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  • 常微分方程定性与稳定性理论,控制专业研究生可以参考一下,里面有李雅普诺夫稳定性的详细介绍
  • 稳定状态模型 (一): 微分方程稳定性理论简介:自治系统、动力系统、相平面、相图、轨线、 奇点、孤立奇点; 稳定状态模型 (二):再生资源的管理和开发:资源增长模型 、资源开发模型 、经济效益模型、 种群的...

    稳定状态模型系列博文

    稳定状态模型 (一): 微分方程稳定性理论简介 :自治系统、动力系统相平面、相图、轨线 、  奇点、孤立奇点

    稳定状态模型 (二):再生资源的管理和开发:资源增长模型 、资源开发模型 、经济效益模型、 种群的相互竞争模型

    稳定状态模型 (三):Volterra 模型


    目录

    自治系统、动力系统                    相平面、相图、轨线                            奇点、孤立奇点


    虽然动态过程的变化规律一般要用微分方程建立的动态模型来描述,但是对于某些 实际问题,建模的主要目的并不是要寻求动态过程每个瞬时的性态,而是研究某种意义下稳定状态的特征,特别是当时间充分长以后动态过程的变化趋势。譬如在什么情况下 描述过程的变量会越来越接近某些确定的数值,在什么情况下又会越来越远离这些数值 而导致过程不稳定。为了分析这种稳定与不稳定的规律常常不需要求解微分方程,而可以利用微分方程稳定性理论,直接研究平衡状态的稳定性就行了。

    本章先介绍平衡状态与稳定性的概念,然后列举几个这方面的建模例子。

    自治系统、动力系统

     相平面、相图、轨线

    奇点、孤立奇点

     定义 5         一个奇点不是稳定的,则称这个奇点是不稳定的。

    对于常系数齐次线性系统(3)有下述定理。

    定理2    设 x = x(t)是系统(3)的通解。则

    (i)如果系统(3)的系数矩阵 A 的一切特征根的实部都是负的,则系统(3)的 零解是渐近稳定的。

    (ii)如果 A 的特征根中至少有一个根的实部是正的,则系统(3)的零解是不稳 定的。

    (iii)如果 A 的一切特征根的实部都不是正的,但有零实部,则系统(3)的零解 可能是稳定的,也可能是不稳定的,但总不会是渐近稳定的。

    定理2 告诉我们:系统(3)的零解渐近稳定的充分必要条件是 A 的一切特征根的 实部都是负的。

    对于非线性系统,一般不可能找出其积分曲线或轨迹,也就不可能直接导出奇点的 稳定性。为克服这一困难,在奇点附近用一个线性系统来近似这个非线性系统,用这个 近似系统的解来给出这个奇点的稳定解.

    称为系统(2)的线性近似。一开始,人们以为总可以用线性近似系统来代替所研究的原系统。但后来人们发现,这种看法是不对的,或至少说是不全面的,非线性系统中的 许多性质,在它的线性近似中不再保留。即使象零解稳定性这样一个问题,也要在一定 条件下,才可用它的线性近似系统代替原系统来研究。关于这个问题,我们有下述定理:

    定理 3   如果系统(4)的零解是渐近稳定的,或不稳定的,则原系统的零解也是 渐近稳定的或不稳定的。然而,如果系统(4)的零解是稳定的,则原系统的零解是不 定的,即此时不能从线性化的系统来导出原系统的稳定性。


    稳定状态模型系列博文

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    稳定状态模型 (三):Volterra 模型


     

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  • 常微分方程稳定性分析,徐颖,黄佳琪,摘要:稳定性理论是19世纪80年代由俄国数学家李雅普诺夫创建的,稳定性理论在自动控制、航空技术、生态生物、生化反应等自然科学�
  • §5 微分方程稳定性 C1 稳定性 1)平衡解/驻定解:令驻定微分方程右端为0得到的常数解 2)稳定性: 稳定:∀ϵ>0,∃δ(ϵ,t0)>0,s.t.∥x(t0)∥≤δ  ⟹  ∀t≥t0,∥x(t)∥<ϵ\forall \epsilon\gt0,\...

    §5 微分方程稳定性

    C1 稳定性

    1)平衡解/驻定解:令驻定微分方程右端为0得到的常数解

    2)稳定性:

    • 稳定 ∀ ϵ > 0 , ∃ δ ( ϵ , t 0 ) > 0 , s . t . ∥ x ( t 0 ) ∥ ≤ δ    ⟹    ∀ t ≥ t 0 , ∥ x ( t ) ∥ < ϵ \forall \epsilon\gt0,\exist \delta(\epsilon,t_0)\gt0,s.t.\Vert x(t_0)\Vert\le\delta\implies\forall t\ge t_0 ,\Vert x(t)\Vert\lt\epsilon ϵ>0,δ(ϵ,t0)>0,s.t.x(t0)δtt0,x(t)<ϵ

      • δ \delta δ t 0 t_0 t0无关,则称一致稳定
    • 渐进稳定:若零解稳定且 ∃ δ ( ϵ ) > 0 , s . t . ∥ x ( t 0 ) ∥ ≤ δ    ⟹    lim ⁡ t → ∞ x ( t ) = 0 \exist \delta(\epsilon)\gt0,s.t.\Vert x(t_0)\Vert\le\delta\implies \lim\limits_{t\to\infin} x(t) =0 δ(ϵ)>0,s.t.x(t0)δtlimx(t)=0

      • 稳定不一定渐进稳定,例如 x ( t ) ≡ x ( t 0 ) x(t)\equiv x(t_0) x(t)x(t0)
    • (渐进)稳定域/吸引域:满足渐进稳定的 x ( t 0 ) x(t_0) x(t0)的域 D 0 D_0 D0

      • 全局稳定 D 0 = U D_0=U D0=U
    • 对于含有特解 y 0 ( t ) y_0(t) y0(t)的方程,可作变换 x ( t ) = y ( t ) − y 0 ( t ) x(t)=y(t)-y_0(t) x(t)=y(t)y0(t)转化为 x ( t ) x(t) x(t)的零解稳定性问题

    3)一阶常系数线性微分方程组稳定性:

    • ∀ λ i , R e   λ i < 0 \forall \lambda_i,\mathrm{Re} \ \lambda_i<0 λi,Re λi<0渐进稳定
    • ∀ λ i , R e   λ i ≤ 0 ∧ ∃ λ j , R e   λ j = 0 ∧ k j = 1 \forall\lambda_i,\mathrm{Re}\ \lambda_i\le 0\wedge\exist \lambda_j,\mathrm{Re} \ \lambda_j=0 \wedge k_j=1 λi,Re λi0λj,Re λj=0kj=1稳定
    • 其他情况,不稳定

