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  • 4MATLAB常微分方程求解MATLAB微分方程 1 求简单微分方程的解析解 2 求微分方程的数值解 3 建模实例 1 求简单微分方程的解析解 求微分方程(组)的解析解命令: dsolve('方程1', '方程2',…'方程n', '初始条件', '自变量...

    4MATLAB常微分方程求解

    MATLAB微分方程 1 求简单微分方程的解析解 2 求微分方程的数值解 3 建模实例 1 求简单微分方程的解析解 求微分方程(组)的解析解命令: dsolve('方程1', '方程2',…'方程n', '初始条件', '自变量') 记号: 在表达微分方程时,用字母D表示求微分,D2、D3等表示求高阶微分. 任何D后所跟的字母为因变量,自变量可以指定或由系统规则选定为确省. 例如,微分方程 应表达为:D2y=0. 1 求简单微分方程的解析解 求微分方程(组)的解析解命令: dsolve('方程1', '方程2',…'方程n', '初始条件', '自变量') 例1 求 的通解 解 输入命令: dsolve('Du=1+u^2','t') 结果:u = tg(t + c) 例2 求微分方程的特解: 解 输入命令: y=dsolve('D2y+4*Dy+29*y=0','y(0)=0,Dy(0)=15','x') 结果: y =3e-2xsin(5x) 1 求简单微分方程的解析解 求微分方程(组)的解析解命令: 例3 求微分方程组的通解 解 输入命令 : [x,y,z]= dsolve('Dx=2*x-3*y+3*z', 'Dy=4*x-5*y+3*z', 'Dz=4*x-4*y+2*z', 't') 结果:x = c3e2t+c2e-t y = c1e-2t+c3e2t+c2e-t z = c1e-2t+c3e2t 2 求微分方程的数值解 2.1 常微分方程数值解的定义 2.2 建立数值解法的一些途径 2.3 用Matlab软件求常微分方程的数值解 2 求微分方程的数值解 2.1 常微分方程数值解的定义 在生产和科研中所处理的微分方程往往很复杂且大多得不出一般解。 而在实际上对初值问题,一般是要求得到解在若干个点上满足规定精确度的近似值,或者得到一个满足精确度要求的便于计算的表达式。 因此,研究常微分方程的数值解法是十分必要的。 2 求微分方程的数值解 2.1 常微分方程数值解的定义 对常微分方程 其数值解是指由初始点x0开始的若干离散的x值处的函数近似值 即对x0 < x1 < x2 <... xn xi f y k>

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  • 常微分方程数值求解常微分方程数值求解的一般概念常微分方程数值求解的一般概念常微分方程数值求解函数常微分方程数值求解函数求常微分方程数值解的函数举几个个栗子例一例二刚性问题举个例子 常微分方程数值求解的...

    常微分方程数值求解的一般概念

    常微分方程数值求解的一般概念

    1. 求解微分方程概念
      求解常微分方程初值问题就是寻找函数y(t)使之满足如下方程:
      y’=f(t,y),t0≤t≤b ,y(t0)=y0
      所谓其数值解法,就是求y(t)在离散结点tn处的函数近似值yn的方法,yn≈y(xn)。 这些近似值称为常微分方程初值问题的数值解。相邻两个结点之间的距离称为步长。

    2. 两种方法:

    • 单步法:在计算yn+1时只用到前一步的yn,因此在有了初值之后就可以逐步往下计算, 其代表是龙格-库塔(Runge-Kutta)法。
    • 多步法:在计算yn+1时,除了用到前一步的值yn之外,还要用到yn-p(p=1,2,…,k, k>0)的值,即前面的k步。其代表就是亚当斯(Adams)法。

    常微分方程数值求解函数

    常微分方程数值求解函数

    • 调用格式
      [t,y]=solver(filename,tspan,y0,option)
    1. t和y分别给出时间向量和相应的数值解。
    2. solver为求常微分方程数值解 的函数(即下面表格中的函数)。
    3. filename是定义f(t,y)的函数名,该函数必须返回一个列向量。
    4. tspan形式为[t0,tf],表示求解区间。
    5. y0是初始状态向量。
    6. Option是可选参数, 用于设置求解属性,常用的属性包括相对误差值RelTol(默认值是10-3)和绝对误 差值AbsTol(默认值是10-6)。
    • 常微分方程数值求解函数的统一命名格式:
      odennxx
    1. ode是Ordinary Differential Equation的缩写,是常微分方程的意思。
    2. nn是数字,代表所用方法的阶数。
      例如,ode23采用2阶龙格-库塔(Runge-Kutta)算法,用3阶公式做误差估计来调节步长,具有低等精度。
      ode45采用4阶龙格-库塔算法,用5阶公式做误差估计来调节步长,具有中
      等精度。
    3. xx是字母,用于标注方法的专门特征。例如,ode15s、ode23s中的“s”
      代表(Stiff),表示函数适用于刚性方程。

