精华内容
下载资源
问答
  • 常微分方程的稳定性分析,徐颖,黄佳琪,摘要:稳定性理论是19世纪80年代由俄国数学家李雅普诺夫创建的,稳定性理论在自动控制、航空技术、生态生物、生化反应等自然科学�
  • 常微分方程的稳定性理论,第一部分介绍了常微分方程组,线性微分方程组的概念,从第五章开始稳定性理论的讲解。包括李亚普诺夫稳定性与全局稳定性
  • §5 微分方程稳定性 C1 稳定性 1)平衡解/驻定解:令驻定微分方程右端为0得到常数解 2)稳定性: 稳定:∀ϵ>0,∃δ(ϵ,t0)>0,s.t.∥x(t0)∥≤δ  ⟹  ∀t≥t0,∥x(t)∥<ϵ\forall \epsilon\gt0,\...

    §5 微分方程稳定性

    C1 稳定性

    1)平衡解/驻定解:令驻定微分方程右端为0得到的常数解

    2)稳定性:

    • 稳定ϵ>0,δ(ϵ,t0)>0,s.t.x(t0)δ    tt0,x(t)<ϵ\forall \epsilon\gt0,\exist \delta(\epsilon,t_0)\gt0,s.t.\Vert x(t_0)\Vert\le\delta\implies\forall t\ge t_0 ,\Vert x(t)\Vert\lt\epsilon

      • δ\deltat0t_0无关,则称一致稳定
    • 渐进稳定:若零解稳定且δ(ϵ)>0,s.t.x(t0)δ    limtx(t)=0\exist \delta(\epsilon)\gt0,s.t.\Vert x(t_0)\Vert\le\delta\implies \lim\limits_{t\to\infin} x(t) =0

      • 稳定不一定渐进稳定,例如x(t)x(t0)x(t)\equiv x(t_0)
    • (渐进)稳定域/吸引域:满足渐进稳定的x(t0)x(t_0)的域D0D_0

      • 全局稳定D0=UD_0=U
    • 对于含有特解y0(t)y_0(t)的方程,可作变换x(t)=y(t)y0(t)x(t)=y(t)-y_0(t)转化为x(t)x(t)的零解稳定性问题

    3)一阶常系数线性微分方程组稳定性:

    • λi,Re λi<0\forall \lambda_i,\mathrm{Re} \ \lambda_i<0渐进稳定
    • λi,Re λi0λj,Re λj=0kj=1\forall\lambda_i,\mathrm{Re}\ \lambda_i\le 0\wedge\exist \lambda_j,\mathrm{Re} \ \lambda_j=0 \wedge k_j=1稳定
    • 其他情况,不稳定

    4)非线性微分方程组ddtx=Ax+R(x),R(0)=0,R(t)=o(x)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\vec x=A\vec x+\vec R(x),R(0)=0,\Vert R(t)\Vert=o(\Vert x\Vert)稳定性:记线性近似为ddtx=Ax\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\vec x=A\vec x

    • λi,Re λi<0\forall \lambda_i,\mathrm{Re} \ \lambda_i<0渐进稳定
    • λi,Re λi>0\exist\lambda_i,\mathrm{Re} \ \lambda_i >0不稳定
    • λi,Re λi0\forall\lambda_i,\mathrm{Re}\ \lambda_i\neq 0同近似方程稳定性

    5)Hurwitz负实部根判别定理

    • Hurwitz行列式:代数方程i=0naiλni=0,a0>0\sum\limits_{i=0}^n a_i\lambda^{n-i}=0,a_0\gt0Δ1=a1,Δk=akΔk1\Delta_1=a_1,\Delta_k=a_k\Delta_{k-1}
    • 定理:根具有负实部    Δi>0,i=1,2,,n1an>0\iff \Delta_i>0,i=1,2,\dots,n-1\wedge a_n>0

    C2 V函数方法

    1)V函数V(x)V(\vec x)为域xH\Vert\vec x\Vert\le H内定义的实连续可微函数,V(0)=0V(0)=0

    • 常正:V(x)0V(\vec x)\ge 0
    • 定正:V(x)>0,x0V(\vec x)\gt 0,x\neq 0
    • 全导数:ddtV=i=1nVxixit\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}V=\sum\limits_{i=1}^n\frac{\partial V}{\partial x_i}\frac{\partial x_i}{\partial t}

    2)李雅普诺夫定理:若一阶非线性驻定微分方程组ddtx=f(x),f(0)=0\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\vec x=f(\vec x),f(0)=0

    • 存在定正V(x)V(\vec x),全导数常负,则零解稳定
      • 若全导数零点不包含除x=0x=0外的整条正半轨线,则还是渐进稳定的
    • 存在定正V(x)V(\vec x),全导数定负,则零解渐进稳定
    • 存在V(x),μ0,s.t.ddtV=μV+W(x)V(\vec x),\mu\ge0,s.t.\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}V=\mu V+W(\vec x),且W(x){,μ=0,μ0W(\vec x)\begin{cases}正定,\mu=0\\常负,\mu\neq0\end{cases}x=0x=0的任意小领域存在V(x0)>0V(x_0)\gt0,则零解不稳定

