精华内容
下载资源
问答
  • 常微分方程

    千次阅读 2020-08-28 21:16:48
    微分方程与流体力学 ...对于二阶常系数齐次常微分方程,常用方法是出其特征方程的解 https://zhuanlan.zhihu.com/p/50451828 https://zhuanlan.zhihu.com/p/66222395 https://baike.baidu.com/item/

    高数中的微分方程

    全微分方程(需要积分域与路径无关)

    一阶线性常微分方程 y’+p(x)y=q(x)

    对于一阶线性常微分方程,常用的方法是常数变易法:
    对于方程:将y’+p(x)y=0中的常数变为函数求解非齐次方程

    ( ∫ q ( x ) ∗ e ∫ p ( x ) d x + c ) e ∫ − p ( x ) d x (\int q(x)*e^{ \int p(x)dx}+c)e^{ \int -p(x)dx} (q(x)ep(x)dx+c)ep(x)dx

    全微分方乘与积分因子法

    微分方程P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0为全微分方程的重要条件为
    ∂ P ∂ y = ∂ Q ∂ x \frac { \partial P } { \partial y }=\frac { \partial Q } { \partial x } yP=xQ
    如果存在 φ(x,y)使得
    φ P d x + φ Q = 0 \varphi Pdx+\varphi Q=0 φPdx+φQ=0
    为全微分方程,则将φ(x,y)称为方程的积分因子
    ∂ ( φ ∗ P ) ∂ y = φ ∂ ( φ ∗ Q ) ∂ x \frac {\partial (φ *P) } { \partial y }=\frac {φ \partial (φ *Q) } { \partial x } y(φP)=xφ(φQ)

    Pdx+Qdy=0 什么情况下存在积分因子,如何确定积分因子?

    1. 1 Q ( ∂ P ∂ y − ∂ Q ∂ x ) = μ ( x ) [ 只 与 x 有 关 ] \frac { 1 } { Q }( \frac { \partial P } { \partial y }-\frac { \partial Q } { \partial x })=μ(x)[只与x有关] Q1(yPxQ)=μ(x)[x]
    则方程的积分因子 φ = φ ( x ) = e ∫ μ ( x ) d x φ=φ(x)=e^{\int μ(x) dx} φ=φ(x)=eμ(x)dx
    2. − 1 P ( ∂ P ∂ y − ∂ Q ∂ x ) = μ ( y ) [ 只 与 y 有 关 ] -\frac { 1 } { P }( \frac { \partial P } { \partial y }-\frac { \partial Q } { \partial x })=μ(y)[只与y有关] P1(yPxQ)=μ(y)[y]
    则方程的积分因子 φ = φ ( y ) = e ∫ μ ( y ) d y φ=φ(y)=e^{\int μ(y) dy} φ=φ(y)=eμ(y)dy

    3.若φ(x,y)为
    P(x,y)dx + Q(x,y)dy= 0的一个积分因子,并且φP(x, y)dx + φQ(x,y)dy = du(x,y),
    则φ(x,y)F(u)也为方程(*)的一一个积分因子,其中F(u)是u的任一连续可微函数.

    应用.如果P(x,y)dx + Q(x,y)dy= 0的积分因子不好确定,而其中p=P1+P2, Q=Q1+Q2,则上
    式可写成
    ( P r d x + Q 1 d y ) + ( P 2 d x + Q z d y ) = 0 (Prdx + Q1dy) + (P2dx+ Qzdy)= 0 (Prdx+Q1dy)+(P2dx+Qzdy)=0
    分别求出两组的积分因子,即存在φ1,φ2使得P1P1dx + P1Q1dy = du1,P2P2dx + φzQzdy = du2.

    寻找公共的积分因子

    φ 1 ∗ F 1 ( u 1 ) = φ 2 ∗ F 2 ( u 2 ) φ1*F1(u1)= φ2*F2(u2) φ1F1(u1)=φ2F2(u2)

    二阶常系数齐次常微分方程

    解的形式: g ( x ) e f ( x ) g(x)e^{f(x)} g(x)ef(x)

    n阶常系数常微分方程第“0”定律:

    f ( x ) 为 正 比 例 函 数 f(x)为正比例函数 f(x)
    注:这个第“0”定律是本文作者命名的

    在这里插入图片描述

    在这里插入图片描述

    在这里插入图片描述

    在这里插入图片描述

    对于二阶常系数齐次常微分方程,有两个线性无关的特解

    二阶常系数齐次常微分方程: y = e r x y=e^{rx} y=erx
    当特征方程有
    两个不同实根时:
    两 解 线 性 无 关 两解线性无关 线
    两个相同实根时:
    两 解 线 性 相 关 , 设 y 2 y 1 = u ( x ) , 带 入 得 u ′ ′ = 0 , 则 u ( x ) = k x 两解线性相关,设\frac{y2}{y1}=u(x),带入得u''=0,则u(x)=kx 线y1y2=u(x),u=0u(x)=kx
    两个不同复根时:
    r = α ± β i , 两 解 线 性 无 关 解 为 : e α x ( C 1 c o s ( β x ) + C 2 s i n ( β x ) ) r=α±βi,两解线性无关 解为:e^{αx}(C_{1}cos(βx)+C_{2}sin(βx)) r=α±βi线eαx(C1cos(βx)+C2sin(βx))

    二阶常系数非齐次常微分方程

    1) f ( x ) = P m ( x ) ∗ e λ x f(x)=P_{m}(x)*e^{\lambda x} f(x)=Pm(x)eλx

    解为: y = x k ∗ Q m ( x ) ∗ e λ x ( k 是 非 齐 次 项 的 λ 作 为 特 征 方 程 的 根 的 重 数 ( 0 / 1 / 2 ) ) y=x^k*Q_{m}(x)*e^{\lambda x}(k是非齐次项的 \lambda 作为特征方程的根的重数(0/1/2)) y=xkQm(x)eλx(kλ(0/1/2))

    2) f ( x ) = P l ( x ) ∗ e α x ∗ c o s ( β x ) + P n ( x ) ∗ e α x ∗ s i n ( β x ) f(x)=P_{l}(x)*e^{αx}*cos(βx)+P_{n}(x)*e^{αx}*sin(βx) f(x)=Pl(x)eαxcos(βx)+Pn(x)eαxsin(βx)

    解为: y = x k ∗ e a x ∗ ( R 1 m c o s ( β x ) + R 2 m s i n ( β x ) ) ( k 是 α ± β i x 作 为 特 征 方 程 的 根 的 重 数 ( 0 / 1 ) ) ( m = m a x ( l , n ) ) m 取 大 值 y=x^k*e^{ax}*(R_{1m}cos(βx)+R_{2m}sin(βx)) (k是 α±βi x作为特征方程的根的重数(0/1))(m=max(l,n)) \\ m取大值 y=xkeax(R1mcos(βx)+R2msin(βx))(kα±βix(0/1))(m=max(ln))m

    ∗ ∗ 注 意 多 了 一 个 x k ∗ ∗ **注意多了一个x^k** xk


    有些特殊的变系数线性常微分方程,则可以通过变量代换化为常系数线性微分方程


    二阶可降阶微分方程(二阶降到一阶):将y’用其他变量替换即可降一阶。(要保持只有两个变量,所以只能适用于y’’=f(x,y’)形式或者f(y,y’)形势)

    伯努利微分方程

    y’+P(x)y=Q(x)y^n的微分方程
    其中n≠0并且n≠1,其中P(x),Q(x)为已知函数,因为当n=0,1时该方程是线性微分方程。
    令z=y^{1-n}转化为一阶线性常微分方程

    欧拉方程

    x n ∗ y ( n ) + P 1 ∗ x n − 1 ∗ y ( n − 1 ) + … … + P n − 1 ∗ x n − 1 ∗ y ( 1 ) + P n ∗ x n − n ∗ y ( 1 ) = f ( x ) x ^ { n }*y^{(n)}+P_{1}*x ^ { n-1}*y^{(n-1)}+……+P_{n-1}*x ^ { n-1}*y^{(1)}+P_{n}*x ^ { n-n}*y^{(1)}=f(x) xny(n)+P1xn1y(n1)++Pn1xn1y(1)+Pnxnny(1)=f(x)
    n阶线性变系数非齐次
    x = e t , 有 x 1 ∗ y ( 1 ) = D y , 记 号 D 表 示 对 t 求 导 的 运 算 x=e^t,有x ^ { 1}*y^{(1)}= Dy,记号D表示对t求导的运算 x=et,x1y(1)=DyDt
    一 般 地 , 有 x k ∗ y ( k ) = D ( D − 1 ) . . . ( D − k + 1 ) y 一般地,有x ^ { k}*y^{(k)}= D(D- 1)...(D-k+ 1)y xky(k)=D(D1)...(Dk+1)y

    把它代入欧拉方程,便得到一个以t为自变量的n阶常系数非齐次线性微分方程。
    解法和二阶的方法一样,先求其次通解,再根据右端项求特解。
    在求出这个方程的解后,把t换成 lnx ,即得原方程的解。

    参考:
    https://na.mbd.baidu.com/r/adrv9xXNAI?f=cp&u=f1f63e03e43635b1

    展开全文
  • 特征线方法的基本思想是将偏微分方程的Cauchy问题转化为常微分方程的相应问题,通过解常微分方程进而得到原来偏微分方程问题的解.通过对特征线方法的研究,得到了求解一阶线性双曲型偏微分方程Cauchy问题解的一般步骤,...
  • 文章目录#一阶经典法##可分离变量型##不可分\齐次##一阶线性微分方程#二阶经典法##可降阶二阶##二阶系数齐次线性微分方程##二阶系数非齐次线性微分方程#微分算子法 D 特解#积分变换解微分方程 欢迎纠错 #一阶...