    4)非线性微分方程组 d d t x ⃗ = A x ⃗ + R ⃗ ( x ) , R ( 0 ) = 0 , ∥ R ( t ) ∥ = o ( ∥ x ∥ ) \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\vec x=A\vec x+\vec R(x),R(0)=0,\Vert R(t)\Vert=o(\Vert x\Vert) dtdx =Ax +R (x),R(0)=0,R(t)=o(x)稳定性:记线性近似为 d d t x ⃗ = A x ⃗ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\vec x=A\vec x dtdx =Ax

    • ∀ λ i , R e   λ i < 0 \forall \lambda_i,\mathrm{Re} \ \lambda_i<0 λi,Re λi<0渐进稳定
    • ∃ λ i , R e   λ i > 0 \exist\lambda_i,\mathrm{Re} \ \lambda_i >0 λi,Re λi>0不稳定
    • ∀ λ i , R e   λ i ≠ 0 \forall\lambda_i,\mathrm{Re}\ \lambda_i\neq 0 λi,Re λi=0同近似方程稳定性

    5)Hurwitz负实部根判别定理

    • Hurwitz行列式:代数方程 ∑ i = 0 n a i λ n − i = 0 , a 0 > 0 \sum\limits_{i=0}^n a_i\lambda^{n-i}=0,a_0\gt0 i=0naiλni=0,a0>0 Δ 1 = a 1 , Δ k = a k Δ k − 1 \Delta_1=a_1,\Delta_k=a_k\Delta_{k-1} Δ1=a1,Δk=akΔk1
    • 定理:根具有负实部    ⟺    Δ i > 0 , i = 1 , 2 , … , n − 1 ∧ a n > 0 \iff \Delta_i>0,i=1,2,\dots,n-1\wedge a_n>0 Δi>0,i=1,2,,n1an>0

    C2 V函数方法

    1)V函数 V ( x ⃗ ) V(\vec x) V(x )为域 ∥ x ⃗ ∥ ≤ H \Vert\vec x\Vert\le H x H内定义的实连续可微函数, V ( 0 ) = 0 V(0)=0 V(0)=0

    • 常正: V ( x ⃗ ) ≥ 0 V(\vec x)\ge 0 V(x )0
    • 定正: V ( x ⃗ ) > 0 , x ≠ 0 V(\vec x)\gt 0,x\neq 0 V(x )>0,x=0
    • 全导数: d d t V = ∑ i = 1 n ∂ V ∂ x i ∂ x i ∂ t \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}V=\sum\limits_{i=1}^n\frac{\partial V}{\partial x_i}\frac{\partial x_i}{\partial t} dtdV=i=1nxiVtxi

    2)李雅普诺夫定理:若一阶非线性驻定微分方程组 d d t x ⃗ = f ( x ⃗ ) , f ( 0 ) = 0 \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\vec x=f(\vec x),f(0)=0 dtdx =f(x ),f(0)=0

    • 存在定正 V ( x ⃗ ) V(\vec x) V(x ),全导数常负,则零解稳定
      • 若全导数零点不包含除 x = 0 x=0 x=0外的整条正半轨线,则还是渐进稳定的
    • 存在定正 V ( x ⃗ ) V(\vec x) V(x ),全导数定负,则零解渐进稳定
    • 存在 V ( x ⃗ ) , μ ≥ 0 , s . t . d d t V = μ V + W ( x ⃗ ) V(\vec x),\mu\ge0,s.t.\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}V=\mu V+W(\vec x) V(x ),μ0,s.t.dtdV=μV+W(x ),且 W ( x ⃗ ) { 正 定 , μ = 0 常 负 , μ ≠ 0 W(\vec x)\begin{cases}正定,\mu=0\\常负,\mu\neq0\end{cases} W(x ){,μ=0,μ=0 x = 0 x=0 x=0的任意小领域存在 V ( x 0 ) > 0 V(x_0)\gt0 V(x0)>0,则零解不稳定

    C3 平面图貌

    1)对于二维一阶驻定微分方程组 { d d t x = X ( x , y ) d d t y = Y ( x , y ) \begin{cases}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} x =X(x,y)\\\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}y=Y(x,y)\end{cases} {dtdx=X(x,y)dtdy=Y(x,y)

    • 未知函数构成的平面 O x y Oxy Oxy称为相平面

    • { x = x ( t ) y = y ( t ) \begin{cases} x=x(t)\\y=y(t)\end{cases} {x=x(t)y=y(t)称为积分曲线,积分曲线在相平面上的投影称为轨线,轨线不相交

      证明: X 2 + Y 2 ≠ 0 X^2+Y^2\neq0 X2+Y2=0时候,可表示为 d y d x = Y X \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{Y}{X} dxdy=XY d x d y = X Y \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y}=\frac{X}{Y} dydx=YX,由解的唯一性,若曲线相交则重合

    • 奇点:驻定解 ( x ∗ , y ∗ ) : { X ( x ∗ , y ∗ ) = 0 Y ( x ∗ , y ∗ ) = 0 (x^*,y^*):\begin{cases} X(x^*,y^*)=0\\Y(x^*,y^*)=0\end{cases} (x,y):{X(x,y)=0Y(x,y)=0

    2)奇点领域轨线图貌:先通过线性变化将奇点移动到原点,取线性近似 { d d t x = a x + b y d d t y = c x + d y \begin{cases}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} x =ax+by\\\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}y=cx+dy\end{cases} {dtdx=ax+bydtdy=cx+dy,求系数矩阵特征根 λ 1 = − ( a + d ) , λ 2 = a d − b c \lambda_1=-(a+d),\lambda_2=ad-bc λ1=(a+d),λ2=adbc,根据特征值不同情况可将其线性变换为标准形式,记变换后变量为 ξ , η \xi,\eta ξ,η

    • 若系数矩阵非奇异,则奇点唯一

      • 同号相异实根—— { d ξ d t = λ 1 ξ d η d t = λ 2 η \begin{cases}\frac{\mathrm{d}\xi}{\mathrm{d}t} =\lambda_1\xi\\\frac{\mathrm{d}\eta}{\mathrm{d}t}=\lambda_2\eta\end{cases} {dtdξ=λ1ξdtdη=λ2η——结点