    C3 平面图貌

    1)对于二维一阶驻定微分方程组{ddtx=X(x,y)ddty=Y(x,y)\begin{cases}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} x =X(x,y)\\\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}y=Y(x,y)\end{cases}

    • 未知函数构成的平面OxyOxy称为相平面

    • {x=x(t)y=y(t)\begin{cases} x=x(t)\\y=y(t)\end{cases}称为积分曲线,积分曲线在相平面上的投影称为轨线,轨线不相交

      证明:X2+Y20X^2+Y^2\neq0时候,可表示为dydx=YX\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{Y}{X}dxdy=XY\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y}=\frac{X}{Y},由解的唯一性,若曲线相交则重合

    • 奇点:驻定解(x,y):{X(x,y)=0Y(x,y)=0(x^*,y^*):\begin{cases} X(x^*,y^*)=0\\Y(x^*,y^*)=0\end{cases}

    2)奇点领域轨线图貌:先通过线性变化将奇点移动到原点,取线性近似{ddtx=ax+byddty=cx+dy\begin{cases}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} x =ax+by\\\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}y=cx+dy\end{cases},求系数矩阵特征根λ1=(a+d),λ2=adbc\lambda_1=-(a+d),\lambda_2=ad-bc,根据特征值不同情况可将其线性变换为标准形式,记变换后变量为ξ,η\xi,\eta

    • 若系数矩阵非奇异,则奇点唯一

      • 同号相异实根——{dξdt=λ1ξdηdt=λ2η\begin{cases}\frac{\mathrm{d}\xi}{\mathrm{d}t} =\lambda_1\xi\\\frac{\mathrm{d}\eta}{\mathrm{d}t}=\lambda_2\eta\end{cases}——结点

        B=0B=0,则轨线为ξ\xi轴,A=0A=0,则轨线为η\eta轴,图貌如图a,b。变换回相平面如图c

        λ1,λ2<0\lambda_1,\lambda_2<0,则渐近稳定,对应的节点称稳定节点

        λ1,λ2>0\lambda_1,\lambda_2>0,则不稳定,称不稳定结点

      • 异号实根——{dξdt=λ1ξdηdt=λ2η\begin{cases}\frac{\mathrm{d}\xi}{\mathrm{d}t} =\lambda_1\xi\\\frac{\mathrm{d}\eta}{\mathrm{d}t}=\lambda_2\eta\end{cases}——鞍点

      • 重根

        • b2+c20b^2+c^2\neq0——{dξdt=λξ+ηdηdt=λη\begin{cases}\frac{\mathrm{d}\xi}{\mathrm{d}t} =\lambda\xi+\eta\\\frac{\mathrm{d}\eta}{\mathrm{d}t}=\lambda\eta\end{cases}——退化奇点

          A=0A=0ξ\xi轴为轨线,λ<0\lambda<0时候稳定,λ>0\lambda>0时不稳定

        • b=c=0b=c=0——{dξdt=λξdηdt=λη\begin{cases}\frac{\mathrm{d}\xi}{\mathrm{d}t} =\lambda \xi\\\frac{\mathrm{d}\eta}{\mathrm{d}t}=\lambda\eta\end{cases}——奇节点

      • 非零实部复根——{dξdt=αξ+βηdηdt=βξ+αη\begin{cases}\frac{\mathrm{d}\xi}{\mathrm{d}t} =\alpha \xi+\beta\eta\\\frac{\mathrm{d}\eta}{\mathrm{d}t}=-\beta\xi+\alpha\eta\end{cases}——焦点

        轨线为对数螺线,β>0\beta>0时呈顺时针。α>0\alpha>0时不稳定,α<0\alpha<0时稳定

      • 纯虚根——{dξdt=βηdηdt=βξ\begin{cases}\frac{\mathrm{d}\xi}{\mathrm{d}t} =\beta\eta\\\frac{\mathrm{d}\eta}{\mathrm{d}t}=-\beta\xi\end{cases}——中心

        轨线是同心圆,零解稳定但不渐进稳定

    • 若系数矩阵奇异:存在零根,出现奇线:线上点均为奇点

      • 若特征方程有重零根:轨线与奇线平行

      • 若特征方程有单零根:轨线奇线相交

      • 若系数矩阵为零矩阵,全平面都是奇点

    3)极限环:孤立的周期解(呈现为闭轨线)

    • 稳定性:若tt\to\infin时极限环附近轨线都趋于极限环时称稳定极限环,若只有一侧轨线趋近则称半稳定

    • 环域定理:若X(x,y),Y(x,y)X(x,y),Y(x,y)在环型区域D上连续可微,且D不含奇点,而过D中点的任意轨线在t>t0t>t_0时不离开D,则轨线或者为D内闭轨线,或者趋向D内闭轨线