    求常微分方程数值解的函数

    在这里插入图片描述

    举几个个栗子

    例一

    在这里插入图片描述

    f=@(t,y) (y^2-t-2)/4/(t+1);
    [t,y]=ode23(f,[0,10],2);
    y1=sqrt(t+1)+1;%精确计算
    plot(t,y,'b:',t,y1,'r');%绘图比较一下精确计算与数值求解的结果,从图形可以看出拟合较好
    

    在这里插入图片描述

    例二

    在这里插入图片描述

    f=@(t,x) [-2,0;0,1]*[x(2);x(1)]; 
    [t,x]=ode45(f,[0,20],[1,0]); %四个未知数
    subplot(2,2,1);plot(t,x(:,2));
    subplot(2,2,2);plot(x(:,2),x(:,1));
    

    在这里插入图片描述

    刚性问题

    有一类常微分方程,其解的分量有的变化很快,有的变化很慢,且相差悬殊,这就是所谓的刚性问题(Stiff)。
    对于刚性问题,数值解算法必须取很小步长才能获得满意的结果,导致计算
    量会大大增加。解决刚性问题需要有专门方法。非刚性算法可以求解刚性问
    题,只不过需要很长的计算时间。

    举个例子

    假如点燃一个火柴,火焰球迅速增大直至某个临界体积,然后,维持这一体积不变,原因是火焰球内部燃烧耗费的氧气和从球表面所获氧气达到平衡。其简化模型如下:
    在这里插入图片描述
    其中,y(t)代表火焰球半径,初始半径是λ,它很小。分析λ的大小对方程求解过程的影响。
    这里列出两个方法,通过对比时间长短体会刚性问题的特殊解法。

    lamada较大采用非刚性解法
    lamda=0.01; %lamada较大
    f=@(t,y) y^2-y^3;
    tic;%记录开始时间
    [t,y]=ode45(f,[0,2/lamda],lamda);%非刚性解法
    toc ;%记录结束时间
    disp(['ode45计算的点数' num2str(length(t))]);
    结果:
    时间已过 0.061455 秒。%时间较短,说明此时没有较明显的刚性
    ode45计算的点数157
    
    lamada较小,两种方法对比
    非刚性解法:
    lamda=1e-5; %lamda特别小
    f=@(t,y) y^2-y^3; 
    tic;
    [t,y]=ode45(f,[0,2/lamda],lamda);
    toc;
    disp(['ode45计算的点数' num2str(length(t))]);
    结果:
    时间已过 0.230707 秒。
    ode45计算的点数120565%时间长,点数多表明明显的钢性特征
    
    刚性解法:
    lamda=1e-5;
    f=@(t,y) y^2-y^3; 
    tic;
    [t,y]=ode15s(f,[0,2/lamda],lamda);
    toc 
    disp(['ode15s计算的点数' num2str(length(t))])
    结果:
    时间已过 0.044472 秒。
    ode15s计算的点数98
    
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  • 但之前求解微分方程的解析方法主要是应用于一些简单和特殊的微分方程求解中,对于一般形式的微分方程,一般很难用解析方法求出精确解,只能用数值方法求解。而在具体求解微分方程中,一般来说是条件是 KaTeX parse ...

    在惯性导航以及VIO等实际问题中利用IMU求解位姿需要对IMU测量值进行积分得到需要的位置和姿态,其中主要就是求解微分方程。但之前求解微分方程的解析方法主要是应用于一些简单和特殊的微分方程求解中,对于一般形式的微分方程,一般很难用解析方法求出精确解,只能用数值方法求解。该系列主要介绍一些常用的常微分方程的数值解法,主要包括:

    这个系列后面文章会用到前面文章的理论和技术,所以建议按照顺序查看。

    简介

    而在具体求解微分方程中,一般来说给定的条件是
    { x ′ ( t ) = f ( t , x ( t ) ) , a ≤ t ≤ b x ( t 0 ) = x 0 \begin{cases} \mathbf{x}^{\prime}(t)=f(t, \mathbf{x}(t)), \quad a \leq t \leq b \\ \mathbf{x}({t_0}) = x_0 \end{cases} {x(t)=f(t,x(t)),atbx(t0)=x0
    即给定微分方程以及原方程在初始点的值,求原方程在某个 t t t下的 x ( t ) x(t) x(t)原方程的值,这类问题就是(一阶)常微分方程初值求解问题。
    (这里不对常微分方程或者偏微分方程等概念,以及求解微分方程的其他条件如边界条件情况做详细介绍,需要了解的话可以自己google,不影响本系列介绍。)

    解法介绍

    一般来说,(一阶)常微分方程数值解法基本思想是:
    在区间 [ a , b ] [a, b] [a,b]中插入一系列间隔相同为 Δ t \Delta t Δt的离散点
    a ≤ t 0 < t 1 < ⋯ < t i < ⋯ < t n − 1 < t n ≤ b a \leq t_0 < t_1< \cdots < t_i < \cdots < t_{n-1} < t_n \leq b at0<t1<<ti<<tn1<tnb
    常微分方程的数值解法的目的就是在给定合适初始值前提下,建立求解 x ( t ) x(t) x(t)的近似值 x t x_t xt的递推方式,这样求得 x ( t ) x(t) x(t)在各个离散点的近似值。
    给定一个具体的时间间隔 Δ t \Delta_t Δt,可以把该方程转换成差分方程
    x ( t + Δ t ) = x ( t ) + ∫ τ ∈ [ t , t + Δ t ] f ( τ , x ( τ ) ) d τ , a ≤ t ≤ b , (1) \mathbf{x}(t+\Delta t)=\mathbf{x}(t)+\int_{\tau \in [t, t+\Delta t]} f(\tau, \mathbf{x}(\tau)) d \tau, \quad a \leq t \leq b, \tag{1} x(t+Δt)=x(t)+τ[t,t+Δt]f(τ,x(τ))dτ,atb,(1)
    这样利用之前说的离散点可以把 t t t离散化,那么 t i = a + i Δ t t_{i}=a+i \Delta t ti=a+iΔt以及 x i ≈ x ( t i ) \mathbf{x}_{i} \approx \mathbf{x}(t_{i}) xix(ti),所以上面公式 ( 2 ) (2) (2)也可以写成
    x ( t i + 1 ) ≈ x i + 1 = x i + ∫ τ ∈ [ a + i Δ t , a + ( i + 1 ) Δ t ] f ( τ , x ( τ ) ) d τ , (2) \mathbf{x}(t_{i+1}) \approx x_{i+1}=\mathbf{x}_{i}+\int_{\tau \in [a+i \Delta t, a+(i+1) \Delta t]} f(\tau, \mathbf{x}(\tau)) d \tau, \tag{2} x(ti+1)xi+1=xi+τ[a+iΔt,a+(i+1)Δt]f(τ,x(τ))dτ,(2)

    截断误差

    上节介绍常微分方程的数值解法就是利用初值和离散点获得近似值 x t x_t xt,但是和真实值 x ( t ) x(t) x(t)之前还是存在误差,即
    e i = x i − x ( t i ) , (3) \boldsymbol{e}_i = x_i - \mathbf{x}(t_i), \tag{3} ei=xix(ti),(3)
    e i \boldsymbol{e}_i ei则表示该数值解法在离散点 t i t_i ti处的局部截断误差。局部截断误差在一定程度上反应了该数值解法的精度。
    一般来说常用泰勒展开式来计算讨论局部截断误差,后面具体方法会给出具体的对应的截断误差的讨论。这里简单给出定义:
    如果数值解法的局部截断误差为 e i = O ( Δ t P + 1 ) \boldsymbol{e}_i = \boldsymbol{O}(\Delta t^{P+1}) ei=O(ΔtP+1),则称该解法具有P阶精度或P阶解法

    这里 O ( Δ t P + 1 ) \boldsymbol{O}(\Delta t^{P+1}) O(ΔtP+1)为泰勒展开式的余项

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  • 常微分方程及其matlab求解 毕业论文设计 常微分方程及其matlab求解 目 录 摘要1 关键字1 引言1 第一章 一阶微分方程的初等解法1 1.1 变量分离微分方程与变量代换1 1.1.1变量分离微分方程2 1.1.2 可化为变量分离微分...