        B = 0 B=0 B=0,则轨线为 ξ \xi ξ轴, A = 0 A=0 A=0,则轨线为 η \eta η轴,图貌如图a,b。变换回相平面如图c

        λ 1 , λ 2 < 0 \lambda_1,\lambda_2<0 λ1,λ2<0,则渐近稳定,对应的节点称稳定节点

        λ 1 , λ 2 > 0 \lambda_1,\lambda_2>0 λ1,λ2>0,则不稳定,称不稳定结点

      • 异号实根—— { d ξ d t = λ 1 ξ d η d t = λ 2 η \begin{cases}\frac{\mathrm{d}\xi}{\mathrm{d}t} =\lambda_1\xi\\\frac{\mathrm{d}\eta}{\mathrm{d}t}=\lambda_2\eta\end{cases} {dtdξ=λ1ξdtdη=λ2η——鞍点

      • 重根

        • b 2 + c 2 ≠ 0 b^2+c^2\neq0 b2+c2=0—— { d ξ d t = λ ξ + η d η d t = λ η \begin{cases}\frac{\mathrm{d}\xi}{\mathrm{d}t} =\lambda\xi+\eta\\\frac{\mathrm{d}\eta}{\mathrm{d}t}=\lambda\eta\end{cases} {dtdξ=λξ+ηdtdη=λη——退化奇点

          A = 0 A=0 A=0 ξ \xi ξ轴为轨线, λ < 0 \lambda<0 λ<0时候稳定, λ > 0 \lambda>0 λ>0时不稳定

        • b = c = 0 b=c=0 b=c=0—— { d ξ d t = λ ξ d η d t = λ η \begin{cases}\frac{\mathrm{d}\xi}{\mathrm{d}t} =\lambda \xi\\\frac{\mathrm{d}\eta}{\mathrm{d}t}=\lambda\eta\end{cases} {dtdξ=λξdtdη=λη——奇节点

      • 非零实部复根—— { d ξ d t = α ξ + β η d η d t = − β ξ + α η \begin{cases}\frac{\mathrm{d}\xi}{\mathrm{d}t} =\alpha \xi+\beta\eta\\\frac{\mathrm{d}\eta}{\mathrm{d}t}=-\beta\xi+\alpha\eta\end{cases} {dtdξ=αξ+βηdtdη=βξ+αη——焦点

        轨线为对数螺线, β > 0 \beta>0 β>0时呈顺时针。 α > 0 \alpha>0 α>0时不稳定, α < 0 \alpha<0 α<0时稳定

      • 纯虚根—— { d ξ d t = β η d η d t = − β ξ \begin{cases}\frac{\mathrm{d}\xi}{\mathrm{d}t} =\beta\eta\\\frac{\mathrm{d}\eta}{\mathrm{d}t}=-\beta\xi\end{cases} {dtdξ=βηdtdη=βξ——中心

        轨线是同心圆,零解稳定但不渐进稳定

    • 若系数矩阵奇异:存在零根,出现奇线:线上点均为奇点

      • 若特征方程有重零根:轨线与奇线平行

      • 若特征方程有单零根:轨线奇线相交

      • 若系数矩阵为零矩阵,全平面都是奇点

    3)极限环:孤立的周期解(呈现为闭轨线)

    • 稳定性:若 t → ∞ t\to\infin t时极限环附近轨线都趋于极限环时称稳定极限环,若只有一侧轨线趋近则称半稳定

    • 环域定理:若 X ( x , y ) , Y ( x , y ) X(x,y),Y(x,y) X(x,y),Y(x,y)在环型区域D上连续可微,且D不含奇点,而过D中点的任意轨线在 t > t 0 t>t_0 t>t0时不离开D,则轨线或者为D内闭轨线,或者趋向D内闭轨线

    • 定理:若单连通区域 D ∗ D^* D ∂ X ∂ x + ∂ Y ∂ y \frac{\partial X}{\partial x}+\frac{\partial Y}{\partial y} xX+yY不变号且任何子域上不恒为0,则不含周期解

    • 李纳微分方程: d 2 x d t 2 + f ( x ) d x d t + g ( x ) = 0 \frac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d}t^2}+f(x)\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}+g(x)=0 dt2d2x+f(x)dtdx+g(x)=0

      若:

      • f , g f,g f,g连续, g g g满足局部Lipchitz条件
      • f f f为偶函数, f ( 0 ) < 0 f(0)<0 f(0)<0 g g g为奇函数, x g ( x ) > 0 , x ≠ 0 xg(x)>0,x\neq0 xg(x)>0,x=0
      • x → ± ∞ x\to\pm\infin x± F ( x ) = ∫ 0 x f ( t ) d t → ± ∞ F(x)=\int_0^x f(t)\mathrm{d}t\to\pm\infin F(x)=0xf(t)dt±,且 F ( x ) F(x) F(x)有唯一正零点 x = a x=a x=a,且 x ≥ a x\ge a xa F ( x ) F(x) F(x)单调递增

      则方程有一个稳定极限环

    4)平面图貌分析:通过绘制等倾斜线,其交点为奇点,而两线所夹部分偏导数不变号,可预测轨线走向

    5)分界线:从奇点到奇点的轨线

    • 若分界线构成一个环(回到自身),称为同宿环
    • 若分界线两端是不同奇点,称异宿轨
    • 若多条分界线与多各奇点构成一个环,称异宿环
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  • 常微分方程是高等数学课程重要内容之一,常微分方程的求解和解的态分析是这部分教学的主要内容。通过相应问题的具体代码,给出运用MATLAB平台求解常微分方程解析解、数值解以及定性分析仿真的方法。
  • 微分方程稳定性 微分方程稳定性 微分方程稳定性 微分方程稳定性 微分方程稳定性
  • 作者: [苏]菲利波夫 出版社: 上海科学技术出版社 ...稳定性 §16.奇点 §17.相平面 §18.解对于初始条件和参数的依赖性、微分方程的近似解 §19.非线性方程组 §20.一阶偏微分方程 答案 指数函数与对数函数表
  • 关于微分方程组的基本知识及其解法,以及一些运动稳定性的基本概念及其判断法则。
  • 常微分方程

    2019-01-05 22:38:25
    作者从常微分方程在现代科学技术方面的应用出发,对材料作了新的选择和安排,不仅讲述了纯数学的常微分方程理论,同时还讲述了有关的技术应用本身。全书包括引论,常系数线性方程,变系数线性方程,存在性定理,稳定...
  • 证明: 参考[家里蹲大学数学杂志第134期, 常微分方程习题集, 第1600页].   7 试在定理 1.1 的假设下, 利用 Gronwall 引理直接证明解对初始时刻 $t_0$ 的连续依赖. 证明: 参考定理 1.7 的证明.   8 设有...