    • 定理:若单连通区域DD^*Xx+Yy\frac{\partial X}{\partial x}+\frac{\partial Y}{\partial y}不变号且任何子域上不恒为0,则不含周期解

    • 李纳微分方程:d2xdt2+f(x)dxdt+g(x)=0\frac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d}t^2}+f(x)\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}+g(x)=0

      若:

      • f,gf,g连续,gg满足局部Lipchitz条件
      • ff为偶函数,f(0)<0f(0)<0gg为奇函数,xg(x)>0,x0xg(x)>0,x\neq0
      • x±x\to\pm\infinF(x)=0xf(t)dt±F(x)=\int_0^x f(t)\mathrm{d}t\to\pm\infin,且F(x)F(x)有唯一正零点x=ax=a,且xax\ge aF(x)F(x)单调递增

      则方程有一个稳定极限环

    4)平面图貌分析:通过绘制等倾斜线,其交点为奇点,而两线所夹部分偏导数不变号,可预测轨线走向

    5)分界线:从奇点到奇点的轨线

    • 若分界线构成一个环(回到自身),称为同宿环
    • 若分界线两端是不同奇点,称异宿轨
    • 若多条分界线与多各奇点构成一个环,称异宿环
    展开全文
  • 常微分方程定性与稳定性理论,控制专业研究生可以参考一下,里面有李雅普诺夫稳定性的详细介绍
  • 在本文中,我们使用插值函数来推导数值积分器,该数值积分器可用于求解常微分方程一阶初值问题。 分析了积分器数值质量,以验证新方法可靠。 数值试验表明,所开发有限差分方法具有与样本初值问题解析...
  • 常微分方程

    2019-01-05 22:38:25
    作者从常微分方程在现代科学技术方面应用出发,对材料作了新选择和安排,不仅讲述了纯数学的常微分方程理论,同时还讲述了有关技术应用本身。全书包括引论,常系数线性方程,变系数线性方程,存在性定理,稳定...
  • 常微分方程初值问题一类单步解法,李晓辉,岳荣先,利用Taylor展开工具提出常微分方程初值问题一类单步求解法,并证明该方法相容性、稳定性和收敛性.该方法克服了传统单步法缺�
  • Matlab在常微分方程求解中的应用;实验目的 1学会用Matlab软件求解微分方程的初值问题 2了解微分方程数值解思想掌握基本的微分方程数值解方法 3学会根据实际问题建立简单...常微分方程的解析解; 解 输入命令: y=dsolve
  • 微分方程的数值解法——常微分方程——差分法差分法思想: 差分就是讲解析解中的差分方程中的微分项用差分来代替,当取得变量步长足够小时可以无限逼近。两大步骤: 1.建立差分格式 1.对解得存在区域划分 2....

    微分方程的数值解法——常微分方程——差分法

    差分法思想:
    差分就是讲解析解中的差分方程中的微分项用差分来代替,当取得变量步长足够小时可以无限逼近。

    两大步骤:
    1.建立差分格式
    1.对解得存在区域划分
    2.采用不同的算法可以得到不同的精度,即截断误差
    3.数值解对解析解的精度
    4.数值解收敛于真解的速度
    5.处分算法的稳定性
    2.差分格式求解
    将微分方程转化为代数方程求解,一般常用地推算法
    差分方法的原理:
    由下士泰勒展开可以看到:
    这里写图片描述
    当步长h足够小时,后面的高阶项都可以省略,因此有:
    这里写图片描述
    上式中主要是是如何表达微分项,根据差分过程,微分项的表达如下:
    具体实例:
    这里写图片描述
    MATLAB中实现:

    %微分方程数值解法----欧拉法测试
    %-------------------------------------
    clc;
    clear all;
    close all;
    %-------------------------------------
    %du/dt + u^2 = 0
    %u(0)=1
    %-------------------------------------
    N = 100;
    t_s = 0;
    t_e = 1;
    dt = (t_e-t_s)/N;
    t = t_s:dt:t_e-dt;
    %-------------------------------------
    %解析解
    u_j=1./(1+t);
    u_s(1) = 1;
    for i=2:N
        u_s(i)=-u_s(i-1)^2*dt+u_s(i-1);
    end
    subplot(2,1,1);
    plot(t,u_j,'-o',t,u_s,'-*');
    xlabel('t');
    ylabel('y');
    legend('解析解','数值解');
    subplot(2,1,2);
    plot(t,u_j-u_s,'-r');
    xlabel('t');
    ylabel('err');
    legend('误差');

    运行结果:
    这里写图片描述
    可以看出解析解和数值解之间很接近,误差不大;
    当增加步长时如下图所示:
    这里写图片描述
    可见步长对精度的重要性;

