焰球内部燃烧耗费的氧气和从球表面所获氧气达到平衡。其简化模型如下：
 
 其中，y(t)代表火焰球半径，初始半径是λ，它很小。分析λ的大小对方程求解过程的影响。
 这里列出两个方法，通过对比时间长短体会刚性问题的特殊解法。
 
lamada较大采用非刚性解法
lamda=0.01; %lamada较大
f=@(t,y) y^2-y^3;
tic;%记录开始时间
[t,y]=ode45(f,[0,2/lamda],lamda);%非刚性解法
toc ;%记录结束时间
disp(['ode45计算的点数' num2str(length(t))]);
结果：
时间已过 0.061455 秒。%时间较短，说明此时没有较明显的刚性
ode45计算的点数157
 
lamada较小，两种方法对比
非刚性解法：
lamda=1e-5; %lamda特别小
f=@(t,y) y^2-y^3; 
tic;
[t,y]=ode45(f,[0,2/lamda],lamda);
toc;
disp(['ode45计算的点数' num2str(length(t))]);
结果：
时间已过 0.230707 秒。
ode45计算的点数120565%时间长，点数多表明明显的钢性特征

刚性解法：
lamda=1e-5;
f=@(t,y) y^2-y^3; 
tic;
[t,y]=ode15s(f,[0,2/lamda],lamda);
toc 
disp(['ode15s计算的点数' num2str(length(t))])
结果：
时间已过 0.044472 秒。
ode15s计算的点数98

本节将介绍常微分方程初值问题的数值求解，主要内容分为三个部分：常微分方程数值求解的概念、求解函数及刚性问题。
 一、常微分方程数值求解的一般概念
 首先，凡含有参数，未知函数和未知函数导数 (或微分) 的方程，称为微分方程，有时简称为方程，未知函数是一元函数的微分方程称作常微分方程，未知函数是多元函数的微分方程称作偏微分方程。微分方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数，称为微分方程的阶。
 常微分方程数值求解，指研究求解初值问题各类数值方法的构造、理论分析与数值实现问题。研究的主要对象为一阶方程组初值问题：
 
 其中，其中y=y(x)是未知函数,y(x0)=y0是初值条件,而f(x,y)是给定的二元函数。
 所谓其数值解法，就是求y(x)在离散结点xn处的函数近似值yn 的方法 ，yn≈y(xn)。这些近似值称为常微分方程初值问题的数值解。相邻两个结点之间的距离称为步长。
 这里主要介绍两种：单步法和多步法
 单步法：在计算y(n+1)时只用到前一步的y(n)，因此在有了初值之后就可以逐步往下计算，其代表是龙格- - 库塔（ Runge- - Kutta ） 法
 多步法：在计算y(n+1)时，除了用到前一步的值y(n)之外, , 还要用到y(n-p)（ p=1，2 ， … ，k，k＞0）的值, , 即前面的k步。其代表就是亚当斯 (Adams) 法
 更多介绍可参见这个链接：
 https://wenku.baidu.com/view/cafe161b9a6648d7c1c708a1284ac850ad0204fc.html
 二、常微分方程求解函数
 MATLAB 提供了多个求常微分方程初值问题数值解的函数，一般调用格式为：
 [t,y]=solver(filename,tspan,y0,option)
 其中，t和y分别给出时间向量和相应的数值解。solver为求常微分方程数值解的函数。filename 是定义 f(t ，y) 的函数名，该函数必须返回一个列向量。
 tspan 形式为 [t0，tf]，表示求解区间。 y0 是初始状态向量。Option 是可选参数，用于设置求解属性，常用的属性包括相对误差值 RelTol(默认值是10的-3次方)和绝对误差值 AbsTol( ( 默认值是10的-6次方)。
 常微分方程数值求解函数的统一命名格式：
 odennx
 ode是Ordinary Differential Equation 的缩写，是常微分方程的意思。
 nn 是数字，代表所用方法的阶数。例如，ode23采用2阶龙格- - 库塔（ Runge- - Kutta ）算法 ，用3阶公式做误差估计来调节步长，具有低等精度。ode45 采用4阶龙格- - 库塔算 法 ，用5阶公式做误差估计来调节步长，具有中等精度。
 x是字母，用于标注方法的专门特征。例如， ode15s 、ode23s 中的“s”代表（ Stiff ），表示函数适用于刚性方程。
 下表列出了求常微分方程数值解的函数：
 