    第一章    基本定理

     

    1设有 $$\bex \frac{\rd \bbx}{\rd t}=\bbf(t,\bbx),\quad \bbx(t_0)=\bbx^0,\quad (t_0,\bbx^0)\in \bbR\times \bbR^n. \eex$$ 试证: 若 $\bbf\in C^1(G)$, 则在 $(t_0,\bbx^0)$ 的领域内, 此 Cauchy 问题的解存在惟一.

    证明: 由 $f\in C^1(G)$ 蕴含 $f\in C(G)$ 且在 $G$ 内适合 Lipschitz 条件知有结论.

     

     

    2试讨论下列方程解的存在区间:

    (1)    $\dps{\frac{\rd y}{\rd x}=\frac{1}{x^2+y^2}}$;

    (2)    $\dps{\frac{\rd y}{\rd x}=y(y-1)}$.

    解答:

    (1)    由 $\dps{\frac{\rd x}{\rd y}=x^2+y^2}$ 的解的存在区间有限知 $y$ 有界, 而由解的延

    拓定理, 原方程解的存在区间为 $\bbR$.

    (2)    直接求解有 $\dps{y=\frac{1}{1-\frac{y_0-1}{y_0}e^x}}$, 而

    a.当 $0\leq y_0\leq 1$ 时, 原方程解的存在区间为 $\bbR$;

    b.当 $y_0<0$ 时, 原方程解的存在区间为 $\dps{\sex{\ln\frac{y_0}{y_0-1},\infty}}$;

    c.当 $y_0>1$ 时, 原方程解的存在区间为 $\dps{\sex{-\infty,\ln\frac{y_0}{y_0-1}}}$.

     

     

    3 设有一阶微分方程式 $$\bex \frac{\rd x}{\rd t}=(t-x)e^{tx^2}. \eex$$ 试证: 过任一点 $(t_0,x_0)\in\bbR^2$ 的右行解的存在区间均为 $[t_0,+\infty)$.

    证明: 由 $$\bex \frac{\rd x}{\rd t}=(t-x)e^{tx^2}=\left\{\ba{ll} <0,&x>t,\\ >0,&x<t \ea\right. \eex$$ 知解在 $\sed{x>t}$ 内递减, 在 $\sed{x<t}$ 内递增. 当 $x_0>t_0$ 时, 在 $$\bex \sed{(t,x);t\in\bbR, t_0<x<x_0} \eex$$ 内应用解的延伸定理知解定与 $\sed{x=t}$ 相交, 之后解递增, 在 $$\bex \sed{(t,x);t\in\bbR,x<t} \eex$$ 内应用延伸定理及比较定理即知结论.

     

     

    4设有一阶方程 $\dps{\frac{\rd x}{\rd t}=f(x)}$, 若 $f\in C(-\infty,+\infty)$, 且当 $x\neq 0$ 时有 $xf(x)<0$. 求证过 $\forall\ (t_0,x_0)\in\bbR^2$, Cauchy 问题的右行解均在 $[t_0,+\infty)$ 上存在, 且 $\dps{\lim_{t\to+\infty}x(t)=0}$.

    证明: 由题意, $$\bex f(x)\left\{\ba{ll} >0,&x<0,\\ <0,&x>0. \ea\right. \eex$$ 而由 $f$ 的连续性, $f(0)=0$. 于是当 $x_0=0$ 时, 由解的唯一性知 $x=0$. 当 $x_0>0$ 时, 在 $$\bex \sed{(t,x);t\in\bbR,0<x<x_0} \eex$$ 内应用延伸定理及惟一性定理知 $x(t)$ 递减趋于 $0$. 当 $x_0<0$ 时, 在 $$\bex \sed{(t,x);t\in\bbR,x_0<x<0} \eex$$ 内应用延伸定理及惟一性定理知 $x(t)$ 递增趋于 $0$.

     

    5若 $\bbf(t,\bbx)$ 在全空间 $\bbR\times\bbR^n$ 上连续且对 $\bbx$ 满足局部 Lipschitz 条件且 $$\bex \sen{\bbf(t,\bbx)}\leq L(r),\quad r=\sqrt{\sum_{i=1}^n x_i^2},\quad \bbx=(x_1,\cdots,x_n)^T, \eex$$ 其中 $L(r)>0, r>0$, 且 $$\bee\label{1.5:1} \int_a^{+\infty}\frac{\rd r}{L(r)}=+\infty,\quad a>0. \eee$$ 试证: 对 $\forall\ (t_0,\bbx^0)\in\bbR\times\bbR^n$, Cauchy 问题的解均可对 $t$ 无限延拓.

    证明: 由解的延伸定理, 仅须证明在任何有限区间 $-\infty<\alpha<t<\beta<+\infty$ 上, $\bbx(t)$ 有界. 为此, 令 $y(t)=\sen{\bbx(t)}$, 则 $$\beex \bea \frac{\rd y(t)}{\rd t}&=2\bbx(t)\cdot\frac{\rd \bbx(t)}{\rd t} =2\bbx(t)\cdot \bbf(t,\bbx(t)),\\ \sev{\frac{\rd y(t)}{\rd t}} &\leq 2\sqrt{y(t)}\cdot L\sex{\sqrt{y(t)}},\\ \frac{\rd \sqrt{y(t)}}{L\sex{\sqrt{y(t)}}}&\leq \rd t,\\ \int_\alpha^\beta \frac{\rd \sqrt{y(t)}}{L\sex{\sqrt{y(t)}}} &\leq \int_\alpha^\beta \rd t=\beta-\alpha. \eea \eeex$$ 这与 \eqref{1.5:1} 矛盾 (事实上, 当 $\alpha,\beta\gg 1$, $|\alpha-\beta|\ll 1$ 时, 不等式右端可任意小, 而不等式左端有积分发散知可大于某一正常数).

     

     

    6设有微分方程 $$\bex \frac{\rd \bbx}{\rd t}=\bbf(t,\bbx), \eex$$ $\bbf\in C(G\subset \bbR\times\bbR^n)$, 试证: 若对 $\forall\ (t_0,\bbx^0)\in G$, Cauchy 问题的解都存在唯一, 则解必对初值连续依赖.

    证明: 参考[家里蹲大学数学杂志第134期, 常微分方程习题集, 第1600页].

     

    7 试在定理 1.1 的假设下, 利用 Gronwall 引理直接证明解对初始时刻 $t_0$ 的连续依赖性.

    证明: 参考定理 1.7 的证明.