    展开全文
  • 在本文中,我们使用具有强三角函数的插值函数来推导数值积分器,该积分器可用于求解常微分方程中的一阶初值问题。... 离散模型已用于数值实验,这使我们得出结论,该方案适合于一阶常微分方程的求解。
  • 了解有关常微分方程数值解基本问题(收敛性与稳定性). 了解常微分方程基本问题几个最简单数值积分方法.
  • 可以画出二阶微分方程图形,有利于对分支稳定性等问题研究。
  • 分别用欧拉公式和改进欧拉公式方法解决RC回路问题,虽然改进欧拉公式迭代关系更加地复杂,但是稳定性高于欧拉公式。欧拉法解常微分方程 分析报告
  • 暂态稳定性分析包括近似实时地计算建模电网网络的代数方程和建模电网电气组件(如同步发电机,励磁机,调速器等)动力学的常微分方程的解。 在这项研究中,我们调查了时间并行方法的使用,尤其是使用Compute ...
  • 本文旨在解决常微分方程的一些二阶初值问题,并将结果与​​理论解进行比较。 用这种方法解决了二阶常微分方程的一些初值问题,我们发现该结果与理论解相吻合,得出的结论是,研究中得出的新数值算法方案是近似正确...
  • 欧拉方程 改进的欧拉方法 龙格-库塔方法 阿当姆斯方法 一阶方程组 微分方程数值计算的稳定性问题

    欧拉方程

    改进的欧拉方法

    龙格-库塔方法

    阿当姆斯方法

    一阶方程组

    微分方程数值计算的稳定性问题

    展开全文
  • 第一章 基本定理   1设有 $$\bex \frac{\rd \bbx}{\rd t}=\bbf(t,\bbx),\quad \bbx(t_0)=\bbx^0,\quad (t_0,... \eex$$ 试证: 若 $\bbf\in C^1(G)$, 则在 $(t_0,\bbx^0)$ 领域内, 此 Cauchy 问题解存在惟一....

    第一章    基本定理

     

    1设有 $$\bex \frac{\rd \bbx}{\rd t}=\bbf(t,\bbx),\quad \bbx(t_0)=\bbx^0,\quad (t_0,\bbx^0)\in \bbR\times \bbR^n. \eex$$ 试证: 若 $\bbf\in C^1(G)$, 则在 $(t_0,\bbx^0)$ 的领域内, 此 Cauchy 问题的解存在惟一.

    证明: 由 $f\in C^1(G)$ 蕴含 $f\in C(G)$ 且在 $G$ 内适合 Lipschitz 条件知有结论.

     

     

    2试讨论下列方程解的存在区间:

    (1)    $\dps{\frac{\rd y}{\rd x}=\frac{1}{x^2+y^2}}$;

    (2)    $\dps{\frac{\rd y}{\rd x}=y(y-1)}$.

    解答:

    (1)    由 $\dps{\frac{\rd x}{\rd y}=x^2+y^2}$ 的解的存在区间有限知 $y$ 有界, 而由解的延

    拓定理, 原方程解的存在区间为 $\bbR$.

    (2)    直接求解有 $\dps{y=\frac{1}{1-\frac{y_0-1}{y_0}e^x}}$, 而

    a.当 $0\leq y_0\leq 1$ 时, 原方程解的存在区间为 $\bbR$;

    b.当 $y_0<0$ 时, 原方程解的存在区间为 $\dps{\sex{\ln\frac{y_0}{y_0-1},\infty}}$;

    c.当 $y_0>1$ 时, 原方程解的存在区间为 $\dps{\sex{-\infty,\ln\frac{y_0}{y_0-1}}}$.

     

     

    3 设有一阶微分方程式 $$\bex \frac{\rd x}{\rd t}=(t-x)e^{tx^2}. \eex$$ 试证: 过任一点 $(t_0,x_0)\in\bbR^2$ 的右行解的存在区间均为 $[t_0,+\infty)$.

    证明: 由 $$\bex \frac{\rd x}{\rd t}=(t-x)e^{tx^2}=\left\{\ba{ll} <0,&x>t,\\ >0,&x<t \ea\right. \eex$$ 知解在 $\sed{x>t}$ 内递减, 在 $\sed{x<t}$ 内递增. 当 $x_0>t_0$ 时, 在 $$\bex \sed{(t,x);t\in\bbR, t_0<x<x_0} \eex$$ 内应用解的延伸定理知解定与 $\sed{x=t}$ 相交, 之后解递增, 在 $$\bex \sed{(t,x);t\in\bbR,x<t} \eex$$ 内应用延伸定理及比较定理即知结论.

     

     

    4设有一阶方程 $\dps{\frac{\rd x}{\rd t}=f(x)}$, 若 $f\in C(-\infty,+\infty)$, 且当 $x\neq 0$ 时有 $xf(x)<0$. 求证过 $\forall\ (t_0,x_0)\in\bbR^2$, Cauchy 问题的右行解均在 $[t_0,+\infty)$ 上存在, 且 $\dps{\lim_{t\to+\infty}x(t)=0}$.