求解函数
采用方法
适用场合
ode23
2 阶或3阶 Runge- - Kutta 算法，低精度
非刚性
ode45
4 阶或5阶 Runge- - Kutta 算法，中精度
非刚性
ode113
Adams 算法，精度可到10的-3次方至10的-6次方
非刚性，计算时间比 ode45
ode23t
梯形算法
适度刚性
ode15s
Gear’s 反向数值微分算法，中精度
刚性
ode23s
2阶 Rosebrock 算法，低精度
刚性，当精度较低时，计算时间比 ode15s
ode23tb
梯形算法，低精度
刚性，当精度较低时，计算时间比 ode15s
先看一个简单例子，y‘=y+3x/x^2，初值y(0)=-2，求解区间为[1,4]。
 
>> odefun=@(x,y) (y+3*x)/x^2;
tspan=[1 4];
y0=-2;
[x y]=ode45(odefun,tspan,y0)
plot(x,y)
 
 二、刚性问题
 有一类常微分方程，其解的分量有的变化很快，有的变化很慢，且相差悬殊，这就是所谓的刚性问题 (Stiff) 。
 对于刚性问题，数值解算法必须取很小步长才能获得满意的结果，导致计算量会大大增加。解决刚性问题需要有专门方法。非刚性算法可以求解刚性问题，只不过需要很长的计算时间。
 例、假如点燃一个火柴，火焰球迅速增大直至某个临界体积，然后，维持这一体积不变，原因是火焰球内部燃烧耗费的氧气和从球表面所获氧气达到平衡。其简化模型如下：
 y’=y2-y3，y(0)=L，0<=t<=2/L
 其中， y(t) 代表火焰球半径，初始半径是λ ，它很小。分析 λ 的大小对方程求解过程的影响。
 
>>  L=0.01;
f=@(t,y) y^2-y^3;
tic;[ t,y ]=ode45(f,[0,2/L],L); toc
disp (['ode45 计算的点数' num2str(length(t))]);
时间已过 0.003704 秒。
ode45 计算的点数157
>>  L=1e-5;
f=@(t,y) y^2-y^3;
tic;[ t,y ]=ode45(f,[0,2/L],L); toc
disp (['ode45 计算的点数' num2str(length(t))]);
时间已过 1.010016 秒。
ode45 计算的点数120565
>> L=1e-5;
f=@(t,y) y^2-y^3;
tic;[ t,y ]=ode15s(f,[0,2/L],L); toc
disp (['ode45 计算的点数' num2str(length(t))]);
时间已过 0.189977 秒。
ode45 计算的点数98
 
注：tic 和 toc 函数 用来记录 微分方程求解 命令执行的时间 ，使用 tic 函数启动计时器，使用 toc 函数显示从计时器启动到当前所经历的时间。
 上述采用了三种不同方法，可以发现，第一种的运行结果表明这时常微分方程不算很刚性；第二种这时计算时间明显加长，计算的点数剧增，表明这时常微分方程表现为刚性；因此对于刚性问题，我们需要改变求解算法，我们选择以“s”结尾的函数，例如第三种方法他们专门用于求解刚性方程。计算时间大大缩短，计算的点数大大减少。
 常微分方程数值解法的研究已发展得相当成熟，理论上也颇为完善，小编由于能力有限，只能了解个大概，本文讲解也就写的是比较基础的一些方面，如果大家有更多需求，可以自己查阅相关资料。
 