    41528d3028836879cd698677c3999917.gif常微分方程及其matlab求解 毕业论文设计

    常微分方程及其matlab求解 目 录 摘要1 关键字1 引言1 第一章 一阶微分方程的初等解法1 1.1 变量分离微分方程与变量代换1 1.1.1变量分离微分方程2 1.1.2 可化为变量分离微分方程的类型2 1.2线性分式方程3 1.3线性方程与伯努利方程4 1.4全微分方程与积分因子6 1.4.1 全微分方程6 1.4.2 积分因子7 1.5一阶隐方程8 1.5.1可解出y或x的方程的解法8 1.5.2 不显含y(或x)的方程10 1.6 matlab 在一阶方程中的应用10 第二章 高阶微分方程的解法13 2.1 线性微分方程的一般理论13 1 齐次线性微分方程的解的性质与结构13 2.非奇次线性微分方程与常数变易法14 2.2常系数线性微分方程的解法14 1.复值函数与复值解15 2.3.非齐次线性微分方程的比较系数法18 2.4用matlab解高阶线性方程20 第三章 线性微分方程组24 3.1矩阵指数24 3.2基解矩阵的计算25 1.矩阵A存在n个线性无关的特征向量的情形25 3.3用MATLAB解线性方程组29 致 谢30 参考文献30 Ordinary Differential Equation And Carry On By MATLAB30 Abstract30 Keywords30 常微分方程及其matlab求解 摘要: 本文主要讨论了一阶常微分方程和高阶常微分方程的相关解法问题,并用matlab求解相关方程.文章首先探讨了一阶常微分方程的解法,讨论的主要类型有:变量可分离方程、可化为变量可分离方程的类型、齐次方程、一阶线性微分方程;在解决这些类型的一阶常微分方程时,用到的方法有:变量分离法和一阶线性方程的常数变易法.然后讨论了高阶常微分方程的解法的问题,所讨论的解法有:非齐线性方程的常数变易法、常系数齐线性方程的欧拉待定指数法和非齐线性方程的比较系数法.最后简单讨论了线性微分方程组的解法和性质。 关键字: 一阶常微分方程 高阶常微分方程 解法 matlab Ordinary Differential Equation And Carry On By MATLAB Abstract: This paper mainly discusses some related solutions of the first-order and higher-order ordinary differential equations and solve the relevant equations with matlab. This paper firstly introduces the basic concept of differential equations. on such a basis, the paper probes into the solutions of the first-order differential equations including the main types such as variable separable equation, separable variable equations which can be translated into the equation homogeneous equation,and a linear differential equations. To solve such types of first-order differential equation, the s can be used: variable separation and a linear equation of constant change of law.Then,it discusses the solutions of the higher-order differential equation. The solution are non-homogeneous linear equation of constant variation , Euler be determined index of constant coefficient of linear equations, nonhomogeneous linear equations comparison . Finally,Briefly discussed the solution of linear differential equations and their properties. Keywords: first-order ordinary differential equations; higher-order ordinary differential equations; Solution; MATLAB 引言: 常微分方程作为现代数学的一个重要分支,它的产生几乎与微积分是同时代的,经过历史的演变,它已经是各种应用学科和数学理论研究都不可缺少的工具。随着计算机技术的飞速发展,更使它的应用渗透到力学、天文、物理等各个领域。 遗憾的是,绝大多数微分方程定解问题的解不能以实用的解析形式来表示,这就产生了理论与应用的矛盾:一方面,人们建立了大量实用的数学模型,列出了反映客观现象的微分方程;另一方面,人们又无法得到这些方程的准确解以定量地描述客观过程。从20世纪80年代以来,世界各国所开发的数学类科技软件多达几十种,在我国流行的数学软件主要有四种:MATLAB、Mathematica、Maple和MathCAD。其中,MATLAB有着其它几种数学软件无法比拟的优势和适用面,近几年,MATLAB已成为科学工作者首选的数学软件。本文把微分方程求解和MATLAB有机的结合起来,全面介绍了微分方程的求解在MATLAB中的实现,使得让数学基础不深厚的读者同样能轻易利用MATLAB解决较高深的微分方程问题。 第一章 一阶微分方程的初等解法 1.1 变量分离微分方程与变量代换 变量分离微分方程是一种最简单也是最基本的可用初等方法求解的微分方程类型,对一般的微分方程总是设法寻求适当的变量代换,将其化为变量分离微分方程来求解。 1.1.1变量分离微分方程 形如 (1.1) 的方程,称为变量分离微分方程,其中分别是的连续函数。 如果,方程改写为: (1.2) 如果是方程的解,且,则在解的定义域内满足 (1.3

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空空如也

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