    证明: 由题意, $$\bex f(x)\left\{\ba{ll} >0,&x<0,\\ <0,&x>0. \ea\right. \eex$$ 而由 $f$ 的连续性, $f(0)=0$. 于是当 $x_0=0$ 时, 由解的唯一性知 $x=0$. 当 $x_0>0$ 时, 在 $$\bex \sed{(t,x);t\in\bbR,0<x<x_0} \eex$$ 内应用延伸定理及惟一性定理知 $x(t)$ 递减趋于 $0$. 当 $x_0<0$ 时, 在 $$\bex \sed{(t,x);t\in\bbR,x_0<x<0} \eex$$ 内应用延伸定理及惟一性定理知 $x(t)$ 递增趋于 $0$.

     

    5若 $\bbf(t,\bbx)$ 在全空间 $\bbR\times\bbR^n$ 上连续且对 $\bbx$ 满足局部 Lipschitz 条件且 $$\bex \sen{\bbf(t,\bbx)}\leq L(r),\quad r=\sqrt{\sum_{i=1}^n x_i^2},\quad \bbx=(x_1,\cdots,x_n)^T, \eex$$ 其中 $L(r)>0, r>0$, 且 $$\bee\label{1.5:1} \int_a^{+\infty}\frac{\rd r}{L(r)}=+\infty,\quad a>0. \eee$$ 试证: 对 $\forall\ (t_0,\bbx^0)\in\bbR\times\bbR^n$, Cauchy 问题的解均可对 $t$ 无限延拓.

    证明: 由解的延伸定理, 仅须证明在任何有限区间 $-\infty<\alpha<t<\beta<+\infty$ 上, $\bbx(t)$ 有界. 为此, 令 $y(t)=\sen{\bbx(t)}$, 则 $$\beex \bea \frac{\rd y(t)}{\rd t}&=2\bbx(t)\cdot\frac{\rd \bbx(t)}{\rd t} =2\bbx(t)\cdot \bbf(t,\bbx(t)),\\ \sev{\frac{\rd y(t)}{\rd t}} &\leq 2\sqrt{y(t)}\cdot L\sex{\sqrt{y(t)}},\\ \frac{\rd \sqrt{y(t)}}{L\sex{\sqrt{y(t)}}}&\leq \rd t,\\ \int_\alpha^\beta \frac{\rd \sqrt{y(t)}}{L\sex{\sqrt{y(t)}}} &\leq \int_\alpha^\beta \rd t=\beta-\alpha. \eea \eeex$$ 这与 \eqref{1.5:1} 矛盾 (事实上, 当 $\alpha,\beta\gg 1$, $|\alpha-\beta|\ll 1$ 时, 不等式右端可任意小, 而不等式左端有积分发散知可大于某一正常数).

     

     

    6设有微分方程 $$\bex \frac{\rd \bbx}{\rd t}=\bbf(t,\bbx), \eex$$ $\bbf\in C(G\subset \bbR\times\bbR^n)$, 试证: 若对 $\forall\ (t_0,\bbx^0)\in G$, Cauchy 问题的解都存在唯一, 则解必对初值连续依赖.

    证明: 参考[家里蹲大学数学杂志第134期, 常微分方程习题集, 第1600页].

     

    7 试在定理 1.1 的假设下, 利用 Gronwall 引理直接证明解对初始时刻 $t_0$ 的连续依赖性.

    证明: 参考定理 1.7 的证明.

     

    8 设有一阶 Cauchy 问题 $$\bex \frac{\rd y}{\rd x}=x^2+(y+1)^2,\quad y(0)=0. \eex$$ 试利用比较定理证明, 若设解的右行饱和区间为 $[0,\beta)$, 则 $\dps{\frac{\pi}{4}\leq \beta\leq 1}$.

    证明: 仅须注意到当 $0\leq x\leq 1$ 时, $$\bex (y+1)^2\leq x^2+(y+1)^2\leq 1+(y+1)^2. \eex$$ 再利用比较定理即知结论.

     

     

    第二章 动力系统的基本知识

     

    1试证明: $\Omega_P=\vno$ 的充要条件是 $L_P^+$ 趋于无穷.

    证明: $\ra$ 用反证法. 若 $L_P^+$ 不趋于无穷, 则 $$\bex \exists\ M>0, t_n\nearrow +\infty,\st \sen{\mbox{ $\varphi$}(P,t_n)}\leq M. \eex$$ 由 Weierstrass 定理, $$\bex \exists\ \sed{t_n'}\subset \sed{t_n},\st \mbox{ $\varphi$}(P,t_n)\to Q, \eex$$ 而 $Q\in \Omega_P$, 这是一个矛盾. $\la$ 亦用反证法. 若 $\Omega_P\neq \vno$, 而设 $Q\in \Omega_P$, 则 $$\bex \exists\ t_n\nearrow+\infty,\st \mbox{ $\varphi$}(P,t_n)\to Q. \eex$$ 这与 $L_P^+$ 趋于无穷矛盾.