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常微分方程数值求解
 
1. 常微分方程数值求解的一般概念
2. 常微分方程数值求解函数
3. 常微分方程数值求解函数统一命名格式
4. 刚性问题

 
1. 常微分方程数值求解的一般概念
 
2. 常微分方程数值求解函数
 
[t,y]=solver(filename,tspan,y0,option)
 t：时间向量； y：数值解；
 filename：定义f(t,y)的函数名，该函数必须返回一个列向量；
 tspan形式为[t0,tf]，表示求解区间； y0：初始状态向量；
 option：可选参数，用于设置求解属性，常用的属性包括相对误差值RelTol（默认值为10-3和绝对误差值AbsTol（默认值为10-6）；
 
3. 常微分方程数值求解函数统一命名格式
 
odennxx
 
ode：Ordinary Differential Equation，常微分方程
nn：数字，代表所用方法的阶数。
 ode23采用2阶龙格-库塔（Runge-Kutta）算法，用3阶公式做误差估计来调节步长，具有低等精度。
 ode45采用4阶龙格-库塔算法，用5阶公式做误差估计来调节步长，具有中等精度。
xx：字母，用于标注方法的专门特征。
 ode15s、ode23s中的“s”代表（Stiff），表示函数适用于刚性方程。
 
 e.g.求解微分方程初值问题，并与精确解y(t)=sqrt(t+1)+1，进行比较。
 
 
>> f=@(t,y)(y^2-t-2)/4/(t+1);
>> [t,y]=ode23(f,[0,10],2);
>> y1=sqrt(t+1)+1;
>> plot(t,y,'b:',t,y1,'r')
 

 e.g.已知一个二阶线性系统的微分方程为：
 
 
>> f=@(t,x) [-2,0;0,1]*[x(2);x(1)];
>> [t,x]=ode45(f,[0,20],[1,0]);
>> subplot(2,2,1);
>> plot(t,x(:,2));
>> subplot(2,2,2);
>> plot(x(:,2),x(:,1));
 
 
4. 刚性问题
 
有一类常微分方程，其解的分量有的变化很快，有的变化很慢，且相差悬殊，这就是所谓的刚性问题(Stiff)。对于刚性问题，数值解算法必须取很小步长才能获得满意的结果，导致计算量会大大增加。解决刚性问题需要有专门方法。非刚性算法可以求解刚性问题，只不过需要很长的计算时间。
 
 
>> lambda=0.01;
>> f=@(t,y) y^2-y^3;
>> tic;
>> [t,y]=ode45(f,[0,2/lambda],lambda);
>> toc
时间已过 32.701709 秒。
>> disp(['ode45计算的点数' num2str(length(t))]);
ode45计算的点数157
%tic和toc函数用来记录微分方程求解命令执行的时间，使用tic函数启动计时器，使用toc函数显示从计时器启动到当前所经历的时间。最后还输出计算的点数，运行结果表明这时常微分方程不算很刚性。
 
>> lambda=1e-5;
>> f=@(t,y) y^2-y^3;
>> tic;
>> f=@(t,y) y^2-y^3;
>> toc
时间已过 7.096559 秒。
>> disp(['ode45计算的点数' num2str(length(t))]);
ode45计算的点数157
这时计算时间明显加长，计算的点数剧增，表明这时常微分方程表现为刚性
 
>> lambda=1e-5;
>> f=@(t,y) y^2-y^3;
>> tic;
>> [t,y]=ode15s(f,[0,2/lambda],lambda);
>> toc
时间已过 8.699999 秒。
>> disp(['ode15s计算的点数' num2str(length(t))]);
ode15s计算的点数98
对于刚性问题，选择以“s”结尾的函数，专门用于求解刚性方程。计算时间大大缩短，计算的点数大大减少。
相同程序，每次的计算时间都不相同