    欢迎纠错


    #一阶经典法

    ##可分离变量型

    f 1 ( x )   d x = f 2 ( y )   d y ∫ f 1 ( x )   d x = ∫ f 2 ( y )   d y f_1(x)\space dx=f_2(y)\space dy\\ \int f_1(x)\space dx=\int f_2(y)\space dy f1(x) dx=f2(y) dyf1(x) dx=f2(y) dy

    ##不可分\齐次

    利 用 变 量 间 的 关 系 , 例 : y x = u 利用变量间的关系,例:\frac y x=u xy=u

    ##一阶线性微分方程

    d y d x + P ( x ) y = Q ( x )   y = e − ∫ P ( x ) d x [ ∫ e ∫ P ( x ) d x ⋅ Q ( x ) + C ]   P ( x ) 若 积 分 出 了 ln ⁡ , 不 用 加 绝 对 值 \frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)\\\ \\ y=e^{-\int P(x)dx}[\int e^{\int P(x)dx} \cdot Q(x)+C] \\\ \\ P(x)若积分出了\ln ,不用加绝对值 dxdy+P(x)y=Q(x) y=eP(x)dx[eP(x)dxQ(x)+C] P(x)ln

    #二阶经典法

    ##可降阶二阶

    缺 y 型 : y ′ = p   ,   y ′ ′ = p ′ = d p d x   缺 x 型 : y ′ = p   ,   y ′ ′ = p ′ = d p d x = d p d y d y d x = d p d y ⋅ p 缺y型:y'=p\space,\space y''=p'=\frac{dp}{dx}\\\ \\ 缺x型:y'=p \space,\space y''=p'=\frac{dp}{dx}=\frac{dp}{dy}\frac{dy}{dx}=\frac{dp}{dy}\cdot p yy=p , y=p=dxdp xy=p , y=p=dxdp=dydpdxdy=dydpp

    ##二阶常系数齐次线性微分方程

    特 征 方 程   r 2 + p r + q = 0 的 根   r 1 , r 2 微 分 方 程   y ′ ′ + p y ′ + q y = 0 的 通 解 一 对 不 等 实 根   r 1 ≠ r 2 y = C 1 e r 1 x + C 2 e r 2 x 一 对 相 等 实 根   r 1 = r 2 y = ( C 1 + C 2 x ) e r 1 x 一 对 共 轭 复 根   r 1 , 2 = α ± β i , b > 0 y = e α x ( C 1 cos ⁡ β x + C 2 sin ⁡ β x )   如 遇 到 高 阶 微 分 方 程 , 则 在 写 特 征 方 程 时 候 因 式 分 解 , 得 到 各 路 根 \begin{array}{c|c} 特征方程 \space r^2+pr+q=0 的根\space r_1,r_2& 微分方程 \space y''+py'+qy=0 的通解 \\ \hline 一对不等实根 \space r_1\ne r_2 &y=C_1e^{r_1x}+C_2e^{r_2x} \\ 一对相等实根 \space r_1= r_2 &y= (C_1+C_2x)e^{r_1x}\\ 一对共轭复根 \space r_{1,2}=\alpha \pm \beta i,b>0 & y=e^{\alpha x}(C_1\cos \beta x+C_2\sin \beta x) \\ \end{array}\\\ \\ 如遇到高阶微分方程,则在写特征方程时候因式分解,得到各路根  r2+pr+q=0 r1,r2 r1=r2 r1=r2 r1,2=α±βi,b>0 y+py+qy=0y=C1er1x+C2er2xy=(C1+C2x)er1xy=eαx(C1cosβx+C2sinβx) 
    若 p = 0 对 于 第 一 种 , 有   y = B 1 cosh ⁡ ( K x ) + B 2 sinh ⁡ ( K x )   对 于 第 三 种 , 有   y = e α x ( A 1 e j β t + A 2 e − j β t ) = ( C 1 cos ⁡ β x + C 2 sin ⁡ β x ) 若p=0\\ 对于第一种,有\\\ \\ y=B_1\cosh(Kx)+B_2\sinh(Kx)\\\ \\ 对于第三种,有\\\ \\ y=e^{\alpha x}(A_1e^{j\beta t}+A_2e^{-j\beta t})=(C_1\cos \beta x+C_2\sin \beta x) p=0 y=B1cosh(Kx)+B2sinh(Kx)  y=eαx(A1ejβt+A2ejβt)=(C1cosβx+C2sinβx)