     

     

    2试证明: 若 $\Omega_P$ 仅含惟一奇点 $P^*$, 则当 $t\to+\infty$ 时必有 $L_P^+$ 趋向于 $P^*$.

    证明: 用反证法. 设 $$\bee\label{2.2:1} \exists\ \ve_0>0,\ t_n\nearrow+\infty, \st \sen{\mbox{ $\varphi$}(P,t_n)-P^*}\geq \ve_0. \eee$$ 则

    (1)若 $\sed{t_n}$ 有有界的子列, 则适当抽取子列 $\sed{t_n'}$ 后有 $$\bex \mbox{ $\varphi$}(P,t_n')\to Q. \eex$$ 于是 $Q\in \Omega_P=\sed{P^*}$. 这与 \eqref{2.2:1} 矛盾.

    (2)若 $\sed{t_n}$ 无有界的子列, 则 $\dps{\lim_{n\to\infty}\mbox{ $\varphi$}(P,t_n)=\infty}$, 而 $\infty\in \Omega_P=\sed{P^*}$, 又是一个矛盾.

     

    3试证明: 若 $\Omega_P$ 有界且 $\Omega_P$ 非闭轨, 则 $\forall\ R\in \Omega_P$, $\Omega_R$ 与 $A_R$ 必均为奇点.

    证明: 用反证法证明 $\Omega_R$ 为奇点集, $A_R$ 为奇点集类似可证. 设 $\Omega_R$ 含有常点. 由 $R\in \Omega_P$ 及 $\Omega_P$ 为不变集知 $L_R\subset \Omega_Q$. 于是按引理 2.3, $L_R$ 为闭轨线, $L_R=\Omega_R\subset \Omega_P$. 这与 $\Omega_P$ 非闭轨矛盾.

     

    4试证明: 一系统的圈闭奇点的集合是一闭集.

    证明: 全体奇点的集合为 $$\bex \sed{\bbx^*\in G; \bbf(\bbx^*)=\mbox{ $0$}}. \eex$$ 由 $\bbf$ 的连续性即知结论.

     

    5 若 $L_P^+$ 有界且 $\Omega_P$ 仅由奇点构成, 能否断定 $\Omega_P$ 仅含一个奇点?

    解答: 不能断定. 仅能说 $\Omega_P$ 为由奇点构成的连通闭集或闭轨线.

     

    6 设 $O(0,0)$ 是一平面自治系统的惟一奇点, 且是稳定的, 全平面没有闭轨线. 试证: (1) 此系统的任一轨线必负向无界; (2) 任一有界的正半轨闭进入奇点 $O$.

    证明:

    (1) 用反证法. 若有一轨线负向有界, 则在定理 2.8 中, 由全平面没有闭轨线知 (3),(4) 不成立; 由 $O$ 为惟一奇点知 (1),(2),(5) 不成立. 这是一个矛盾.

    (2) 对有界正半轨而言, 定理 2.8 中仅有 (1),(2),(5) 可能成立. 若 (1),(2) 成立, 则结论已证; 而由全平面没有闭轨线知 (5) 不成立.

     

    第三章 稳定性理论

     

    1 讨论方程 $$\bee\label{3.1:1} \sedd{\ba{ll}\frac{\rd x_1}{\rd t}=x_2,\\ \frac{\rd x_2}{\rd t}=-a^2\sin x_1\ea} \eee$$ 零解的稳定性.

    解答: 选取 $$\bex V(\bbx)=\frac{x_2^2}{2}+a^2(1-\cos x_1), \eex$$ 则 $V$ 在原点的一邻域内是正定的, 且沿 \eqref{3.1:1} 的轨线有 $$\bex \dot V(\bbx)=V_{x_1}x_1'+V_{x_2}x_2'=0. \eex$$ 由此, 零解是稳定的, 但不是渐近稳定的.

     

     

    2 证明方程 $\dps{\frac{\rd x}{\rd t}=-x+x^2}$ 的零解是指数渐近稳定的, 但不是全局渐近稳定的.