     

    8 设有一阶 Cauchy 问题 $$\bex \frac{\rd y}{\rd x}=x^2+(y+1)^2,\quad y(0)=0. \eex$$ 试利用比较定理证明, 若设解的右行饱和区间为 $[0,\beta)$, 则 $\dps{\frac{\pi}{4}\leq \beta\leq 1}$.

    证明: 仅须注意到当 $0\leq x\leq 1$ 时, $$\bex (y+1)^2\leq x^2+(y+1)^2\leq 1+(y+1)^2. \eex$$ 再利用比较定理即知结论.

     

     

    第二章 动力系统的基本知识

     

    1试证明: $\Omega_P=\vno$ 的充要条件是 $L_P^+$ 趋于无穷.

    证明: $\ra$ 用反证法. 若 $L_P^+$ 不趋于无穷, 则 $$\bex \exists\ M>0, t_n\nearrow +\infty,\st \sen{\mbox{ $\varphi$}(P,t_n)}\leq M. \eex$$ 由 Weierstrass 定理, $$\bex \exists\ \sed{t_n'}\subset \sed{t_n},\st \mbox{ $\varphi$}(P,t_n)\to Q, \eex$$ 而 $Q\in \Omega_P$, 这是一个矛盾. $\la$ 亦用反证法. 若 $\Omega_P\neq \vno$, 而设 $Q\in \Omega_P$, 则 $$\bex \exists\ t_n\nearrow+\infty,\st \mbox{ $\varphi$}(P,t_n)\to Q. \eex$$ 这与 $L_P^+$ 趋于无穷矛盾.

     

     

    2试证明: 若 $\Omega_P$ 仅含惟一奇点 $P^*$, 则当 $t\to+\infty$ 时必有 $L_P^+$ 趋向于 $P^*$.

    证明: 用反证法. 设 $$\bee\label{2.2:1} \exists\ \ve_0>0,\ t_n\nearrow+\infty, \st \sen{\mbox{ $\varphi$}(P,t_n)-P^*}\geq \ve_0. \eee$$ 则

    (1)若 $\sed{t_n}$ 有有界的子列, 则适当抽取子列 $\sed{t_n'}$ 后有 $$\bex \mbox{ $\varphi$}(P,t_n')\to Q. \eex$$ 于是 $Q\in \Omega_P=\sed{P^*}$. 这与 \eqref{2.2:1} 矛盾.

    (2)若 $\sed{t_n}$ 无有界的子列, 则 $\dps{\lim_{n\to\infty}\mbox{ $\varphi$}(P,t_n)=\infty}$, 而 $\infty\in \Omega_P=\sed{P^*}$, 又是一个矛盾.

     

    3试证明: 若 $\Omega_P$ 有界且 $\Omega_P$ 非闭轨, 则 $\forall\ R\in \Omega_P$, $\Omega_R$ 与 $A_R$ 必均为奇点.

    证明: 用反证法证明 $\Omega_R$ 为奇点集, $A_R$ 为奇点集类似可证. 设 $\Omega_R$ 含有常点. 由 $R\in \Omega_P$ 及 $\Omega_P$ 为不变集知 $L_R\subset \Omega_Q$. 于是按引理 2.3, $L_R$ 为闭轨线, $L_R=\Omega_R\subset \Omega_P$. 这与 $\Omega_P$ 非闭轨矛盾.

     

    4试证明: 一系统的圈闭奇点的集合是一闭集.

    证明: 全体奇点的集合为 $$\bex \sed{\bbx^*\in G; \bbf(\bbx^*)=\mbox{ $0$}}. \eex$$ 由 $\bbf$ 的连续性即知结论.

     

    5 若 $L_P^+$ 有界且 $\Omega_P$ 仅由奇点构成, 能否断定 $\Omega_P$ 仅含一个奇点?

    解答: 不能断定. 仅能说 $\Omega_P$ 为由奇点构成的连通闭集或闭轨线.

     

    6 设 $O(0,0)$ 是一平面自治系统的惟一奇点, 且是稳定的, 全平面没有闭轨线. 试证: (1) 此系统的任一轨线必负向无界; (2) 任一有界的正半轨闭进入奇点 $O$.

    证明:

    (1) 用反证法. 若有一轨线负向有界, 则在定理 2.8 中, 由全平面没有闭轨线知 (3),(4) 不成立; 由 $O$ 为惟一奇点知 (1),(2),(5) 不成立. 这是一个矛盾.

    (2) 对有界正半轨而言, 定理 2.8 中仅有 (1),(2),(5) 可能成立. 若 (1),(2) 成立, 则结论已证; 而由全平面没有闭轨线知 (5) 不成立.

     

    第三章 稳定性理论

     

    1 讨论方程 $$\bee\label{3.1:1} \sedd{\ba{ll}\frac{\rd x_1}{\rd t}=x_2,\\ \frac{\rd x_2}{\rd t}=-a^2\sin x_1\ea} \eee$$ 零解的稳定性.

    解答: 选取 $$\bex V(\bbx)=\frac{x_2^2}{2}+a^2(1-\cos x_1), \eex$$ 则 $V$ 在原点的一邻域内是正定的, 且沿 \eqref{3.1:1} 的轨线有 $$\bex \dot V(\bbx)=V_{x_1}x_1'+V_{x_2}x_2'=0. \eex$$ 由此, 零解是稳定的, 但不是渐近稳定的.

     

     

    2 证明方程 $\dps{\frac{\rd x}{\rd t}=-x+x^2}$ 的零解是指数渐近稳定的, 但不是全局渐近稳定的.

    证明: 解该微分方程有: $$\bex \ba{ccc} -\frac{1}{x^2}\frac{\rd x}{\rd t}=\frac{1}{x}-1,&\frac{\rd y}{\rd t}=y-1\ \sex{y=\frac{1}{x}},&\frac{\rd z}{\rd t}=-e^{-t}\ \sex{z=e^{-t}y},\\ z=e^{-t}+C,&y=Ce^t+1,&x=\frac{1}{1+Ce^t}. \ea \eex$$ 由此, 原微分方程的解为 $$\bex x=0,\mbox{ 或 }x(t)=\frac{1}{1+Ce^t}. \eex$$ 取初值 $(t_0,x_0),\ x_0\neq 0$, 有 $$\bex x(t,t_0,x_0)=\frac{x_0}{1+e^{t-t_0}(1-x_0)}. \eex$$ 故当 $|x_0|<1$ 时, $$\bex |x(t,t_0,x_0)|\leq \sev{\frac{1}{x_0}-1}e^{-(t-t_0)}. \eex$$ 这说明零解是指数渐近稳定的. 但由于从 $(t_0,1)$ 出发的解 $x(t,t_0,1)=1$ 不趋于零解, 而零解不是全局渐近稳定的.