    ##二阶常系数非齐次线性微分方程

    1 : P m ( x ) e α x 型   y ′ ′ + p y ′ + q y = P m ( x ) e α x 则 y ∗ = x k Q m ( x ) e α x   Q m ( x ) 为 m 次 多 项 式 , 系 数 待 定 ( m + 1 个 待 定 系 数 )   k = { 0 , α 不 是 r 2 + p r + q = 0 的 根 1 , α 是 r 2 + p r + q = 0 的 单 根 2 , α 是 r 2 + p r + q = 0 的 重 根 1:P_m(x)e^{\alpha x}型\\\ \\ y''+py'+qy=P_m(x)e^{\alpha x}\\则\\ y^*=x^kQ_m(x)e^{\alpha x}\\\ \\ Q_m(x)为m次多项式,系数待定(m+1个待定系数)\\\ \\ k = \begin{cases} 0, & \alpha 不是r^2+pr+q=0 的根 \\ 1, & \alpha 是r^2+pr+q=0 的单根\\ 2, & \alpha 是r^2+pr+q=0 的重根 \end{cases} 1:Pm(x)eαx y+py+qy=Pm(x)eαxy=xkQm(x)eαx Qm(x)mm+1 k=0,1,2,αr2+pr+q=0αr2+pr+q=0αr2+pr+q=0
    2 :   y ′ ′ + p y ′ + q y = f ( x )   f ( x ) = e λ x [ P l ( x ) cos ⁡ ω x + Q n ( x ) sin ⁡ ω x ] 则   y ∗ = x k e λ x [ R m ( 1 ) ( x ) cos ⁡ ω x + R m ( 2 ) ( x ) sin ⁡ ω x ] m = max ⁡ ( l , n )   R m ( x ) 为 m 次 多 项 式 , 系 数 待 定 ( m + 1 个 待 定 系 数 )   k = { 0 , λ ± ω i   不 是 特 征 根 1 , λ ± ω i   是 特 征 根 2:\\\ \\ y''+py'+qy=f(x)\\\ \\ f(x)=e^{\lambda x}[P_l(x)\cos \omega x+Q_n(x)\sin \omega x]\\则\\\ \\ y^*=x^ke^{\lambda x}[R_m^{(1)}(x)\cos \omega x+R_m^{(2)}(x)\sin \omega x]\\ m=\max(l,n)\\\ \\ R_m(x)为m次多项式,系数待定(m+1个待定系数)\\\ \\ k = \begin{cases} 0, & \lambda \pm \omega i \space不是特征根 \\ 1, & \lambda \pm \omega i \space是特征根\\ \end{cases} 2: y+py+qy=f(x) f(x)=eλx[Pl(x)cosωx+Qn(x)sinωx] y=xkeλx[Rm(1)(x)cosωx+Rm(2)(x)sinωx]m=max(l,n) Rm(x)mm+1 k={0,1,λ±ωi λ±ωi 
    常 见 特 解 形 式 : f ( x ) y C B x p B 1 x p + B 2 x p − 1 + ⋯ + B p x + B p + 1 e a x B e a x c o s ( w x ) o r s i n ( w x ) B 1 cos ⁡ ( w x ) + B 2 sin ⁡ ( w x ) 常见特解形式:\\ \begin{array}{c|c} f(x) & y \\ \hline C & B \\ x^p & B_1x^{p}+ B_2x^{p-1}+\cdots+ B_px+B_{p+1} \\ e^{ax} & Be^{ax} \\ cos(wx) or sin(wx) & B_1\cos (wx)+B_2\sin(wx) \end{array} f(x)Cxpeaxcos(wx)orsin(wx)yBB1xp+B2xp1++Bpx+Bp+1BeaxB1cos(wx)+B2sin(wx)

    #微分算子法 D 求特解

    微分算子法 D 求特解

    #积分变换解微分方程

    积分变换常用公式定理与方法

    复变函数留数的计算与公式

    在这里插入图片描述

    展开全文
  • 实验六 用matlab 求解常微分方程1.微分方程的概念未知的函数以及它的某些阶的导数连同自变量都由一已知方程联系在一起的方程称为微分方程。如果未知函数是一元函数,称为常微分方程常微分方程的一般形式为0),,",'...