    证明: 解该微分方程有: $$\bex \ba{ccc} -\frac{1}{x^2}\frac{\rd x}{\rd t}=\frac{1}{x}-1,&\frac{\rd y}{\rd t}=y-1\ \sex{y=\frac{1}{x}},&\frac{\rd z}{\rd t}=-e^{-t}\ \sex{z=e^{-t}y},\\ z=e^{-t}+C,&y=Ce^t+1,&x=\frac{1}{1+Ce^t}. \ea \eex$$ 由此, 原微分方程的解为 $$\bex x=0,\mbox{ 或 }x(t)=\frac{1}{1+Ce^t}. \eex$$ 取初值 $(t_0,x_0),\ x_0\neq 0$, 有 $$\bex x(t,t_0,x_0)=\frac{x_0}{1+e^{t-t_0}(1-x_0)}. \eex$$ 故当 $|x_0|<1$ 时, $$\bex |x(t,t_0,x_0)|\leq \sev{\frac{1}{x_0}-1}e^{-(t-t_0)}. \eex$$ 这说明零解是指数渐近稳定的. 但由于从 $(t_0,1)$ 出发的解 $x(t,t_0,1)=1$ 不趋于零解, 而零解不是全局渐近稳定的.

     

    3 在相空间 $\bbR^n$ 中给出 $\dps{\frac{\rd \bbx}{\rd t}=\bbf(t,\bbx),\ \bbf(t,0)=0}$ 的零解稳定、渐近稳定、不稳定的几何解释.

    解答: 零解是稳定的 $\lra\ \forall\ \ve>0,\ \exists\ \delta>0,\ \forall\ P\in B_\delta,\ L_P^+\subset B_\ve$; 零解是渐进稳定的 $\lra\ \exists\ U\ni O,\ \forall\ P\in U,\ L_P^+\to 0$; 零解是不稳定的 $\lra\ \exists\ \ve_0>0,\ \exists\ P_n\to0, \st L_{P_n}^+\bs B_\ve\neq \vno$.

     

     

    4判断下列系统零解的稳定性:

    (1)      $\dps{\sedd{\ba{ll} \frac{\rd x_1}{\rd t}=mx_2+\alpha x_1(x_1^2+x_2^2),\\ \frac{\rd x_2}{\rd t}=-mx_1+\alpha x_2(x_1^2+x_2^2); \ea}}$;

    (2)      $\dps{\frac{\rd^2x}{\rd t^2}+\sex{\frac{\rd x}{\rd t}}^3+f(x)=0,}$ 其中 $xf(x)>0\ (x\neq 0), f(0)=0$;

    (3)      $\dps{\frac{\rd^2x}{\rd t^2}-\sex{\frac{\rd x}{\rd t}}^2sgn\sex{\frac{\rd x}{\rd t}}+x=0}$.

    解答:

    (1) 取 $$\bex V=x_1^2+x_2^2, \eex$$ 则 $V$ 正定, 且沿微分方程的轨线有 $$\bex \dot V=2\alpha(x_1^2+x_2^2)\sedd{\ba{lll} \mbox{正定},&\alpha>0,\\ 0,&\alpha=0,\\ \mbox{负定},&\alpha<0. \ea} \eex$$ 于是当 $\alpha>0$ 时, 由定理 3.3, 零解是不稳定的; 当 $\alpha=0$ 时, 由定理 3.1, 定理是稳定的; 当 $\alpha<0$ 时, 由定理 3.1, 零解是渐近稳定的.

    (2) 令 $\dps{x_1=x,x_2=\frac{\rd x}{\rd t}}$, 则 $$\bex \frac{\rd x_1}{\rd t}=x_2,\quad \frac{\rd x_2}{\rd t}=-x_2^3-f(x_1). \eex$$ 取 $$\bex V=\frac{x_2^2}{2}+\int_0^{x_1}f(t)\rd t, \eex$$ 则 $V$ 正定, 且沿微分方程的轨线有 $\dot V=-x_2^4\leq 0.$ 再 $$\bex \sed{\bbx;\dot V(\bbx)=0}=\sed{0}, \eex$$ 我们据定理 3.2 知零解是渐近稳定的.

    (3) 令 $\dps{x_1=x,x_2=\frac{\rd x}{\rd t}}$, 则 $$\bex \frac{\rd x_1}{\rd t}=x_2,\quad \frac{\rd x_2}{\rd t}=x_2^2 sgn(x_2)-x_1. \eex$$ 取 $$\bex V=\frac{x_1^2+x_2^2}{2}, \eex$$ 则 $V$ 正定, 且沿微分方程的轨线有 $\dot V=x_2^2|x_2|$ 是正定的. 我们据定理 3.3 知零解是不稳定的.

     

    5 若存在有无穷小上界的正定函数 $V(t,\bbx)$, 它沿着 $$\bex (3.3.1)\quad \frac{\rd\bbx}{\rd t}=\bbf(t,\bbx),\quad \bbf(t,0)=0 \eex$$ 解曲线的全导数 $\dot V(t,\bbx)$ 负定, 证明 (3.3.1) 的零解是渐近稳定的.

    证明: 仅须注意到存在正定函数 $W(x)$, $W_1(x)$ 使得 $$\bex W(\bbx)\leq V(t,\bbx)\leq W_1(\bbx). \eex$$ 而可仿照定理 3.1 的证明.