本次讨论取材于中南大学《科学计算与matlab语言》内容为常微分方程数值解法
 
常微分方程数值求解的一般概念
常微分方程数值求解函数
刚性问题
 
常微分方程数值求解的一般概念
 
求解常微分方程初值问题就是寻找函数y(t)使之满足如下方程：
 
 所谓其数值解法，就是求y(t)在离散结点t0处的函数近似值y0的方法
 
单步法：在计算Yn+1时只用到前一步的Yn，因此在有了初值之后就可以逐步往下计算，其代表是龙格–库塔（Runge-Kutta）法.
多步法：在计算Yn+1时，除了用到前一步的值Yn之外,还要用到Yn-p(p=1,2,…,k,k>0)的值，即前面的k步，其代表就是亚当斯（Adams）法。
 
常微分方程的求解函数
 
函数调用格式为：
 
[t,y]=solver(filename,tspan,y0,option)
 
其中，t和y分别给出时间向量和相应的数值解；solver为求常微分方程数值解的函数；filename是定义f(t,y)的函数名，该函数必须返回一个列向量；tspan形式为[t0,tf]，表示求解区间；y0是初始状态向量;Option是可选参数,用于设置求解属性.
 
常微分方程数值求解函数的统一命名格式：
 
odennxx
 
其中ode是Ordinary Differential Equation的缩写，是常微分方程的意思；nn是数字，代表所用方法的阶数；xx是字母，用于标注方法的专门特征。
 
 
>> f=@(t,y) (y^2-t-2)/4/(t+1);
>> [t,y]=ode23(f,[0,10],2);
>> y1=sqrt(t+1)+1;
>> plot(t,y,'b:',t,y1,'r');
>> 
 

 例2 已知一个二阶线性系统的微分方程为：
 
 取a=2，绘制系统的时间响应曲线和相平面图。
 令x2=x,x1=x’，则得到系统的状态方程：
 
 
f=@(t,x) [-2,0;0,1]*[x(2);x(1)]; 
[t,x]=ode45(f,[0,20],[1,0]); 
subplot(2,2,1);plot(t,x(:,2));
subplot(2,2,2);plot(x(:,2),x(:,1));
 
 
刚性问题
 
有一类常微分方程，其解的分量有的变化很快，有的变化很慢，且相差悬殊，这就是所谓的刚性问题(Stiff)
 例3 假如点燃一个火柴，火焰球迅速增大直至某个临界体积，然后，维持这一体积不变，其原因是火焰球内部燃烧耗费的氧气和从球表面所或氧气达到平衡。
 
 主要观看λ值得大小，是否会真正影响问题模型！
 
>> lamda=0.01;
>> f=@(t,y) y^2-y^3;
>> tic;[t,y]=ode45(f,[0,2/lamda],lamda);toc
Elapsed time is 0.034000 seconds.
>> disp(['ode45计算的点数' num2str(length(t))]);
ode45计算的点数157
>> 
 
时间已过0.034000秒
 ode45计算的点数157
 
>> lamda=1e-5;
>> f=@(t,y) y^2-y^3;
>> tic;[t,y]=ode45(f,[0,2/lamda],lamda);toc
Elapsed time is 5.690000 seconds.
>> disp(['ode45计算的点数' num2str(length(t))]);
ode45计算的点数120565
>> 
 
不同的λ值，式子所用的秒数不同，问题瞬间变成刚性，直接换用ode15s，再去计算！直接秒出答案！
 
>> tic;[t,y]=ode15s(f,[0,2/lamda],lamda);toc
Elapsed time is 0.348000 seconds.
>> disp(['ode15s计算的点数' num2str(length(t))]);
ode15s计算的点数98
>> 
 

 
 
>> f=@(t,x) [-8/3*x(1)+x(2)*x(3);-10*x(2)+10*x(3);-x(2)*x(1)+28*x(2)-x(3)];

>> [t,x]=ode45(f,[0,50],[0,0,10^(-10)]);

>> plot(t,x)