    实验六 用matlab 求解常微分方程

    1.微分方程的概念

    未知的函数以及它的某些阶的导数连同自变量都由一已知方程联系在一起的方程称为微分方程。如果未知函数是一元函数,称为常微分方程。常微分方程的一般形式为

    0),,",',,()(=n y y y y t F

    如果未知函数是多元函数,成为偏微分方程。联系一些未知函数的一组微分方程组称为微分方程组。微分方程中出现的未知函数的导数的最高阶解数称为微分方程的阶。若方程中未知函数及其各阶导数都是一次的,称为线性常微分方程,一般表示为

    )()(')()(1)1(1)(t b y t a y t a y t a y n n n n =++++--

    若上式中的系数n i t a i ,,2,1),( =均与t 无关,称之为常系数。

    2.常微分方程的解析解

    有些微分方程可直接通过积分求解.例如,一解常系数常微分方程1+=y dt dy 可化为

    dt y dy =+1,两边积分可得通解为

    1-=t ce y .其中c 为任意常数.有些常微分方程可用一些技巧,如分离变量法,积分因子法,常数变异法,降阶法等可化为可积分的方程而求得解析解. 线性常微分方程的解满足叠加原理,从而他们的求解可归结为求一个特解和相应齐次微分方程的通解.一阶变系数线性微分方程总可用这一思路求得显式解。高阶线性常系数微分方程可用特征根法求得相应齐次微分方程的基本解,再用常数变异法求特解。 一阶常微分方程与高阶微分方程可以互化,已给一个n 阶方程

    ),,",',()1()(-=n n y y y t f y

    设)1(21,,',-===n n y y y y y y ,可将上式化为一阶方程组 ?????????====-),,,,(''''2113221n n n n y y y t f y y y y y y y

    反过来,在许多情况下,一阶微分方程组也可化为高阶方程。所以一阶微分方程组与高阶常微分方程的理论与方法在许多方面是相通的,一阶常系数线性微分方程组也可用特征根法求解。

    3.微分方程的数值解法

    除常系数线性微分方程可用特征根法求解,少数特殊方程可用初等积分法求解外,大部分微分方程无限世界,应用中主要依靠数值解法。考虑一阶常微分方程初值问题 ???=<<=000)()),(,()('y t y t t t t y t f t y f

    展开全文
  • 【实例简介】和Matlab应用有关的,具体介绍常微分方程的使用和解法,原理性介绍,帮助理解。局部截断误差指的是,按()式计算由到这一步的计算值与精确值之差+。为了估计它,由展开得到的精确值是()、()两式相减(注意到...

    【实例简介】

    和Matlab应用有关的,具体介绍常微分方程的使用和解法,原理性介绍,帮助理解。

    局部截断误差指的是,按()式计算由到这一步的计算值与精确值

    之差

    +。为了估计它,由

    展开得到的精确值

    ()、()两式相减(注意到=

    )得

    即局部截断误差是阶的,而数值算法的精度定义为:

    若一种算法的局部截断误差为

    ,则称该算法具有阶精度。

    显然葳大,方法的精度葳高。式()说明,向前

    方法是一阶方法,因此

    它的精度不高。

    改进的方法

    梯形公式

    利用数值积分方法将微分方程离散化时,若用梯形公式计算式中之右端积分,

    并用代替

    ,则得计算公式

    这就是求解初值问题()的梯形公式。

    直观上容易看出,用梯形公式计算数值积分要比矩形公式好。梯形公式为二阶方法

    梯形公式也是隐式格式,一般需用迭代法求解,迭代公式为

    由于函数

    关于满足

    条件,容易看出

    其中为

    常数。因此,当

    如果实际计算时精度要求不太高,用公式()求解时,每步可以只迭代一次,由此导

    出一种新的方法一改进

    改进

    按式()计算问题()的数值解时,如果每步只迭代一次,相当于将公式

    与梯形公式结合使用:先用公式求的个初步近似值,称为预测值,然

    后用梯形公式校正求得近似值,即

    预测

    校正

    式()称为由公式和梯形公式得到的预测一校正系统,也叫改进法。

    为便于编制程序上机,式()常改写成

    改进法是二阶方法

    龙收一库塔(

    -)方法

    回到方法的基本思想—用差商代替导数一上来。实际上,按照微分中佰定理

    应有

    +b<6<

    注意到方程=

    就有

    不妨记

    +日,称为区问

    上的平均斜率。可见给出一种

    斜率,()式就对应地导出一种算法

    向前公式简单地取

    为,精度自然很低。改进的公式可理

    解为取

    的平均值,其中

    ,这种处

    理提高了精度

    如上分析启示我们,在区间

    内多取几个点,将它们的斜率加权平均作为

    就有可能构造出精度史高的计算公式。这就是龙格一库塔方法的基本思想。

    首先不妨在区间内仍取个点,仿照()式用以下形式试一下

    +2+a

    +a+B

    其中元λαβ为待定系数,看看如何确定它们使()式的精度尽量高。为此我们

    分析局部截断误差

    因为

    ,所以()可以化为

    182

    2+2

    +a

    B

    其中在点

    作了

    展开。()式又可表为

    +元+2

    注意到

    +,可见为使误差

    只须令

    +元

    c

    待定系数满足()的()式称为阶龙格一库搭公式。由于()式有个未知数

    而只有个方程,所以解不唯一。不难发现,若令A=元

    a=B=,即为改

    进的

    公式。可以证明,在

    内只取点的龙格一库塔公式精度最高为

    阶龙格一库塔公式

    要进一步提高精度,必须取更多的点,如取点构造如下形式的公式:

    +++1+

    +a

    +B +B+B

    其中待定系数λαβ共个,经过与推导阶龙格一库塔公式类似、但更复杂的计

    算,得到使局部误差

    的个方程。取既满足这些方程、又较简

    单的组2aB,可得

    这貮是常用的阶龙格一库塔方法(简称方法)。

    线性多步法

    以上所介绍的各种数值解法都是单步法,这是因为它们在计算时,都只用到

    前步的值,单步法的般形式是

    其中φ

    称为增量函数,例如方法的增量函数为

    ,改进法的

    增量函数为

    如何通过较多地利用前面的已知信息,如

    ,来构造高精度的算法

    计算,这就是多步法的基本思想。经常使用的是线性多步法

    让我们试验一下

    即利用

    计算的情况。

    从用数值积分方法离散化方稈的()式

    出发,记

    ,式中被积函数

    用二节点

    的插值公式得到(因

    ,所以是外插

    此式在区间

    上积分可得

    于是得到

    注意到插值公式()的误差项含因子

    ,在区间

    上积分后

    181

    得出,故公式()的局部截断误差为

    ,精度比向前公式提高阶。

    若取=

    可以用类似的方法推导公式,如对于=有

    其局部截断误差为

    如果将上面代替被积函数

    用的插值公式由外插改为内插,可进一步减

    小误差。内插法用的是

    取三吋得到的是梯形公式,取=时

    可得

    与()式相比,虽然其局部截断误差仍为

    ,但因它的各项系数(绝对值)大

    为减小,误差还是小了。当然,()式右端的未知,需要如同向后公式一

    样,用迭代或校正的办法处理。

    阶微分方程组与高阶微分方程的数值解法

    阶微分方程红的数值解法

    设有一阶微分方程组的初值问题

    若记

    ,则初值

    问题()可写成如下冋量形式

    如果向量函数

    在区域

    连续,且关于满足

    条件,即存在

    使得对∈

    都有

    那么问题()在上存在唯解

    问题()与()形式上完全相同,故对初值闩题()所建立的各种数值解法可

    仝部用于求解问题()。

    高阶微分方程的数值解法

    高阶微分方稈的初值问题可以通过变量代换化为一阶徼分方程组初值问题

    设有阶常微分方程初值问题

    引入新变量=

    ,问题()就化为一阶微分方程初值问题

    然后用中的数值方法求解问题(),就可以得到问题()的数值解。

    最后需要指岀的是,在化学工程及自动控制等领域中,所涉及的常微分方程组初值

    问题常常是所谓的“刚性”问题。具体地说,对·阶线性微分方程组

    其中Φ∈

    为阶方阵。若知阵的特征值λ

    满足关系

    >>

    <

    <<

    则称方程组()为刚性方程组或方程组,称数

    <<

    为刚性比。对刚性方程组,用前面所介绍的方法求解,都会遇到木质上的困难,这是由

    数值方法本身的稳定性限制所决定的。理论上的分析表明,求解刚性问题所选用的数值

    方法最好是对步长不作任何限制。

    解法

    数值解

    非刚性常微分方程的解法

    的工具箱提供了几个解非刚性常微分方程的功能函数,如,

    ,其中采用四五阶方法,是解非刚性常微分方程的首选方法,

    采用二三阶方法,

    采用的是多步法,效率一般比

    的工具箱中没有

    方法的功能函数。

    ()对简单的一阶方稈的初值问题

    改进的公式为

    我们自己编写改进的方法函数

    如下:

    186

    例用改进的方法求解

    解编写函数文件

    如下

    在 Matlab命令窗口输入

    x, y]=eulerpro( doty', 0, 0.5, 1, 10)

    即可求得数值解。

    (TT)ode23,ode45,ode13的使用

    Matlab的函数形式是

    J=solver(F', tspan, yO

    这里ver为ode45,ode23,ode113,输入参数F是用M文件定义的微分方程

    右端的函数。 tspan-[t0, tfinal]是求解区间,y0是初值。

    例2用RK方法求解

    解同样地编写函数文件

    如下

    在Mat1ab命令窗口输入:

    x,y]-ode45(doty3,0,0.5,1)

    即可求得数值解。

    刚性常微分方程的解法

    的工具箱提供了几个解刚性常微分方程的功能函数,如

    ,这些函数的使用同上述非刚性微分方程的功能函数。

    高阶微分方程

    解法

    例考虑初值问题

    解()如果设

    ,那么

    初值问题可以写成=

    =的形式,其中

    ()把一阶方程组写成接受两个参数和,返回一个列向量的文件

    注意:尽管不一定用到参数和

    文件必须接受此两参数。这里向量必须是列

    向量。

    (ii)用 Matlab解决此问题的函数形式为

    [T, Y=salver('F, tspan, yo)

    这里 solver为ode45、odc23、odel13,输入参数F是用M文件定义的常微分方程组,

    tspan-[ to trina]是求解区间,y0是初值列向量。在 Matlab命令窗口输入

    [T,Y]=ode45(F,[01],[0;1;1])

    扰得到上述常微分方程的数值解。这里Y和时刻T是一一对应的,Y(:,1)是初值问题的

    解,Y(∷,2)是解的导数,Y(:,3)是解的二阶导数

    例求 van der pol方程

    的数值解,这里>是·参数。

    解(i)化成常微分方程组。设

    则有

    ()书写文件(对于=)

    ()调用

    函数。对于初值

    =,解为

    ()观察结果。利用图形输出解的结果:

    例 van der pol方程,=

    (刚性)

    鲆(i)书写M文件vdp10.m

    188

    【实例截图】

    【核心代码】

    展开全文
  • 文章目录前言1 常微分方程1.1 常微分方程的概念1.2 常微分方程的定义1.3 常微分方程数值求解的一般概念2 常微分方程数值求解函数3 刚性问题结语前言今天我们要说的就是利用MATLAB对常微分方程进行数值求解。...
  • 为了协调Richards方程数值...针对以含水率θ为变量的Richards方程进行了试验,常微分方程组求解采用CVODE求解器,并对土壤水分特征曲线和水量平衡进行了检验。结果表明,该模型具有较高的计算精度、求解效率和稳定性。
  • 《实验五__用matlab求解常微分方程》由会员分享,可在线阅读,更多相关《实验五__用matlab求解常微分方程(5页珍藏版)》请在人人文库网上搜索。1、实验五 用matlab求解常微分方程1微分方程的概念未知的函数以及它的...
  • 常微分方程Cauchy问题数值方法试验(二) 实验内容:Cauchy 问题数值解及其应用
  • 线性常微分方程的解满足叠加原理,从而他们的求解可归结为一个特解和相应齐次微分方程的通解.一阶变系数线性微分方程总可用这一思路求得显式解。高阶线性常系数微分方程可用特征根法求得相应齐次微分方程的基本解,...
  • 方程求解程序清单 a=-1,b=2,c=-1; w=1; m=2; n=1; h = 0.02; t=0:h:30; s1=dsolve('a*D2y+b*Dy+c*y=sin(w*t)','y(0)=m,Dy(0)=n','t'); s1_n = eval(s1); hold on plot(t,s1_n,'ko'); EulerOED(a,b,c,w,m,n,h); hold ...
  • 该脚本使用欧拉近似来表示,通过逐点绘制,以函数 f (y, t) 为特征的数值给定的一阶微分方程的解。 注意:函数可以是线性的,甚至可以是非线性的,这表明了该方法的效率。 警告:请选择一个接近 0 的 h 值,例如取 h...
  • 特征根法求微分方程的解