     

    6 讨论 $\dps{\frac{\rd x}{\rd t}=\frac{g'(t)}{g(t)}x}$ 零解的稳定性, 其中 $\dps{g(t)=\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{1+n^4(t-n)^2}}$. 能否得到零解渐近稳定的结果? 为什么?

    解答: 直接求解有 $$\bex x(t)=\frac{x_0}{g(t_0)}{g(t)}, \eex$$ 而由 $$\bex |x(t)|\leq\frac{|x_0|}{g(t_0)}\sez{2+\sum_{n\neq [t],[t]+1}\frac{1}{1+n^4(t-n)^2}} \leq \frac{|x_0|}{g(t_0)}\sez{2+\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^4}} \eex$$ 知零解是稳定的; 由 $$\bex |x(k)|=\frac{|x_0|}{g(t_0)}\sez{1+\sum_{n\neq k}\frac{1}{n^4(k-n)^2}}\geq \frac{|x_0|}{g(t_0)} \eex$$ 知零解不是渐近稳定的.

     

    7证明 $\dps{\frac{\rd x}{\rd t}=-\frac{x}{t+1}}$ 的零解是渐近稳定的, 但不存在有无穷小上界的正定函数 $V(t,x)$, 使得 $\dot V(t,x)$ 负定 (该习题表明习题 5 中渐近稳定性定理中的条件不是必要的).

    证明: 直接求解有 $$\bex x(t)=\frac{x_0}{1+t}. \eex$$ 而零解是渐近稳定的. 

    展开全文
  • 本文着重于开发一种具有块扩展的混合方法,用于直接求解一般三阶常微分方程的初值问题(IVP)。 幂级数用作IVP解决方案的基础函数。 将基函数的近似解插值到某些选定的离网点,同时将近似解的三阶导数并置在所有网格...
  • 如果存在有限差分方程的解与微分方程的任何可能解都不对应,则称微分方程的离散模型具有数值不稳定性。 Mickens指出了一些数值不稳定原因。这些原因是: 用不同阶数的离散导数表示微分方程中的导数。 这种情况的一...
  • 4. 一阶微分方程组平衡点的稳定性 三、线性系统平衡点的稳定性 1. 一阶系数齐次线性自治系统 2. 线性自治系统平衡点的稳定性的判定(不相等的负实根、不相等的正实根、异号实根) ...
  • **前言:**大学期间只学习过《常微分方程》,没想到有些学校竟然还学《时滞微分方程》,于是找到一本由内藤敏机(日本)等著,马万彪等译《时滞微分方程——泛函数微分方程引论》(有需要可以私聊,CSDN貌似上传不...
  • 在本文中,我们研究了具有固有Runge-Kutta稳定性的显式通用线性方法外推在解决非刚性问题中效率。 给出了范德波尔(Van der Pol)和布鲁塞尔(Brusselator)检验问题数值实验,以确定采用外推技术显式通用...
  • Adams隐式是一种精度高,稳定性高的算法,属于隐式四阶龙格库塔法的一个特例。我之前写过用python解微分方程的code,这里改成fortran版本 对微分方程dy/dx=f(x), Adams法,公式 求解的时候用Adams公式构造...
  • 题主想问常微分方程(ODE)和偏微分方程(PDE)数值方法区别呢还是微分方程这个领域和微分方程数值解领域区别呢?按照前面@赵永峰 回答,我也按照前者理解吧。毕竟后者一些区别是显而易见。先说一点共性。...
  • 作者: [苏]菲利波夫 出版社: 上海科学技术出版社 ...稳定性 §16.奇点 §17.相平面 §18.解对于初始条件和参数的依赖性、微分方程的近似解 §19.非线性方程组 §20.一阶偏微分方程 答案 指数函数与对数函数表
  • 第9章-常微分方程初值问题数值解法9.1 引言9.2 简单数值方法9.3 龙格-库塔方法9.4 单步法收敛性与稳定性9.5 线性多步法9.6 线性多步法收敛性与稳定性9.7 一阶方程组与刚性方程组 9.1 引言 9.2 简单数值方法 ...
  • 6章非线性微分方程

    千次阅读 2019-09-14 09:58:36
    文章目录6.1 稳定性6.1.1 常微分方程存在唯一性定理存在唯一性定理解延拓与连续性定理可微性定理6.1.2 李雅普诺夫稳定性6.1.3 按线性近似决定稳定性6.2 V函数方法6.2.1 李雅普诺夫定理6.3 奇点6.4 极限环和...
  • 应用偏微分方程 作 者: 谷超豪,李大潜,沈玮熙 著 出版时间:2014 丛编项: 高等学校教材 内容简介  本书写作意图是通过几个经过选择主题简单介绍,使读者了解偏微分方程应用...附录 常微分方程几何理论

空空如也

空空如也

1 2 3 4 5
收藏数 81
精华内容 32
关键字:

常微分方程的稳定性