     

    3 在相空间 $\bbR^n$ 中给出 $\dps{\frac{\rd \bbx}{\rd t}=\bbf(t,\bbx),\ \bbf(t,0)=0}$ 的零解稳定、渐近稳定、不稳定的几何解释.

    解答: 零解是稳定的 $\lra\ \forall\ \ve>0,\ \exists\ \delta>0,\ \forall\ P\in B_\delta,\ L_P^+\subset B_\ve$; 零解是渐进稳定的 $\lra\ \exists\ U\ni O,\ \forall\ P\in U,\ L_P^+\to 0$; 零解是不稳定的 $\lra\ \exists\ \ve_0>0,\ \exists\ P_n\to0, \st L_{P_n}^+\bs B_\ve\neq \vno$.

     

     

    4判断下列系统零解的稳定性:

    (1)      $\dps{\sedd{\ba{ll} \frac{\rd x_1}{\rd t}=mx_2+\alpha x_1(x_1^2+x_2^2),\\ \frac{\rd x_2}{\rd t}=-mx_1+\alpha x_2(x_1^2+x_2^2); \ea}}$;

    (2)      $\dps{\frac{\rd^2x}{\rd t^2}+\sex{\frac{\rd x}{\rd t}}^3+f(x)=0,}$ 其中 $xf(x)>0\ (x\neq 0), f(0)=0$;

    (3)      $\dps{\frac{\rd^2x}{\rd t^2}-\sex{\frac{\rd x}{\rd t}}^2sgn\sex{\frac{\rd x}{\rd t}}+x=0}$.

    解答:

    (1) 取 $$\bex V=x_1^2+x_2^2, \eex$$ 则 $V$ 正定, 且沿微分方程的轨线有 $$\bex \dot V=2\alpha(x_1^2+x_2^2)\sedd{\ba{lll} \mbox{正定},&\alpha>0,\\ 0,&\alpha=0,\\ \mbox{负定},&\alpha<0. \ea} \eex$$ 于是当 $\alpha>0$ 时, 由定理 3.3, 零解是不稳定的; 当 $\alpha=0$ 时, 由定理 3.1, 定理是稳定的; 当 $\alpha<0$ 时, 由定理 3.1, 零解是渐近稳定的.

    (2) 令 $\dps{x_1=x,x_2=\frac{\rd x}{\rd t}}$, 则 $$\bex \frac{\rd x_1}{\rd t}=x_2,\quad \frac{\rd x_2}{\rd t}=-x_2^3-f(x_1). \eex$$ 取 $$\bex V=\frac{x_2^2}{2}+\int_0^{x_1}f(t)\rd t, \eex$$ 则 $V$ 正定, 且沿微分方程的轨线有 $\dot V=-x_2^4\leq 0.$ 再 $$\bex \sed{\bbx;\dot V(\bbx)=0}=\sed{0}, \eex$$ 我们据定理 3.2 知零解是渐近稳定的.

    (3) 令 $\dps{x_1=x,x_2=\frac{\rd x}{\rd t}}$, 则 $$\bex \frac{\rd x_1}{\rd t}=x_2,\quad \frac{\rd x_2}{\rd t}=x_2^2 sgn(x_2)-x_1. \eex$$ 取 $$\bex V=\frac{x_1^2+x_2^2}{2}, \eex$$ 则 $V$ 正定, 且沿微分方程的轨线有 $\dot V=x_2^2|x_2|$ 是正定的. 我们据定理 3.3 知零解是不稳定的.

     

    5 若存在有无穷小上界的正定函数 $V(t,\bbx)$, 它沿着 $$\bex (3.3.1)\quad \frac{\rd\bbx}{\rd t}=\bbf(t,\bbx),\quad \bbf(t,0)=0 \eex$$ 解曲线的全导数 $\dot V(t,\bbx)$ 负定, 证明 (3.3.1) 的零解是渐近稳定的.

    证明: 仅须注意到存在正定函数 $W(x)$, $W_1(x)$ 使得 $$\bex W(\bbx)\leq V(t,\bbx)\leq W_1(\bbx). \eex$$ 而可仿照定理 3.1 的证明.

     

    6 讨论 $\dps{\frac{\rd x}{\rd t}=\frac{g'(t)}{g(t)}x}$ 零解的稳定性, 其中 $\dps{g(t)=\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{1+n^4(t-n)^2}}$. 能否得到零解渐近稳定的结果? 为什么?

    解答: 直接求解有 $$\bex x(t)=\frac{x_0}{g(t_0)}{g(t)}, \eex$$ 而由 $$\bex |x(t)|\leq\frac{|x_0|}{g(t_0)}\sez{2+\sum_{n\neq [t],[t]+1}\frac{1}{1+n^4(t-n)^2}} \leq \frac{|x_0|}{g(t_0)}\sez{2+\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^4}} \eex$$ 知零解是稳定的; 由 $$\bex |x(k)|=\frac{|x_0|}{g(t_0)}\sez{1+\sum_{n\neq k}\frac{1}{n^4(k-n)^2}}\geq \frac{|x_0|}{g(t_0)} \eex$$ 知零解不是渐近稳定的.

     

    7证明 $\dps{\frac{\rd x}{\rd t}=-\frac{x}{t+1}}$ 的零解是渐近稳定的, 但不存在有无穷小上界的正定函数 $V(t,x)$, 使得 $\dot V(t,x)$ 负定 (该习题表明习题 5 中渐近稳定性定理中的条件不是必要的).

    证明: 直接求解有 $$\bex x(t)=\frac{x_0}{1+t}. \eex$$ 而零解是渐近稳定的. 

    转载于:https://www.cnblogs.com/zhangzujin/p/3546552.html

    展开全文
  • 对于微分方程平衡点稳定性的分析,有助于对混沌系统微分方程组的平衡点的判断。
  • §1、引言 §2、初值问题的数值解法--单步法 §3、龙格-库塔方法 §4、收敛性与稳定性 §5、初值问题的数值解法―多步法 §6、方程组和刚性方程 §7、习题和总结
  • 常微分方程运动稳定性_第一篇.ppt
  • matlab解常微分方程

    2021-03-09 20:19:52
    常微分方程ordinary differential equation的缩写,此种表述方式常见于编程,如MATLAB中Simulink求解器solver已能提供了7种微分方程求解方法:ode45(Dormand-Prince),ode23(Bogacki-Shampine),ode113(Adams),ode...
    1. ODE

    常微分方程ordinary differential equation的缩写,此种表述方式常见于编程,如MATLAB中Simulink求解器solver已能提供了7种微分方程求解方法:ode45(Dormand-Prince),ode23(Bogacki-Shampine),ode113(Adams),ode15s(stiff/NDF),ode23s(stiff/Mod. Rosenbrock),ode23t(mod. stiff/Trapezoidal),ode23tb(stiff/TR-BDF2)。

    微分方程、微分方程组

    自标量 因变量 一元  多元  函数  映射 

    一元:只有一个因变量

    多元:有多个因变量

    导数 偏导:谁对谁的导数,因变量对自变量的导数,默认或缺省自变量为t 、x  ?