    千次阅读 2021-05-13 09:35:06
    特征根法求微分方程的解 一. 关于二阶系数微分方程的解法 线性齐次方程 ay′′+by′+cy=0a y^{\prime \prime}+b y^{\prime}+c y=0ay′′+by′+cy=0 的通解 解法: 先解特征方程 ar2+br+c=0a r^{2}+b r+c=0ar2+br...
  • )本文中函数都指一元函数,自变量和因变量都是标量,微分都指常微分。定义 (线性微分算子):设 为一个微分算子,若对于任意两个函数 、 和常数 、 ,该算子满足 ,则称 为线性微分算子。引理 : 为线性微分算子的...
  • 大连圣亚海洋世界官网-2021年2月7日发(作者:转身之后还是你)用Matlab求常微分方程<br>(ODE)的初值问题(IVP)本节考虑一阶常微分方程uf(t,u<br>)t0tTu(t)u0</p>0(1.1)的数值求解...
  • 《实验七用matlab求解常微分方程》由会员分享,可在线阅读,更多相关...2、能熟练使用dsolve函数求常微分方程(组)的解析解;3、能熟练应用ode45ode15s函数分别求常微分方程的非刚性、刚性的数值解;4、掌握绘制相...
  • 二阶微分方程matlab代码 this code works on matlab. It is shooting method impementation for solving second order differential equations
  • 简述计算机数学软件在常微分方程中的应用在目前计算机的普及应用的环境下,如何应用计算机数学软件对常微分方程的教学和研究进行计算机辅助分析是一个值得研究的方向,下面是小编搜索整理的一篇相关论文范文,希望对...
  • 【微信公众号:给力考研资料】免费分享常微分⽅程1.概念,2.⼀阶微分⽅程求解 3.⾼阶微分⽅程求解 4.应⽤题1.概念(7个概念,了解即可)微分⽅程—含有未知函数的导数或者微分的⽅程常微分⽅程—未知函数为⼀元函数的...
  • 特征值法解系数线性微分方程解法总结

    万次阅读 多人点赞 2016-04-09 13:33:43
    1. 引言 2. 准备知识 3. 系数齐次线性微分方程和欧拉方程 3.1 系数齐次线性微分方程的解 ... 本文主要讲系数线性微分方程特征值法做了总结。在文献[1]的4.2节,详细介绍了系数线性微分方程的解法,对...
  • 实验五 用matlab求解常微分方程1.微分方程的概念未知的函数以及它的某些阶的导数连同自变量都由一已知方程联系在一起的方程称为微分方程。如果未知函数是一元函数,称为常微分方程常微分方程的一般形式为F(t,y,y'...
  • 二阶非线性常微分方程的打靶法二阶非线性常微分方程的打靶法 计算思路 主要分为以下五步: 给定容许误差ε,迭代初始值γ1,对k=1,2,...做: (1)用四阶Runge-Kutta 方法求解初值问,得出u1之后取其在γk的值,从而...
  • 常见的常微分方程的一般解法

    万次阅读 多人点赞 2020-04-30 13:41:50
    本文归纳常见的常微分方程的一般解法。 常微分方程,我们一般可以将其归纳为如下n类: 可分离变量的微分方程(一阶) 一阶其次(非齐次)线性微分方程(一阶) 伯努利方程(一阶) 二阶常系数微分方程(二阶) 高阶...
  • 1 引言 科学技术和工程中大量的问题都表达为常微分方程的形式, 特别是描述系统的动态演变时, 如 R L C 电路、 数学摆、 人口模型、 生态模型、 化学反应过程等都表达为以时间 t 为独立变量的常微分方程或方程组, ...
  • 常微分方程.3 微分方程的向量场二、 积分曲线的图解法 所谓图解法就是不用微分方程解的具体表达式, 根据右端函数和向量场作出积分曲线的大致图形。 图解法只是定性的反映积分曲线的一部分主要特征。 该方法的思想...
  • 常微分方程的解析解(方法归纳)以及基于Python的微分方程数值解算例实现 本文归纳常见常微分方程的解析解解法以及基于Python的微分方程数值解算例实现。 如果没有出现意外,本文将不包含解法的推导过程。 常微分方程...
  • §5 微分方程稳定性 C1 稳定性 1)平衡解/驻定解:令驻定微分方程右端为0得到的常数解 2)稳定性: 稳定:∀ϵ>0,∃δ(ϵ,t0)>0,s.t.∥x(t0)∥≤δ  ⟹  ∀t≥t0,∥x(t)∥<ϵ\forall \epsilon\gt0,\...
  • 微分方程特征线法

    万次阅读 多人点赞 2018-03-21 23:13:39
    本文以尽可能清晰、简明的方式来介绍了一阶偏微分方程特征线法。个人认为这是偏微分方程理论中较为简单但事实上又容易让人含糊的一部分内容,因此尝试以自己的文字来做一番介绍。当然,更准确来说其实是笔者自己的...
  • 数学物理方程正交曲面坐标中的分离变量及二阶常微分方程特征值PPT学习教案.pptx

空空如也

空空如也

1 2 3 4 5 ... 20
收藏数 5,404
精华内容 2,161
关键字:

常微分方程求特征方程