    一元方程  多元方程  多元方程组  n个方程解n个未知量

    微分方程  一阶  高阶微分方程  一阶微分方程组

    一阶常微分方程:Dx/dt + x = e^t

    高阶常微分方程:d^2x/dt^2+dx/dt+x=e^2t

    一阶微分方程组(多元):

    dy/dt+x=e^2t

    dx/dt+2y-x=e^t

    初始条件:dy/dt0=...  dx/dt0=...  y0=...  x0=... 

    可以解出:y=f(t)=....    x=f(t)=....  两个方程解两个未知数(因变量)

    一个N阶(多元)微分方程可以写成(分解成)N个一阶微分方程(即微分方程组)

    如:

    x.. + 2x. -x = u

    令x.=x2; x=x1  则...

    微分方程的精确解: r=dsolve('eqn1','eqn2',...,'cond1','cond2',...,'var').

    数值解: [t,y]=solver('odefun',tspan,y0,options)

    1. 求精确解

    1.微分方程

    r=dsolve('eqn1','eqn2',...,'cond1','cond2',...,'var').

    该命令中可以用D表示微分符号,其中D2表示二阶微分,D3表示三阶微分,以此类推。

    解释如下:eqni表示第i个微分方程,condi表示第i个初始条件,var表示微分方程中的自变量,默认为t。

    1

    2

    3

    >> dsolve('Dy=3*x^2','y(0)=2','x')

      

    ans = x^3 + 2

     2.微分方程组

    1

    2

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    6

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    10

    >> [x,y]=dsolve('Dx=y','D2y-Dy=0','x(0)=2','y(0)=1','Dy(0)=1')

      

    x =

      

    exp(t) + 1

      

      

    y =

      

    exp(t)

    3.求解微分方程组在初始条件(= 0)= 1, y (=0 )= 0 下的特解,并画出解函数的图像。

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    >> [x,y]=dsolve('Dx+5*x+y=exp(t)','Dy-x-3*y=0','x(0)=1','y(0)=0','t')

      

    x =

      

    exp(t*(15^(1/2) - 1))*(15^(1/2) - 4)*((13*15^(1/2))/330 - exp(2*t - 15^(1/2)*t)*(15^(1/2)/165 + 1/22) + 1/22) - exp(-t*(15^(1/2) + 1))*(exp(2*t + 15^(1/2)*t)*(15^(1/2)/165 - 1/22) + (15^(1/2)*(15^(1/2) - 13))/330)*(15^(1/2) + 4)

      

      

    y =

      

    exp(-t*(15^(1/2) + 1))*(exp(2*t + 15^(1/2)*t)*(15^(1/2)/165 - 1/22) + (15^(1/2)*(15^(1/2) - 13))/330) + exp(t*(15^(1/2) - 1))*((13*15^(1/2))/330 - exp(2*t - 15^(1/2)*t)*(15^(1/2)/165 + 1/22) + 1/22)

      

    >> ezplot(x,y)

    1. ezplot与plot的区别

    plot(x,y)以x为横坐标,y为纵坐标绘制曲线

    plot(x,y1,x,y2,...)以x为横坐标值,以y1,y2...元素为纵坐标值绘制多条曲线

    plot中x,y的表达式是已知的或者是形如y=f(x)的表达式

    ezplot是画出隐函数图形,是形如f(x,y)=0这种不能写出像y=f(x)这种函数的图形,explot无需数据准备,直接画出函数图形

    1. 求近似解

    ode求解器

    求解器

    问题类型

    精度

    何时使用

    ode45

    非刚性

    大多数情况下,您应当首先尝试求解器 ode45

    ode23

    对于容差较宽松的问题或在刚度适中的情况下,ode23 可能比 ode45 更加高效。

    ode113

    低到高

    对于具有严格误差容限的问题或在 ODE 函数需要大量计算开销的情况下,ode113 可能比 ode45 更加高效。

    ode15s

    刚性

    低到中

    若 ode45 失败或效率低下并且您怀疑面临刚性问题,请尝试 ode15s。此外,当解算微分代数方程 (DAE) 时,请使用 ode15s

    ode23s

    对于误差容限较宽松的问题,ode23s 可能比 ode15s 更加高效。它可以解算一些刚性问题,而使用 ode15s 解算这些问题的效率不高。

    ode23s 会在每一步计算 Jacobian,因此通过 odeset 提供 Jacobian 有利于最大限度地提高效率和精度。

    如果存在质量矩阵,则它必须为常量矩阵。

    ode23t

    对于仅仅是刚度适中的问题,并且您需要没有数值阻尼的解,请使用 ode23t。 

    ode23t 可解算微分代数方程 (DAE)。

    ode23tb

    与 ode23s 一样,对于误差容限较宽松的问题,ode23tb 求解器可能比 ode15s 更加高效。

    ode15i

    完全隐式

    对于完全隐式问题 f(t,y,y’) = 0 和微分指数为 1 的微分代数方程 (DAE),请使用 ode15i

     

    1. 求解微分方程初值问题的数值解,求解范围为区间 [0,0.5] 。

    1. inline()通俗的来说就是用于定义函数,使用inline定义一个函数

    给a,b,x赋值即可得到y

    1

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    6

    >> f=inline('a*x+b','a','b','x');

    >> f(1,2,3)

     

    ans =

     

         5

     

    1. 求常微分方程的数值解,MATLAB的命令格式为:
      [t,y]=solver('odefun',tspan,y0,options)
      其中solver选择ode45等函数名,odefun为根据待解方程或方程组编写的m文件名,tspan为自变量的区间[t0,tf],即准备在那个区间上求解,y0表示初始值,options用于设定误差限制。命令格式为:
      options=odeset('reltol',rt,'abstol',at)
      rt输入相对误差,at输入绝对误差。

     

    数值解是采用如有限元方法、数值逼近方法、插值方法等计算方法得到的解。只能利用数值计算的结果,而不能随意给出自变量并求出计算值。

    当无法藉由微积分技巧求得解析解时,这时便只能利用数值分析的方式来求得其数值解了。实际情况下,常微分方程往往只能求解出其数值解。

    在数学中,刚性方程是指一个微分方程,其数值分析的解只有在时间间隔很小时才会稳定,只要时间间隔略大,其解就会不稳定。

    目前很难去精确地去定义哪些微分方程是刚性方程,但是大体的想法是:这个方程的解包含有快速变化的部分。

    1. 解析解能求出x=f(t);数值解则需要制定t的某个值,如只能解出x在t=某个常数时的值,不能解出关于t的表达式。
    2.  

    y=dsolve('el,e2,..?,'c1,c2,..?,'v')

    其中’e1,e2,..'为微分方程或微分方程组;

    ’c1,c2,...’,是初始条件或边界条件;

    ’v'是独立变量,默认的独立变量是’t’;

    y返回解析解。如果没有初始条件,则求出通解,如

    果有初始条件,则求出特解。

    用字符串表示常微分方程,自变量缺省时为t,导数用

    D表示微分。y的2阶导数用D2y表示,依此类推。[T,Y,TE,YE,IE]=solver('odefun',tspan,y0,options)

    其中solver为ode23、ode45、ode113、ode15s、ode23s、

    ode23t、ode23tb函数;

    odefun是函数句柄;

    tspan微分定义区间;

    y0为初值行矩阵;

    T值是t序列(为列向量);

    Y值是微分方程的解Y在各点t的值(为列向量);

    TE表示事件发生时间,可缺省;

    YE表示事件解决时间,可缺省;

    IE表示事件消失时间,可缺省;

    options是求解参数设置,可以用odeset在计算前设定误差,输出参数,事件等,可缺省。

     

    1. 在微分方程的解析解法中,我们着重强调dsolve有很大的局限性,一般没法解决非线性微分方程,由此我们有了ODEs的数值解法
      其中
      微分方程的转化是解决所有问题的关键点,必须掌握了它,才能过使用ode**求解器
      在这里我们具体介绍下面的几种微分方程的数值解法
      1ODE解算器简介(ode**)   
      http://www.matlabsky.com/thread-528-1-1.html
      2微分方程转换  http://www.matlabsky.com/thread-534-1-1.html
      3刚性/非刚性问题(Stiff/Nonstiff)  http://www.matlabsky.com/thread-530-1-1.html
      4隐式微分方程(IDE)  http://www.matlabsky.com/thread-529-1-1.html
      5微分代数方程(DAE)  http://www.matlabsky.com/thread-531-1-1.html
      6延迟微分方程(DDE)  http://www.matlabsky.com/thread-532-1-1.html
      7边值问题(BVP)  http://www.matlabsky.com/thread-533-1-1.html
      在介绍上面其中常微分方程之前,我们有必要了解下Matlab中提供的求解ODEs的解算器ode**,知道这些函数的调用和参数意义。

     

    好,上面我们把MATLAB中的常微分方程(ODE)的解算器讲解的差不多了,下面我们就具体开始介绍如何使用上面的知识吧!
    现实总是残酷的,要得到就必须先付出,不可能所有的ODE一拿来就可以直接使用,因此,在使用ODE解算器之前,我们需要做的第一步,也是最重要的一步,
    借助状态变量将微分方程组化成Matlab可接受的标准形式(一阶显示常微分方程)!
    如果ODEs由一个或多个高阶微分方程给出,则我们应先将其变换成一阶显式常微分方程组
    下面我们以两个高阶微分方程构成的ODEs为例介绍如何将之变换成一个
    一阶显式常微分方程组
    step1.将微分方程的最高阶变量移到等式的左边,其他移到右边,并按阶次从低到高排列,假如说两个高阶微分方程最后能够显式的表达成如下所示:

    我们说过现实总是残酷的,有时方程偏偏是隐式的,没法写成上面的样子,不用担心Matlab早就为我们想到了,这个留在后面的隐式微分方程数值求解中再详细讲解!
    step2.为每一阶微分式选择状态变量,最高阶除外

    从上面的变换,我们注意到,ODEs中所有因变量的最高阶次之和就是需要的状态变量的个数最高阶的微分式(比如上面的x (m)和y(n))不需要给它一个状态变量
    step3.根据上面选用的状态变量,写出所有状态变量的一阶微分的表达式


    注意到,最高阶次的微分式的表达式直接就是step1中的微分方程
    ,到此为止,一阶显式常微分方程组,变化顺利结束,接下来就是Matlab编程了。请记住上面的变化很重要,Matla中所有微分方程的求解都需要上面的变换。
    下面通过一个实例演示ODEs的转换和求解

    【解】真是万幸,该ODEs已经帮我们完成了step1,我们只需要完成step2和step3了
    (1)选择一
    组状态变量

    (2)写出所有状态变量的一阶微分表达式

    (4)有了数学模型描述,则可以立即写出相应的Matlab代码了(这里我们优先选择ode45)

    1. x0=[1.2;0;0;-1.04935751];%x0(i)对应与xi的初值
    2. options=odeset('reltol',1e-8);%该命令的另一种写法是options=odeset;options.reltol=1e-8;
    3. tic
    4. [t,y]=ode45(@appollo,[0,20],x0,options);%t是时间点,y的第i列对应xi的值,t和y的行数相同
    5. toc
    6. plot(y(:,1),y(:,3))%绘制x1和x3,也就是x和y的图形
    7. title('Appollo卫星运动轨迹')
    8. xlabel('X')
    9. ylabel('Y')
    10.  
    11. function dx=appollo(t,x)
    12. mu=1/82.45;
    13. mustar=1-mu;
    14. r1=sqrt((x(1)+mu)^2+x(3)^2);
    15. r2=sqrt((x(1)-mustar)^2+x(3)^2);
    16. dx=[x(2)
    17.     2*x(4)+x(1)-mustar*(x(1)+mu)/r1^3-mu*(x(1)-mustar)/r2^3
    18.     x(4)
    19. -2*x(2)+x(3)-mustar*x(3)/r1^3-mu*x(3)/r2^3];
    20.  

     

     

     

    1. ode 是专门用于解微分方程的功能函数,他有ode23,ode45,ode23s等等,采用的是Runge-Kutta算法。ode45表示采用四阶,五阶runge-kutta单步算法,截断误差为(△x)^3。解决的是Nonstif(非刚性)的常微分方程。是解决数值解问题的首选方法若长时间没结果,应该就是刚性的,换用ode23来解。

     

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常微分方程的稳定性